2022-2023学年北师大版九年级数学上册第4章图形的相似 解答题专题训练 （word版含答案）

2022-2023学年北师大版九年级数学上册《第4章图形的相似》解答题专题训练（附答案）
1．已知a、b、c是△ABC的三边，且满足＝＝，a+b+c＝12，试判断△ABC的形状，并说明理由．
2．已知△ABC和△DEF中，有，且△DEF和△ABC的周长之差为15厘米，求△ABC和△DEF的周长．
3．如图，a∥b∥c，直线m，n交于点O，且分别与直线a，b，c交于点A、B、C和点D、E、F，已知OA＝1，OB＝2，BC＝4，EF＝5，求DE的长度．
4．如图，已知DE∥BC，FE∥CD，AF＝3，AD＝5，AE＝4．
（1）求CE的长；
（2）求AB的长．
5．如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交BC，AC于点D，E，BE交AD于点F，AB＝AD．
（1）求证：△BFD∽△CAB；
（2）求证：AF＝DF；
（3）的值等于 　 　．（直接写出结果，无需解答过程）
6．学完了《图形的相似》这一章后，某中学数学实践小组决定利用所学知识去测量一古建筑AB的高度（如图1）．如图2，在地面BC上取E，G两点，分别竖立两根高为2m的标杆EF和GH，两标杆间隔EG为23m，并且古建筑AB，标杆EF和GH在同一竖直平面内，从标杆EF后退2m到D处，从D处观察A点，A，F，D三点成一线；从标杆GH后退4m到C处，从C处观察A点，A，H，C三点也成一线．请根据以上测量数据，帮助实践小组求出该古建筑的高度．
7．已知：如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，E为直角边AC的中点，过D，E作直线交AB的延长线于F．
（1）若AB＝6，AC＝8，求BD长；
（2）求证：AB AF＝AC DF．
8．如图1，已知四边形ABCD是矩形，点E在AD上，AE＝AB，EC与BD相交于点F，且BD⊥EC．
（1）连接BE，求证：△AFD∽△BED；
（2）如图2，连接AF并延长交CD于点G，求∠DFG的度数；
（3）若AD＝1，求AB的长．
9．小明利用数学课所学知识测量学校门口路灯的高度．如图：AB为路灯主杆，AE为路灯的悬臂，CD是长为1.8米的标杆．已知路灯悬臂AE与地面BG平行，当标杆竖立于地面时，主杆顶端A、标杆顶端D和地面上一点G在同一直线上，此时小明发现路灯E、标杆顶端D和地面上另一点F也在同一条直线上（路灯主杆底端B、标杆底端C和地面上点F、点G在同一水平线上）．这时小明测得FG长1.5米，路灯的正下方H距离路灯主杆底端B的距离为3米．请根据以上信息求出路灯主杆AB的高度．
10．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝5，P是边BC上的任意一点（P与B、C不重合），作PE⊥AP，交CD于点E．
（1）判断△ABP与△PCE是否相似，并说明理由．
（2）连接BD，若PE∥BD，试求出此时BP的长．
11．在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E在BC上，且满足AE⊥BD；
（1）求证：AB2＝BC BE；
（2）若AO＝3，AE＝4，求AB的长．
12．如图，△ABC中，AD是高，矩形PQMN的顶点P、N分别在AB、AC上，QM在BC上，AD交PN于点E，BC＝48，AD＝16．
（1）若PN＝18，求DE的长；
（2）若矩形PQMN的周长为80，求矩形PQMN的面积．
13．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣2，1），B（﹣1，4），C（﹣3，3）．
（1）画出△ABC绕点B逆时针旋转90°得到的△A1BC1；
（2）以原点O为位似中心，位似比为2：1，在y轴的左侧，画出将△
ABC放大后的△A2B2C2，并写出点A2的坐标．
14．如图，正方形ABCD中，点F是BC边上一点，连接AF，以AF为对角线作正方形AEFG，边FG与正方形ABCD的对角线AC相交于点H，连接DG．
（1）填空：若∠BAF＝18°，则∠DAG＝　 　°；
（2）证明：△AFC∽△AGD；
（3）若＝，请求出的值．
15．如图，AB⊥BC，DC⊥BC，E是BC上一点，使得AE⊥DE；
（1）求证：△ABE∽△ECD；
（2）若AB＝4，AE＝BC＝5，求CD的长；
（3）当△AED∽△ECD时，请写出线段AD、AB、CD之间数量关系，并说明理由．
16．如图，在平面直角坐标系中，已知OA＝12厘米，OB＝6厘米，点P从点O开始沿OA边向点A以1厘米/秒的速度移动．点Q从点B开始沿BO边向点O以1厘米/秒的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（秒）表示移动的时间（0≤t≤6），那么，当t为何值时，△POQ与△AOB相似？
17．如图，在正方形ABCD中，BE平分∠DBC，交DC于点E，延长BC到点F，使CF＝CE，连接DF，交BE的延长线于点G．
（1）求证：△BCE≌△DCF；
（2）求证：BF＝BD；
（3）已知AB＝2，O是BD的中点，连接OG交CD于点M，求ME的长．
18．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，DE∥BC，点F在边AC上，DF与BE相交于点G，且∠EDF＝∠ABE．
求证：（1）△DEF∽△BDE；
（2）DG DF＝DB EF．
19．如图所示，AD、BC为两路灯，身高相同的小明、小亮站在两路灯杆之间，两人相距6.5m，小明站在P处，小亮站在Q处，小明在路灯BC下的影长为2m，已知小明身高1.8m，路灯BC高9m．小明在路灯BC下的影子顶部恰好位于路灯DA的正下方，小亮在路灯AD下的影子顶部恰好位于路灯BC的正下方．
①计算小亮在路灯AD下的影长；
②计算AD的高．
20．（1）某学校“智慧方园”数学社团遇到这样一个题目：
如图1，在△ABC中，点O在线段BC上，∠BAO＝30°，∠OAC＝75°，AO＝，BO：CO＝1：3，求AB的长．
经过社团成员讨论发现，过点B作BD∥AC，交AO的延长线于点D，通过构造△ABD就可以解决问题（如图2）．
请回答：∠ADB＝　 　°，AB＝　 　．
（2）请参考以上解决思路，解决问题：
如图3，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC⊥AD，AO＝，∠ABC＝∠ACB＝75°，BO：OD＝1：3，求DC的长．
参考答案
1．解：△ABC是直角三角形，理由是：
设＝＝＝k，
则a＝3k﹣4，b＝2k﹣3，c＝4k﹣8，
∵a+b+c＝12，
∴3k﹣4+2k﹣3+4k﹣8＝12，
∴k＝3，
∴a＝5，b＝3，c＝4，
∴b2+c2＝32+42＝25＝a2，
∴△ABC是直角三角形．
2．解：设△ABC和△DEF的周长分别是x厘米和y厘米．
∵，
∴＝＝①
由题意可得：y﹣x＝15 ②
由①式得x＝y③
将③式代入②式得：y﹣y＝15，
∴y＝45，
将y＝45代入③式得：x＝30，
答：△ABC和△DEF的周长分别是30厘米和45厘米．
3．解：∵b∥c，
∴，
∴OE＝EF＝，
∵a∥c，
∴，
∴DO＝OF＝×（+5）＝，
∴DE＝DO+OE＝+＝．
4．解：（1）∵FE∥CD，
∴＝，即＝，
解得，AC＝，
则CE＝AC﹣AE＝﹣4＝；
（2）∵DE∥BC，
∴＝＝，即＝，
解得，AB＝．
5．（1）证明：∵DE垂直平分BC，
∴BE＝CE，
∴∠C＝∠EBD，
∵AB＝AD，
∴∠FDB＝∠ABD，
∴△BFD∽△CAB；
（2）证明：∵DE垂直平分BC，
∴，
∵△BFD∽△CAB，
∴，
∴FD＝AB，
∵AB＝AD，
∴FD＝AD，
∴AF＝FD；
（3）解：如图，过点C作CH∥AD，交BE的延长线于点H，
∵DE垂直平分BC，
∴，
∵CH∥AD，
∴∠BDF＝∠BCH，∠BFD＝∠BHC，
∴△BDF∽△BCH，
∴，
∵AF＝FD，
∴，
∵AD∥HC，
∴∠FAE＝∠HCE，∠AFE＝∠CHE，
∴△AFE∽△CHE，
∴，
∴，
∵，
∴FH＝FB，
∴，
故答案为：．
6．解：设BE＝ym，由题意可知，
△ABD∽△FED，△ABC∽△HGC，
∴＝，＝，
∵EF＝HG＝2，
∴＝，
∴＝，
解得：y＝23（m），
则＝，即＝，
解得：AB＝25（m），
答：该古建筑的高度为25米．
7．解：（1）∵∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，
∴BC＝＝10，
∵∠BAC＝90°，AD⊥BC，
∴∠CAB＝∠ADB，
∵∠B＝∠B，
∴△CBA∽△ABD，
∴，
∴，
∴BD＝3.6；
（2）证明：由（1）知：BD：AD＝AB：AC①，
又∵E为AC的中点，AD⊥BC，
∴ED＝AE＝EC，
∴∠C＝∠EDC＝∠FAD＝∠BDF，
又∵∠F为公共角，
∴△DBF∽△ADF，
∴BD：AD＝DF：AF②，
由①②得，AB：AC＝DF：AF，
∴AB AF＝AC DF．
8．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，BD⊥EC，
∴∠DFE＝∠DAB＝90°，
∵∠FDE＝∠ADB，
∴△FDE∽△ADB，
∴＝，
∵∠EDB＝∠FDA，
∴△AFD∽△BED；
（2）解：连接BE，
∵△AFD∽△BED，
∴∠DFA＝∠DEB，
∴∠BEA＝∠BFA，
∵AE＝AB，∠DAB＝90°，
∴∠BEA＝45°，
∴∠BFA＝45°，
∴∠DFG＝∠BFA＝45°；
（3）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，∠CDE＝∠DAB＝90°，
∵BD⊥EC，
∴∠ADB＝∠DCE，
∴△CDE∽△DAB，
∴＝，
设AB的长为x，则DE＝1﹣x，
∴＝，
解得x1＝，x2＝（舍去），
∴AB的长为．
9．解：过点D作DM⊥AB于M，交EH于点N，
∵AE∥BG，AB⊥BG，
∴AE⊥AB，
∵DM⊥AB，
∴AE∥MD∥BG，
∴AM等于△ADE的边AE上的高，
∵AB⊥BG，EH⊥BG，CD⊥BG，
∴AB∥EH∥CD，
∴AE＝BH＝3米．BM＝CD＝1.8米，
∵AE∥BG，
∴△ADE∽△GDF，
∴，即，
∴AM＝3.6（米），
∴AB＝AM+BM＝5.4（米），
答：路灯主杆AB的高度为5.4米．
10．解：（1）△ABP与△PCE相似，理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠C＝90°，
∴∠BAP+∠BPA＝90°，
∵PE⊥AP，
∴∠CPE+∠BPA＝90°，
∴∠BAP＝∠CPE，
∴△ABP∽△PCE；
（2）连接BD，如图所示：
由（1）知△ABP∽△PCE，
∴＝，
∴＝，
∵PE∥BD，
∴＝，
∴＝，
∴＝，
∵在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝5，
∴CD＝AB＝3，CB＝AD＝5，
∴BP＝＝．
11．证明：如图所示：
（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OB＝OC，∠ABC＝90°，
∴∠OAB＝∠OBA，
又∵AE⊥BD，
∴∠AHB＝∠EHB＝90°，
又∵∠ABC＝∠ABH+CBH＝90°，
∠EBH+∠BEH＝90°，
∴∠BEA＝∠ABH，
∴∠CAB＝∠AEB，
∴△ABE∽△CBA（AA），
∴，
∴AB2＝BC BE；
（2）设AB＝2x，由BC＝3x，
由证明（1）得△ABE∽△CBA，
∴，
又∵AO＝3，AE＝4，
∴
∴在Rt△ABC中，由勾股定理得，
∴AB2+BC2＝AC2，
∴（2x）2+（3x）2＝62
解得：x＝，
∴AB＝．
12．解：（1）∵四边形PQMN是矩形，
∴PN∥BC，
∴△APN∽△ABC，
∴＝，
设DE＝x，则AE＝16﹣x，
∴＝，
解得x＝10，
即DE＝10；
（2）∵四边形PQMN是矩形，AD是高，
∴四边形PQDE为矩形，
∴DE＝PQ，
设DE＝PQ＝y，则PN＝＝40﹣y，
同理可得，
＝，
∴＝，
解得y＝4，PN＝36，
∴矩形PQMN的面积：4×36＝144．
13．解：（1）如图，△A1BC1为所作；
（2）如图，△A2B2C2为所作，点A2的坐标（﹣4，2）．
14．解：（1）∵四边形ABCD，AEFG是正方形，
∴∠BAC＝∠GAF＝45°，
∴∠BAF+∠FAC＝∠FAC+∠GAC＝45°，
∴∠HAG＝∠BAF＝18°，
∵∠DAG+∠GAH＝∠DAC＝45°，
∴∠DAG＝45°﹣18°＝27°，
故答案为：27．
（2）∵四边形ABCD，AEFG是正方形，
∴＝，＝，
∴＝，
∵∠DAG+∠GAC＝∠FAC+∠GAC＝45°，
∴∠DAG＝∠CAF，
∴△AFC∽△AGD；
（3）∵＝，
设BF＝k，CF＝2k，则AB＝BC＝3k，
∴AF＝＝＝k，AC＝AB＝3k，
∵四边形ABCD，AEFG是正方形，
∴∠AFH＝∠ACF，∠FAH＝∠CAF，
∴△AFH∽△ACF，
∴＝，
∴＝＝．
15．（1）证明：∵AB⊥BC，DC⊥BC，
∴∠B＝∠C＝90°，∠BAE+∠AEB＝90°，
∵AE⊥DE，
∴∠AED＝90°，
∴∠AEB+∠DEC＝90°，
∴∠DEC＝∠BAE，
∴△ABE∽△ECD；
（2）解：Rt△ABE中，∵AB＝4，AE＝5，
∴BE＝3，
∵BC＝5，
∴EC＝5﹣3＝2，
由（1）得：△ABE∽△ECD，
∴，
∴，
∴CD＝；
（3）解：线段AD、AB、CD之间数量关系：AD＝AB+CD；
理由是：过E作EF⊥AD于F，
∵△AED∽△ECD，
∴∠EAD＝∠DEC，
∵∠AED＝∠C，
∴∠ADE＝∠EDC，
∵DC⊥BC，
∴EF＝EC，
∵DE＝DE，
∴Rt△DFE≌Rt△DCE（HL），
∴DF＝DC，
同理可得：△ABE≌△AFE，
∴AF＝AB，
∴AD＝AF+DF＝AB+CD．
16．解：①若△POQ∽△AOB时，＝，即＝，
整理得：12﹣2t＝t，
解得：t＝4．
②若△POQ∽△BOA时，＝，即＝，
整理得：6﹣t＝2t，
解得：t＝2．
∵0≤t≤6，
∴t＝4和t＝2均符合题意，
∴当t＝4或t＝2时，△POQ与△AOB相似．
17．（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴BC＝DC，∠BCD＝90°，
在△BCE和△DCF中
，
∴△BCE≌△DCF（SAS）；
（2）∵△BCE≌△DCF，
∴∠CBE＝∠CDF，
∵∠CBF+∠CEB＝90°，
而∠CEB＝∠DEG，
∴∠CDF+∠DEG＝90°，
∴∠DGE＝90°，即BG⊥DF，
∵BE平分∠DBC，
∴△BDF为等腰三角形，
∴BD＝BF；
（3）∵AB＝2，
∴BD＝2，
∴BF＝2，
∵O是BD的中点，BG垂直平分DF，
∴OG为△DBF的中位线，OM为△DCF的中位线，
∴OG＝BF＝，OM＝BC＝1，
∴MG＝OG﹣OM＝﹣1，
∵MG∥BC，
∴△MGE∽△CBE，
∴MG：BC＝ME：EC，即（﹣1）：2＝ME：EC，
∴EC＝ME＝2（+1）ME，
∵MC＝ME+EC＝1，
∴ME+2（+1）ME＝1，
∴ME＝3﹣2．
18．证明：（1）∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB．
∵DE∥BC，
∴∠ABC+∠BDE＝180°，∠ACB+∠CED＝180°．
∴∠BDE＝∠CED．
∵∠EDF＝∠ABE，
∴△DEF∽△BDE．
（2）由△DEF∽△BDE，得．
∴DE2＝DB EF．
由△DEF∽△BDE，得∠BED＝∠DFE．
∵∠GDE＝∠EDF，
∴△GDE∽△EDF．
∴．
∴DE2＝DG DF．
∴DG DF＝DB EF．
19．解：①∵EP⊥AB，CB⊥AB，
∴∠EPA＝∠CBA＝90°
∵∠EAP＝∠CAB，
∴△EAP∽△CAB
∴
∴
∴AB＝10
BQ＝10﹣2﹣6.5＝1.5；
②∵FQ⊥AB，DA⊥AB，
∴∠FQB＝∠DAB＝90°
∵∠FBQ＝∠DBA，
∴△BFQ∽△BDA
∴＝
∴
∴DA＝12．
20．解：（1）∵BD∥AC，
∴∠ADB＝∠OAC＝75°．
∵∠BOD＝∠COA，
∴△BOD∽△COA，
∴＝＝．
又∵AO＝，
∴OD＝AO＝，
∴AD＝AO+OD＝4．
∵∠BAD＝30°，∠ADB＝75°，
∴∠ABD＝180°﹣∠BAD﹣∠ADB＝75°＝∠ADB，
∴AB＝AD＝4．
故答案为：75；4．
（2）过点B作BE∥AD交AC于点E，如图所示．
∵AC⊥AD，BE∥AD，
∴∠DAC＝∠BEA＝90°．
∵∠AOD＝∠EOB，
∴△AOD∽△EOB，
∴＝＝．
∵BO：OD＝1：3，
∴＝＝．
∵AO＝3，
∴EO＝，
∴AE＝4．
∵∠ABC＝∠ACB＝75°，
∴∠BAC＝30°，AB＝AC，
∴AB＝2BE．
在Rt△AEB中，BE2+AE2＝AB2，即（4）2+BE2＝（2BE）2，
解得：BE＝4，
∴AB＝AC＝8，AD＝12．
在Rt△CAD中，AC2+AD2＝CD2，即82+122＝CD2，
解得：CD＝4．