21.2二次函数的图象和性质（7）课件（共25张PPT）

(共25张PPT)
沪科版 九年级上册
21.2二次函数的图象和性质(7)
本节课是在讨论了二次函数　　　　　　 的图象和 性质的基础上对二次函数 y = ax 2+bx+c 的图象和性质 进行研究．主要的研究方法是通过配方将 y=ax 2+bx+c 向 　　　　　　 转化，体会知识之间内在联系．在 具体探究过程中，从特殊的例子出发，分别研究 a＞0 和 a＜0 的情况，再从特殊到一般，得出 y=ax 2+bx+c 的图象和性质．
课件说明
(x - h) + k
2
y = a
(x - h) + k
2
y = a
学习目标：
　1．理解二次函数 y = ax 2 + bx + c 与　　　 　　　 之间 的联系，体会转化思想；
　2．通过图象了解二次函数 y = ax 2 + bx + c 的性质，体 会数形结合的思想．
学习重点：
　会用配方法将数字系数的二次函数的表达式化为
　　　　　　 的形式，并能由此得到二次函数
y = ax 2+ bx + c 的图象和性质．
课件说明
(x - h) + k
2
y = a
(x - h) + k
2
y = a
　如何研究二次函数 y=－2x2－8x－7； 的图象和性质？
y=a(x＋h)2＋k
y=－2x2－8x－7
y=a(x＋h) 2＋k
y= x2－6x＋21
1
2
y= x2－6x＋21
1
2
(通过配方将一般形式变成顶点式)
y=－2(x＋2)2＋1
y=
(x－6)2
＋3
1
2
复习旧知
你能说说二次函数 y=ax2＋bx＋c的图象和性质吗？
二次函数 y=ax2＋bx＋c可以通过配方化成
y=a(x＋h)2＋k的形式.
探究新知
如何配方转化？
我们不妨模仿上节课两个特殊的例子方法试一试.
将二次函数 y=ax2＋bx＋c通过配方化成
y=ax2＋bx＋c
=a(x2＋ x)＋
b
a
c
=a[x2＋ x 　
b
a
b
2a
＋( )2
b
2a
－( )2
b
2a
＋
]＋
c
=a[(x　　 )2
b2
4a2
－
]
=a(x　　 )2
b
2a
＋
b2
4a
－
－
c
b2
4a
=
－
4a
4ac
b2
4a
y=a(x＋h)2＋k的形式.
＋
c
＋
c
=(ax2＋bx)＋c
(含有自变量的项组合)
(将二次项系数提到括号外)
(配方)
(将前三项写成平方式)
(去中括号)
y=ax2＋bx＋c
=a(x2＋ x)＋
b
a
c
=a[x2＋ x 　
b
a
b
2a
＋( )2
b
2a
－( )2
b
2a
＋
]＋
c
=a[(x　　 )2
b2
4a2
－
]
=a(x　　 )2
b
2a
＋
b2
4a
－
－
c
b2
4a
=
－
4a
4ac
b2
4a
＋
c
＋
c
=a(x　　 )2
b
2a
＋
4ac－b2
4a
＋
=(ax2＋bx)＋c
将二次函数 y=ax2＋bx＋c通过配方化成
y=a(x＋h)2＋k的形式.
y=ax2＋bx＋c
=a(x　　 )2
b
2a
＋
4ac－b2
4a
＋
直线x=
k=
∴二次函数 y=ax2＋bx＋c的对称轴是
∴h=
b
2a
－ ，
顶点坐标是
( ， ).
4ac－b2
4a
.
b
2a
－
4ac－b2
4a
将二次函数 y=ax2＋bx＋c通过配方化成
y=a(x＋h)2＋k的形式.
∵y=a(x＋h)2＋k的对称轴是
b
2a
，
(－h，k)
x=－h，
顶点坐标是
x
y
O
b
2a
－
当 x＞ 时，
b
2a
－
当 x＜ 时,
b
2a
－
y 随 x 的增大而减小；
y 随 x 的增大而增大.
二次函数 y=ax2＋bx＋c的图象和性质
当 a＞0 时，
抛物线 y=ax2＋bx＋c的开口向上，
顶点是抛物线的最低点，
对称轴是 直线x = ，
x
y
O
　　当 a＜0 时，抛物线 y=ax2＋bx＋c的开口向下，顶点是抛物线的最高点，对称轴是 直线x = ，
b
2a
－
当 x＞ 时，
b
2a
－
当 x＜ 时,
b
2a
－
y 随 x 的增大而减小.
y 随 x 的增大而增大；
y=ax2＋bx＋c
顶点坐标
对称轴
开口方向
增减性
最值
a>0
a<0
（ ， ）
x=
向上
向下
当x= 时，
最小值为 .
当x= 时，
最大值为 .
二次函数y=ax2＋bx ＋c(a≠0 )的性质：
当x< 时,
y随着x的增大而 .
x=
当x> 时，
y随着x的增大而 .
当x> 时，
y随着x的增大而 .
当x< 时,
y随着x的增大而 .
减小
增大
减小
增大
b
2a
－
4ac－b2
4a
b
2a
－
4ac－b2
4a
b
2a
－
b
2a
－
b
2a
－
b
2a
－
4ac－b2
4a
b
2a
－
b
2a
－
b
2a
－
（ ， ）
b
2a
－
4ac－b2
4a
y=ax2＋bx＋c
=a(x　　 )2
b
2a
＋
4ac－b2
4a
＋
直线x=
二次函数 y=ax2＋bx＋c的对称轴是
b
2a
－
顶点坐标是
( ， ).
b
2a
k=
4ac－b2
4a
h=
，
.
b
2a
－
4ac－b2
4a
( ， )
( ， )
－
c
b2
4a
ax2＋bx＋c
b
2a
－
b
2a
－
二次函数 y=ax2＋bx＋c的顶点坐标的表达形式
求出下列抛物线的开口方向，对称轴和顶点坐标． ① y =2x2－4x＋5 ， ② y =－x2＋2x－3
解：
①
∵ a=2＞0 ，
b=－4，
∴ 这条抛物线的开口向上，
对称轴是直线
x =
b
2a
－
=
－4
2×2
－
=1，
当 x=1 时，
y =2×12－4×1＋5
=3，
∴它的顶点坐标为(1，3).
例题解析
解：
b=2，
∴ 这条抛物线的开口向下，
对称轴是直线
x =
b
2a
－
=
2
2×(－1)
－
=1，
当 x=1 时，
y =－1×12＋2×1－3
=－2，
∴它的顶点坐标为 (1，－2).
②
∵a=－1＜0，
求出下列抛物线的开口方向，对称轴和顶点坐标． ① y =2x2－4x＋5 ， ② y =－x2＋2x－3
例题解析
写出下列抛物线的开口方向，对称轴和顶点坐标．
　(1) y =3x2＋2x ； (2) y =－x2－2x；
(3) y =－2x2＋8x－8；
(4) y = x2－4x＋3.
1
2
解：
b=2，
∴ 这条抛物线的开口向上，
对称轴是直线
x =
b
2a
－
2
2×3
－
= － ，
当 x=－ 时，
y=3×(－ )2＋2×(－ )
=－ ，
∴它的顶点坐标为 (－ ，－ ).
(1)
∵a=3＞0，
=
1
3
1
3
1
3
1
3
1
3
1
3
1
3
练习巩固
求出下列抛物线的开口方向，对称轴和顶点坐标．
　(1) y =2x2－4x＋5 ， (2) y =－x2－2x；
解：
b=－2，
∴ 这条抛物线的开口向下，
对称轴是直线
x =
b
2a
－
=
－2
2×(－1)
－
= －1，
当 x=－1时，
y =－1×(－1)2－2×(－1)
=1，
∴它的顶点坐标为 (－1，1).
(2)
∵a=－1＜0，
求出下列抛物线的开口方向，对称轴和顶点坐标．　
解：
b=8，
∴ 这条抛物线的开口向下，
对称轴是直线
x =
b
2a
－
=
8
2×(－2)
－
= 2，
当 x=2时，
y =－2×22 ＋8×2－8
=0，
∴它的顶点坐标为 (2，0).
(3)
∵a=－2＜0，
(3) y =－2x2＋8x－8；
(4) y = x2－4x＋3.
1
2
求出下列抛物线的开口方向，对称轴和顶点坐标．　
解：
b=－4，
∴ 这条抛物线的开口向上，
对称轴是直线
x =
b
2a
－
=
－4
2×
－
= 4，
当 x=4时，
y = ×42 －4×4＋3
=－5，
∴它的顶点坐标为 (4， －5).
(4)
∵a= ＞0，
(3) y =－2x2＋8x－8；
(4) y = x2－4x＋3.
1
2
1
2
1
2
1
2
　　(1)本节课研究的主要内容是什么？
　　(2)我们是怎么研究的(过程和方法是什么)？
　　(3)在研究过程中你遇到的问题是什么？
怎么解决的？
课堂小结
巩固新知　
1.把二次函数y=x2－2x－2化为y=(x＋h) ＋k
的形式，结果为( ).
A.y=(x－1) －2 B.y=(x＋1) －2
C.y=(x＋1) －3 D.y=(x－1)2－3
2.二次函数y=－x2＋4x－4的最大值是( ).
A.4 B. 2 C.0 D.－4
D
C
3.已知点A(－1，y1)，B(3，y2)，C(5，y3)三点
均在二次函数y=－x ＋2x＋c的图象上 ，则
y1，y2，yз的大小关系是( ).
A.y1>y2>y3 B.y1=y2C.y1y3
D
4.已知二次函数y=－x －2x，当x 时，
y随x的增大而增大.
<－1
5.已知抛物线y=x －6x＋c的顶点在轴上，则
c= .
9
6.已知抛物线y=(m－2)x ＋2mx＋1的对称轴
经过点(1，3)，则m= .
1
对称轴是直线
x =
2m
2(m－2)
－
=1
今天作业
课本P41页第6题
谢谢
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