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吉林省通化市部分重点中学校2021-2022学年高二下学期数学期末考试试卷
一、单选题
1．（2021·新高考Ⅱ卷）设集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】子集与交集、并集运算的转换
【解析】【解答】解：由题设可得，故.
故答案为：B
【分析】根据交集、补集的定义求解即可.
2．（2021高二下·东莞期中）由0，1，2，3，4，5这六个数字组成没有重复数字的三位偶数共有（ ）个.
A．20 B．32 C．40 D．52
【答案】D
【知识点】排列、组合及简单计数问题
【解析】【解答】按偶数字在个位分类：
个位是2或者4时，0不能在百位，十位在余下4个数字中选择，所以有2×4×4=32，
个位是0时，百位、十位没有限制在余下5个数字中选择2个，所以有5×4=20，
共有32+20=52．
故答案为：D．
【分析】 根据题意，按三位数的个位数字不同分2种情况讨论，由加法原理计算可得答案.
3．已知，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】条件概率与独立事件
【解析】【解答】因为，，
所以，
故答案为：B
【分析】由可求出答案.
4．命题p：，，则是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】因为命题：，，所以为：，.
故答案为：C.
【分析】根据全称命题的否定是特称命题可得答案.
5．甲、乙、丙、丁四位同学在建立变量x，y的回归模型时，分别选择了4种不同模型，计算可得它们的决定系数分别如下表：
甲 乙 丙 丁
0.98 0.78 0.50 0.85
故（ ）同学建立的回归模型拟合效果最好．
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】A
【知识点】回归分析的初步应用
【解析】【解答】决定系数越接近于1，表示回归模型的拟合效果越好．
由，可知甲同学建立的回归模型拟合效果最好.
故答案为：A．
【分析】 相关系数的绝对值越接近于1，越具有强大相关性，根据相关系数的大小即可得答案.
6．设随机变量X～B(40，p)，且E(X)＝16，则p等于（ ）
A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4
【答案】D
【知识点】离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】按照二项分布的期望公式，有.
【分析】由二项分布的期望公式可求出答案.
7．（2020高二上·高州期末）“ ”的一个必要不充分条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；一元二次不等式的解法
【解析】【解答】由 ，得 ，所以其解集为 ，
因为“ ”的一个必要不充分条件，就是要求出一个集合，使 为其真子集， 是 真子集，
故答案为：B
【分析】首先由一元二次不等式的解法求解诶出不等式的解集，然后由必要不充分条件的定义结合不等式即可得出答案。
8．已知随机变量，若，则等于（ ）
A．0.05 B．0.1 C．0.15 D．0.2
【答案】B
【知识点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义
【解析】【解答】由题知此正态分布曲线的对称轴是直线，
由正态分布的图象的对称性可知，.
故答案为：B
【分析】 根据已知条件，结合正态分布的对称性，即可求解出答案.
9．下列说法正确的个数是（ ）
(1)在做回归分析时，残差图中残差点分布的带状区域的宽度越窄表示回归效果越差(2)某地气象局预报：6月9日本地降水概率为90%，结果这天没下雨，这表明天气预报并不科学(3)回归分析模型中，残差平方和越小，说明模型的拟合效果越好(4)在回归直线方程，当解释变量每增加1个单位时，预报变量多增加0.1个单位
A．2 B．3 C．4 D．1
【答案】A
【知识点】回归分析的初步应用
【解析】【解答】解：对(1)，在做回归分析时，残差图中残差点分布的带状区域的宽度越窄表示回归效果越好，故错误；
对(2)，概率只说明事件发生的可能性，某次事件不一定发生，所以并不能说明天气预报不科学，故错误；
对(3)，在回归分析模型中，残差平方和越小，说明模型的拟合效果越好，故正确；
对(4)，在回归直线方程，当解释变量每增加1个单位时，预报变量增加0.1个单位，故正确.
故答案为：A.
【分析】由残差图与模拟效果的关系判断A；由大概率事件也不一定发生判断B；由回归分析模型的性质以及回归方程的含义判断C与D.
10．已知集合， .且，则实数m的取值范围为 （ ）
A．[-1，2) B．[-1，3] C．[-2，+∞ D．[-1，+∞
【答案】D
【知识点】子集与交集、并集运算的转换
【解析】【解答】由，得.
即.
由，即.
当时，满足条件，则解得.
当时，要使得，则.
解得：.
综上满足条件的 的范围是：.
故答案为：D.
【分析】先求出集合A，由，即，再分和两种情况进行求解，可求出 实数m的取值范围 .
二、填空题
11．世卫组织就新型冠状病毒感染的肺炎疫情称，新型病毒可能造成“持续人传人”.通俗点说就是存在A传B，B又传C，C又传D，这就是“持续人传人”.那么A、B、C就会被称为第一代、第二代、第三代传播者.假设一个身体健康的人被被第一代、第二代、第三代传播者感染的概率分别为0.95，0.9，0.85，健康的小明参加了一次多人宴会，事后知道，参加宴会的人有5名第一代传播者，3名第二代传播者，2名第三代传播者，试计算，小明参加聚会，仅和感染的10个人其中一个接触，感染的概率有多大 .
【答案】0.915
【知识点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】设事件A，B，C为和第一代、第二代、第三代传播者接触，事件D为小明被感染，则由已知得：p(A)=0.5，p(B)=0.3，p(C)=0.2，p(D|A)=0.95，p(D|B)=0.90，p(D|C)=0.85，从而，小明被感染的概率由概率公式可得：
p(D)=p(D|A)p(A)+p(D|B)p(B)+p(D|C)p(C)=0.95×0.5+0.90×0.3+0.85×0.2
=0.915
故答案为：0.915
【分析】 设事件A，B，C为和第一代、第二代、第三代传播者接触，事件D为小明被感染，则有P(D)= P(D|A)P(A)+ P(D|B)P(B)+ P(D|C)P(C)，由此计算可得答案.
12．若，则实数的取值集合是 ．
【答案】{-1}
【知识点】集合的确定性、互异性、无序性
【解析】【解答】若，解得，此时集合中的元素为，不符合元素的互异性，当，解得，此时集合中的元素为，符合题意，当，解得，不符合题意，综上所述，，故填.
【分析】由已知条件可得或或，结合集合元素的互异性，分类讨论，可得实数的取值集合.
13．（2020高二下·栖霞月考）将5位志愿者分成3组，其中两组各2人，另一组1人，分赴世博会的三个不同场馆服务，不同的分配方案有 种（用数字作答）；
【答案】90
【知识点】排列、组合及简单计数问题
【解析】【解答】先选三个不同场馆中只去一名志愿者，共有 种选法；
剩下的两个场馆只需各取两名志愿者，共有 种选法，
由乘法原理得分配方案有 种，
故答案为：90.
【分析】利用已知条件结合乘法计数原理，再利用组合数公式，从而求出不同的分配方案的种数。
14．已知多项式满足，则 ．
【答案】5
【知识点】二项式系数的性质
【解析】【解答】解：令，得，解得.
令，得，
所以.
故答案为：5.
【分析】利用赋值法进行计算可求出答案.
三、解答题
15．国家二孩政策放开后，某市政府主管部门理论预测2018年到2022年全市人口总数与年份的关系有如表所示：
年份2018+x（年） 0 1 2 3 4
人口数（十万） 5 7 8 11 19
【附】参考公式：.
（1）请根据表中提供的数据，求出关于的线性回归方程；
（2）据此，估计2023年该市人口总数.
【答案】（1）解：由题可知，，
，
，
，
所以线性回归方程为：
（2）解：当时，
据此估计2023年该市人口总数约为196万.
【知识点】线性回归方程
【解析】【分析】(1)根据表中的数据，运用最小二乘法 ， 求出样本中心，然后求解 关于的线性回归方程；
(2)把x=5代入回归直线方程，即可求得 2023年该市人口总数.
16．甲、乙两位篮球运动员进行定点投篮，甲投篮一次命中的概率为，乙投篮一次命中的概率为.每人各投4个球，两人投篮命中的概率互不影响.
（1）求甲至多命中1个球且乙至少命中1个球的概率；
（2）若规定每投篮一次命中得3分，未命中得－1分，求乙所得分数η的分布列.
【答案】（1）解：设“甲至多命中1个球”为事件A，“乙至少命中1个球”为事件B，由题意得，P(A)＝()4＋C ()1()3＝＋＝，P(B)＝1－(1－)4＝1－＝，
∴甲至多命中1个球且乙至少命中1个球的概率为
P(AB)＝P(A)P(B)＝×＝.
（2）解：乙所得分数为，可能的取值-4，0，4，8，12，
，
分布列如下：
η＝k －4 0 4 8 12
P(η＝k)
【知识点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量及其分布列
【解析】【分析】（1）利用相互独立事件的概率乘法公式计算可得甲至多命中1个球且乙至少命中1个球的概率；
（2）乙所得分数为，可能的取值-4，0，4，8，12， 求出对应的概率，得到乙所得分数η的分布列.
17．已知二项式展开式中，前三项的二项式系数和是56．求：
（1）求的值；
（2）展开式中的常数项．
【答案】（1）解：因为前三项的二项式系数和是56，
所以，即，
整理可得：，解得：，
（2）解：展开式的通项为，
令可得：，
所以展开式中常数项为.
【知识点】二项式定理；二项式系数的性质
【解析】【分析】 (1)求出前三项的二项式系数和，建立方程即可求出 的值；
(2)求出展开式的通项公式，令x的指数为0，由此即可求解出展开式中的常数项．
18．为了调查某社区居民每天参加健身的时间，某机构在该社区随机采访男性、女性各50名，其中每人每天的健身时间不少于1小时称为“健身族”，否则称其为“非健身族”，调查结果如下：
健身族 非健身族 合计
男性 40 10 50
女性 30 20 50
合计 70 30 100
参考公式：，其中
参考数据：
0.50 0.40 0.25 0.05 0.025 0.010
0.455 0.708 1.321 3.841 5.024 6.635
（1）若居民每人每天的平均健身时间不低于70分钟，则称该社区为“健身社区”.已知被随机采访的男性健身族，男性非健身族，女性健身族，女性非健身族每人每天的平均健身时间分别是1.2小时，0.8小时，1.5小时，0.7小时，试估计该社区可否称为“健身社区”？
（2）根据以上数据．试根据小概率值的独立性检验，分析“健身族”与“性别”是否有关．
【答案】（1）解：随机抽样的100名居民每人每天的平均健身时间为
小时，
由此估计该小区居民每人每天的平均健身时间为1.15小时．
因为1.15小时＜小时＝70分钟，所以该社区不可称为“健身社区”．
（2）解：零假设为：
“健身族”与“性别”相互独立，即“健身族”与“性别”无关，
由联立表可得
根据小概率值的独立性检验，有充分证据推断不成立，因此可以认为“健身族”与“性别”有关．
【知识点】独立性检验的基本思想
【解析】【分析】 (1)由已知求出随机抽样的100名居民每人每天的平均健身时间得结论；
(2)直接求得 的值，结合临界值表得结论.
19．某大学志愿者协会有10名同学，成员构成如下表，表中部分数据不清楚，只知道从这10名同学中随机抽取1名同学，该名同学的专业为数学的概率为.
专业 性别 中文 英语 数学 体育
男 1 1
女 1 1 1 1
现从这10名同学中随机选取3名同学参加社会公益活动（每名同学被选到的可能性相同）.
（1）求，的值；
（2）求选出的3名同学恰为专业互不相同的男生的概率；
（3）设为选出的3名同学中是女生或专业为数学的人数，求随机变量的分布列、均值及方差.
【答案】（1）解：设事件为“从10名同学中随机抽取1名同学，该名同学的专业为数学”.
由题意，可知数学专业的同学共有名，则，解得.
因为，所以.
（2）解：设事件为“选出的3名同学恰为专业互不相同的男生”，则.
（3）解：由题意，可知这10名同学中是女生或专业为数学的人数为7，的可能取值为0，1，2，3.
，，
，.
所以的分布列为
0 1 2 3
数学期望.
方差.
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】(1) 设事件为“从10名同学中随机抽取1名同学，该名同学的专业为数学”，由题意可得 ，求出m，再由 求出 的值；
(2)利用排列组合求出所有基本事件个数及选出的3名同学是来自互不相同学院的基本事件个数，代入古典概型概率公式求出选出的3名同学恰为专业互不相同的男生的概率；
(3) 的可能取值为0，1，2，3，分别求出对应的概率，即可求出随机变量的分布列，进而求出均值及方差.
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吉林省通化市部分重点中学校2021-2022学年高二下学期数学期末考试试卷
一、单选题
1．（2021·新高考Ⅱ卷）设集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．（2021高二下·东莞期中）由0，1，2，3，4，5这六个数字组成没有重复数字的三位偶数共有（ ）个.
A．20 B．32 C．40 D．52
3．已知，，则等于（ ）
A． B． C． D．
4．命题p：，，则是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
5．甲、乙、丙、丁四位同学在建立变量x，y的回归模型时，分别选择了4种不同模型，计算可得它们的决定系数分别如下表：
甲 乙 丙 丁
0.98 0.78 0.50 0.85
故（ ）同学建立的回归模型拟合效果最好．
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
6．设随机变量X～B(40，p)，且E(X)＝16，则p等于（ ）
A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4
7．（2020高二上·高州期末）“ ”的一个必要不充分条件是（ ）
A． B． C． D．
8．已知随机变量，若，则等于（ ）
A．0.05 B．0.1 C．0.15 D．0.2
9．下列说法正确的个数是（ ）
(1)在做回归分析时，残差图中残差点分布的带状区域的宽度越窄表示回归效果越差(2)某地气象局预报：6月9日本地降水概率为90%，结果这天没下雨，这表明天气预报并不科学(3)回归分析模型中，残差平方和越小，说明模型的拟合效果越好(4)在回归直线方程，当解释变量每增加1个单位时，预报变量多增加0.1个单位
A．2 B．3 C．4 D．1
10．已知集合， .且，则实数m的取值范围为 （ ）
A．[-1，2) B．[-1，3] C．[-2，+∞ D．[-1，+∞
二、填空题
11．世卫组织就新型冠状病毒感染的肺炎疫情称，新型病毒可能造成“持续人传人”.通俗点说就是存在A传B，B又传C，C又传D，这就是“持续人传人”.那么A、B、C就会被称为第一代、第二代、第三代传播者.假设一个身体健康的人被被第一代、第二代、第三代传播者感染的概率分别为0.95，0.9，0.85，健康的小明参加了一次多人宴会，事后知道，参加宴会的人有5名第一代传播者，3名第二代传播者，2名第三代传播者，试计算，小明参加聚会，仅和感染的10个人其中一个接触，感染的概率有多大 .
12．若，则实数的取值集合是 ．
13．（2020高二下·栖霞月考）将5位志愿者分成3组，其中两组各2人，另一组1人，分赴世博会的三个不同场馆服务，不同的分配方案有 种（用数字作答）；
14．已知多项式满足，则 ．
三、解答题
15．国家二孩政策放开后，某市政府主管部门理论预测2018年到2022年全市人口总数与年份的关系有如表所示：
年份2018+x（年） 0 1 2 3 4
人口数（十万） 5 7 8 11 19
【附】参考公式：.
（1）请根据表中提供的数据，求出关于的线性回归方程；
（2）据此，估计2023年该市人口总数.
16．甲、乙两位篮球运动员进行定点投篮，甲投篮一次命中的概率为，乙投篮一次命中的概率为.每人各投4个球，两人投篮命中的概率互不影响.
（1）求甲至多命中1个球且乙至少命中1个球的概率；
（2）若规定每投篮一次命中得3分，未命中得－1分，求乙所得分数η的分布列.
17．已知二项式展开式中，前三项的二项式系数和是56．求：
（1）求的值；
（2）展开式中的常数项．
18．为了调查某社区居民每天参加健身的时间，某机构在该社区随机采访男性、女性各50名，其中每人每天的健身时间不少于1小时称为“健身族”，否则称其为“非健身族”，调查结果如下：
健身族 非健身族 合计
男性 40 10 50
女性 30 20 50
合计 70 30 100
参考公式：，其中
参考数据：
0.50 0.40 0.25 0.05 0.025 0.010
0.455 0.708 1.321 3.841 5.024 6.635
（1）若居民每人每天的平均健身时间不低于70分钟，则称该社区为“健身社区”.已知被随机采访的男性健身族，男性非健身族，女性健身族，女性非健身族每人每天的平均健身时间分别是1.2小时，0.8小时，1.5小时，0.7小时，试估计该社区可否称为“健身社区”？
（2）根据以上数据．试根据小概率值的独立性检验，分析“健身族”与“性别”是否有关．
19．某大学志愿者协会有10名同学，成员构成如下表，表中部分数据不清楚，只知道从这10名同学中随机抽取1名同学，该名同学的专业为数学的概率为.
专业 性别 中文 英语 数学 体育
男 1 1
女 1 1 1 1
现从这10名同学中随机选取3名同学参加社会公益活动（每名同学被选到的可能性相同）.
（1）求，的值；
（2）求选出的3名同学恰为专业互不相同的男生的概率；
（3）设为选出的3名同学中是女生或专业为数学的人数，求随机变量的分布列、均值及方差.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】子集与交集、并集运算的转换
【解析】【解答】解：由题设可得，故.
故答案为：B
【分析】根据交集、补集的定义求解即可.
2．【答案】D
【知识点】排列、组合及简单计数问题
【解析】【解答】按偶数字在个位分类：
个位是2或者4时，0不能在百位，十位在余下4个数字中选择，所以有2×4×4=32，
个位是0时，百位、十位没有限制在余下5个数字中选择2个，所以有5×4=20，
共有32+20=52．
故答案为：D．
【分析】 根据题意，按三位数的个位数字不同分2种情况讨论，由加法原理计算可得答案.
3．【答案】B
【知识点】条件概率与独立事件
【解析】【解答】因为，，
所以，
故答案为：B
【分析】由可求出答案.
4．【答案】C
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】因为命题：，，所以为：，.
故答案为：C.
【分析】根据全称命题的否定是特称命题可得答案.
5．【答案】A
【知识点】回归分析的初步应用
【解析】【解答】决定系数越接近于1，表示回归模型的拟合效果越好．
由，可知甲同学建立的回归模型拟合效果最好.
故答案为：A．
【分析】 相关系数的绝对值越接近于1，越具有强大相关性，根据相关系数的大小即可得答案.
6．【答案】D
【知识点】离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】按照二项分布的期望公式，有.
【分析】由二项分布的期望公式可求出答案.
7．【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；一元二次不等式的解法
【解析】【解答】由 ，得 ，所以其解集为 ，
因为“ ”的一个必要不充分条件，就是要求出一个集合，使 为其真子集， 是 真子集，
故答案为：B
【分析】首先由一元二次不等式的解法求解诶出不等式的解集，然后由必要不充分条件的定义结合不等式即可得出答案。
8．【答案】B
【知识点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义
【解析】【解答】由题知此正态分布曲线的对称轴是直线，
由正态分布的图象的对称性可知，.
故答案为：B
【分析】 根据已知条件，结合正态分布的对称性，即可求解出答案.
9．【答案】A
【知识点】回归分析的初步应用
【解析】【解答】解：对(1)，在做回归分析时，残差图中残差点分布的带状区域的宽度越窄表示回归效果越好，故错误；
对(2)，概率只说明事件发生的可能性，某次事件不一定发生，所以并不能说明天气预报不科学，故错误；
对(3)，在回归分析模型中，残差平方和越小，说明模型的拟合效果越好，故正确；
对(4)，在回归直线方程，当解释变量每增加1个单位时，预报变量增加0.1个单位，故正确.
故答案为：A.
【分析】由残差图与模拟效果的关系判断A；由大概率事件也不一定发生判断B；由回归分析模型的性质以及回归方程的含义判断C与D.
10．【答案】D
【知识点】子集与交集、并集运算的转换
【解析】【解答】由，得.
即.
由，即.
当时，满足条件，则解得.
当时，要使得，则.
解得：.
综上满足条件的 的范围是：.
故答案为：D.
【分析】先求出集合A，由，即，再分和两种情况进行求解，可求出 实数m的取值范围 .
11．【答案】0.915
【知识点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】设事件A，B，C为和第一代、第二代、第三代传播者接触，事件D为小明被感染，则由已知得：p(A)=0.5，p(B)=0.3，p(C)=0.2，p(D|A)=0.95，p(D|B)=0.90，p(D|C)=0.85，从而，小明被感染的概率由概率公式可得：
p(D)=p(D|A)p(A)+p(D|B)p(B)+p(D|C)p(C)=0.95×0.5+0.90×0.3+0.85×0.2
=0.915
故答案为：0.915
【分析】 设事件A，B，C为和第一代、第二代、第三代传播者接触，事件D为小明被感染，则有P(D)= P(D|A)P(A)+ P(D|B)P(B)+ P(D|C)P(C)，由此计算可得答案.
12．【答案】{-1}
【知识点】集合的确定性、互异性、无序性
【解析】【解答】若，解得，此时集合中的元素为，不符合元素的互异性，当，解得，此时集合中的元素为，符合题意，当，解得，不符合题意，综上所述，，故填.
【分析】由已知条件可得或或，结合集合元素的互异性，分类讨论，可得实数的取值集合.
13．【答案】90
【知识点】排列、组合及简单计数问题
【解析】【解答】先选三个不同场馆中只去一名志愿者，共有 种选法；
剩下的两个场馆只需各取两名志愿者，共有 种选法，
由乘法原理得分配方案有 种，
故答案为：90.
【分析】利用已知条件结合乘法计数原理，再利用组合数公式，从而求出不同的分配方案的种数。
14．【答案】5
【知识点】二项式系数的性质
【解析】【解答】解：令，得，解得.
令，得，
所以.
故答案为：5.
【分析】利用赋值法进行计算可求出答案.
15．【答案】（1）解：由题可知，，
，
，
，
所以线性回归方程为：
（2）解：当时，
据此估计2023年该市人口总数约为196万.
【知识点】线性回归方程
【解析】【分析】(1)根据表中的数据，运用最小二乘法 ， 求出样本中心，然后求解 关于的线性回归方程；
(2)把x=5代入回归直线方程，即可求得 2023年该市人口总数.
16．【答案】（1）解：设“甲至多命中1个球”为事件A，“乙至少命中1个球”为事件B，由题意得，P(A)＝()4＋C ()1()3＝＋＝，P(B)＝1－(1－)4＝1－＝，
∴甲至多命中1个球且乙至少命中1个球的概率为
P(AB)＝P(A)P(B)＝×＝.
（2）解：乙所得分数为，可能的取值-4，0，4，8，12，
，
分布列如下：
η＝k －4 0 4 8 12
P(η＝k)
【知识点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量及其分布列
【解析】【分析】（1）利用相互独立事件的概率乘法公式计算可得甲至多命中1个球且乙至少命中1个球的概率；
（2）乙所得分数为，可能的取值-4，0，4，8，12， 求出对应的概率，得到乙所得分数η的分布列.
17．【答案】（1）解：因为前三项的二项式系数和是56，
所以，即，
整理可得：，解得：，
（2）解：展开式的通项为，
令可得：，
所以展开式中常数项为.
【知识点】二项式定理；二项式系数的性质
【解析】【分析】 (1)求出前三项的二项式系数和，建立方程即可求出 的值；
(2)求出展开式的通项公式，令x的指数为0，由此即可求解出展开式中的常数项．
18．【答案】（1）解：随机抽样的100名居民每人每天的平均健身时间为
小时，
由此估计该小区居民每人每天的平均健身时间为1.15小时．
因为1.15小时＜小时＝70分钟，所以该社区不可称为“健身社区”．
（2）解：零假设为：
“健身族”与“性别”相互独立，即“健身族”与“性别”无关，
由联立表可得
根据小概率值的独立性检验，有充分证据推断不成立，因此可以认为“健身族”与“性别”有关．
【知识点】独立性检验的基本思想
【解析】【分析】 (1)由已知求出随机抽样的100名居民每人每天的平均健身时间得结论；
(2)直接求得 的值，结合临界值表得结论.
19．【答案】（1）解：设事件为“从10名同学中随机抽取1名同学，该名同学的专业为数学”.
由题意，可知数学专业的同学共有名，则，解得.
因为，所以.
（2）解：设事件为“选出的3名同学恰为专业互不相同的男生”，则.
（3）解：由题意，可知这10名同学中是女生或专业为数学的人数为7，的可能取值为0，1，2，3.
，，
，.
所以的分布列为
0 1 2 3
数学期望.
方差.
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】(1) 设事件为“从10名同学中随机抽取1名同学，该名同学的专业为数学”，由题意可得 ，求出m，再由 求出 的值；
(2)利用排列组合求出所有基本事件个数及选出的3名同学是来自互不相同学院的基本事件个数，代入古典概型概率公式求出选出的3名同学恰为专业互不相同的男生的概率；
(3) 的可能取值为0，1，2，3，分别求出对应的概率，即可求出随机变量的分布列，进而求出均值及方差.
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