2021-2022学年上海市民办文琦中学八年级（下）期末数学试卷（Word版 含解析）

2021-2022学年上海市民办文琦中学八年级（下）期末数学试卷
题号 一 二 三 总分
得分
一、选择题（本大题共6小题，共18分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
下列四个方程中，有一个根是的方程是( )
A. B.
C. D.
已知：，那么下列等式中，不一定成立的是( )
A. B. C. D.
平行四边形的对角线、相交于点，设，，下列结论中正确的是( )
A. B.
C. D.
下列命题中：
有两个内角相等的梯形是等腰梯形；顺次连接矩形的各边中点所成四边形是菱形；
两条对角线相等的梯形是等腰梯形；对角线互相平分且相等的四边形是矩形．
其中真命题有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
如图，中，，，则下列各比例式中，正确的是( )
A.
B.
C.
D.
如图，已知，求作，则下列作图正确的是( )
A. B.
C. D.
二、填空题（本大题共12小题，共24分）
方程的根是______．
将直线沿轴向上平移个单位后，所得直线的解析式是______．
如果直线经过第一、二、四象限，且与轴的交点为，那么当时的取值范围是______．
用换元法解分式方程时，如果设，那么原方程化为关于的整式方程是______ ．
有一个质地均匀的正方体，其六个面上分别写着直角梯形、等腰梯形、矩形、正方形、菱形、平行四边形，投掷这个正方体后，向上的一面的图形是对角线相等的图形的概率是______．
若一个正多边形的内角是外角的倍，则这个正多边形的边数为 ．
如图，矩形的两条对角线相交于点，，，则的长是______．
已知点是线段的黄金分割点靠近，，则______．
在四边形中，点、分别在、上，，若：：，，，则______．
点是的重心，，，则______．
我们把边长是两条对角线长度的比例中项的菱形叫做“钻石菱形”，如果一个“钻石菱形”的边长是，那么这个菱形的面积是______．
如图，在中，，，，是的中线，将沿直线翻折，点是点的对应点，点是线段上的点，如果，那么______．
三、解答题（本大题共8小题，共58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
解方程：．
解方程组：．
如图，点在平行四边形的对角线的延长线上．
填空：______；______．
求作：不写作法，保留作图痕迹，写出结论．
如图，已知正方形的对角线、交于点，与边的延长线交于点．
求证：四边形是平行四边形；
延长至点，联结，若，求的大小．
如图，在中，点、点分别在、上，点是上的一点，联结并延长交于点，且．
求证：；
若，求证：．
某工程队承担了修建地铁两个站点间米的隧道工程任务，由于采用了新技术，现在每个月比原计划多掘进了米，因而比原计划提前个月完成任务．
求完成此项工程原计划每个月掘进多少米？
如果每天的施工费用为万元，那么该工程队现在完成此项工程共需多少万元？每个月按天算
在平面直角坐标系中，直线：与轴交于点；直线：与轴交，两直线交于轴上一点．
求这两条直线的解析式；
若以、、、为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标．
若点在直线上，且满足与的面积相等，求点的坐标．
梯形中，，，，，点是中点，过点作的垂线交射线于点，的角平分线交射线于点，交直线于点．
当点与点重合时，求的长；
若点在线段上，，，求关于的函数关系式，并写出函数定义域；
联结、，当是以为腰的等腰三角形时，求的长．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：当时，代入中方程，左边右边，所以是的解；
当时，中方程的分母为，所以不是的解；
当时，中的被开方数为负数，所以不是的解；
当时，中的被开方数为负数，所以不是的解；
故选：．
根据方程解的定义代入验证求解．
本题考查了分式方程和无理方程的解，利用解的定义代入检验是解题的关键．
2.【答案】
【解析】解：、，
，
故A不符合题意；
B、，
，
故B不符合题意；
C、，
，
故C符合题意；
D、，
，
故D不符合题意，
故选：．
根据比例的性质，进行计算即可解答．
本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．
3.【答案】
【解析】解：四边形是平行四边形，
．
，
，
，
，
．
故选：．
利用平行四边形的性质与三角形法则求出即可解决问题．
本题考查平行四边形的性质，平面向量，三角形法则等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
4.【答案】
【解析】分析
根据梯形、菱形和矩形的判定判断即可．
本题考查梯形、菱形和矩形的判定，掌握相关定理的内容是解题的关键．
详解
解：有两个内角相等的梯形不一定是等腰梯形，只有两个底角相等的梯形才是等腰梯形，故原命题是假命题；
顺次连接矩形的各边中点所成的四边形是菱形，是真命题；
两条对角线相等的梯形是等腰梯形，是真命题；
对角线互相平分且相等的四边形是矩形，是真命题．
故选C．
5.【答案】
【解析】解：，，
四边形是平行四边形，
，，
，
故A错误；
∽，
，
，且，
，
故B错误；
，，
∽，
，
，
故C错误；
∽，
，
，
故D正确，
故选：．
先由，证明四边形是平行四边形，则，，由平行线分线段成比例定理得，所以，可判断A错误；
由∽得，而，且，所以，可判断B错误；
由，，证明∽，则，可推导出，可判断C错误；
由∽，得，所以，可判断D正确．
此题重点考查平行四边形的判定与性质、平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定与性质等知识，正确地运用平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质定理列出相应的比例式是解题的关键．
6.【答案】
【解析】解：，
，
，
如图，需要在射线上依次截取，，在射线上截取，
连接，过作，交于，则
，即，
，
又，
，即即为所求．
故选：．
先在射线上依次截取，，在射线上截取，连接，过作，交于，则，即，再根据，即可得出结论．
本题主要考查了复杂作图和平行线分线段成比例定理的运用，解题时注意：平行于三角形一边的直线截其他两边或两边的延长线，所得的对应线段成比例．
7.【答案】
【解析】解：，
，
，
方程的根是，
故答案为．
方程的左边因式分解可得，由此即可解决问题．
本题考查高次方程的解，解题的关键是学会应用因式分解法解方程，把高次方程转化为一次方程，属于中考常考题型．
8.【答案】
【解析】解：将直线沿轴向上平移个单位后，所得直线的解析式是，即．
故答案为：．
直接根据“上加下减”的平移规律求解即可．
本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的规律是解答此题的关键．
9.【答案】
【解析】解：如图，当时，，
即当时的取值范围是．
故答案为：．
先根据一次函数的性质画出函数的大致图象，然后结合图象，写出一次函数图象在轴上方所对应的自变量的范围即可．
本题考查了一次函数与一元一次不等式：理解一次函数与一元一次不等式组之间的内在联系及数形结合思想．运用一次函数的性质是解决本题的关键．
10.【答案】
【解析】解：设，则，原方程可变为，
，
两边都乘以得，
，
故答案为：．
设，则，原方程可变为，再化成整式方程即可．
本题考查换元法解分式方程，理解换元法的意义是正确解答的关键．
11.【答案】
【解析】解：在直角梯形、等腰梯形、矩形、正方形、菱形、平行四边形这个四边形中，对角线相等的有等腰梯形、矩形、正方形这个，
投掷这个正方体后，向上的一面的图形是对角线相等的图形的概率是，
故答案为：．
由这个图形中对角线相等的有等腰梯形、矩形、正方形这个，根据概率公式计算可得．
本题主要考查概率公式的应用，解题的关键是掌握常见特殊四边形的性质及随机事件的概率事件可能出现的结果数所有可能出现的结果数．
12.【答案】
【解析】解：设正多边形的边数为，由题意得：
，
解得：，
故答案为：．
设正多边形的边数为，利用多边形的内角和公式和外角和定理即可解答．
本题考查多边形的内角和与外角和，熟记多边形的内角和公式及外角和为是解答的关键．
13.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了矩形的性质，等边三角形的性质和判定的应用，注意：矩形的对角线相等且互相平分，属于基础题．
首先证明是等边三角形，可以求得的长，然后利用勾股定理求得的长．
【解答】
解：四边形是矩形，
，，，
，
，，
，
是等边三角形，
，
，
则．
故答案是：．
14.【答案】
【解析】解：点是线段的黄金分割点靠近，，
，
故答案为：．
由黄金分割的定义即可求解．
此题考查了黄金分割的概念，熟记黄金比的值是解题的关键，注意：一条线段的黄金分割点有个．
15.【答案】
【解析】解：如图，过点作，交、分别于点、，
，
四边形为平行四边形，
，
∽，
：：，
：：，
：：，
：：，
，
，
．
过点作，交、分别于点、，则：：，：：，从而求得的长，最后得出答案
本题考查了相似三角形的判定和性质和平行线分线段成比例，是基础知识，要熟练掌握．
16.【答案】
【解析】解：如图，
点是的重心，
点是的中点，
，
，，
在中，，
．
，
在中，．
故答案为：．
先根据三角形的重心可得是的中点，再根据等腰三角形的性质即可求出长、，进而利用勾股定理可得长，即可得长，最后再一次利用勾股定理可得长．
本题主要考查三角形的重心、等腰三角形的性质、勾股定理，解题关键是熟知重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为：．
17.【答案】
【解析】解：对角线的乘积，
菱形的面积，
故答案为：．
根据比例中项的定义可求对角线的乘积．再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半求解．
本题主要考查比例线段、菱形的性质、菱形的面积公式，熟练掌握菱形性质和菱形的面积公式是关键．
18.【答案】
【解析】解：如图，是由翻折，
，，，
，
，
，
，，
，
，
，
，，
∽，
，
在中，，，
，
，
，
，
在中，．
故答案为：．
先证明，再证明∽，得到，利用面积法求出，再利用勾股定理求出即可．
本题考查翻折变换、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是利用翻折不变性解决问题，学会利用相似三角形证明直角，属于中考常考题型．
19.【答案】解：移项得：，
两边都平方得：，
移项合并同类项得：，
，
两边再平方得：，
，
检验：当时，左边右边，
所以是原方程的解，
【解析】通过方程两边分别平方，把无理方程转化为有理方程，再求解．
本题考查了解无理方程，两边平方转化为有理方程是解题的关键．
20.【答案】解：由得：，
把代入中得：，
解得：，，
当时，，
当时，，
方程组的解为：，．
【解析】由得：，把代入中可得的值，代入中可求出解．
本题考查了解二元二次方程组，降次消元是解本题的关键．
21.【答案】
【解析】解：四边形是平行四边形，
，，，，
，
，
故答案为：，；
如图，即为所求．
利用平行四边形的性质，三角形法则求解即可；
延长到，使得，连接，即为所求．
本题考查作图复杂作图，平行四边形的性质，平面向量等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
22.【答案】证明：四边形是正方形，
，，
，
，
，
四边形是平行四边形；
解：连接，
四边形是正方形，
，，
即，
，
中，，
，
．
【解析】利用正方形的性质得出，，再利用平行线的判定与性质结合平行四边形的判定方法得出答案；
利用正方形的性质结合直角三角形的性质得出，即可得出答案．
此题主要考查了正方形的性质以及平行四边形的判定和直角三角形的性质，正确应用正方形的性质是解题关键．
23.【答案】证明：，，
∽，
，
．
证明：，，
∽，
，
，
由得，
，
，
，
∽，
，
，
．
【解析】由，，证明∽，得，所以．
先由，，证明∽，得，所以，则，变形为，再由，证明∽，则，即可证明．
此题考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是根据相似三角形的对应边成比例列出相应的比例式，再经过适当的变形使所得的比例式符合“两边成比例且夹角相等”的形式．
24.【答案】解：设完成此项工程原计划每个月掘进米，则现在每个月掘进米．
根据题意，得：，
整理，得：．
解得：，．
经检验：，都是原方程的解，但不符合题意，舍去．
答：完成此项工程原计划每个月掘进米．
万元．
答：该工程队现在完成此项工程共需万元．
【解析】设完成此项工程原计划每个月掘进米，则现在每个月掘进米．由题意：现在每个月比原计划多掘进了米，因而比原计划提前个月完成任务．列出分式方程，解方程即可；
由每天的施工费用天数，列式计算即可．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
25.【答案】解：把代入得：
，
解得，
直线：，
在中，令得，
，
把，代入得：
，
解得，
直线：；
设，又，，，
若，为对角线，则，的中点重合，
，
解得，
；
若，为对角线，同理可得：
，
解得，
；
若，为对角线，可得：
，
解得，
，
综上所述，的坐标是或或；
设直线交于，如图：
设，
，
在中，令得，
，
，
，
与的面积相等，
，
当时，，
解得舍去，
当时，，
解得，
，
当时，
，
解得，
，
综上所述，点的坐标为或
【解析】把代入可得直线：，把，代入可得直线：；
设，又，，，分三种情况：若，为对角线，则，的中点重合，，解得；若，为对角线，，解得；若，为对角线，，解得；
设直线交于，设，可得，，根据与的面积相等，有，即可解得点的坐标为或
本题考查一次函数的综合应用，涉及待定系数法，平行四边形的性质及应用，三角形面积等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点的坐标和相关线段的长度．
26.【答案】解：如图，连接，过作交于，
，平分，
，
，
，
，
在中，；
如图，连接，过点作交于，
是的垂直平分线，
，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，
；
如图，当在线段上时，
当时，
是的垂直平分线，
，
，
，
平分，
，
≌，
，，
，
过作交于，
在中，，
；
当时，，
设，
，
，
，
，
，
，，
≌，
，
，
，，
在中，，
；
当点在射线上时，此时，
，
，
，
≌，
，
过作交延长线于，
在中，，
，
；
综上所述：的长为或或．
【解析】连接，过作交于，在中，，，由勾股定理可得；
连接，过点作交于，在中，，，由勾股定理可得，整理得；
分两种情况讨论：当在线段上时，当时，可证≌，过作交于，在中，，即可求；当时，，设，可证≌，在中，，可求；当点在射线上时，此时，可证≌，过作交延长线于，在中，，可求．
本题考查四边形的综合应用，熟练掌握直角三角的性质，梯形的性质，角平分线的性质，三角形全等的判定及性质，直角三角形勾股定理，分类讨论，数形结合是解题的关键．
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