2022-2023学年人教版数学九年级上册22.1 二次函数的图象和性质 同步练习 （Word版含答案）

22.1 二次函数的图象和性质
一、选择题（共10小题）
1. 将抛物线 向左平移 个单位，再向上平移 个单位后，所得抛物线顶点坐标是
A. B. C. D.
2. 已知抛物线 的顶点是此抛物线的最低点，那么 的取值范围是
A. B. C. D.
3. 在同一平面直角坐标系 中，一次函数 与二次函数 的图象可能是
A. B.
C. D.
4. 下列抛物线经过原点的是
A. B.
C. D.
5. 将函数 的图象向下平移 个单位，下列结论中，正确的是
A. 开口方向不变 B. 顶点不变
C. 与 轴的交点不变 D. 与 轴的交点不变
6. 已知 与 的关系如表所示，若设 ，则下列选项中， 与 之间的函数关系式正确的是
A. B. C. D.
7. 将抛物线 的图象位于直线 以下的部分向上翻折，得到如图所示的图象，若直线 与图象只有四个交点，则 的取值范围是
A. B. C. D.
8. 函数 和 （ 为常数，且 ）在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是
A. B.
C. D.
9. 二次函数 （，， 是常数，）的自变量 与函数值 的部分对应值如下表：
且当 时，与其对应的函数值 ．有下列结论：
① ；② 和 是关于 的方程 的两个根；③ ．
其中，正确结论的个数是
A. B. C. D.
10. 如图，在 中，，，动点 从点 出发，以 的速度沿 方向运动到点 ，动点 同时从点 出发，以 的速度沿折线 方向运动到点 ．设 的面积为 （），运动时间为 （），则下列图象能反映 与 之间关系的是
A. B.
C. D.
二、填空题（共6小题）
11. 用描点法画二次函数的图象需要经过列表、描点、连线三个步骤．以下是小明画二次函数 图象时所列的表格：
根据表格可以知道该二次函数图象的顶点坐标是 ．
12. 如果某抛物线开口方向与抛物线 的开口方向相同，那么该抛物线有最 点（填“高”或“低”）
13. 通过配方把函数 化成顶点式表示为 ，它的图象的顶点坐标是 ．
14. 已知二次函数 ，当 分别取 ， 时，函数值相等，则当 取 时，函数值为 ．
15. 已知抛物线 与 轴交于点 ，过点 作 轴的平行线交抛物线于点 ，若 ，则点 坐标为 ．
16. 如图，在 中，，， 为边 上一动点（不与点 重合），以 为一边作正方形 ，连接 ，则 的面积的最大值为 ．
三、解答题（共6小题）
17. 已知二次函数 的图象经过 ， 两点．
（1）求二次函数的解析式；
（2）将该二次数解析式化为 的形式，并写出该二次函数图象的开口方向、顶点坐标和对称轴．
18. 已知一个二次函数图象的顶点为 ，与 轴的交点为 ．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）在所给的平面直角坐标系 中，画出这个二次函数的图象．
19. 已知函数 是关于 的二次函数．
（1）求满足条件的 值；
（2）当 为何值时，抛物线有最低点 求出此最低点，在这种情况下，当 为何值时， 随 的增大而增大
20. 已知开口向上的抛物线 与 轴的交点为 ，顶点为 ，点 与点 关于对称轴对称，直线 与 交于点 ．
（1）求点 的坐标，并用含 的代数式表示点 的坐标；
（2）当 时，求抛物线 的表达式；
（3）当 时，求 的长．
21. 如图，已知在平面直角坐标系 中，抛物线 经过点 ，与点 ，与 轴的正半轴交于点 ．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如果 是抛物线上一点， 与线段 相交于点 ，且 将四边形 分成面积相等的两部分，求 的值；
（3）如果 是 轴上一点，，求 的正切值．
22. 已知，二次函数 的图象与 轴交于点 ，点 ，与 轴交点 ．
（1）求二次函数解析式；
（2）设点 为 轴上一点，且 ，求 的值；
（3）若点 是直线 上方抛物线上一动点，连接 ，过点 作 ，交 于点 ，求线段 的最大值及此时点 的坐标．
答案
1. D
【解析】抛物线 化成顶点式为 ，顶点坐标为 ，将抛物线 向左平移 个单位，再向上平移 个单位后，所得抛物线的顶点坐标是 ．
2. C
【解析】 抛物线 的顶点是此抛物线的最低点，
抛物线开口向上，
，
解得：，
故选C．
3. C
【解析】A．由直线可知 ，由抛物线开口向上，，不符合题意．
B．由抛物线开口向上 ，抛物线与 轴交点在 轴下方，则 ，不符合题意．
C．由直线可知 ，由抛物线开口向下 ，抛物线与 轴交点在 轴下方，，符合题意．
D．由直线可知 ，抛物线开口向下 ，不符合题意．
故选：C．
4. A
5. A
【解析】由题意知，平移后函数解析式变为 ， 不变，开口方向不变，故A正确，符合题意；
顶点坐标、与 轴的交点均向下移动，发生改变，故B，D错误，不符合题意；
与 轴的交点也发生改变，故C错误，不符合题意．
6. A
【解析】将题表中的三组值分别代入 中，可得 ，，，所以 与 之间的函数关系式为 ．
7. C
【解析】令 ，则 ，
解得 ，
，
平移直线 知：直线位于 和 时，它与新图象有三个不同的公共点．
①当直线位于 时，此时 过点 ，
，即 ．
②当直线位于 时，此时 与函数 的图象有一个公共点，
方程 ，
即 有两个相等实根，
，
即 ．
由①②知若直线 与新图象只有四个交点， 的取值范围为 ．
故选：C．
8. D
【解析】二次函数 的图象的顶点坐标为 ，
故A，B不符合题意；
当 时，，
所以一次函数 的图象经过点 ，
故C不符合题意，
故选D．
9. C
【解析】当 时，，当 时，，
，
，故①正确；
抛物线 过点 ，，
对称轴为直线 ，
时，，
时，，
和 是关于 的方程 的两个根，故②正确；
，，
，
，
当 时，，
，
，故③错误．
10. D
【解析】过点 作 于点 ，
①如图 ，
当点 在 上运动时，即 ，
由题意知 ，，
，
，
则 ；
②如图 ，
当点 在 上运动时，即 ，此时点 与点 重合，
由题意知 ，，
，
，
则 ．
11.
12. 低
【解析】 抛物线开口方向与抛物线 的开口方向相同，抛物线 中， 开口方向向上，
该抛物线有最低点．
13. ，
14.
【解析】 二次函数 的图象的对称轴为直线 ， 分别取 ， 时函数值相等，
，
当 取 ，即 取 时，函数值为 ．
15.
【解析】因为 ，
因为当 时，，
所以 点坐标 ，
又因为 ，直线 平行 轴，
所以 点坐标为 ，，
因为 ，
所以 ，抛物线对称轴在 轴左侧，
所以 点坐标为 ．
16.
【解析】过点 作 于点 ，作 于点 ，作 于点 ．
，，
，
易证 ，
，
即 ，
，
设 ，则 ，
易证 （），
，
，
当 时， 面积取最大值为 ．
17. （1） 将 ， 代入 ，有
解得
二次函数的解析式为 ．
（2） ，
，
，二次函数图象开口向上；顶点坐标为 ；对称轴为直线 ．
18. （1） 设抛物线解析式为 ，
将 代入 得：，
．
（2） 二次函数图象如下图所示：
19. （1） 因为函数 是关于 的二次函数，
所以
解得 ，，
即 的值是 或 ．
（2） 由（）知，，
故 或 ，
所以当 时，该抛物线有最低点，
当 时，，该函数图象的最低点的坐标为 ，当 时， 随 的增大而增大．
20. （1） 令 ，可得 ，
点的坐标为 ，
抛物线的对称轴为：，
点 的坐标为 ，
令 ，可得 ，
顶点 的坐标为 ．
（2） 如图：
当 时，即 是直角三角形，
，
，
解得 ，
抛物线的表达式为： 或 ．
（3） 如图：
在抛物线的对称轴上，
，
，
，
，
点 ，点 ，
直线 的解析式为 ，
点坐标为 ，
，
或 ，
解得 或 ，
点 的坐标为 或 ，
设直线 的解析式为 ，
则 或
解得： 或
直线 的解析式为 或 ．
或
解得： 或
点 的坐标为 或 ，
，
的长为 或 ．
21. （1） ．
（2） ，
作 ，，
，
，
可得 ，
是 的中点，
，：，
交点可知：，可知：．
（3） Ⅰ当 在 左侧时，
，
又 ，
，
，
，
，．
Ⅱ当 在 右侧时，
，
，
．
22. （1） 把 ， 代入 中，
得 解得：，，
．
（2） 在二次函数解析式为 ，
令 ，则 ，
则点 坐标 ，而 ，，
，，
，
，
．
（3） 设直线 为：，
把 和 代入得： 解得：
，
，
，
过点 作 轴，交 于点 ，
，
，
是等腰直角三角形，
，
设点 ，则 ，
，
当且仅当 时， 的最大值是 ，
，
当点 时， 的最大值是 ．