江苏省常州市2021-2022学年高二下学期数学期末考试试卷

江苏省常州市2021-2022学年高二下学期数学期末考试试卷
一、单选题
1．（2022高二下·常州期末）甲、乙、丙3名数学竞赛获奖同学邀请2名指导教师站在一排合影留念，若2名教师不相邻，且教师不站在两端，则不同的站法种数是（　　）
A．6 B．12 C．24 D．48
2．（2022高二下·常州期末）疫情期间，学校进行网上授课，某中学参加网课的100名同学每天的学习时间（小时）服从正态分布，则这些同学中每天学习时间超过10小时的人数估计为（　　）
附：随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ－σ＜ξ＜μ＋σ）＝0.6826，P（μ－2σ＜ξ＜μ＋2σ）＝0.9544，P（μ－3σ＜ξ＜μ＋3σ）＝0.9974．
A．14 B．16 C．30 D．32
3．（2022高二下·常州期末）现有4名医生分别到A，B，C三所医院支援抗疫，每名医生有且只能去一所医院且每所医院至少去一名医生，则甲、乙两医生恰好到同一医院支援的概率为（　　）
A． B． C． D．
4．（2020高三上·镇江期中）已知二面角 ，其中平面的一个法向量 ，平面 的一个法向量 ，则二面角 的大小可能为（　　）
A．60° B．120° C．60°或120° D．30°
5．（2022高二下·常州期末）我国中医药选出的“三药三方”对治疗新冠肺炎均有显著效果，功不可没，“三药”分别为金花清感颗粒、连花清瘟胶囊、血必清注射液；“三方”分别为清肺排毒汤、化败毒方、宣肺败毒方.若某医生从“三药三方”中随机选出两种，事件表示选出的两种中有一药，事件表示选出的两种中有一方，则（　　）
A． B． C． D．
6．（2018·民乐模拟） 的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为（　　）
A．-40 B．-20 C．20 D．40
7．（2021高二上·沈阳期中）如图，在棱长为2的正方体ABCD A1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在线段D1E上，点P到直线CC1的距离的最小值为（　　）
A． B． C． D．
8．（2022高二下·常州期末）数列{an}满足a1＝1，，若，b1＝－λ，且数列{bn}满足bn＋1＞bn（n∈N*），则实数λ的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2022高二下·常州期末）北京冬奥会成功举办后，大众对冰雪运动关注度不断上升，为研究市民对冰雪运动的喜好是否和性别有关，某校学生社团对市民进行了一次抽样调查，得到列联表如下：
冰雪运动的喜好 性别 合计
男性 女性
喜欢 140 m 140＋m
不喜欢 n 80 80＋n
合计 140＋n 80＋m 220＋m＋n
若男性喜欢冰雪运动的人数占男性人数，女性喜欢冰雪运动的人数占女性人数，则（　　）
A．列联表中n的值为60，m的值为120
B．随机对一位路人进行调查，有95%的可能性对方喜欢冰雪运动
C．有95%的把握认为市民对冰雪运动的喜好和性别有关
D．没有99%的把握认为市民对冰雪运动的喜好和性别有关
10．（2022高二下·常州期末）已知Sn是等差数列{an}的前n项和，且S5＜S6，S6＝S7，S7＞S8，则（　　）
A．S5＜S9 B．该数列的公差d＜0
C．a7＝0 D．S11＜0
11．（2022高二下·常州期末）盒子里有形状大小都相同的4个球，其中2个红球、2个白球，从中先后不放回地任取2个球，每次取1个．设“两个球颜色相同”为事件A，“两个球颜色不同”为事件B，“第1次取出的是红球”为事件C，“第2次取出的是红球”为事件D．则（　　）
A．A与B互为对立事件 B．A与C相互独立
C．C与D互斥 D．B与C相互独立
12．（2022高二下·常州期末）已知正四棱锥P－ABCD的棱长均为1，O为底面ABCD的中心，M，N分别是棱PA，PB的中点，则（　　）
A．PA⊥OM
B．直线AP与平面OMN所成的角的余弦值为
C．平面OMN∥平面PCD
D．四棱锥P－ABCD的外接球的体积为
三、填空题
13．（2022高二下·常州期末）已知数列{an}是等比数列，且a1＋a2＋a3＝1，a2＋a3＋a4＝3，则a6＋a7＋a8＝　 　．
14．（2022高二下·常州期末）如图，用4种不同的颜色对图中4个区域涂色，要求每个区域涂1种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色方法有　 　种．
15．（2022高二下·常州期末）已知四棱锥中，四边形是边长为1的正方形，平面，，以P为球心为半径的球面与底面的交线长为　 　．
16．（2022高二下·常州期末）甲、乙、丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能的将球传给另外两个人中的任何一人，则5次传球后球在甲手中的概率为　 　.
四、解答题
17．（2022高二下·常州期末）已知正整数n≥2，（x＋3）n的展开式为anxn＋＋…＋a1x＋a0．
（1）若（x＋3）n的展开式中，各项系数之和比二项式系数之和大992，求n的值；
（2）若n＝2022，且ak是an，an－1，…，a1，a0中的最大值，求正整数k的值．
18．（2022高二下·常州期末）已知数列满足a1＝3，a2＝5，且，n∈N*．
（1）设bn＝an＋1－an，求证：数列是等比数列；
（2）若数列{an}满足（n∈N*），求实数m的取值范围．
19．（2022高二下·常州期末）小李准备在某商场租一间商铺开服装店，为了解市场行情，在该商场调查了20家服装店，统计得到了它们的面积x（单位：m2）和日均客流量y（单位：百人）的数据（xi，yi）（i＝1，2，…，20），并计算得＝2400，＝220，＝42000，＝8400．
附：在线性回归方程 ＝＋x中，＝，＝－，其中，为样本平均值．
（1）求y关于x的回归直线方程；
（2）已知服装店每天的经济效益W＝k＋mx（k＞0，m＞0），该商场现有80~170 m2的商铺出租，根据（1）的结果进行预测，要使单位面积的经济效益Z最高，小李应该租多大面积的商铺
20．（2022高二下·常州期末）已知数列的前项和为，且．
（1）求，并求数列的通项公式；
（2）若数列满足，求数列前项的和．
21．（2022·广东二模）小李下班后驾车回家的路线有两条．路线1经过三个红绿灯路口，每个路口遇到红灯的概率都是；路线2经过两个红绿灯路口，第一个路口遇到红灯的概率是，第二个路口遇到红灯的概率是．假设两条路线全程绿灯时的驾车回家时长相同，且每个红绿灯路口是否遇到红灯相互独立．
（1）若小李下班后选择路线1驾车回家，求至少遇到一个红灯的概率．
（2）假设每遇到一个红灯驾车回家时长就会增加1min，为使小李下班后驾车回家时长的累计增加时间（单位：min）的期望最小，小李应选择哪条路线？请说明理由．
22．（2022高二下·常州期末）如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，四边形ABB1A1为正方形，四边形AA1C1C为菱形，且∠AA1C＝60°，平面AA1C1C⊥平面ABB1A1，点D为棱BB1的中点．
（1）求证：AA1⊥CD；
（2）棱B1C1（除两端点外）上是否存在点M，使得二面角B－A1M－B1的余弦值为？若存在，请指出点M的位置；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】简单计数与排列组合
【解析】【解答】先安排2名同学在两端，有种方法，2名老师内部全排有种方法，
2名老师不相邻，需剩余同学排两个老师中间，
根据分步计数原理，共有种方法，
故答案为：B
【分析】利用分步计数原理即可求解出答案.
2．【答案】B
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】设同学中每天学习的人数，根据正态分布，得，所以，
，所以，同学中每天学习时间超过10小时的人数估计为
故答案为：B
【分析】 根据已知条件，求出， 然后乘以100即可得答案.
3．【答案】A
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：今4名医生分别到、、三所医院支援抗疫，每名医生只能去一所医院，且每个医院至少去一名医生，
基本事件总数，
甲、乙两医生恰好到同一医院支援包含的基本事件个数，
则甲、乙两医生恰好到同一医院支援的概率为．
故答案为：A．
【分析】先求出基本事件总数，再求出甲、乙两医生恰好到同一医院支援包含的基本事件个数，再根据古典概型的概率公式即可求出答案.
4．【答案】C
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】【解答】 ，
所以 ，
又因为二面角的大小与法向量夹角相等或互补，
所以二面角的大小可能是60°或120°
故答案为：C
【分析】根据两个平面法向量之间的夹角公式，求出它们之间的夹角余弦值，再得到夹角。
5．【答案】D
【知识点】条件概率与独立事件
【解析】【解答】若某医生从“三药三方”中随机选出两种，事件表示选出的两种中有一药，事件表示选出的两种中有一方，
则，
，
∴.
故答案为：D.
【分析】 利用古典概型的概率公式分别求出P (A)，P(AB)，进而由条件概率的概率公式求解，即可得答案.
6．【答案】D
【知识点】二项式定理的应用
【解析】【解答】令x=1得a=1.故原式= 。 的通项 ，由5-2r=1得r=2,对应的常数项=80，由5-2r=-1得r=3,对应的常数项=-40，故所求的常数项为40 .
解析2.用组合提取法,把原式看做6个因式相乘，若第1个括号提出x,从余下的5个括号中选2个提出x，选3个提出 ；若第1个括号提出 ，从余下的括号中选2个提出 ，选3个提出x.
故常数项= =-40+80=40.
故答案为：D
【分析】先由展开式中各项系数的和为2，令x=1得a=1，再写出展开式的通项，即可求出该展开式中常数项 .
7．【答案】A
【知识点】点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】以D为原点， 分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
则E(1，2，0)，D1(0，0，2)， ， ，
， ， ，
设 (x，y，z)， ， ，
则 (x，y，z)·(0，0，2)＝0，∴z＝0，
＝(x，y，z)·(－1，－2，2)＝ ，∴y＝- x，
令x＝1，则y＝- ，∴u＝(1，- ，0)，
∴异面直线D1E与CC1的距离为d＝ ，
∵P在D1E上运动，∴P到直线CC1的距离的最小值为d＝ .
故答案为：A.
【分析】以D为原点， 分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，求出对应点的坐标，再利用平面向量数量积的运算可得y＝- x，令x＝1，则y＝- ，利用向量表示出异面直线D1E与CC1的距离，可得答案。
8．【答案】C
【知识点】数列的递推公式；数列与不等式的综合
【解析】【解答】解：由得，，则，
由，得，
∴数列是首项为2，公比为2的等比数列，
∴，
由，得，
因为数列满足，
，即，
所以，
又∵，，
由，得，得，
综上：实数的取值范围是.
故答案为：C.
【分析】 由数列递推式得到是首项为2，公比为2的等比数列，求出其通项公式后代入，由求得实数的取值范围，验证满足为增函数，求得实数的取值范围.
9．【答案】A,C,D
【知识点】独立性检验的基本思想
【解析】【解答】解：因为男性喜欢冰雪运动的人数占男性人数的，
所以，解得，
又因为女性喜欢冰雪运动的人数占女性人数的，
所以，解得，所以A符合题意；
计算，所以随机对一路人进行调查，有的可能性对方喜欢冰雪运动，B不符合题意；
填写列联表为：
冰雪运动的喜好 性别 合计
男性 女性
喜欢 140 120 260
不喜欢 60 80 140
合计 200 200 400
由表中数据，计算，
所以有的把握认为市民性别和喜欢冰雪运动有关系，C符合题意；
因为，所以没有的把握认为市民性别和喜欢冰雪运动有关系，D符合题意．
故答案为：ACD．
【分析】 根据已知条件，结合频率与频数的关系，以及独立性检验公式，逐项进行判断，可得答案.
10．【答案】B,C
【知识点】等差数列的前n项和；数列的递推公式
【解析】【解答】解：由可得，， 得，
由得，所以等差数列的公差，B符合题意.
所以为正，，从第8项起均为负. C符合题意.
所以，A不符合题意.
，D不符合题意.
故答案为：BC.
【分析】由题意推导出a6>0，a7=0，a8<0，从而得到等差数列的公差，从第8项起均为负，结合等差数列的性质和前n项和的公式，逐项进行判断，可得答案.
11．【答案】A,B,D
【知识点】互斥事件与对立事件；相互独立事件
【解析】【解答】对于A，由题意知，取出两个球要么颜色相同，要么颜色不同，即A与B互为对立事件，A符合题意；
对于C， “第1次取出的是红球”，“第2次取出的是红球”， C与D可能同时发生，C不符合题意；
对于CD，，，， ，
所以，
所以A与C相互独立，B与C相互独立，BD符合题意；
故答案为：ABD
【分析】 根据对立事件，互斥事件的定义可判断A、C；根据古典概型的概率公式求出所对应的事件的概率，再根据相互独立事件的定义判断B、D.
12．【答案】A,C
【知识点】球的体积和表面积；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【解答】如图1，连接OP，则OP⊥底面ABCD，
因为平面ABCD，所以PO⊥AO，
由勾股定理得：
因为AP=1，所以
因为M为AP的中点，由三线合一得：OM⊥AP，A符合题意；
如图2，以O为坐标原点，OA所在直线为x轴，OB所在直线为y轴，OP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，
则，
设平面OMN的法向量为，则，
令，则，所以，
设直线AP与平面OMN所成的角为，
则，
而，
所以直线AP与平面OMN所成的角的余弦值为，B不符合题意；
如图3，因为O为AC中点，M为PA中点，
所以OM是三角形ACP的中位线，所以OM∥PC，
因为平面PCD，平面PCD，
所以OM∥平面PCD，
同理可知：ON∥平面PCD，
因为，平面OMN，平面OMN，
所以平面OMN∥平面PCD，C符合题意；
通过A选项的分析，可得：，
所以四棱锥P－ABCD的外接球的球心即为O点，半径为，
则体积为，D不符合题意.
故答案为：AC
【分析】作图，只需求，利用面面平行的判定定理即可得证判断A；以O为坐标原点，OA所在直线为x轴，OB所在直线为y轴，OP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，求出平面OMN的法向量，利用向量法求出直线AP与平面OMN所成的角的余弦值，即可判断B；利用面面平行的判定定理即可得证，可判断C；由题意知，即可得出外招接球的半径，即可求出体积，可判断D.
13．【答案】243
【知识点】等比数列的通项公式
【解析】【解答】由题意，设等比数列为，则，故，所以
故答案为：243
【分析】设等比数列为，根据已知求得，进而求得 a6＋a7＋a8 的值.
14．【答案】48
【知识点】分步乘法计数原理
【解析】【解答】按照分步计数原理，
第一步：涂区域1，有4种方法；
第二步：涂区域2，有3种方法；
第三步：涂区域3，分两类：（1）区域3与1同色，则区域4有2种方法；（2）区域3与1不同色，则区域3有2种方法，区域4有1种方法；
所以不同的涂色种数有种．
故答案为：48
【分析】利用分步计数原理进行计算可得答案.
15．【答案】
【知识点】棱锥的结构特征
【解析】【解答】
设为球面与底面的交线上任意一点，则，又平面，平面，则，
又，则，又四边形是边长为1的正方形，则的轨迹为以为圆心，半径为1的四分之一圆，
故球面与底面的交线即为以为圆心，半径为1的四分之一圆，则交线长为.
故答案为：.
【分析】 画出图形，判断 P为球心为半径的球面与底面的交线的图形，然后求解即可得答案.
16．【答案】
【知识点】等比数列的通项公式；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】设次传球后球在甲手中的概率为，当时，，
设“次传球后球在甲手中”，则，
则．
即，
所以，，且，
所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，
所以，所以，
所以5次传球后球在甲手中的概率为．
故答案为：.
【分析】设次传球后球在甲手中的概率为，“次传球后球在甲手中”，根据题意利用条件概率的概率公式得到，得到数列是以为首项，以为公比的等比数列，可求出，再将n=5代入计算可得答案.
17．【答案】（1）解：令得的展开式中各项系数和为，二项式系数和为，
由题意可知：，
所以，解得或（舍去），所以；
（2）解：二项式的通项公式为：．
令，解得，因此．
因为是中的最大项，所以．
【知识点】二项式定理；二项式系数的性质
【解析】【分析】 (1)利用赋值法构造出n的方程，求解可得 n的值；
(2)根据二项式的通项公式展开式中各项的系数先增大后减小的规律，列出关于k的不等式组，求解可得正整数k的值．
18．【答案】（1）证明：因为，所以．
即，又因为，所以，则，
所以，数列是等比数列
（2）解：由（1）数列是首项为2公比为的等比数列，则．
所以，
则．
经检验时也符合，则．
又因为，所以．
【知识点】等比数列的前n项和；数列的递推公式
【解析】【分析】 (1)将条件化为 ，即 ， 从而证得数列是等比数列；
(2)求得数列 的通项，由累加法求得数列 的通项，并根据单调性求得实数m的取值范围．
19．【答案】（1）解：由已知可得，．
，
．
所以回归直线方程为．
（2）解：根据题意得，．
设，令所以．
则，
当，即时，取最大值．
又因为k，，所以此时Z也取最大值．
因此，小李应该租的商铺
【知识点】二次函数在闭区间上的最值；线性回归方程
【解析】【分析】(1)由已知数据求得 与 的值，可得y关于x的回归直线方程；
(2)由题意可得单位面积的经济效益，再由换元法与配方法求最值.
20．【答案】（1）解：由题可知，，解得．
在中令，得，解得；
因为①，所以②，
由①-②得：，即，
所以．
所以数列是首项与公差都为2的等差数列，
所以．
（2）解：由题可知，当时，
所以．
当时，
所以，
所以．
综上：．
【知识点】数列的求和；数列的递推公式
【解析】【分析】 (1)取n = 1， 2可算出a1，a2，由递推关系 得 ，两式作差，得到新的关于 的递推关系即可得数列的通项公式；
(2)分组求和，前一段利用等差数列求和公式，后一段利用裂项求和，两者相加即可得数列前项的和．
21．【答案】（1）解：设路线1遇到红灯的个数的随机变量为X，则，
所以至少遇到一个红灯的事件为，
由对立事件概率公式，
得，
所以若小李下班后选择路线1驾车回家，至少遇到一个红灯的概率为．
（2）解：设路线1累计增加时间的随机变量为，则，
所以，
设路线2第i个路口遇到红灯为事件（，2），则，，
设路线2累计增加时间的随机变量为，则的所有可能取值为0，1，2，则
，
，
，
所以．
因为，
所以为使小李下班后驾车回家时长的累计增加时间的期望最小，小李应选择路线1．
【知识点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【分析】（1） 设路线1遇到红灯的个数的随机变量为X，则， 由对立事件概率公式计算可得至少遇到一个红灯的概率；
（2）设路线1累计增加时间的随机变量为，则，由二项分布的期望公式得到期望 ，设路线2第i个路口遇到红灯为事件（，2），则，，设路线2累计增加时间的随机变量为，则的所有可能取值为0，1，2， 根据独立事件与互斥事件及对立事件概率公式计算出各概率，得到 ， 比较可得结论。
22．【答案】（1）证明：取棱的中点O，连接．
因为四边形是菱形，所以，
又因为，
所以为等边三角形，
所以．
因为四边形为正方形且O、D分别是的中点，
所以，又平面，
所以平面，
因为平面，
所以．
（2）解：因为平面平面，平面平面，
且平面，
所以平面．
以O为坐标原点，以所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示空间直角坐标系．
不妨设，则点．
设为平面的一个法向量，
则由及，
得，不妨取得．
假设棱上（除端点外）存在点M满足题意，
令得，
设为平面的一个法向量，
则由及，
得，不妨取，得．
由，
解得或，
所以存在点M为棱的中点或者为靠近端的八等分点．
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】(1) 取棱的中点O，连接，由已知证明 ， ，由直线与平面垂直的判定可得 平面，从而得到 ；
(2)由已知结合面面垂直的性质可得 平面 ， 以O为坐标原点，以所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系 ， 不妨设，求出平面的一个法向量，假设棱上（除端点外）存在点M满足题意，令得， 求出平面的一个法向量， 由二面角B－A1M－B1的余弦值为 ，列式求得 或， 即可得到 存在点M为棱的中点或者为靠近端的八等分点 .
1 / 1江苏省常州市2021-2022学年高二下学期数学期末考试试卷
一、单选题
1．（2022高二下·常州期末）甲、乙、丙3名数学竞赛获奖同学邀请2名指导教师站在一排合影留念，若2名教师不相邻，且教师不站在两端，则不同的站法种数是（　　）
A．6 B．12 C．24 D．48
【答案】B
【知识点】简单计数与排列组合
【解析】【解答】先安排2名同学在两端，有种方法，2名老师内部全排有种方法，
2名老师不相邻，需剩余同学排两个老师中间，
根据分步计数原理，共有种方法，
故答案为：B
【分析】利用分步计数原理即可求解出答案.
2．（2022高二下·常州期末）疫情期间，学校进行网上授课，某中学参加网课的100名同学每天的学习时间（小时）服从正态分布，则这些同学中每天学习时间超过10小时的人数估计为（　　）
附：随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ－σ＜ξ＜μ＋σ）＝0.6826，P（μ－2σ＜ξ＜μ＋2σ）＝0.9544，P（μ－3σ＜ξ＜μ＋3σ）＝0.9974．
A．14 B．16 C．30 D．32
【答案】B
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】设同学中每天学习的人数，根据正态分布，得，所以，
，所以，同学中每天学习时间超过10小时的人数估计为
故答案为：B
【分析】 根据已知条件，求出， 然后乘以100即可得答案.
3．（2022高二下·常州期末）现有4名医生分别到A，B，C三所医院支援抗疫，每名医生有且只能去一所医院且每所医院至少去一名医生，则甲、乙两医生恰好到同一医院支援的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：今4名医生分别到、、三所医院支援抗疫，每名医生只能去一所医院，且每个医院至少去一名医生，
基本事件总数，
甲、乙两医生恰好到同一医院支援包含的基本事件个数，
则甲、乙两医生恰好到同一医院支援的概率为．
故答案为：A．
【分析】先求出基本事件总数，再求出甲、乙两医生恰好到同一医院支援包含的基本事件个数，再根据古典概型的概率公式即可求出答案.
4．（2020高三上·镇江期中）已知二面角 ，其中平面的一个法向量 ，平面 的一个法向量 ，则二面角 的大小可能为（　　）
A．60° B．120° C．60°或120° D．30°
【答案】C
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】【解答】 ，
所以 ，
又因为二面角的大小与法向量夹角相等或互补，
所以二面角的大小可能是60°或120°
故答案为：C
【分析】根据两个平面法向量之间的夹角公式，求出它们之间的夹角余弦值，再得到夹角。
5．（2022高二下·常州期末）我国中医药选出的“三药三方”对治疗新冠肺炎均有显著效果，功不可没，“三药”分别为金花清感颗粒、连花清瘟胶囊、血必清注射液；“三方”分别为清肺排毒汤、化败毒方、宣肺败毒方.若某医生从“三药三方”中随机选出两种，事件表示选出的两种中有一药，事件表示选出的两种中有一方，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】条件概率与独立事件
【解析】【解答】若某医生从“三药三方”中随机选出两种，事件表示选出的两种中有一药，事件表示选出的两种中有一方，
则，
，
∴.
故答案为：D.
【分析】 利用古典概型的概率公式分别求出P (A)，P(AB)，进而由条件概率的概率公式求解，即可得答案.
6．（2018·民乐模拟） 的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为（　　）
A．-40 B．-20 C．20 D．40
【答案】D
【知识点】二项式定理的应用
【解析】【解答】令x=1得a=1.故原式= 。 的通项 ，由5-2r=1得r=2,对应的常数项=80，由5-2r=-1得r=3,对应的常数项=-40，故所求的常数项为40 .
解析2.用组合提取法,把原式看做6个因式相乘，若第1个括号提出x,从余下的5个括号中选2个提出x，选3个提出 ；若第1个括号提出 ，从余下的括号中选2个提出 ，选3个提出x.
故常数项= =-40+80=40.
故答案为：D
【分析】先由展开式中各项系数的和为2，令x=1得a=1，再写出展开式的通项，即可求出该展开式中常数项 .
7．（2021高二上·沈阳期中）如图，在棱长为2的正方体ABCD A1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在线段D1E上，点P到直线CC1的距离的最小值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】以D为原点， 分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
则E(1，2，0)，D1(0，0，2)， ， ，
， ， ，
设 (x，y，z)， ， ，
则 (x，y，z)·(0，0，2)＝0，∴z＝0，
＝(x，y，z)·(－1，－2，2)＝ ，∴y＝- x，
令x＝1，则y＝- ，∴u＝(1，- ，0)，
∴异面直线D1E与CC1的距离为d＝ ，
∵P在D1E上运动，∴P到直线CC1的距离的最小值为d＝ .
故答案为：A.
【分析】以D为原点， 分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，求出对应点的坐标，再利用平面向量数量积的运算可得y＝- x，令x＝1，则y＝- ，利用向量表示出异面直线D1E与CC1的距离，可得答案。
8．（2022高二下·常州期末）数列{an}满足a1＝1，，若，b1＝－λ，且数列{bn}满足bn＋1＞bn（n∈N*），则实数λ的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】数列的递推公式；数列与不等式的综合
【解析】【解答】解：由得，，则，
由，得，
∴数列是首项为2，公比为2的等比数列，
∴，
由，得，
因为数列满足，
，即，
所以，
又∵，，
由，得，得，
综上：实数的取值范围是.
故答案为：C.
【分析】 由数列递推式得到是首项为2，公比为2的等比数列，求出其通项公式后代入，由求得实数的取值范围，验证满足为增函数，求得实数的取值范围.
二、多选题
9．（2022高二下·常州期末）北京冬奥会成功举办后，大众对冰雪运动关注度不断上升，为研究市民对冰雪运动的喜好是否和性别有关，某校学生社团对市民进行了一次抽样调查，得到列联表如下：
冰雪运动的喜好 性别 合计
男性 女性
喜欢 140 m 140＋m
不喜欢 n 80 80＋n
合计 140＋n 80＋m 220＋m＋n
若男性喜欢冰雪运动的人数占男性人数，女性喜欢冰雪运动的人数占女性人数，则（　　）
A．列联表中n的值为60，m的值为120
B．随机对一位路人进行调查，有95%的可能性对方喜欢冰雪运动
C．有95%的把握认为市民对冰雪运动的喜好和性别有关
D．没有99%的把握认为市民对冰雪运动的喜好和性别有关
【答案】A,C,D
【知识点】独立性检验的基本思想
【解析】【解答】解：因为男性喜欢冰雪运动的人数占男性人数的，
所以，解得，
又因为女性喜欢冰雪运动的人数占女性人数的，
所以，解得，所以A符合题意；
计算，所以随机对一路人进行调查，有的可能性对方喜欢冰雪运动，B不符合题意；
填写列联表为：
冰雪运动的喜好 性别 合计
男性 女性
喜欢 140 120 260
不喜欢 60 80 140
合计 200 200 400
由表中数据，计算，
所以有的把握认为市民性别和喜欢冰雪运动有关系，C符合题意；
因为，所以没有的把握认为市民性别和喜欢冰雪运动有关系，D符合题意．
故答案为：ACD．
【分析】 根据已知条件，结合频率与频数的关系，以及独立性检验公式，逐项进行判断，可得答案.
10．（2022高二下·常州期末）已知Sn是等差数列{an}的前n项和，且S5＜S6，S6＝S7，S7＞S8，则（　　）
A．S5＜S9 B．该数列的公差d＜0
C．a7＝0 D．S11＜0
【答案】B,C
【知识点】等差数列的前n项和；数列的递推公式
【解析】【解答】解：由可得，， 得，
由得，所以等差数列的公差，B符合题意.
所以为正，，从第8项起均为负. C符合题意.
所以，A不符合题意.
，D不符合题意.
故答案为：BC.
【分析】由题意推导出a6>0，a7=0，a8<0，从而得到等差数列的公差，从第8项起均为负，结合等差数列的性质和前n项和的公式，逐项进行判断，可得答案.
11．（2022高二下·常州期末）盒子里有形状大小都相同的4个球，其中2个红球、2个白球，从中先后不放回地任取2个球，每次取1个．设“两个球颜色相同”为事件A，“两个球颜色不同”为事件B，“第1次取出的是红球”为事件C，“第2次取出的是红球”为事件D．则（　　）
A．A与B互为对立事件 B．A与C相互独立
C．C与D互斥 D．B与C相互独立
【答案】A,B,D
【知识点】互斥事件与对立事件；相互独立事件
【解析】【解答】对于A，由题意知，取出两个球要么颜色相同，要么颜色不同，即A与B互为对立事件，A符合题意；
对于C， “第1次取出的是红球”，“第2次取出的是红球”， C与D可能同时发生，C不符合题意；
对于CD，，，， ，
所以，
所以A与C相互独立，B与C相互独立，BD符合题意；
故答案为：ABD
【分析】 根据对立事件，互斥事件的定义可判断A、C；根据古典概型的概率公式求出所对应的事件的概率，再根据相互独立事件的定义判断B、D.
12．（2022高二下·常州期末）已知正四棱锥P－ABCD的棱长均为1，O为底面ABCD的中心，M，N分别是棱PA，PB的中点，则（　　）
A．PA⊥OM
B．直线AP与平面OMN所成的角的余弦值为
C．平面OMN∥平面PCD
D．四棱锥P－ABCD的外接球的体积为
【答案】A,C
【知识点】球的体积和表面积；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【解答】如图1，连接OP，则OP⊥底面ABCD，
因为平面ABCD，所以PO⊥AO，
由勾股定理得：
因为AP=1，所以
因为M为AP的中点，由三线合一得：OM⊥AP，A符合题意；
如图2，以O为坐标原点，OA所在直线为x轴，OB所在直线为y轴，OP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，
则，
设平面OMN的法向量为，则，
令，则，所以，
设直线AP与平面OMN所成的角为，
则，
而，
所以直线AP与平面OMN所成的角的余弦值为，B不符合题意；
如图3，因为O为AC中点，M为PA中点，
所以OM是三角形ACP的中位线，所以OM∥PC，
因为平面PCD，平面PCD，
所以OM∥平面PCD，
同理可知：ON∥平面PCD，
因为，平面OMN，平面OMN，
所以平面OMN∥平面PCD，C符合题意；
通过A选项的分析，可得：，
所以四棱锥P－ABCD的外接球的球心即为O点，半径为，
则体积为，D不符合题意.
故答案为：AC
【分析】作图，只需求，利用面面平行的判定定理即可得证判断A；以O为坐标原点，OA所在直线为x轴，OB所在直线为y轴，OP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，求出平面OMN的法向量，利用向量法求出直线AP与平面OMN所成的角的余弦值，即可判断B；利用面面平行的判定定理即可得证，可判断C；由题意知，即可得出外招接球的半径，即可求出体积，可判断D.
三、填空题
13．（2022高二下·常州期末）已知数列{an}是等比数列，且a1＋a2＋a3＝1，a2＋a3＋a4＝3，则a6＋a7＋a8＝　 　．
【答案】243
【知识点】等比数列的通项公式
【解析】【解答】由题意，设等比数列为，则，故，所以
故答案为：243
【分析】设等比数列为，根据已知求得，进而求得 a6＋a7＋a8 的值.
14．（2022高二下·常州期末）如图，用4种不同的颜色对图中4个区域涂色，要求每个区域涂1种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色方法有　 　种．
【答案】48
【知识点】分步乘法计数原理
【解析】【解答】按照分步计数原理，
第一步：涂区域1，有4种方法；
第二步：涂区域2，有3种方法；
第三步：涂区域3，分两类：（1）区域3与1同色，则区域4有2种方法；（2）区域3与1不同色，则区域3有2种方法，区域4有1种方法；
所以不同的涂色种数有种．
故答案为：48
【分析】利用分步计数原理进行计算可得答案.
15．（2022高二下·常州期末）已知四棱锥中，四边形是边长为1的正方形，平面，，以P为球心为半径的球面与底面的交线长为　 　．
【答案】
【知识点】棱锥的结构特征
【解析】【解答】
设为球面与底面的交线上任意一点，则，又平面，平面，则，
又，则，又四边形是边长为1的正方形，则的轨迹为以为圆心，半径为1的四分之一圆，
故球面与底面的交线即为以为圆心，半径为1的四分之一圆，则交线长为.
故答案为：.
【分析】 画出图形，判断 P为球心为半径的球面与底面的交线的图形，然后求解即可得答案.
16．（2022高二下·常州期末）甲、乙、丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能的将球传给另外两个人中的任何一人，则5次传球后球在甲手中的概率为　 　.
【答案】
【知识点】等比数列的通项公式；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】设次传球后球在甲手中的概率为，当时，，
设“次传球后球在甲手中”，则，
则．
即，
所以，，且，
所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，
所以，所以，
所以5次传球后球在甲手中的概率为．
故答案为：.
【分析】设次传球后球在甲手中的概率为，“次传球后球在甲手中”，根据题意利用条件概率的概率公式得到，得到数列是以为首项，以为公比的等比数列，可求出，再将n=5代入计算可得答案.
四、解答题
17．（2022高二下·常州期末）已知正整数n≥2，（x＋3）n的展开式为anxn＋＋…＋a1x＋a0．
（1）若（x＋3）n的展开式中，各项系数之和比二项式系数之和大992，求n的值；
（2）若n＝2022，且ak是an，an－1，…，a1，a0中的最大值，求正整数k的值．
【答案】（1）解：令得的展开式中各项系数和为，二项式系数和为，
由题意可知：，
所以，解得或（舍去），所以；
（2）解：二项式的通项公式为：．
令，解得，因此．
因为是中的最大项，所以．
【知识点】二项式定理；二项式系数的性质
【解析】【分析】 (1)利用赋值法构造出n的方程，求解可得 n的值；
(2)根据二项式的通项公式展开式中各项的系数先增大后减小的规律，列出关于k的不等式组，求解可得正整数k的值．
18．（2022高二下·常州期末）已知数列满足a1＝3，a2＝5，且，n∈N*．
（1）设bn＝an＋1－an，求证：数列是等比数列；
（2）若数列{an}满足（n∈N*），求实数m的取值范围．
【答案】（1）证明：因为，所以．
即，又因为，所以，则，
所以，数列是等比数列
（2）解：由（1）数列是首项为2公比为的等比数列，则．
所以，
则．
经检验时也符合，则．
又因为，所以．
【知识点】等比数列的前n项和；数列的递推公式
【解析】【分析】 (1)将条件化为 ，即 ， 从而证得数列是等比数列；
(2)求得数列 的通项，由累加法求得数列 的通项，并根据单调性求得实数m的取值范围．
19．（2022高二下·常州期末）小李准备在某商场租一间商铺开服装店，为了解市场行情，在该商场调查了20家服装店，统计得到了它们的面积x（单位：m2）和日均客流量y（单位：百人）的数据（xi，yi）（i＝1，2，…，20），并计算得＝2400，＝220，＝42000，＝8400．
附：在线性回归方程 ＝＋x中，＝，＝－，其中，为样本平均值．
（1）求y关于x的回归直线方程；
（2）已知服装店每天的经济效益W＝k＋mx（k＞0，m＞0），该商场现有80~170 m2的商铺出租，根据（1）的结果进行预测，要使单位面积的经济效益Z最高，小李应该租多大面积的商铺
【答案】（1）解：由已知可得，．
，
．
所以回归直线方程为．
（2）解：根据题意得，．
设，令所以．
则，
当，即时，取最大值．
又因为k，，所以此时Z也取最大值．
因此，小李应该租的商铺
【知识点】二次函数在闭区间上的最值；线性回归方程
【解析】【分析】(1)由已知数据求得 与 的值，可得y关于x的回归直线方程；
(2)由题意可得单位面积的经济效益，再由换元法与配方法求最值.
20．（2022高二下·常州期末）已知数列的前项和为，且．
（1）求，并求数列的通项公式；
（2）若数列满足，求数列前项的和．
【答案】（1）解：由题可知，，解得．
在中令，得，解得；
因为①，所以②，
由①-②得：，即，
所以．
所以数列是首项与公差都为2的等差数列，
所以．
（2）解：由题可知，当时，
所以．
当时，
所以，
所以．
综上：．
【知识点】数列的求和；数列的递推公式
【解析】【分析】 (1)取n = 1， 2可算出a1，a2，由递推关系 得 ，两式作差，得到新的关于 的递推关系即可得数列的通项公式；
(2)分组求和，前一段利用等差数列求和公式，后一段利用裂项求和，两者相加即可得数列前项的和．
21．（2022·广东二模）小李下班后驾车回家的路线有两条．路线1经过三个红绿灯路口，每个路口遇到红灯的概率都是；路线2经过两个红绿灯路口，第一个路口遇到红灯的概率是，第二个路口遇到红灯的概率是．假设两条路线全程绿灯时的驾车回家时长相同，且每个红绿灯路口是否遇到红灯相互独立．
（1）若小李下班后选择路线1驾车回家，求至少遇到一个红灯的概率．
（2）假设每遇到一个红灯驾车回家时长就会增加1min，为使小李下班后驾车回家时长的累计增加时间（单位：min）的期望最小，小李应选择哪条路线？请说明理由．
【答案】（1）解：设路线1遇到红灯的个数的随机变量为X，则，
所以至少遇到一个红灯的事件为，
由对立事件概率公式，
得，
所以若小李下班后选择路线1驾车回家，至少遇到一个红灯的概率为．
（2）解：设路线1累计增加时间的随机变量为，则，
所以，
设路线2第i个路口遇到红灯为事件（，2），则，，
设路线2累计增加时间的随机变量为，则的所有可能取值为0，1，2，则
，
，
，
所以．
因为，
所以为使小李下班后驾车回家时长的累计增加时间的期望最小，小李应选择路线1．
【知识点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【分析】（1） 设路线1遇到红灯的个数的随机变量为X，则， 由对立事件概率公式计算可得至少遇到一个红灯的概率；
（2）设路线1累计增加时间的随机变量为，则，由二项分布的期望公式得到期望 ，设路线2第i个路口遇到红灯为事件（，2），则，，设路线2累计增加时间的随机变量为，则的所有可能取值为0，1，2， 根据独立事件与互斥事件及对立事件概率公式计算出各概率，得到 ， 比较可得结论。
22．（2022高二下·常州期末）如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，四边形ABB1A1为正方形，四边形AA1C1C为菱形，且∠AA1C＝60°，平面AA1C1C⊥平面ABB1A1，点D为棱BB1的中点．
（1）求证：AA1⊥CD；
（2）棱B1C1（除两端点外）上是否存在点M，使得二面角B－A1M－B1的余弦值为？若存在，请指出点M的位置；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）证明：取棱的中点O，连接．
因为四边形是菱形，所以，
又因为，
所以为等边三角形，
所以．
因为四边形为正方形且O、D分别是的中点，
所以，又平面，
所以平面，
因为平面，
所以．
（2）解：因为平面平面，平面平面，
且平面，
所以平面．
以O为坐标原点，以所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示空间直角坐标系．
不妨设，则点．
设为平面的一个法向量，
则由及，
得，不妨取得．
假设棱上（除端点外）存在点M满足题意，
令得，
设为平面的一个法向量，
则由及，
得，不妨取，得．
由，
解得或，
所以存在点M为棱的中点或者为靠近端的八等分点．
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】(1) 取棱的中点O，连接，由已知证明 ， ，由直线与平面垂直的判定可得 平面，从而得到 ；
(2)由已知结合面面垂直的性质可得 平面 ， 以O为坐标原点，以所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系 ， 不妨设，求出平面的一个法向量，假设棱上（除端点外）存在点M满足题意，令得， 求出平面的一个法向量， 由二面角B－A1M－B1的余弦值为 ，列式求得 或， 即可得到 存在点M为棱的中点或者为靠近端的八等分点 .
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