4.3.2 角的比较与运算 教案
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文档简介
第四章 几何图形初步
4.3 角
4.3.2 角的比较与运算
一、教学目标
【知识与技能】
1.知道角的大小的含义，会通过观察或用量角器比较角的大小.
2.知道角的和、差的意义，会用一副三角尺通过和差画出特殊角.
3.知道角平分线的意义，会画一个角的平分线.
4.会结合图形进行角度的运算.
【过程与方法】
实际观察、操作，体会角的大小，培养学生的观察思维能力；
【情感态度与价值观】
角的测量和折叠等，体验数、符号和图形是描述现实世界的重要手段．
二、课型
新授课
三、课时
1课时
四、教学重难点
【教学重点】
1.角的大小比较方法
2.角平分线的意义，角度的运算.
【教学难点】
1.从图形中观察角的和、差关系
2.结合图形进行角度的运算.
五、课前准备
教师：课件、圆规、量角器、三角尺、角的纸片数张等。
学生：三角尺、圆规、量角器、三角尺、角的纸片数张、铅笔。
六、教学过程
（一）导入新课
有一天学生小明和小华各带了一把折扇(如图所示),下面是他们的一段对话:
小明:我的折扇张开大一些,所以我的折扇的角也大一些. （出示课件2-3）
小华:我的折扇长一些,所以我的折扇的角也大一些.
同学们有办法帮他们进行判断吗？怎样比较∠ABC和∠DEF的大小
（二）探索新知
1.师生互动，探究角的大小与比较
教师问1：我们知道，线段可以比较大小，观察下图，说一说谁长谁短？（出示课件5-6）
线段长短的比较：
学生回答：AB>CD
学生回答：AB=CD
学生回答：AB教师讲解：线段的和、差：
AB=BC+AC
BC=AB–AC
AC=AB–BC
线段中点：
若点 C 是线段 AB 的中点，则
AC = BC
AC = BC =AB
AB = 2 AC = 2 BC
教师问2：类比线段长短的比较，你认为该如何比较两个角的大小？
（出示课件7）
师生共同解答如下：可以用度量法，量角器直接测量出角度再比较大小
教师问3：还有其他方法吗？
教师引导学生回答：叠合法。将两个角放在同一个顶点进行比较。（出示课件8）
教师问4：你能用图形和几何语言说明两个角的大小关系吗？( 两个角分别记作∠AOB，∠A'O'B' )
教师讲解：
教师问5：我们知道，两条线段可以相加，可以相减，那么两个角也可以相加、相减吗？观察图片说一说图中有几个角？它们之间有什么关系？（出示课件9）
师生一起解答：
图中有3个角：∠AOC，∠AOB，∠BOC.
它们的关系：
∠AOC 是∠AOB 与∠BOC 的和，记作∠AOC = ∠AOB +∠BOC；
∠AOB 是∠AOC与∠BOC的差，记作∠AOB = ∠AOC–∠BOC；
类似地，∠AOC–∠AOB = .
学生回答：∠BOC
教师讲解：求角的度数
例如图，O 是直线 AB 上一点，∠AOC＝53°17′，求∠BOC 的度数.（出示课件11）
师生共同解答如下：
解：因为∠AOB 是平角，∠AOB＝ ∠AOC+∠BOC.
所以∠BOC＝∠AOB–∠AOC
＝180°– 53°17′
＝179°60′–53°17′
＝126°43′.
易错警示：计算180°– 53°17′时，可以向 180 借1 ，化为179°60′.
教师讲解：角的度数的计算
例：把一个周角 7 等分，每一份是多少度的角 (精确到分)？（出示课件15）
师生共同解答如下：
解：360°÷7 = 51°+3°÷7
= 51°+180′÷7
≈ 51°26′.
答：每份是51°26′的角.
易错警示：计算3°÷7时有余数，可以把度的余数化成分后再除，即3°化为180′.
总结点拨：（出示课件16）
涉及到度、分、秒的角度的加与减，要将度与度、分与分、秒与秒分别相加、减，分秒相加时逢60要进位，相减时要借1作60.
2.师生互动，探究角平分线的定义
动手做一做：在纸上画∠AOB，然后将其剪下来，将其沿经过顶点的线对折，使边OA与OB重合.将角展开，折痕上任取一点记作点C. 如图所示
教师问6：类比线段中点的定义，你能在横线上把问题补充完整吗？（出示课件18）
∠AOC_____∠COB;
∠AOB=_____∠AOC.
学生回答：∠AOC=∠COB; ∠AOB=2∠AOC.
教师讲解：一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线. 如图OC即为∠AOB的角平分线
数学语言：
因为 OC 是∠AOB 的角平分线，
所以 ∠AOC ＝∠BOC ＝∠AOB，
∠AOB ＝2∠BOC ＝2∠AOC.
考点1：利用角平分线求角的度数
例：如图，OB 是∠AOC 的平分线，OD 是∠COE的平分线.（出示课件20-22）
(1) 如果∠AOC=80°，那么∠BOC 是多少度？
(2) 如果∠AOB=40°，∠DOE=30°，那么∠BOD是多少度？
(3) 如果∠AOE=140°， ∠COD=30°，那么∠AOB是多少度？
师生共同解答如下：
解：（1） 因为 OB 平分∠AOC，∠AOC=80°，
所以 ∠BOC= ∠AOC= ×80°=40°.
（2）解：因为OB 平分∠AOC，
所以 ∠BOC=∠AOB = 40°.
因为OD 平分∠COE，
所以∠COD=∠DOE = 30°，
所以∠BOD =∠BOC+∠COD = 40°+30°= 70°.
（3）解：因为∠COD=30°，OD 平分∠COE，
所以∠COE=2∠COD=60°，
所以∠AOC=∠AOE–∠COE=140°– 60°= 80°.
又因为OB 平分∠AOC，
所以∠AOB= ∠AOC= ×80°= 40°.
考点2：利用比例或倍分求角的度数
例：如图，已知∠AOB=40°，自O点引射线OC，若∠AOC：∠COB=
2：3．求OC与∠AOB的平分线所成的角的度数．（出示课件25）
解：分以下两种情况：
①如图，OC在∠AOB内部，OD平分∠AOB，
设∠AOC=2x，∠COB=3x，
因为∠AOB=40°，所以2x+3x=40°，得x=8°，
所以∠AOC=2x=2×8°=16°.
因为OD平分∠AOB，所以∠AOD=20°，
所以∠COD=∠AOD–∠AOC=20°–16°=4°．
②如图，OC在∠AOB外部，OD平分∠AOB，（出示课件26）
所以设∠AOC=2x，∠COB=3x，
因为∠AOB=40°，
所以3x–2x=40°，得x=40°，
所以∠AOC=2x=2×40°=80°，
因为OD平分∠AOB，所以∠AOD=20°，
所以∠COD=∠AOC+∠AOD=80°+20°=100°．
所以OC与∠AOB的平分线所成的角的度数为4°或100°．
总结点拨：（出示课件27）
涉及到角度的计算时，除常规的和差倍分计算外，通常还需运用方程思想和分类讨论思想解决问题.
（三）课堂练习（出示课件29-36）
1．已知∠MON＝40°，∠NOP＝15°，则∠MOP等于( )
A．55° B．25° C．55°或25° D.50°
2．一副三角板按如图方式摆放，且∠1比∠2大40°，则∠2的度数是( )
A．25° B．40° C．50° D．65°
3.如图，过直线AB上一点O作射线OC，∠BOC=29°18′，则∠AOC的度数为_______ ．
4.计算：86°23′12″–67°36′50″=_________.
5.如图，∠AOB=170°，∠AOC =∠BOD=90°，求∠COD的度数.
6.计算：
(1)15°24′×5;
(2)31°42′÷5.
7.如图，已知∠AOC=60°，∠BOD=90°，∠AOB是∠DOC的3倍，求∠AOB的度数．
8.如图，∠AOB＝120°，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC.
(1) 求∠EOD的度数；
(2) 若∠BOC＝90°，求∠AOE的度数．
参考答案：
1.C
2.A
3.150°42′解析：因为∠BOC=29°18′,
所以∠AOC的度数为180°–29°18′=150°42′．
4.18°46′22″解析: 86°23′12″–67°36′50″
= 86°22′72″–67°36′50″
= 85°82′72″–67°36′50″
= (85–67)°(82–36)′(72–50)″
=18°46′22″.
5.解:因为∠BOC =∠AOB– ∠AOC=170°–90°=80°,
所以∠COD=∠BOD–∠BOC=90°–80°=10°.
6.解:(1)15°24′×5=75°120′=77°;
(2)31°42′÷5=6°+1°42′÷5
=6°+102′÷5
=6°+20′+2′÷5
=6°20′+120″÷5
=6°20′+24″=6°20′24″.
7.解：设∠COD=x，
因为∠AOC=60°，∠BOD=90°，
所以∠AOD=60°–x，
所以∠AOB=90°+60°–x=150°–x，
因为∠AOB是∠DOC的3倍，
所以150°–x=3x，解得x=37.5°，
所以∠AOB=3×37.5°=112.5°．
8.解：(1)因为∠AOB＝120°， OD平分∠BOC，OE平分∠AOC，
所以∠EOD＝∠DOC＋∠EOC
＝ (∠BOC＋∠AOC )
＝ ∠AOB＝ ×120°＝60°.
(2)解：因为∠AOB＝120°，∠BOC＝90°，
所以∠AOC＝120°–90°＝30°.
因为OE平分∠AOC，
所以∠AOE＝∠AOC＝×30°＝15°.
（四）课堂小结
今天我们学了哪些内容:
1．角的比较方法
(1)度量法；(2)叠合法．
2．角的计算
(1)利用角平分线；(2)利用角的比例或倍分．
（五）课前预习
预习下节课（4.3.3）的相关内容。
知道补角、余角的定义和补角、余角的性质.
七、课后作业
1、教材练习1,2
2、如图，∠AOB＝120°，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC.
(1)求∠EOD的度数；
(2)若∠BOC＝90°，求∠AOE的度数．
八、板书设计：
九、教学反思：
本节课的教学内容是角的大小的比较、角的和差关系，角的平分线．可利用类比线段的学习方法引出角的大小的比较的两种方法：度量法、叠合法．对于本节教学要把握以下几点：
1.首先在讲授知识的过程中，必须对旧的知识进行适当的复习，使学生能对角的知识有一个更深的记忆．
2.在角的形象比较中，要努力引导学生的思维方向．
3.重叠法是一个难点，但此法比较适用于实际中的比较．对于角度的计算要设计各个类型的教学。
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4.3 角
4.3.2 角的比较与运算
一、教学目标
【知识与技能】
1.知道角的大小的含义，会通过观察或用量角器比较角的大小.
2.知道角的和、差的意义，会用一副三角尺通过和差画出特殊角.
3.知道角平分线的意义，会画一个角的平分线.
4.会结合图形进行角度的运算.
【过程与方法】
实际观察、操作，体会角的大小，培养学生的观察思维能力；
【情感态度与价值观】
角的测量和折叠等，体验数、符号和图形是描述现实世界的重要手段．
二、课型
新授课
三、课时
1课时
四、教学重难点
【教学重点】
1.角的大小比较方法
2.角平分线的意义，角度的运算.
【教学难点】
1.从图形中观察角的和、差关系
2.结合图形进行角度的运算.
五、课前准备
教师：课件、圆规、量角器、三角尺、角的纸片数张等。
学生：三角尺、圆规、量角器、三角尺、角的纸片数张、铅笔。
六、教学过程
（一）导入新课
有一天学生小明和小华各带了一把折扇(如图所示),下面是他们的一段对话:
小明:我的折扇张开大一些,所以我的折扇的角也大一些. （出示课件2-3）
小华:我的折扇长一些,所以我的折扇的角也大一些.
同学们有办法帮他们进行判断吗？怎样比较∠ABC和∠DEF的大小
（二）探索新知
1.师生互动，探究角的大小与比较
教师问1：我们知道，线段可以比较大小，观察下图，说一说谁长谁短？（出示课件5-6）
线段长短的比较：
学生回答：AB>CD
学生回答：AB=CD
学生回答：AB
AB=BC+AC
BC=AB–AC
AC=AB–BC
线段中点：
若点 C 是线段 AB 的中点，则
AC = BC
AC = BC =AB
AB = 2 AC = 2 BC
教师问2：类比线段长短的比较，你认为该如何比较两个角的大小？
（出示课件7）
师生共同解答如下：可以用度量法，量角器直接测量出角度再比较大小
教师问3：还有其他方法吗？
教师引导学生回答：叠合法。将两个角放在同一个顶点进行比较。（出示课件8）
教师问4：你能用图形和几何语言说明两个角的大小关系吗？( 两个角分别记作∠AOB，∠A'O'B' )
教师讲解：
教师问5：我们知道，两条线段可以相加，可以相减，那么两个角也可以相加、相减吗？观察图片说一说图中有几个角？它们之间有什么关系？（出示课件9）
师生一起解答：
图中有3个角：∠AOC，∠AOB，∠BOC.
它们的关系：
∠AOC 是∠AOB 与∠BOC 的和，记作∠AOC = ∠AOB +∠BOC；
∠AOB 是∠AOC与∠BOC的差，记作∠AOB = ∠AOC–∠BOC；
类似地，∠AOC–∠AOB = .
学生回答：∠BOC
教师讲解：求角的度数
例如图，O 是直线 AB 上一点，∠AOC＝53°17′，求∠BOC 的度数.（出示课件11）
师生共同解答如下：
解：因为∠AOB 是平角，∠AOB＝ ∠AOC+∠BOC.
所以∠BOC＝∠AOB–∠AOC
＝180°– 53°17′
＝179°60′–53°17′
＝126°43′.
易错警示：计算180°– 53°17′时，可以向 180 借1 ，化为179°60′.
教师讲解：角的度数的计算
例：把一个周角 7 等分，每一份是多少度的角 (精确到分)？（出示课件15）
师生共同解答如下：
解：360°÷7 = 51°+3°÷7
= 51°+180′÷7
≈ 51°26′.
答：每份是51°26′的角.
易错警示：计算3°÷7时有余数，可以把度的余数化成分后再除，即3°化为180′.
总结点拨：（出示课件16）
涉及到度、分、秒的角度的加与减，要将度与度、分与分、秒与秒分别相加、减，分秒相加时逢60要进位，相减时要借1作60.
2.师生互动，探究角平分线的定义
动手做一做：在纸上画∠AOB，然后将其剪下来，将其沿经过顶点的线对折，使边OA与OB重合.将角展开，折痕上任取一点记作点C. 如图所示
教师问6：类比线段中点的定义，你能在横线上把问题补充完整吗？（出示课件18）
∠AOC_____∠COB;
∠AOB=_____∠AOC.
学生回答：∠AOC=∠COB; ∠AOB=2∠AOC.
教师讲解：一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线. 如图OC即为∠AOB的角平分线
数学语言：
因为 OC 是∠AOB 的角平分线，
所以 ∠AOC ＝∠BOC ＝∠AOB，
∠AOB ＝2∠BOC ＝2∠AOC.
考点1：利用角平分线求角的度数
例：如图，OB 是∠AOC 的平分线，OD 是∠COE的平分线.（出示课件20-22）
(1) 如果∠AOC=80°，那么∠BOC 是多少度？
(2) 如果∠AOB=40°，∠DOE=30°，那么∠BOD是多少度？
(3) 如果∠AOE=140°， ∠COD=30°，那么∠AOB是多少度？
师生共同解答如下：
解：（1） 因为 OB 平分∠AOC，∠AOC=80°，
所以 ∠BOC= ∠AOC= ×80°=40°.
（2）解：因为OB 平分∠AOC，
所以 ∠BOC=∠AOB = 40°.
因为OD 平分∠COE，
所以∠COD=∠DOE = 30°，
所以∠BOD =∠BOC+∠COD = 40°+30°= 70°.
（3）解：因为∠COD=30°，OD 平分∠COE，
所以∠COE=2∠COD=60°，
所以∠AOC=∠AOE–∠COE=140°– 60°= 80°.
又因为OB 平分∠AOC，
所以∠AOB= ∠AOC= ×80°= 40°.
考点2：利用比例或倍分求角的度数
例：如图，已知∠AOB=40°，自O点引射线OC，若∠AOC：∠COB=
2：3．求OC与∠AOB的平分线所成的角的度数．（出示课件25）
解：分以下两种情况：
①如图，OC在∠AOB内部，OD平分∠AOB，
设∠AOC=2x，∠COB=3x，
因为∠AOB=40°，所以2x+3x=40°，得x=8°，
所以∠AOC=2x=2×8°=16°.
因为OD平分∠AOB，所以∠AOD=20°，
所以∠COD=∠AOD–∠AOC=20°–16°=4°．
②如图，OC在∠AOB外部，OD平分∠AOB，（出示课件26）
所以设∠AOC=2x，∠COB=3x，
因为∠AOB=40°，
所以3x–2x=40°，得x=40°，
所以∠AOC=2x=2×40°=80°，
因为OD平分∠AOB，所以∠AOD=20°，
所以∠COD=∠AOC+∠AOD=80°+20°=100°．
所以OC与∠AOB的平分线所成的角的度数为4°或100°．
总结点拨：（出示课件27）
涉及到角度的计算时，除常规的和差倍分计算外，通常还需运用方程思想和分类讨论思想解决问题.
（三）课堂练习（出示课件29-36）
1．已知∠MON＝40°，∠NOP＝15°，则∠MOP等于( )
A．55° B．25° C．55°或25° D.50°
2．一副三角板按如图方式摆放，且∠1比∠2大40°，则∠2的度数是( )
A．25° B．40° C．50° D．65°
3.如图，过直线AB上一点O作射线OC，∠BOC=29°18′，则∠AOC的度数为_______ ．
4.计算：86°23′12″–67°36′50″=_________.
5.如图，∠AOB=170°，∠AOC =∠BOD=90°，求∠COD的度数.
6.计算：
(1)15°24′×5;
(2)31°42′÷5.
7.如图，已知∠AOC=60°，∠BOD=90°，∠AOB是∠DOC的3倍，求∠AOB的度数．
8.如图，∠AOB＝120°，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC.
(1) 求∠EOD的度数；
(2) 若∠BOC＝90°，求∠AOE的度数．
参考答案：
1.C
2.A
3.150°42′解析：因为∠BOC=29°18′,
所以∠AOC的度数为180°–29°18′=150°42′．
4.18°46′22″解析: 86°23′12″–67°36′50″
= 86°22′72″–67°36′50″
= 85°82′72″–67°36′50″
= (85–67)°(82–36)′(72–50)″
=18°46′22″.
5.解:因为∠BOC =∠AOB– ∠AOC=170°–90°=80°,
所以∠COD=∠BOD–∠BOC=90°–80°=10°.
6.解:(1)15°24′×5=75°120′=77°;
(2)31°42′÷5=6°+1°42′÷5
=6°+102′÷5
=6°+20′+2′÷5
=6°20′+120″÷5
=6°20′+24″=6°20′24″.
7.解：设∠COD=x，
因为∠AOC=60°，∠BOD=90°，
所以∠AOD=60°–x，
所以∠AOB=90°+60°–x=150°–x，
因为∠AOB是∠DOC的3倍，
所以150°–x=3x，解得x=37.5°，
所以∠AOB=3×37.5°=112.5°．
8.解：(1)因为∠AOB＝120°， OD平分∠BOC，OE平分∠AOC，
所以∠EOD＝∠DOC＋∠EOC
＝ (∠BOC＋∠AOC )
＝ ∠AOB＝ ×120°＝60°.
(2)解：因为∠AOB＝120°，∠BOC＝90°，
所以∠AOC＝120°–90°＝30°.
因为OE平分∠AOC，
所以∠AOE＝∠AOC＝×30°＝15°.
（四）课堂小结
今天我们学了哪些内容:
1．角的比较方法
(1)度量法；(2)叠合法．
2．角的计算
(1)利用角平分线；(2)利用角的比例或倍分．
（五）课前预习
预习下节课（4.3.3）的相关内容。
知道补角、余角的定义和补角、余角的性质.
七、课后作业
1、教材练习1,2
2、如图，∠AOB＝120°，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC.
(1)求∠EOD的度数；
(2)若∠BOC＝90°，求∠AOE的度数．
八、板书设计：
九、教学反思：
本节课的教学内容是角的大小的比较、角的和差关系，角的平分线．可利用类比线段的学习方法引出角的大小的比较的两种方法：度量法、叠合法．对于本节教学要把握以下几点：
1.首先在讲授知识的过程中，必须对旧的知识进行适当的复习，使学生能对角的知识有一个更深的记忆．
2.在角的形象比较中，要努力引导学生的思维方向．
3.重叠法是一个难点，但此法比较适用于实际中的比较．对于角度的计算要设计各个类型的教学。
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