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江苏省连云港市2021-2022学年高二下学期数学期末考试试卷
一、单选题
1．（2022高二下·连云期末）若，则P(A)=（ ）
A． B． C． D．
2．（2022高二下·连云期末）甲、乙两人射击，中靶的概率分别为0.9，0.7．若两人同时独立射击，则他们只有一人中靶的概率是（ ）
A．0.97 B．0.63 C．0.34 D．0.03
3．（2022高二下·连云期末）某冷饮店日盈利y(单位：百元)与当天气温x(单位：℃)之间有如下数据
/ 15 20 25 30 35
/百元 1 2 2 4 5
已知y与x之间具有线性相关关系，则y与x的线性回归方程是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022高二下·连云期末）展开式中的常数项为（ ）
A．20 B．40 C．60 D．80
5．（2022高二下·连云期末）已知离散型随机变量X的分布列如下表：
X 0 1 2
P 0.64 q2 1－2q
则E(X)=（ ）
A．0.56 B．0.64 C．0.72 D．0.8
6．（2022高二下·连云期末）如图所示，已知三棱台的上、下底面都是等腰直角三角形，面，，则这个三棱台的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
7．（2022高二下·连云期末）设，且，若能被15整除，则（ ）
A．0 B．1 C．13 D．14
8．（2022高二下·连云期末）某双一流大学为提高数学学院学生的数学素养，特开设了“模糊数学”“复变函数”“微分几何”“数值分析”“拓扑学”五门选修课程，要求学院每位同学每学年至多选3门，大一到大三三学年必须将五门选修课程选完，则每位同学的不同选修方式有（ ）
A．150种 B．210种 C．300种 D．540种
二、多选题
9．（2022高二下·连云期末）已知，则x=（ ）
A．3 B．6 C．8 D．10
10．（2022高二下·连云期末）甲、乙两名运动员进行羽毛球单打比赛，根据以往比赛的胜负情况知道，每一局甲胜的概率，乙胜的概率为．则（ ）
A．当采用“三局两胜”制，甲胜的概率为
B．当采用“三局两胜”制，乙胜的概率为
C．当采用“五局三胜”制，甲胜的概率为
D．当采用“五局三胜”制，乙胜的概率为
11．（2022高二下·连云期末）已知的展开式中，第2，3，4项的二项式系数依次成等差数列，则（ ）
A．n=7 B．第4项为
C．第3项系数最大 D．展开式中有理项有2项
12．（2022高二下·连云期末）一副三角板按如图所示的方式拼接，将△BCD折起，使得二面角A－BC－D的大小为θ，E，F分别是BC，BD的中点，则（ ）
A．直线BD与平面AEF所成的角是定值
B．当θ=90°时，平面ABD⊥平面ACD
C．当θ=90°时，直线BD与AC的夹角为45°
D．设平面AEF∩平面ACD=l，则l//平面BCD
三、填空题
13．（2022高二下·连云期末）已知 =(3，2，－1)， (2，1，2)，则= ．
14．（2022高二下·连云期末）从这4个数字中选出3个不同数字能组成 个三位数．
15．（2022高二下·连云期末）为了解高二学生体育健康情况，学校组织了一次体育健康测试，成绩X近似服从正态分布N(70，72)，已知成绩在77分以上的学生有208人，如果成绩大于84分为优秀，则本次体育健康测试成绩优秀的大约有 人．
(参考数据：P(μ－σ＜X＜μ＋σ)=0.68，P(μ－2σ＜X＜μ＋2c)=0.96)
16．（2022高二下·连云期末）如图，在球内接四棱锥中，底面的对角线AC与BD交于点O，，，，，．则球的表面积为 ．
四、解答题
17．（2022高二下·连云期末）某同学会做老师给出的6道题中的4道.现从这6道题中选3道让该同学做，规定至少做出2道才能及格，试求：
（1）选做的3题中该同学会做的题目数的分布列；
（2）该同学能及格的概率．
18．（2022高二下·连云期末）某医疗机构为了解某疾病与喝酒是否有关，进行了一次抽样调查，数据如下表：
未患病 患病 合计
喝酒 110 40 150
不喝酒 90 10 100
合计 200 50 250
参考公式：(其中n=a＋b＋c＋d)
P(χ2≥x0) 0.10 0.05 0.025 0.01 0.005 0.001
x0 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
（1）根据数据，能否有99.5%把握认为，患病与喝酒有关
（2）从喝酒的150人中按分层抽样的方法抽取15人，再从这15人中抽取3人，求至少有1人患病的概率．
19．（2022高二下·连云期末）如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧面是正三角形，侧面⊥底面，是的中点，证明：
（1）平面；
（2）．
20．（2022高二下·连云期末）椭圆经过点．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）若斜率为k的直线l过椭圆E的左焦点F，与椭圆E交于C，D两点，CD的垂直平分线与x轴交于点M，证明：为定值．
21．（2022高二下·连云期末）如图，四棱锥P－ABCD的底面是平行四边形，AD=2AB=6，，PD⊥AB，AC=BD，点M在侧棱PD上，且PD=3MD．
（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；
（2）求平面PAB与平面MAC所成锐二面角的余弦值．
22．（2022高二下·连云期末）已知函数．
（1）求的最小值；
（2）设，若有且仅有两个实根，证明：．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】条件概率与独立事件
【解析】【解答】依题意得，所以，
解得．
故答案为：C．
【分析】根据条件概率公式列式计算，即可得答案.
2．【答案】C
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】只有一人中靶的概率是.
故答案为：C.
【分析】根据相互独立事件的概率乘法公式进行计算，可得答案.
3．【答案】B
【知识点】线性回归方程
【解析】【解答】线性回归方程必过样本中心点，由题意得，，结合选项可知，
，即y与x的线性回归方程是.
故答案为：B.
【分析】 根据已知条件，结合线性回归方程的性质，即可求解出答案.
4．【答案】C
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】由题意，展开式的通项公式，当时，，故展开式中的常数项为
故答案为：C
【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得展开式中的常数项.
5．【答案】A
【知识点】离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】由题可得，解得或，
当时，，不符合题意，舍去，
；
所以可得分布列为
X 0 1 2
P 0.64 0.16 0.2
，
故答案为：A.
【分析】 根据概率分布列的性质求得q值，再根据分布列直接求期望.
6．【答案】A
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积
【解析】【解答】因为平面，平面，
所以，
又，
所以，
在梯形中，易知，，
所以，
所以这个三棱台的侧面积为.
故答案为：A.
【分析】 根据线面垂直的性质定理，再利用棱台的侧面面积公式，结合梯形的面积公式即可求解出答案.
7．【答案】D
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】因为，所以展开式为
，
其中每一项都能被整除，
，
其中每一项都能被15整除，
所以能被整除的余数为，
因为，且，若能被15整除，
所以能被15整除，所以.
故答案为：D.
【分析】 将化为，求出被15整除的余数，再结合已知条件即可求解出a的值.
8．【答案】B
【知识点】分步乘法计数原理
【解析】【解答】由题意可知三年修完五门课程，且每年至多选三门，
则每位同学每年所修课程数可以分为0，2，3或1，1，3或1，2，2．
若按1，2，2选修五门课程，则先将五门选修课分成三组，有种不同方式，
再分配到三个学年，共有种不同的分配方式，由分步乘法计数原理可得共有种不同的选修方式；
若按0，2，3选修四门课程，则先将五门选修课分成三组，有种不同方式，
再分配到三个学年，共有种不同的分配方式，由分步乘法计数原理可得共有种不同的选修方式；
若按1，1，3选修四门课程，则先将五门选修课分成三组，有种不同方式，
再分配到三个学年，共有种不同的分配方式，由分步乘法计数原理可得共有种不同的选修方式．
所以每位同学的不同选修方式有种．
故答案为：B．
【分析】由题意可知三年修完五门课程，且每年至多选三门，则每位同学每年所修课程数可以分为0，2，3或1，1，3或1，2，2，由分步乘法计数原理可得不同的选修方式数，再由加法计数原理计算可得答案.
9．【答案】A,D
【知识点】组合及组合数公式
【解析】【解答】因为，故或，即或
故答案为：AD
【分析】根据组合数公式的性质列式计算，可得答案.
10．【答案】B,C
【知识点】互斥事件的概率加法公式；n次独立重复试验中恰好发生k次的概率
【解析】【解答】因为每一局甲胜的概率为，乙胜的概率为，
若比赛采用三局两胜制，甲胜的情况为连胜两局结束比赛或前两局胜一局第三局获胜，其概率为：，乙胜的概率为
A不符合题意，B符合题意；
若采用五局三胜制，则甲胜的情况为连续三局获胜结束比赛，或前三局有一局负，第四局胜，或前四局有两局获胜，第五局获胜.
其概率为：，乙胜的概率为
C符合题意，D不符合题意；
故答案为：BC
【分析】 根据独立事件的概率，依次计算三局两胜制和五局三胜制甲获胜的概率，即可得答案.
11．【答案】A,C,D
【知识点】二项式定理；二项式系数的性质
【解析】【解答】解：因为的展开式中，第2，3，4项的二项式系数依次成等差数列，
所以，解得或（舍去），A符合题意；
所以的通项公式为，
令，得，B不符合题意；
因为，
且第二项、第四项、第六项、第八项系数为负，故第3项系数最大，C符合题意；
展开式中有理项有，2项，D符合题意，
故答案为：ACD
【分析】根据第2，3，4项的二项式系数依次成等差数列，由，得到n= 7，结合二项式展开项的通式逐项进行判断，即可得答案.
12．【答案】A,B,D
【知识点】异面直线及其所成的角；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定；直线与平面所成的角
【解析】【解答】对于A，可知，因为E，F分别是BC，BD的中点，所以可知，从而可知，又，且平面，所以平面，从而可知直线BD与平面AEF所成的角为为定值，A符合题意；
对于B，二面角为直二面角，且，平面，则平面.
平面，故.
，，故平面，平面，
故平面平面ACD．B符合题意；
对于C，分别取的中点，过点作于，连接，不妨设，则可得，
则在中，，从而可知直线BD与AC的夹角不可能是45°，C不符合题意；
对于D，因为E，F分别是BC，BD的中点，所以，且平面，平面，因此可得平面，而平面AEF平面ACD=l，
所以直线，又平面，平面，所以l//平面BCD，D符合题意..
故答案为：ABD
【分析】 先证线面垂直，得到线面角即可判断A；根据直二面角得到平面，得到CD⊥AB，再证明AB⊥平面CDA，可判断B；通过平移后再解三角形可求解可判断C；根据线面平行的性质求解可判断D.
13．【答案】2
【知识点】平面向量的坐标运算；平面向量数量积的运算
【解析】【解答】因为，
故答案为：2
【分析】 利用空间向量的线性运算求出，的坐标，再结合向量数量积的运算法则求解出答案.
14．【答案】18
【知识点】排列、组合及简单计数问题
【解析】【解答】由于选出3个不同数字能组成的三位数中，百位上的数字不能是0，
因此可以分两步完成排列，第步，排百位上的数字，
可以从这从3个数字中任选1个，有种选法；
第2步，排十位和个位上的数字，可以从余下的3个数字中任选2个，有种选法；
根据分步乘法计数原理，所求的三位数的个数为.
故答案为：18.
【分析】根据题意，依次分析三位数的百位、十位、个位数字的情况，由分步计数原理计算可得答案.
15．【答案】26
【知识点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义
【解析】【解答】解：由高三全体考生的数学成绩近似服从正态分布N(70，72)，得，，
，又成绩在77分以上的学生有208人，则高二学生总数为；
，则本次体育健康测试成绩优秀的大约有人.
故答案为：26.
【分析】由已知求得，，利用对称性求得P(X≥77)=0.16，可得成绩在77分以上的学生有208人，求得高二学生总人数，求出P(X≥84)=0.02，利用概率求得本次体育健康测试成绩优秀的大约人数.
16．【答案】20π
【知识点】球的体积和表面积
【解析】【解答】由题意知，底面有外接圆，即，则，则，
即，解得，则，又由，可得，
且，则，则，，则，
设中点，则底面的外接圆圆心即为，又，，，则，
又，平面，，则平面，又平面，则，
又底面，，则底面，过作，使，连接，
易得四边形为矩形，，球心在上，设球心为，球的半径为，则，
设，则，则，解得，则球的表面积为.
故答案为：20π.
【分析】先由余弦定理求得，进而求出AC=4，由勾股定理得OE⊥AC，结合BD⊥OE证得OE⊥底面ABCD，取AC中点M，过M作MN //OE，得出球心在MN上，由勾股定理求出半径，即可求解出球的表面积 .
17．【答案】（1）解：记该同学会做的题目数为，由题意，，
，，，
所以该同学会做的题目数的分布列为：
1 2 3
（2）解：由（1），该同学能及格的概率为：.
【知识点】离散型随机变量及其分布列
【解析】【分析】 (1) 记该同学会做的题目数为，由题意， ，则根据超几何分布求概率的方法求出对应的概率，最后写出分布列；
(2)根据(1)即可求得该同学能及格的概率．
18．【答案】（1）解：由列联表中的数据可知
所以有的把握认为患病与喝酒有关．
（2）解：由题意知：所抽取的15人中，未患病的有人，患病的有人，记“至少有一人患病”为事件，则．
所以至少有一人患病的概率为.
【知识点】独立性检验的基本思想；古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】 (1)根据 列联表中的数据计算观测值，利用观测值与临界值比较即可求解出结论；
(2)根据分层抽样的抽样比及组合的定义，利用对立事件及古典概型的计算公式即可求解出至少有1人患病的概率．
19．【答案】（1）证明：连接，连接，如图所示
因为四边形为正方形，且对角线
所以为的中点，又因为为的中点，
所以，
又平面，平面，
所以平面.
（2）证明：因为四边形为正方形，所以，
又平面平面，且平面平面，平面
所以平面，又平面，
所以，
因为为正三角形，且为中点
所以，又，
所以，又
所以．
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质
【解析】【分析】 (1) 连接，连接 ，则O为BD的中点，利用中位线定理可得MO//PB，结合线面平行的判定定理可证得PB//平面AMC；
(2)由面面垂直的性质定理可得CD⊥平面PAD，则CD⊥AM，结合AM⊥PD，由线面垂直的判定定理可得AM⊥平面PCD，从而证得AM⊥PC.
20．【答案】（1）解：由题意知：，解得，则椭圆E的标准方程为；
（2）证明：由（1）知：椭圆E的标准方程为，则，
若，则直线的方程为，则，易得线段的垂直平分线方程为，则，，；
若，则直线的方程为，联立椭圆，整理得，
设，可得，设的中点为，所以，
则，即，则的垂直平分线方程为，
令，可得，则，
所以，
又，
所以；综上：.
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】 (1)直接将A，B代入 中， 解得a， b，即可得出椭圆E的标准方程；
(2)若k= 0，直接求出|FM|，|CD|；若k≠0，写出直线 的方程，联立椭圆的方程，表示出线段CD的垂直平分线的方程，求出M点的坐标，表示出|FM|， |CD|，即可证得 为定值．
21．【答案】（1）证明：因为底面ABCD是平行四边形，且AC=BD，所以底面ABCD是矩形，所以有，又PD⊥AB，且，平面PAD，
所以平面PAD，又平面PAB，
所以平面PAB⊥平面PAD；
（2）解：取的中点，因为，可得，由（1）可得，
而，且平面，
所以平面.
所以以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.
所以.
设，由PD=3MD．有，可得，所以.
所以
设平面PAB的法向量为，则有，可取，
设平面MAC的法向量为，则有，可取，
设平面PAB与平面MAC所成锐二面角为，
则平面PAB与平面MAC所成锐二面角的余弦值为.
【知识点】平面与平面垂直的判定；用空间向量求平面间的夹角
【解析】【分析】 (1)先证明线面垂直，再证明面面垂直即可证得面PAB⊥平面PAD；
(2)以O坐标原点，建立空间直角坐标系，再分别求出平面PAB的法向量和平面MAC的法向量，利用向量的夹角公式计算即可得平面PAB与平面MAC所成锐二面角的余弦值．
22．【答案】（1）解：的定义域为．，
令，即，解得，
当时，；当时，，
所以在单调递减，在单调递增，
故是在的唯一最小值点．
所以．
（2）证明：，定义域为，
因为．所以在单调递增，
又，，故存在，使得．
所以当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增．
因为有且仅有两个实根，所以，
又，，且
所以，故．
又
又在单调递减，故是在的唯一根，
故．所以．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值
【解析】【分析】(1)求导得f' (x)，分析f' (x)的正负，进而可得f (x)的单调性，即可求出 的最小值；
(2)根据题意可得 ， 求导分析单调性，又F'(1)<0，F' (2)>0， 推出F(x)存在唯一x0，使得 ，根据导数符号可得F(x)的单调性，极小值，又 ，又f (x)有且仅有两个零点，则 ，即可证得 ．
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江苏省连云港市2021-2022学年高二下学期数学期末考试试卷
一、单选题
1．（2022高二下·连云期末）若，则P(A)=（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】条件概率与独立事件
【解析】【解答】依题意得，所以，
解得．
故答案为：C．
【分析】根据条件概率公式列式计算，即可得答案.
2．（2022高二下·连云期末）甲、乙两人射击，中靶的概率分别为0.9，0.7．若两人同时独立射击，则他们只有一人中靶的概率是（ ）
A．0.97 B．0.63 C．0.34 D．0.03
【答案】C
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】只有一人中靶的概率是.
故答案为：C.
【分析】根据相互独立事件的概率乘法公式进行计算，可得答案.
3．（2022高二下·连云期末）某冷饮店日盈利y(单位：百元)与当天气温x(单位：℃)之间有如下数据
/ 15 20 25 30 35
/百元 1 2 2 4 5
已知y与x之间具有线性相关关系，则y与x的线性回归方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】线性回归方程
【解析】【解答】线性回归方程必过样本中心点，由题意得，，结合选项可知，
，即y与x的线性回归方程是.
故答案为：B.
【分析】 根据已知条件，结合线性回归方程的性质，即可求解出答案.
4．（2022高二下·连云期末）展开式中的常数项为（ ）
A．20 B．40 C．60 D．80
【答案】C
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】由题意，展开式的通项公式，当时，，故展开式中的常数项为
故答案为：C
【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得展开式中的常数项.
5．（2022高二下·连云期末）已知离散型随机变量X的分布列如下表：
X 0 1 2
P 0.64 q2 1－2q
则E(X)=（ ）
A．0.56 B．0.64 C．0.72 D．0.8
【答案】A
【知识点】离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】由题可得，解得或，
当时，，不符合题意，舍去，
；
所以可得分布列为
X 0 1 2
P 0.64 0.16 0.2
，
故答案为：A.
【分析】 根据概率分布列的性质求得q值，再根据分布列直接求期望.
6．（2022高二下·连云期末）如图所示，已知三棱台的上、下底面都是等腰直角三角形，面，，则这个三棱台的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积
【解析】【解答】因为平面，平面，
所以，
又，
所以，
在梯形中，易知，，
所以，
所以这个三棱台的侧面积为.
故答案为：A.
【分析】 根据线面垂直的性质定理，再利用棱台的侧面面积公式，结合梯形的面积公式即可求解出答案.
7．（2022高二下·连云期末）设，且，若能被15整除，则（ ）
A．0 B．1 C．13 D．14
【答案】D
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】因为，所以展开式为
，
其中每一项都能被整除，
，
其中每一项都能被15整除，
所以能被整除的余数为，
因为，且，若能被15整除，
所以能被15整除，所以.
故答案为：D.
【分析】 将化为，求出被15整除的余数，再结合已知条件即可求解出a的值.
8．（2022高二下·连云期末）某双一流大学为提高数学学院学生的数学素养，特开设了“模糊数学”“复变函数”“微分几何”“数值分析”“拓扑学”五门选修课程，要求学院每位同学每学年至多选3门，大一到大三三学年必须将五门选修课程选完，则每位同学的不同选修方式有（ ）
A．150种 B．210种 C．300种 D．540种
【答案】B
【知识点】分步乘法计数原理
【解析】【解答】由题意可知三年修完五门课程，且每年至多选三门，
则每位同学每年所修课程数可以分为0，2，3或1，1，3或1，2，2．
若按1，2，2选修五门课程，则先将五门选修课分成三组，有种不同方式，
再分配到三个学年，共有种不同的分配方式，由分步乘法计数原理可得共有种不同的选修方式；
若按0，2，3选修四门课程，则先将五门选修课分成三组，有种不同方式，
再分配到三个学年，共有种不同的分配方式，由分步乘法计数原理可得共有种不同的选修方式；
若按1，1，3选修四门课程，则先将五门选修课分成三组，有种不同方式，
再分配到三个学年，共有种不同的分配方式，由分步乘法计数原理可得共有种不同的选修方式．
所以每位同学的不同选修方式有种．
故答案为：B．
【分析】由题意可知三年修完五门课程，且每年至多选三门，则每位同学每年所修课程数可以分为0，2，3或1，1，3或1，2，2，由分步乘法计数原理可得不同的选修方式数，再由加法计数原理计算可得答案.
二、多选题
9．（2022高二下·连云期末）已知，则x=（ ）
A．3 B．6 C．8 D．10
【答案】A,D
【知识点】组合及组合数公式
【解析】【解答】因为，故或，即或
故答案为：AD
【分析】根据组合数公式的性质列式计算，可得答案.
10．（2022高二下·连云期末）甲、乙两名运动员进行羽毛球单打比赛，根据以往比赛的胜负情况知道，每一局甲胜的概率，乙胜的概率为．则（ ）
A．当采用“三局两胜”制，甲胜的概率为
B．当采用“三局两胜”制，乙胜的概率为
C．当采用“五局三胜”制，甲胜的概率为
D．当采用“五局三胜”制，乙胜的概率为
【答案】B,C
【知识点】互斥事件的概率加法公式；n次独立重复试验中恰好发生k次的概率
【解析】【解答】因为每一局甲胜的概率为，乙胜的概率为，
若比赛采用三局两胜制，甲胜的情况为连胜两局结束比赛或前两局胜一局第三局获胜，其概率为：，乙胜的概率为
A不符合题意，B符合题意；
若采用五局三胜制，则甲胜的情况为连续三局获胜结束比赛，或前三局有一局负，第四局胜，或前四局有两局获胜，第五局获胜.
其概率为：，乙胜的概率为
C符合题意，D不符合题意；
故答案为：BC
【分析】 根据独立事件的概率，依次计算三局两胜制和五局三胜制甲获胜的概率，即可得答案.
11．（2022高二下·连云期末）已知的展开式中，第2，3，4项的二项式系数依次成等差数列，则（ ）
A．n=7 B．第4项为
C．第3项系数最大 D．展开式中有理项有2项
【答案】A,C,D
【知识点】二项式定理；二项式系数的性质
【解析】【解答】解：因为的展开式中，第2，3，4项的二项式系数依次成等差数列，
所以，解得或（舍去），A符合题意；
所以的通项公式为，
令，得，B不符合题意；
因为，
且第二项、第四项、第六项、第八项系数为负，故第3项系数最大，C符合题意；
展开式中有理项有，2项，D符合题意，
故答案为：ACD
【分析】根据第2，3，4项的二项式系数依次成等差数列，由，得到n= 7，结合二项式展开项的通式逐项进行判断，即可得答案.
12．（2022高二下·连云期末）一副三角板按如图所示的方式拼接，将△BCD折起，使得二面角A－BC－D的大小为θ，E，F分别是BC，BD的中点，则（ ）
A．直线BD与平面AEF所成的角是定值
B．当θ=90°时，平面ABD⊥平面ACD
C．当θ=90°时，直线BD与AC的夹角为45°
D．设平面AEF∩平面ACD=l，则l//平面BCD
【答案】A,B,D
【知识点】异面直线及其所成的角；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定；直线与平面所成的角
【解析】【解答】对于A，可知，因为E，F分别是BC，BD的中点，所以可知，从而可知，又，且平面，所以平面，从而可知直线BD与平面AEF所成的角为为定值，A符合题意；
对于B，二面角为直二面角，且，平面，则平面.
平面，故.
，，故平面，平面，
故平面平面ACD．B符合题意；
对于C，分别取的中点，过点作于，连接，不妨设，则可得，
则在中，，从而可知直线BD与AC的夹角不可能是45°，C不符合题意；
对于D，因为E，F分别是BC，BD的中点，所以，且平面，平面，因此可得平面，而平面AEF平面ACD=l，
所以直线，又平面，平面，所以l//平面BCD，D符合题意..
故答案为：ABD
【分析】 先证线面垂直，得到线面角即可判断A；根据直二面角得到平面，得到CD⊥AB，再证明AB⊥平面CDA，可判断B；通过平移后再解三角形可求解可判断C；根据线面平行的性质求解可判断D.
三、填空题
13．（2022高二下·连云期末）已知 =(3，2，－1)， (2，1，2)，则= ．
【答案】2
【知识点】平面向量的坐标运算；平面向量数量积的运算
【解析】【解答】因为，
故答案为：2
【分析】 利用空间向量的线性运算求出，的坐标，再结合向量数量积的运算法则求解出答案.
14．（2022高二下·连云期末）从这4个数字中选出3个不同数字能组成 个三位数．
【答案】18
【知识点】排列、组合及简单计数问题
【解析】【解答】由于选出3个不同数字能组成的三位数中，百位上的数字不能是0，
因此可以分两步完成排列，第步，排百位上的数字，
可以从这从3个数字中任选1个，有种选法；
第2步，排十位和个位上的数字，可以从余下的3个数字中任选2个，有种选法；
根据分步乘法计数原理，所求的三位数的个数为.
故答案为：18.
【分析】根据题意，依次分析三位数的百位、十位、个位数字的情况，由分步计数原理计算可得答案.
15．（2022高二下·连云期末）为了解高二学生体育健康情况，学校组织了一次体育健康测试，成绩X近似服从正态分布N(70，72)，已知成绩在77分以上的学生有208人，如果成绩大于84分为优秀，则本次体育健康测试成绩优秀的大约有 人．
(参考数据：P(μ－σ＜X＜μ＋σ)=0.68，P(μ－2σ＜X＜μ＋2c)=0.96)
【答案】26
【知识点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义
【解析】【解答】解：由高三全体考生的数学成绩近似服从正态分布N(70，72)，得，，
，又成绩在77分以上的学生有208人，则高二学生总数为；
，则本次体育健康测试成绩优秀的大约有人.
故答案为：26.
【分析】由已知求得，，利用对称性求得P(X≥77)=0.16，可得成绩在77分以上的学生有208人，求得高二学生总人数，求出P(X≥84)=0.02，利用概率求得本次体育健康测试成绩优秀的大约人数.
16．（2022高二下·连云期末）如图，在球内接四棱锥中，底面的对角线AC与BD交于点O，，，，，．则球的表面积为 ．
【答案】20π
【知识点】球的体积和表面积
【解析】【解答】由题意知，底面有外接圆，即，则，则，
即，解得，则，又由，可得，
且，则，则，，则，
设中点，则底面的外接圆圆心即为，又，，，则，
又，平面，，则平面，又平面，则，
又底面，，则底面，过作，使，连接，
易得四边形为矩形，，球心在上，设球心为，球的半径为，则，
设，则，则，解得，则球的表面积为.
故答案为：20π.
【分析】先由余弦定理求得，进而求出AC=4，由勾股定理得OE⊥AC，结合BD⊥OE证得OE⊥底面ABCD，取AC中点M，过M作MN //OE，得出球心在MN上，由勾股定理求出半径，即可求解出球的表面积 .
四、解答题
17．（2022高二下·连云期末）某同学会做老师给出的6道题中的4道.现从这6道题中选3道让该同学做，规定至少做出2道才能及格，试求：
（1）选做的3题中该同学会做的题目数的分布列；
（2）该同学能及格的概率．
【答案】（1）解：记该同学会做的题目数为，由题意，，
，，，
所以该同学会做的题目数的分布列为：
1 2 3
（2）解：由（1），该同学能及格的概率为：.
【知识点】离散型随机变量及其分布列
【解析】【分析】 (1) 记该同学会做的题目数为，由题意， ，则根据超几何分布求概率的方法求出对应的概率，最后写出分布列；
(2)根据(1)即可求得该同学能及格的概率．
18．（2022高二下·连云期末）某医疗机构为了解某疾病与喝酒是否有关，进行了一次抽样调查，数据如下表：
未患病 患病 合计
喝酒 110 40 150
不喝酒 90 10 100
合计 200 50 250
参考公式：(其中n=a＋b＋c＋d)
P(χ2≥x0) 0.10 0.05 0.025 0.01 0.005 0.001
x0 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
（1）根据数据，能否有99.5%把握认为，患病与喝酒有关
（2）从喝酒的150人中按分层抽样的方法抽取15人，再从这15人中抽取3人，求至少有1人患病的概率．
【答案】（1）解：由列联表中的数据可知
所以有的把握认为患病与喝酒有关．
（2）解：由题意知：所抽取的15人中，未患病的有人，患病的有人，记“至少有一人患病”为事件，则．
所以至少有一人患病的概率为.
【知识点】独立性检验的基本思想；古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】 (1)根据 列联表中的数据计算观测值，利用观测值与临界值比较即可求解出结论；
(2)根据分层抽样的抽样比及组合的定义，利用对立事件及古典概型的计算公式即可求解出至少有1人患病的概率．
19．（2022高二下·连云期末）如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧面是正三角形，侧面⊥底面，是的中点，证明：
（1）平面；
（2）．
【答案】（1）证明：连接，连接，如图所示
因为四边形为正方形，且对角线
所以为的中点，又因为为的中点，
所以，
又平面，平面，
所以平面.
（2）证明：因为四边形为正方形，所以，
又平面平面，且平面平面，平面
所以平面，又平面，
所以，
因为为正三角形，且为中点
所以，又，
所以，又
所以．
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质
【解析】【分析】 (1) 连接，连接 ，则O为BD的中点，利用中位线定理可得MO//PB，结合线面平行的判定定理可证得PB//平面AMC；
(2)由面面垂直的性质定理可得CD⊥平面PAD，则CD⊥AM，结合AM⊥PD，由线面垂直的判定定理可得AM⊥平面PCD，从而证得AM⊥PC.
20．（2022高二下·连云期末）椭圆经过点．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）若斜率为k的直线l过椭圆E的左焦点F，与椭圆E交于C，D两点，CD的垂直平分线与x轴交于点M，证明：为定值．
【答案】（1）解：由题意知：，解得，则椭圆E的标准方程为；
（2）证明：由（1）知：椭圆E的标准方程为，则，
若，则直线的方程为，则，易得线段的垂直平分线方程为，则，，；
若，则直线的方程为，联立椭圆，整理得，
设，可得，设的中点为，所以，
则，即，则的垂直平分线方程为，
令，可得，则，
所以，
又，
所以；综上：.
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】 (1)直接将A，B代入 中， 解得a， b，即可得出椭圆E的标准方程；
(2)若k= 0，直接求出|FM|，|CD|；若k≠0，写出直线 的方程，联立椭圆的方程，表示出线段CD的垂直平分线的方程，求出M点的坐标，表示出|FM|， |CD|，即可证得 为定值．
21．（2022高二下·连云期末）如图，四棱锥P－ABCD的底面是平行四边形，AD=2AB=6，，PD⊥AB，AC=BD，点M在侧棱PD上，且PD=3MD．
（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；
（2）求平面PAB与平面MAC所成锐二面角的余弦值．
【答案】（1）证明：因为底面ABCD是平行四边形，且AC=BD，所以底面ABCD是矩形，所以有，又PD⊥AB，且，平面PAD，
所以平面PAD，又平面PAB，
所以平面PAB⊥平面PAD；
（2）解：取的中点，因为，可得，由（1）可得，
而，且平面，
所以平面.
所以以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.
所以.
设，由PD=3MD．有，可得，所以.
所以
设平面PAB的法向量为，则有，可取，
设平面MAC的法向量为，则有，可取，
设平面PAB与平面MAC所成锐二面角为，
则平面PAB与平面MAC所成锐二面角的余弦值为.
【知识点】平面与平面垂直的判定；用空间向量求平面间的夹角
【解析】【分析】 (1)先证明线面垂直，再证明面面垂直即可证得面PAB⊥平面PAD；
(2)以O坐标原点，建立空间直角坐标系，再分别求出平面PAB的法向量和平面MAC的法向量，利用向量的夹角公式计算即可得平面PAB与平面MAC所成锐二面角的余弦值．
22．（2022高二下·连云期末）已知函数．
（1）求的最小值；
（2）设，若有且仅有两个实根，证明：．
【答案】（1）解：的定义域为．，
令，即，解得，
当时，；当时，，
所以在单调递减，在单调递增，
故是在的唯一最小值点．
所以．
（2）证明：，定义域为，
因为．所以在单调递增，
又，，故存在，使得．
所以当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增．
因为有且仅有两个实根，所以，
又，，且
所以，故．
又
又在单调递减，故是在的唯一根，
故．所以．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值
【解析】【分析】(1)求导得f' (x)，分析f' (x)的正负，进而可得f (x)的单调性，即可求出 的最小值；
(2)根据题意可得 ， 求导分析单调性，又F'(1)<0，F' (2)>0， 推出F(x)存在唯一x0，使得 ，根据导数符号可得F(x)的单调性，极小值，又 ，又f (x)有且仅有两个零点，则 ，即可证得 ．
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