2022-2023学年北师大版九年级数学上册4.4探索三角形相似的条件 同步达标测试题（Word版含答案）

2022-2023学年北师大版九年级数学上册《4.4探索三角形相似的条件》
同步达标测试题（附答案）
一．选择题（共8小题，满分32分）
1．下列各组图形可能不相似的是（　　）
A．有一个角是60°的两个等腰三角形 B．各有一个角是45°的两个等腰三角形
C．各有一个角是105°的两个等腰三角形 D．两个等腰直角三角形
2．已知△ABC三边长是，，2，与△ABC相似的三角形三边长可能是（　　）
A．1，， B．1，， C．1，， D．1，，
3．如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC上的点，连接DE，下列条件不能使得△ABC与△ADE相似的是（　　）
A．∠ADE＝∠ACB B．DE∥BC C．＝ D．＝
4．以下四个三角形，与如图的三角形相似的是（　　）
A． B． C． D．
5．如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，DE∥BC，且∠DCE＝∠B．那么下列各判断中，错误的是（　　）
△ADE∽△ABC B．△ADE∽△ACD
C．△DEC∽△CDB D．△ADE∽△DCB
6．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，BC＝2cm，D为BC的中点，若动点E以1cm/s的速度从A点出发，沿着A→B的方向运动，设E点的运动时间为t秒（0≤t＜4），连接DE，当以B、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，t的值为（　　）
A．2 B．2.5或3.5 C．2或3.5 D．2或2.5
7．如图，平行四边形ABCD中，F是BC延长线上一点，AF交BD于O，与DC交于点E，则图中相似三角形共有（　　）对（全等除外）．
A．3 B．4 C．5 D．6
8．如图，已知 ABCD中，∠DBC＝45°，DE⊥BC于E，BF⊥CD于F，DE、BF相交于H，BF、AD的延长线相交于G，下面结论：
①DB＝BE；②∠A＝∠BHE；③AB＝BH；④△BHD∽△BDG．
其中正确的结论是（　　）
A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④
二．填空题（共8小题，满分32分）
9．如图，点D、E在线段BC上，△ADE是等边三角形，当△ABD∽△CAE时，∠BAC的度数为　 　．
10．如图，等边△ABC的边长为6，点D在AC上且DC＝2，点E在BC上，连接AE交BD于点F，且∠AFD＝60°，若点M是射线BC上一点，当以B、D、M为顶点的三角形与△ABF相似时，则BM的长为　 　．
11．如图，△ABC是边长为6cm等边三角形，动点P、Q同时从A、B出发，分别沿AB、BC方向匀速运动，其中点P运动的速度是1cm/s，点Q运动的速度是2cm/s，当点Q到达点C时，P、Q两点停止运动，在运动过程中作QR∥BA交AC于点R，连接PR，设运动的时间为t（s），当t＝　 　s时△APR∽△PRQ．
12．如图，∠A＝∠B＝90°，AB＝7，BC＝3，AD＝2，在边AB上取点P，使得△PAD与△PBC相似，则满足条件的AP长为　 　．
13．矩形ABCD中，M是BC边上且与B、C不重合的点，点P是射线AM上的点，若以A、P、D为顶点的三角形与△ABM相似，则这样的点有　 　个．
14．已知：如图，矩形ABCD中，BC边上有一动点M，∠AMN＝90°，AB＝3，BC＝4，CN＝1，当BM＝　 　时，△ABM∽△MCN．
15．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12mm，BC＝24mm，动点P以2mm/s的速度从A向B移动，（不与B重合），动点Q以4mm/s的速度从B向C移动，（不与C重合），若P、Q同时出发，经过 　 　秒后，△PBQ与△ABC相似．
16．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝1，AD平分∠BAC，点E在BA的延长线上，ED＝EC，DE交AC于点F，则图中与△AFE相似的三角形为　 　；AF的长为　 　．
三．解答题（共7小题，满分56分）
17．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别在BC、AB上，且∠BDE＝∠CAD．
（1）求证：△BDE∽△CAD；
（2）求证：△ADE∽△ABD．
18．如图，在△ABC中，CE⊥AB于点E，BD⊥AC于点D，连接ED，求证：△ABC∽△ADE．
19．如图，AB⊥BC，DC⊥BC，E是BC上一点，使得AE⊥DE；
（1）求证：△ABE∽△ECD；
（2）若AB＝4，AE＝BC＝5，求CD的长；
（3）当△AED∽△ECD时，请写出线段AD、AB、CD之间数量关系，并说明理由．
20．如图，在△ABC中，已知AB＝AC，点D、B、C、E分别在同一条直线上，且AB2＝BD CE，求证：△ABD∽△ECA．
21．如图，将△ABC绕点A旋转至△AB'C'的位置，点B'恰好在BC上，AC与B'C'交于点E，连接CC'．
（1）求证：；
（2）求证：△ABB'∽△ACC'．
22．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝6，动点E在边BC上，连接DE，过点A作AH⊥DE，垂足为H，AH交CD于F．
（1）求证：△CDE∽△DAF；
（2）当FC＝2时，求EC的长．
（3）若直线AF与线段BC延长线交于点G，当△DEB∽△GFD时，求DF的长．
23．如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在CD，AD上，连结AE，BF，AE⊥BF且AE＝BF．
（1）求证：AB＝AD．
（2）连结EF，BE，线段FD是线段AD与AF的比例中项．
①若AD＝4，求线段FD的长．
②求证：△DEF∽△CEB．
参考答案
一．选择题（共8小题，满分32分）
1．解：A、由已知我们可以得到这是两个正三角形，从而可以根据三组对应边的比相等的两个三角形相似判定这两个三角形相似；
B、不正确，因为没有指明这个45°的角是顶角还是底角，则无法判定其相似；
C、正确，已知一个角为105°，则我们可以判定其为顶角，这样我们就可以根据两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似判定这两个三角形相似；
D、正确，因为是等腰直角三角形，则我们可以根据两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似来判定这两个三角形相似．
故选：B．
2．解：∵△ABC三边长是，，2，
∴△ABC三边长的比为：2：＝1：：，
∴△ABC相似的三角形三边长可能是1，，，
故选：A．
3．解：A、∵∠ADE＝∠ACB，∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ACB，
故A不符合题意；
B、∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠ABC，∠AED＝∠ACB，
∴△ADE∽△ABC，
故B不符合题意；
C、∵＝，∠AED≠∠ABC，
∴△ABC与△ADE不相似，
故C符合题意；
D、∵＝，∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ACB，
故D不符合题意；
故选：C．
4．解：原图三边长为，2，；
A、三边长分别为2，，3，对应边的比为，＝，＝，两三角形不相似，故本选项错误；
B、三边长分别为2，4，2，对应边的比为，＝，＝，两三角形相似，故本选项正确；
C、三边长分别为2，3，，对应边的比为，，＝，两三角形不相似，故本选项错误；
D、三边长分别为，，4，对应边的比为，，，两三角形不相似，故本选项错误；
故选：B．
5．解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，∠BCD＝∠CDE，∠ADE＝∠B，∠AED＝∠ACB，
∵∠DCE＝∠B，
∴∠ADE＝∠DCE，
又∵∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ACD；
∵∠BCD＝∠CDE，∠DCE＝∠B，
∴△DEC∽△CDB；
∵∠B＝∠ADE，
但是∠BCD＜∠AED，且∠BCD≠∠A，
∴△ADE与△DCB不相似；
正确的判断是A、B、C，错误的判断是D；
故选：D．
6．解：∵，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，
∴∠A＝30°，
∴AB＝2BC＝4cm，
分两种情况：
①当∠EDB＝∠ACB＝90°时，
DE∥AC，△EBD∽△ABC，
∵D为BC的中点，
∴BD＝CD＝BC＝1cm，E为AB的中点，AE＝BE＝AB＝2cm，
∴t＝2s；
②当∠DEB＝∠ACB＝90°时，
∵∠B＝∠B，
∴△DBE∽△ABC，
∴∠BDE＝∠A＝30°，
∴BE＝BD＝cm，
∴AE＝3.5cm，
∴t＝3.5s；
综上所述：当以B、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，t的值为2或3.5；
故选：C．
7．解：∵ABCD是平行四边形
∴AD∥BC，AB∥DC
∵△ADO∽△FBO，△ABO∽△EDO，△ADE∽△FCE，△FCE∽△FBA，△ADE∽△FBA五对才对．
∴共5对．
故选：C．
8．解：∵∠BDE＝45°，DE⊥BC
∴DB＝BE，BE＝DE
∵DE⊥BC，BF⊥CD
∴∠BEH＝∠DEC＝90°
∵∠BHE＝∠DHF
∴∠EBH＝∠CDE
∴△BEH≌△DEC
∴∠BHE＝∠C，BH＝CD
∵ ABCD中
∴∠C＝∠A，AB＝CD
∴∠A＝∠BHE，AB＝BH
∴正确的有①②③
故选：B．
二．填空题（共8小题，满分32分）
9．解：∵△ADE是等边三角形，
∴∠ADE＝∠DAE＝60°，
∴∠BAD+∠B＝∠ADE＝60°，
∵△ABD∽△CAE，
∴∠B＝∠EAC，
∴∠BAD+∠EAC＝60°，
∴∠BAC＝∠BAD+∠DAE+∠EAC＝120°．
故答案为：120°．
10．解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝6，∠ABC＝60°＝∠AFD，
∴∠ABD+∠DBC＝∠ABD+∠BAE，
∴∠BAE＝∠DBC，
如图，当点M在BC上时，作∠BDM＝∠ABD，
∴△ABF∽△BDM，
∵∠BDM＝∠ABD，
∴∠DMC＝∠DBC+∠BDM＝∠ABD+∠DBC＝∠ABC＝60°，
∴∠DMC＝∠DCM＝60°，
∴△DMC是等边三角形，
∴DC＝DM＝CM＝2，
∴BM＝4，
当点M'在BC的延长线上时，作∠CDM'＝∠BAE，
∵∠ACB＝∠CDM'+∠M'＝60°，∠AFD＝∠ABD+∠BAE＝60°，
∴∠M'＝∠ABD，
∴△ABF∽△BM'D，
∵∠CDM'＝∠CBD，∠BDM＝∠M'，
∴△BDM∽△DM'C，
∴，
∴＝，
∴CM'＝1，
∴BM'＝7，
综上所述：BM＝4或7，
故答案为：4或7．
11．解：∵△ABC是边长为6cm等边三角形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝60°
∵QR∥BA
∴∠CRQ＝∠A＝60°，∠CQR＝∠B＝60°
∴△CRQ为等边三角形
∵点P运动的速度是1cm/s，点Q运动的速度是2cm/s
∴AP＝t，PB＝6﹣t，BQ＝2t，CQ＝CR＝RQ＝6﹣2t，AR＝2t
∵QR∥BA
∴∠QRP＝∠APR
若要△APR∽△PRQ，则需满足∠RPQ＝60°
∴∠BPQ+∠APR＝120°，∠ARP+∠APR＝120°
∴∠BPQ＝∠ARP
又∵∠A＝∠B
∴△APR∽△BQP
∴＝
∴＝
解得t＝1.2
故答案为1.2．
12．解：∵∠A＝∠B＝90°
①若△APD∽△BPC
则＝
∴＝
解得AP＝2.8．
②若△APD∽△BCP
则＝
∴＝
解得AP＝1或6．
∴则满足条件的AP长为2.8或1或6．
故答案为：2.8或1或6．
13．解：∵ABCD是矩形
∴BC∥AD
∴∠DAP＝∠BMA
①DP⊥AM于P时，两三角形相似
②P为AM与DC延长线的交点时，两三角形相似
故这样的点有两个．
14．解：∵矩形ABCD中，
∴∠ABM＝90°，
∵∠AMN＝90°，
∴∠AMB+∠NMC＝90°，
∵∠BAM+∠AMB＝90°，
∴∠BAM＝∠NMC，
同理得出∠AMB＝∠MNC，
∴△ABM∽△MCN，
即，
即，
解得：BM＝1或3，
故答案为：1或3．
15．解：设x秒后△PBQ与△ABC相似，则AP＝xcm，PB＝（12﹣2x）（cm），BQ＝4xcm，
∵∠PBQ＝∠ABC，
∴当时，△BPQ∽△BAC，
即，
解得x＝3；
当时，△PBQ∽△CBA，
即，
解得x＝．
即经过3秒或秒后，△PBQ与△ABC相似．
故答案为：3或．
16．解：（1）∵AB＝AC，ED＝EC，
∴∠ABC＝∠ACB，∠EDC＝∠ECD，
∵∠EDC＝∠ABC+∠BED，∠ECD＝∠ACB+∠ACE
∴∠ECA＝∠FEA，
∵∠FAE＝∠EAC，
∴△AFE∽△AEC．
（2）如图，作EG⊥CD交CD于点G，
∵ED＝EC，
∴，
∵AD∥EG，
∴，
∴＝2，
解得，
∵△AFE∽△AEC，
∴，
∴＝，
解得．
故答案为：．
三．解答题（共7小题，满分56分）
17．解：（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
又∵∠BDE＝∠CAD，
∴△BDE∽△CAD；
（2）证明：∵△BDE∽△CAD，
∴∠BED＝∠CDA，
∴180°﹣∠BED＝180°﹣∠CDA
即∠AED＝∠ADB．
又∵∠BAD＝∠DAE，
∴△ADE∽△ABD．
18．证明：∵BD⊥AC，CE⊥AB，
∴∠ADB＝∠AEC＝90°，
∵∠A＝∠A，
∴△ABD∽△ACE，
∴，
∴，
又∵∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ABC．
19．（1）证明：∵AB⊥BC，DC⊥BC，
∴∠B＝∠C＝90°，∠BAE+∠AEB＝90°，
∵AE⊥DE，
∴∠AED＝90°，
∴∠AEB+∠DEC＝90°，
∴∠DEC＝∠BAE，
∴△ABE∽△ECD；
（2）解：Rt△ABE中，∵AB＝4，AE＝5，
∴BE＝3，
∵BC＝5，
∴EC＝5﹣3＝2，
由（1）得：△ABE∽△ECD，
∴，
∴，
∴CD＝；
（3）解：线段AD、AB、CD之间数量关系：AD＝AB+CD；
理由是：过E作EF⊥AD于F，
∵△AED∽△ECD，
∴∠EAD＝∠DEC，
∵∠AED＝∠C，
∴∠ADE＝∠EDC，
∵DC⊥BC，
∴EF＝EC，
∵DE＝DE，
∴Rt△DFE≌Rt△DCE（HL），
∴DF＝DC，
同理可得：△ABE≌△AFE，
∴AF＝AB，
∴AD＝AF+DF＝AB+CD．
20．证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴∠ABD＝∠ACE，
∵AB2＝BD CE，
∴＝，即＝，
∴△ABD∽△ECA．
21．证明：（1）由旋转的性质可知，∠ECB′＝∠AC′E，
∵∠CEB′＝∠AEC′，
∴△CEB′∽△C′EA，
∴＝；
（2）∵∠BAC＝∠B′AC′，
∴∠BAB′＝∠CAC′，
∵AB＝AB′，AC＝AC′，
∴＝，
∴△ABB′∽△ACC′．
22．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形
∴∠ADC＝∠BCD＝90°．
又∵AF⊥DE，
∴∠DCE＝∠ADF＝90°，∠EDC＝∠DAF＝90°﹣∠DFA，
∴△ADF∽△DCE；
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴DC＝AB＝3，
∵FC＝2，
∴DF＝DC﹣FC＝1，
∵△ADF∽△DCE
∴＝，
∴EC＝＝＝；
（3）解：如图中，
∵△ADF∽△DCE
∴＝，
∴＝＝＝2，
设EC＝x，则DF＝2x，
∵△DEB∽△GFD，
∴＝，
∴FG＝
∵△ADF∽△GCF，
∴＝，
∴FG＝ ，
∴＝
解得x＝，
∴DF＝2x＝．
23．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝∠ADE＝90°，
∴∠ABF+∠AFB＝90°，
∵AE⊥BF，
∴∠DAE+∠AFB＝90°，
∴∠ABF＝∠DAE，
在△ABF和△DAE中，
，
∴△ABF≌△DAE（AAS），
∴AB＝AD；
（2）①由（1）可知，△ABF≌△DAE，
∴AF＝DE，
∴DF＝CE，
∵线段DF是线段AF与AD的比例中项，
∴DF2＝AF AD，
∵AD＝4，
∴DF2＝（4﹣DF）×4，
∴DF＝﹣2+2（负值舍去）；
②∵线段DF是线段AF与AD的比例中项，
∴DF2＝AF AD，
∴＝，
∵∠FDE＝∠BCE＝90°，
∴△DEF∽△CEB．