数学人教A必修1第一章 集合与函数概念单元检测
(时间：45分钟，满分：100分)
一、选择题(每小题6分，共48分)
1．已知全集U＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}，集合A＝{0,1, 3,5,8}，集合B＝{2,4,5,6,8}，则()∩()＝( )．
A．{5,8} B．{7,9}
C．{0,1,3} D．{2,4,6}
2．已知全集U＝R，集合A＝{x|x＜－2或x≥5}，B＝{x|x＜3}，则下图中阴影部分表示的集合为( )
A．{x|x＜－2} B．{x|x＜3或x≥5}
C．{x|－2≤x＜3} D．{x|x≥5}
3．如果奇函数f(x)在区间[a，b](b＞a＞0)上是增函数，且最小值为m，那么f(x)在区间[－b，－a]上( )
A．是增函数，且最小值为－m
B．是增函数，且最大值为－m
C．是减函数，且最小值为－m
D．是减函数，且最大值为－m
4．已知集合A＝{x|x≤a＋3}，B＝{x|x＜－1或x＞5}，若A∩B＝A，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，－4) B．(－∞，－4]
C．(－4，＋∞) D．[－4，＋∞)
5．已知函数f(x)＝－x2＋2x＋2在[－3,4]上的最大值为A，最小值为B，则A＋B＝( )
A．－16 B．－3 C．－9 D．－10
6．设f(x)是R上的偶函数，且在(－∞，0)上为减函数，若x1＜0，且x1＋x2＞0，则( )
A．f(x1)＞f(x2)
B．f(x1)＝f(x2)
C．f(x1)＜f(x2)
D．无法比较f(x1)与f(x2)的大小
7．设则f(5)的值为( )
A．24 B．21 C．18 D．16
8．若函数y＝f(x)的定义域是[0,3]，则函数的定义域是( )
A．[－1,2] B．[－1,2)
C． [0,2)∪(2,3] D．[0,2)
二、填空题(每小题6分，共18分)
9．函数f(x)＝(x＋a)(x－4)为偶函数，则实数a＝__________.
10．A，B是非空集合，定义运算A－B＝{x|x∈A，且x B}，若，N＝{y|y＝x2，－1≤x≤1}，则M－N＝________.
11．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f(x)＝x2＋2x＋3，则f(0)＝________.若函数g(x)满足，则函数g(x)的表达式为________．
三、解答题(共34分)
12．(10分)已知集合A＝{x|2≤x≤8}，B＝{x|1＜x＜6}，C＝{x|x＞a}，U＝R.
(1)求A∪B，()∩B；
(2)若A∩C≠，求a的取值范围．
13．(10分)设函数f(x)＝|2x＋1|－|x－4|.
(1)将函数f(x)写为分段函数的形式；
(2)画出函数f(x)的图象；
(3)写出函数f(x)的单调区间及值域．
14．(14分)函数是定义在(－1,1)上的奇函数，且.
(1)确定函数f(x)的解析式；
(2)用定义证明f(x)在(－1,1)上是增函数；
(3)解不等式：f(t－1)＋f(t)＜0.
参考答案
1答案：B
2答案：C
3答案：B
4答案：A
5答案：D
6答案：C
7答案：C
8答案：B
9答案：4
10答案：{x|x＜0}
11答案：0
12答案：解：(1)A∪B＝{x|2≤x≤8}∪{x|1＜x＜6}＝{x|1＜x≤8}．
＝{x|x＜2或x＞8}．
∴()∩B＝{x|1＜x＜2}．
(2)∵A∩C≠，∴a＜8.
即a的取值范围为(－∞，8)．
13答案：解：(1)∵f(x)＝|2x＋1|－|x－4|，
∴当时，f(x)＝－(2x＋1)＋ (x－4)＝－x－5；
当时，f(x)＝2x＋1＋x－4＝3x－3；
当x＞4时，f(x)＝2x＋1－(x－4)＝x＋5.
∴
(2)图象如图中实线部分所示，
(3)由图象知，函数f(x)的单调递减区间是，单调递增区间是，值域是.
14答案：(1)解：∵f(x)是奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)，
∴f(0)＝－f(0)，即f(0)＝0，
∴
即
∴.
(2)证明：任取－1＜x1＜x2＜1，
f(x2)－f(x1)＝＝.
∵－1＜x1＜x2＜1，∴x2－x1＞0，
,，
又∵－1＜x1x2＜1，∴1－x1x2＞0，
∴f(x2)－f(x1)＞0，即f(x2)＞f(x1)．
∴f(x)在(－1,1)上是增函数．
(3)解：原不等式即为f(t－1)＜－f(t)＝f(－t)．
∵f(x)在(－1,1)上是增函数，
∴解得.
∴原不等式的解集为.数学人教A必修1第三章函数的应用单元检测
(时间：90分钟 满分：100分)
第Ⅰ卷(选择题 共50分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．如果函数y＝f(x)在区间(a，b)上的零点是x1＝，则f(x1)满足( )．
A．f(x1)＜0 B．f(x1)＞0
C．f(x1)＝0 D．f(x1)的符号不确定
2．函数y＝1＋的零点是( )．
A．(－1,0) B．x＝－1 C．x＝1 D．x＝0
3．下列函数中，增长速度最快的是( )．
A．y＝20x B．y＝x20
C．y＝log20x D．y＝20x
4．已知函数f(x)在区间[a，b]上是单调函数，且f(a)f(b)＜0，则方程f(x)＝0在区间[a，b]内( )．
A．至少有一实根 B．至多有一实根
C．没有实根 D．必有唯一实根
5．某动物数量y (只)与时间x(年)的关系为y＝alog2(x＋1)，设第一年有100只，则到第七年它们将发展到( )．
A．300只 B．400只 C．500只 D．600只
6．函数f(x)＝ln x－的零点所在的大致区间是( )．
A．(1,2) B．(e,3) C．(2，e) D．(e，＋∞)
7．方程3x＋x＝3的解所在的区间为( )．
A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4)
8．某产品的利润y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式为y＝－2x2＋40x＋300，则利润y取最大值时，产量x等于( )．
A．10 B．20 C．30 D．40
9．红豆生南国，春来发几枝？如图给出了红豆生长时间t(月)与枝数y的散点图，那么红豆生长时间与枝数的关系用下列哪个函数模型拟合最好？( )．
A．y＝2t B．y＝log2t C．y＝2t D．y＝t2
10．某商店将进价为40元的商品按50元一件销售，一个月恰好卖500件，而价格每提高1元，就会少卖10个，商店为使该商品利润最大，应将每件商品定价为( )．
A．45元 B．55元 C．65元 D．70元
第Ⅱ卷(非选择题 共50分)
二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中的横线上)
11．用二分法求方程x3－2x－5＝0在区间(2,4)上的实数根时，取中点x1＝3，则下一个有根区间是__________．
12．函数f(x)＝x＋b有一个零点2，那么函数g(x)＝bx2＋x的零点是________．
13．某种细胞分裂时，由1个分裂成3个，3个分裂成9个，…，这样一个细胞分裂x次后，得到的细胞个数y与x的函数关系式是__________．
14．函数f(x)＝3x－7＋ln x的零点位于区间(n，n＋1)(n∈N*)，则n＝__________.
15．某化工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不超过0.1%；若初始时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少，至少应过滤__________次才能达到市场要求．(已知lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)
三、解答题(本大题共2小题，共25分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
16．(10分)用二分法求方程2x＋x－8＝0在区间(2,3)内的一个实数解．(精确度为0.1)
17.(15分)经市场调查，某种商品在过去50天的销售价格(单位：元)均为销售时间t(天)的函数，且销售量(单位：件)近似地满足f(t)＝－2t＋200(1≤t≤50，t∈N)，前30天价格(单位：元)为g(t)＝t＋30(1≤t≤30，t∈N)，后20天价格(单位：元)为g(t)＝45(31≤t≤50，t∈N)．
(1)写出该种商品的日销售额S(元)与时间t(天)的函数关系；
(2)求日销售额S的最大值．
参考答案
1. 答案：C
2. 答案：B
3. 答案：D
4. 答案：B 因为f(a)f(b)＜0，所以f(a)＜0＜f(b)或f(b)＜0＜f(a)，又函数f(x)在区间[a，b]上是单调函数，则至多有一个实数x0∈[a，b]，使f(x0)＝0，即方程f(x)＝0在区间[a，b]内至多有一实根．
5. 答案：A 由第一年有100只，得a＝100，将a＝100，x＝7代入y＝alog2(x＋1)，得y＝300.
6. 答案：C f(1)＝ln ＝－2＜0，f(2)＝ln＝ln ＜ln 1＝0，
f(e)＝ln ＝＞0，f(3)＝ln ＞0，则f(2)f(e)＜0，所以函数f(x)＝ln 的零点所在的大致区间是(2，e)．
7. 答案：A 设f(x)＝3x＋x－3，则f(0)＝－2＜0，f(1)＝1＞0，则函数f(x)的零点即方程3x＋x＝3的解所在的区间为(0,1)．
8. 答案：A y＝－2(x－10)2＋500，当x＝10时，y取最大值．
9. 答案：A 当t＝2时，y＝4；当t＝4时，y＝16；当t＝5时，y＝32，故用y＝2t拟合最好．
10. 答案：D 设每件商品定价为x元，利润为y元，
则y＝(x－40)·[500－10(x－50)]＝－10x2＋1 400x－40 000＝－10(x－70)2＋9 000,50≤x≤100，
则当每件商品定价为70元时，利润最大．
11. 答案：(2,3) 设f(x)＝x3－2x－5，则f(2)＜0，f(3)＞0，f(4)＞0，有f(2)f(3)＜0，则下一个有根区间是(2,3)．
12. 答案：0和 由题意得2＋b＝0，即b＝－2，
则g(x)＝－2x2＋x，令－2x2＋x＝0，解得x＝0或x＝，即函数g(x)＝bx2＋x的零点是0和.
13. 答案：y＝3x，xN* 当x＝1时， y＝3；当x＝2时，y＝9＝32，…，
故y＝3x，xN*.
14. 答案：2 设g(x)＝ln x，h(x)＝－3x＋7，则函数g(x)和函数h(x)的图象交点的横坐标是函数f(x)的零点．
在同一坐标系中画出函数g(x)和函数h(x)的图象，如图所示．
由图象知函数f(x)的零点属于区间，
又f(1)＝－4＜0，f(2)＝－1＋ln 2＝ln＜0，f(3)＝2＋ln 3＞0，
所以函数f(x)的零点属于区间(2,3)．
所以n＝2.
15. 答案：8 设过滤n次才能达到市场要求，
则2%≤0.1%，即，
∴nlg ≤－1－lg 2.解得n≥7.39.又n∈N*，
∴n的最小值为8.
16. 答案：解：设函数f(x)＝2x＋x－8，
∵f(2)＝22＋2－8＝－2＜0，f(3)＝23＋3－8＝3＞0，
用二分法逐次计算，列表如下：
区间 中点的值 中点函数近似值
(2,3) 2.5 0.156 85
(2,2.5) 2.25 －0.993 2
(2.25,2.5) 2.375 －0.437 6
(2.375,2.5) 2.437 5 －0.145 5
∵|2.437 5－2.5|＝0.062 5＜0.1，
∴方程2x＋x－8＝0的一个实数解近似值为2.437 5.
17. 答案：解：(1)根据题意，得
S＝
＝
(2)当1≤t≤30，t∈N时，S＝－(t－20)2＋6 400，当t＝20时，S的最大值为6 400；当31≤t≤50，tN时，S＝－90t＋9 000为减函数，当t＝31时，S的最大值是6 210.
∵6 210＜6 400，∴当销售时间为20天时，日销售额S有最大值为6 400.§6 平面向量数量积的坐标表示
问题导学
1．平面向量数量积的坐标运算
活动与探究1
(1)若向量a＝(1,1)，b＝(2,5)，c＝(3，x)满足条件(8a－b)·c＝30，则x＝( )．
A．6 B．5 C．4 D．3
(2)已知向量a与b同向，b＝(1,2)，a·b＝10，求：
①向量a的坐标；②若c＝(2，－1)，求(a·c)·b．
迁移与应用
1．已知向量a＝(1，k)，b＝(2,2)，且a＋b与a共线，那么a·b的值为( )．
A．1 B．2 C．3 D．4
2．a＝(－4,3)，b＝(5,6)，则3|a|2－4a·b等于( )．
A．23 B．57 C．63 D．83
向量问题的处理有两种思路，一种是纯向量式，另一种是坐标式，两者互相补充，通过向量的坐标运算可实现向量问题的代数化，在解题中应注意与方程、函数等知识联系．
2．向量垂直条件的应用
活动与探究2
在△ABC中，＝(2,3)，＝(1，k)，且△ABC中有一个内角为直角，求k的值．
迁移与应用
平面内三点A，B，C在一条直线上，＝(－2，m)，＝(n,1)，＝(5，－1)，若⊥，求实数m，n的值．
向量垂直问题的解法：
(1)围绕a⊥b a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0展开．
(2)常用两种解决方法：(一)是转化成a·b＝0，往往要进行整体构造，(二)是转化成坐标运算．
(3)注意垂直问题中一般不考虑零向量．
3．向量的夹角问题
活动与探究3
已知△ABC顶点的坐标分别为A(3,4)，B(0,0)，C(c,0)．
(1)若c＝5，求cos A的值；
(2)若A是钝角，求c的取值范围．
活动与探究4
已知直线l1：4x＋3y－5＝0和l2：x＋7y＋6＝0，求直线l1和l2的夹角．
迁移与应用
1．若向量a＝(1,2)，b＝(1，－1)，则2a＋b与a－b的夹角等于( )．
A．－ B． C． D．
2．已知向量a＝(1,2)，b＝(－2，－4)，|c|＝，若(a＋b)·c＝，求a与c的夹角．
1．利用数量积求两向量夹角的步骤．
(1)利用平面向量数量积的坐标表示公式求出这两个向量的数量积．
(2)利用|a|＝计算出这两个向量的模．
(3)由公式cos θ＝直接求出cos θ的值．
(4)在0≤θ≤π内，由cos θ的值求角θ．
2．由cos θ＝去判断θ的取值有五种情况．
(1)cos θ＝1，θ＝0°；
(2)cos θ＝0，θ＝90°；
(3)cos θ＝－1，θ＝180°；
(4)cos θ＜0且cos θ≠－1，θ为钝角；
(5)cos θ＞0且cos θ≠1，θ为锐角．
当堂检测
1．已知向量a＝(1，－1)，b＝(2，x)．若a·b＝1，则x＝( )．
A．－1 B．－ C． D．1
2．设x∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，－2)，且a⊥b，则|a＋b|＝( )．
A． B． C．2 D．10
3．已知向量a＝(1,2)，b＝(－2，－4)，|c|＝，若(a＋b)·c＝，则a与c的夹角为( )．
A．30° B．60° C．120° D．150°
4．直线l1：x＋2y－3＝0和直线l2：x－3y＋1＝0的夹角θ＝__________．
5．在平面上建立直角坐标系，O是原点，已知点A(16,12)，B(－5,15)．
(1)求||，||；
(2)求∠OAB．
提示：用最精炼的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记。
答案：
课前预习导学
【预习导引】
1．(1)x1x2＋y1y2 相应坐标乘积的和
(2)a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0
预习交流1 提示：由于单位向量a0＝，且|a|＝.
所以a0＝
＝(a1，a2)
＝.
此为与向量a＝(a1，a2)同向的单位向量的坐标．
预习交流2 提示：不同．设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a∥b，则x1y2－x2y1＝0.a⊥b，
则x1x2＋y1y2＝0.
预习交流3 (1)D 解析：
|a|＝＝1，
|b|＝＝；
a·b＝1×＋0×＝；
(a－b)·b＝a·b－|b|2
＝－＝0，
故a－b与b垂直．
(2) (－4，－4)
预习交流4 k＝.
课堂合作探究
【问题导学】
活动与探究1 (1)C 解析：
8a－b＝8(1,1)－(2,5)＝(6,3)，
由(8a－b)·c＝30，得6×3＋3x＝30，∴x＝4.
(2)解：①∵a与b同向，且b＝(1,2)，
∴a＝λb＝(λ，2λ)(λ＞0)．
又∵a·b＝10，
∴λ＋4λ＝10，∴λ＝2，
∴a＝(2,4)．
②∵a·c＝2×2＋(－1)×4＝0，
∴(a·c)·b＝0·b＝0.
迁移与应用 1.D 解析：
∵a＋b与a共线，
∴a＋b＝λa，即(1＋2，k＋2)＝λ(1，k)．
由解得
故a＝(1,1)，则a·b＝1×2＋1×2＝4.
2．D 解析：|a|＝5，a·b＝－20＋18＝－2，
∴3|a|2－4a·b＝3×25－4×(－2)＝83.
活动与探究2 解：在△ABC中，(1)当∠A＝90°时，·＝0，
∴2×1＋3×k＝0，
∴k＝－.
(2)当∠B＝90°时，·＝0，＝－＝(1－2，k－3)＝(－1，k－3)，
∴2×(－1)＋3×(k－3)＝0，
∴k＝.
(3)当∠C＝90°时，·＝0，
∴－1＋k(k－3)＝0，
∴k＝或k＝.
∴满足题意的k的值为－，，，.
迁移与应用 解：因为A，B，C三点共线，
所以与共线．
设＝λ(λ∈R)，
又＝(－2，m)，＝(n,1)，＝(5，－1)，
所以＝－＝(7，－1－m)，＝－＝(n＋2，1－m)，
所以(7，－1－m)＝λ(n＋2，1－m)，
故有得mn＋n－5m＋9＝0，①
又⊥，所以·＝－2n＋m＝0.②
式①②联立得或
所以m＝6，n＝3或m＝3，n＝.
活动与探究3 解：(1)＝(－3，－4)，＝(c－3，－4)，
当c＝5时，＝(2，－4)，
∴cos A＝＝＝.
(2)若A为钝角，则·＝－3(c－3)＋(－4)2＜0，解得c＞.
显然此时有AB和AC不共线，故当A为钝角时，c的取值范围为.
活动与探究4 解：任取直线l1和l2的方向向量m＝和n＝.
设向量m与n的夹角为θ，
因为m·n＝|m||n|cos θ，
从而cos θ＝
＝，
所以θ＝45°，即直线l1和l2的夹角为45°.
迁移与应用 1．C 解析：由于2a＋b＝(3,3)，a－b＝(0,3)，
所以cos〈2a＋b，a－b〉＝＝＝，故2a＋b与a－b的夹角为.
2．解：依题意a＋b＝(－1，－2)，|a|＝，
设c＝(x，y)，而(a＋b)·c＝，∴x＋2y＝－.
设a与c的夹角为θ，则
cos θ＝＝＝＝－，
∴a与c的夹角为120°.
【当堂检测】
1．D 2．B 3．C 4．45°
5．解：＝(16,12)，＝(－5,15)，＝(－21,3)．
(1)||＝＝20，
||＝＝15.
(2)＝(－16，－12)，
cos∠OAB＝
＝
＝
＝.
∴∠OAB＝45°.数学人教A必修1第三章 函数的应用单元检测
(时间：45分钟，满分：100分)
一、选择题(每小题6分，共48分)
1．函数f(x)＝ax－1的零点个数为( )
A．1 B．2
C．0 D．0或1
2．实数a，b，c是图象连续不断的函数y＝f(x)定义域中的三个数，且满足a＜b＜c，f(a)·f(b)＜0，f(b)·f(c)＜0，则函数y＝f(x)在区间(a，c)上零点的个数为( )
A．2个 B．奇数个
C．1个 D．至少2个
3．已知函数的图象可表示打字任务的“学习曲线”，其中t(小时)表示达到打字水平N(字/分)所需的学习时间，N表示打字速度(字/分)，则按此曲线要达到90字/分的水平，所需的学习时间是( )
A．144小时 B．90小时
C．60小时 D．40小时
4．某工厂一年中十二月份的产量是一月份产量的m倍，那么该工厂一年中的月平均增长率是( )
A． B． C． D．
5．在x g浓度为a%的盐水中，加入y g浓度为b%的盐水，浓度变为c%，则x与y的函数关系式为( )
A． B．
C． D．
6．已知0＜a＜1，则方程a|x|＝|logax|的实根个数是( )
A．2 B．3
C．4 D．与a值有关
7．已知f(x)＝(x－a)(x－b)－2，并且α，β是方程f(x)＝0的两个实数根，则实数α，β，a， b的大小关系可能是( )
A．α＜a＜b＜β B．a＜α＜β＜b
C． a＜α＜b＜β D．α＜a＜β＜b
8．若函数f(x)的零点与g(x)＝4x＋2x－2的零点之差的绝对值不超过0.25，则f(x)可以是( )
A．f(x)＝4x－1 B．f(x)＝(x－1)2
C．f(x)＝ex－1 D．
二、填空题(每小题6分，共18分)
9．若函数y＝ax2－x－1只有一个零点，则实数a的值为______．
10．若函数f(x)＝lg x＋x－3，方程f(x)＝0的近似解在区间(k，k＋1)，k∈Z，则k＝______.
11．某商场宣传在节假日对顾客购物实行一定的优惠，商场规定：
①如一次购物不超过200元，不予以折扣；
②如一次购物超过200元，但不超过500元，按标价予以九折优惠；
③如一次购物超过500元的，其中500元给予九折优惠，超过500元的给予八五折优惠．
某人两次去购物，分别付款176元和432元，如果他只去一次购买同样的商品，则应付款__________．
三、解答题(共34分)
12．(10分)(1)求函数f(x)＝x3－2x2－x＋2的零点；
(2)设函数f(x)＝ex－m－x，其中m∈R，当m＞1时，判断函数f(x)在区间(0，m)内是否存在零点．
13．(10分)在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/时．研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．
(1)当0≤x≤200时，求函数v(x)的表达式；
(2)当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/时)f(x)＝x·v(x)可以达到最大，并求出最大值．(精确到1辆/时)
14．(14分)有甲、乙两种商品，经营销售这两种商品所得的利润依次为M万元和N万元，它们与投入资金x万元的关系可由经验公式给出：， (x≥1)．今有8万元资金投入经营甲、乙两种商品，且乙商品至少要求投资1万元，为获得最大利润，对甲、乙两种商品的资金投入分别是多少？共能获得多大利润？
参考答案
1答案：D
2答案：D
3答案：A
4答案：D
5答案：B
6答案：A
7答案：A
8答案：A
9答案：0或
10答案：2
11答案：582.6元
12答案：解：(1)f(x)＝x3－2x2－x＋2＝(x3－x)－(2x2－2)
＝x(x2－1)－2(x2－1)＝(x2－1)(x－2)
＝(x＋1)(x－1)(x－2)．
由f(x)＝0得(x＋1)(x－1)(x－2)＝0，解得x＝－1或1或2.
所以函数f(x)有三个零点－1,1,2.
(2)f(x)＝ex－m－x，所以f(0)＝e－m－0＝e－m＞0，f(m)＝e0－m＝1－m.
又m＞1，所以f(m)＜0，所以f(0)·f(m)＜0.
又函数f(x)的图象在区间[0，m]上是一条连续曲线，
故函数f(x)＝ex－m－x(m＞1)在区间(0，m)内存在零点．
13答案：解：(1)由题意：当0≤x≤20时，v(x)＝60；
当20≤x≤200时，设v(x)＝ax＋b，
再由已知得解得
故函数v(x)的表达式为
v(x)＝
(2)依题意并由(1)可得
f(x)＝
当0≤x≤20时，f(x)为增函数，故当x＝20时，其最大值为60×20＝1 200；
当20≤x≤200时，，
所以，当x＝100时，f(x)在[20,200]上取得最大值，即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3 333辆/时．
14答案：解：设投入乙种商品的资金为x万元，则投入甲种商品的资金为(8－x)万元，共获利润 (1≤x≤8)．
令 (0≤t≤)，则x＝t2＋1，
∴.
故当时，可获最大利润万元．
此时，投入乙种商品的资金为万元，
投入甲种商品的资金为万元．数学人教A必修1第一章 集合与函数概念单元检测
(时间：90分钟 满分：100分)
第Ⅰ卷(选择题 共50分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知集合A＝{1,2}，B＝{2,4}，则A∪B＝( )．
A．{2} B．{1,2,2,4} C．{1,2,4} D．
2．2010年11月，第16届亚运会在广州举行，在这次亚运会中，下列能构成集合的是( )．
A．所有著名运动员 B．所有志愿者
C．所有喜欢中国的运动员 D．参加开幕式表演的所有高个子演员
3．给出下列集合A到集合B的几种对应：
其中，是从A到B的映射的有( )．
A．(1)(2) B．(1)(2)(3) C．(1)(2)(4) D．(1)(2)(3)(4)
4．已知全集U＝R，集合A＝{x|2x2－3x－2＝0}，集合B＝{x|x＞1}，则A∩( UB)＝( )．
A．{2} B．{x|x≤1}
C. D．{x|x≤1，或x＝2}
5．函数f(x)＝的定义域是( )．
A．[－1，＋∞) B．(－∞，0)∪(0，＋∞)
C．[－1,0)∪(0，＋∞) D．R
6．已知全集U＝R，集合P＝{x∈N*|x＜7}，Q＝{x|x－3＞0}，那么图中阴影表示的集合是( )．
A．{1,2,3,4,5,6} B．{x|x＞3}
C．{4,5,6} D．{x|3＜x＜7}
7．设集合M＝{x|x＞1}，P＝{x|x2－6x＋9＝0}，则下列关系中正确的是( )．
A．M＝P B．PM
C．MP D．M∪P＝R
8．函数y＝x2－2x＋3，－1≤x≤2的值域是( )．
A．R B．[3,6]
C．[2,6] D．[2，＋∞)
9．定义在R上的偶函数f(x)在[0,7]上是增函数，在[7，＋∞)上是减函数，f(7)＝6，则f(x)( )．
A．在[－7,0]上是增函数，且最大值是6 B．在[－7,0]上是减函数，且最大值是6
C．在[－7,0]上是增函数，且最小值是6 D．在[－7,0]上是减函数，且最小值是6
10．定义在R上的偶函数f(x)满足：对任意x1，x2∈(－∞，0](x1≠x2)，都有＞0，则( )．
A．f(－5)＜f(4)＜f(6) B．f(4)＜f(－5)＜f(6)
C．f(6)＜f(－5)＜f(4) D．f(6)＜f(4)＜f(－5)
第Ⅱ卷(非选择题 共50分)
二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中的横线上)
11．定义在[－2,4]上的函数f(x)的图象如图所示，则函数f(x)的单调递增区间是__________，单调递减区间是__________．
12．已知函数f(x)＝则f[f(1)]＝__________.
13．已知集合A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|mx＋1＝0}，A∩B＝B，设实数m所能取的一切值构成的集合为P，则用列举法表示P＝__________.
14．已知函数f(x)＝2x＋3，g(x)＝3x－5，如果f[g(x0)]＝1，则x0＝__________.
15．如图是偶函数y＝f(x)的局部图象，根据图象所给信息，有以下结论：
①函数一定有最小值；
②f(－1)－f(2)＞0；
③f(－1)－f(2)＝0；
④f(－1)－f(2)＜0；
⑤f(－1)＋f(2)＞0.
其中正确的结论有__________．(填序号)
三、解答题(本大题共2小题，共25分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
16．(10分)已知函数f(x)＝－2x＋m，其中m为常数．
(1)求证：函数f(x)在R上是减函数；
(2)当函数f(x)是奇函数时，求实数m的值．
17．(15分)已知函数f(x)是正比例函数，函数g(x)是反比例函数，且f(1)＝1，g(1)＝2，
(1)求函数f(x)和g(x)；
(2)判断函数f(x)＋g(x)的奇偶性．
(3)求函数f(x)＋g(x)在(0，]上的最小值．
参考答案
1. 答案：C
2. 答案：B
3. 答案：A 根据映射的定义知，(3)中集合A中的元素a对应集合B中的两个元素x，y，则此对应不是映射；(4)中集合A中的元素b在集合B中没有对应元素，则此对应也不是映射．仅有(1)(2)符合映射的定义，则(1)(2)是映射．
4. 答案：C A＝，B＝{x|x≤1}，
则A(B)＝.
5. 答案：C 要使函数有意义，x的取值需满足解得x≥－1，且x≠0，则函数的定义域是[－1,0)(0，＋)．
6. 答案： C P＝{1,2,3,4,5,6}，Q＝{x|x＞3}，则阴影表示的集合是PQ＝{4,5,6}．
7. 答案：B ∵P＝{3}，∴PM.
8. 答案：C 画出函数y＝x2－2x＋3，－1≤x≤2的图象，如图所示，观察函数的图象可得图象上所有点的纵坐标的取值范围是[2,6]，所以值域是[2,6]．
9. 答案：B ∵f(x)是偶函数，∴f(x)的图象关于y轴对称．∴f(x)在[－7,0]上是减函数，且最大值为6.
10. 答案：C ∵对任意x1，x2(－，0](x1≠x2)，都有＞0，
∴对任意x1，x2∈(－，0]，若x1＜x2，总有f(x1)＜f(x2)，∴f(x)在(－，0]上是增函数．
∴f(－4)＞f(－5)＞f(－6)．
又∵函数f(x)是偶函数，
∴f(－6)＝f(6)，f(－4)＝f(4)，
∴f(6)＜f(－5)＜f(4)．
11. 答案：(－1,1) [－2，－1]，[1,4]
12. 答案：2 f(1)＝3＋1＝4，f[f(1)]＝f(4)＝＝2.
13. 答案：由题意得A＝{－3, 2}，集合B是关于x的方程mx＋1＝0的解集．由AB＝B得BA，
∴B＝或B≠.当B＝时，m＝0；当B≠时，m≠0，则x＝A，则＝－3或＝2，解得m＝或.综上，m＝0或或，则P＝.
14. 答案： 因为g(x0)＝3x0－5，所以f[g(x0)]＝f(3x0－5)＝2(3x0－5)＋3＝6x0－7＝1，解得x0＝.
15. 答案：④⑤ ∵所给图象为函数的局部图象，∴不能确定函数一定有最小值；由图象知函数y＝f(x)在区间[1,3]上是增函数，则f(1)－f(2)＜0，又函数y＝f(x)是偶函数，则f(－1)＝f(1)，则f(－1)－f(2)＜0.
∵f(－1)＝f(1)＞0，f(2)＞0，
∴f(－1)＋f(2)＞0.
16. 答案：(1)证明：设x1，x2是R上的任意两个实数，且x1＜x2，
则f(x1)－f(x2)＝(－2x1＋m)－(－2x2＋m)＝2(x2－x1)，
∵x1＜x2，∴x2－x1＞0.∴f(x1)＞f(x2)．
∴函数f(x)在R上是减函数．
(2)解：∵函数f(x)是奇函数，
∴对任意x∈R，有f(－x)＝－f(x)．
∴2x＋m＝－(－2x＋m)．∴m＝0.
17. 答案：解：(1)设f(x)＝k1x，g(x)＝，其中k1k2≠0.
∵f(1)＝1，g(1)＝2，∴k1×1＝1，＝2，
∴k1＝1，k2＝2.∴f(x)＝x，g(x)＝.
(2)设h(x)＝f(x)＋g(x)，则h(x)＝x＋，
∴函数h(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．
∵h(－x)＝－x＋＝－h(x)，
∴函数h(x)是奇函数，即函数f(x)＋g(x)是奇函数．
(3)由(2)知h(x)＝x＋，设x1，x2是(0，]上的任意两个实数，且x1＜x2，则h(x1)－h(x2)＝＝(x1－x2)＋
＝(x1－x2)，
∵x1，x2(0，]，且x1＜x2，
∴x1－x2＜0,0＜x1x2＜2.
∴x1x2－2＜0，(x1－x2)(x1x2－2)＞0.
∴h(x1)＞h(x2)．
∴函数h(x)在(0，]上是减函数，函数h(x)在(0，]上的最小值是h()＝，
即函数f(x)＋g(x)在(0，]上的最小值是.数学人教A必修1模块综合检测
(时间：120分钟，满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．已知全集U＝{0,1,2,3,4}，集合A＝{1,2,3}，B＝{2,4}，则()∪B为( )
A．{1,2,4} B．{2,3,4}
C．{0,2,4} D．{0,2,3,4}
2．函数的定义域为( )
A．(－1,4) B．(－1,0)∪(0,4]
C．[－1,4] D．(－1,4]
3．已知则f(f(f(3)))的值等于( )
A．0 B．π
C．π2 D．9
4．已知a＝21.2，，c＝2log52，则a，b，c的大小关系为( )
A．c＜b＜a B．c＜a＜b
C．b＜a＜c D．b＜c＜a
5．函数的零点个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
6．设U为全集，B∩()＝B，则A∩B为( )
A．A B．B
C． D．
7．已知函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，当x∈(－1,0)时，有f(x)＝2x，则当x∈(－3，－2)时，f(x)等于( )
A．2x B．－2x
C．2x＋2 D．－2－(x＋2)
8．某厂A种产品的产量第2年、第3年的增长率分别为p，q，则这两年的平均增长率为( )
A． B．
C． D．
9．设集合A到B的映射为f1：x→y＝2x＋1，集合B到C的映射为f2：y→z＝y2－1，则集合C中的元素0与A中对应的元素是( )
A．0 B．－1
C．0或－1 D．0或1
10．某地区植被被破坏后，土地沙漠化越来越严重，据测，最近三年该地区的沙漠增加面积分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷，若沙漠增加面积y万公顷是关于年数x的函数关系，则此关系用下列哪个函数模拟比较好( )
A． B．
C． D．y＝0.2＋log16x
11．函数y＝log2|1－x|的图象是( )
12．当时，4x＜logax，则a的取值范围是( )
A． B．
C．(1，) D．(，2)
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分)
13．已知点在幂函数y＝f(x)的图象上，则f(－2)＝__________.
14．设偶函数f(x)在(0，＋∞)上为减函数，且f(2)＝0，则不等式的解集为__________．
15．方程log3(1－2×3x)＝2x＋1的解x＝________.
16．下列说法中：
①函数的反函数是y＝－log2x；
②若函数f(x)满足f(x＋1)＝2x，则f(x)＝2x＋2；
③若函数f(x)的定义域是[－1,3]，则函数f(2x－1)的定义域是[0,2]；
④不等式log3(x＋1)＞log3(2x－3)的解集是(－∞，4)．
正确的是__________．
三、解答题(本大题共6小题，17～21题每小题12分，22题14分，共74分)
17．(12分)不用计算器求下列各式的值：
(1) ；
(2) .
18．(12分)已知集合A＝{x|x＜－3或x≥2}，B＝{x|x≤a－3}．
(1)当a＝2时，求(A)∩B；
(2)若A∩B＝B，求实数a的取值范围．
19．(12分)已知函数f(x)＝－＋5，x∈[2,4]，求f(x)的最大值及最小值．
20．(12分)对于函数 (a∈R)．
(1)探讨函数f(x)的单调性；
(2)是否存在实数a，使函数f(x)为奇函数．
21．(12分)某市有甲、乙两家乒乓球俱乐部，两家设备和服务都很好，但收费方式不同．甲家每张球台每小时5元；乙家按月计费，一个月中30小时以内(含30小时)每张球台90元，超过30小时的部分每张球台每小时2元．小张准备下个月从这两家中的一家租一张球台开展活动，其活动时间不少于15小时，但不超过40小时．设在甲家租一张球台开展活动x小时的收费为f(x)元(15≤x≤40)，在乙家租一张球台开展活动x小时的收费为g(x)元(15≤x≤40)．
(1)求f(x)和g (x)；
(2)问：小张选择哪家比较合算？为什么？
22．(14分)已知函数f(x)＝x2－4x＋a＋3，g(x)＝mx＋5－2m.
(1)若函数y＝f(x)在区间[－1,1]上存在零点，求实数a的取值范围；
(2)当a＝0时，若对任意的x1∈[1,4]，总存在x2∈[1,4]，使f(x1)＝g(x2)成立，求实数m的取值范围．
参考答案
1答案：C
2答案：B
3答案：C
4答案：A
5答案：B
6答案：D
7答案：C
8答案：D
9答案：C
10答案：C
11答案：D
12答案：B
13答案：－8
14答案：(－∞，－2)∪(0,2)
15答案：－1
16答案：①③
17答案：解：(1)原式＝
＝
＝
＝.
(2)原式＝＋lg(25×4)＋2
＝.
18答案：解：(1)当a＝2时，B＝{x|x≤－1}．
又A＝{x|x＜－3或x≥2}，
∴A＝{x|－3≤x＜2}．
∴(A)∩B＝{x|－3≤x＜2}∩{x|x≤－1}＝{x|－3≤x≤－1}．
(2)∵A∩B＝B，∴BA.
∵A＝{x|x＜－3或x≥2}，B＝{x|x≤a－3}，
∴a－3＜－3，即a＜0.
所以，若A∩B＝B，则实数a的取值范围是a＜0.
19答案：解：令，∵x∈[2,4]，在定义域内递减，则有，
即－1≤≤，∴t∈.
∴f(t)＝t2－t＋5＝，t∈.
∴f(t)在上是减函数．
∴当时，f(x)取最小值；
当t＝－1时，f(x)取最大值为7.
20答案：解：(1)设x1＜x2，
则f(x1)－f(x2)＝－－＋
＝－＝
＝.
∵x1＜x2，∴＜，即－＞0.
又＋1＞0,＋1＞0.
∴f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)．
∴函数f(x)在定义域上是减函数．
(2)假设f(x)是奇函数，则f(x)＋f(－x)＝0.
即
＝，∴a＝1.
∴存在实数a＝1，使f(x)是奇函数．
21答案：解：(1)f(x)＝5x(15≤x≤40)；
g(x)＝
(2)由f(x)＝g(x)，得
或
即x＝18或x＝10(舍)．
当15≤x＜18时，
f(x)－g(x)＝5x－90＜0，
∴f(x)＜g(x)，即选甲家，
当x＝18时，f(x)＝g(x)，即可以选甲家也可以选乙家．
当18＜x≤30时，
f(x)－g(x)＝5x－90＞0，
∴f(x)＞g(x)，即选乙家．
当30＜x≤40时，
f(x)－g(x)＝5x－(2x＋30)＝3x－30＞0，
∴f(x)＞g(x)，即选乙家．
综上所述：当15≤x＜18时，选甲家；
当x＝18时，可以选甲家也可以选乙家；
当18＜x≤40时，选乙家．
22答案：解：(1)∵f(x)＝x2－4x＋a＋3＝(x－2)2＋a－1，
∴函数f(x)图象的对称轴为直线x＝2，要使f(x)在[－1,1]上有零点，其图象如图，
则即∴－8≤a≤0.
所以所求实数a的取值范围是[－8,0]．
(2)当a＝0时，f(x)＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1.
∴当x∈[1,4]时，f(x)∈[－1,3]，记A＝[－1,3]．
由题意知m≠0.
当m＞0时，g(x)＝mx＋5－2m在[1,4]上是增函数，∴g(x)∈[5－m,5＋2m]，记B＝[5－m,5＋2m]．
由题意，知AB.
∴解得m≥6.
当m＜0时，g(x)＝mx＋5－2m在[1,4]上是减函数，∴g(x)∈[5＋2m,5－m]，记C＝[5＋2m,5－m]．
由题意，知AC.
∴解得m≤－3.
综上所述，实数m的取值范围是(－∞，－3]∪[6，＋∞)．
