数学北师版必修3第三章§2.3互斥事件
图片预览
文档简介
2.3 互斥事件
1．理解互斥事件和对立事件的定义，能根据定义辨别一些事件是否互斥，是否对立．
2．掌握两个互斥事件的概率加法公式及对立事件的概率计算公式的应用．
1．互斥事件
(1)定义：在一个随机试验中，我们把一次试验下不能同时发生的两个事件A与B称作互斥事件．
(2)规定：事件A＋B发生是指事件A和B至少有一个发生．
①A，B互斥是指事件A与事件B在一次试验中不会同时发生．
②如果事件A与B是互斥事件，那么A与B两事件同时发生的概率为0.
③与集合类比，可用图表示，如图所示．
(3)公式：在一次随机试验中，如果随机事件A和B是互斥事件，那么有P(A＋B)＝________.
①事件A与事件B互斥，如果没有这一条件，加法公式将不能应用．
②如果事件A1，A2，…，An彼此互斥，那么P(A1＋A2＋…＋An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)，即彼此互斥事件和的概率等于它们概率的和．
③在求某些稍复杂的事件的概率时，可将其分解成一些概率较易求的彼此互斥的事件，化整为零，化难为易．
【做一做1－1】判断下列说法是否正确，并说明原因：
(1)将一枚硬币抛掷两次，设事件A：“两次都出现正面”，事件B：“两次都出现反面”，则事件A与B是互斥事件；
(2)在10件产品中有3件是次品，从中取3件．事件A：“所取3件中最多有两件是次品”，事件B：“所取3件中至少有2件是次品”，则事件A与B是互斥事件．
【做一做1－2】甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，乙获胜的概率是，则乙不输的概率是________．
2．对立事件
(1)定义：在一次试验中，如果两个事件A与B不能同时发生，并且一定有一个__________，那么事件A与B称作对立事件，事件A的对立事件记为.
(2)性质：P(A)＋P()＝1，即P(A)＝1－________.
①对立事件的特征：一次试验中，不会同时发生，且必有一个事件发生．
②对立事件是特殊的互斥事件，即对立事件是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件．
③从集合角度看，事件A的对立事件，是全集中由事件A所含结果组成的集合的补集．
【做一做2－1】袋中装有除颜色外其他均相同的白球和黑球各3个，从中任取2球，在下列事件中是对立事件的是( )．
A．恰有1个白球和恰有2个黑球
B．至少有1个白球和全是白球
C．至少有1个白球和至少有1个黑球
D．至少有1个白球和全是黑球
【做一做2－2】事件A与B是对立事件，且P(A)＝0.6，则P(B)等于( )．
A．0.4 B．0.5
C．0.6 D．1
为什么P(A＋B)＝P(A)＋P(B)不成立？
剖析：要证明一个等式不成立，只需举出一个反例即可．
例如：抛掷一枚骰子，向上的点数是偶数为事件A，向上的点数是3的倍数为事件B，则A＋B表示向上的点数是偶数或3的倍数，则P(A)＝，P(B)＝，P(A)＋P(B)＝，P(A＋B)＝，所以此时P(A＋B)≠P(A)＋P(B)，即P(A＋B)＝P(A)＋P(B)不成立．
上例中P(A＋B)＝P(A)＋P(B)不成立的原因是事件A与事件B不是互斥事件．其实对于任意事件A与B，有P(A＋B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)(不要求证明也不要求会用)，那么当且仅当事件A与事件B是互斥事件时，P(A∩B)＝0，此时才有P(A＋B)＝P(A)＋P(B)成立．
题型一 互斥事件与对立事件的判断
【例题1】判断下列给出的每对事件，是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明理由．
从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花，点数从1到10各10张)中，任取一张．
(1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”；
(2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；
(3)“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”．
分析：互斥事件不能同时发生，对立事件既不能同时发生，又必有一个发生；定义是判断事件是否是互斥事件、对立事件的一种最有效、最简便的基本方法．
反思：(1)互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件．
(2)要紧扣互斥事件的概念，判断两个事件是否能同时发生是关键．
题型二 概率的有关计算
【例题2】甲、乙两人下棋，甲不输的概率是0.8，两人下成和棋的概率是0.5，求甲获胜的概率．
分析：甲、乙两人下棋结果为：甲胜、和棋、乙胜．甲不输为和棋或甲胜．
反思：(1)若一个事件比较复杂时，可转化为几个互斥事件的和来求解．
(2)公式P(A＋B)＝P(A)＋P(B)的使用条件是事件A，B互斥，否则不成立．
题型三 互斥事件、对立事件的综合应用
【例题3】一盒中装有各色球12只，其中5只红球、4只黑球、2只白球、1只绿球．从中随机取出1球，求：
(1)取出1球是红球或黑球的概率；
(2)取出的1球是红球或黑球或白球的概率．
反思：(1)解决此类问题，首先应结合互斥事件和对立事件的定义分析出事件是不是互斥事件和对立事件，再决定使用哪一公式，不要由于乱套公式而导致出错．
(2)要注意分类讨论和等价转化思想的运用．
题型四 易错辨析
【例题4】抛掷一枚均匀的骰子(它的每一面上分别标有数字1,2,3,4,5,6)，事件A表示“朝上一面的数是奇数”，事件B表示“朝上一面的数不超过3”，求P(A＋B)．
错解：P(A)＝＝，P(B)＝＝，
∴P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝＋＝1.
错因分析：错解的原因在于忽视了“事件和”概率公式应用的前提条件．由于“朝上一面的数是奇数”与“朝上一面的数不超过3”二者不是互斥事件，即出现1或3时，事件A，B同时发生，所以不能应用P(A＋B)＝P(A)＋P(B)求解．
1从一批产品中取出三件，设A表示“三件产品全不是次品”，B表示“三件产品全是次品”，C表示“三件产品不全是次品”，则下列结论正确的是( )．
A．A与C互斥
B．B与C互斥
C．任两个均互斥
D．任两个均不互斥
2一人射击两次，事件“至少有一次中靶”的对立事件是( )．
A．两次都不中靶
B．两次都中靶
C．只有一次中靶
D．至多有一次中靶
3抛掷一枚均匀的正方体骰子，记A为事件“落地时向上的点数是奇数”，B为事件“落地时向上的点数是偶数”，C为事件“落地时向上的点数是3的倍数”．其中是互斥事件的是______，是对立事件的是______．
4有朋自远方来，已知他乘火车、轮船、汽车、飞机来的概率分别是0.3、0.2、0.1、0.4.
(1)求他乘火车或飞机来的概率；
(2)求他不乘轮船来的概率．
答案：
基础知识·梳理
1．(3)P(A)＋P(B)
【做一做1－1】解：(1)正确．A和B是互斥事件．因为这两个事件在一次试验中不会同时发生．
(2)不正确．A和B不是互斥事件，因为事件A包括三种情况：2件次品1件正品，1件次品2件正品，3件正品；事件B包含两种情况：2件次品1件正品，3件次品．从而事件A，B可以同时发生，故不互斥．
【做一做1－2】 乙不输的概率为＋＝.
2．(1)发生 (2)P()
【做一做2－1】D 至少有一个白球的反面是没有白球，即全是黑球．
【做一做2－2】A P(B)＝1－P(A)＝0.4.
典型例题·领悟
【例题1】解：(1)是互斥事件，不是对立事件．
理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红桃”和“抽出黑桃”是不可能同时发生的，所以是互斥事件，但是，不能保证其中必有一个发生，这是由于还可能抽出“方块”或者“梅花”，因此，两者不是对立事件．
(2)既是互斥事件，又是对立事件．
理由是：从40张扑克牌中，任意抽取1张，“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”两个事件不可能同时发生，且其中必有一个发生，所以它们既是互斥事件，又是对立事件．
(3)不是互斥事件，也不是对立事件．
理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”这两个事件可能同时发生，如抽得点数为10，因此，两者不是互斥事件，也不是对立事件．
【例题2】解：设“甲胜”为事件A，“和棋”为事件B，A，B为互斥事件，则P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.8，
∴P(A)＝0.8－P(B)＝0.8－0.5＝0.3.
∴甲获胜的概率为0.3.
【例题3】解法一：(1)从12只球中任取1球得红球有5种取法，得黑球有4种取法，得红球或黑球共有5＋4＝9种不同取法，任取1球有12种取法．∴任取1球得红球或黑球的概率为P1＝＝.
(2)从12只球中任取1球得红球有5种取法，得黑球有4种取法，得白球有2种取法．从而得红球或黑球或白球的概率为＝.
解法二：(利用互斥事件求概率)记事件A1＝{任取1球为红球}；A2＝{任取1球为黑球}；A3＝{任取1球为白球}；A4＝{任取1球为绿球}，则P(A1)＝，P(A2)＝，P(A3)＝，P(A4)＝.
根据题意知，事件A1，A2，A3，A4彼此互斥，由互斥事件概率公式得
(1)取出1球为红球或黑球的概率为
P(A1＋A2)＝P(A1)＋P(A2)＝＋＝.
(2)取出1球为红球或黑球或白球的概率为
P(A1＋A2＋A3)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝＋＋＝.
解法三：(利用对立事件求概率)
(1)由方法二知，取出1球为红球或黑球的对立事件为取出一白球或绿球，即A1＋A2的对立事件为A3＋A4.所以取得红球或黑球的概率为P(A1＋A2)＝1－P(A3＋A4)＝1－P(A3)－P(A4)＝1－－＝＝.
(2)A1＋A2＋A3的对立事件为A4，
所以P(A1＋A2＋A3)＝1－P(A4)＝1－＝.
【例题4】正解：A＋B这一事件包括4种结果，即出现1,2,3和5，所以P(A＋B)＝＋＝.
随堂练习·巩固
1．B
2．A “至少有一次中靶”即“一次或两次中靶”，所以“至少有一次中靶”与“两次都不中靶”不可能同时发生且必有一个发生．
3．A与B A与B
4．解：设“朋友乘火车、轮船、汽车、飞机来”分别为事件A，B，C，D，则P(A)＝0.3，P(B)＝0.2，P(C)＝0.1，P(D)＝0.4，
且事件A，B，C，D之间是互斥的．
(1)他乘火车或飞机来的概率为
P1＝P(A＋D)＝P(A)＋P(D)＝0.3＋0.4＝0.7.
(2)他乘轮船来的概率是P(B)＝0.2，
所以他不乘轮船来的概率为
P()＝1－P(B)＝1－0.2＝0.8.
1．理解互斥事件和对立事件的定义，能根据定义辨别一些事件是否互斥，是否对立．
2．掌握两个互斥事件的概率加法公式及对立事件的概率计算公式的应用．
1．互斥事件
(1)定义：在一个随机试验中，我们把一次试验下不能同时发生的两个事件A与B称作互斥事件．
(2)规定：事件A＋B发生是指事件A和B至少有一个发生．
①A，B互斥是指事件A与事件B在一次试验中不会同时发生．
②如果事件A与B是互斥事件，那么A与B两事件同时发生的概率为0.
③与集合类比，可用图表示，如图所示．
(3)公式：在一次随机试验中，如果随机事件A和B是互斥事件，那么有P(A＋B)＝________.
①事件A与事件B互斥，如果没有这一条件，加法公式将不能应用．
②如果事件A1，A2，…，An彼此互斥，那么P(A1＋A2＋…＋An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)，即彼此互斥事件和的概率等于它们概率的和．
③在求某些稍复杂的事件的概率时，可将其分解成一些概率较易求的彼此互斥的事件，化整为零，化难为易．
【做一做1－1】判断下列说法是否正确，并说明原因：
(1)将一枚硬币抛掷两次，设事件A：“两次都出现正面”，事件B：“两次都出现反面”，则事件A与B是互斥事件；
(2)在10件产品中有3件是次品，从中取3件．事件A：“所取3件中最多有两件是次品”，事件B：“所取3件中至少有2件是次品”，则事件A与B是互斥事件．
【做一做1－2】甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，乙获胜的概率是，则乙不输的概率是________．
2．对立事件
(1)定义：在一次试验中，如果两个事件A与B不能同时发生，并且一定有一个__________，那么事件A与B称作对立事件，事件A的对立事件记为.
(2)性质：P(A)＋P()＝1，即P(A)＝1－________.
①对立事件的特征：一次试验中，不会同时发生，且必有一个事件发生．
②对立事件是特殊的互斥事件，即对立事件是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件．
③从集合角度看，事件A的对立事件，是全集中由事件A所含结果组成的集合的补集．
【做一做2－1】袋中装有除颜色外其他均相同的白球和黑球各3个，从中任取2球，在下列事件中是对立事件的是( )．
A．恰有1个白球和恰有2个黑球
B．至少有1个白球和全是白球
C．至少有1个白球和至少有1个黑球
D．至少有1个白球和全是黑球
【做一做2－2】事件A与B是对立事件，且P(A)＝0.6，则P(B)等于( )．
A．0.4 B．0.5
C．0.6 D．1
为什么P(A＋B)＝P(A)＋P(B)不成立？
剖析：要证明一个等式不成立，只需举出一个反例即可．
例如：抛掷一枚骰子，向上的点数是偶数为事件A，向上的点数是3的倍数为事件B，则A＋B表示向上的点数是偶数或3的倍数，则P(A)＝，P(B)＝，P(A)＋P(B)＝，P(A＋B)＝，所以此时P(A＋B)≠P(A)＋P(B)，即P(A＋B)＝P(A)＋P(B)不成立．
上例中P(A＋B)＝P(A)＋P(B)不成立的原因是事件A与事件B不是互斥事件．其实对于任意事件A与B，有P(A＋B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)(不要求证明也不要求会用)，那么当且仅当事件A与事件B是互斥事件时，P(A∩B)＝0，此时才有P(A＋B)＝P(A)＋P(B)成立．
题型一 互斥事件与对立事件的判断
【例题1】判断下列给出的每对事件，是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明理由．
从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花，点数从1到10各10张)中，任取一张．
(1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”；
(2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；
(3)“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”．
分析：互斥事件不能同时发生，对立事件既不能同时发生，又必有一个发生；定义是判断事件是否是互斥事件、对立事件的一种最有效、最简便的基本方法．
反思：(1)互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件．
(2)要紧扣互斥事件的概念，判断两个事件是否能同时发生是关键．
题型二 概率的有关计算
【例题2】甲、乙两人下棋，甲不输的概率是0.8，两人下成和棋的概率是0.5，求甲获胜的概率．
分析：甲、乙两人下棋结果为：甲胜、和棋、乙胜．甲不输为和棋或甲胜．
反思：(1)若一个事件比较复杂时，可转化为几个互斥事件的和来求解．
(2)公式P(A＋B)＝P(A)＋P(B)的使用条件是事件A，B互斥，否则不成立．
题型三 互斥事件、对立事件的综合应用
【例题3】一盒中装有各色球12只，其中5只红球、4只黑球、2只白球、1只绿球．从中随机取出1球，求：
(1)取出1球是红球或黑球的概率；
(2)取出的1球是红球或黑球或白球的概率．
反思：(1)解决此类问题，首先应结合互斥事件和对立事件的定义分析出事件是不是互斥事件和对立事件，再决定使用哪一公式，不要由于乱套公式而导致出错．
(2)要注意分类讨论和等价转化思想的运用．
题型四 易错辨析
【例题4】抛掷一枚均匀的骰子(它的每一面上分别标有数字1,2,3,4,5,6)，事件A表示“朝上一面的数是奇数”，事件B表示“朝上一面的数不超过3”，求P(A＋B)．
错解：P(A)＝＝，P(B)＝＝，
∴P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝＋＝1.
错因分析：错解的原因在于忽视了“事件和”概率公式应用的前提条件．由于“朝上一面的数是奇数”与“朝上一面的数不超过3”二者不是互斥事件，即出现1或3时，事件A，B同时发生，所以不能应用P(A＋B)＝P(A)＋P(B)求解．
1从一批产品中取出三件，设A表示“三件产品全不是次品”，B表示“三件产品全是次品”，C表示“三件产品不全是次品”，则下列结论正确的是( )．
A．A与C互斥
B．B与C互斥
C．任两个均互斥
D．任两个均不互斥
2一人射击两次，事件“至少有一次中靶”的对立事件是( )．
A．两次都不中靶
B．两次都中靶
C．只有一次中靶
D．至多有一次中靶
3抛掷一枚均匀的正方体骰子，记A为事件“落地时向上的点数是奇数”，B为事件“落地时向上的点数是偶数”，C为事件“落地时向上的点数是3的倍数”．其中是互斥事件的是______，是对立事件的是______．
4有朋自远方来，已知他乘火车、轮船、汽车、飞机来的概率分别是0.3、0.2、0.1、0.4.
(1)求他乘火车或飞机来的概率；
(2)求他不乘轮船来的概率．
答案：
基础知识·梳理
1．(3)P(A)＋P(B)
【做一做1－1】解：(1)正确．A和B是互斥事件．因为这两个事件在一次试验中不会同时发生．
(2)不正确．A和B不是互斥事件，因为事件A包括三种情况：2件次品1件正品，1件次品2件正品，3件正品；事件B包含两种情况：2件次品1件正品，3件次品．从而事件A，B可以同时发生，故不互斥．
【做一做1－2】 乙不输的概率为＋＝.
2．(1)发生 (2)P()
【做一做2－1】D 至少有一个白球的反面是没有白球，即全是黑球．
【做一做2－2】A P(B)＝1－P(A)＝0.4.
典型例题·领悟
【例题1】解：(1)是互斥事件，不是对立事件．
理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红桃”和“抽出黑桃”是不可能同时发生的，所以是互斥事件，但是，不能保证其中必有一个发生，这是由于还可能抽出“方块”或者“梅花”，因此，两者不是对立事件．
(2)既是互斥事件，又是对立事件．
理由是：从40张扑克牌中，任意抽取1张，“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”两个事件不可能同时发生，且其中必有一个发生，所以它们既是互斥事件，又是对立事件．
(3)不是互斥事件，也不是对立事件．
理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”这两个事件可能同时发生，如抽得点数为10，因此，两者不是互斥事件，也不是对立事件．
【例题2】解：设“甲胜”为事件A，“和棋”为事件B，A，B为互斥事件，则P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.8，
∴P(A)＝0.8－P(B)＝0.8－0.5＝0.3.
∴甲获胜的概率为0.3.
【例题3】解法一：(1)从12只球中任取1球得红球有5种取法，得黑球有4种取法，得红球或黑球共有5＋4＝9种不同取法，任取1球有12种取法．∴任取1球得红球或黑球的概率为P1＝＝.
(2)从12只球中任取1球得红球有5种取法，得黑球有4种取法，得白球有2种取法．从而得红球或黑球或白球的概率为＝.
解法二：(利用互斥事件求概率)记事件A1＝{任取1球为红球}；A2＝{任取1球为黑球}；A3＝{任取1球为白球}；A4＝{任取1球为绿球}，则P(A1)＝，P(A2)＝，P(A3)＝，P(A4)＝.
根据题意知，事件A1，A2，A3，A4彼此互斥，由互斥事件概率公式得
(1)取出1球为红球或黑球的概率为
P(A1＋A2)＝P(A1)＋P(A2)＝＋＝.
(2)取出1球为红球或黑球或白球的概率为
P(A1＋A2＋A3)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝＋＋＝.
解法三：(利用对立事件求概率)
(1)由方法二知，取出1球为红球或黑球的对立事件为取出一白球或绿球，即A1＋A2的对立事件为A3＋A4.所以取得红球或黑球的概率为P(A1＋A2)＝1－P(A3＋A4)＝1－P(A3)－P(A4)＝1－－＝＝.
(2)A1＋A2＋A3的对立事件为A4，
所以P(A1＋A2＋A3)＝1－P(A4)＝1－＝.
【例题4】正解：A＋B这一事件包括4种结果，即出现1,2,3和5，所以P(A＋B)＝＋＝.
随堂练习·巩固
1．B
2．A “至少有一次中靶”即“一次或两次中靶”，所以“至少有一次中靶”与“两次都不中靶”不可能同时发生且必有一个发生．
3．A与B A与B
4．解：设“朋友乘火车、轮船、汽车、飞机来”分别为事件A，B，C，D，则P(A)＝0.3，P(B)＝0.2，P(C)＝0.1，P(D)＝0.4，
且事件A，B，C，D之间是互斥的．
(1)他乘火车或飞机来的概率为
P1＝P(A＋D)＝P(A)＋P(D)＝0.3＋0.4＝0.7.
(2)他乘轮船来的概率是P(B)＝0.2，
所以他不乘轮船来的概率为
P()＝1－P(B)＝1－0.2＝0.8.