数学北师版必修3第三章§2.1古典概型的特征和概率计算公式

§2　古典概型
2.1　古典概型的特征和概率计算公式
1．理解古典概型的两个基本特征，掌握古典概型的概率计算公式．
2．会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及其发生的概率．
古典概型
1．定义：如果一个概率模型满足：
(1)试验的所有可能结果只有________个，每次试验只出现其中的________个结果；
(2)每一个结果出现的可能性________．
我们把具有这样两个特征的随机试验的数学模型称为古典概型(古典的概率模型)．
【做一做1】下列试验中，是古典概型的有(　　)．
A．抛掷一枚图钉，发现钉尖朝上
B．某人到达路口看到绿灯
C．抛掷一枚均匀的正方体骰子，观察向上的点数
D．从10 cm3水中任取1滴，检查有无细菌
2．基本事件：在一次试验中，所有可能发生的基本结果中不能再分的最简单的随机事件称为该次试验中的基本事件．试验中其他的事件(除不可能事件外)都可以用________来描绘．
【做一做2－1】口袋中装有4个红、白、蓝、黑四种颜色且形状相同的小球，从中任意取出2个小球，写出所有的基本事件．
【做一做2－2】袋中有2个红球，2个白球，2个黑球，从里面任意摸2个小球，下列事件不是基本事件的是(　　)．
A．{正好2个红球}
B．{正好2个黑球}
C．{正好2个白球}
D．{至少1个红球}
3．计算公式：对于古典概型，如果试验的所有可能结果(基本事件)数为n，随机事件A包含的基本事件数为m，那么事件A的概率规定为P(A)＝________.
求古典概型的概率有两种方法：一是公式法，即利用古典概型的概率计算公式求解；二是随机模拟方法，当用公式法不易求解时可以考虑用随机模拟的方法估计概率的近似值．
【做一做3－1】抛掷一枚硬币，正面向上的概率是(　　)．
A． B．
C． D．1
【做一做3－2】将一枚均匀的硬币连掷3次，出现“2个正面，1个反面”和“1个正面，2个反面”的概率各是多少？
怎样计算古典概型中基本事件的总数？
剖析：计算古典概型中基本事件的总数时，通常利用列举法．列举法就是把所有的基本事件一一列举出来，再逐个数出．
例如：把从4个除编号外完全相同的球中任取两个看成一次试验，那么这次试验共有多少种可能的结果？为了表述方便，对这四个球编号为1,2,3,4.把每次取出的两个球的号码写在一个括号内，则有：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，所以共有6个基本事件．本例中是按含有1号球，含有2号球，含有3号球的顺序来列举的，这样做可以避免出现重复或遗漏，因此要按一定的顺序标准来写．用数对来表示试验结果是非常重要的表示方法，这种表示方法要注意数对中的两个量是否有顺序限制，本题中没有限制．有时还可以在直角坐标系中用点来表示．有时也可以根据归纳的结论来计算．其常见结论是：把从n个量中任取出2个量看成一次试验，如果这2个量没有顺序，那么这次试验有个基本事件；如果这2个量有顺序，那么这次试验有n(n－1)个基本事件．可以作为结论记住(不要求证明)，在选择题或填空题中可以直接应用．
题型一 基本事件个数的求法
【例题1】将一颗均匀的骰子先后抛掷两次，计算：
(1)一共有多少种不同的结果？
(2)其中向上的点数之和是质数的结果有多少种？
分析：用列举法列出所有结果，然后按要求进行判断即可．
反思：列举法是探求基本事件的常用方法，列举时必须按照某一标准进行，要做到不重、不漏．
题型二 古典概型的概念
【例题2】(1)在线段[0,3]上任取一点，求此点的坐标小于1的概率，问此试验的概率模型是否为古典概型？为什么？
(2)从1,2,3,4四个数中任意取出两个数，求所取两数之一是2的概率，此试验的概率模型是古典概型吗？试说明理由．
分析：要判断试验的概率模型是否为古典概型，只需看该试验中所有可能的结果(基本事件)是否为有限个；每个结果出现的概率是否相等．
反思：判断一个试验的概率模型是否为古典概型，关键是看它是否具备古典概型的两个特征：(1)一次试验中，可能出现的结果只有有限个，即有限性；(2)每个基本事件发生的可能性是均等的，即等可能性．
题型三 古典概型的概率计算
【例题3】某商场举行购物抽奖促销活动，规定每位顾客从装有编号为0,1,2,3四个相同小球的抽奖箱中，每次取出一球记下编号后放回，连续取两次，若取出的两个小球号码相加之和等于6，则中一等奖，等于5中二等奖，等于4或3中三等奖．
(1)求中三等奖的概率；
(2)求中奖的概率．
分析：分别写出所有基本事件，利用古典概型的概率计算公式求出概率．
反思：解决古典概型问题的关键是首先明确基本事件是什么，然后分清基本事件总数n与事件A所含的基本事件数m，因此要注意以下几个方面：
①明确基本事件是什么；②试验是否是等可能性的试验；③基本事件总数是多少；④事件A包含多少个基本事件．
题型四 易错辨析
【例题4】掷两枚硬币，求两枚硬币正面向上的概率．
错解：掷两枚硬币出现的情况为：一正一反、两正、两反共3个基本事件，所以概率为P＝.
错因分析：以上3个基本事件不是等可能的，如两正只有一种情况，而一正一反就有2种情况．事实上，掷两枚硬币共有4个基本事件，而且是等可能的．
1下列随机试验的数学模型属于古典概型的是(　　)．
A．在一定的条件下，种一粒种子，它可能发芽，也可能不发芽
B．在平面直角坐标系内，从横坐标和纵坐标都为整数的所有点中任取一个点
C．某射手射击一次，可能命中0环，1环，2环，…，10环
D．四位同学用抽签的方法选一人去参加一个座谈会
2抛掷一枚均匀的正方体骰子，向上的点数是5或6的概率是(　　)．
A． B． C． D．1
3在5张卡片上分别写上数字1,2,3,4,5，然后将它们混合后，再任意排成一行，则得到的五位数能被2或5整除的概率是(　　)．
A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.8
4掷一枚骰子，骰子落地时向上的点数是3的倍数的概率是__________．
5袋中装有除颜色外其他均相同的红、黑球各一个，现依次有放回地随机摸取3次，每次摸取一个球．
(1)试问：一共有多少种不同的结果？请列出所有可能的结果．
(2)若摸到红球时得2分，摸到黑球时得1分，求3次摸球所得总分为5的概率．
答案：
基础知识·梳理
1．(1)有限　一　(2)相同
【做一做1】C
2．基本事件
【做一做2－1】解：所有的基本事件有6个，分别是A＝{红，白}，B＝{红，蓝}，C＝{红，黑}，D＝{白，蓝}，E＝{白，黑}，F＝{蓝，黑}．
【做一做2－2】D　至少1个红球包含：一红一白或一红一黑或2个红球，所以{至少1个红球}不是基本事件，其他事件都是基本事件．
3．
【做一做3－1】C
【做一做3－2】解：一枚均匀的硬币连掷3次，每次落地都有2种不同的情况，故共有基本事件总数为n＝8.
记“2个正面，1个反面”为事件A，“1个正面，2个反面”为事件B，则A＝{(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)}，含有3个基本事件，B＝{(反，反，正)，(反，正，反)，(正，反，反)}，含有3个基本事件，故由古典概型的概率公式得P(A)＝，P(B)＝.
典型例题·领悟
【例题1】解：(1)将抛掷两次骰子的所有结果一一列举如下：
(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6)，
(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)(2,6)，
(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)(3,6)，
(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)(4,5)(4,6)，
(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)(5,6)，
(6,1)(6,2)(6,3)(6,4)(6,5)(6,6)，
共有36种不同的结果．
(2)点数之和是质数的结果有(1,1)，(1,2)，(1,4)，(1,6)，(2,1)，(2,3)，(2,5)，(3,2)，(3,4)，(4,1)，(4,3)，(5,2)，(5,6)，(6,1)，(6,5)，共15种．
【例题2】解：(1)此试验的概率模型不属于古典概型．在线段[0,3]上任取一点，此点可以在[0,3]上的任一位置，且在每个位置的可能性是相同的，具备等可能性．但试验结果有无限多个，不满足试验结果的有限性．
(2)此试验的概率模型是古典概型．因为此试验的基本事件总数为6：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，且每个基本事件的出现是等可能的，因此属于古典概型，所取两数之一是2的概率为＝.
【例题3】解：设“中三等奖”为事件A，“中奖”为事件B，
从四个小球中有放回地取两球有：(0,0)，(0,1)，(0,2)，(0,3)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，共16种不同的结果．
(1)取出的两个小球号码相加之和等于4或3的取法有：
(1,3)，(2,2)，(3,1)，(0,3)，(1,2)，(2,1)，(3,0)共7种结果，
则中三等奖的概率为P(A)＝.
(2)由(1)知两个小球号码相加之和等于3或4的取法有7种；
两个小球号码相加之和等于5的取法有2种：
(2,3)，(3,2)．
两个小球号码相加之和等于6的取法有1种：(3,3)．
则中奖的概率为P(B)＝＝.
【例题4】正解：由题意可知，掷两枚硬币其结果共有4个基本事件，且是等可能的，所以“两枚硬币正面向上”的概率为P＝.
随堂练习·巩固
1．D　2．B
3．C　一个五位数能否被5整除关键看其个位数字，而由1,2,3,4,5组成的五位数中，1,2,3,4,5出现在个位是等可能的．所以个位数字的基本事件空间Ω＝{1,2,3,4,5}，“能被2或5整除”这一事件中含有基本事件2,4,5，概率为＝0.6.故选C.
4．　掷骰子的结果共有6种，其中是3的倍数的结果有2种，故概率为＝.
5．解：(1)一共有8种不同的结果，列举如下：
(红，红，红)，(红，红，黑)，(红，黑，红)，(红，黑，黑)，(黑，红，红)，(黑，红，黑)，(黑，黑，红)，(黑，黑，黑)．
(2)记“3次摸球所得总分为5”为事件A.因为8个基本事件发生的可能性相等，事件A包含的基本事件为(红，红，黑)，(红，黑，红)，(黑，红，红)，共3个．所以事件A的概率为P(A)＝.