山东省东营市2021-2022学年高二下学期数学期末考试试卷
1．（2022高二下·东营期末）已知数列，则是这个数列的（ ）
A．第1011项 B．第1012项 C．第1013项 D．第1014项
【答案】B
【知识点】等差数列的通项公式
【解析】【解答】解：由数列，
可得，
令，解得，
所以是这个数列的第1012项.
故答案为：B.
【分析】根据题意可得数列的通项，再令，解之即可得解.
2．（2022高二下·东营期末）一学习小组10名学生的某次数学测试成绩的名次由小到大分别是2，4，5，x，10，14，15，39，41，50，已知该小组数学测试成绩名次的40%分位数是8.5，则x的值是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】B
【知识点】收集数据的方法
【解析】【解答】依题意是整数，那么40%分位数8.5就是第4，第5位数的平均值，根据选项可知，，于是，解得.
故答案为：B.
【分析】根据百分数位的定义进行计算即可.
3．（2022高二下·东营期末）如图，直线l和圆C，当l从l0开始在平面上绕点O按逆时针方向匀速转到（转到角不超过90°）时，它扫过的圆内阴影部分的面积S是时间t的函数，这个函数的图象大致是
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】观察可知面积S变化情况为“一直增加，先慢后快，过圆心后又变慢”，
对应的函数的图象是变化率先变大再变小，由此知D符合要求.
故答案为：D.
【分析】由题意可知：S变化情况为“一直增加，先慢后快，过圆心后又变慢”，据此确定函数的大致图像即可.
4．（2022高二下·东营期末）已知正项等比数列中，公比，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【知识点】等比数列的性质
【解析】【解答】因为，
所以，所以，
因为，所以，
所以，
故答案为：A
【分析】由已知条件列方程求出，从而可求出.
5．（2022高二下·东营期末）在一次劳动实践课上，甲组同学准备将一根直径为的圆木锯成截面为矩形的梁.如图，已知矩形的宽为，高为，且梁的抗弯强度，则当梁的抗弯强度最大时，矩形的宽的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】由题意，，故，故当时，，当时，，故当时取最大值.
故答案为：D
【分析】易得，再求导分析的单调性与取最大值时的值即可.
6．（2022高二下·东营期末）数列满足，则（ ）
A．2022 B．2020 C． D．
【答案】C
【知识点】数列的求和
【解析】【解答】由题意，，，
，，
故的周期为4.又，
故
故答案为：C
【分析】逐项计算，确定的周期，再求和即可.
7．（2022高二下·东营期末）为了解阅读量多少与幸福感强弱之间的关系，一个调查机构随机调查了100人，得到如下数据：
幸福感强 幸福感弱
阅读量多 40 20
阅读量少 15 25
则下列说法正确的是（ ）
参考数据：
A．在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，可以认为阅读量多少与幸福感强弱有关
B．有99.9%的把握认为阅读量多少与幸福感强弱有关
C．若一个人阅读量多，则有99.5%的把握认为此人的幸福感强
D．在阅读量多的人中随机抽取一人，此人是幸福感强的人的概率约为0.55
【答案】A
【知识点】独立性检验
【解析】【解答】，
对ABC，，在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，可以认为阅读量多少与幸福感强弱有关，A对，BC不符合题意；
对D，在阅读量多的人中随机抽取一人，此人是幸福感强的人的概率，D不符合题意，
故答案为：A
【分析】根据独立性检验公式求得，结合表格即可判断ABC；根据频率与频数的关系，可求解判断D.
8．（2022高二下·东营期末）设，随机变量的分布列为：
0 1
则当在上增大时（ ）
A．单调递增，最大值为 B．先增后减，最大值为
C．单调递减，最小值为 D．先减后增，最小值为
【答案】D
【知识点】极差、方差与标准差
【解析】【解答】由题知，解得，
所以
所以
由二次函数性质可知，在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，有最小值.
故答案为：D
【分析】根据方差公式，结合二次函数性质可得.
9．（2022高二下·东营期末）设为实数，直线能作为曲线的切线，则曲线的方程可以为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A,C,D
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】因为直线能作为曲线的切线，
所以有解，
对于A，由，得，由，得，解得，
所以直线能作为曲线的切线，所以A符合题意，
对于B，由，得，由，得，
化简得，因为，所以方程无解，所以直线不能作为曲线的切线，所以B不符合题意，
对于C，由，得，由，得，解得，所以直线能作为曲线的切线，所以C符合题意，
对于D，由，得，由，得，解得，所以直线能作为曲线的切线，所以D符合题意，
故答案为：ACD
【分析】由题意可知，有解，然后逐个分析求解即可.
10．（2022高二下·东营期末）某电视台举办才艺比赛，比赛现场有9名评委评分，场外观众采用网络评分，比赛评分采取10分制，某选手比赛后，现场9名评委原始评分中去掉一个最高分和一个最低分，得到7个有效评分如表所示，对观众网络评分按分成三组，其频率分布直方图如图所示：
现场评委 A B C D E F G
有效评分
则下列说法正确的是（ ）
A．现场评委的7个有效评分与9个原始评分的中位数相同
B．由图可估计网络评分的众数为8
C．在去掉最高分和最低分之前9名评委原始评分的极差一定不小于0.7
D．场外观众网络评分的均值大于现场评委有效评分的均值
【答案】A,C
【知识点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：去掉9个原始评分中的一个最高分和一个最低分，不会改变该组数据的中位数，A符合题意；
由图估计网络评分的众数9.5，B不符合题意；
7个有效评分极差为，在去掉最高分和最低分之前，9名教师原始评分的极差大于0.7，C符合题意；
现场评分均值为，
网络评分均值为，D不符合题意；
故答案为：AC．
【分析】根据频率分布直方图结合评分表计算中位数、众数、极差、均值即可判断.
11．（2022高二下·东营期末）甲 乙 丙 丁 戊共5位志愿者被安排到A，B，C，D四所山区学校参加支教活动，要求每所学校至少安排一位志愿者，且每位志愿者只能到一所学校支教，则下列结论正确的是（ ）
A．不同的安排方法共有210种
B．甲志愿者被安排到A学校的概率是
C．若A学校安排两名志愿者，则不同的安排方法共有120种
D．在甲志愿者被安排到A学校支教的前提下，A学校有两名志愿者的概率是
【答案】A,D
【知识点】排列与组合的综合
【解析】【解答】解：甲 乙 丙 丁 戊共5位志愿者被安排到A，B，C，D四所山区学校参加支教活动，
则共有种安排方法，A不符合题意；
甲志愿者被安排到A学校，
若甲学校只有一个人，则有种安排方法，
若甲学校只有2个人，则有种安排方法，
所以甲志愿者被安排到A学校有种安排方法，
所以甲志愿者被安排到A学校的概率是，B符合题意；
若A学校安排两名志愿者，则不同的安排方法共有种，C不符合题意；
甲志愿者被安排到A学校有60种安排方法，
在甲志愿者被安排到A学校支教的前提下，A学校有两名志愿者的安排方法有24种，
所以在甲志愿者被安排到A学校支教的前提下，A学校有两名志愿者的概率是，D符合题意.
故答案为：AD.
【分析】先将5人分成4组，然后排入4所学校即可判断A；
分甲学校只有一个人和甲学校只有2个人，两种情况讨论，求出甲志愿者被安排到A学校的排法，再根据古典概型即可判断B；
先将A学校的两名志愿者排好，再将剩下的3名志愿者海路其他3所学校即可判断C；
求出甲志愿者被安排到A学校的排法，然后再求出在甲志愿者被安排到A学校支教的前提下，A学校有两名志愿者的排法，从而可判断D.
12．（2022高二下·东营期末）如图，是一块半径为1的圆形纸板，在的左下端前去一个半径为的半圆后得到图形，然后依次剪去一个更小半圆（其直径为前一个前掉半圆的半径）得图形，，记纸板的周长为，面积为，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A,B,D
【知识点】进行简单的合情推理
【解析】【解答】根据题意可得纸板相较于纸板剪掉了半径为的半圆，故，即，故，，，…，累加可得，所以，A符合题意，C不符合题意；
又，故，即，D符合题意；
又，，…，累加可得，故正确，B符合题意；
故答案为：ABD
【分析】观察图形，分析剪掉的半圆的变化，纸板相较于纸板剪掉了半径为的半圆，再分别写出和的递推公式，从而累加得到通项公式再逐个判断即可.
13．（2022高二下·东营期末）已知数列满足，则 .
【答案】9
【知识点】数列的递推公式
【解析】【解答】由题知，.
故答案为：9
【分析】根据递推公式直接求解可得.
14．（2022高二下·东营期末）的展开式中的系数为 .（用数字作答）
【答案】15
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】由二项式展开项通项公式可得，，，故所求系数为15，
故答案为：15
【分析】结合二项式展开项通项公式，即可求出对应的展开项以及系数.
15．（2022高二下·东营期末）对一个物理量做次测量，并以测量结果的平均值作为该物理量的最后结果，已知测量结果服从正态分布，为使测量结果在的概率不小于，则至少测量 次.（参考数据：若，则.
【答案】32
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】根据正态曲线的对称性知：要使误差在的概率不小于0.9545，
则且，，
所以，解得，所以至少要测量32次.
故答案为：32
【分析】因为，得到，，要使误差在的概率不小于0.9545，则，得到不等式计算即可.
16．（2022高二下·东营期末）设函数是的导函数.某同学经过探究发现，任意一个三次函数的图像都有对称中心，其中满足.已知三次函数，若，则 ；若，分别满足方程，则 .
【答案】-2；2
【知识点】奇偶函数图象的对称性；导数的几何意义
【解析】【解答】由题，，，由可得，的图像的对称中心为，即，
，所以和关于对称，故；
令，同理可求的对称中心，，，由可得，对称中心为，即，
，故，
由，故单调递增，即是一一对应的函数，故和关于对称，故，
故答案为：-2；2
【分析】根据已知条件先对函数求二阶导，求出的图象的对称中心，即，再由，可得和关于对称即可求解；由得，利用导数判断的单调性，求出和关于，从而求出.
17．（2022高二下·东营期末）已知数列满足，设.
（1）证明：数列为等比数列；
（2）设数列，记数列的前项和为，请比较与1的大小.
【答案】（1）证明：因为，所以，
因为，
所以，
所以，
因为，所以，
所以数列是以1为首项，为公比的等比数列
（2）解：由（1）可得，
所以，
所以，
所以，
因为，所以，
所以
【知识点】等比关系的确定；数列的递推公式；数列的极限
【解析】【分析】（1）由，可得，再根据等比数列的定义可证得结论；
（2）由（1）可得，从而可得，则，然后利用裂项相消法可求出，从而可与1比较大小.
18．（2022高二下·东营期末）已知函数，曲线在点处的切线的斜率为4.
（1）求切线的方程；
（2）若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）解：函数的定义域为，，
由题意知，，所以，
故，所以，切点坐标为
故切线的方程为．
（2）解：由（1）知，，
所以，可化为：，
即在上恒成立，
令，则，
当时，，在上单调递增，
当时，，在上单调递减，
所以当时，函数取得最大值，
故当时，在上恒成立，
所以实数的取值范围是.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）根据导数几何意义先求解的值，然后得到切点坐标，即可得到切线的方程；
（2）化简不等式，分离常数，即，构造函数，利用导数求解函数的最大值即可.
19．（2022高二下·东营期末）中国是茶的故乡，也是茶文化的发源地.为了弘扬中国茶文化，某酒店推出特色茶饮，按事先拟定的价格进行试销，得到销售数据，如下表所示：
试销单价（元） 20 25 30 35 40 45
销量（壶） 88 86 76 73 68
参考数据：.
（1）已知变量具有线性相关关系，求销量（壶）关于试销单价（元）的线性回归方程和的值；
（2）用表示根据线性回归方程得到的与对应的销量的估计值，当销售数据中与估计值满足时，则称该销售数据为一组“理想数据”.现从6组销售数据中任取2组，求抽取的2组销售数据中至少有1组是“理想数据”的概率.
附：回归直线方程的斜率，截距.
【答案】（1）解：由题意得，，
由，可求得，
所以，
，
故所求的线性回归方程为．
（2）解：当时，当时，
当时，当时，
当时，当时，．
与销售数据对比可知满足的共有4组：、、、．
从6组销售数据中任意抽取2组的所有可能结果有种，
其中2组数据中至少有一组是“理想数据”的结果有种，
所以抽取的2组销售数据中至少有1组是“理想数据”的概率为．
【知识点】线性回归方程
【解析】【分析】（1）根据题干中所给数据，分别计算，，解得，然后求解斜率和截距即可得到回归直线方程；
（2）根据题意计算出满足“理想数据”情况，利用古典概型的概率公式计算即可.
20．（2022高二下·东营期末）设为数列的前项和，已知，且满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）若等差数列的前项和等于，求数列的前项和.
【答案】（1）解：因为…①
所以当时，…②
①-②可得：，整理可得
则
所以，所以当时
易知时上式也成立，所以数列的通项公式为
（2）解：记等差数列的公差为d，
由题可得，即
所以，解得，所以
所以
所以
当n为奇数时，
；
当n为偶数时，
.
【知识点】数列的求和；数列的递推公式
【解析】【分析】（1）利用先求得递推公式，然后由累乘法可得；
（2）根据已知列方程可得的通项公式，然后分n为奇数和偶数求的前n项和.
21．（2022高二下·东营期末）为了促进消费，某超市开展购物抽奖送积分活动，顾客单次购物消费每满100元，即可获得一次抽奖的机会，假定每次中奖的概率均为，不中奖的概率均为，且各次抽奖相互独立.活动规定：第1次抽奖时，若中奖则得10分，不中奖得5分；第2次抽奖时，需要从以下两个方案中任选一个：方案一：若中奖则得30分，不中奖得0分；方案二：若中奖则获得上一次抽奖得分的两倍，否则得5分.当抽奖次数大于两次时，执行第2次抽奖所选的方案，直到抽奖结束.
（1）甲顾客单次消费了200元，获得了两次抽奖机会.
①若甲顾客在第二次抽奖时选择了方案二，求甲顾客第一次未中奖且第二次中奖的概率并求此时的得分；
②若以甲顾客两次抽奖累计得分的期望为决策依据，甲顾客应该选择哪一个方案？请说明理由；
（2）乙顾客单次消费了1100元，获得了11次抽奖机会，记乙顾客11次抽奖共中奖k次的概率为，求的最大值点
【答案】（1）解：①由题意，甲顾客第一次未中奖且第二次中奖的概率为，此时得分为；
②若甲第2次抽奖选方案①，两次抽奖累计积分为，则的可能取值为40，35，10，5．
，，，， 所以．
若甲第2次抽奖选方案②，两次抽奖累计积分为，则的可能取值为30，15，10，
则，，，，
因为，所以应选择方案①．
（2）解：由题意，，可得最大值点满足，即，化简可得，解得，故或
【知识点】离散型随机变量的期望与方差；二项分布
【解析】【分析】（1）分别求得两个方案的累计积分的期望值即可进行选择；
（2）易得中奖情况满足二项分布，根据二项展开式的通项的最大值大于等于前后两项列不等式求解即可.
22．（2022高二下·东营期末）已知函数，且点在函数的图像上，记，其中是自然对数的底数，，
（1）求实数的值并求函数的极值；
（2）当时，证明：函数有两个零点，且.
【答案】（1）解：由题意知，，所以，
此时，，则，
若，令，得，
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
故当时，函数取得极小值，所以，
同理，若，当时，函数取得极小值，此时，
综上，当时，函数的极小值为当时，函数的极小值为，函数没有极大值.
（2）解：当时，由（1）知，函数在上单调递减，在单调递增，
所以函数最多有两个零点，又，，
所以函数在内有一个零点，
又当时，，而，
令，所以，
所以函数在上单调递增，则，
所以，所以在上有一个零点，
综上，当时，函数有且仅有两个零点，，且，
故．
【知识点】利用导数研究函数的极值；函数零点存在定理
【解析】【分析】（1）根据题意代入即可解得，分类讨论的取值范围，利用导数求解函数的单调性，进而求得极值；
（2）根据函数的单调性结合零点存在定理可判断函数在内有一个零点， 当时，，构造函数，利用导数证明，即可得到在上有一个零点， 即可得到，进而证明不等式.
1 / 1山东省东营市2021-2022学年高二下学期数学期末考试试卷
1．（2022高二下·东营期末）已知数列，则是这个数列的（ ）
A．第1011项 B．第1012项 C．第1013项 D．第1014项
2．（2022高二下·东营期末）一学习小组10名学生的某次数学测试成绩的名次由小到大分别是2，4，5，x，10，14，15，39，41，50，已知该小组数学测试成绩名次的40%分位数是8.5，则x的值是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
3．（2022高二下·东营期末）如图，直线l和圆C，当l从l0开始在平面上绕点O按逆时针方向匀速转到（转到角不超过90°）时，它扫过的圆内阴影部分的面积S是时间t的函数，这个函数的图象大致是
A． B．
C． D．
4．（2022高二下·东营期末）已知正项等比数列中，公比，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．（2022高二下·东营期末）在一次劳动实践课上，甲组同学准备将一根直径为的圆木锯成截面为矩形的梁.如图，已知矩形的宽为，高为，且梁的抗弯强度，则当梁的抗弯强度最大时，矩形的宽的值为（ ）
A． B． C． D．
6．（2022高二下·东营期末）数列满足，则（ ）
A．2022 B．2020 C． D．
7．（2022高二下·东营期末）为了解阅读量多少与幸福感强弱之间的关系，一个调查机构随机调查了100人，得到如下数据：
幸福感强 幸福感弱
阅读量多 40 20
阅读量少 15 25
则下列说法正确的是（ ）
参考数据：
A．在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，可以认为阅读量多少与幸福感强弱有关
B．有99.9%的把握认为阅读量多少与幸福感强弱有关
C．若一个人阅读量多，则有99.5%的把握认为此人的幸福感强
D．在阅读量多的人中随机抽取一人，此人是幸福感强的人的概率约为0.55
8．（2022高二下·东营期末）设，随机变量的分布列为：
0 1
则当在上增大时（ ）
A．单调递增，最大值为 B．先增后减，最大值为
C．单调递减，最小值为 D．先减后增，最小值为
9．（2022高二下·东营期末）设为实数，直线能作为曲线的切线，则曲线的方程可以为（ ）
A． B．
C． D．
10．（2022高二下·东营期末）某电视台举办才艺比赛，比赛现场有9名评委评分，场外观众采用网络评分，比赛评分采取10分制，某选手比赛后，现场9名评委原始评分中去掉一个最高分和一个最低分，得到7个有效评分如表所示，对观众网络评分按分成三组，其频率分布直方图如图所示：
现场评委 A B C D E F G
有效评分
则下列说法正确的是（ ）
A．现场评委的7个有效评分与9个原始评分的中位数相同
B．由图可估计网络评分的众数为8
C．在去掉最高分和最低分之前9名评委原始评分的极差一定不小于0.7
D．场外观众网络评分的均值大于现场评委有效评分的均值
11．（2022高二下·东营期末）甲 乙 丙 丁 戊共5位志愿者被安排到A，B，C，D四所山区学校参加支教活动，要求每所学校至少安排一位志愿者，且每位志愿者只能到一所学校支教，则下列结论正确的是（ ）
A．不同的安排方法共有210种
B．甲志愿者被安排到A学校的概率是
C．若A学校安排两名志愿者，则不同的安排方法共有120种
D．在甲志愿者被安排到A学校支教的前提下，A学校有两名志愿者的概率是
12．（2022高二下·东营期末）如图，是一块半径为1的圆形纸板，在的左下端前去一个半径为的半圆后得到图形，然后依次剪去一个更小半圆（其直径为前一个前掉半圆的半径）得图形，，记纸板的周长为，面积为，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
13．（2022高二下·东营期末）已知数列满足，则 .
14．（2022高二下·东营期末）的展开式中的系数为 .（用数字作答）
15．（2022高二下·东营期末）对一个物理量做次测量，并以测量结果的平均值作为该物理量的最后结果，已知测量结果服从正态分布，为使测量结果在的概率不小于，则至少测量 次.（参考数据：若，则.
16．（2022高二下·东营期末）设函数是的导函数.某同学经过探究发现，任意一个三次函数的图像都有对称中心，其中满足.已知三次函数，若，则 ；若，分别满足方程，则 .
17．（2022高二下·东营期末）已知数列满足，设.
（1）证明：数列为等比数列；
（2）设数列，记数列的前项和为，请比较与1的大小.
18．（2022高二下·东营期末）已知函数，曲线在点处的切线的斜率为4.
（1）求切线的方程；
（2）若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围.
19．（2022高二下·东营期末）中国是茶的故乡，也是茶文化的发源地.为了弘扬中国茶文化，某酒店推出特色茶饮，按事先拟定的价格进行试销，得到销售数据，如下表所示：
试销单价（元） 20 25 30 35 40 45
销量（壶） 88 86 76 73 68
参考数据：.
（1）已知变量具有线性相关关系，求销量（壶）关于试销单价（元）的线性回归方程和的值；
（2）用表示根据线性回归方程得到的与对应的销量的估计值，当销售数据中与估计值满足时，则称该销售数据为一组“理想数据”.现从6组销售数据中任取2组，求抽取的2组销售数据中至少有1组是“理想数据”的概率.
附：回归直线方程的斜率，截距.
20．（2022高二下·东营期末）设为数列的前项和，已知，且满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）若等差数列的前项和等于，求数列的前项和.
21．（2022高二下·东营期末）为了促进消费，某超市开展购物抽奖送积分活动，顾客单次购物消费每满100元，即可获得一次抽奖的机会，假定每次中奖的概率均为，不中奖的概率均为，且各次抽奖相互独立.活动规定：第1次抽奖时，若中奖则得10分，不中奖得5分；第2次抽奖时，需要从以下两个方案中任选一个：方案一：若中奖则得30分，不中奖得0分；方案二：若中奖则获得上一次抽奖得分的两倍，否则得5分.当抽奖次数大于两次时，执行第2次抽奖所选的方案，直到抽奖结束.
（1）甲顾客单次消费了200元，获得了两次抽奖机会.
①若甲顾客在第二次抽奖时选择了方案二，求甲顾客第一次未中奖且第二次中奖的概率并求此时的得分；
②若以甲顾客两次抽奖累计得分的期望为决策依据，甲顾客应该选择哪一个方案？请说明理由；
（2）乙顾客单次消费了1100元，获得了11次抽奖机会，记乙顾客11次抽奖共中奖k次的概率为，求的最大值点
22．（2022高二下·东营期末）已知函数，且点在函数的图像上，记，其中是自然对数的底数，，
（1）求实数的值并求函数的极值；
（2）当时，证明：函数有两个零点，且.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】等差数列的通项公式
【解析】【解答】解：由数列，
可得，
令，解得，
所以是这个数列的第1012项.
故答案为：B.
【分析】根据题意可得数列的通项，再令，解之即可得解.
2．【答案】B
【知识点】收集数据的方法
【解析】【解答】依题意是整数，那么40%分位数8.5就是第4，第5位数的平均值，根据选项可知，，于是，解得.
故答案为：B.
【分析】根据百分数位的定义进行计算即可.
3．【答案】D
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】观察可知面积S变化情况为“一直增加，先慢后快，过圆心后又变慢”，
对应的函数的图象是变化率先变大再变小，由此知D符合要求.
故答案为：D.
【分析】由题意可知：S变化情况为“一直增加，先慢后快，过圆心后又变慢”，据此确定函数的大致图像即可.
4．【答案】A
【知识点】等比数列的性质
【解析】【解答】因为，
所以，所以，
因为，所以，
所以，
故答案为：A
【分析】由已知条件列方程求出，从而可求出.
5．【答案】D
【知识点】利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】由题意，，故，故当时，，当时，，故当时取最大值.
故答案为：D
【分析】易得，再求导分析的单调性与取最大值时的值即可.
6．【答案】C
【知识点】数列的求和
【解析】【解答】由题意，，，
，，
故的周期为4.又，
故
故答案为：C
【分析】逐项计算，确定的周期，再求和即可.
7．【答案】A
【知识点】独立性检验
【解析】【解答】，
对ABC，，在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，可以认为阅读量多少与幸福感强弱有关，A对，BC不符合题意；
对D，在阅读量多的人中随机抽取一人，此人是幸福感强的人的概率，D不符合题意，
故答案为：A
【分析】根据独立性检验公式求得，结合表格即可判断ABC；根据频率与频数的关系，可求解判断D.
8．【答案】D
【知识点】极差、方差与标准差
【解析】【解答】由题知，解得，
所以
所以
由二次函数性质可知，在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，有最小值.
故答案为：D
【分析】根据方差公式，结合二次函数性质可得.
9．【答案】A,C,D
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】因为直线能作为曲线的切线，
所以有解，
对于A，由，得，由，得，解得，
所以直线能作为曲线的切线，所以A符合题意，
对于B，由，得，由，得，
化简得，因为，所以方程无解，所以直线不能作为曲线的切线，所以B不符合题意，
对于C，由，得，由，得，解得，所以直线能作为曲线的切线，所以C符合题意，
对于D，由，得，由，得，解得，所以直线能作为曲线的切线，所以D符合题意，
故答案为：ACD
【分析】由题意可知，有解，然后逐个分析求解即可.
10．【答案】A,C
【知识点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：去掉9个原始评分中的一个最高分和一个最低分，不会改变该组数据的中位数，A符合题意；
由图估计网络评分的众数9.5，B不符合题意；
7个有效评分极差为，在去掉最高分和最低分之前，9名教师原始评分的极差大于0.7，C符合题意；
现场评分均值为，
网络评分均值为，D不符合题意；
故答案为：AC．
【分析】根据频率分布直方图结合评分表计算中位数、众数、极差、均值即可判断.
11．【答案】A,D
【知识点】排列与组合的综合
【解析】【解答】解：甲 乙 丙 丁 戊共5位志愿者被安排到A，B，C，D四所山区学校参加支教活动，
则共有种安排方法，A不符合题意；
甲志愿者被安排到A学校，
若甲学校只有一个人，则有种安排方法，
若甲学校只有2个人，则有种安排方法，
所以甲志愿者被安排到A学校有种安排方法，
所以甲志愿者被安排到A学校的概率是，B符合题意；
若A学校安排两名志愿者，则不同的安排方法共有种，C不符合题意；
甲志愿者被安排到A学校有60种安排方法，
在甲志愿者被安排到A学校支教的前提下，A学校有两名志愿者的安排方法有24种，
所以在甲志愿者被安排到A学校支教的前提下，A学校有两名志愿者的概率是，D符合题意.
故答案为：AD.
【分析】先将5人分成4组，然后排入4所学校即可判断A；
分甲学校只有一个人和甲学校只有2个人，两种情况讨论，求出甲志愿者被安排到A学校的排法，再根据古典概型即可判断B；
先将A学校的两名志愿者排好，再将剩下的3名志愿者海路其他3所学校即可判断C；
求出甲志愿者被安排到A学校的排法，然后再求出在甲志愿者被安排到A学校支教的前提下，A学校有两名志愿者的排法，从而可判断D.
12．【答案】A,B,D
【知识点】进行简单的合情推理
【解析】【解答】根据题意可得纸板相较于纸板剪掉了半径为的半圆，故，即，故，，，…，累加可得，所以，A符合题意，C不符合题意；
又，故，即，D符合题意；
又，，…，累加可得，故正确，B符合题意；
故答案为：ABD
【分析】观察图形，分析剪掉的半圆的变化，纸板相较于纸板剪掉了半径为的半圆，再分别写出和的递推公式，从而累加得到通项公式再逐个判断即可.
13．【答案】9
【知识点】数列的递推公式
【解析】【解答】由题知，.
故答案为：9
【分析】根据递推公式直接求解可得.
14．【答案】15
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】由二项式展开项通项公式可得，，，故所求系数为15，
故答案为：15
【分析】结合二项式展开项通项公式，即可求出对应的展开项以及系数.
15．【答案】32
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】根据正态曲线的对称性知：要使误差在的概率不小于0.9545，
则且，，
所以，解得，所以至少要测量32次.
故答案为：32
【分析】因为，得到，，要使误差在的概率不小于0.9545，则，得到不等式计算即可.
16．【答案】-2；2
【知识点】奇偶函数图象的对称性；导数的几何意义
【解析】【解答】由题，，，由可得，的图像的对称中心为，即，
，所以和关于对称，故；
令，同理可求的对称中心，，，由可得，对称中心为，即，
，故，
由，故单调递增，即是一一对应的函数，故和关于对称，故，
故答案为：-2；2
【分析】根据已知条件先对函数求二阶导，求出的图象的对称中心，即，再由，可得和关于对称即可求解；由得，利用导数判断的单调性，求出和关于，从而求出.
17．【答案】（1）证明：因为，所以，
因为，
所以，
所以，
因为，所以，
所以数列是以1为首项，为公比的等比数列
（2）解：由（1）可得，
所以，
所以，
所以，
因为，所以，
所以
【知识点】等比关系的确定；数列的递推公式；数列的极限
【解析】【分析】（1）由，可得，再根据等比数列的定义可证得结论；
（2）由（1）可得，从而可得，则，然后利用裂项相消法可求出，从而可与1比较大小.
18．【答案】（1）解：函数的定义域为，，
由题意知，，所以，
故，所以，切点坐标为
故切线的方程为．
（2）解：由（1）知，，
所以，可化为：，
即在上恒成立，
令，则，
当时，，在上单调递增，
当时，，在上单调递减，
所以当时，函数取得最大值，
故当时，在上恒成立，
所以实数的取值范围是.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）根据导数几何意义先求解的值，然后得到切点坐标，即可得到切线的方程；
（2）化简不等式，分离常数，即，构造函数，利用导数求解函数的最大值即可.
19．【答案】（1）解：由题意得，，
由，可求得，
所以，
，
故所求的线性回归方程为．
（2）解：当时，当时，
当时，当时，
当时，当时，．
与销售数据对比可知满足的共有4组：、、、．
从6组销售数据中任意抽取2组的所有可能结果有种，
其中2组数据中至少有一组是“理想数据”的结果有种，
所以抽取的2组销售数据中至少有1组是“理想数据”的概率为．
【知识点】线性回归方程
【解析】【分析】（1）根据题干中所给数据，分别计算，，解得，然后求解斜率和截距即可得到回归直线方程；
（2）根据题意计算出满足“理想数据”情况，利用古典概型的概率公式计算即可.
20．【答案】（1）解：因为…①
所以当时，…②
①-②可得：，整理可得
则
所以，所以当时
易知时上式也成立，所以数列的通项公式为
（2）解：记等差数列的公差为d，
由题可得，即
所以，解得，所以
所以
所以
当n为奇数时，
；
当n为偶数时，
.
【知识点】数列的求和；数列的递推公式
【解析】【分析】（1）利用先求得递推公式，然后由累乘法可得；
（2）根据已知列方程可得的通项公式，然后分n为奇数和偶数求的前n项和.
21．【答案】（1）解：①由题意，甲顾客第一次未中奖且第二次中奖的概率为，此时得分为；
②若甲第2次抽奖选方案①，两次抽奖累计积分为，则的可能取值为40，35，10，5．
，，，， 所以．
若甲第2次抽奖选方案②，两次抽奖累计积分为，则的可能取值为30，15，10，
则，，，，
因为，所以应选择方案①．
（2）解：由题意，，可得最大值点满足，即，化简可得，解得，故或
【知识点】离散型随机变量的期望与方差；二项分布
【解析】【分析】（1）分别求得两个方案的累计积分的期望值即可进行选择；
（2）易得中奖情况满足二项分布，根据二项展开式的通项的最大值大于等于前后两项列不等式求解即可.
22．【答案】（1）解：由题意知，，所以，
此时，，则，
若，令，得，
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
故当时，函数取得极小值，所以，
同理，若，当时，函数取得极小值，此时，
综上，当时，函数的极小值为当时，函数的极小值为，函数没有极大值.
（2）解：当时，由（1）知，函数在上单调递减，在单调递增，
所以函数最多有两个零点，又，，
所以函数在内有一个零点，
又当时，，而，
令，所以，
所以函数在上单调递增，则，
所以，所以在上有一个零点，
综上，当时，函数有且仅有两个零点，，且，
故．
【知识点】利用导数研究函数的极值；函数零点存在定理
【解析】【分析】（1）根据题意代入即可解得，分类讨论的取值范围，利用导数求解函数的单调性，进而求得极值；
（2）根据函数的单调性结合零点存在定理可判断函数在内有一个零点， 当时，，构造函数，利用导数证明，即可得到在上有一个零点， 即可得到，进而证明不等式.
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