2022-2023学年人教版九年级数学上册24.1 圆的有关性质 同步练习（Word版含答案）

24.1 圆的有关性质
一、选择题（共8小题）
1. 以已知点 为圆心作圆，可以作
A. 个 B. 个 C. 个 D. 无数个
2. 从甲地到乙地有 ， 两条路线，这两条路线经过的路程相比较，
A. 路线 远 B. 路线 远 C. 同样远 D. 无法确定
3. 下列说法：①直径是弦；②弦是直径；③半径相等的两个半圆是等弧；④长度相等的两条弧是等弧；⑤半圆是弧，但弧不一定是半圆．正确的说法有
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
4. 下列说法中，不正确的是
A. 圆既是轴对称图形，又是中心对称图形
B. 圆绕着它的圆心旋转任意角度，都能与自身重合
C. 圆的对称轴有无数条，对称中心只有一个
D. 圆的每一条直径都是它的对称轴
5. 如图，四边形 是菱形， 经过点 ，，，与 相交于点 ，连接 ，．若 ，则 的度数为
A. B. C. D.
6. 如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（），点 是这段弧所在圆的圆心，，点 是 的中点，点 是 的中点，且 ，则这段弯路所在圆的半径为
A. B. C. D.
7. 如图，半圆 的直径 的长为 ，弦 的长为 ，弦 平分 ，则 的长是
A. B. C. D.
8. 如图所示，在 中，，，，点 ， 分别是边 ， 上的动点，连接 ，过点 作 交 于点 ，垂足为 ，连接 ，则 的最小值是
A. B. C. D.
二、填空题（共6小题）
9. 两同心圆的圆心为 ，大圆半径为 ，小圆半径为 ，大圆的直径与小圆相交于 ， 两点，分别以 ， 为圆心、以 为半径作半圆（如图所示）则阴影部分面积为 ．
10. 如图，， 是 的直径，且 ，点 ， 为弧 上的任意两点（， 不与 ， 重合），作 ，，，，连接 ，，则线段 ， 的大小关系为 ．（填“”“”或“”）
11. 如图所示，三圆同心于 ，， 于 ，则图中阴影部分的面积为 ．
12. 如图，一个圆有无数条对称轴，对折后的折痕所在的直线都是对称轴，它们都交于一点，这个点就是 ，这些折痕就是 ．
13. 如图，在 中，，，点 为斜边 上一点，且 ，将 沿直线 翻折，点 的对应点为 ，则 ．
14. 如图，， 是 的平分线上一点， 交 于点 ，以 为圆心，半径为 的圆与 相切，如果以 为圆心，半径为 的圆与 相交，那么 的取值范围是 ．
三、解答题（共6小题）
15. 已知：如图，在 中，以边 长为半径的 交一边 于点 、边 于点 ，连接 ．如果 ，，．求：
（1） 的度数；
（2） 的半径长及弦 的长．
16. 如图，在 中 ， 于 ．求证：．
17. 如图， 中，，以 为直径的 与 ， 分别交于点 ，，试判断 的形状，并证明．
18. 如图，已知在 中，弦 与弦 相交于点 ．若 ，求证：．
19. 对于平面直角坐标系 中的点 和 ，给出如下定义：若 上存在点 ，使得 ，则称 为 的半角关联点．
当 的半径为 时，
（1）在点 ，， 中， 的半角关联点是 ；
（2）直线 交 轴于点 ，交 轴于点 ，若直线 上的点 是 的半角关联点，求 的取值范围．
20. 在 中，以 边上的中线 为直径作圆，如果与边 有交点 （不与点 重合），那么称 为 的 中线弧．例如，如图 是 的 中线弧．在平面直角坐标系 中，已知 存在 中线弧，其中点 与坐标原点 重合，点 的坐标为 ．
（1）当 时，
①在点 ，，， 中，满足条件的点 是 ；
②若在直线 上存在点 是 的 中线弧 所在圆的圆心，其中 ，求 的取值范围；
（2）若 的 中线弧 所在圆的圆心为定点 ，直接写出 的取值范围．
答案
1. D
【解析】以已知点 为圆心作圆，因为半径不确定，所以可以作无数个圆．
2. C
3. C
【解析】①直径是最长的弦，正确；②弦不一定是直径，错误；③半径相等的两个半圆是等弧，正确；④能够完全重合的两条弧是等弧，错误；⑤半圆是弧，但弧不一定是半圆，正确．正确的说法有 个．
4. D
【解析】圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，所以A说法正确；
圆是一个特殊的中心对称图形，它绕着圆心旋转任意角度都能与自身重合，所以B说法正确；
圆的对称轴是过圆心的直线，这样的直线有无数条，对称中心只有一个，是圆心，所以C说法正确；
直径是线段而不是直线，不能说直径是圆的对称轴，所以D说法错误．
5. C
【解析】 四边形 是菱形，，
，
四边形 是圆内接四边形，
与 互补，
又 与 互补，
，
．
故选C．
6. A
【解析】连接 ，可知 ，， 三点共线，，由题意知 ，在 中，，设半径为 ，得 ，解得 ，
所以这段弯路所在圆的半径为 ．
7. C
【解析】如图，连接 ，，，
设 与 相交于点 ，
为直径，
，
在 中，．
弦 平分 ，
，
，
．
，
，
．
在 中，，
在 中，．
故选C．
8. C
【解析】如图所示，延长 到点 ，使 ，连接 ，过点 作 于点 ，取 中点 ，连接 ，过点 作 于点 ，
，，，
，，
是等边三角形，
．
中，，
当 ，， 在同一直线上时， 取得最小值．
于点 ，
．
为 的中点，
，
，， 三点共圆，圆心为 ，即点 在 上运动，
当点 运动到 上时， 取得最小值．
中，，，，
，
的最小值为 ．
9.
【解析】，，
，
和 是等圆，
，
．
10.
【解析】如图，连接 ，．
，，，
，
四边形 是矩形，
．
同理，，
，
．
11.
【解析】根据圆的轴对称性可将三个阴影部分的图形组合在一起，则阴影部分的面积正好等于最大圆的面积的 ，即 ．
12. 圆心，直径
13. 或
【解析】，，
，
由折叠的性质得 ，
，
，，， 四点共圆，
，
过点 作 于点 ，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
设 ，则 ，
在 中，，
．
故答案为：．
14.
【解析】过点 作 于 ， 于 ，
以 为圆心，半径为 的圆与 相切，
是切点，即 ，
， 是 的平分线上一点，
，，
，
，
，
，，
在 中，，
，
当 和 相切时， 或者 ，
．
故答案为：．
15. （1） 连接 ，设 ，，
，
，，
，，
．
（2） 解 ，作 ．，，
，，
或 ，设半径为 ，
又 ，，
．
，
，
．
，
，
．
16. 如图，延长 交 于点 ，连接 ，，
，，
，，
，，
，
，
，
．
17. 等边三角形（提示：首先 ， 必是等腰三角形；其次，由 ，得 ，即 ，由三角形内角和 ，得 ，所以 ，故 为等边三角形）
18. 连接 ，，，过点 分别作 ， 的垂线，垂足为点 ，，
，，，
，
，
又 ，，
，
，
．
19. （1） ，
（2） 由直线 的解析式得 ，，
以 为圆心， 长为半径画圆，交直线 于点 ，
可得 ，
设小圆 与 轴负半轴的交点为 ，
连接 ，，
，，
，，
，
，，
是等边三角形，
轴，
点 的纵坐标为 ，代入 可得，横坐标为 ，
，
．
20. （1） ① ，
② 的中线 ，，，
点 在 上（点 除外），其中点 ，点 ，点 ，
是 的 中线弧 所在圆的圆心，
点 在 上（点 除外），其中点 ，点 ，点 ．
当直线 过点 时，得 ；
当直线 过点 时，得 ；
当直线 过点 时，得 ；
结合图形，可得 的取值范围是 且 ．
（2） 且 ．