人教版九年级上册21.2.2 公式法 课件(共21张PPT)

(共21张PPT)
21.2 解一元二次方程——公式法
求根公式中根的判别式的应用
1.一元二次方程根的判别式使用条件的忽略；
2.当方程有实根时，求方程中字母系数的取值范围。
1
九年级-上册-第21章
目录
CONTENTS
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导入
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问题：老师写了4个一元二次方程让同学们判断它们是否有解，大家都才解第一个方程呢，小红突然站起来说出每个方程解的情况，你想知道她是如何判断的吗？
问题：老师写了4个一元二次方程让同学们判断它们是否有解，大家都才解第一个方程呢，小红突然站起来说出每个方程解的情况，你想知道她是如何判断的吗？
活动与探究（温馨提示：规范操作、注意安全）
知识讲解
一元二次方程根的判别式定义
我们把b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0).根的判别式，通常用符号“ ”表示，即 = b2-4ac.
一元二次方程根的判别式应用的理论依据
两个不相等实数根
两个相等实数根
没有实数根
两个实数根
判别式的情况
根的情况
> 0
= 0
< 0
≥ 0
活动与探究（温馨提示：规范操作、注意安全）
知识讲解
3.确定一元二次方程根的情况，得出结论.
1.一元二次方程化为一般式，确定a,b,c的值.
要点归纳
根的判别式使用方法
2.计算根的判别式 的值，确定 的符号.
根的判别式使用条件：
方程是一元二次方程.
活动与探究（温馨提示：规范操作、注意安全）
知识讲解
例1:不解方程x2+x=1，下列判断正确的是( )
A.该方程有两个相等的实数根
B.该方程有两个不相等的实数根
C.该方程无实数根
D.该方程根的情况不确定
解析：原方程变形为x2+x-1=0.
∵b2-4ac=1-4×1×（-1）=5＞0，
∴该方程有两个不相等的实数根，故选B.
应用1：不解方程，判断一元二次方程根的情况
B
知识讲解
例2:若关于x的一元二次方程kx2-2x-1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是( )
A.k>-1 B.k>-1且k≠0
C.k<1 D.k<1且k≠0
解析：首先要求二次项系数不为0，即 k≠0；
其次由根的判别式知，方程有两个不相等的 实数根，则b2-4ac>0，即 .
解得k>-1
又∵k≠0，故选B.
应用2： 已知方程根的情况，
求方程中字母系数所满足的条件
B
知识讲解
变式:若关于x的方程kx2-2x-1=0有实数根，则k的取值范围是( )
A.k ≥ -1 B.k ≥ -1且k≠0
C.k<1 D.k<1且k≠0
解析：分类讨论：
1.若k=0，方程是一元一次方程；
即k=0，此时方程有实数根；
2.若k≠0，方程是一元二次方程，由根的判别式知，方程有实数根，则b2-4ac ≥ 0 ，解得k ≥ -1，此解集包含k=0，故选A.
A
知识讲解
解析：这一应用有两个难点：
1、忽略m=0的情况；
2、忽略根的判别式使用条件是：方程是一元二次方程。
应用3：证明方程根的情况
例3:求证：无论m为任何实数，关于x的方程mx2-(3m-1）x+2 (m -1）=0总有实数根。
课堂练习
10
1.不解方程，方程2x2+3x-4=0的根的情况．
解：2x2+3x-4=0，a=2,b=3,c=-4,
∴b2-4ac=32-4×2×(-4)=41＞0.
∴方程有两个不相等的实数根．
2.关于x的一元二次方程 有两个实根，则m的取值范围是 .
注意：一元二次方程有实根，说明方程可能有两个不等实根或两个相等实根两种情况.
解：
∴
3.已知关于x的方程x2-kx-2=0,求证：方程总有两个不相等的实数根。
【课堂小结】
小结
求根公式中根
的判别式应用
应用1：不解方程，判断一元二次方程根的情况
应用2：已知一元二次方程根的情况，求方程中字母系数所满足的条件
应用3：证明方程根的情况
通过以上例题介绍了求根公式中判别式的三种应用，其实它的应用不仅仅是这些，比如与几何知识的问题，在解决二次函数的相关问题、判断二次三项式能否在实数范围内因式分解以及求最值问题等都有应用。因此可以看出一元二次方程的判别式在初中数学中占有非常重要的地位，也是学习某些知识的基础。
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利用根的判别式确定字母的取值或范围
下列一元二次方程中，有两个不相等的实数根的是( )
D
导入
一元二次方程：
导入
方程有两个相等的实数根；
方程没有实数根。
方程有两个不相等的实数根；
试一试
利用根的判别式确定字母的取值或范围
1．关于x的方程 的根的判别式Δ＝ ，若方程有两个不相等的实数根，则m ；若方程有两个相等的实数根，则m ；若方程没有实数根，则m ．
>1
＝1
<1
D
2．若关于x的一元二次方程（k﹣1) +x+1＝0
有两个实数根，则k的取值范围是（　）
4m-4
等你来挑战
C
3．若关于x的方程 有实数根，则实数k的取值范围是( )
分析：
①
②
故选答案：C
知识讲解
4.设关于x的方程,
证明:不论m为何值,这个方程总有两个不相等的实数根.
所以,不论m为何值,这个方程总有两个不相等的实数根.
课堂练习
18
1．若关于x的一元二次方程kx2－2x－1＝0有两个不相等的实数根，求k的最小整数值．
错解：因为原方程有两个不相等的实数根，
所以Δ>0，即(－2)2－4k·(－1)>0，
解得k>－1.
所以k的最小整数值是0.
正解：
且k≠0.
1
2．已知关于x的方程x2＋ax＋a－2＝0.
(1)若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一个根；
(2)求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
课堂练习
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2．已知关于x的方程x2＋ax＋a－2＝0.
(1)若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一个根；
(2)求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
(2)证明：∵在x2＋ax＋a－2＝0中，
Δ＝a2－4a＋8＝(a－2)2＋4>0，
∴不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
解：(1)∵1为原方程的一个根，
∴1＋a＋a－2＝0.
∴a＝ .
将a＝ 代入方程，得x2＋ x－ ＝0.
解得x1＝1，x2＝ .
∴a的值为 ，方程的另一个根为 .
解：(1)∵1为原方程的一个根，
∴1＋a＋a－2＝0.
∴a＝ .
将a＝ 代入方程，得x2＋ x－ ＝0.
解得x1＝1，x2＝ .
∴a的值为 ，方程的另一个根为 .
解：(1)∵1为原方程的一个根，
∴1＋a＋a－2＝0.
∴a＝ .
将a＝ 代入方程，得x2＋ x－ ＝0.
解得x1＝1，x2＝ .
∴a的值为 ，方程的另一个根为 .
∴1＋a＋a－2＝0.
∴
∴a的值为
解出a的值后也可以利用根与系数的关系求解另一个根.
【课堂小结】
小结
2.求判别式时，应该先将方程化为一般形式.
1.“方程是一元二次方程”，即二次项系数不为0.
前提条件
分类讨论思想
谢谢聆听