江苏省泰州市2021-2022学年高二下学期数学期末考试试卷
1．（2022高二下·泰州期末）可以表示为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022高二下·泰州期末）抛掷一颗质地均匀的骰子，样本空间，若事件，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022高二下·泰州期末）已知随机变量X的概率分布为
X －1 0 1 2
P 0.1 0.3 m 0.1
则X的均值为（ ）
A．0.4 B．0.5 C．0.6 D．0.7
4．（2022高二下·泰州期末）《义务教育课程方案》将劳动从原来的综合实践活动课程中完全独立出来，并发布《义务教育劳动课程标准（2022年版）》，劳动课程内容共设置十个任务群，每个任务群由若干项目组成．其中生产劳动包括农业生产劳动、传统工艺制作、工业生产劳动、新技术体验与应用四个任务．甲、乙两名同学每人从四个任务中选择两个任务进行学习，则恰有一个任务相同的选法的种数为（ ）
A．16 B．20 C．24 D．36
5．（2022高二下·泰州期末）的展开式中，常数项为（ ）
A．8 B．16 C．18 D．24
6．（2022高二下·泰州期末）商家为了解某品牌取暖器的月销售量y（台）与月平均气温x（℃）之间的关系，随机统计了某4个月该品牌取暖器的月销售量与当月平均气温，其数据如下表；
平均气温（℃） 17 13 8 2
月销售量（台） 24 33 40 55
由表中数据算出线性回归方程中的，据此估计平均气温为0℃的那个月，该品牌取暖器的销售量约为（ ）台．
A．56 B．58 C．60 D．62
7．（2022高二下·泰州期末）通过随机询问200名性别不同的学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：
男 女 总计
爱好 125 25 150
不爱好 35 15 50
总计 160 40 200
参考公式：独立性检验统计量，其中．
参考数据：
P（≥k） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
则根据列联表可知（ ）
A．有95%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”
B．有95%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”
C．有97.5%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”
D．有97.5%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”
8．（2022高二下·泰州期末）在平行六面体中，，，，，则与所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
9．（2022高二下·泰州期末）下列说法中正确的是（ ）
A．公式中的L和W具有相关关系
B．回归直线恒过样本点的中心
C．相关系数r的绝对值越接近1，则两个变量的相关性越强
D．对分类变量x与y的随机变量来说，越小，判断“x与y有关系”的把握越大
10．（2022高二下·泰州期末）下列关于随机变量X的说法正确的是（ ）
A．若X服从二项分布B（4，），
B．若X服从超几何分布H（4，2，10），则
C．若X的方差为D（X），则
D．若X服从正态分布N（3，），且，则
11．（2022高二下·泰州期末）设，下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．在，，…，中，最大
12．（2022高二下·泰州期末）在正三棱柱中，底面ABC是边长为2的等边三角形，，D为BC中点，则（ ）
A．平面⊥平面
B．异面直线与BC所成角的余弦值为
C．点M在内（包括边界）且，则CM与平面ABC所成的角的正弦值的最大值为
D．设P，Q分别在线段，上，且，则PQ的最小值为
13．（2022高二下·泰州期末） ．
14．（2022高二下·泰州期末）已知离散型随机变量X服从两点分布，且，则随机变量X的标准差为 ．
15．（2022高二下·泰州期末）长方体中，，，则点B到平面的距离为 ．
16．（2022高二下·泰州期末）设甲袋中有3个白球和4个红球，乙袋中有2个白球和3个红球，现从甲袋中任取2个球，记取出的红球个数为X，则＝ ，将取出的球放入乙袋，再从乙袋中任取2个球，则从乙袋中取出的是2个红球的概率为 ．
17．（2022高二下·泰州期末）在下面三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并对其求解．条件①：前三项的二项式系数之和为16；条件②：第3项与第4项的二项式系数相等；条件③：所有项的系数之和为1024
问题：在的展开式中，____．
（1）求n的值；
（2）求展开式中所有的有理项．
注：如果选择不同的条件分别解答，则按第一个解答计分．
18．（2022高二下·泰州期末）已知，．
（1）求的值；
（2）当时，求实数k的值．
19．（2022高二下·泰州期末）电影《夺冠》讲述了中国女排姑娘们顽强拼搏、为国争光的励志故事，现有4名男生和3名女生相约一起去观看该影片，他们的座位在同一排且连在一起．
（1）女生必须坐在一起的坐法有多少种？
（2）女生互不相邻的坐法有多少种？
（3）甲、乙两位同学相邻且都不与丙同学相邻的坐法有多少种？
20．（2022高二下·泰州期末）如图，在正四棱锥P－ABCD中，AC，BD交于点O，，．
（1）求二面角的大小；
（2）在线段AD上是否存在一点Q，使得PQ与平面APB所成角的正弦值为？若存在，指出点Q的位置；若不存在，说明理由．
21．（2022高二下·泰州期末）某公司对项目甲进行投资，投资金额x与所获利润y之间有如下对应数据：
项目甲投资金额x（百万元） 6 5 4 3 2
所获利润y（百万元） 0.9 0.8 0.4 0.2 0.2
参考公式：，．相关系数．
参考数据：统计数据表中．
（1）用相关系数说明y与x相关性的强弱（本题规定，相关系数r满足，则认为线性相关性较强；否则，线性相关性较弱）；
（2）该公司计划用7百万元对甲，乙两个项目进行投资，若公司利用表格中的数据建立线性回归方程对项目甲所获得的利润进行预测，项目乙投资百万元所获得的利润y百万元近似满足：，求甲，乙两个项目投资金额分别为多少时，获得的总利润最大．
22．（2022高二下·泰州期末）我国是全球制造业大国，制造业增加值自2010年起连续12年位居世界第一，主要产品产量稳居世界前列，为深入推进传统制造业改造提升，全面提高传统制造业核心竞争力，某设备生产企业对现有生产设备进行技术攻坚突破．设备生产的零件的直径为X（单位nm）．
（1）现有旧设备生产的零件共7个，其中直径大于10nm的有4个．现从这7个零件中随机抽取3个．记表示取出的零件中直径大于10nm的零件的个数，求的分布列及数学期望；
（2）技术攻坚突破后设备生产的零件的合格率为，每个零件是否合格相互独立．现任取6个零件进行检测，若合格的零件数超过半数，则可认为技术攻坚成功．求技术攻坚成功的概率及的方差；
（3）若技术攻坚后新设备生产的零件直径X~N（9，0.04），从生产的零件中随机取出10个，求至少有一个零件直径大于9.4nm的概率．
参考数据：若，则，，，．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】排列及排列数公式
【解析】【解答】为排列数，可以表示为。
故答案为：B
【分析】利用已知条件结合排列数公式，进而得出 可以表示的排列数。
2．【答案】B
【知识点】条件概率与独立事件
【解析】【解答】由题意，，。
故答案为：B
【分析】利用已知条件结合条件概型求概率公式，进而得出 的值。
3．【答案】C
【知识点】离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】由题意得，得，
所以。
故答案为：C
【分析】利用已知条件结合分布列中的数据，再结合概率之和等于1，进而得出实数m的值，再利用随机变量求均值的方法，进而求出随机变量X的均值。
4．【答案】C
【知识点】分步乘法计数原理；简单计数与排列组合
【解析】【解答】先从四个任务中选择一个相同任务的方法总数为，
再从剩下的三个任务中选两个分给甲乙即，
所以甲、乙两名同学每人从四个任务中选择两个任务进行学习，
则恰有一个任务相同的选法的种数为：。
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合组合数公式和排列数公式，再利用分步乘法计数原理，进而得出恰有一个任务相同的选法的种数。
5．【答案】D
【知识点】二项式定理的应用
【解析】【解答】将展开为，
则的通项公式为：，
所以的展开式中，常数项为：。
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合二项式定理求出展开式中的通项公式，再利用通项公式求出展开式中的常数项。
6．【答案】B
【知识点】线性回归方程；回归分析的初步应用
【解析】【解答】根据表格中的数据，可得，
又由点在回归方程上，其中，
所以，解得，即，
当时，，即估计该商场平均气温为0℃的那个月取暖器销售量约为件。
故答案为：B.
【分析】利用已知条件结合平均数公式和最小二乘法，进而求出 线性回归方程 ，再利用代入法，进而估计出平均气温为0℃的那个月，该品牌取暖器的销售量。
7．【答案】A
【知识点】独立性检验的应用
【解析】【解答】根据列联表有，故有95%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”。
故答案为：A
【分析】利用已知条件结合列联表中的数据，再结合独立性检验的方法，进而判断出有95%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”。
8．【答案】D
【知识点】平面向量的基本定理；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】，
则，
，
，
，
，
，
所以。
故答案为：D
【分析】利用已知条件结合三角形法则和平面向量基本定理，再结合数量积的运算法则和数量积的定义，再利用数量积求向量的模公式和数量积求夹角公式，进而得出的值，再利用同角三角函数基本关系式，进而得出 与所成角的正弦值。
9．【答案】B,C
【知识点】变量相关关系；独立性检验的基本思想；回归分析；样本相关系数r及其数字特征
【解析】【解答】对于A，公式中，L和W关系明确，属于函数关系，不是相关关系，相关关系是一种非确定的关系，A不符合题意
对于B，回归直线恒过样本点的中心，B符合题意；
对于C，相关系数r的绝对值越接近1，则两个变量的相关性越强，C符合题意；
对于D，对分类变量x与y，它们的随机变量越大，判断“x与y有关系”的把握越大，D不符合题意.
故答案为：BC.
【分析】利用已知条件结合相关关系判断方法、回归直线恒过样本中心点的性质、相关系数与变量相关性强弱的关系、分类变量x与y的随机变量大小与判断“x与y有关系”的把握大小的关系，进而找出说法正确的选项。
10．【答案】A,B
【知识点】离散型随机变量的期望与方差；超几何分布；二项分布；正态密度曲线的特点
【解析】【解答】对A，若X服从二项分布B（4，），则，A符合题意；
对B，若X服从超几何分布H（4，2，10），则，B符合题意；
对C，若X的方差为D（X），则，C不符合题意；
对D，若X服从正态分布N（3，），且，则，D不符合题意；
故答案为：AB
【分析】利用一张图结合二项分布求数学期望公式、超几何分布求数学期望公式、方差的性质、正态分布对应的函数的图象的对称性和概率的关系，进而找出随机变量X的说法正确的选项。
11．【答案】A,B,D
【知识点】二项式系数的性质；二项式定理的应用
【解析】【解答】令，所以①，
令，所以②，
所以①②得：，
所以，所以A符合题意；
，
则的通项公式为：
所以令，则，所以，
令，则，所以，
所以，B符合题意；
对两边同时求导，
则，
令，所以，所以C不符合题意；
由的通项公式，知为正，为负，
所以，，
在，，…，中，最大，所以D符合题意.
故答案为：ABD.
【分析】利用已知条件结合二项式定理求出展开式中的通项公式，再利用赋值法和求和法，再结合最值求解方法，进而找出结论正确的选项。
12．【答案】A,C,D
【知识点】二次函数在闭区间上的最值；平面内两点间距离公式的应用；异面直线所成的角；平面与平面垂直的判定；直线与平面所成的角
【解析】【解答】对于A，在正三棱柱中，为的中点，所以，
如图建立空间直角坐标系，
则，，，，，，，所以，，设平面的法向量为，则，令，则，，所以，设平面，所以，则平面⊥平面，所以A符合题意；
对于B，，，设直线与BC所成角为，则，所以异面直线与所成角的余弦值为，B不正确.
对于C，设平面，因为点M在内（包括边界）且，
所以设，则四点共面，则，
所以，
则，所以，所以，
因为，所以化简得：，
所以，解得：，
设CM与平面ABC所成的角为，所以
，
所以CM与平面ABC所成的角的正弦值的最大值为，C符合题意.
对于D，设，则、，因为，，所以，，则，，所以，所以当时有最小值，所以，所以，D符合题意；
故答案为： ACD.
【分析】利用已知条件结合空间向量的方法，再结合面面垂直的判定定理、异面直线求角的方法、余弦函数的定义、线面角的求解方法、两点求距离公式、对应边成比例，二次函数的图象求最值的方法，进而找出正确的选项。
13．【答案】64
【知识点】组合及组合数公式
【解析】【解答】。
故答案为：64。
【分析】利用已知条件结合组合数公式的性质，进而结合组合数公式，进而得出的值。
14．【答案】
【知识点】极差、方差与标准差
【解析】【解答】因为离散型随机变量X服从两点分布，
设，所以，
所以代入有：，
解得：，，
因为离散型随机变量X服从两点分布，所以.
则随机变量X的标准差为。
故答案为：。
【分析】利用离散型随机变量X服从两点分布，进而求出随机变量的分布列，再利用已知条件结合对立事件求概率公式，再结合方差公式，进而求出随机变量X的方差，再结合方差与标准差的关系，进而求出随机变量X的标准差。
15．【答案】
【知识点】点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】在长方体中，以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示空间直角坐标系，
因为，，所以，， ，，，，
设平面的法向量为：
，
，令得：
又因为
点B到平面的距离为：。
故答案为：。
【分析】在长方体中，以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，从而得出点的坐标，再结合向量的坐标表示，进而求出向量的坐标，再利用数量积为0两向量垂直的等价关系，再结合数量积的坐标表示得出平面的法向量，再利用数量积求出点B到平面的距离。
16．【答案】；
【知识点】互斥事件的概率加法公式；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】甲袋中有3个白球和4个红球，从甲袋中任取2个球，记取出的红球个数为X，则随机变量X服从超几何分布，
所以由超几何分布的数学期望得：；
甲袋任取两个球的可能性有三种：
甲袋取出的为2个白球时，则从乙袋中取出的是2个红球的概率为：；
甲袋取出的为1个白球、1个红球时，则从乙袋中取出的是2个红球的概率为：；
甲袋取出的为2个红球时，则从乙袋中取出的是2个红球的概率为：
从乙袋中取出的是2个红球的概率为：。
故答案为：；。
【分析】利用已知条件结合随机变量服从超几何分布，再利用数学期望求解公式，进而求出随机变量X的数学期望；再利用已知条件结合组合数公式和古典概型求概率公式，再结合互斥事件加法求概率公式，进而得出从乙袋中取出的是2个红球的概率。
17．【答案】（1）解：选条件①：由题意，前三项的二项式系数之和为，即，故，因为，故
选条件②：由题意，，故，解得
选条件③：令有，解得
（2）解：由题意，的通项公式，
故当时为有理项，分别为，，故有理项有与
【知识点】二项式系数的性质；二项式定理的应用
【解析】【分析】（1） 选条件①：由题意结合前三项的二项式系数之和为16和二项式定理求出展开式中的通项公式，再利用一元二次方程求解方法和n的取值范围，进而得出n的值；
选条件②：由题意结合第3项与第4项的二项式系数相等和组合数公式，进而得出n的值；
选条件③：利用已知条件结合所有项的系数之和为1024，再结合赋值法，进而得出n的值。
（2）利用已知条件结合二项式定理求出展开式中的通项公式，再利用通项公式结合有理项的定义，进而求出展开式中所有的有理项。
18．【答案】（1）解：因为，，故，，故
（2）解：，，，因为，故，即，故，即，故或
【知识点】平面向量的坐标运算；利用数量积判断平面向量的垂直关系；平面向量数量积坐标表示的应用
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合向量的坐标运算和数量积的坐标表示，进而得出 的值。
（2）利用已知条件结合向量的坐标运算合数量积为0两向量垂直的等价关系，再结合数量积的坐标表示，进而得出实数k的值。
19．【答案】（1）解：先将3个女生排在一起，有种排法，将排好的女生视为一个整体，与4个男生进行排列，共有种排法，由分步乘法计数原理，共有(种)排法；
（2）解：先将4个男生排好，有种排法，再在这4个男生之间及两头的5个空挡中插入3个女生有种方法，故符合条件的排法共有(种)；
（3）解：先排甲、乙、丙以外的其他4人，有种排法，由于甲、乙相邻，故再把甲、乙排好，有种排法，最后把排好的甲、乙这个整体与丙分别插入原先排好的4人的5个空挡中有种排法，故符合条件的排法共有(种)；
【知识点】分步乘法计数原理；简单计数与排列组合
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合排列数公式合分步乘法计数原理，进而结合捆绑法求出女生必须坐在一起的坐法种数。
（2）利用已知条件结合排列数公式合分步乘法计数原理，进而结合插空法求出女生互不相邻的坐法种数。
（3） 利用已知条件结合排列数公式合分步乘法计数原理，进而结合插空法求出甲、乙两位同学相邻且都不与丙同学相邻的坐法种数。
20．【答案】（1）解：由题意得平面ABCD，且，
以O为原点，分别以OA，OB，OP为x，y，z轴正方向建系，如图所示
所以，
所以，
设平面PAB的法向量，
则，即，
令，可得，所以，
因为平面ABCD，平面ABCD，
所以，
又因为，，平面PAC，
所以平面，
所以即为平面的法向量，
所以，
又，由图象可得二面角为锐二面角，
所以二面角的大小为
（2）解：假设线段AD上存在一点Q，满足题意，
设，因为，
所以，解得，
所以，则，
因为平面PAB的法向量，
设得PQ与平面APB所成角为
所以，
解得或（舍）
所以在线段AD上存在一点Q，使得PQ与平面APB所成角的正弦值为，此时，即Q为AD上靠近A的四等分点，
【知识点】数量积表示两个向量的夹角；直线与平面所成的角；二面角及二面角的平面角
【解析】【分析】（1） 由题意得平面ABCD，且，以O为原点，分别以OA，OB，OP为x，y，z轴正方向建系，进而得出点的坐标，再结合向量的坐标表示求出向量的坐标，再利用数量积求向量夹角公式，进而得出二面角的大小。
（2）假设线段AD上存在一点Q，满足题意，设，利用结合向量共线的坐标表示得出与的关系式，进而得出点Q的坐标，再结合向量的坐标表示求出向量的坐标，再利用平面PAB的法向量，设得PQ与平面APB所成角为，再结合数量积求向量夹角公式和诱导公式以及已知条件，进而得出满足要求的的值，所以在线段AD上存在一点Q，使得PQ与平面APB所成角的正弦值为，此时，即Q为AD上靠近A的四等分点。
21．【答案】（1）解：由题意，，，
，，，
，
y与x线性相关性较强；
（2）解：由（1）可设关于的线性回归方程为：
，，
，
设对乙投资百万元，则甲项目投资百万元，
总利润，
时取等号，此时，
所以甲，乙两个项目投资金额分别为5.5百万元，1.5百万元时，获得的总利润最大．
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；线性相关；线性回归方程
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合相关系数与y与x相关性的强弱的关系，进而得出y与x线性相关性较强。
（2）利用已知条件结合（1）设出的线性回归方程，再结合最小二乘法，进而求出线性回归方程，再利用利润与成本和售价的关系，进而结合均值不等式求最值的方法，进而得出甲，乙两个项目投资金额分别为5.5百万元，1.5百万元时，获得的总利润最大。
22．【答案】（1）解：由题意，可知可取.则有
；
；
；
.
所以的分布列为：
0 1 2 3
因此的数学期望
（2）解：由题意，可取的值为.则有
；
；
.
所以技术攻坚成功的概率.
因于，所以的方差.
（3）解：由，则可知，
由于，则，
所以，
所以，
则，
记“从生产的零件中随机取出10个，至少有一个零件直径大于9.4nm”为事件.
则.
【知识点】互斥事件与对立事件；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；二项分布；正态密度曲线的特点
【解析】【分析】（1） 由题意可知随机变量可取的值，再利用组合数公式和古典概型求概率公式，进而求出随机变量的分布列，再结合随机变量的分布列求数学期望公式，进而求出随机变量的数学期望。
（2） 由题意可知随机变量可取的值，再利用二项分布求出随机变量的分布列，再结合互斥事件求概率公式，进而得出技术攻坚成功的概率，再利用随机变量，再结合方差公式，进而得出随机变量的方差。
（3）利用已知条件结合随机变量服从正态分布，再结合正态分布对应的函数的图象的对称性和对立事件求概率公式，进而得出至少有一个零件直径大于9.4nm的概率。
1 / 1江苏省泰州市2021-2022学年高二下学期数学期末考试试卷
1．（2022高二下·泰州期末）可以表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】排列及排列数公式
【解析】【解答】为排列数，可以表示为。
故答案为：B
【分析】利用已知条件结合排列数公式，进而得出 可以表示的排列数。
2．（2022高二下·泰州期末）抛掷一颗质地均匀的骰子，样本空间，若事件，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】条件概率与独立事件
【解析】【解答】由题意，，。
故答案为：B
【分析】利用已知条件结合条件概型求概率公式，进而得出 的值。
3．（2022高二下·泰州期末）已知随机变量X的概率分布为
X －1 0 1 2
P 0.1 0.3 m 0.1
则X的均值为（ ）
A．0.4 B．0.5 C．0.6 D．0.7
【答案】C
【知识点】离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】由题意得，得，
所以。
故答案为：C
【分析】利用已知条件结合分布列中的数据，再结合概率之和等于1，进而得出实数m的值，再利用随机变量求均值的方法，进而求出随机变量X的均值。
4．（2022高二下·泰州期末）《义务教育课程方案》将劳动从原来的综合实践活动课程中完全独立出来，并发布《义务教育劳动课程标准（2022年版）》，劳动课程内容共设置十个任务群，每个任务群由若干项目组成．其中生产劳动包括农业生产劳动、传统工艺制作、工业生产劳动、新技术体验与应用四个任务．甲、乙两名同学每人从四个任务中选择两个任务进行学习，则恰有一个任务相同的选法的种数为（ ）
A．16 B．20 C．24 D．36
【答案】C
【知识点】分步乘法计数原理；简单计数与排列组合
【解析】【解答】先从四个任务中选择一个相同任务的方法总数为，
再从剩下的三个任务中选两个分给甲乙即，
所以甲、乙两名同学每人从四个任务中选择两个任务进行学习，
则恰有一个任务相同的选法的种数为：。
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合组合数公式和排列数公式，再利用分步乘法计数原理，进而得出恰有一个任务相同的选法的种数。
5．（2022高二下·泰州期末）的展开式中，常数项为（ ）
A．8 B．16 C．18 D．24
【答案】D
【知识点】二项式定理的应用
【解析】【解答】将展开为，
则的通项公式为：，
所以的展开式中，常数项为：。
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合二项式定理求出展开式中的通项公式，再利用通项公式求出展开式中的常数项。
6．（2022高二下·泰州期末）商家为了解某品牌取暖器的月销售量y（台）与月平均气温x（℃）之间的关系，随机统计了某4个月该品牌取暖器的月销售量与当月平均气温，其数据如下表；
平均气温（℃） 17 13 8 2
月销售量（台） 24 33 40 55
由表中数据算出线性回归方程中的，据此估计平均气温为0℃的那个月，该品牌取暖器的销售量约为（ ）台．
A．56 B．58 C．60 D．62
【答案】B
【知识点】线性回归方程；回归分析的初步应用
【解析】【解答】根据表格中的数据，可得，
又由点在回归方程上，其中，
所以，解得，即，
当时，，即估计该商场平均气温为0℃的那个月取暖器销售量约为件。
故答案为：B.
【分析】利用已知条件结合平均数公式和最小二乘法，进而求出 线性回归方程 ，再利用代入法，进而估计出平均气温为0℃的那个月，该品牌取暖器的销售量。
7．（2022高二下·泰州期末）通过随机询问200名性别不同的学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：
男 女 总计
爱好 125 25 150
不爱好 35 15 50
总计 160 40 200
参考公式：独立性检验统计量，其中．
参考数据：
P（≥k） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
则根据列联表可知（ ）
A．有95%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”
B．有95%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”
C．有97.5%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”
D．有97.5%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”
【答案】A
【知识点】独立性检验的应用
【解析】【解答】根据列联表有，故有95%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”。
故答案为：A
【分析】利用已知条件结合列联表中的数据，再结合独立性检验的方法，进而判断出有95%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”。
8．（2022高二下·泰州期末）在平行六面体中，，，，，则与所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平面向量的基本定理；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】，
则，
，
，
，
，
，
所以。
故答案为：D
【分析】利用已知条件结合三角形法则和平面向量基本定理，再结合数量积的运算法则和数量积的定义，再利用数量积求向量的模公式和数量积求夹角公式，进而得出的值，再利用同角三角函数基本关系式，进而得出 与所成角的正弦值。
9．（2022高二下·泰州期末）下列说法中正确的是（ ）
A．公式中的L和W具有相关关系
B．回归直线恒过样本点的中心
C．相关系数r的绝对值越接近1，则两个变量的相关性越强
D．对分类变量x与y的随机变量来说，越小，判断“x与y有关系”的把握越大
【答案】B,C
【知识点】变量相关关系；独立性检验的基本思想；回归分析；样本相关系数r及其数字特征
【解析】【解答】对于A，公式中，L和W关系明确，属于函数关系，不是相关关系，相关关系是一种非确定的关系，A不符合题意
对于B，回归直线恒过样本点的中心，B符合题意；
对于C，相关系数r的绝对值越接近1，则两个变量的相关性越强，C符合题意；
对于D，对分类变量x与y，它们的随机变量越大，判断“x与y有关系”的把握越大，D不符合题意.
故答案为：BC.
【分析】利用已知条件结合相关关系判断方法、回归直线恒过样本中心点的性质、相关系数与变量相关性强弱的关系、分类变量x与y的随机变量大小与判断“x与y有关系”的把握大小的关系，进而找出说法正确的选项。
10．（2022高二下·泰州期末）下列关于随机变量X的说法正确的是（ ）
A．若X服从二项分布B（4，），
B．若X服从超几何分布H（4，2，10），则
C．若X的方差为D（X），则
D．若X服从正态分布N（3，），且，则
【答案】A,B
【知识点】离散型随机变量的期望与方差；超几何分布；二项分布；正态密度曲线的特点
【解析】【解答】对A，若X服从二项分布B（4，），则，A符合题意；
对B，若X服从超几何分布H（4，2，10），则，B符合题意；
对C，若X的方差为D（X），则，C不符合题意；
对D，若X服从正态分布N（3，），且，则，D不符合题意；
故答案为：AB
【分析】利用一张图结合二项分布求数学期望公式、超几何分布求数学期望公式、方差的性质、正态分布对应的函数的图象的对称性和概率的关系，进而找出随机变量X的说法正确的选项。
11．（2022高二下·泰州期末）设，下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．在，，…，中，最大
【答案】A,B,D
【知识点】二项式系数的性质；二项式定理的应用
【解析】【解答】令，所以①，
令，所以②，
所以①②得：，
所以，所以A符合题意；
，
则的通项公式为：
所以令，则，所以，
令，则，所以，
所以，B符合题意；
对两边同时求导，
则，
令，所以，所以C不符合题意；
由的通项公式，知为正，为负，
所以，，
在，，…，中，最大，所以D符合题意.
故答案为：ABD.
【分析】利用已知条件结合二项式定理求出展开式中的通项公式，再利用赋值法和求和法，再结合最值求解方法，进而找出结论正确的选项。
12．（2022高二下·泰州期末）在正三棱柱中，底面ABC是边长为2的等边三角形，，D为BC中点，则（ ）
A．平面⊥平面
B．异面直线与BC所成角的余弦值为
C．点M在内（包括边界）且，则CM与平面ABC所成的角的正弦值的最大值为
D．设P，Q分别在线段，上，且，则PQ的最小值为
【答案】A,C,D
【知识点】二次函数在闭区间上的最值；平面内两点间距离公式的应用；异面直线所成的角；平面与平面垂直的判定；直线与平面所成的角
【解析】【解答】对于A，在正三棱柱中，为的中点，所以，
如图建立空间直角坐标系，
则，，，，，，，所以，，设平面的法向量为，则，令，则，，所以，设平面，所以，则平面⊥平面，所以A符合题意；
对于B，，，设直线与BC所成角为，则，所以异面直线与所成角的余弦值为，B不正确.
对于C，设平面，因为点M在内（包括边界）且，
所以设，则四点共面，则，
所以，
则，所以，所以，
因为，所以化简得：，
所以，解得：，
设CM与平面ABC所成的角为，所以
，
所以CM与平面ABC所成的角的正弦值的最大值为，C符合题意.
对于D，设，则、，因为，，所以，，则，，所以，所以当时有最小值，所以，所以，D符合题意；
故答案为： ACD.
【分析】利用已知条件结合空间向量的方法，再结合面面垂直的判定定理、异面直线求角的方法、余弦函数的定义、线面角的求解方法、两点求距离公式、对应边成比例，二次函数的图象求最值的方法，进而找出正确的选项。
13．（2022高二下·泰州期末） ．
【答案】64
【知识点】组合及组合数公式
【解析】【解答】。
故答案为：64。
【分析】利用已知条件结合组合数公式的性质，进而结合组合数公式，进而得出的值。
14．（2022高二下·泰州期末）已知离散型随机变量X服从两点分布，且，则随机变量X的标准差为 ．
【答案】
【知识点】极差、方差与标准差
【解析】【解答】因为离散型随机变量X服从两点分布，
设，所以，
所以代入有：，
解得：，，
因为离散型随机变量X服从两点分布，所以.
则随机变量X的标准差为。
故答案为：。
【分析】利用离散型随机变量X服从两点分布，进而求出随机变量的分布列，再利用已知条件结合对立事件求概率公式，再结合方差公式，进而求出随机变量X的方差，再结合方差与标准差的关系，进而求出随机变量X的标准差。
15．（2022高二下·泰州期末）长方体中，，，则点B到平面的距离为 ．
【答案】
【知识点】点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】在长方体中，以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示空间直角坐标系，
因为，，所以，， ，，，，
设平面的法向量为：
，
，令得：
又因为
点B到平面的距离为：。
故答案为：。
【分析】在长方体中，以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，从而得出点的坐标，再结合向量的坐标表示，进而求出向量的坐标，再利用数量积为0两向量垂直的等价关系，再结合数量积的坐标表示得出平面的法向量，再利用数量积求出点B到平面的距离。
16．（2022高二下·泰州期末）设甲袋中有3个白球和4个红球，乙袋中有2个白球和3个红球，现从甲袋中任取2个球，记取出的红球个数为X，则＝ ，将取出的球放入乙袋，再从乙袋中任取2个球，则从乙袋中取出的是2个红球的概率为 ．
【答案】；
【知识点】互斥事件的概率加法公式；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】甲袋中有3个白球和4个红球，从甲袋中任取2个球，记取出的红球个数为X，则随机变量X服从超几何分布，
所以由超几何分布的数学期望得：；
甲袋任取两个球的可能性有三种：
甲袋取出的为2个白球时，则从乙袋中取出的是2个红球的概率为：；
甲袋取出的为1个白球、1个红球时，则从乙袋中取出的是2个红球的概率为：；
甲袋取出的为2个红球时，则从乙袋中取出的是2个红球的概率为：
从乙袋中取出的是2个红球的概率为：。
故答案为：；。
【分析】利用已知条件结合随机变量服从超几何分布，再利用数学期望求解公式，进而求出随机变量X的数学期望；再利用已知条件结合组合数公式和古典概型求概率公式，再结合互斥事件加法求概率公式，进而得出从乙袋中取出的是2个红球的概率。
17．（2022高二下·泰州期末）在下面三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并对其求解．条件①：前三项的二项式系数之和为16；条件②：第3项与第4项的二项式系数相等；条件③：所有项的系数之和为1024
问题：在的展开式中，____．
（1）求n的值；
（2）求展开式中所有的有理项．
注：如果选择不同的条件分别解答，则按第一个解答计分．
【答案】（1）解：选条件①：由题意，前三项的二项式系数之和为，即，故，因为，故
选条件②：由题意，，故，解得
选条件③：令有，解得
（2）解：由题意，的通项公式，
故当时为有理项，分别为，，故有理项有与
【知识点】二项式系数的性质；二项式定理的应用
【解析】【分析】（1） 选条件①：由题意结合前三项的二项式系数之和为16和二项式定理求出展开式中的通项公式，再利用一元二次方程求解方法和n的取值范围，进而得出n的值；
选条件②：由题意结合第3项与第4项的二项式系数相等和组合数公式，进而得出n的值；
选条件③：利用已知条件结合所有项的系数之和为1024，再结合赋值法，进而得出n的值。
（2）利用已知条件结合二项式定理求出展开式中的通项公式，再利用通项公式结合有理项的定义，进而求出展开式中所有的有理项。
18．（2022高二下·泰州期末）已知，．
（1）求的值；
（2）当时，求实数k的值．
【答案】（1）解：因为，，故，，故
（2）解：，，，因为，故，即，故，即，故或
【知识点】平面向量的坐标运算；利用数量积判断平面向量的垂直关系；平面向量数量积坐标表示的应用
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合向量的坐标运算和数量积的坐标表示，进而得出 的值。
（2）利用已知条件结合向量的坐标运算合数量积为0两向量垂直的等价关系，再结合数量积的坐标表示，进而得出实数k的值。
19．（2022高二下·泰州期末）电影《夺冠》讲述了中国女排姑娘们顽强拼搏、为国争光的励志故事，现有4名男生和3名女生相约一起去观看该影片，他们的座位在同一排且连在一起．
（1）女生必须坐在一起的坐法有多少种？
（2）女生互不相邻的坐法有多少种？
（3）甲、乙两位同学相邻且都不与丙同学相邻的坐法有多少种？
【答案】（1）解：先将3个女生排在一起，有种排法，将排好的女生视为一个整体，与4个男生进行排列，共有种排法，由分步乘法计数原理，共有(种)排法；
（2）解：先将4个男生排好，有种排法，再在这4个男生之间及两头的5个空挡中插入3个女生有种方法，故符合条件的排法共有(种)；
（3）解：先排甲、乙、丙以外的其他4人，有种排法，由于甲、乙相邻，故再把甲、乙排好，有种排法，最后把排好的甲、乙这个整体与丙分别插入原先排好的4人的5个空挡中有种排法，故符合条件的排法共有(种)；
【知识点】分步乘法计数原理；简单计数与排列组合
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合排列数公式合分步乘法计数原理，进而结合捆绑法求出女生必须坐在一起的坐法种数。
（2）利用已知条件结合排列数公式合分步乘法计数原理，进而结合插空法求出女生互不相邻的坐法种数。
（3） 利用已知条件结合排列数公式合分步乘法计数原理，进而结合插空法求出甲、乙两位同学相邻且都不与丙同学相邻的坐法种数。
20．（2022高二下·泰州期末）如图，在正四棱锥P－ABCD中，AC，BD交于点O，，．
（1）求二面角的大小；
（2）在线段AD上是否存在一点Q，使得PQ与平面APB所成角的正弦值为？若存在，指出点Q的位置；若不存在，说明理由．
【答案】（1）解：由题意得平面ABCD，且，
以O为原点，分别以OA，OB，OP为x，y，z轴正方向建系，如图所示
所以，
所以，
设平面PAB的法向量，
则，即，
令，可得，所以，
因为平面ABCD，平面ABCD，
所以，
又因为，，平面PAC，
所以平面，
所以即为平面的法向量，
所以，
又，由图象可得二面角为锐二面角，
所以二面角的大小为
（2）解：假设线段AD上存在一点Q，满足题意，
设，因为，
所以，解得，
所以，则，
因为平面PAB的法向量，
设得PQ与平面APB所成角为
所以，
解得或（舍）
所以在线段AD上存在一点Q，使得PQ与平面APB所成角的正弦值为，此时，即Q为AD上靠近A的四等分点，
【知识点】数量积表示两个向量的夹角；直线与平面所成的角；二面角及二面角的平面角
【解析】【分析】（1） 由题意得平面ABCD，且，以O为原点，分别以OA，OB，OP为x，y，z轴正方向建系，进而得出点的坐标，再结合向量的坐标表示求出向量的坐标，再利用数量积求向量夹角公式，进而得出二面角的大小。
（2）假设线段AD上存在一点Q，满足题意，设，利用结合向量共线的坐标表示得出与的关系式，进而得出点Q的坐标，再结合向量的坐标表示求出向量的坐标，再利用平面PAB的法向量，设得PQ与平面APB所成角为，再结合数量积求向量夹角公式和诱导公式以及已知条件，进而得出满足要求的的值，所以在线段AD上存在一点Q，使得PQ与平面APB所成角的正弦值为，此时，即Q为AD上靠近A的四等分点。
21．（2022高二下·泰州期末）某公司对项目甲进行投资，投资金额x与所获利润y之间有如下对应数据：
项目甲投资金额x（百万元） 6 5 4 3 2
所获利润y（百万元） 0.9 0.8 0.4 0.2 0.2
参考公式：，．相关系数．
参考数据：统计数据表中．
（1）用相关系数说明y与x相关性的强弱（本题规定，相关系数r满足，则认为线性相关性较强；否则，线性相关性较弱）；
（2）该公司计划用7百万元对甲，乙两个项目进行投资，若公司利用表格中的数据建立线性回归方程对项目甲所获得的利润进行预测，项目乙投资百万元所获得的利润y百万元近似满足：，求甲，乙两个项目投资金额分别为多少时，获得的总利润最大．
【答案】（1）解：由题意，，，
，，，
，
y与x线性相关性较强；
（2）解：由（1）可设关于的线性回归方程为：
，，
，
设对乙投资百万元，则甲项目投资百万元，
总利润，
时取等号，此时，
所以甲，乙两个项目投资金额分别为5.5百万元，1.5百万元时，获得的总利润最大．
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；线性相关；线性回归方程
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合相关系数与y与x相关性的强弱的关系，进而得出y与x线性相关性较强。
（2）利用已知条件结合（1）设出的线性回归方程，再结合最小二乘法，进而求出线性回归方程，再利用利润与成本和售价的关系，进而结合均值不等式求最值的方法，进而得出甲，乙两个项目投资金额分别为5.5百万元，1.5百万元时，获得的总利润最大。
22．（2022高二下·泰州期末）我国是全球制造业大国，制造业增加值自2010年起连续12年位居世界第一，主要产品产量稳居世界前列，为深入推进传统制造业改造提升，全面提高传统制造业核心竞争力，某设备生产企业对现有生产设备进行技术攻坚突破．设备生产的零件的直径为X（单位nm）．
（1）现有旧设备生产的零件共7个，其中直径大于10nm的有4个．现从这7个零件中随机抽取3个．记表示取出的零件中直径大于10nm的零件的个数，求的分布列及数学期望；
（2）技术攻坚突破后设备生产的零件的合格率为，每个零件是否合格相互独立．现任取6个零件进行检测，若合格的零件数超过半数，则可认为技术攻坚成功．求技术攻坚成功的概率及的方差；
（3）若技术攻坚后新设备生产的零件直径X~N（9，0.04），从生产的零件中随机取出10个，求至少有一个零件直径大于9.4nm的概率．
参考数据：若，则，，，．
【答案】（1）解：由题意，可知可取.则有
；
；
；
.
所以的分布列为：
0 1 2 3
因此的数学期望
（2）解：由题意，可取的值为.则有
；
；
.
所以技术攻坚成功的概率.
因于，所以的方差.
（3）解：由，则可知，
由于，则，
所以，
所以，
则，
记“从生产的零件中随机取出10个，至少有一个零件直径大于9.4nm”为事件.
则.
【知识点】互斥事件与对立事件；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；二项分布；正态密度曲线的特点
【解析】【分析】（1） 由题意可知随机变量可取的值，再利用组合数公式和古典概型求概率公式，进而求出随机变量的分布列，再结合随机变量的分布列求数学期望公式，进而求出随机变量的数学期望。
（2） 由题意可知随机变量可取的值，再利用二项分布求出随机变量的分布列，再结合互斥事件求概率公式，进而得出技术攻坚成功的概率，再利用随机变量，再结合方差公式，进而得出随机变量的方差。
（3）利用已知条件结合随机变量服从正态分布，再结合正态分布对应的函数的图象的对称性和对立事件求概率公式，进而得出至少有一个零件直径大于9.4nm的概率。
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