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江苏省无锡市普通高中2021-2022学年高二下学期数学期末考试试卷
一、单选题
1．（2022高二下·无锡期末）已知集合或，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】集合的包含关系判断及应用；并集及其运算；交集及其运算
【解析】【解答】，但，A不符合题意；
，但，B不符合题意；
，C符合题意，或，D不符合题意．
故答案为：C．
【分析】利用已知条件结合集合间的包含关系、交集的运算法则、并集的运算法则，进而找出正确的选项。
2．（2022高二下·无锡期末）球的体积V（单位：）与半径R（单位：）的关系为，则时体积关于半径的瞬时变化率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】变化的快慢与变化率
【解析】【解答】由，得，
所以时体积关于半径的瞬时变化率为。
故答案为：C
【分析】利用已知条件结合导数的运算法则和导数与瞬时变化率之间的关系，进而结合代入法求出 时体积关于半径的瞬时变化率。
3．（2022高二下·无锡期末）已知幂函数的图像过点，则（ ）
A． B． C．-4 D．4
【答案】B
【知识点】函数的值；幂函数的概念、解析式、定义域、值域
【解析】【解答】设，依题意，所以，
所以，所以。
故答案为：B
【分析】利用已知条件结合代入法，进而得出的值，从而得出幂函数的解析式，再利用代入法，进而得出函数值。
4．（2022高二下·无锡期末）已知随机变量，则（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】A
【知识点】离散型随机变量的期望与方差；二项分布与n次独立重复试验的模型
【解析】【解答】由已知，，
所以。
故答案为：A．
【分析】利用已知条件结合随机变量服从二项分布所得的随机变量的分布列，进而求出p的值，再利用随机变量的分布列求方差公式，进而得出随机变量X的方差。
5．（2022高二下·无锡期末）对于样本相关系数r，下列说法不正确的是（ ）
A．样本相关系数r可以用来判断成对数据相关的正负性
B．样本相关系数
C．当时，表明成对样本数据间没有线性相关关系
D．样本相关系数r越大，成对样本数据的线性相关程度也越强
【答案】D
【知识点】相关系数
【解析】【解答】根据相关系数的理解：
，B符合题意；
，则成对数据为正相关；，则成对数据为负相关； A符合题意；
，线性相关程度越强，，线性相关程度越弱，时，则成对样本数据间没有线性相关关系，C符合题意，D不正确；
故答案为：D．
【分析】利用已知条件结合相关系数的取值范围、相关系数与成对数据的线性相关的关系以及线性相关程度强弱的关系，进而找出说法不正确的选项。
6．（2022高二下·无锡期末）已知某计算机网络的服务器采用的是“一用两备”（即一台常用设备，两台备用设备）的配置．这三台设备中，只要有一台能正常工作，计算机网络就不会断线．如果一台常用设备正常工作的概率为，两台备用设备正常工作的概率均为，且它们之间互不影响，则该计算机网络不会断线的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】互斥事件与对立事件；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】由题意所求概率为。
故答案为：D．
【分析】利用已知条件结合对立事件求概率公式和独立事件乘法求概率公式，进而得出该计算机网络不会断线的概率。
7．（2022高二下·无锡期末）已知函数关于x的方程有3个不同的实数解，则a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】由题意可得：与有三个交点，
如图，当时，符合题意，
当时，与只有一个交点，
令，则或，
∴，符合题意，
综上所述：。
故答案为：B．
【分析】利用已知条件结合绝对值的定义以及分段函数的解析式画出分段函数的图象，再利用分类讨论的方法和方程的解与两函数与的交点的等价关系，进而求出实数a的取值范围。
8．（2022高二下·无锡期末）已知随机变量服从正态分布，有下列四个命题：
甲： 乙：
丙： 丁：
若这四个命题中有且只有一个是假命题，则该假命题为（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】D
【知识点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义
【解析】【解答】首先甲、乙中至少有一个正确，因此是的均值，从而甲乙两个均正确，
，丙正确，
而，丁错误．
故答案为：D．
【分析】利用随机变量服从正态分布，再结合正态分布对应的函数的对称性，再利用概率的应用和命题真假性判断方法，进而找出假命题的选项。
二、多选题
9．（2022高二下·无锡期末）已知，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】B,D
【知识点】不等式的基本性质
【解析】【解答】当时，如，时成立，A不符合题意；
若则一定有，所以时，一定有，B符合题意；
，但，C不符合题意；
，则，D符合题意．
故答案为：BD．
【分析】利用已知条件结合不等式的基本性质，进而找出真命题的选项。
10．（2022高二下·无锡期末）有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的25%，30%，45%．下列结论正确的是（ ）
A．每次随机抽取一个零件，抽出的零件不放回，第1次抽到次品的概率和第2次抽到次品的概率不相同
B．任取一个零件，它不是第1台车床加工的概率是0.75
C．任取一个零件，它是次品的概率小于0.06
D．如果取到的零件是次品，那么它是第2台车床加工的概率是
【答案】B,C
【知识点】互斥事件与对立事件；互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式；条件概率与独立事件
【解析】【解答】记事件为“任取一个零件为次品”，事件为“零件是第台机床加工”，，，且两两互斥，
由题意，，，，，
由全概率公式第1次抽到次品的概率，
第2次取得次品与第1次取得次品这两个事件是相互独立的，因此第2次取得次品的概率仍然是0.0525，A不符合题意；
任取一个零件，它不是第1台车床加工的概率是，B符合题意；
由A选项计算结论知C符合题意；
，D不符合题意；
故答案为：BC．
【分析】利用已知条件结合互斥事件加法求概率公式、独立事件乘法求概率公式、对立事件求概率公式、条件概型求概率公式，进而找出结论正确的选项。
11．（2022高二下·无锡期末）已知，下列结论正确的是（ ）
A．
B．当时，设，则
C．当时，中最大的是
D．当时，
【答案】A,D
【知识点】组合数公式的推导；二项式系数的性质
【解析】【解答】在已知式中令得，A符合题意；
时，，
，
，，B不符合题意；
时，，
，C不符合题意；
在中，令得，
令，则，
所以，D符合题意．
故答案为：AD．
【分析】利用已知条件结合赋值法和二项式定理求出展开式中的通项公式，再利用组合数公式的性质，进而得出结论正确的选项。
12．（2022高二下·无锡期末）已知函数，下列结论正确的是（ ）
A．当时，的图像关于y轴对称
B．当时，的图像关于点中心对称
C．，使得为上的增函数
D．当时，若在上单调递增，则的最小值为
【答案】B,C,D
【知识点】函数单调性的判断与证明；二次函数在闭区间上的最值；图形的对称性
【解析】【解答】时，，，是奇函数，A不符合题意；
时，，，
所以的图象关于点对称，B符合题意；
，，
当时，恒成立，在上递增，C符合题意；
，，
，所以有两个不等的实根，设，在或时，，时，，即在上单调递增，
，，
，
所以时，取得最小值，即取得最小值，D符合题意．
故答案为：BCD．
【分析】利用已知条件结合a的值求出函数的解析式，再利用奇函数的定义和奇函数的图象的对称性，再结合函数的图象的对称性、增函数的定义、求导的方法判断函数的单调性和韦达定理，二次函数的图象求最值的方法，进而找出结论正确的选项。
三、填空题
13．（2022高二下·无锡期末）已知离散型随机变量X的方差为1，则 ．
【答案】9
【知识点】离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】
所以。
故答案为：9。
【分析】利用已知条件结合方差的性质，进而求出的值。
14．（2022高二下·无锡期末）在的展开式中，x的系数为 ．
【答案】-80
【知识点】二项式定理的应用
【解析】【解答】的展开式中，
通项公式为，
令，求得，可得展开式中含x项的系数。
故答案为：-80。
【分析】利用已知条件结合二项式定理求出展开式中的通项公式，再利用通项公式求出展开式中x的系数。
15．（2022高二下·无锡期末）写出一个同时具有下列性质①②的函数 ．
①；②．
【答案】f(x)=x+2（答案不一）
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；导数的加法与减法法则
【解析】【解答】依题意令，则，。
故答案为：f(x)=x+2（答案不一）。
【分析】利用已知条件结合导数的运算法则和代入法，进而找出满足要求的函数的解析式。
16．（2022高二下·无锡期末）一份快递从寄件人甲处揽收开始直至送达收件人乙，需要经过5个转运环节，其中第1，5个环节有a，b两种运输方式，第2，4个环节有b，c两种运输方式，第3个环节有c，d，e三种运输方式，快递从甲送到乙，第1个环节使用a运输方式的运输顺序共有 种；快递从甲送到乙有4种运输方式的运输顺序共有 种．
【答案】24；16
【知识点】分类加法计数原理
【解析】【解答】根据题意可得：
第1个环节使用a运输方式的运输顺序共有种
快递从甲送到乙有4种运输方式，则第3个环节有d，e两种运输方式，1，2，4，5个环有两个环节运输方式相同，另外两个环节两个运输方式不同
若第1，5个环节或第2，4个环节相同，则种
若第1，2个环节或第1，4个环节或第2，5个环节或第4，5个环节相同，则种
快递从甲送到乙有4种运输方式的运输顺序共有种
故答案为：24；16。
【分析】利用已知条件结合分步乘法计数原理得出第1个环节使用a运输方式的运输顺序种数；再利用已知条件结合分步乘法计数原理和分类加法计数原理，进而得出快递从甲送到乙有4种运输方式的运输顺序的种数。
四、解答题
17．（2022高二下·无锡期末）已知，．
（1）当时，求；
（2）已知“”是“”的必要条件，求实数a的取值范围．
【答案】（1）解：或，
当时，，
所以或，
（2）解：，
由“”是“”的必要条件得
所以，解得．
【知识点】交、并、补集的混合运算；必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【分析】（1）利用a的值结合指数函数的单调性，进而得出集合B，再利用对数函数的单调性和一元二次不等式求解集的方法，进而得出集合A，再利用交集和补集的运算法则，进而得出集合 。
（2）利用已知条件结合必要条件的判断方法，进而求出实数a的取值范围。
18．（2022高二下·无锡期末）某地区2015年至2021年农村居民家庭人均纯收入y（单位：千元）的数据如下表：
年份 2015 2016 2017 2018 2019 2020 2021
年份代号t 1 2 3 4 5 6 7
人均纯收入y 11 12.4 13.9 15.7 17.3 18.2 20
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：．
（1）求y关于t的线性回归方程；
（2）利用（1）中的回归方程，分析2015年至2021年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2023年农村居民家庭人均纯收入．
【答案】（1）解：由所给数据计算得
，
，
，，
所求回归方程为．
（2）解：由（1）知，，故2015年至2021年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加1.5千元．
将2023年的年份代号，代入（1）中的回归方程，得，
故预测该地区2023年农村居民家庭人均纯收入为23千元．
【知识点】线性回归方程；回归分析的初步应用
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合平均数公式和最小二乘法，进而求出y关于t的线性回归方程。
（2）利用已知条件结合（1）得出 ，故2015年至2021年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加1.5千元，再利用代入法，进而预测出该地区2023年农村居民家庭人均纯收入 。
19．（2022高二下·无锡期末）设，曲线在点处的切线斜率为．
（1）求a的值；
（2）求函数的极值．
【答案】（1）解：由，
得，
令，则，
因为，得
（2）解：由（1）可得，
令，解得，．
当变化时，的变化如下表：
x 1 3
+ 0 - 0 +
单调递增 单调递减 单调递增
所以，当时，取到极大值，且极大值为；
当时，取到极小值，且极小值为．
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合导数的几何意义，进而得出实数a的值。
（2）利用（1）求出的a的值，进而求出函数的解析式，再利用求导的方法判定函数的单调性，进而求出函数的极值。
20．（2022高二下·无锡期末）某公司对400名求职员工进行业务水平测试，根据测试成绩评定是否预录用．公司对400名求职员工的测试得分（测试得分都在内）进行了统计分析，得分不低于90分为“优”，得分低于90分为“良”，得到如下的频率分布直方图和列联表．
男 女 合计
优（得分不低于90分） 80
良（得分低于90分） 120
合计 400
参考公式：
．
0.15 1 0.05 0.01
2.072 2.706 3.841 6.635
（1）完成上面的列联表，并依据的独立性检验，能否认为求职员工的业务水平优良与否与性别有关联；
（2）该公司拟在业务测试成绩为优秀的求职人员中抽取部分人员进行个人发展的问卷调查，以获取求职者的心理需求，进而制定正式录用的方案，按照表中得分为优秀的男女比例分层抽取9个人的样本，并在9人中再随机抽取5人进行调查，记5人中男性的人数为X，求X的分布列以及数学期望．
【答案】（1）解：得分不低于90分的人数为：，所以填表如下：
男 女 合计
优（得分不低于90分） 80 40 120
良（得分低于90分） 160 120 280
合计 240 160 400
根据列联表中的数据，经计算得到
，
所以依据小概率值的独立性检验，不能认为求职员工的业务水平优良与否与性别有关联．
（2）解：得分为优秀的男女比例为，所以9人中男性有6人，女性有3人．
因此X的可能值为2，3，4，5
；；
；．
所以X的分布列为
X 2 3 4 5
p
X的数学期望为
．
【知识点】独立性检验的应用；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）利用已知条件填写完 列联表 ，再利用列联表结合小概率值的独立性检验，不能认为求职员工的业务水平优良与否与性别有关联。
（2）利用已知条件结合分层抽样的方法得出9人中男性有6人，女性有3人，因此得出随机变量X的可能值，再利用组合数公式和古典概型求概率公式，进而得出随机变量X的分布列，再利用随机变量X的分布列求数学期望公式，进而得出随机变量X的数学期望。
21．（2022高二下·无锡期末）某校在课外活动课上连续开展若干项体育游戏，其中一项为“扔沙包”的游戏．其规则是：将沙包扔向指定区域内，该区域共分为A，B，C三个部分．如果扔进A部分一次，或者扔进B部分两次，或者扔进C部分三次，即视为该项游戏过关，并进入下一项游戏．小杨每次都能将沙包扔进这块区域内，若他扔进A部分的概率为p，扔进B部分的概率是扔进A部分的概率的两倍，且每一次扔沙包相互独立．
（1）若小杨第二次扔完沙包后，游戏过关的概率为，求p；
（2）设小杨第二次扔完沙包后，游戏过关的概率为；设小杨第四次扔完沙包后，恰好游戏过关的概率为，试比较与的大小．
【答案】（1）解：扔进B部分的概率为，扔进C部分的概率为，且．（1）小杨第二次扔完沙包后，恰好游戏过关包含“第一次未扔中A部分，第二次扔中A部分”和“第一次与第二次均扔中B部分”两个事件，则概率为，由，得，解得或者，又，所以．
（2）解：第四次扔完沙包后，恰好游戏过关后游戏过关需前三次扔完后有一次扔进B部分且有两次扔进C部分，因此，又，，又，所以，当时，；当时，；当时，．
【知识点】互斥事件与对立事件；相互独立事件的概率乘法公式；概率的应用
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合对立事件求概率公式和独立事件乘法求概率公式，进而结合p的取值范围，进而得出满足要求的p的值。
（2）利用已知条件结合二项分布求概率公式和作差比较大小的方法，再利用分类讨论的方法，进而比较出与的大小。
22．（2022高二下·无锡期末）已知函数．
（1）当时，证明：；
（2）若有两个零点，求实数a的取值范围．
【答案】（1）证明：当时，令．
令，解得，
x 2
－ 0 ＋
单调递减 -1 单调递增
所以，当时，取到最小值，且最小值为，
即恒成立．
（2）解：，
1）当时，，所以在上单调递增，故至多存在一个零点，不合题意．
2）当时，由可得，
当时在上单调递减；
当时在上单调递增；
故当时，取到最小值，且最小值为．
①若在上至多存在一个零点，不合题意；
②若；由于，所以在上存在唯一零点．
．
设，则，
当时，，所以在上单调递增．
因为，所以，即．
从而在上有两个零点．
综上，a的取值范围为．
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值；函数零点的判定定理
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合a的值求出函数的解析式，再利用求导的方法判断函数的单调性，进而求出函数的最小值，再结合不等式恒成立问题求解方法，进而证出不等式 成立。
（2）利用已知条件结合分类讨论的方法，再利用求导的方法判断函数的单调性，进而求出函数的最小值，再结合零点存在性定理，进而求出实数a的取值范围。
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江苏省无锡市普通高中2021-2022学年高二下学期数学期末考试试卷
一、单选题
1．（2022高二下·无锡期末）已知集合或，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2022高二下·无锡期末）球的体积V（单位：）与半径R（单位：）的关系为，则时体积关于半径的瞬时变化率为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022高二下·无锡期末）已知幂函数的图像过点，则（ ）
A． B． C．-4 D．4
4．（2022高二下·无锡期末）已知随机变量，则（ ）
A． B．1 C． D．2
5．（2022高二下·无锡期末）对于样本相关系数r，下列说法不正确的是（ ）
A．样本相关系数r可以用来判断成对数据相关的正负性
B．样本相关系数
C．当时，表明成对样本数据间没有线性相关关系
D．样本相关系数r越大，成对样本数据的线性相关程度也越强
6．（2022高二下·无锡期末）已知某计算机网络的服务器采用的是“一用两备”（即一台常用设备，两台备用设备）的配置．这三台设备中，只要有一台能正常工作，计算机网络就不会断线．如果一台常用设备正常工作的概率为，两台备用设备正常工作的概率均为，且它们之间互不影响，则该计算机网络不会断线的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．（2022高二下·无锡期末）已知函数关于x的方程有3个不同的实数解，则a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2022高二下·无锡期末）已知随机变量服从正态分布，有下列四个命题：
甲： 乙：
丙： 丁：
若这四个命题中有且只有一个是假命题，则该假命题为（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
二、多选题
9．（2022高二下·无锡期末）已知，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
10．（2022高二下·无锡期末）有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的25%，30%，45%．下列结论正确的是（ ）
A．每次随机抽取一个零件，抽出的零件不放回，第1次抽到次品的概率和第2次抽到次品的概率不相同
B．任取一个零件，它不是第1台车床加工的概率是0.75
C．任取一个零件，它是次品的概率小于0.06
D．如果取到的零件是次品，那么它是第2台车床加工的概率是
11．（2022高二下·无锡期末）已知，下列结论正确的是（ ）
A．
B．当时，设，则
C．当时，中最大的是
D．当时，
12．（2022高二下·无锡期末）已知函数，下列结论正确的是（ ）
A．当时，的图像关于y轴对称
B．当时，的图像关于点中心对称
C．，使得为上的增函数
D．当时，若在上单调递增，则的最小值为
三、填空题
13．（2022高二下·无锡期末）已知离散型随机变量X的方差为1，则 ．
14．（2022高二下·无锡期末）在的展开式中，x的系数为 ．
15．（2022高二下·无锡期末）写出一个同时具有下列性质①②的函数 ．
①；②．
16．（2022高二下·无锡期末）一份快递从寄件人甲处揽收开始直至送达收件人乙，需要经过5个转运环节，其中第1，5个环节有a，b两种运输方式，第2，4个环节有b，c两种运输方式，第3个环节有c，d，e三种运输方式，快递从甲送到乙，第1个环节使用a运输方式的运输顺序共有 种；快递从甲送到乙有4种运输方式的运输顺序共有 种．
四、解答题
17．（2022高二下·无锡期末）已知，．
（1）当时，求；
（2）已知“”是“”的必要条件，求实数a的取值范围．
18．（2022高二下·无锡期末）某地区2015年至2021年农村居民家庭人均纯收入y（单位：千元）的数据如下表：
年份 2015 2016 2017 2018 2019 2020 2021
年份代号t 1 2 3 4 5 6 7
人均纯收入y 11 12.4 13.9 15.7 17.3 18.2 20
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：．
（1）求y关于t的线性回归方程；
（2）利用（1）中的回归方程，分析2015年至2021年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2023年农村居民家庭人均纯收入．
19．（2022高二下·无锡期末）设，曲线在点处的切线斜率为．
（1）求a的值；
（2）求函数的极值．
20．（2022高二下·无锡期末）某公司对400名求职员工进行业务水平测试，根据测试成绩评定是否预录用．公司对400名求职员工的测试得分（测试得分都在内）进行了统计分析，得分不低于90分为“优”，得分低于90分为“良”，得到如下的频率分布直方图和列联表．
男 女 合计
优（得分不低于90分） 80
良（得分低于90分） 120
合计 400
参考公式：
．
0.15 1 0.05 0.01
2.072 2.706 3.841 6.635
（1）完成上面的列联表，并依据的独立性检验，能否认为求职员工的业务水平优良与否与性别有关联；
（2）该公司拟在业务测试成绩为优秀的求职人员中抽取部分人员进行个人发展的问卷调查，以获取求职者的心理需求，进而制定正式录用的方案，按照表中得分为优秀的男女比例分层抽取9个人的样本，并在9人中再随机抽取5人进行调查，记5人中男性的人数为X，求X的分布列以及数学期望．
21．（2022高二下·无锡期末）某校在课外活动课上连续开展若干项体育游戏，其中一项为“扔沙包”的游戏．其规则是：将沙包扔向指定区域内，该区域共分为A，B，C三个部分．如果扔进A部分一次，或者扔进B部分两次，或者扔进C部分三次，即视为该项游戏过关，并进入下一项游戏．小杨每次都能将沙包扔进这块区域内，若他扔进A部分的概率为p，扔进B部分的概率是扔进A部分的概率的两倍，且每一次扔沙包相互独立．
（1）若小杨第二次扔完沙包后，游戏过关的概率为，求p；
（2）设小杨第二次扔完沙包后，游戏过关的概率为；设小杨第四次扔完沙包后，恰好游戏过关的概率为，试比较与的大小．
22．（2022高二下·无锡期末）已知函数．
（1）当时，证明：；
（2）若有两个零点，求实数a的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】集合的包含关系判断及应用；并集及其运算；交集及其运算
【解析】【解答】，但，A不符合题意；
，但，B不符合题意；
，C符合题意，或，D不符合题意．
故答案为：C．
【分析】利用已知条件结合集合间的包含关系、交集的运算法则、并集的运算法则，进而找出正确的选项。
2．【答案】C
【知识点】变化的快慢与变化率
【解析】【解答】由，得，
所以时体积关于半径的瞬时变化率为。
故答案为：C
【分析】利用已知条件结合导数的运算法则和导数与瞬时变化率之间的关系，进而结合代入法求出 时体积关于半径的瞬时变化率。
3．【答案】B
【知识点】函数的值；幂函数的概念、解析式、定义域、值域
【解析】【解答】设，依题意，所以，
所以，所以。
故答案为：B
【分析】利用已知条件结合代入法，进而得出的值，从而得出幂函数的解析式，再利用代入法，进而得出函数值。
4．【答案】A
【知识点】离散型随机变量的期望与方差；二项分布与n次独立重复试验的模型
【解析】【解答】由已知，，
所以。
故答案为：A．
【分析】利用已知条件结合随机变量服从二项分布所得的随机变量的分布列，进而求出p的值，再利用随机变量的分布列求方差公式，进而得出随机变量X的方差。
5．【答案】D
【知识点】相关系数
【解析】【解答】根据相关系数的理解：
，B符合题意；
，则成对数据为正相关；，则成对数据为负相关； A符合题意；
，线性相关程度越强，，线性相关程度越弱，时，则成对样本数据间没有线性相关关系，C符合题意，D不正确；
故答案为：D．
【分析】利用已知条件结合相关系数的取值范围、相关系数与成对数据的线性相关的关系以及线性相关程度强弱的关系，进而找出说法不正确的选项。
6．【答案】A
【知识点】互斥事件与对立事件；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】由题意所求概率为。
故答案为：D．
【分析】利用已知条件结合对立事件求概率公式和独立事件乘法求概率公式，进而得出该计算机网络不会断线的概率。
7．【答案】B
【知识点】函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】由题意可得：与有三个交点，
如图，当时，符合题意，
当时，与只有一个交点，
令，则或，
∴，符合题意，
综上所述：。
故答案为：B．
【分析】利用已知条件结合绝对值的定义以及分段函数的解析式画出分段函数的图象，再利用分类讨论的方法和方程的解与两函数与的交点的等价关系，进而求出实数a的取值范围。
8．【答案】D
【知识点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义
【解析】【解答】首先甲、乙中至少有一个正确，因此是的均值，从而甲乙两个均正确，
，丙正确，
而，丁错误．
故答案为：D．
【分析】利用随机变量服从正态分布，再结合正态分布对应的函数的对称性，再利用概率的应用和命题真假性判断方法，进而找出假命题的选项。
9．【答案】B,D
【知识点】不等式的基本性质
【解析】【解答】当时，如，时成立，A不符合题意；
若则一定有，所以时，一定有，B符合题意；
，但，C不符合题意；
，则，D符合题意．
故答案为：BD．
【分析】利用已知条件结合不等式的基本性质，进而找出真命题的选项。
10．【答案】B,C
【知识点】互斥事件与对立事件；互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式；条件概率与独立事件
【解析】【解答】记事件为“任取一个零件为次品”，事件为“零件是第台机床加工”，，，且两两互斥，
由题意，，，，，
由全概率公式第1次抽到次品的概率，
第2次取得次品与第1次取得次品这两个事件是相互独立的，因此第2次取得次品的概率仍然是0.0525，A不符合题意；
任取一个零件，它不是第1台车床加工的概率是，B符合题意；
由A选项计算结论知C符合题意；
，D不符合题意；
故答案为：BC．
【分析】利用已知条件结合互斥事件加法求概率公式、独立事件乘法求概率公式、对立事件求概率公式、条件概型求概率公式，进而找出结论正确的选项。
11．【答案】A,D
【知识点】组合数公式的推导；二项式系数的性质
【解析】【解答】在已知式中令得，A符合题意；
时，，
，
，，B不符合题意；
时，，
，C不符合题意；
在中，令得，
令，则，
所以，D符合题意．
故答案为：AD．
【分析】利用已知条件结合赋值法和二项式定理求出展开式中的通项公式，再利用组合数公式的性质，进而得出结论正确的选项。
12．【答案】B,C,D
【知识点】函数单调性的判断与证明；二次函数在闭区间上的最值；图形的对称性
【解析】【解答】时，，，是奇函数，A不符合题意；
时，，，
所以的图象关于点对称，B符合题意；
，，
当时，恒成立，在上递增，C符合题意；
，，
，所以有两个不等的实根，设，在或时，，时，，即在上单调递增，
，，
，
所以时，取得最小值，即取得最小值，D符合题意．
故答案为：BCD．
【分析】利用已知条件结合a的值求出函数的解析式，再利用奇函数的定义和奇函数的图象的对称性，再结合函数的图象的对称性、增函数的定义、求导的方法判断函数的单调性和韦达定理，二次函数的图象求最值的方法，进而找出结论正确的选项。
13．【答案】9
【知识点】离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】
所以。
故答案为：9。
【分析】利用已知条件结合方差的性质，进而求出的值。
14．【答案】-80
【知识点】二项式定理的应用
【解析】【解答】的展开式中，
通项公式为，
令，求得，可得展开式中含x项的系数。
故答案为：-80。
【分析】利用已知条件结合二项式定理求出展开式中的通项公式，再利用通项公式求出展开式中x的系数。
15．【答案】f(x)=x+2（答案不一）
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；导数的加法与减法法则
【解析】【解答】依题意令，则，。
故答案为：f(x)=x+2（答案不一）。
【分析】利用已知条件结合导数的运算法则和代入法，进而找出满足要求的函数的解析式。
16．【答案】24；16
【知识点】分类加法计数原理
【解析】【解答】根据题意可得：
第1个环节使用a运输方式的运输顺序共有种
快递从甲送到乙有4种运输方式，则第3个环节有d，e两种运输方式，1，2，4，5个环有两个环节运输方式相同，另外两个环节两个运输方式不同
若第1，5个环节或第2，4个环节相同，则种
若第1，2个环节或第1，4个环节或第2，5个环节或第4，5个环节相同，则种
快递从甲送到乙有4种运输方式的运输顺序共有种
故答案为：24；16。
【分析】利用已知条件结合分步乘法计数原理得出第1个环节使用a运输方式的运输顺序种数；再利用已知条件结合分步乘法计数原理和分类加法计数原理，进而得出快递从甲送到乙有4种运输方式的运输顺序的种数。
17．【答案】（1）解：或，
当时，，
所以或，
（2）解：，
由“”是“”的必要条件得
所以，解得．
【知识点】交、并、补集的混合运算；必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【分析】（1）利用a的值结合指数函数的单调性，进而得出集合B，再利用对数函数的单调性和一元二次不等式求解集的方法，进而得出集合A，再利用交集和补集的运算法则，进而得出集合 。
（2）利用已知条件结合必要条件的判断方法，进而求出实数a的取值范围。
18．【答案】（1）解：由所给数据计算得
，
，
，，
所求回归方程为．
（2）解：由（1）知，，故2015年至2021年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加1.5千元．
将2023年的年份代号，代入（1）中的回归方程，得，
故预测该地区2023年农村居民家庭人均纯收入为23千元．
【知识点】线性回归方程；回归分析的初步应用
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合平均数公式和最小二乘法，进而求出y关于t的线性回归方程。
（2）利用已知条件结合（1）得出 ，故2015年至2021年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加1.5千元，再利用代入法，进而预测出该地区2023年农村居民家庭人均纯收入 。
19．【答案】（1）解：由，
得，
令，则，
因为，得
（2）解：由（1）可得，
令，解得，．
当变化时，的变化如下表：
x 1 3
+ 0 - 0 +
单调递增 单调递减 单调递增
所以，当时，取到极大值，且极大值为；
当时，取到极小值，且极小值为．
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合导数的几何意义，进而得出实数a的值。
（2）利用（1）求出的a的值，进而求出函数的解析式，再利用求导的方法判定函数的单调性，进而求出函数的极值。
20．【答案】（1）解：得分不低于90分的人数为：，所以填表如下：
男 女 合计
优（得分不低于90分） 80 40 120
良（得分低于90分） 160 120 280
合计 240 160 400
根据列联表中的数据，经计算得到
，
所以依据小概率值的独立性检验，不能认为求职员工的业务水平优良与否与性别有关联．
（2）解：得分为优秀的男女比例为，所以9人中男性有6人，女性有3人．
因此X的可能值为2，3，4，5
；；
；．
所以X的分布列为
X 2 3 4 5
p
X的数学期望为
．
【知识点】独立性检验的应用；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）利用已知条件填写完 列联表 ，再利用列联表结合小概率值的独立性检验，不能认为求职员工的业务水平优良与否与性别有关联。
（2）利用已知条件结合分层抽样的方法得出9人中男性有6人，女性有3人，因此得出随机变量X的可能值，再利用组合数公式和古典概型求概率公式，进而得出随机变量X的分布列，再利用随机变量X的分布列求数学期望公式，进而得出随机变量X的数学期望。
21．【答案】（1）解：扔进B部分的概率为，扔进C部分的概率为，且．（1）小杨第二次扔完沙包后，恰好游戏过关包含“第一次未扔中A部分，第二次扔中A部分”和“第一次与第二次均扔中B部分”两个事件，则概率为，由，得，解得或者，又，所以．
（2）解：第四次扔完沙包后，恰好游戏过关后游戏过关需前三次扔完后有一次扔进B部分且有两次扔进C部分，因此，又，，又，所以，当时，；当时，；当时，．
【知识点】互斥事件与对立事件；相互独立事件的概率乘法公式；概率的应用
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合对立事件求概率公式和独立事件乘法求概率公式，进而结合p的取值范围，进而得出满足要求的p的值。
（2）利用已知条件结合二项分布求概率公式和作差比较大小的方法，再利用分类讨论的方法，进而比较出与的大小。
22．【答案】（1）证明：当时，令．
令，解得，
x 2
－ 0 ＋
单调递减 -1 单调递增
所以，当时，取到最小值，且最小值为，
即恒成立．
（2）解：，
1）当时，，所以在上单调递增，故至多存在一个零点，不合题意．
2）当时，由可得，
当时在上单调递减；
当时在上单调递增；
故当时，取到最小值，且最小值为．
①若在上至多存在一个零点，不合题意；
②若；由于，所以在上存在唯一零点．
．
设，则，
当时，，所以在上单调递增．
因为，所以，即．
从而在上有两个零点．
综上，a的取值范围为．
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值；函数零点的判定定理
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合a的值求出函数的解析式，再利用求导的方法判断函数的单调性，进而求出函数的最小值，再结合不等式恒成立问题求解方法，进而证出不等式 成立。
（2）利用已知条件结合分类讨论的方法，再利用求导的方法判断函数的单调性，进而求出函数的最小值，再结合零点存在性定理，进而求出实数a的取值范围。
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