2022--2023学年北师大版九年级数学下册1.1 锐角三角函数 同步练习（Word版含答案）

北师大版九下 1.1 锐角三角函数（较难）
一、选择题（共9小题）
1. 在 中，各边的长度都扩大 倍．那么锐角 的正切值
A. 扩大 倍 B. 扩大 倍 C. 保持不变 D. 缩小 位
2. 中，，若 ，，下列各式中正确的是
A. B. C. D.
3. 如图，在 中，，， 分别是斜边 上的高和中线，下列结论不一定成立的是
A. B.
C. D.
4. 在 中，，，，那么 等于
A. B. C. D.
5. 在 中，，，，则 的值为
A. B. C. D.
6. 在 中，，，，则 的值是
A. B. C. D.
7. 在 中，，，，那么下列各式中正确的是
A. B. C. D.
8. 利用投影仪把 各边的长度都扩大为原来的 倍，则锐角 的各三角函数值
A. 都扩大为原来的 倍 B. 都缩小为原来的
C. 没有变化 D. 不能确定
9. 如图，已知在 中，，点 沿 自 向 运动（点 与点 ， 不重合），作 于 ， 于 ，则 的值
A. 不变 B. 增大 C. 减小 D. 先变大再变小
二、填空题（共6小题）
10. 在直角坐标平面内有一点 ，点 与原点 的连线与 轴的正半轴的夹角为 ，那么 的值为 ．
11. 如图所示的网格是正方形网格，点 ，， 是网格线交点，那么 （填“”“”或“”）．
12. 如图，在 中，，，，点 是 边上一点，将 沿着过点 的一条直线翻折，使得点 落在边 上的点 处，连接 ，如果 ，那么 的长为 ．
13. 定义：有一组对边相等而另一组对边不相等的凸四边形叫做“对等四边形”，如图，在 中，，点 在边 上，点 在边 上，如果 ，，，四边形 为“对等四边形”，那么 的长为 ．
14. 若 ，则锐角 ．
15. 如图所示，在三角形纸片 中，，，，如果将 沿过顶点 的直线折叠，使点 落在边 上的点 处，折痕为 ，那么 ．
三、解答题（共6小题）
16. 如图，在 中，，，．
（1）求 的正弦值、余弦值、正切值；
（2）求 的正弦值、余弦值、正切值；
（3） 的正弦值与 的余弦值有何关系 的正切值与 的正切值呢
17. 如图，在 中，点 是 的中点，连接 ，，，．
（1）求 的长；
（2）求点 到直线 的距离．
18. 如图，在 中，，， 分别是 边上的中线和高，，，求 ， 的长．
19. 如图，在 中，，．
（1）求 的值；
（2）延长 至点 ，连接 ，如果 ，求 的长．
20. 设 为直角三角形的一个锐角，给出 角三角函数的两条基本性质：① ；② ，利用这些性质解答本题．
已知 ，求值：
（1）；
（2）．
21. 将大小两把含 角的直角三角尺按如图 位置摆放，即大小直角三角尺的直角顶点 重合，小三角尺的顶点 ， 分别在大三角尺的直角边 ， 上，此时小三角尺的斜边 恰好经过大三角尺的重心 ．已知 ，．
（1）求小三角尺的直角边 的长．
（2）将小三角尺绕点 逆时针旋转，当点 第一次落在大三角尺的边 上时（如图 ），求点 ， 之间的距离．
（3）在小三角尺绕点 旋转的过程中，当直线 经过点 时，求 的正弦值．
答案
1. C
【解析】如图，
在 中，，则 ，
，
在 中，各边的长度都扩大 倍．那么锐角 的正切值保持不变，故选：C．
2. C
【解析】 ，，，
，
A．，故此选项错误；
B．，故此选项错误；
C．，故此选择正确；
D．，故此选项错误．
3. B
【解析】，，
，
，
故A选项正确，不符合题意；
， 分别是斜边 上的高和中线，
，，，
，，
，
故B选项不正确，符合题意；
，
，即 ，
，
故C选项正确，不符合题意；
，
，即 ，
，
又 ，
，
故D选项正确，不符合题意．
4. C
【解析】直角三角形 中，，，
则 ．
5. A
【解析】根据题意画出图形如图所示：
在 中，，，，
，则 ．
6. C
【解析】如图所示：
，，，
，
．
故选C．
7. A
【解析】，，，
．
A．，正确；
B．，故不正确；
C．，故不正确；
D．，故不正确．
8. C
【解析】 各边的长度都扩大为原来的五倍，
扩大后的三角形与原三角形相似，即锐角 的度数不变，
锐角 的各三角函数值没有变化．
9. C
【解析】 于 ， 于 ，
，
，
设 ，
，，
，
，
，当点 从 向 运动时， 是逐渐增大的，
的值是逐渐减小的，
的值是逐渐减小的．故选C．
10.
【解析】如图所示，过点 作 轴于 ，
点坐标为 ，
，，
．
11.
【解析】设正方形网格中的小正方形的边长为 ，
作 于点 ，
在 中，，
在 中，，
，
，
．
12. 或
【解析】由题意知， 和 关于过点 的直线对称，如图所示，
在 中，，，，
，
，，
，，
在 利 中，
，
，
又 ，
，
，
，，，
．
故答案为：．
13. 或 或
【解析】如图，点 的位置如图所示：
①若 ，此时点 在 的位置，；
②若 ，此时点 在 ， 的位置，，
过点 分别作 ，，垂足为 ，，
设 ，
，
，
在 中，，
即 ，
解得：，（舍去），
，，
，
由四边形 为矩形，可得 ，，
在 中，，
，
，
综上所述， 的长度为 ， 或 ．
14.
【解析】，
，
，
．
15.
【解析】由折叠可得：，，，
，
，，
，
，
，
即 ，
解得：，，
，
，
，
过点 作 ，交 于点 ，
设 ，则 ，
在 中，
，
在 中，
，
，
解得：，
．
16. （1） 在 中，
，，，
．
，，．
（2） ，，．
（3） ，．
17. （1） 过点 作 ，垂足为点 ，
，
．
点 是 的中点，
．
，
．
．
，
，
．
，
．
（2） 过点 作 ，交 的延长线于点 ．
，
．
．
点 到直线 的距离为 ．
18. 在 中，，
是 边上的中线，
，
．
，
，
设 ，，则 ，
，
．
在 中，， 是 边上的高，即 ．
面积一定，
．
，
，
，
的长为 ， 的长为 ．
19. （1） 作 于 ，
，，
，
，
．
（2） ，，
，
，
．
20. （1） ，
，
，
．
．
（2） ，
，
．
21. （1） 连接 并延长与边 相交于点 ．
点 是大三角尺的重心，
．
在 中，
，，，
．
，
．
．
．
（2） 连接 ，过点 作 ，垂足为点 ．
，，
．
．
又 ，
．
．
．
在 中，
，，，
，．
在 中，
，，，
．
，即点 ， 之间的距离等于（）．
（3） 直线 经过点 有两种情况：点 在点 ， 之间，点 在点 ， 之间．
（ⅰ）当点 在点 ， 之间时，连接 ，过点 作 ，垂足为点 ．
易证 ．
，．
．
在 中，
，，，
，．
在 中，
，，，
．
．
，
．
．
．
（ⅱ）当点 在点 ， 之间时，连接 ，过点 作 ，垂足为点 ．
易证 ．
，，
可得 ，．
．
，
．
．
．