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江苏省宿迁市2021-2022学年高二下学期数学期末考试试卷
一、单选题
1．（2022高二下·宿迁期末）已知，则（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．2
【答案】B
【知识点】二项式系数的性质
【解析】【解答】依题意，当时，。
故答案为：B
【分析】利用已知条件结合赋值法，进而求出的值。
2．（2022高二下·宿迁期末）已知经过点的平面的法向量为，则点到平面的距离为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】D
【知识点】点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】依题意，，所以点P到平面的距离为。
故答案为：D
【分析】利用已知条件结合向量的坐标表示，再利用数量积求出点P到平面的距离。
3．（2022高二下·宿迁期末）下列各式中，不等于的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】排列数公式的推导
【解析】【解答】A：.判断正确；
B：.判断正确；
C：.判断错误；
D：.判断正确.
故答案为：C
【分析】利用已知条件结合排列数公式的性质和排列数公式，进而找出不等于的选项。
4．（2022高二下·宿迁期末）如果今天是星期二，经过7天后还是星期二，那么经过天后是（ ）
A．星期一 B．星期二 C．星期三 D．星期四
【答案】C
【知识点】二项式定理的应用
【解析】【解答】，
由于括号中，除了最后一项外，其余各项都能被7整除，
故整个式子除以的余数为，，
故经过天后是星期三。
故答案为：C．
【分析】利用已知条件结合二项式定理和求余的方法，进而结合函数的周期性，进而得出经过天后的选项。
5．（2022高二下·宿迁期末）已知数据的三对观测值为，用“最小二乘法”判断下列直线的拟合程度，则效果最好的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】可线性化的回归分析
【解析】【解答】当拟合直线为时，预报值与实际值的差的平方和，
当拟合直线为时，预报值与实际值的差的平方和，
当拟合直线为时，预报值与实际值的差的平方和，
当拟合直线为时，预报值与实际值的差的平方和，
故最小，即效果最好的是。
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合“最小二乘法”判断下列直线的拟合程度，再结合预报值与实际值的差的平方和，进而找出效果最好的直线方程。
6．（2022高二下·宿迁期末）甲、乙、丙、丁4位同学进行数学建模竞赛（无并列名次），赛后甲、乙预估自己成绩，甲说：“我不可能得到冠军”，乙说：“我应该不会是最差的”，假如两人都猜对了，那么乙得冠军的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】古典概型及其概率计算公式；排列、组合及简单计数问题
【解析】【解答】由题意可得，“甲没有得到冠军”，“乙不是最差的”
则可能的竞赛结果共有（种）
其中乙得冠军共有（种）可能的结果
则甲乙都猜对了，乙得冠军的概率为。
故答案为：D
【分析】利用已知条件结合排列数公式和古典概型求概率公式，进而得出乙得冠军的概率。
7．（2022高二下·宿迁期末）四面体中，，则（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
【答案】C
【知识点】平面向量数量积的运算
【解析】【解答】因为，，所以
所以，
所以，又，所以，
所以，因为，所以。
故答案为：C
【分析】利用已知条件结合三角形法则和数量积为0两向量垂直的等价关系，再利用数量积的运算法则，得出的值，再利用结合数量积的定义，进而结合两向量的夹角的取值范围，进而求出的值。
8．（2022高二下·宿迁期末）设随机变量（且），最大时，（ ）
A．1.98 B．1.99 C．2.00 D．2.01
【答案】C
【知识点】离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】随机变量，则，
因为最大，则有，
即，，
整理得，解得，
而，则，所以。
故答案为：C
【分析】利用机变量，再结合组合数公式和古典概型求概率公式，进而结合最大得出M的取值范围，再利用，进而得出M的值，再利用数学期望公式求出随机变量X的数学期望。
二、多选题
9．（2022高二下·宿迁期末）下列说法正确的是（ ）
A．样本相关系数即为其标准化数据向量夹角的余弦值
B．样本相关系数的取值范围是
C．决定系数越大，一元线性回归模型的拟合效果越好
D．若变量x与y的线性回归方程为，则x与y负相关
【答案】A,C
【知识点】变量间的相关关系；可线性化的回归分析；相关系数
【解析】【解答】对于A，样本相关系数即为其标准化数据向量夹角的余弦值，A符合题意；
对于B，样本相关系数的取值范围是，B不符合题意；
对于C，决定系数越大，一元线性回归模型的拟合效果越好，C符合题意；
对于D，变量x与y的线性回归方程为，则x与y正相关，D不符合题意.
故答案为：AC.
【分析】利用已知条件得出样本相关系数即为其标准化数据向量夹角的余弦值，再利用样本相关系数的取值范围、再利用决定系数越大，一元线性回归模型的拟合效果越好，再结合变量x与y的线性回归方程为，则x与y正相关，进而找出说法正确的选项。
10．（2022高二下·宿迁期末）在长方体中，，E，F分别为棱的中点，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A,B,C
【知识点】向量的模；平面向量的基本定理及其意义；平面向量数量积的含义与物理意义；数量积判断两个平面向量的垂直关系
【解析】【解答】如图建立空间直角坐标系，
则、、、
、、、、、，
所以、、、，
所以，A符合题意；
，B符合题意；
，，，，
所以，，故，即C符合题意；
因为，所以与不垂直，D不符合题意；
故答案为：ABC
【分析】利用已知条件结合空间向量的方法，再利用平面向量基本定理、向量的坐标运算、向量的模的坐标表示、数量积的坐标表示、两向量垂直数量积为0的等价关系，数量积的坐标表示，进而找出结论正确的选项。
11．（2022高二下·宿迁期末）已知的正态密度曲线如图所示．下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A,B,D
【知识点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义
【解析】【解答】由正态密度曲线的性质可知，的正态密度曲线分别关于对称，越小密度曲线越“高瘦”，
由题图可知，，AB符合题意；
当，C不符合题意；
由于正态密度曲线与轴之间的面积为1，由题图可知，D符合题意.
故答案为：ABD.
【分析】由正态密度曲线的性质可知，的正态密度曲线分别关于对称，越小密度曲线越“高瘦”，由题图结合比较法可知，，当，由于正态密度曲线与轴之间的面积为1，由题图可知，进而找出结论正确的选项。
12．（2022高二下·宿迁期末）某车间加工同一型号零件，第一、二台车床加工的零件分别占总数的40%，60%，各自产品中的次品率分别为6%，5%.记“任取一个零件为第i台车床加工”为事件，“任取一个零件是次品”为事件B，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B,C,D
【知识点】互斥事件与对立事件；相互独立事件的概率乘法公式；条件概率与独立事件
【解析】【解答】依题意，，，，C符合题意；
所以，
所以，A不符合题意；
因为，所以，B符合题意；
所以，D符合题意；
故答案为：BCD
【分析】利用已知条件结合条件概型求概率公式、对立事件求概率公式、独立事件乘法求概率公式、互斥事件加法求概率公式，进而找出正确的选项。
三、填空题
13．（2022高二下·宿迁期末）如图，一条电路从A处到B处接通时，可以有 条不同的线路（每条线路仅含一条通路）．
【答案】9
【知识点】分类加法计数原理
【解析】【解答】依题意按上、中、下三条线路可分为三类，
上线路中有种，
中线路中只有种，
下线路中有（种．
根据分类计数原理，共有（种。
故答案为：9。
【分析】利用已知条件结合分步乘法计数原理和分类加法计数原理，进而得出满足要求的不同的线路的种数。
14．（2022高二下·宿迁期末）已知随机变量，则的值为 ．
【答案】2
【知识点】离散型随机变量的期望与方差；二项分布与n次独立重复试验的模型
【解析】【解答】由随机变量
可得，解之得，
则。
故答案为：2。
【分析】利用已知条件结合二项分布求概率公式和二项分布求数学期望公式，进而得出n，p的值，再利用二项分布求方差公式，进而求出随机变量的方差。
15．（2022高二下·宿迁期末）已知点，与向量不共线的向量在上的投影向量为，请你给出的一个坐标为 ．
【答案】（1，2，0）（答案不唯一）
【知识点】向量的投影
【解析】【解答】由点，可得，
又因为向量在上的投影向量为，
则，
则，又因为向量与向量不共线，则不成立
则可令，即。
故答案为：（1，2，0）（答案不唯一）。
【分析】利用已知条件结合向量求坐标公式和数量积求投影向量的方法，再利用向量共线定理，进而得出向量的一个坐标 。
16．（2022高二下·宿迁期末）“杨辉三角”（或“贾宪三角”），西方又称为“帕斯卡三角”，实际上帕斯卡发现该规律比贾宪晚500多年，若将杨辉三角中的每一个数都换成分数，就得到一个如图所示的分数三角形数阵，被称为莱布尼茨三角形．从菜布尼茨三角形可以看出，其中 （用r表示）；令，则的值为 ．
【答案】r+1；
【知识点】数列的极限；排列、组合及简单计数问题
【解析】【解答】由得：
，
又，
，
；
∵，
∴，，
，…，
，，
将上述各式相加，得，
即，
∴，
∴。
故答案为：r+1；。
【分析】利用已知条件结合莱布尼茨三角形，再利用组合数公式和求和的方法，进而得出数列的通项公式，再结合数列求极限的方法，进而得出 的值。
四、解答题
17．（2022高二下·宿迁期末）在条件①无理项的系数和为-364，②的系数是64，③第3项的二项式系数与第2项的二项式系数的比为5∶2中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题．
问题：在的展开式中____．
（1）求n的值；
（2）求展开式中的常数项．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】（1）解：因为展开式的通项为
若选①，当为奇数时为无理项，为偶数时为有理项，
则的无理项系数和与的无理项系数和互为相反数，
令的无理项系数和为、有理项系数和为，
令，则，
所以，所以；
若选②，令，解得，
因为且，解得且为3的倍数，
所以，因为，所以，所以，
所以；
若选③，依题意可得，即，解得；
（2）解：由（1）可得，则展开式的通项为，
令，解得，所以展开式中常数项为；
【知识点】二项式系数的性质；二项式定理的应用
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合二项式定理求出展开式中的通项公式。
若选①，当为奇数时为无理项，为偶数时为有理项，则的无理项系数和与的无理项系数和互为相反数，令的无理项系数和为、有理项系数和为，令，则，，进而解方程组求出M的值，从而得出n的值；
若选②，令，解得r与n的关系式，再利用且，解得且为3的倍数，再结合，进而得出n的取值范围，从而得出n的值；
若选③，依题意可得，再利用组合数公式，进而得出n的值。
(2) 由（1）可得，再利用二项式定理求出展开式的通项公式，再利用通项公式求出展开式中的常数项。
18．（2022高二下·宿迁期末）在直角梯形中，，A为线段的中点，四边形为正方形．将四边形沿折叠，使得，得到如图（2）所示的几何体．
（1）求直线与平面所成角的正弦值；
（2）当F为线段的中点时，求二面角的余弦值．
【答案】（1）解：依题意可得、，，如图建立空间直角坐标系，
则、、、、、，
所以，，，
设平面的法向量为，所以，令，则，，所以，
设直线与平面所成角为，则
（2）解：依题意可得，则，
设平面的法向量为，所以，令，则，
则，显然二面角的锐二面角，
所以二面角的余弦值为；
【知识点】直线与平面所成的角；二面角的平面角及求法
【解析】【分析】（1） 依题意可得、，，建立空间直角坐标系， 从而得出点的坐标，再结合向量的坐标表示求出向量的坐标，再利用数量积求向量夹角公式，进而结合诱导公式得出 直线与平面所成角的正弦值。
（2）利用已知条件结合中点的性质，再利用向量的坐标表示和数量积为0两向量垂直的等价关系，进而得出平面的法向量，再利用数量积求向量夹角公式结合二面角的锐二面角， 进而求出二面角的余弦值。
19．（2022高二下·宿迁期末）设甲袋中有3个白球和4个红球，乙袋中有1个白球和2个红球．
（1）从甲袋中取4个球，求这4个球中恰好有2个红球的概率；
（2）先从乙袋中取2个球放入甲袋，再从甲袋中取2个球，求从甲袋中取出的是2个红球的概率．
【答案】（1）解：依题意从7个球中取4个球有中取法，
其中4个球中恰好有2个红球，即恰好有2个红球、2个白球，有种取法，
所以4个球中恰好有2个红球的概率；
（2）解：记为从乙袋中取出1个红球、1个白球，为从乙袋中取出2个红球，为从甲袋中取出2个红球，
所以，，
所以，，
所以
【知识点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式；古典概型及其概率计算公式；条件概率与独立事件；排列、组合及简单计数问题
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合组合数公式和古典概型求概率公式，进而得出这4个球中恰好有2个红球的概率。
（2）利用已知条件结合组合数公式和古典概型求概率公式，再利用条件概型求概率公式，进而结合独立事件乘法求概率公式和互斥事件加法求概率公式，从而得出从甲袋中取出的是2个红球的概率。
20．（2022高二下·宿迁期末）受疫情影响，某校实行线上教学，为了监控学生的学习情况，每周进行一次线上测评，连续测评5周，得到均分数据见图．
优秀数 非优秀数 合计
某校 46 54 100
联谊校 56 44 100
合计 102 98 200
附：相关系数：
回归系数：，
临界值表：
0.100 0.050 0.010 0.001
k 2.706 3.841 6.635 10.828
（1）请你根据数据利用相关系数判定均分y与线上教学周数x是否具有显著相关关系，若有，求出线性回归方程，若没有，请说明理由；
（2）为了对比研究，该校和其水平相当的线下教学的联谊校进行同步测评，从两校分别随机抽取100名同学成绩进行优秀学生数统计见表1，请问是否有把握断定优秀数与线上学习有关？若有关，请问有多大把握？
【答案】（1）解：
，则均分y与线上教学周数x负相关很强.
则
则线性回归方程为
（2）解：
则在犯错误的概率不超过的前提下不能推断“优秀数与线上学习有关”
【知识点】线性回归方程；独立性检验的应用
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合平均数公式和相关系数求解公式，进而判断出均分y与线上教学周数x负相关很强，再结合最小二乘法得出线性回归方程。
（2）利用已知条件结合独立性检验的方法判断出在犯错误的概率不超过的前提下不能推断“优秀数与线上学习有关”。
21．（2022高二下·宿迁期末）如图，三棱柱中，所有棱长都为2，且，平面平面，点P，Q分别在上，且．
（1）求证：平面；
（2）当点P是边的中点时，求点到直线的距离．
【答案】（1）证明：作，交于点，由，则，
∵，
∴，即，
∴且，连接，
所以四边形为平行四边形，
∴，
∵平面，且平面，
∴平面．
（2）解：取中点，连接、，
∵，，，
根据余弦定理得：，
∴，
则，又平面平面，平面平面，
∴平面，
∵是等边三角形，
∴，
如图建立空间直角坐标系，
则，
∴，
∴，
∴点到直线的距离为.
【知识点】点到直线的距离公式；直线与平面平行的判定
【解析】【分析】（1） 作，交于点，由，则，利用结合对应边成比例，即，所以且，连接，所以四边形为平行四边形，所以，再利用线线平行证出线面平行，从而证出直线平面。
（2） 取中点，连接、，再利用，，结合余弦定理得出的长，则，再利用平面平面结合面面垂直的性质定理证出线面垂直，所以平面，再利用三角形是等边三角形结合等边三角形三线合一，得出，从而建立空间直角坐标系，进而得出点的坐标，再结合向量的坐标表示求出向量的坐标，再利用数量积求向量夹角公式和同角三角函数基本关系式以及几何法，进而求出点到直线的距离。
22．（2022高二下·宿迁期末）在做数学卷多选题时考生通常有以下两种策略：
策略A：为避免有选错得0分，在四个选项中只选出一个自己最有把握的选项，将多选题当作“单选题”来做，选对得2分；
策略B：争取得5分，选出自己认为正确的全部选项，漏选得2分，全部选对得5分．
本次期末考试前，某同学通过模拟训练得出其在两种策略下作完成下面小题的情况如下表：
策略 概率 每题耗时（分钟）
第11题 第12题
A 选对选项 0.8 0.5 3
B 部分选对 0.6 0.2 6
全部选对 0.3 0.7
已知该同学作答两题的状态互不影响，但这两题总耗时若超过10分钟，其它题目会因为时间紧张而少得1分．根据以上经验解答下列问题：
（1）若该同学此次考试决定用以下方案：第11题采用策略B，第12题采用策略A，设他这两题得分之和为X，求X的分布列、均值及方差；
（2）若该同学期望得到高分，请你替他设计答题方案．
【答案】（1）解：设事件为“第11题得0分”，事件为“第11题得2分”，事件为“第11题得5分”，
事件为“第12题得0分”，事件为“第12题得2分”，
所以，，，，，
由题意可知，的可能取值为0，2，4，5，7，
则，
，
，
，
，
所以小明第11题和第12题总得分的分布列为：
0 2 4 5 7
0.05 0.35 0.3 0.15 0.15
所以，
（2）解：依题意该同学答题方案有：
方案题采用策略，12题采用策略；
方案题和12题均采用策略；
方案题和12题均采用策略；
方案题采用策略，12题采用策略；
设随机变量为该同学采用方案2时，第11题和第12题总得分，
则的可能取值为0，2，4，5，7，10，
故，
，
，
，
，
，
故的分布列为：
0 2 4 5 7 10
0.01 0.08 0.12 0.1 0.48 0.21
所以，
但因为时间超过10分钟，后面的题得分少1分，相当于得分均值为3分，
因为，
方案的期望值一定小于4，故不选方案3，
设随机变量为该同学采用方案4时，第11题和第12题总得分，
则的可能取值为0，2，4，5，7，
故，
，
，
，
，
故的分布列为：
0 2 4 5 7
0.02 0.12 0.16 0.14 0.56
所以，
方案4的期望值也小于，故不选方案4；
所以我建议该同学按照方案2：11题和12题均采用策略．
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）利用已知条件得出事件，事件，事件的概率，进而得出随机变量X的取值，再利用独立事件乘法求概率公式和互斥事件加法求概率公式，进而得出随机变量X的分布列，再利用随机变量X的分布列求均值和方差公式，进而得出随机变量X的均值和方差。
（2）依题意得出该同学答题方案，设随机变量为该同学采用方案2时，第11题和第12题总得分，
进而得出随机变量的可能取值，再利用独立事件乘法求概率公式和互斥事件加法求概率公式，进而得出随机变量Y的分布列，再利用随机变量的分布列求数学期望公式，进而得出随机变量Y的数学期望，但因为时间超过10分钟，后面的题得分少1分，相当于得分均值为3分，再利用，方案的期望值一定小于4，故不选方案3，设随机变量为该同学采用方案4时，第11题和第12题总得分，进而得出随机变量的可能取值，再利用独立事件乘法求概率公式和互斥事件加法求概率公式，进得出随机变量Z的分布列，再利用随机变量的分布列求数学期望公式，进而得出随机变量Z的数学期望，方案的期望值也小于，故不选方案4，所以我建议该同学按照方案2：11题和12题均采用策略。
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江苏省宿迁市2021-2022学年高二下学期数学期末考试试卷
一、单选题
1．（2022高二下·宿迁期末）已知，则（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．2
2．（2022高二下·宿迁期末）已知经过点的平面的法向量为，则点到平面的距离为（ ）
A． B．2 C． D．
3．（2022高二下·宿迁期末）下列各式中，不等于的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022高二下·宿迁期末）如果今天是星期二，经过7天后还是星期二，那么经过天后是（ ）
A．星期一 B．星期二 C．星期三 D．星期四
5．（2022高二下·宿迁期末）已知数据的三对观测值为，用“最小二乘法”判断下列直线的拟合程度，则效果最好的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2022高二下·宿迁期末）甲、乙、丙、丁4位同学进行数学建模竞赛（无并列名次），赛后甲、乙预估自己成绩，甲说：“我不可能得到冠军”，乙说：“我应该不会是最差的”，假如两人都猜对了，那么乙得冠军的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．（2022高二下·宿迁期末）四面体中，，则（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
8．（2022高二下·宿迁期末）设随机变量（且），最大时，（ ）
A．1.98 B．1.99 C．2.00 D．2.01
二、多选题
9．（2022高二下·宿迁期末）下列说法正确的是（ ）
A．样本相关系数即为其标准化数据向量夹角的余弦值
B．样本相关系数的取值范围是
C．决定系数越大，一元线性回归模型的拟合效果越好
D．若变量x与y的线性回归方程为，则x与y负相关
10．（2022高二下·宿迁期末）在长方体中，，E，F分别为棱的中点，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
11．（2022高二下·宿迁期末）已知的正态密度曲线如图所示．下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
12．（2022高二下·宿迁期末）某车间加工同一型号零件，第一、二台车床加工的零件分别占总数的40%，60%，各自产品中的次品率分别为6%，5%.记“任取一个零件为第i台车床加工”为事件，“任取一个零件是次品”为事件B，则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
13．（2022高二下·宿迁期末）如图，一条电路从A处到B处接通时，可以有 条不同的线路（每条线路仅含一条通路）．
14．（2022高二下·宿迁期末）已知随机变量，则的值为 ．
15．（2022高二下·宿迁期末）已知点，与向量不共线的向量在上的投影向量为，请你给出的一个坐标为 ．
16．（2022高二下·宿迁期末）“杨辉三角”（或“贾宪三角”），西方又称为“帕斯卡三角”，实际上帕斯卡发现该规律比贾宪晚500多年，若将杨辉三角中的每一个数都换成分数，就得到一个如图所示的分数三角形数阵，被称为莱布尼茨三角形．从菜布尼茨三角形可以看出，其中 （用r表示）；令，则的值为 ．
四、解答题
17．（2022高二下·宿迁期末）在条件①无理项的系数和为-364，②的系数是64，③第3项的二项式系数与第2项的二项式系数的比为5∶2中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题．
问题：在的展开式中____．
（1）求n的值；
（2）求展开式中的常数项．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
18．（2022高二下·宿迁期末）在直角梯形中，，A为线段的中点，四边形为正方形．将四边形沿折叠，使得，得到如图（2）所示的几何体．
（1）求直线与平面所成角的正弦值；
（2）当F为线段的中点时，求二面角的余弦值．
19．（2022高二下·宿迁期末）设甲袋中有3个白球和4个红球，乙袋中有1个白球和2个红球．
（1）从甲袋中取4个球，求这4个球中恰好有2个红球的概率；
（2）先从乙袋中取2个球放入甲袋，再从甲袋中取2个球，求从甲袋中取出的是2个红球的概率．
20．（2022高二下·宿迁期末）受疫情影响，某校实行线上教学，为了监控学生的学习情况，每周进行一次线上测评，连续测评5周，得到均分数据见图．
优秀数 非优秀数 合计
某校 46 54 100
联谊校 56 44 100
合计 102 98 200
附：相关系数：
回归系数：，
临界值表：
0.100 0.050 0.010 0.001
k 2.706 3.841 6.635 10.828
（1）请你根据数据利用相关系数判定均分y与线上教学周数x是否具有显著相关关系，若有，求出线性回归方程，若没有，请说明理由；
（2）为了对比研究，该校和其水平相当的线下教学的联谊校进行同步测评，从两校分别随机抽取100名同学成绩进行优秀学生数统计见表1，请问是否有把握断定优秀数与线上学习有关？若有关，请问有多大把握？
21．（2022高二下·宿迁期末）如图，三棱柱中，所有棱长都为2，且，平面平面，点P，Q分别在上，且．
（1）求证：平面；
（2）当点P是边的中点时，求点到直线的距离．
22．（2022高二下·宿迁期末）在做数学卷多选题时考生通常有以下两种策略：
策略A：为避免有选错得0分，在四个选项中只选出一个自己最有把握的选项，将多选题当作“单选题”来做，选对得2分；
策略B：争取得5分，选出自己认为正确的全部选项，漏选得2分，全部选对得5分．
本次期末考试前，某同学通过模拟训练得出其在两种策略下作完成下面小题的情况如下表：
策略 概率 每题耗时（分钟）
第11题 第12题
A 选对选项 0.8 0.5 3
B 部分选对 0.6 0.2 6
全部选对 0.3 0.7
已知该同学作答两题的状态互不影响，但这两题总耗时若超过10分钟，其它题目会因为时间紧张而少得1分．根据以上经验解答下列问题：
（1）若该同学此次考试决定用以下方案：第11题采用策略B，第12题采用策略A，设他这两题得分之和为X，求X的分布列、均值及方差；
（2）若该同学期望得到高分，请你替他设计答题方案．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】二项式系数的性质
【解析】【解答】依题意，当时，。
故答案为：B
【分析】利用已知条件结合赋值法，进而求出的值。
2．【答案】D
【知识点】点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】依题意，，所以点P到平面的距离为。
故答案为：D
【分析】利用已知条件结合向量的坐标表示，再利用数量积求出点P到平面的距离。
3．【答案】C
【知识点】排列数公式的推导
【解析】【解答】A：.判断正确；
B：.判断正确；
C：.判断错误；
D：.判断正确.
故答案为：C
【分析】利用已知条件结合排列数公式的性质和排列数公式，进而找出不等于的选项。
4．【答案】C
【知识点】二项式定理的应用
【解析】【解答】，
由于括号中，除了最后一项外，其余各项都能被7整除，
故整个式子除以的余数为，，
故经过天后是星期三。
故答案为：C．
【分析】利用已知条件结合二项式定理和求余的方法，进而结合函数的周期性，进而得出经过天后的选项。
5．【答案】A
【知识点】可线性化的回归分析
【解析】【解答】当拟合直线为时，预报值与实际值的差的平方和，
当拟合直线为时，预报值与实际值的差的平方和，
当拟合直线为时，预报值与实际值的差的平方和，
当拟合直线为时，预报值与实际值的差的平方和，
故最小，即效果最好的是。
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合“最小二乘法”判断下列直线的拟合程度，再结合预报值与实际值的差的平方和，进而找出效果最好的直线方程。
6．【答案】D
【知识点】古典概型及其概率计算公式；排列、组合及简单计数问题
【解析】【解答】由题意可得，“甲没有得到冠军”，“乙不是最差的”
则可能的竞赛结果共有（种）
其中乙得冠军共有（种）可能的结果
则甲乙都猜对了，乙得冠军的概率为。
故答案为：D
【分析】利用已知条件结合排列数公式和古典概型求概率公式，进而得出乙得冠军的概率。
7．【答案】C
【知识点】平面向量数量积的运算
【解析】【解答】因为，，所以
所以，
所以，又，所以，
所以，因为，所以。
故答案为：C
【分析】利用已知条件结合三角形法则和数量积为0两向量垂直的等价关系，再利用数量积的运算法则，得出的值，再利用结合数量积的定义，进而结合两向量的夹角的取值范围，进而求出的值。
8．【答案】C
【知识点】离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】随机变量，则，
因为最大，则有，
即，，
整理得，解得，
而，则，所以。
故答案为：C
【分析】利用机变量，再结合组合数公式和古典概型求概率公式，进而结合最大得出M的取值范围，再利用，进而得出M的值，再利用数学期望公式求出随机变量X的数学期望。
9．【答案】A,C
【知识点】变量间的相关关系；可线性化的回归分析；相关系数
【解析】【解答】对于A，样本相关系数即为其标准化数据向量夹角的余弦值，A符合题意；
对于B，样本相关系数的取值范围是，B不符合题意；
对于C，决定系数越大，一元线性回归模型的拟合效果越好，C符合题意；
对于D，变量x与y的线性回归方程为，则x与y正相关，D不符合题意.
故答案为：AC.
【分析】利用已知条件得出样本相关系数即为其标准化数据向量夹角的余弦值，再利用样本相关系数的取值范围、再利用决定系数越大，一元线性回归模型的拟合效果越好，再结合变量x与y的线性回归方程为，则x与y正相关，进而找出说法正确的选项。
10．【答案】A,B,C
【知识点】向量的模；平面向量的基本定理及其意义；平面向量数量积的含义与物理意义；数量积判断两个平面向量的垂直关系
【解析】【解答】如图建立空间直角坐标系，
则、、、
、、、、、，
所以、、、，
所以，A符合题意；
，B符合题意；
，，，，
所以，，故，即C符合题意；
因为，所以与不垂直，D不符合题意；
故答案为：ABC
【分析】利用已知条件结合空间向量的方法，再利用平面向量基本定理、向量的坐标运算、向量的模的坐标表示、数量积的坐标表示、两向量垂直数量积为0的等价关系，数量积的坐标表示，进而找出结论正确的选项。
11．【答案】A,B,D
【知识点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义
【解析】【解答】由正态密度曲线的性质可知，的正态密度曲线分别关于对称，越小密度曲线越“高瘦”，
由题图可知，，AB符合题意；
当，C不符合题意；
由于正态密度曲线与轴之间的面积为1，由题图可知，D符合题意.
故答案为：ABD.
【分析】由正态密度曲线的性质可知，的正态密度曲线分别关于对称，越小密度曲线越“高瘦”，由题图结合比较法可知，，当，由于正态密度曲线与轴之间的面积为1，由题图可知，进而找出结论正确的选项。
12．【答案】B,C,D
【知识点】互斥事件与对立事件；相互独立事件的概率乘法公式；条件概率与独立事件
【解析】【解答】依题意，，，，C符合题意；
所以，
所以，A不符合题意；
因为，所以，B符合题意；
所以，D符合题意；
故答案为：BCD
【分析】利用已知条件结合条件概型求概率公式、对立事件求概率公式、独立事件乘法求概率公式、互斥事件加法求概率公式，进而找出正确的选项。
13．【答案】9
【知识点】分类加法计数原理
【解析】【解答】依题意按上、中、下三条线路可分为三类，
上线路中有种，
中线路中只有种，
下线路中有（种．
根据分类计数原理，共有（种。
故答案为：9。
【分析】利用已知条件结合分步乘法计数原理和分类加法计数原理，进而得出满足要求的不同的线路的种数。
14．【答案】2
【知识点】离散型随机变量的期望与方差；二项分布与n次独立重复试验的模型
【解析】【解答】由随机变量
可得，解之得，
则。
故答案为：2。
【分析】利用已知条件结合二项分布求概率公式和二项分布求数学期望公式，进而得出n，p的值，再利用二项分布求方差公式，进而求出随机变量的方差。
15．【答案】（1，2，0）（答案不唯一）
【知识点】向量的投影
【解析】【解答】由点，可得，
又因为向量在上的投影向量为，
则，
则，又因为向量与向量不共线，则不成立
则可令，即。
故答案为：（1，2，0）（答案不唯一）。
【分析】利用已知条件结合向量求坐标公式和数量积求投影向量的方法，再利用向量共线定理，进而得出向量的一个坐标 。
16．【答案】r+1；
【知识点】数列的极限；排列、组合及简单计数问题
【解析】【解答】由得：
，
又，
，
；
∵，
∴，，
，…，
，，
将上述各式相加，得，
即，
∴，
∴。
故答案为：r+1；。
【分析】利用已知条件结合莱布尼茨三角形，再利用组合数公式和求和的方法，进而得出数列的通项公式，再结合数列求极限的方法，进而得出 的值。
17．【答案】（1）解：因为展开式的通项为
若选①，当为奇数时为无理项，为偶数时为有理项，
则的无理项系数和与的无理项系数和互为相反数，
令的无理项系数和为、有理项系数和为，
令，则，
所以，所以；
若选②，令，解得，
因为且，解得且为3的倍数，
所以，因为，所以，所以，
所以；
若选③，依题意可得，即，解得；
（2）解：由（1）可得，则展开式的通项为，
令，解得，所以展开式中常数项为；
【知识点】二项式系数的性质；二项式定理的应用
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合二项式定理求出展开式中的通项公式。
若选①，当为奇数时为无理项，为偶数时为有理项，则的无理项系数和与的无理项系数和互为相反数，令的无理项系数和为、有理项系数和为，令，则，，进而解方程组求出M的值，从而得出n的值；
若选②，令，解得r与n的关系式，再利用且，解得且为3的倍数，再结合，进而得出n的取值范围，从而得出n的值；
若选③，依题意可得，再利用组合数公式，进而得出n的值。
(2) 由（1）可得，再利用二项式定理求出展开式的通项公式，再利用通项公式求出展开式中的常数项。
18．【答案】（1）解：依题意可得、，，如图建立空间直角坐标系，
则、、、、、，
所以，，，
设平面的法向量为，所以，令，则，，所以，
设直线与平面所成角为，则
（2）解：依题意可得，则，
设平面的法向量为，所以，令，则，
则，显然二面角的锐二面角，
所以二面角的余弦值为；
【知识点】直线与平面所成的角；二面角的平面角及求法
【解析】【分析】（1） 依题意可得、，，建立空间直角坐标系， 从而得出点的坐标，再结合向量的坐标表示求出向量的坐标，再利用数量积求向量夹角公式，进而结合诱导公式得出 直线与平面所成角的正弦值。
（2）利用已知条件结合中点的性质，再利用向量的坐标表示和数量积为0两向量垂直的等价关系，进而得出平面的法向量，再利用数量积求向量夹角公式结合二面角的锐二面角， 进而求出二面角的余弦值。
19．【答案】（1）解：依题意从7个球中取4个球有中取法，
其中4个球中恰好有2个红球，即恰好有2个红球、2个白球，有种取法，
所以4个球中恰好有2个红球的概率；
（2）解：记为从乙袋中取出1个红球、1个白球，为从乙袋中取出2个红球，为从甲袋中取出2个红球，
所以，，
所以，，
所以
【知识点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式；古典概型及其概率计算公式；条件概率与独立事件；排列、组合及简单计数问题
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合组合数公式和古典概型求概率公式，进而得出这4个球中恰好有2个红球的概率。
（2）利用已知条件结合组合数公式和古典概型求概率公式，再利用条件概型求概率公式，进而结合独立事件乘法求概率公式和互斥事件加法求概率公式，从而得出从甲袋中取出的是2个红球的概率。
20．【答案】（1）解：
，则均分y与线上教学周数x负相关很强.
则
则线性回归方程为
（2）解：
则在犯错误的概率不超过的前提下不能推断“优秀数与线上学习有关”
【知识点】线性回归方程；独立性检验的应用
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合平均数公式和相关系数求解公式，进而判断出均分y与线上教学周数x负相关很强，再结合最小二乘法得出线性回归方程。
（2）利用已知条件结合独立性检验的方法判断出在犯错误的概率不超过的前提下不能推断“优秀数与线上学习有关”。
21．【答案】（1）证明：作，交于点，由，则，
∵，
∴，即，
∴且，连接，
所以四边形为平行四边形，
∴，
∵平面，且平面，
∴平面．
（2）解：取中点，连接、，
∵，，，
根据余弦定理得：，
∴，
则，又平面平面，平面平面，
∴平面，
∵是等边三角形，
∴，
如图建立空间直角坐标系，
则，
∴，
∴，
∴点到直线的距离为.
【知识点】点到直线的距离公式；直线与平面平行的判定
【解析】【分析】（1） 作，交于点，由，则，利用结合对应边成比例，即，所以且，连接，所以四边形为平行四边形，所以，再利用线线平行证出线面平行，从而证出直线平面。
（2） 取中点，连接、，再利用，，结合余弦定理得出的长，则，再利用平面平面结合面面垂直的性质定理证出线面垂直，所以平面，再利用三角形是等边三角形结合等边三角形三线合一，得出，从而建立空间直角坐标系，进而得出点的坐标，再结合向量的坐标表示求出向量的坐标，再利用数量积求向量夹角公式和同角三角函数基本关系式以及几何法，进而求出点到直线的距离。
22．【答案】（1）解：设事件为“第11题得0分”，事件为“第11题得2分”，事件为“第11题得5分”，
事件为“第12题得0分”，事件为“第12题得2分”，
所以，，，，，
由题意可知，的可能取值为0，2，4，5，7，
则，
，
，
，
，
所以小明第11题和第12题总得分的分布列为：
0 2 4 5 7
0.05 0.35 0.3 0.15 0.15
所以，
（2）解：依题意该同学答题方案有：
方案题采用策略，12题采用策略；
方案题和12题均采用策略；
方案题和12题均采用策略；
方案题采用策略，12题采用策略；
设随机变量为该同学采用方案2时，第11题和第12题总得分，
则的可能取值为0，2，4，5，7，10，
故，
，
，
，
，
，
故的分布列为：
0 2 4 5 7 10
0.01 0.08 0.12 0.1 0.48 0.21
所以，
但因为时间超过10分钟，后面的题得分少1分，相当于得分均值为3分，
因为，
方案的期望值一定小于4，故不选方案3，
设随机变量为该同学采用方案4时，第11题和第12题总得分，
则的可能取值为0，2，4，5，7，
故，
，
，
，
，
故的分布列为：
0 2 4 5 7
0.02 0.12 0.16 0.14 0.56
所以，
方案4的期望值也小于，故不选方案4；
所以我建议该同学按照方案2：11题和12题均采用策略．
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）利用已知条件得出事件，事件，事件的概率，进而得出随机变量X的取值，再利用独立事件乘法求概率公式和互斥事件加法求概率公式，进而得出随机变量X的分布列，再利用随机变量X的分布列求均值和方差公式，进而得出随机变量X的均值和方差。
（2）依题意得出该同学答题方案，设随机变量为该同学采用方案2时，第11题和第12题总得分，
进而得出随机变量的可能取值，再利用独立事件乘法求概率公式和互斥事件加法求概率公式，进而得出随机变量Y的分布列，再利用随机变量的分布列求数学期望公式，进而得出随机变量Y的数学期望，但因为时间超过10分钟，后面的题得分少1分，相当于得分均值为3分，再利用，方案的期望值一定小于4，故不选方案3，设随机变量为该同学采用方案4时，第11题和第12题总得分，进而得出随机变量的可能取值，再利用独立事件乘法求概率公式和互斥事件加法求概率公式，进得出随机变量Z的分布列，再利用随机变量的分布列求数学期望公式，进而得出随机变量Z的数学期望，方案的期望值也小于，故不选方案4，所以我建议该同学按照方案2：11题和12题均采用策略。
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