湖南省长沙市湘府中学2022-2023学年高二上学期8月入学考试数学试卷（Word版含解析）

湘府中学2022-2023学年高二上学期8月入学考试数学试卷
一、单选题（40分）
1．已知，，(i为虚数单位)，则（ ）
A． B．1 C． D．3
2．已知向量，（），若，则（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在四面体OABC中，，，，点M在OA上，且，点N为BC的中点，则（ ）．
A． B．
C． D．
4．在中，角的对边分别为，且，，，则（ ）．
A． B． C． D．
5．在中，若点满足，点为的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
6．2020年12月31日，国务院联防联控机制发布，国药集团中国生物的新冠病毒灭活疫苗已获药监局批准附条件上市，其保护效力达到世界卫生组织及药监局相关标准要求，现已对18至59岁的人提供.根据某地接种年龄样本的频率分布直方图（如图）估计该地接种年龄的中位数为（ ）
A．40 B．39
C．38 D．37
7．给出如下四个命题，正确的有（ ）
A．平行于同一个平面的两条直线是平行直线
B．垂直于同一条直线的两个平面是平行平面
C．若平面α内有不共线的三个点到平面β的距离都相等，则α//β
D．若平面，，过平面内的任意一点作交线的垂线，则此垂线垂直于平面
8．设的内角，，所对的边分别为，，.若，，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（20分）
9．下面结论正确的是（ ）
A．若，则事件A与B是互为对立事件
B．若，则事件A与B是相互独立事件
C．若事件A与B是互斥事件，则A与也是互斥事件
D．若事件A与B是相互独立事件，则A与也是相互独立事件
10．已知空间中三点，，，则下列说法正确的是（ ）
A．与是共线向量 B．与同向的单位向量是
C．和夹角的余弦值是 D．平面的一个法向量是
11．已知m，n是互不重合的直线，，是互不重合的平面，下列四个命题中正确的是（ ）
A．若，，，则 B．若，，则
C．若，，，则 D．若，，，则
12．在中，角、、的对边分别是、、．下面四个结论正确的是（ ）
A．，，则的外接圆半径是4
B．若，则
C．若，则一定是钝角三角形
D．若，则
三、填空题（20分）
13．已知随机事件，互斥，且，，则________.
14．在中，角，，的对边分别为，，，若，，且的面积为，则b =___________.
15．已知，且，，则向量与的夹角为________．
16．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．角B为钝角．设△ABC的面积为S，若，则sinA+sinC的最大值是____________．
四、解答题（70分）
17．已知复数，，其中是虚数单位，，为实数．
(1)若，，求的值；
(2)若 ，求，的值.
18．某城市交通部门为了对该城市共享单车加强监管，随机选取了100人就该城市共享单车的推行情况进行问卷调查，并将问卷中的这100人根据其满意度评分值（百分制）按照分成5组，制成如图所示频率分直方图.
（1）求图中的值；
（2）求这组数据的平均数和中位数；
（3）已知满意度评分值在内的男生数与女生数的比为3：2，若在满意度评分值为的人中随机抽取2人进行座谈，求2人均为男生的概率.
19．已知平面向量，且，
(1)若，且，求向量的坐标；
(2)若，求在方向的投影向量（用坐标表示）.
20．在中，分别为角的对边，且.
(1)求；
(2)若，求的取值范围.
21．某社区举办《“环保我参与”有奖问答比赛》活动，某场比赛中，甲 乙 丙三个家庭同时回答一道有关环保知识的问题.已知甲家庭回答正确这道题的概率是，甲 丙两个家庭都回答错误的概率是，乙 丙两个家庭都回答正确的概率是.若各家庭回答是否正确互不影响.
（1）求乙 丙两个家庭各自回答正确这道题的概率；
（2）求甲 乙 丙三个家庭中不少于2个家庭回答正确这道题的概率.
22．如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，M，N分别为的中点，.
（1）证明：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
(
…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
) (
※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
) (
…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
)
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．C
【解】，利用复数相等的充分必要条件可得：.
2．B
【解】因为，，所以，；
因为，，
即，解得或（舍去），所以，；
3．B
【解】连接ON，则
由题可得
4．B
【解】在中，由余弦定理得：，
即，解得：或（舍），.
5．A
【解】.
6．C
【解】年龄位于的频率为，
年龄位于的频率为，年龄位于的频率为，
年龄位于的频率为，
因为，而，
所以中位数位于，设中位数为，
则，解得：，
7．B
【解】A.平行于同一个平面的两条直线平行,相交或异面，故错误；
B.垂直于同一条直线的两个平面是平行平面，由线面垂直的性质知，故正确；
C.若平面α内有不共线的三个点到平面β的距离都相等，α//β或相交，故错误；
D.若平面，，当过平面内的点在交线上作交线的垂线，则此垂线不一定垂直于平面，故错误；
8．C
【解】由及正弦定理可得，
由，得，则，所以.
9．BD
【解】对于A选项，要使为对立事件，除还需满足，也即不能同时发生，所以A选项错误.
对于C选项，包含于，所以与不是互斥事件，所以C选项错误.
对于B选项，根据相互独立事件的知识可知，B选项正确.
对于D选项，根据相互独立事件的知识可知，D选项正确.
10．BD
【解】对于A，，，可知，与不共线，A错误；
对于B，，，，即与同向的单位向量是，B正确；
对于C，，，
即和夹角的余弦值为，C错误；
对于D，设平面的法向量，
则，令，解得：，，，
即平面的一个法向量为，D正确.
11．AC
【解】对于A选项，由于一条直线和两个相交平面都平行，则该直线平行于相交平面的交线，故A选项正确；
对于B选项，当时，不满足，故错误；
对于C选项，若，，，则与的平面角为直角，故，故正确；
对于D选项，若，，，则或，故错误.
12．BC
【解】由正弦定理知，所以外接圆半径是2，故A错误；
由正弦定理及可得，，即，由，知，故B正确；
因为，所以C为钝角，一定是钝角三角形，故C正确；
若，显然，故D错误.
13．0.5
【解】随机事件，互斥，,.
14．
【解】由正弦定理可得，即，则，解得，
又，解得，
则由余弦定理可得，则.
15．
【解】设向量与的夹角为，则，∵ ，∴ ，
∴ ，即，
又，，∴ ，∴ .
16．
【解】由题设，，则，
∴，又 B为钝角即为锐角，
∴，即，又，
∴且，
而，
∴当时，的最大值为.
17．【解】（1）因为，，又，，所以，，所以，所以.
（2），，又，所以，所以 ，解得.
18．【解】（1）由，解得.
（2）这组数据的平均数为.
中位数设为，则，解得.
（3）满意度评分值在内有人，其中男生3人，女生2人.记为，
记“满意度评分值为的人中随机抽取2人进行座谈，恰有1名女生”为事件，
从5人中抽取2人有：，，，，， ，，，，
所以总基本事件个数为10个，包含的基本事件个数为3个，所以 .
19．【解】(1)设，，
，又，，
或，或.
(2)，，设与的夹角为.
故，
在上的投影向量为.
20．【解】（1）∵，且，
∴，∴，
∵，∴，，∵，∴；
（2）由（1）知，∴，∴，
由余弦定理得，
，
当且仅当时取等号，∴，又，∴，
又在中，恒成立，由基本不等式可知，
，当且仅当时取等号，所以.
综上，的取值范围为.
21．【解】（1）记“甲回答对这道题”、“乙回答对这道题”、“丙回答对这道题”分别为事件、、，
则，且有， 即，
解得， ．
（2）有0个家庭回答正确的概率为
有1个家庭回答正确的概率为
所以不少于2个家庭回答正确这道题的概率为
22．【解】（1）在中，，，，由余弦定理可得，所以，．由题意且，平面，而平面，所以，又，所以．
（2）由，，而与相交，所以平面，因为，所以，取中点，连接，则两两垂直，以点为坐标原点，如图所示，建立空间直角坐标系,
则,
又为中点，所以.
由（1）得平面，所以平面的一个法向量
从而直线与平面所成角的正弦值为．
答案第1页，共2页
答案第6页，共6页