山东省济南市2021-2022学年高二下学期数学期末考试试卷
1．（2022高二下·济南期末）函数的导函数（ ）
A． B． C． D．
2．（2022高二下·济南期末）已知事件A，B，若，，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2022高二下·济南期末）若，则实数x的值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．2或6
4．（2022高二下·济南期末）若将牡丹、玫瑰、月季、山茶、芙蓉、郁金香6盆鲜花放入3个不同的房间中，每个房间放2盆花，其中牡丹、郁金香必须放入同一房间，则不同的放法共有（ ）
A．12种 B．18种 C．36种 D．54种
5．（2022高二下·济南期末）函数在上单调递增，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
6．（2022高二下·济南期末）已知函数及其导函数的定义域均为R，且为奇函数，则（ ）
A． B． C． D．
7．（2022高二下·济南期末）的展开式中，所有不含z的项的系数之和为（ ）
A．16 B．32 C．27 D．81
8．（2022高二下·济南期末）已知离散型随机变量X的分布列为，其中a为常数，则（ ）
A． B． C． D．
9．（2022高二下·济南期末）某同学将收集到的六对数据制作成散点图如下，得到其经验回归方程为，计算其相关系数为，决定系数为．经过分析确定点F为“离群点”，把它去掉后，再利用剩下的五对数据计算得到经验回归方程为，相关系数为，决定系数为．下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2022高二下·济南期末）已知，则（ ）
A． B．
C． D．
11．（2022高二下·济南期末）甲盒中装有2个黑球、1个白球，乙盒中装有1个黑球、2个白球，同时从甲、乙两盒中随机取出个球交换，分别记交换后甲、乙两个盒子中黑球个数的数学期望为，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
12．（2022高二下·济南期末）已知，且，则（ ）
A．存在，使得
B．对任意，都有
C．对任意，都存在，使得
D．若过点可以作曲线的两条切线，则
13．（2022高二下·济南期末）已知随机变量，且，则c的值为 ．
14．（2022高二下·济南期末）已知某学校高二年级有男生500人、女生450人，调查该年级全部男、女学生是否喜欢徒步运动的等高堆积条形图如下，现从所有喜欢徒步的学生中按分层抽样的方法抽取24人，则抽取的女生人数为 ．
15．（2022高二下·济南期末）将展开式中的项重新排列，则x的次数为整数的项全部相邻的排法共有 种．（用数字作答）
16．（2022高二下·济南期末）已知函数，若存在，使得成立，则k的最大值为 ．
17．（2022高二下·济南期末）某商场为提高服务质量，随机调查了50位男顾客和50位女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或者不满意的评价，得到下面部分列联表：
满意 不满意
男顾客 10
女顾客 15
附：
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
（1）分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；
（2）能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？．
18．（2022高二下·济南期末）已知函数在处取得极小值．
（1）求c的值；
（2）求在区间上的最值．
19．（2022高二下·济南期末）某试验机床生产了12个电子元件，其中8个合格品，4个次品．从中随机抽出4个电子元件作为样本，用X表示样本中合格品的个数．
（1）若有放回的抽取，求X的分布列与期望；
（2）若不放回的抽取，求样本中合格品的比例与总体中合格品的比例之差的绝对值不超过的概率．
20．（2022高二下·济南期末）已知函数．
（1）求的单调递增区间；
（2）当时，恒成立，求实数m的取值范围．
21．（2022高二下·济南期末）在某地区进行某种疾病调查，需要对其居民血液进行抽样化验，若结果呈阳性，则患有该疾病；若结果为阴性，则未患有该疾病．现有n（，）个人，每人一份血液待检验，有如下两种方案：
方案一：逐份检验，需要检验n次；
方案二：混合检验，将n份血液分别取样，混合在一起检验，若检验结果呈阴性，则n个人都未患有该疾病；若检验结果呈阳性，再对n份血液逐份检验，此时共需要检验n＋1次．
（1）若，且其中两人患有该疾病，采用方案一，求恰好检验3次就能确定患病两人的概率；
（2）已知每个人患该疾病的概率为．
（ⅰ）若两种方案检验总次数的期望值相同，求p关于n的函数解析式；
（ⅱ）若，且每单次检验费用相同，为降低总检验费用，选择哪种方案更好？试说明理由．
22．（2022高二下·济南期末）已知函数，．
（1）若存在极大值点，求a的取值范围；
（2）试判断的零点个数，并说明理由．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】简单复合函数求导法则
【解析】【解答】由复合函数求导法则，，
故答案为：B
【分析】利用复合函数求导法则与基本初等函数求导公式即可.
2．【答案】A
【知识点】条件概率与独立事件
【解析】【解答】因为， .
所以.
故答案为：A.
【分析】直接利用条件概率公式计算即可求出.
3．【答案】D
【知识点】组合及组合数公式
【解析】【解答】由，得 或 ，解得或，
所以实数x的值为2或6.
故答案为：D.
【分析】根据组合数的定义及组合数的性质即可求解.
4．【答案】B
【知识点】简单计数与排列组合
【解析】【解答】先分组，已知牡丹、郁金香必须放入同一房间为一组，
则剩下四盆花有组，再分配到3个不同的房间中，
共有种排法，
所以不同的放法数（种）.
故答案为：B.
【分析】先分组，已知牡丹、郁金香必须放入同一房间为一组，则剩下四盆花有组，再分配到各个房间即可得解.
5．【答案】A
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】因为，所以.
因为函数在上单调递增，
所以在上恒成立，
所以在上恒成立，即，即可
令，则
由函数单调性的性质知，在上减函数，
，即.
所以实数的取值范围为。
故答案为：A.
【分析】根据函数在上单调递增，可得在上恒成立，然后利用分离参数法即可求解.
6．【答案】C
【知识点】奇函数与偶函数的性质；导数的概念
【解析】【解答】解：因为函数及其导函数的定义域均为R，且为奇函数，
所以不妨设，则，，BD不符合题意；
取，则，A不符合题意，C符合题意，
故答案为：C
【分析】取，，逐项判断即可.
7．【答案】D
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】解：展开式的通项公式为，
若展开式中的项不含z，则，此时符合条件的项为展开式中的所有项，
令，可得所有不含z的项的系数之和为，
故答案为：D.
【分析】原问题即为求展开式中的所有项的系数和，令，即可得答案.
8．【答案】B
【知识点】离散型随机变量及其分布列
【解析】【解答】，所以；
故
故答案为：B
【分析】根据离散型随机变量的概率之和为1可求解，进而根据概率公式即可求解.
9．【答案】A,C
【知识点】散点图
【解析】【解答】由图可知两变量呈现正相关，故，，去掉“离群点”后，相关性更强，所以，故，A符合题意，B不正确．
根据图象当去掉F点后，直线的基本在A，B，C，D，E附近的那条直线上，直线的倾斜程度会略向轴偏向，故斜率会变小，因此可判断，C符合题意，D不符合题意.
故答案为：AC．
【分析】根据散点图对相关性的强弱的影响即可判断四个选项.
10．【答案】A,B,D
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】
取，则有，A符合题意；
取，则有，B符合题意；
令，则，
因为，所以，C不符合题意；
因为，，所以，D符合题意.
故答案为：ABD
【分析】使用赋值法可判断AB；令，然后根据通项直接求解可判断CD.
11．【答案】A,C,D
【知识点】离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】当时，X的可能取值为1，2，3，且
；
；
；
所以.
Y的可能取值为0，1，2，且
；
；
；
所以.
A，C符合题意.
当时，X的可能取值为0，1，2，且
；
；
；
所以.
Y的可能取值为1，2，3，且
；
；
；
所以.
B不符合题意，D符合题意.
故答案为：ACD.
【分析】分别求出和这两种情况下的分布列，再求出数学期望.
12．【答案】B,C,D
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程；函数零点存在定理
【解析】【解答】，故，，，
再由，可得，，故，
，故在上单调递增，
对A，在上单调递增且，故不存在，使得，A不符合题意；
对B，，在上单调递增，故在上增加得越来越快，图像下凸，故对任意，都有，B对；
对C，由上得，图像下凸，故图像上任意一条割线AB，必存在与AB平行，切点为的切线，此时，即，C对；
对D，设切点为，则切线方程为，将代入得：，要有两条切线，则方程有两个互异实根，
令，则，则当时，，在上单调递增；当时，，在上单调递减，故，
当时，；当时，，
故只需，即可使有两个互异实根，D对.
故答案为：BCD
【分析】先根据，所以，再由构造方程，解出，，求出解析式，然后根据零点存在性定理，函数的切线判断方法逐一判断即可.
13．【答案】
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】因为随机变量，所以直线为正态曲线的对称轴，
而，由正态分布的对称性可知，
，解得.
所以c的值为.
故答案为：.
【分析】根据已知条件及正态分布的对称性即可求解.
14．【答案】9
【知识点】分层抽样方法
【解析】【解答】由题可知，喜欢徒步的男生有人，喜欢徒步的女生有人，
则女生应抽取人数为人.
故答案为：9
【分析】先根据等高堆积条形图求出喜欢徒步的男女生人数，再由分层抽样方法可得.
15．【答案】576
【知识点】简单计数与排列组合；二项式定理
【解析】【解答】二项式的展开式中，通项公式为，因为 为整数，且，可得
展开式共有7项，其中x的次数为整数的项有4个，把展开式中的项重新排列，
则x的次数为整数的项相邻，即把4个整次数项捆绑看成一个整体，和3个次数为非整数的项全排列，然后再考虑解绑，共有方法共有种，
故答案为：576．
【分析】根据二项式定理展开式的通项特征，可确定共有4项次数为整数的项，根据相邻问题捆绑法即可求解.
16．【答案】
【知识点】利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】由，可得
即，
构造函数，显然在上单调递增，
∴，即，
令，即求函数的最大值即可，
，
∴在上单调递增，在上单调递减，
∴的最大值为
∴，即k的最大值为
故答案为：.
【分析】由，可得，同构函数，结合函数的单调性，转化为的最大值问题.
17．【答案】（1）解：由题意可知， 据题意可知，50位男顾客对商场服务满意的有40人，
所以男顾客对商场服务满意率估计为 .
因为50位女顾客对商场满意的有35人，
所以女顾客对商场服务满意率估计为 .
（2）解：由题意可知，由的列联表如图所示
满意 不满意 合计
男顾客 40 10 50
女顾客 35 15 50
合计 75 25 100
由列联表可知，
所以没有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异，
【知识点】独立性检验
【解析】【分析】（1）根据已知条件得出相关的数据，利用满意的人数除以总的人数，分别算出相应的频率，即估计得出的概率；
（2）根据已知条件完成的列联表，利用公式求得观测值与临界值比较即可求解.
18．【答案】（1）解：，
由得或，
当时，，
令，可得或，令，可得，
所以函数在区间和上单调递增，在区间上单调递减，
所以函数在处取得极小值；
当时，，
令，可得或，令，可得，
所以函数在区间和上单调递增，在区间上单调递减，
所以函数在处取得极大值，舍去；
综上，；
（2）解：由（1）知函数在区间和上单调递增，在区间上单调递减，
又因为，
所以的最大值为0 ，最小值为-4.
【知识点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）由题意，根据，解得或 ，然后分情况讨论即可求解；
（2）由（1）判断函数在区间 上的单调性，然后根据单调性即可求解.
19．【答案】（1）解：有放回的抽取，，
根据题意可得X的可能取值为0、1、2、3、4，
所以， ， ， ， .
X的分布列为：
P 0 1 2 3 4
X
所以X的数学期望.
（2）解：由题意得总体中合格品的比例为，
因为样本中合格品的比例与总体中合格品的比例之差的绝对值不超过，
所以样本中样品中合格品的比例大于小于，即样品中合格品的个数为2或3.
， 。
所以【解析】【分析】
【知识点】离散型随机变量的期望与方差
【解析】（1）依题意可得X的可能取值为0、1、2、3、4，求出对应的概率，即可列出分布列、求出数学期望.
（2）总体中合格品的比例为，样本中合格品的比例与总体中合格品的比例之差的绝对值不超过即样品中合格品的比例大于 小于 .
20．【答案】（1）解：函数的定义域为
当时，解不等式得，
当时，解不等式得，
当时，解不等式得，
当时，不等式无实数解.
综上，当时，的单调递增区间为；
当时，的单调递增区间为；
当时，的单调递增区间为；
当时，无单调递增区间.
（2）解：由（1）知，当时，在上单调递减，所以，显然恒成立；
当时，在上单调递减，所以，显然恒成立；
当时，在上单调递增，在上单调递减，所以
因为当时恒成立，所以，解得.
综上，实数m的取值范围为
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性
【解析】【分析】（1）求导，分类解不等式可得；
（2）根据函数单调性分类求得，然后解可得.
21．【答案】（1）解：将5份待检血液排成一排有；
满足条件的排法：第一步，将两份选一份排在第三位有2种；
第二步，在第一、二位选一个空位排另一份患者血液有2种排法；
第三步，将剩余3份排成一排有.
所以满足条件的排法共.
所以恰好检验3次就能确定患病两人的概率为
（2）解：（ⅰ）因为每个人都有可能患病，故方案一检验次数为定值n；
记方案二检验次数为X，则X的取值为1，n+1
，
所以
由题可知，即，
整理可得，即
（ⅱ）当时，记单次检验费用为x，
则方案一：检验费用为；
方案二：记检验费为Y，则Y的分布列为
Y
P
则
记，因为，所以
因为，所以单调递增，
由（ⅰ）知，当时，，
所以当时，，则；
当时，，则.
故当时，选择方案二；当时，选择方案一.
【知识点】古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）根据古典概型概率公式求解可得；
（2）根据两种方案的期望相等列方程，整理可得；分别求出两种方案检验费用的期望，作差构造函数，利用单调性可得.
22．【答案】（1）解：，
令，则，
令，可得，令，可得，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，
当，即时，，，
所以在上单调递减，无极值点，舍去；
当，即时，，，
所以存在，使得，
又，所以存在，使得 ，
所以令，可得或，令，可得，
所以在和上单调递减，在上单调递增，
所以的极大值点为.
综上，；
（2）解：由（1）知，当时，在上单调递减，
因为，且当时，，
所以在上存在唯一的零点；
当时，，
令，，
令，得，令，得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，所以在上单调递减，
因为，
所以的极大值，
所以，不存在零点，
因为，且当时，，
所以在上存在唯一个零点；
综上，有唯一零点.
【知识点】利用导数研究函数的极值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）求出，然后令，利用导数可得函数在上单调递增，在上单调递减， 进而有，最后分和两种情况进行讨论，并利用函数零点存在定理与函数极值的定义即可求解；
（2）由（1）知，当时，所以在上单调递减 ，由函数零点存在定理即可判断在上存在唯一的零点； 当时，，令，利用函数零点存在定理即可判断 在上存在唯一个零点.
1 / 1山东省济南市2021-2022学年高二下学期数学期末考试试卷
1．（2022高二下·济南期末）函数的导函数（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】简单复合函数求导法则
【解析】【解答】由复合函数求导法则，，
故答案为：B
【分析】利用复合函数求导法则与基本初等函数求导公式即可.
2．（2022高二下·济南期末）已知事件A，B，若，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】条件概率与独立事件
【解析】【解答】因为， .
所以.
故答案为：A.
【分析】直接利用条件概率公式计算即可求出.
3．（2022高二下·济南期末）若，则实数x的值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．2或6
【答案】D
【知识点】组合及组合数公式
【解析】【解答】由，得 或 ，解得或，
所以实数x的值为2或6.
故答案为：D.
【分析】根据组合数的定义及组合数的性质即可求解.
4．（2022高二下·济南期末）若将牡丹、玫瑰、月季、山茶、芙蓉、郁金香6盆鲜花放入3个不同的房间中，每个房间放2盆花，其中牡丹、郁金香必须放入同一房间，则不同的放法共有（ ）
A．12种 B．18种 C．36种 D．54种
【答案】B
【知识点】简单计数与排列组合
【解析】【解答】先分组，已知牡丹、郁金香必须放入同一房间为一组，
则剩下四盆花有组，再分配到3个不同的房间中，
共有种排法，
所以不同的放法数（种）.
故答案为：B.
【分析】先分组，已知牡丹、郁金香必须放入同一房间为一组，则剩下四盆花有组，再分配到各个房间即可得解.
5．（2022高二下·济南期末）函数在上单调递增，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】因为，所以.
因为函数在上单调递增，
所以在上恒成立，
所以在上恒成立，即，即可
令，则
由函数单调性的性质知，在上减函数，
，即.
所以实数的取值范围为。
故答案为：A.
【分析】根据函数在上单调递增，可得在上恒成立，然后利用分离参数法即可求解.
6．（2022高二下·济南期末）已知函数及其导函数的定义域均为R，且为奇函数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】奇函数与偶函数的性质；导数的概念
【解析】【解答】解：因为函数及其导函数的定义域均为R，且为奇函数，
所以不妨设，则，，BD不符合题意；
取，则，A不符合题意，C符合题意，
故答案为：C
【分析】取，，逐项判断即可.
7．（2022高二下·济南期末）的展开式中，所有不含z的项的系数之和为（ ）
A．16 B．32 C．27 D．81
【答案】D
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】解：展开式的通项公式为，
若展开式中的项不含z，则，此时符合条件的项为展开式中的所有项，
令，可得所有不含z的项的系数之和为，
故答案为：D.
【分析】原问题即为求展开式中的所有项的系数和，令，即可得答案.
8．（2022高二下·济南期末）已知离散型随机变量X的分布列为，其中a为常数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】离散型随机变量及其分布列
【解析】【解答】，所以；
故
故答案为：B
【分析】根据离散型随机变量的概率之和为1可求解，进而根据概率公式即可求解.
9．（2022高二下·济南期末）某同学将收集到的六对数据制作成散点图如下，得到其经验回归方程为，计算其相关系数为，决定系数为．经过分析确定点F为“离群点”，把它去掉后，再利用剩下的五对数据计算得到经验回归方程为，相关系数为，决定系数为．下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A,C
【知识点】散点图
【解析】【解答】由图可知两变量呈现正相关，故，，去掉“离群点”后，相关性更强，所以，故，A符合题意，B不正确．
根据图象当去掉F点后，直线的基本在A，B，C，D，E附近的那条直线上，直线的倾斜程度会略向轴偏向，故斜率会变小，因此可判断，C符合题意，D不符合题意.
故答案为：AC．
【分析】根据散点图对相关性的强弱的影响即可判断四个选项.
10．（2022高二下·济南期末）已知，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A,B,D
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】
取，则有，A符合题意；
取，则有，B符合题意；
令，则，
因为，所以，C不符合题意；
因为，，所以，D符合题意.
故答案为：ABD
【分析】使用赋值法可判断AB；令，然后根据通项直接求解可判断CD.
11．（2022高二下·济南期末）甲盒中装有2个黑球、1个白球，乙盒中装有1个黑球、2个白球，同时从甲、乙两盒中随机取出个球交换，分别记交换后甲、乙两个盒子中黑球个数的数学期望为，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A,C,D
【知识点】离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】当时，X的可能取值为1，2，3，且
；
；
；
所以.
Y的可能取值为0，1，2，且
；
；
；
所以.
A，C符合题意.
当时，X的可能取值为0，1，2，且
；
；
；
所以.
Y的可能取值为1，2，3，且
；
；
；
所以.
B不符合题意，D符合题意.
故答案为：ACD.
【分析】分别求出和这两种情况下的分布列，再求出数学期望.
12．（2022高二下·济南期末）已知，且，则（ ）
A．存在，使得
B．对任意，都有
C．对任意，都存在，使得
D．若过点可以作曲线的两条切线，则
【答案】B,C,D
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程；函数零点存在定理
【解析】【解答】，故，，，
再由，可得，，故，
，故在上单调递增，
对A，在上单调递增且，故不存在，使得，A不符合题意；
对B，，在上单调递增，故在上增加得越来越快，图像下凸，故对任意，都有，B对；
对C，由上得，图像下凸，故图像上任意一条割线AB，必存在与AB平行，切点为的切线，此时，即，C对；
对D，设切点为，则切线方程为，将代入得：，要有两条切线，则方程有两个互异实根，
令，则，则当时，，在上单调递增；当时，，在上单调递减，故，
当时，；当时，，
故只需，即可使有两个互异实根，D对.
故答案为：BCD
【分析】先根据，所以，再由构造方程，解出，，求出解析式，然后根据零点存在性定理，函数的切线判断方法逐一判断即可.
13．（2022高二下·济南期末）已知随机变量，且，则c的值为 ．
【答案】
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】因为随机变量，所以直线为正态曲线的对称轴，
而，由正态分布的对称性可知，
，解得.
所以c的值为.
故答案为：.
【分析】根据已知条件及正态分布的对称性即可求解.
14．（2022高二下·济南期末）已知某学校高二年级有男生500人、女生450人，调查该年级全部男、女学生是否喜欢徒步运动的等高堆积条形图如下，现从所有喜欢徒步的学生中按分层抽样的方法抽取24人，则抽取的女生人数为 ．
【答案】9
【知识点】分层抽样方法
【解析】【解答】由题可知，喜欢徒步的男生有人，喜欢徒步的女生有人，
则女生应抽取人数为人.
故答案为：9
【分析】先根据等高堆积条形图求出喜欢徒步的男女生人数，再由分层抽样方法可得.
15．（2022高二下·济南期末）将展开式中的项重新排列，则x的次数为整数的项全部相邻的排法共有 种．（用数字作答）
【答案】576
【知识点】简单计数与排列组合；二项式定理
【解析】【解答】二项式的展开式中，通项公式为，因为 为整数，且，可得
展开式共有7项，其中x的次数为整数的项有4个，把展开式中的项重新排列，
则x的次数为整数的项相邻，即把4个整次数项捆绑看成一个整体，和3个次数为非整数的项全排列，然后再考虑解绑，共有方法共有种，
故答案为：576．
【分析】根据二项式定理展开式的通项特征，可确定共有4项次数为整数的项，根据相邻问题捆绑法即可求解.
16．（2022高二下·济南期末）已知函数，若存在，使得成立，则k的最大值为 ．
【答案】
【知识点】利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】由，可得
即，
构造函数，显然在上单调递增，
∴，即，
令，即求函数的最大值即可，
，
∴在上单调递增，在上单调递减，
∴的最大值为
∴，即k的最大值为
故答案为：.
【分析】由，可得，同构函数，结合函数的单调性，转化为的最大值问题.
17．（2022高二下·济南期末）某商场为提高服务质量，随机调查了50位男顾客和50位女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或者不满意的评价，得到下面部分列联表：
满意 不满意
男顾客 10
女顾客 15
附：
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
（1）分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；
（2）能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？．
【答案】（1）解：由题意可知， 据题意可知，50位男顾客对商场服务满意的有40人，
所以男顾客对商场服务满意率估计为 .
因为50位女顾客对商场满意的有35人，
所以女顾客对商场服务满意率估计为 .
（2）解：由题意可知，由的列联表如图所示
满意 不满意 合计
男顾客 40 10 50
女顾客 35 15 50
合计 75 25 100
由列联表可知，
所以没有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异，
【知识点】独立性检验
【解析】【分析】（1）根据已知条件得出相关的数据，利用满意的人数除以总的人数，分别算出相应的频率，即估计得出的概率；
（2）根据已知条件完成的列联表，利用公式求得观测值与临界值比较即可求解.
18．（2022高二下·济南期末）已知函数在处取得极小值．
（1）求c的值；
（2）求在区间上的最值．
【答案】（1）解：，
由得或，
当时，，
令，可得或，令，可得，
所以函数在区间和上单调递增，在区间上单调递减，
所以函数在处取得极小值；
当时，，
令，可得或，令，可得，
所以函数在区间和上单调递增，在区间上单调递减，
所以函数在处取得极大值，舍去；
综上，；
（2）解：由（1）知函数在区间和上单调递增，在区间上单调递减，
又因为，
所以的最大值为0 ，最小值为-4.
【知识点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）由题意，根据，解得或 ，然后分情况讨论即可求解；
（2）由（1）判断函数在区间 上的单调性，然后根据单调性即可求解.
19．（2022高二下·济南期末）某试验机床生产了12个电子元件，其中8个合格品，4个次品．从中随机抽出4个电子元件作为样本，用X表示样本中合格品的个数．
（1）若有放回的抽取，求X的分布列与期望；
（2）若不放回的抽取，求样本中合格品的比例与总体中合格品的比例之差的绝对值不超过的概率．
【答案】（1）解：有放回的抽取，，
根据题意可得X的可能取值为0、1、2、3、4，
所以， ， ， ， .
X的分布列为：
P 0 1 2 3 4
X
所以X的数学期望.
（2）解：由题意得总体中合格品的比例为，
因为样本中合格品的比例与总体中合格品的比例之差的绝对值不超过，
所以样本中样品中合格品的比例大于小于，即样品中合格品的个数为2或3.
， 。
所以【解析】【分析】
【知识点】离散型随机变量的期望与方差
【解析】（1）依题意可得X的可能取值为0、1、2、3、4，求出对应的概率，即可列出分布列、求出数学期望.
（2）总体中合格品的比例为，样本中合格品的比例与总体中合格品的比例之差的绝对值不超过即样品中合格品的比例大于 小于 .
20．（2022高二下·济南期末）已知函数．
（1）求的单调递增区间；
（2）当时，恒成立，求实数m的取值范围．
【答案】（1）解：函数的定义域为
当时，解不等式得，
当时，解不等式得，
当时，解不等式得，
当时，不等式无实数解.
综上，当时，的单调递增区间为；
当时，的单调递增区间为；
当时，的单调递增区间为；
当时，无单调递增区间.
（2）解：由（1）知，当时，在上单调递减，所以，显然恒成立；
当时，在上单调递减，所以，显然恒成立；
当时，在上单调递增，在上单调递减，所以
因为当时恒成立，所以，解得.
综上，实数m的取值范围为
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性
【解析】【分析】（1）求导，分类解不等式可得；
（2）根据函数单调性分类求得，然后解可得.
21．（2022高二下·济南期末）在某地区进行某种疾病调查，需要对其居民血液进行抽样化验，若结果呈阳性，则患有该疾病；若结果为阴性，则未患有该疾病．现有n（，）个人，每人一份血液待检验，有如下两种方案：
方案一：逐份检验，需要检验n次；
方案二：混合检验，将n份血液分别取样，混合在一起检验，若检验结果呈阴性，则n个人都未患有该疾病；若检验结果呈阳性，再对n份血液逐份检验，此时共需要检验n＋1次．
（1）若，且其中两人患有该疾病，采用方案一，求恰好检验3次就能确定患病两人的概率；
（2）已知每个人患该疾病的概率为．
（ⅰ）若两种方案检验总次数的期望值相同，求p关于n的函数解析式；
（ⅱ）若，且每单次检验费用相同，为降低总检验费用，选择哪种方案更好？试说明理由．
【答案】（1）解：将5份待检血液排成一排有；
满足条件的排法：第一步，将两份选一份排在第三位有2种；
第二步，在第一、二位选一个空位排另一份患者血液有2种排法；
第三步，将剩余3份排成一排有.
所以满足条件的排法共.
所以恰好检验3次就能确定患病两人的概率为
（2）解：（ⅰ）因为每个人都有可能患病，故方案一检验次数为定值n；
记方案二检验次数为X，则X的取值为1，n+1
，
所以
由题可知，即，
整理可得，即
（ⅱ）当时，记单次检验费用为x，
则方案一：检验费用为；
方案二：记检验费为Y，则Y的分布列为
Y
P
则
记，因为，所以
因为，所以单调递增，
由（ⅰ）知，当时，，
所以当时，，则；
当时，，则.
故当时，选择方案二；当时，选择方案一.
【知识点】古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）根据古典概型概率公式求解可得；
（2）根据两种方案的期望相等列方程，整理可得；分别求出两种方案检验费用的期望，作差构造函数，利用单调性可得.
22．（2022高二下·济南期末）已知函数，．
（1）若存在极大值点，求a的取值范围；
（2）试判断的零点个数，并说明理由．
【答案】（1）解：，
令，则，
令，可得，令，可得，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，
当，即时，，，
所以在上单调递减，无极值点，舍去；
当，即时，，，
所以存在，使得，
又，所以存在，使得 ，
所以令，可得或，令，可得，
所以在和上单调递减，在上单调递增，
所以的极大值点为.
综上，；
（2）解：由（1）知，当时，在上单调递减，
因为，且当时，，
所以在上存在唯一的零点；
当时，，
令，，
令，得，令，得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，所以在上单调递减，
因为，
所以的极大值，
所以，不存在零点，
因为，且当时，，
所以在上存在唯一个零点；
综上，有唯一零点.
【知识点】利用导数研究函数的极值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）求出，然后令，利用导数可得函数在上单调递增，在上单调递减， 进而有，最后分和两种情况进行讨论，并利用函数零点存在定理与函数极值的定义即可求解；
（2）由（1）知，当时，所以在上单调递减 ，由函数零点存在定理即可判断在上存在唯一的零点； 当时，，令，利用函数零点存在定理即可判断 在上存在唯一个零点.
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