§4 对数
4.1 对数及其运算
问题导学
一、指数式与对数式的互化
活动与探究1
将下列指数式与对数式互化：
(1)log216＝4；(2)；
(3)；(4)43＝64；
(5)3－2＝；(6)－2＝16.
迁移与应用
把下列各等式转化为相应的对数式或指数式：
(1)53＝125；(2)；(3)；
(4)ln x＝；(5)lg a＝5.
对数式和指数式互化的主要依据是关系式ab＝N等价于b＝logaN(a＞0，且a≠1，N＞0)，互化时，注意以下问题：
(1)指数式与对数式在满足底数大于0且不等于1时，可以相互转化．
(2)把指数式改写成对数式时，指数式的底数在对数式中仍然位于底数位置，指数式的指数变为对数式中的对数，指数式中的幂值变为对数式中的真数．
(3)在进行指数式与对数式的互化时，一定要保证对数式中的真数大于0.
(4)注意常用对数与自然对数的表示方法．
二、对数基本性质及对数恒等式的应用
活动与探究2
求下列各式的值：
(1)lg 1；(2)ln；(3)log327；(4)；(5).
迁移与应用
计算：(1)log2(log5x)＝0，则x＝______；
(2)______；
(3)______.
1．利用对数的定义可以求对数值，这时通常是先将对数式化为指数式，再利用指数的有关运算转化为同底数的幂的形式，从而列出方程，求出结果．
2．利用对数的基本性质求值
(1)1的对数等于0，即loga1＝0；
(2)底的对数等于1，即logaa＝1(a＞0，a≠1)．
3．利用对数恒等式求值
在计算含有形如“”的题目时，首先借助指数幂的运算性质，使其变形为，然后借助对数恒等式及指数幂的运算求值．
三、利用对数的运算性质化简、求值
活动与探究3
计算下列各式的值：
(1)log85－log840；
(2)log2＋log212－log242；
(3)lg 52＋lg 8＋lg 5·lg 20＋lg22.
迁移与应用
求下列各式的值：
(1)log64＋log69；
(2)4lg 2＋3lg 5－lg ；
(3)lg25＋lg 2·lg 5＋lg 2.
对数式化简求值常用的方法与技巧：
(1)对于同底对数的化简方法：
①将同底的两个对数的和(差)化为积(商)的对数；
②将积、商的对数拆成对数的和(差)；
③把真数化成最简；
④把数与对数的乘积写成幂的形式，逆用运算性质．
(2)对真数中含有多重根号的对数式的化简，应从内到外逐层化简．
(3)对于常用对数的化简要充分利用“lg 2＋lg 5＝1”、“lg 2＝1－lg 5”、“lg 5＝1－lg 2”来解题．
当堂检测
1．下列指数式与对数式的互化不正确的一组是( )．
A．100＝1与lg 1＝0
B．与log27＝－
C．log39＝2与
D．log55＝1与51＝5
2．下列等式成立的有( )．
①lg＝－2 ②log33＝ ③ ④eln e＝1 ⑤3lg 3＝3 ⑥5ln 5＝5
A．①②③ B．①②③④
C．①②③④⑤ D．①②③④⑤⑥
3．log8＋log8等于( )．
A．1 B．－1
C．8 D．
4．若log3(x2＋1)＝1，则x＝__________.
5．＝__________.
提示：用最精炼的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记。
答案：
课前预习导学
【预习导引】
1．logaN＝b 底数 真数
预习交流1 提示：指数式ab＝N与对数式b＝logaN(a＞0，a≠1，N＞0)是等价的，它们表达的是a，b，N三者之间的同一种关系．但字母a，b，N在两个式子中的名称是不相同的(如下表)：
式子 名称
a x N
指数式 ax＝N 底数 指数 幂
对数式 x＝logaN 底数 对数 真数
预习交流2 提示：
a不能取的值 原因
a＜0 N取某些值时，logaN不存在，如根据指数的运算性质可知，不存在实数x使x＝2成立，所以不存在，所以a不能小于0.
a＝0 N≠0时，不存在实数x使ax＝N，无法定义logaN.
N＝0时，任意非零正实数x，有ax＝N成立，logaN不确定．
a＝1 N≠1，logaN不存在．
N＝1，loga1有无数个值，不能确定.
2．(1)零和负数 N (2)0 loga1＝0 (3)1 logaa＝1 (4)
预习交流3 提示：在logaN＝b中，必须N＞0，这是由于在实数范围内，正数的任何次幂都是正数，因而ab＝N中，N总是正数．
3．10 lg N e ln N
4．(1)logaM＋logaN (2)nlogaM (3)logaM－logaN
预习交流4 提示：不一定成立．
课堂合作探究
【问题导学】
活动与探究1 迁移与应用 1.思路分析：由题目可知：(1)(2)(3)是对数式，(4)(5)(6)是指数式，可以利用指数式与对数式的关系进行转化．
解：(1)∵log216＝4，∴24＝16.
(2)∵＝－3，∴－3＝27.
(3)∵，∴()6＝x.
(4)∵43＝64，∴log464＝3.
(5)∵3－2＝，∴log3＝－2.
(6)∵－2＝16，∴.
迁移与应用 解：(1)∵53＝125，
∴log5125＝3.
(2)∵，∴－3＝8.
(3)∵，∴log4＝－.
(4)∵ln x＝，∴x＝.
(5)∵lg a＝5，∴a＝105.
活动与探究2 思路分析：对数的求值问题，可考虑利用对数的基本性质、指数式与对数式的互化以及对数恒等式求解．
解：(1)∵100＝1，∴lg 1＝0.
(2)设ln＝x，则有ex＝，即ex＝.
因此x＝，即ln＝.
(3)设log327＝x，则由指数式和对数式的关系可得3x＝27，即3x＝33，所以x＝3.
(4)原式＝＝.
(5)原式＝＝.
迁移与应用 (1)5 (2)18 (3)
解析：(1)∵log2(log5x)＝0，∴log5x＝1，∴x＝5.
(2)原式＝3·＝3×6＝18.
(3)原式＝÷＝÷2＝.
活动与探究3 思路分析：利用对数的运算性质进行计算，特别注意这些性质公式的逆用．
解：(1)log85－log840＝log8＝log8
＝log88－1＝－1.
(2)原式＝log2＝log2＝－.
(3)原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5×(1＋lg 2)＋(lg 2)2
＝2(lg 5＋lg 2)＋lg 5＋lg 2(lg 5＋lg 2)
＝2＋lg 5＋lg 2＝2＋1＝3.
迁移与应用 解：(1)log64＋log69＝log6(4×9)＝log636＝2.
(2)原式＝lg＝lg(24×54)＝lg(2×5)4＝4.
(3)原式＝lg 5(lg 5＋lg 2)＋lg 2
＝lg 5·lg(5×2)＋lg 2＝lg 5＋lg 2＝lg 10＝1.
【当堂检测】
1．C
2．A 解析：④中eln e＝e，⑤⑥中指数式的底数和对数式中的底数不相等．
3．B 解析：log8＋log8＝log8＝log8＝－log88＝－1.
4．± 解析：由已知可得x2＋1＝3，因此x2＝2，即x＝±.
5．1 解析：原式＝＝＝1.2.2 指数运算的性质
问题导学
一、利用指数的运算性质化简、求值
活动与探究1
计算或化简．
(1)a3b2(2ab－1)3；
(2)；
(3)÷(a＞0)．
迁移与应用
(1)已知m＞0，则＝( )．
A．m
B．
C．1
D．
(2)化简：4÷；
(3)计算：.
在进行指数及根式的运算时，要熟练掌握指数的运算性质，并能灵活运用，要注意以下几点：
(1)有括号先算括号里的，无括号先做指数运算．
(2)负指数幂化为正指数幂的倒数．
(3)底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先化成假分数．
(4)含有根式时，通常先将根式转化为分数指数幂再运算．
(5)尽可能用幂形式表示．
二、条件求值问题
活动与探究2
已知，求下列各式的值：
(1)a＋a－1；(2)a－a－1；(3).
迁移与应用
1．已知2x－2－x＝2，则8x的值为__________．
2．已知a＋a－1＝5，求a2＋a－2，，.
对“条件求值”问题，一定要弄清已知与未知的联系，然后采取“整体代换”或“求值后代换”两种方法求值．要注意正确地变形，注意完全平方公式、平方差公式、立方差公式的应用．还要注意开方时的取值的符号问题．
当堂检测
1．下列运算结果中，正确的是( )．
A．a2·a3＝a6 B．(－a2)3＝(－a3)2
C．(－1)0＝1 D．(－a2)3＝－a6
2．如果x＞y＞0，则等于( )．
A． B．
C．y－x D．x－y
3．计算的结果是( )．
A．－3 B．3
C．－ D．
4．已知m＋＝4，则m2＋m－2等于__________．
5．化简：·÷(a≠0，b≠0)．
提示：用最精炼的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记。
答案：
课前预习导学
【预习导引】
1．(1)am＋n (2)amn (3)anbn
预习交流 提示：不一定．如是不成立的，这是因为＝6，而与均无意义．
课堂合作探究
【问题导学】
活动与探究1 思路分析：先算乘方，开方，再算乘除，最后进行加减运算，含有根式时，应先化为分数指数幂，再根据指数幂的运算性质计算．
解：(1)原式＝a3b223a3b－3＝8a6b－1.
(2)原式＝－1＋(－2)－4＋2－3＋＝(0.4)－1－1＋＋＋0.1＝.
(3)原式＝
＝＝a0＝1.
迁移与应用 (1)A 解析：由于m＞0，所以＝m1＝m.
(2)解：原式＝＝.
(3)解：原式＝
＝0.3＋2－3＋2－2－2－3
＝0.3＋0.25
＝0.55.
活动与探究2 思路分析：从已知条件中解出a的值，然后再代入求值，这种方法是不可取的，应设法从整体上寻找求值代数式与条件的联系，进而整体代入求值．
解：(1)将两边平方，
得a＋a－1＋2＝9，
即a＋a－1＝7.
(2)将a＋a－1＝7两边平方，有a2＋a－2＋2＝49.
所以a2＋a－2＝47.
又因为(a－a－1)2＝a2＋a－2－2＝47－2＝45，
所以a－a－1＝±＝±3.
(3)由于，
所以有
＝a＋a－1＋1＝8.
迁移与应用 1.7＋5 解析：由已知条件，可解得2x＝＋1，于是8x＝(2x)3＝(＋1)3＝7＋5.
2．解：∵由a＋a－1＝5，得(a＋a－1)2＝25，
∴a2＋a－2＝23.
∵＞0，又＝a＋a－1＋2＝7，
∴＝.
∵＝a＋a－1－2＝3，
∴＝±.
【当堂检测】
1．D 2.C
3．B 解析：＝31＝3.
4．14 解析：由m＋＝4，得2＝16，即m2＋m－2＋2＝16，因此m2＋m－2＝14.
5．解：原式＝
＝
＝＝a0b0＝1.2．2 指数运算的性质
1．掌握幂的运算性质．
2．能够熟练地进行指数的运算．
指数幂的运算性质
当a＞0，b＞0时，对任意实数m，n都满足以下三条：
(1)am·an＝________________________；
(2)(am)n＝________________________；
(3)(ab)n＝______________________.
指数幂运算性质的语言叙述为：
(1)两个同底数的幂相乘，底数不变，指数相加；
(2)幂的乘方，底数不变，指数相乘；
(3)两个实数积的幂等于它们幂的积．
【做一做1－1】 计算：3×＝__________.
【做一做1－2】 计算：100－＝__________.
答案：(1)am＋n (2)amn (3)anbn
【做一做1－1】 9 .
【做一做1－2】 －
为什么指数幂运算性质中规定了a＞0，b＞0
剖析：这是由分数指数幂的定义决定的，因为我们规定a＞0时a＝表示一个根式，负数的分数指数幂的意义并没有定义，指数幂的运算性质不作这样的限制的话，就会出现运算上的错误．
例如：－2＝＝(－8)＝(－8)＝＝＝2.显然这是错误的．
题型一 根式的运算
【例1】 求下列各式的值：
(1)；
(2)；
(3)(－)÷；
(4)(a＞0)．
分析：将根式化为分数指数幂形式，利用分数指数幂的运算性质计算是根式运算中经常采用的方法．
反思：对于既含有分数指数幂，又含有根式的式子，一般把根式统一化成分数指数幂的形式，以便于计算．如果根式中的根指数不同，也应化成分数指数幂的形式．
题型二 指数幂(根式)的运算
【例2】 计算下列各式：
(1)(0.064)－0＋[(－2) 3]＋16－0.75＋|－0.01|；
(2)÷(a＞0)．
分析：(1)将负分数指数化为正分数指数，将小数指数化为分数指数．
(2)将根式化为分数指数幂．
反思：进行分数指数幂的运算要熟练掌握分数指数幂的运算性质，并灵活运用．一般地，进行指数幂运算时，化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数运算，同时还要注意运算顺序问题．
题型三 条件求值问题
【例3】已知，求下列各式的值：
(1)a＋a－1；(2)a2＋a－2；(3)a2－a－2.
分析：解答本题可从整体上寻求各式与条件的联系，进而整体代入求值．
反思：1.条件求值是代数式求值中的常见题型，一般要结合已知条件先化简再求值，另外要特别注意条件的应用，如条件中的隐含条件、整体代入等，可以简化解题过程．本题若通过解出a的值代入求值则非常复杂．
2．解决此类问题的一般步骤是：
答案：【例1】 解：(1)原式＝|3－π|＝π－3；
(2)原式＝
；
(3)原式＝
；
(4)原式＝.
【例2】 解：(1)原式＝[(0.4)3]－1＋(－2)－4＋(24)－0.75＋[(0.1)2]＝(0.4)－1－1＋＋＋0.1＝.
(2)原式＝.
【例3】 解：(1)将的两边平方，
得a＋a－1＋2＝5，即a＋a－1＝3.
(2)由a＋a－1＝3，两边平方，得a2＋a－2＋2＝9，
∴a2＋a－2＝7.
(3)设y＝a2－a－2，两边平方，得
y2＝a4＋a－4－2＝(a2＋a－2)2－4＝72－4＝45.
∴y＝±3，即a2－a－2＝±3.
1 下列各式运算错误的是( )．
A．(－a2b)2· (－ab2)3＝－a7b8
B．(－a2b3)3÷(－ab2)3＝a3b3
C．(－a3)2·(－b2)3＝a6b6
D．[(a3)2·(－b2)3]3＝－a18b18
2 把根式改写成分数指数幂的形式为( )．
A． B．
C． D．
3 化简的结果是( )．
A． B．
C. D．
4 ()()÷()＝__________.
5 计算的值．
答案：1．C 2.A
3．B .故选B.
4．4a 原式＝2×(－6)÷(－3).
5．解：原式＝
＝0.4－1＋1＋27＋.5．2 对数函数y＝log2x的图像和性质
1．理解对数函数的概念．
2．了解对数函数和指数函数互为反函数．
3．会用描点法和变换法画函数y＝log2x的图像．
4．掌握函数y＝log2x的性质．
1．对数函数
(1)定义：一般地，我们把函数y＝logax(a＞0，a≠1)叫作对数函数，a叫作对数函数的______，x是________，定义域是________，值域是______．
①由于指数函数y＝ax中的底数a满足a＞0，a≠1，则对数函数y＝logax中的底数a也必须满足a＞0，a≠1.
②对数函数的解析式同时满足：对数符号前面的系数是1；对数的底数是不等于1的正实数；对数的真数仅有自变量x.
(2)两类特殊的对数函数
常用对数函数：y＝lg x，其底数为________________．
自然对数函数：y＝ln x，其底数为无理数______________．
【做一做1－1】 下列为对数函数的是( )．
A．y＝log1x B．y＝3log21x
C．y＝log19(x＋1) D．y＝log32x
【做一做1－2】 函数y＝log2x的定义域是( )．
A．(0，＋∞) B．[0，＋∞)
C．(－∞，0) D．R
2．反函数
对数函数y＝logax(a＞0，a≠1)和指数函数y＝______(a＞0，a≠1)互为反函数．
【做一做2】 写出下列函数的反函数．
(1)y＝； (2)y＝3x.
3．函数y＝log2x的图像
(1)图像：如图所示．
(2)画法：描点法和变换法(通常用描点法)．
【做一做3】 (2010四川高考，文2)函数y＝log2x的图像大致是( )．
4．函数y＝log2x的性质
(1)过点(1,0)，即x＝1时，y＝____________.
(2)函数图像都在y轴右边，表示________和__________没有对数．
(3)当x＞1时，图像位于x轴上方，说明当x＞1时，y＞________；
当0＜x＜1时，图像位于x轴____方，说明当0＜x＜1时，y＜0.
(4)图像是上升的，说明函数y＝log2x在(0，＋∞)上是__________．
【做一做4－1】 函数f(x)＝log2x，且f(m)＞0，则m的取值范围是( )．
A．(0，＋∞) B．(0,1) C．(1，＋∞) D．R
【做一做4－2】 已知函数f(x)＝log2x，则( )．
A．f(3)＞0，f＜0 B．f(3)＞0，f＞0
C．f(3)＜0，f＞0 D．f(3)＜0，f＜0
答案：1．(1)底数 自变量 (0，＋∞) R (2)10 e
【做一做1－1】 D
【做一做1－2】 A
2．ax
【做一做2】 解：(1)y＝的反函数是y＝x；
(2)y＝3x的反函数是y＝log3x.
【做一做3】 C 函数y＝log2x的图象恒过点(1,0)，且单调递增，故选C.
4．(1)0 (2)零 负数 (3)0 下 (4)增函数
【做一做4－1】 C
【做一做4－2】 A ∵3＞1,0＜＜1，
∴f(3)＞0，f＜0.
如何正确理解对数函数的定义？
剖析：(1)同指数函数一样，对数函数仍然采用形式定义，如y＝2log2x，y＝log2x2等都不是对数函数，只有y＝logax(a＞0，a≠1)才是对数函数．
(2)由于指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)的定义域是R，值域为(0，＋∞)，再根据对数式与指数式的互化过程知道，对数函数y＝logax(a＞0，a≠1)的定义域为(0，＋∞)，值域为R，它们互为反函数，它们的定义域和值域互换，指数函数y＝ax的图像过(0,1)点，故对数函数图像必过(1,0)点．
题型一 判断对数函数
【例1】 下面是对数函数的是__________．
(1)y＝log4x；(2)y＝logx4；(3)y＝log4(x＋1)；(4)y＝log(－4)x.
反思：判断对数函数时，要紧扣对数函数满足的三个条件，缺一不可．
题型二 求反函数
【例2】 写出下列函数的反函数：
(1)y＝log0.13x； (2)y＝3.05x.
反思：函数y＝logax的反函数是y＝ax(a＞0，a≠1)；函数y＝ax的反函数是y＝logax(a＞0，a≠1)．
题型三 根据对数函数的图像讨论其性质
【例3】 已知函数y＝log3x，
(1)画出其图像；
(2)根据图像写出其性质．
分析：(1)利用描点法画出图像；(2)根据函数的图像与性质的对应关系写出性质．
反思：描点法画函数的图像是最基本的画函数图像的方法．根据图像写出函数的性质是一种识图能力，在平常的学习中要加强这方面的训练．
答案：【例1】 (1) 解析：根据对数函数的概念知：
(1)函数y＝log4x是对数函数；
(2)函数y＝logx4的底数是自变量x，不是常数，故不是对数函数；
(3)函数y＝log4(x＋1)的真数是x＋1，不是自变量x，故不是对数函数；
(4)函数y＝log(－4)x的底数是负数，故不是对数函数．
【例2】 解：(1)y＝log0.13x的反函数是y＝0.13x.
(2)y＝3.05x的反函数是y＝log3.05x.
【例3】 解：(1)列表.
x … 1 3 9 …
y＝log3x … －2 －1 0 1 2 …
描点、连线得函数y＝log3x的图像．
(2)性质：
①过点(1,0)，即当x＝1时，y＝0.
②函数图像都在y轴右边，表示零和负数没有对数．
③当x＞1时，图像位于x轴上方，说明当x＞1时，y＞0；
当0＜x＜1时，图像位于x轴下方，说明当0＜x＜1时，y＜0；
④图像是上升的，即函数y＝log3x在(0，＋∞)上是增函数．
1 已知函数y＝log2x，当x＞1时，则( )．
A．y＜0 B．y＞0
C．y＝0 D．y的符号不确定
2 (2010浙江高考，文2)已知函数f(x)＝log2(x＋1)，若f(α)＝1，则α＝( )．
A．0 B．1 C．2 D．3
3 已知f(x)＝log3x，则等于( )．
A．2 B．－2
C. D．
4 函数y＝lg(2x＋1)的定义域是________．
5 判断下列函数是否为对数函数：
(1)y＝2log3x；
(2)y＝log3(x－1)；
(3)y＝log2x2.
答案：1．B
2．B ∵f(α)＝log2(α＋1)＝1，∴α＋1＝2.∴α＝1.
3．B
4. 由题意得2x＋1＞0，解得x＞.
5．解：(1)中对数符号前面的系数是2，不是1，故不是对数函数；
(2)中函数的真数多了－1，故不是对数函数；
(3)中x的指数应为1，故不是对数函数．§2 指数扩充及其运算性质
2.1 指数概念的扩充
问题导学
一、分数指数幂概念的理解
活动与探究1
(1)中x的取值范围是__________．
(2)把下列各式中的a(a＞0)写成分数指数幂的形式：
①a3＝54；②a3＝(－2)8；③a－3＝104m(m∈N＋)．
迁移与应用
用分数指数幂表示下列各式中的b(b＞0)：
(1)b5＝32；(2)b4＝(－3)2；(3)b－2＝18.
分数指数幂是一个实数，且b＝ bn＝am，其中a，b均为正数，m，n∈Z，且m，n互素．
二、分数指数幂与根式的互化
活动与探究2
(1)将各式化为根式：①；②；③.
(2)将各式化为分数指数幂：①；②；③.
迁移与应用
下列是根式的化成分数指数幂，是分数指数幂的化成根式的形式：
(1)；(2)(a≥0)．
根式与分数指数幂互化的关键与技巧
(1)关键：解决根式与分数指数幂的相互转化问题的关键在于灵活应用＝(a＞0，m，n∈N＋)．
(2)技巧：当表达式中的根号较多时，要搞清被开方数，由里向外用分数指数幂的形式写出来，然后再利用相关的运算性质进行化简．
三、求指数幂的值
活动与探究3
计算：(1)；(2)；(3).
迁移与应用
计算：
(1)－4；(2)0；(3)(0.01)－0.5；
(4)；(5)；(6).
分数指数幂不表示相同因式的乘积，而是根式的另一种写法．将分数指数幂写成根式的形式，用熟悉的知识去理解新概念是关键．
当堂检测
1．将写成根式，正确的是( )．
A． B． C． D．
2．b4＝3(b＞0)，则b等于( )．
A．34 B． C．43 D．35
3．式子－70的值等于( )．
A．－4
B．－10
C．2
D．3
4．把下列各式中的正实数x写成根式的形式：
(1)x2＝3；(2)x7＝53；(3)x－2＝d9.
5．求值：(1)；(2)；(3).
提示：用最精炼的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记。
答案：
课前预习导学
【预习导引】
1．bn＝am
预习交流1 提示：不能．分数指数幂不表示个a相乘，而是关于b的方程bn＝am的解．
预习交流2 提示：可以，因为有理数都可以写成分数的形式．
2．(1) (2) (3)0 没有意义
预习交流3 提示：(1) 若a＝0,0的正分数指数幂恒等于0，即＝＝0，无研究的价值．
(2)若a＜0，＝不一定成立，如＝无意义，故为了避免上述情况规定了a＞0.
预习交流4 提示：根指数对应分数指数中的分母，被开方数的指数对应分数指数中的分子．
3．(1)实数
课堂合作探究
【问题导学】
活动与探究1 思路分析：根据分数指数幂的定义进行求解．
(1){x|x＞1} 解析：依题意x－1＞0，解得x＞1.
(2)解：①；
②，即；
③.
迁移与应用 解：(1)；(2)b4＝(－3)2＝32＝9，所以；(3).
活动与探究2 思路分析：利用公式＝以及进行互化．
解：(1)①＝.
②＝.
③＝.
(2)①＝.
②＝＝x2.
③＝.
迁移与应用 解：(1)＝.
(2)＝.
活动与探究3 思路分析：将分数指数幂化为根式，再求值．
解：(1)＝＝；
(2)＝＝＝4；
(3)＝＝.
迁移与应用 解：(1)16；(2)1；(3)10；(4)；(5)16；(6).
【当堂检测】
1．D
2．B
3．C 解析：－70＝－1＝3－1＝2.
4．解：(1)x＝＝；
(2)x＝＝；
(3)x＝＝.
5．解：(1)∵102＝100，
∴＝10.
(2)∵2＝9－3，∴＝.
(3)∵274＝－3，∴＝27.§6 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较
问题导学
一、比较函数增长的差异
活动与探究1
分析指数函数y＝2x与对数函数y＝log2x在区间[1，＋∞)上的增长情况．
迁移与应用
下列所给函数，增长最快的是( )．
A．y＝5x B．y＝x5
C．y＝log5x D．y＝5x
活动与探究2
已知函数f(x)=2x和g(x)=x3的图像如图，设两个函数的图像相交于点A(x1，y1)和B(x2，y2)，且x1＜x2.
(1)请指出图中曲线C1，C2分别对应哪一个函数；
(2)若x1∈[a，a+1]，x2∈[b，b+1]，且a，b∈{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}，指出a，b的值，并说明理由．
迁移与应用
以下是三个函数y1，y2，y3随x变化的函数值列表：
x 1 2 3 4 5 6 7 8 …
y1 3 9 27 81 243 729 2 187 6 561 …
y2 1 8 27 64 125 216 343 512 …
y3 0 0.630 1 1.261 1.465 1.630 1.771 1.892 …
其中关于x成指数函数变化的函数是__________．
比较不同函数增长快慢时，一方面要熟记指数函数、对数函数、幂函数的不同增长特点；另一方面，要善于运用图像，根据图像特点来分析和比较函数的增长速度．一般地，(1)随着自变量的增大，图像最“陡”的函数是指数函数．(2)图像趋于平缓的函数是对数函数．(3)介于两者之间的是幂函数．
二、比较大小问题
活动与探究3
比较下列各组数的大小：
(1) ，；(2)0.32，log20.3,20.3.
迁移与应用
1．三个数60.7,0.76，log0.76的大小顺序是( )．
A．0.76＜log0.76＜60.7 B．0.76＜60.7＜log0.76
C．log0.76＜60.7＜0.76 D．log0.76＜0.76＜60.7
2．试比较a＝20.3，b＝0.32，c＝logx(x2＋0.3)(x＞1)的大小．
解决这类题目的关键在于构造恰当的函数，若指数相同而底数不同，则考虑幂函数；若指数不同而底数相同，则考虑指数函数；若底数不同，指数也不同，需引入中间量，利用幂函数与指数函数的单调性，也可以借助幂函数与指数函数的图像．
当堂检测
1．下面对函数f(x)＝与g(x)＝在区间(0，＋∞)上的增减情况的说法中正确的是( )．
A．f(x)的增减速度越来越慢，g(x)的增减速度越来越快
B．f(x)的增减速度越来越快，g(x)的增减速度越来越慢
C．f(x)的增减速度越来越慢，g(x)的增减速度越来越慢
D．f(x)的增减速度越来越快，g(x)的增减速度越来越快
2．当x越来越大时，下列函数中，增长速度最快的应该是( )．
A．y＝100x B．y＝log100x
C．y＝x100 D．y＝100x
3．已知函数f(x)＝3x，g(x)＝2x，当x∈R时，有( )．
A．f(x)＞g(x)
B．g(x)＞f(x)
C．f(x)≥g(x)
D．g(x)≥f(x)
4．函数y1＝2x与y2＝x2，当x＞0时，图像的交点个数是( )．
A．0 B．1
C．2 D．3
5．当＜a＜1时，若x＝log2a，y＝log3a，z＝－2a，那么x，y，z之间的大小关系是__________．
提示：用最精炼的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记。
答案：
课前预习导学
【预习导引】
大 小 大
预习交流 提示：存在，因为函数y＝ax(a＞1)，y＝logax(a＞1)，y＝xn(n＞0)在区间(0，＋∞)上都是增加的，但随着x的增大，y＝ax(a＞1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝xn(n＞0)的增长速度，而y＝logax(a＞1)的增长速度则会越来越慢，因此，总会存在一个x0，使得当x＞x0时，恒有logax＜xn＜ax.
课堂合作探究
【问题导学】
活动与探究1 思路分析：解答本题时，应分析对于相同自变量的增量，比较指数函数的增量与对数函数的增量的差异．
解：指数函数y＝2x，当x由x1＝1增加到x2＝3时，Δx＝2，Δy＝23－21＝6；
对数函数y＝log2x，当x由x1＝1增加到x2＝3时，Δx＝2，而Δy＝log23－log21≈1.585 0.
由此可知，在区间[1，＋∞)内，指数函数y＝2x随着x的增长，函数值的增长速度逐渐加快，而对数函数y＝log2x的增长速度逐渐变得很缓慢．
迁移与应用 D
活动与探究2 思路分析：(1)由指数函数和幂函数不同的增长速度可判断曲线对应的函数；(2)通过计算比较函数值的大小关系，求出a，b的值．
解：(1)根据指数函数与幂函数的增长速度知：C1对应函数g(x)＝x3，C2对应函数f(x)＝2x.
(2)依题意知x1和x2是使两个函数的函数值相等的自变量x的值．当x＜x1时，2x＞x3，即f(x)＞g(x)；
当x1＜x＜x2时，f(x)＜g(x)；
当x＞x2时，f(x)＞g(x)．
由于f(1)＝2，g(1)＝1，f(2)＝22＝4，g(2)＝23＝8，
所以x1∈[1,2]，即a＝1；
又因为f(8)＝28＝256，g(8)＝83＝512，
f(8)＜g(8)，f(9)＝29＝512，
g(9)＝93＝729，f(9)＜g(9)．
f(10)＝210＝1 024，g(10)＝103＝1 000，f(10)＞g(10)，所以x2∈[9,10]，即b＝9.
迁移与应用 y1 解析：指数函数中的增长量是成倍增加的，函数y1中增长量分别为6,18,54,162,486，1 458，4 374，…，是成倍增加的，因而y1呈指数变化．
活动与探究3 思路分析：先观察各组数值的特点，然后考虑构造适当的函数，利用函数的性质或图像进行求解．
解：(1)∵函数y1＝x为R上的减函数，又＞，∴.
又函数y2＝在(0，＋∞)上是增加的，且＞，
∴.∴.
(2)令函数y1＝x2，y2＝log2x，y3＝2x.在同一坐标系内作出上述三个函数的图像如图，然后作直线x＝0.3，此直线必与上述三个函数图像相交．由图像知log20.3＜0.32＜20.3.
迁移与应用 1．D 解析：∵60.7＞1,0＜0.76＜1，log0.76＜0，
∴log0.76＜0.76＜60.7.
2．解：1＜a＝20.3＜2，b＝0.32＜1，∵x＞1，
∴c＝logx(x2＋0.3)＞logxx2＝2.∴b＜a＜c.
【当堂检测】
1．C
2． D 解析：由于指数型函数的增长是爆炸式增长，则当x越来越大时，函数y＝100x的增长速度最快．
3．A
解析：在同一直角坐标系中画出函数f(x)=3x，g(x)=2x的图像，如图所示，由于函数f(x)=3x的图像在函数g(x)=2x的图像的上方，则f(x)＞g(x)．
4．C 解析：当x＝2、4时，y1＝y2，当x＞4时，y1＞y2.故交点个数是2.
5．y＞x＞z 解析：画出函数y＝log2x，y＝log3x，y＝－2x的图像，由图像可知，当＜a＜1时，log3a＞log2a＞－2a，即y＞x＞z.§5 对数函数
问题导学
一、对数函数的概念及对数函数与指数函数的关系
活动与探究1
(1)下列函数是对数函数的是( )．
A．y＝log2(3x)
B．y＝log2x3
C．
D．
(2)写出下列函数的反函数：
①y＝x；②y＝ln x.
迁移与应用
1．若对数函数f(x)的图像经过点(16，－2)，那么f(x)的解析式为__________．
2．若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的反函数，其图像经过点(，a)，则f(x)等于( )．
A．log2x B． C． D．x2
(1)判断一个函数是否是对数函数，主要根据解析式的特征来判定，求对数函数解析式时，主要利用待定系数法求出底数a的值．
(2)函数y＝logax的反函数是y＝ax(a＞0，且a≠1)；函数y＝ax的反函数是y＝logax(a＞0，且a≠1)．
二、求与对数函数有关的函数的定义域
活动与探究2
求下列函数的定义域：
(1)f(x)＝；(2)y＝.
迁移与应用
求下列函数的定义域：
(1)y＝；
(2)y＝.
求与对数函数有关的函数定义域时，除遵循前面已学习过的求函数定义域的方法外，还要注意对数函数自身的要求：真数大于零．
三、对数函数的图像
活动与探究3
作出函数f(x)＝|log3x|的图像，并求出其值域和单调区间．
迁移与应用
函数f(x)＝log4的大致图像为( )．
1．作函数的图像通常采用描点法和图像变换法，可灵活选用；
2．一般地，函数y＝－f(x)与y＝f(x)的图像关于x轴对称，函数y＝f(－x)与y＝f(x)的图像关于y轴对称，函数y＝－f(－x)与y＝f(x)的图像关于原点对称．
四、对数函数单调性的应用
活动与探究4
(1)比较下列各组数的大小：
①与log；
②与；
③loga2与loga3.
(2)若loga(1－2x)＞loga(1＋2x)，求实数x的取值范围．
迁移与应用
1．设a＝log2π，b＝log2，c＝log3，则( )．
A．a＞b＞c B．a＞c＞b
C．b＞a＞c D．b＞c＞a
2．若loga3＜1，求a的取值范围．
(1)比较两个对数值的大小，常用方法有：
①底数相同，真数不同时，用对数函数的单调性来比较；
②底数不同，而真数相同时，常借助图像比较，也可用换底公式转化为同底数的对数后比较；
③底数与真数都不同，需寻求中间值比较．
④分类讨论：当底数与1的大小关系不确定时，要对底数与1比较，分类讨论．
(2)解与对数有关的取值范围问题通常转化为不等式(组)求解，其依据是对数函数的单调性．
(3)解决与对数函数相关的问题时，要遵循“定义域优先”的原则，切勿忘记真数大于0这一条件．
当堂检测
1．若函数f(x)＝x的反函数是y＝g(x)，则g(3)＝( )．
A． B．27
C．－1 D．1
2．若log5x＜－1，则x的取值范围是( )．
A．x＜ B．0＜x＜
C．x＞ D．x＞5
3．下列不等式成立的是( )．
A．log32＜log23＜log25
B．log32＜log25＜log23
C．log23＜log32＜log25
D．log23＜log25＜log32
4．函数的定义域是__________．
5．画出下列函数的图像，并根据图像写出函数的定义域、值域以及单调区间：
(1)y＝log3(x－2)；
(2)y＝||.
提示：用最精炼的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记。
答案：
课前预习导学
【预习导引】
1．y＝logax 底数 10 e
预习交流1 提示：根据对数函数的定义，只有严格符合y＝logax(a＞0，a≠1，x＞0)形式的函数才是对数函数．例如y＝log3x(x＞0)，(x＞0)是对数函数，而y＝2log2x，等都不是对数函数．
2．反函数 互换 y＝x
3．(1)描点法 先画函数x＝log2y的图像，再变换为y＝log2x的图像． (2)(1,0) y轴右边 x轴上方 x轴下方 (0，＋∞)
4．(0，＋∞) (－∞，＋∞) (－∞，0) (0，＋∞)
预习交流2 提示：不论a(a＞0，且a≠1)取何值，总有loga1＝0，因此对数函数图像过定点(1,0)，对于函数y＝logaf(x)，若令f(x)＝1解得x＝x0，那么其图像经过定点(x0,0)．
预习交流3 提示：当a＞1时，a值越大，图像越靠近x轴；
当0＜a＜1时，a值越大，图像越远离x轴．
课堂合作探究
【问题导学】
活动与探究1 思路分析：(1)根据对数函数的定义进行判断；(2)根据指数函数y＝ax与对数函数y＝logax的关系直接写出函数的反函数．
(1)C 解析：由对数函数的定义知，只有函数是对数函数，其余选项中的函数均不是对数函数，故选C.
(2)解：①指数函数y＝x，它的底数是，它的反函数是对数函数.
②对数函数y＝ln x，它的底数是e，它的反函数是指数函数y＝ex.
迁移与应用 1． 解析：设f(x)＝logax(a＞0，且a≠1)，由已知得loga16＝－2，因此a－2＝16，解得a＝，故.
2．B 解析：由题意，知f(x)＝logax.
∵其图像过(，a)，
∴a＝loga.∴a＝.∴.
活动与探究2 思路分析：(1)x取值需使分母不等于零且真数为正实数；
(2)x取值需使被开方数为非负数且真数为正实数．
解：(1)要使函数有意义，需有
解得x＜4，且x≠3，
所以函数的定义域为(－∞，3)∪(3,4)．
(2)要使函数有意义，需有
即解得＜x≤1.
所以函数的定义域为.
迁移与应用 解：(1)∵由得
∴x＞－1，且x≠999，
∴函数的定义域为{x|x＞－1，且x≠999}．
(2)要使函数有意义，应有log3x－1≥0，
即log3x≥1，所以x≥3，
即函数的定义域为{x|x≥3}．
活动与探究3 思路分析：将函数f(x)化为分段函数，结合对数函数及图像变换可作出函数图像，然后通过图像求出值域和单调区间．
解：f(x)＝|log3x|＝
所以f(x)的图像在[1，＋∞)上与y＝log3x的图像相同，在(0,1)上的图像与y＝log3x的图像关于x轴对称，据此可画出其图像如下：
从图像可知：函数f(x)的值域为[0，＋∞)，递增区间是[1，＋∞)，递减区间是(0,1)．
迁移与应用 D 解析：由于f(x)＝log4＝－log4x，其图像与y＝log4x的图像关于x轴对称，故选D.
活动与探究4 思路分析：(1)①中两数同底不同真，可利用对数函数的单调性；②中同真不同底，可结合图像判断；③中底数中含有字母，需分类讨论．
(2)对底数a进行讨论，结合对数函数的单调性求解．
解：(1)①在(0，＋∞)上递减，
又因为＜，所以.
②因为在x∈(1，＋∞)上，的图像在图像的上方，所以.
③当a＞1时，y＝logax为增函数，
所以loga2＜loga3.
当0＜a＜1时，y＝logax为减函数，
所以loga2＞loga3.
(2)当a＞1时，依题意有
解得－＜x＜0；
当0＜a＜1时，依题意有解得0＜x＜.
因此当a＞1时，x的取值范围是，当0＜a＜1时，x的取值范围是.
迁移与应用 1．A 解析：∵函数y＝log2x在(0，＋∞)上是增函数，
∴log2π＞log2，即a＞b.
又∵b＝log23＞，c＝log32＜，∴b＞c.
∴a＞b＞c.
2．解：当a＞1时，原不等式可化为loga3＜logaa，
∴a＞3.
当0＜a＜1时，原不等式可化为loga3＜logaa，
∴a＜3.
又∵0＜a＜1，∴0＜a＜1.
综上知，所求a的取值范围是(0,1)∪(3，＋∞)．
【当堂检测】
1．C 解析：依题意g(x)＝，所以g(3)＝＝－1.
2．B 解析：由log5x＜－1可得log5x＜log5，所以0＜x＜.
3．A 解析：∵y＝log2x在(0，＋∞)上是增函数，
∴log25＞log23＞log22＝1.
又y＝log3x在(0，＋∞)上为增函数，
∴log32＜log33＝1.
∴log32＜log23＜log25.
4．[0,1) 解析：∵由≥0，
得0＜1－x≤1，∴0≤x＜1.
5．解：(1)函数y＝log3(x－2)的图像可看作把函数y＝log3x的图像向右平移2个单位长度得到的，如图①.其定义域为(2，＋∞)，值域为R，在区间(2，＋∞)上是增函数．
(2)y＝||＝
其图像如图②.
其定义域为(0，＋∞)，值域为[0，＋∞)，在(0,1]上是减少的，在(1，＋∞)上是增加的．§1 正整数指数函数
1．理解正整数指数函数的概念，会求正整数指数函数的值域．
2．掌握正整数指数函数的性质及应用．
正整数指数函数
(1)定义：一般地，函数y＝_______(a＞0，a≠1，x∈N＋)叫作正整数指数函数．其中x是______(x在指数位置上)，底数a是常数．
(2)定义域：__________.
(3)正整数指数函数的图像是一群__________的点，且都位于x轴的__________．
【做一做1－1】 下列函数是正整数指数函数的为( )．
A．y＝－2x(x∈N＋) B．y＝2x(x∈R)
C．y＝x2(x∈N＋) D．y＝x(x∈N＋)
【做一做1－2】 函数f(x)＝x(x∈N＋)，则f(2)＝__________.
答案：1．(1)ax 自变量 (2)N＋ (3)孤立 上方
【做一做1－1】 D
【做一做1－2】
1．在正整数指数函数的定义中，为什么限定底数的范围为a＞0且a≠1
剖析：(1)若a＝0，则由于x∈N＋，则ax＝0，即ax是一个常量，没有研究的必要．
(2)若a＜0，则在正整数指数函数的定义直接扩充到指数函数的定义时对于x的某些取值，ax无意义，即不利于定义的扩充，这是因为{正整数指数函数}{指数函数}，即正整数指数函数是指数函数的特例．
(3)若a＝1，则对于任意x∈N＋，ax＝1，即ax是一个常量，没有研究的必要．
为了避免出现上述各种情况，所以规定a＞0且a≠1，在规定以后，对于任意x∈N＋，ax都有意义，且ax＞0.
2．为什么正整数指数函数的图像不是曲线？
剖析：由于正整数指数函数的定义域是正整数集N＋，而正整数集是不连续的，所以用描点法画正整数指数函数的图像时，不能用平滑的曲线连起来．也就是说，正整数指数函数的图像是由一系列孤立的点组成的．例如：正整数指数函数y＝x(x∈N＋)的图像如图所示．
题型一 判断正整数指数函数
【例1】 若x∈N＋，下列哪个函数是正整数指数函数？
(1)y＝(－2)x；(2)y＝x3；(3)y＝7×2x；
(4)y＝()x；(5)y＝(π－1)x.
分析：只需判断函数的解析式是否符合形式y＝ax(a＞0，a≠1，x∈N＋)即可．
反思：根据函数的解析式判断是否为正整数指数函数时，关键是抓住正整数指数函数解析式的基本特征：ax前的系数必须是1，自变量x∈N＋，且x在指数的位置上，底数a＞0，a≠1.要注意正整数指数函数与幂函数y＝xα(α是常数)的区别．
题型二 正整数指数函数的性质
【例2】 画出正整数指数函数y＝3x(x∈N＋)的图像，并指出其单调性和值域．
反思：正整数指数函数y＝ax(a＞0，a≠1，x∈N＋)的值域是{a，a2，a3，…}．当a＞1时，为增函数，当0＜a＜1时，为减函数．
题型三 实际应用中的正整数指数函数
【例3】 已知镭每经过100年后剩留原来质量的95.76%，设质量为20克的镭经过x百年后剩留量为y克(其中x∈N＋)，求y与x之间的函数关系式，并求出经过1 000年后镭的质量．(可以用计算器)
分析：把100年看成一个基数，然后看每经过100年镭的质量的变化，归纳出函数关系式．
反思：通常利用归纳法求实际应用中的正整数指数函数型的解析式．
答案：【例1】 解：(1)y＝(－2)x的底数小于0，不是正整数指数函数．
(2)y＝x3中自变量x在底数的位置上，是幂函数，不是正整数指数函数．
(3)y＝7×2x中2x的系数等于7，是正整数指数型函数，不是正整数指数函数．
(4)(5)是正整数指数函数．
【例2】 解：列表，描点作图，如图所示.
x 1 2 3 …
y 3 9 27 …
单调性：函数y＝3x(x∈N＋)是增函数．
值域是：{3,32,33，…}．
【例3】 解：镭原来质量为20克；
100年后镭的质量为20×95.76%(克)；
200年后镭的质量为20×(95.76%)2(克)；
300年后镭的质量为20×(95.76%)3(克)；
……
x百年后镭的质量为20×(95.76%)x(克)．
∴y与x之间的函数关系式为
y＝20×(95.76%)x(x∈N＋)．
∴经过1 000年(即x＝10)后镭的质量为
y＝20×(95.76%)10≈12.97(克)．
1 若x∈N＋，下面几个函数中，是正整数指数函数的是( )．
A．y＝x4 B．y＝－2x
C．y＝(－2)x D．y＝πx
2函数y＝(x∈N＋)的值域是( )．
A．R B．R＋ C．N D.
3 函数y＝(x∈N＋)是( )．
A．增函数 B．减函数 C．奇函数 D．偶函数
4 已知f(x)＝ax(a＞0，a≠1，x∈N＋)的图像过点(3,64)，则f(2)＝________.
5 一种产品的成本原来是220元，在今后10年内，计划使成本每年比上一年降低20%，写出成本y随经过年数x变化的函数关系式．
答案：1．D 2.D 3.A
4．16 由题意，得a3＝64，∴a＝4.
∴f(x)＝4x.∴f(2)＝42＝16.
5．分析：归纳出函数关系式．
解：每年的成本是上一年的1－20%＝80%＝0.8.
当x＝1时，y＝220×0.8；
当x＝2时，y＝220×0.8×0.8＝220×0.82；
当x＝3时，y＝220×0.82×0.8＝220×0.83；
……
所以成本y与年数x的函数关系式为y＝220×0.8x(x＝1, 2,3，…10)．§6 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较
1．了解指数增长、幂增长、对数增长的意义．
2．能够解决相应的实际问题．
三种增长函数模型的比较
在区间(0，＋∞)上尽管y＝ax(a＞1)，y＝xn(x＞0，n＞1)和y＝logax(a＞1)都是________，但它们增长的速度不同，而且不在一个“档次”上，随着x的增大，y＝ax(a＞1)的增长速度会越来越____，会超过并远远大于y＝xn(x＞0，n＞0)和y＝logax(a＞1)的增长速度．由于指数函数值增长非常快，人们常称这种现象为“________”．
【做一做1－1】 当a＞1时，下列结论：
①指数函数y＝ax，当a越大时，其函数值的增长越快；
②指数函数y＝ax，当a越小时，其函数值的增长越快；
③对数函数y＝logax，当a越大时，其函数值的增长越快；
④对数函数y＝logax，当a越小时，其函数值的增长越快．
其中正确的结论是( )．
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
【做一做1－2】 当x越来越大时，下列函数中，增长速度最快的是( )．
A．y＝2x B．y＝x10 C．y＝lg x D．y＝10x2
【做一做1－3】 当x＞0，n＞1时，幂函数y＝xn是________函数，并且当x＞1时，n越大其函数值的增长就________．
答案：增函数 快 指数爆炸
【做一做1－1】 B
【做一做1－2】 A
【做一做1－3】 增 越快
如何选择增长型函数描述实际问题？
剖析：选择的标准是：指数函数增长模型适合于描述增长速度快的变化规律；对数函数增长模型适合于描述增长速度平缓的变化规律；而幂函数增长模型介于两者之间，适合于描述增长速度一般的变化规律．
题型一 比较函数增长的差异
【例1】 分析指数函数y＝2x与对数函数y＝log2x在区间[1，＋∞)上函数的增长情况．
分析：解答本题时，应分析对于相同的自变量的增量，比较指数函数的增量与对数函数的增量的差异．
反思：在同一坐标系内作出y＝2x和y＝log2x的图像，从图像上可观察出函数的增减变化情况．如图所示：
题型二 比较大小问题
【例2】 比较下列各组数的大小．
(1)，；(2)0.32，log20.3,20.3.
分析：先观察各组数值的特点，然后考虑构造适当的函数，利用函数的性质或图像进行求解．
反思：解决这类题目的关键在于构造适当的函数，若指数相同而底数不同，则考虑幂函数；若指数不同底数相同，则考虑指数函数；若底数不同，指数也不同，需引入中间量，利用幂函数与指数函数的单调性，也可以借助幂函数与指数函数的图像．
题型三 实际应用
【例3】 某公司为了实现1 000万元利润的目标，准备制定一个激励销售部门的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y(万元)随销售利润x(万元)的增加而增加，但奖励总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%，现有三个奖励模型：y＝0.25x，y＝log7x＋1，y＝1.002x，其中哪个模型能符合公司要求？
分析：奖励模型符合公司要求，即当x∈[10，1 000]时，能够满足y≤5，且≤25%，可以先从函数图像得到初步的结论，再通过具体计算，确认结果．
反思：从这个例题可以看到，底数大于1的指数函数模型比一次项系数为正数的一次函数模型增长速度要快得多，而后者又比真数大于1的对数函数模型增长要快，从而我们可以体会到对数增长，直线上升，指数爆炸等不同函数类型增大的含义．
答案：【例1】 解：指数函数y＝2x，当x由x1＝1增加到x2＝3时，Δx＝2，Δy＝23－21＝6；
对数函数y＝log2x，当x由x1＝1增加到x2＝3时，Δx＝2，而Δy＝log23－log21≈1.585 0.
由此可知，在区间[1，＋∞)内，指数函数y＝2x随着x的增长函数值的增长速度快，而对数函数y＝log2x的增长速度缓慢．
【例2】 解：(1)函数y1＝x为减函数，又＞，
∴.
又函数y2＝在(0，＋∞)上是增函数，且＞，
∴.∴.
(2)令函数y1＝x2，y2＝log2x，y3＝2x.在同一坐标系内作出上述三个函数的图像如图，然后作x＝0.3，此直线必与上述三个函数图像相交．由图像知log20.3＜0.32＜20.3.
【例3】 解：借助计算器或计算机作出函数y＝5，y＝0.25x，y＝log7x＋1，y＝1.002x的图像如图所示：
观察图像发现，在区间[10,1 000]上模型y＝0.25x，y＝1.002x的图像都有一部分在y＝5的上方，这说明只有按模型y＝log7x＋1进行奖励才能符合公司要求，下面通过计算确认上述判断．
首先计算哪个模型的奖金总数不超过5万元．
对于模型y＝0.25x，它在区间[10,1 000]上是单调递增的，当x∈(20,1 000]时，y＞5，因此该模型不符合要求．
对于模型y＝1.002x，利用计算器，可知1.002806≈5.005，由于y＝1.002x是增函数，故当x∈(806，1 000]时，y＞5，因此，也不符合题意．
对于模型y＝log7x＋1，它在区间[10,1 000]上单调递增且当x＝1 000时，y＝log71 000＋1≈4.55＜5，所以它符合奖金总数不超过5万元的要求．
再计算按模型y＝log7x＋1奖励时，奖金是否超过利润x的25%，即当x∈[10,1 000]时，利用计算器或计算机作f(x)＝log7x＋1－0.25x的图像，由图像可知f(x)是减函数，因此f(x)＜f(10)≈－0.316 7＜0，即log7x＋1＜0.25x.
所以当x∈[10,1 000]时，y＜0.25x.这说明，按模型y＝log7x＋1奖励不超过利润的25%.
综上所述，模型y＝log7x＋1确实符合公司要求．
1 下列所给函数，增长最快的是( )．
A．y＝5x B．y＝x5 C．y＝log5x D．y＝5x
2函数y＝2x与y＝x2的图像的交点个数是( )．
A．0 B．1 C．2 D．3
3当2＜x＜4时，2x，x2，log2x的大小关系是( )．
A．2x＞x2＞log2x B．x2＞2x＞log2x
C．2x＞log2x＞x2 D．x2＞log2x＞2x
4若a＞1，n＞0，那么当x足够大时，ax，xn，logax中最大的是________．
5汽车在行驶中，由于惯性作用，刹车制动后，还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析交通事故的一个重要因素．在一个限速为100 km/h的高速公路上，甲车的刹车距离y(m)与刹车速度x(km/h)的关系可用模型y＝ax2来描述，在限速为100 km/h的高速公路上，甲车在速度为50km/h时，刹车距离为10 m，则甲车刹车距离为多少米时，交通部门可以判定此车超速？
答案：1．D 2.D
3．B 思路一：在同一平面直角坐标系中画出函数y＝log2x，y＝x2，y＝2x的图像，在区间(2,4)上从上往下依次是y＝x2，y＝2x，y＝log2x的图像，所以x2＞2x＞log2x.
思路二：比较三个函数值的大小，作为选择题，可以采用特殊值代入法．可取x＝3，经检验容易知道选B.
4．ax 由指数函数、幂函数和对数函数增长快慢的差别易知ax＞xn＞logax.
5．解：本题函数模型已经给出，但是a的值需要先求出，利用给定的速度为50 km/h时，刹车距离为10 m这一条件，把数值代入y＝ax2，即10＝502a，就可以求出参数a＝；交通部门判定此车超速的依据是此车车速超过100 km/h的限速，因为函数y＝ax2在x＞0时是单调递增的，所以可以把x＝100代入确定的解析式，求出刹车距离y＝×1002＝40(米)．
故当刹车距离超过40米时，可以判定此车超速．2．1 指数概念的扩充
1．了解整数指数幂的概念．
2．理解分数指数幂的概念，掌握分数指数形式与根式形式的互化．
3．了解无理数指数幂和实数指数幂的概念．
1．整数指数幂
an＝(n∈N＋)，
a0＝____(a≠0)，
a－n＝____(a≠0，n∈N＋)．
【做一做1－1】 π0等于( )．
A．0 B．π C．1 D．2π
【做一做1－2】 －4＝__________.
2．分数指数幂
(1)定义：给定正实数a，对于任意给定的整数m，n(m，n互素)，存在____的正实数b，使得bn＝____，那么b叫作a的次幂，记作b＝____.
它就是分数指数幂．
分数指数幂不是个a相乘，实质上是关于b的方程bn＝am的解．
(2)写成根式形式：
＝____，＝____(其中a＞0，m，n∈N＋，且n＞1)．
(3)结论：0的正分数指数幂等于_________，0的负分数指数幂________．
【做一做2－1】等于( )．
A. B. C. D.
【做一做2－2】 等于( )．
A． B． C． D．
3．无理数指数幂
一般地，无理数指数幂aα(a＞0，α是无理数)是一个确定的____．
指数的扩充过程：
(1)规定了分数指数幂的概念后，指数概念就实现了由整数指数幂向有理数指数幂的扩充．
(2)规定了无理数指数幂后，指数概念就由有理数指数幂扩充到了实数指数幂．
【做一做3】 计算：
(1)；(2)；(3).
答案：1．1
【做一做1－1】 C
【做一做1－2】 16
2．(1)唯一 am (2) (3)0 没有意义
【做一做2－1】 D
【做一做2－2】 A
3．实数
【做一做3】 (1) (2) (3)
1．为什么分数指数幂的定义中规定b为正实数？
剖析：由整数指数幂的规定知，当a＞0时，对任意整数m，总有am＞0.若b＝0，当n为正整数时，bn＝0，此时bn≠am；当n为负整数或零时，bn无意义，bn＝am无意义．若b＜0，当n为奇数时，bn＜0，此时bn≠am；当n为偶数时，虽然bn＝am成立，但此时，0＞b≠＞0.因此规定b＞0.
2．为什么分数指数幂的定义中规定整数m，n互素？
剖析：如果没有这个规定将导致幂的运算结果出现矛盾．例如：中，底数a∈R, 当a＜0时，＜0，而如果把写成，有两种运算：一是＝就必须a≥0；二是＝，在a＜0时，的结果大于0，与＜0相矛盾．所以规定整数m，n互素．
题型一 用分数指数幂表示正实数
【例1】 把下列各式中的b写成分数指数幂的形式(b＞0)：
(1)b3＝4；(2)b－2＝5；(3)bm＝32n(m，n∈N＋)．
反思：将bk＝d中正实数b写成分数指数幂的形式时，主要依据分数指数幂的意义：
bn＝amb＝a(m，n∈N＋，b＞0)．
题型二 用分数指数幂表示根式
【例2】 用分数指数幂表示下列各式：
(1)；(2)；(3)；(4).
反思：用分数指数幂表示根式时，要紧扣分数指数幂的根式形式：a＝(a＞0，m，n∈N＋，且n＞1)．
题型三 求指数幂a的值
【例3】 计算：(1)64；(2)； (3).
分析：将分数指数幂化为根式，再求值．
反思：分数指数幂不表示相同因式的乘积，而是根式的另一种写法．将分数指数幂写成根式的形式时，用熟悉的知识去理解新概念是关键．
题型四 易错辨析
易错点 忽略n的范围导致化简时出错
【例4】 化简：＋.
错解：原式＝(1＋)＋(1－)＝2.
错因分析：错解中忽略了1－＜0的事实，应当是＝－1.
答案：【例1】 解：(1)b＝.(2)b＝.(3)b＝.
【例2】 解：(1)＝.(2)＝＝.
(3)＝.
(4)＝.
【例3】 解：(1).
(2).
(3)＝＝.
【例4】 正解：原式＝(1＋)＋|1－|＝1＋＋－1＝2.
1 写成根式形式是( )．
A. B. C. D.
2若b4＝3(b＞0)，则b等于( )．
A．34 B． C．43 D．35
3 等于( )．
A．0 B．1 C． D．没有意义
4 把下列各式中的正实数x写成根式的形式：
(1)x2＝3；(2) x7＝53；(3)x－2＝d9.
5 求值：(1)100；(2)；(3).
答案：1．A 2.B 3.D
4．解：(1)x＝.(2)x＝.
(3)x＝.
5．解：(1)∵102＝100，∴＝10.
(2)∵，∴.
(3)∵274＝，∴＝27.4.2 换底公式
问题导学
一、利用换底公式求值、化简
活动与探究1
计算：(1)log16；(2)(log43＋log83)·.
迁移与应用
1．的值为( )．
A．2 B． C．1 D．
2．求log37·log29·log492的值．
利用换底公式计算、化简、求值问题的思路：
一是先利用对数的运算性质进行部分运算，最后再换成同一底数进行计算；
二是一次性地统一换为常用对数(或自然对数)，再化简、通分、求值．
二、对数换底公式的综合应用
活动与探究2
(1)已知log189＝a,18b＝5，用a，b表示log3645的值；
(2)设3x＝4y＝6z＞1，求证：－＝.
迁移与应用
1．已知lg 2＝a，lg 3＝b，则用a，b表示log312的结果为__________．
2．设3a＝4b＝36，求＋的值．
(1)用已知对数表示其他对数时，若它们的底数不相同，常用换底公式来解决．
(2)在一个等式的两边取对数，是一种常用的技巧．一般地，给出的等式是以指数形式出现时，常用此法，值得一提的是，在取对数时，要注意对底数的合理选取．
三、换底公式的实际应用
活动与探究3
2011年，我国GDP约为47万亿元，若我国GDP年平均增长率为8.1%，那么约经过__________年，我国GDP增长为2011年的两倍．
迁移与应用
在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度v(m/s)和燃料的质量M(kg)、火箭(除燃料外)的质量m(kg)的关系是v＝2 000ln.当燃料质量约是火箭质量的多少倍时，火箭的最大速度可达到10 km/s(已知e5≈148.4)
求解对数实际应用题时，注意以下两点：一是合理建立数学模型，寻找量与量之间的关系；二是利用对数的运算性质以及两边取对数的方法计算求解．
当堂检测
1．下列等式不成立的是( )．
A．log34＝ B．log34＝
C．log3 4＝ D．log34＝
2．log45·log54＝( )．
A．4 B．5 C．1 D．
3．log89·log32＝__________.
4．若mlog35＝1，n＝5m，则n的值为______．
5．化简：.
提示：用最精炼的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记。
答案：
课前预习导学
【预习导引】
1．
预习交流1 提示：由对数恒等式可知N＝blogbN，上式两边取以a为底的对数可得logaN＝，即logaN＝logbN·logab，于是可得logbN＝.
预习交流2 提示：只要底数大于零且不等于1即可．
2． 1 logab logab －logab
课堂合作探究
【问题导学】
活动与探究1 思路分析：(1)16和都可表示为2的幂的形式，因此可换成以2为底的对数计算；(2)前后两个式子中的底数不同，可利用换底公式化成同一底数，再进行运算．
解：(1)log16＝＝＝＝－.
(2)原式＝·
＝·
＝··＝.
迁移与应用 1．D 解析：＝＝＝log416＝.
2．解：原式＝··＝··＝1.
活动与探究2 思路分析：由本题条件与所求的关系可分析出思路，在(1)中把所求的换成与已知同底的对数，在(2)中可用整体代换法求出x，y，z，并结合换底公式与对数的运算性质证明．
(1)解：∵由18b＝5，得log185＝b，
∴log3645＝＝
＝＝.
(2)证明：设3x＝4y＝6z＝t，
∵3x＝4y＝6z＞1，
∴t＞1，∴x＝log3t，y＝log4t，z＝log6t.
因此x＝，y＝，z＝，
∴－＝－＝＝＝.
迁移与应用 1． 解析：log312＝＝＝＝.
2．解法一：由3a＝4b＝36，得a＝log336，b＝log436，
因此＝log363，＝log364，
所以＋＝2log363＋log364＝log369＋log364＝log3636＝1.
解法二：对已知等式取以6为底的对数，
得alog63＝2，blog62＝1，
所以＝log63，＝log62.
于是＋＝log63＋log62＝log66＝1.
活动与探究3 思路分析：依题意，建立指数函数关系，然后利用对数求值计算．
解：设经过x年，我国GDP增长为2011年的两倍，
则有47(1＋8.1%)x＝47×2，
即1.081x＝2，
所以x＝log1.0812＝≈9.
故约经过9年，我国GDP增长为2011年的两倍．
迁移与应用 解：由题意可得10 000＝2 000ln，即ln＝5.
所以＝e5－1，即≈148.4－1＝147.4.
故当燃料质量约是火箭质量的147.4倍时，火箭的最大速度可达到10 km/s.
【当堂检测】
1．D 解析：结合换底公式的特征可知选项D不正确，因为底数必须满足大于0且不等于1.
2．C 解析：log45·log54＝·＝1.
3． 解析：原式＝·＝＝.
4．3 解析：∵m＝＝log53，
∴n＝5m＝＝3.
5．解：原式＝＝log38.§3 指数函数
问题导学
一、指数函数的概念
活动与探究1
下列函数中一定是指数函数的是__________．(只填序号)
(1)y＝10x；(2)y＝10x＋1；(3)y＝－4x；(4)y＝xx；(5)y＝xα(α是常数)；(6)y＝(2a－1)x.
迁移与应用
(1)若函数f(x)＝(a2－a－1)·ax是一个指数函数，则实数a的值为__________；
(2)若指数函数f(x)的图像经过点(－1,4)，则f(2)＝__________.
1．判断一个函数是否是指数函数，关键是分析该函数解析式是否完全符合指数函数解析式y＝ax(a＞0，且a≠1)，其特征是：
①底数a为大于0且不等于1的常数，不含有自变量x；
②指数位置是自变量x，且x的系数是1；
③ax的系数是1.
2．已知某函数是指数函数求参数值时，可采用待定系数法，先通过一个条件确定解析式中a的值，再解决其他问题．
二、求指数型函数的定义域、值域(最值)
活动与探究2
求下列函数的定义域与值域：
(1)；
(2)y＝eq \b\lc\(\rc\)()－|x|.
迁移与应用
1．函数y＝4的定义域是__________，值域是__________．
2．求y＝的定义域和值域．
1．对于指数型函数y＝af(x)(a＞0，且a≠1)，其定义域就是函数f(x)的定义域，可按照求函数定义域的一般方法进行求解．
2．求指数型函数y＝af(x)(a＞0，且a≠1)的值域时，通常采用逐步推的办法，先确定f(x)的取值范围，再结合指数函数的单调性求得原函数的值域．
三、指数函数单调性的应用
活动与探究3
(1)比较下列各组数的大小：
①1.72.5与1.73；
②eq \b\lc\(\rc\)()－1.8与eq \b\lc\(\rc\)()－2.6；
③2.3－0.28与0.67－3.1.
(2)求函数f(x)＝2x－1的单调区间．
迁移与应用
1．比较下列各题中两个值的大小：
(1)0.8－0.1,0.8－0.2；(2)1.70.3,0.93.1；(3)a1.3，a2.5(a＞0，a≠1)．
2．函数f(x)＝ax(a＞0， a≠1)在区间[1,2]上的最大值与最小值之和为6，求a的值．
1．在进行数的大小比较时，若底数相同，则可根据指数函数的单调性得出结果；若底数不相同，则首先考虑能否化为同底数，然后根据指数函数的单调性得出结果；不能化成同底数的，要考虑引进第三个数(如0,1等)分别与之比较，从而得出结果．总之，比较时要尽量转化成同底的形式，根据指数函数的单调性进行判断．
2．函数y＝af(x)(a＞0，且a≠1)的单调性与单调区间可按如下规则确定：
(1)当a＞1时，函数y＝af(x)的单调性、单调区间与f(x)的单调性、单调区间相同；
(2)当0＜a＜1时，函数y＝af(x)的单调性、单调区间与f(x)的单调性、单调区间相反；
(3)当底数a不确定时，要对其分a＞1和0＜a＜1两种情况讨论．
四、指数型函数的图像及图像变换问题
活动与探究4
画出函数y＝eq \b\lc\(\rc\)()|x|的图像，并根据图像写出函数的值域及单调区间．
迁移与应用
1．为了得到函数y＝2x－3－1的图像，只需把函数y＝2x的图像上所有的点( )．
A．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
B．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
C．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
D．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
2．若函数f(x)＝ax－1＋3(a＞0，且a≠1)的图像恒过定点P，试求点P的坐标．
函数图像变换问题的处理方法：
(1)抓住图像上的特殊点．如指数函数的图像过定点(0,1)；
(2)利用图像变换．如函数图像的平移变换(左右平移、上下平移)；
(3)利用函数的奇偶性与单调性．
当堂检测
1．若指数函数y＝ax经过点(－1,3)，则a等于( )．
A．3 B． C．2 D．
2．若，，，则a，b，c的大小顺序是( )．
A．a＞b＞c B．a＜b＜c
C．a＜c＜b D．b＜c＜a
3．函数的值域是( )．
A．(－∞，0) B．(0,1]
C．[1，＋∞) D．(－∞，1]
4．为了得到y＝|x－1|的图像，可以把y＝x的图像向______平移______个单位长度．
5．试求函数f(x)＝2|x－1|的单调区间．
提示：用最精炼的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记。
答案：
课前预习导学
【预习导引】
1．y＝ax R
预习交流1 提示：因为当a＝0时，ax总为0或没有意义；
当a＜0时，如a＝－2，x＝，ax＝＝显然没意义；当a＝1时，ax恒等于1，没有研究必要．
因此规定a＞0，且a≠1.
预习交流2 提示：从形式上看，指数函数与幂函数的解析式都是幂的形式，但自变量x的位置不同．指数函数中幂的底数为常数，自变量出现在指数位置上，而幂函数中幂的指数是常数，自变量出现在底数位置上．
预习交流3 提示：确定函数y＝ax(a＞0，a≠1，x∈R)的解析式的关键是确定底数a的值．
2．上方 (0,1) y＞1 0＜y＜1 0＜y＜1 y＞1 增函数 减函数 y轴
预习交流4 提示：在指数函数f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)中，不论a取何值，总有f(0)＝a0＝1，所以其图像经过定点(0,1)．在指数型函数y＝k·af(x)＋b中，令f(x)＝0若得x＝x0，则其图像经过定点(x0，k＋b)．
预习交流5
提示：
a＞1 0＜a＜1
定义域 R
值域 [1，＋∞) (0,1]
奇偶性 偶函数
单调性 在(0，＋∞)上是增加的在(－∞，0)上是减少的 在(0，＋∞)上是减少的在(－∞，0)上是增加的
课堂合作探究
【问题导学】
活动与探究1 (1) 解析：(1)y＝10x符合定义，是指数函数；
(2)y＝10x＋1指数是x＋1而非x，不是指数函数；
(3)y＝－4x中系数为－1而非1，不是指数函数；
(4)y＝xx中底数和指数均是自变量x，不符合指数函数的定义，不是指数函数．
(5)y＝xα中底数是自变量，不是指数函数．
(6)y＝(2a－1)x中由于底数可能不大于0或可能为1，故不一定是指数函数．
迁移与应用 (1)2 (2) 解析：(1)依题意应有解得a＝2(a＝－1舍去)．
(2)设f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)，则有a－1＝4，所以a＝，即f(x)＝x.
于是f(2)＝.
活动与探究2 思路分析：求定义域要根据函数自身的要求，找出关于x的不等式或不等式组，解此不等式或不等式组可得定义域．求值域要根据定义域，借助换元思想与指数函数的单调性求解．
解：(1)∵令x－4≠0，得x≠4，
∴定义域为{x|x∈R，且x≠4}．
∵≠0，∴≠1.
∴y＝的值域为{y|y＞0，且y≠1}．
(2)由题意可知定义域为R.∵|x|≥0，
∴y＝－|x|＝|x|≥0＝1.
故y＝－|x|的值域为{y|y≥1}．
迁移与应用 1.[1，＋∞) [1，＋∞) 解析：要使函数有意义，则有x－1≥0，即x≥1，所以定义域是[1，＋∞)；当≥0时，y＝≥40＝1，即值域是[1，＋∞)．
2．解：∵1－x≥0，
∴x≤1，即x≥0.
∴函数y＝的定义域为[0，＋∞)．
令t＝x，∴0＜t≤1.
∴0≤1－t＜1.∴0≤＜1.
∴y＝的值域为[0,1)．
活动与探究3 思路分析：(1)由于①②中的底数相同，因此可直接应用指数函数的单调性进行比较，而③中的底数不同、指数也不同，可借助中间值来比较大小；(2)先分析函数u＝2x－1的单调性，再结合增减函数定义分析y＝u的增减性，确定单调区间．
解：(1)①∵y＝1.7x在R上是增函数，且2.5＜3，
∴1.72.5＜1.73.
②∵y＝x在定义域R上是减函数，
且－1.8＞－2.6，∴－1.8＜－2.6.
③(中间量法)由指数函数的性质，知
2．3－0.28＜2.30＝1,0.67－3.1＞0.670＝1，
∴2.3－0.28＜0.67－3.1.
(2)设u＝2x－1，
当x∈(－∞，＋∞)时，u是增加的，
而在函数y＝u中，由于0＜＜1，所以y＝u是减少的，因此当x∈(－∞，＋∞)时，f(x)＝2x－1是减少的．
即函数的递减区间是(－∞，＋∞)，无递增区间．
迁移与应用 1.解：(1)由于0＜0.8＜1，所以指数函数y＝0.8x在R上为减函数．又因为－0.1＞－0.2，所以0.8－0.1＜0.8－0.2.
(2)1.70.3＞1,0.93.1＜1，所以1.70.3＞0.93.1.
(3)当a＞1时，函数y＝ax在R上是增函数，此时a1.3＜a2.5；
当0＜a＜1时，函数y＝ax在R上是减函数，此时a1.3＞a2.5.
综上，当a＞1时，a1.3＜a2.5；
当0＜a＜1时，a1.3＞a2.5.
2．解：若a＞1，则f(x)在[1,2]上递增，
∴a2＋a＝6，解得a＝2或a＝－3(舍去)．
若0＜a＜1，则f(x)在[1,2]上递减，
∴a2＋a＝6，解得a＝2(舍去)或a＝－3(舍去)．
综上，a＝2.
活动与探究4 思路分析：因为y＝|x|＝所以分段画出函数的图像即可．
解：∵y＝|x|＝
∴在平面直角坐标系内画出函数y＝x(x≥0)及y＝2x(x＜0)的图像．这两段图像合起来就是所求函数的图像，如下图．
由图像可知所求函数的值域是(0,1]，递增区间是(－∞，0]，递减区间是[0，＋∞)．
迁移与应用 1．A 解析：由图像平移知识，可知y＝2x－3可由y＝2x向右平移3个单位长度得到，而y＝2x－3－1可由y＝2x－3向下平移1个单位长度得到，这两个步骤可交换顺序．
2．解：由x－1＝0，ax－1＝1知，当x＝1时，f(1)＝4.
故点P的坐标为(1,4)．
【当堂检测】
1．B 解析：依题意有a－1＝3，
即＝3.所以a＝.
2．B 解析：因为y＝0.5x在R上是减函数，
又＞＞，
所以，即a＜b＜c.
3．B 解析：∵≥0，
∴≤0＝1，且＞0.
∴所求值域为(0,1]．
4．右 1
5．解：设u＝|x－1|，当x∈(－∞，1]时，u是减少的．y＝2u在R上是增函数，因此f(x)在(－∞，1]上是减少的；当x∈[1，＋∞)时，u是增加的．y＝2u在R上是增函数，因此f(x)在[1，＋∞)上是增加的，故f(x)的递增区间是[1，＋∞)，递减区间是(－∞，1]．§3 指数函数
1．理解指数函数的概念．
2．掌握指数函数的图像和性质．
3．利用指数函数的图像和性质解决简单问题．
1．指数函数的定义
函数y＝ax(a＞0，a≠1)叫作指数函数，其中____是自变量．
指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)解析式的结构特征：
①底数：大于零且不等于1的常数；
②指数：自变量x；
③系数：1.
指数函数解析式的结构的三个特征是判断函数是否为指数函数的三个标准，缺一不可．
【做一做1】 下列函数是指数函数的是( )．
A．y＝(－3)x B．y＝－3x
C．y＝32x D．y＝2x＋1
2．指数函数的图像和性质
结合函数y＝2x和y＝x的图像和性质，得出指数函数的图像和性质，如下表所示：
a＞1 0＜a＜1
图像
性质 (1)定义域：___________ (1)定义域：___________
(2)值域：________________ (2)值域：___________
(3)过定点________________，即x＝0时，y＝1 (3)过定点___________，即x＝0时，y＝1
(4)当x＞0时，y＞1；当x＜0时，0＜y＜1 (4)当x＞0时，0＜y＜1；当x＜0时，y＞1
(5)是R上的______ (5)是R上的______
【做一做2－1】 函数y＝15x的大致图像是( )．
【做一做2－2】 函数y＝x的定义域和值域分别是( )．
A．R，R B．(0，＋∞)，(0，＋∞)
C．(0，＋∞)，R D．R，(0，＋∞)
3．指数函数的应用
指数函数反映了实数与正实数之间的一种__________关系．
指数幂ax和1的比较：
当x＜0,0＜a＜1或x＞0，a＞1时，ax＞1，即指数x和0比较，底数a和1比较，当不等号的方向相同时，ax大于1，简称为“同大”．
当x＜0，a＞1或x＞0,0＜a＜1时， 0＜ax＜1，即指数x和0比较，底数a和1比较，当不等号的方向相反(异)时，ax小于1，简称为“异小”．
因此简称为“同大异小”．
【做一做3】 比较下列各题中两个值的大小：
(1)1.82.2__________1.83；
(2)0.7－0.3__________0.7－0.4；
(3)1.90.4__________0.92.4.
答案：1．x
【做一做1】 C ∵32x＝9x，∴y＝32x＝9x是指数函数．
2．(1)R (1)R (2)(0，＋∞) (2)(0，＋∞) (3)(0,1)
(3)(0,1) (5)增函数 (5)减函数
【做一做2－1】 B
【做一做2－2】 D
3．一一对应
【做一做3】 (1)＜ (2)＜ (3)＞
指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)中底数a对函数图像有什么影响？
剖析：设a＞b＞1＞c＞d＞0，则y＝ax，y＝bx，y＝cx，y＝dx的图像如图所示，从图中可以看出：在y轴右侧，图像从上到下相应的底数由大变小，在y轴左侧，图像从下到上相应的底数由大变小，即无论在y轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大．
或者说在第一象限内，指数函数的图像，底数大的在上边，也可以说底数越大越靠近y轴．
题型一 指数函数的定义
【例1】 指出下列函数中哪些是指数函数．
①y＝6x；②y＝x4；③y＝－4x；④y＝(－4)x；⑤y＝2·8x；⑥y＝ex；⑦y＝4x2；⑧y＝(2a－1)x.
分析：根据指数函数的定义进行判断．
题型二 求函数的定义域和值域
【例2】 求下列函数的定义域和值域：
(1)y＝； (2)y＝； (3)y＝.
分析：函数的定义域是使函数有意义的自变量的取值范围，分式问题要使分母不为0，根式问题要使被开方数有意义，结合换元法，联想函数的图像，根据单调性等确定值域．
反思：求与指数函数有关的函数定义域和值域时，要充分考虑指数函数本身的要求，并利用好指数函数的单调性．对于解析式中某些较复杂的式子，往往采用换元法求解，这样可以使问题变得简洁，避免出错．
题型三 比较大小
【例3】 比较下列各题中两个值的大小：
(1)1.72.5,1.73；
(2)2.3－0.28,0.67－3.1.
分析：(1)构造指数函数，利用其单调性比较大小；(2)利用中间量1比较大小．
反思：比较指数式大小的方法：
(1)单调性法：比较同底数幂的大小，可构造指数函数，利用指数函数的单调性比较大小．要注意：明确所给的两个值是哪个指数函数的两个函数值；明确指数函数的底数与1的大小关系；最后根据指数函数的图像和性质来判断．
(2)中间量法：比较不同底且不同指数幂的大小，常借助于中间值1进行比较．利用口诀“同大异小”，判断指数幂和1的大小．
题型四 指数函数的单调性的应用
【例4】 设a为实数，f(x)＝a－(x∈R)．
(1)证明f(x)在R上为增函数；
(2)试确定a的值，使f(x)为奇函数．
分析：对于(1)可结合单调性的定义及y＝2x为增函数加以证明．(2)中要使f(x)是奇函数，则须满足f(－x)＝－f(x)．
反思：本题主要考查了单调性和奇偶性的概念及使用方法．在本题(2)中，由于f(x)为奇函数且在x＝0处有定义，故也可利用f(0)＝0来确定a的值．
题型五 与指数函数图像有关的问题
【例5】 (1)将函数y＝3x的图像向左平移一个单位即可得到函数________的图像，将y＝3x的图像向下平移一个单位即可得到函数________的图像；
(2)函数y＝3x的图像与y＝3－x的图像关于________对称；
(3)函数y＝3x的图像与y＝－3x的图像关于________对称；
(4)函数y＝3x的图像与函数y＝－3－x的图像关于________对称．
反思：1.平移规律
分左、右平移和上、下平移两种，遵循“左加右减，上加下减”．
若已知y＝ax的图像，把y＝ax的图像向左平移b(b＞0)个单位，则得到y＝ax＋b的图像；把y＝ax的图像向右平移b(b＞0)个单位，则得到y＝ax－b的图像；把y＝ax的图像向上平移b(b＞0)个单位，则得到y＝ax＋b的图像，向下平移b(b＞0)个单位，则得到y＝ax－b的图像．
2．对称规律
函数y＝ax的图像与y＝a－x的图像关于y轴对称；y＝ax的图像与y＝－ax的图像关于x轴对称，函数y＝ax的图像与y＝－a－x的图像关于坐标原点对称．
题型六 易错辨析
易错点 利用换元法时，忽略新元的范围导致出错．
【例6】 求函数y＝x＋x＋1的值域．
错解：令t＝x，则原函数可化为y＝t2＋t＋1＝2＋≥，即当t＝－时，ymin＝，即原函数的值域是.
错因分析：错解在令t＝x后，没有注意新元t的范围．∵x＞0，∴t＞0.忽略新元的范围导致所求范围扩大．
答案：【例1】 解：①⑥⑧为指数函数；②不是指数函数，自变量不在指数上；③4x的系数是－1；④中底数－4＜0，所以不是指数函数；⑤8x的系数是2；⑦中指数不是自变量x，而是x的函数x2，故②③④⑤⑦都不是指数函数．
【例2】 解：(1)要使函数有意义，必须x－4≠0，
∴x≠4，
故所求函数的定义域为{x∈R|x≠4}．
∵x≠4，≠0，∴≠1，
故函数的值域为{y|y＞0且y≠1}．
(2)定义域为R.
∵2x－x2＝－(x－1)2＋1≤1，
∴≥1＝，
故函数y＝的值域为{y|y≥}．
(3)要使函数有意义，必须且只需3x－2≥0，即x≥，
∴函数的定义域为.
设t＝，则t≥0，y＝5t，
∴y≥50＝1，故所求函数的值域为[1，＋∞)．
【例3】 解：(1)(单调性法)由于1.72.5与1.73的底数是1.7，
故构造函数y＝1.7x，
则函数y＝1.7x在R上是增函数．
又2.5＜3，所以1.72.5＜1.73.
(2)(中间量法)由指数函数的性质，知
2．3－0.28＜2.30＝1,0.67－3.1＞0.670＝1，
所以2.3－0.28＜0.67－3.1.
【例4】 解：(1)证明：设x1，x2∈R，x1＜x2，则
f(x1)－f(x2)
＝－
＝.
由于指数函数y＝2x在R上为增函数，且x1＜x2，
所以2x1＜2 x2，即2 x1－2 x2＜0.
又由2x＞0，得2 x1＋1＞0,2 x2＋1＞0.
所以f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)．
故f(x)在R上为增函数．
(2)若f(x)为奇函数，则f(－x)＝－f(x)，
即a－＝－.
变形得2a＝＋
＝＋＝＝2.
解得a＝1.所以当a＝1时，f(x)为奇函数．
【例5】 (1)y＝3x＋1 y＝3x－1 (2)y轴 (3)x轴 (4)原点
(1)根据函数图像平移的规律来解决．
(2)∵函数y＝3x中用－x代x，y不变，即得y＝3－x，
∴关于y轴对称；
(3)∵函数y＝3x中用－y代y，x不变，即得y＝－3x，
∴关于x轴对称．
(4)∵函数y＝3x中用－x代x，用－y代y，即得y＝－3－x，∴关于原点对称．
【例6】 正解：令t＝x，则t∈(0，＋∞)，原函数可化为y＝t2＋t＋1＝2＋.
因为函数y＝2＋在(0，＋∞)上是增加的，所以y＞1，即原函数的值域是(1，＋∞)．
1 函数f(x)＝ax在R上是增函数，则实数a的取值范围是( )．
A．0＜a＜1 B．a＜1 C．a＞1 D．R
2 函数y＝0.22x的大致图像是( )．
3 函数y＝的值域是( )．
A．(－∞，0) B．(0,1] C．[1，＋∞) D．(－∞，1]
4 函数f(x)＝a3－x＋1(a＞0，a≠1)的图像恒过定点的坐标是__________．
5 比较下列各题中两个值的大小：
(1)0.8－0.1,0.8－0.2；
(2)1.70.3,0.93.1；
(3)a1.3，a2.5(a＞0，a≠1)．
答案：1．C 2.B 3.B
4．(3,2) 当x＝3时，对于a＞0且a≠1总有f(3)＝a0＋1＝2，即过定点(3,2)．
5．分析：(1)由于底数相同，利用单调性法比较大小；(2)由于底数和指数均不同，用中间量法比较大小；(3)对底数a按与1的大小关系分类讨论．
解：(1)由于0＜0.8＜1，所以指数函数y＝0.8x在R上为减函数．
所以0.8－0.1＜0.8－0.2.
(2)1.70.3＞1,0.93.1＜1，所以1.70.3＞0.93.1.
(3)当a＞1时，函数y＝ax在R上是增函数，此时a1.3＜a2.5；
当0＜a＜1时，函数y＝ax在R上是减函数，此时a1.3＞a2.5.
即当a＞1时，a1.3＜a2.5；
当0＜a＜1时，a1.3＞a2.5.4．1 对数及其运算
1．理解并掌握对数的概念，并能熟练进行指数式与对数式的互化．
2．掌握对数运算性质，并能运用其运算性质进行化简、求值和证明．
3．能利用对数知识用字母表示对数，解对数方程．
1．对数
(1)定义：一般地，如果a(a＞0，a≠1)的b次幂等于N，即ab＝N，那么数____叫作以a为底N的对数，记作____＝b.其中a叫作对数的______，N叫作______．logaN读作以a为底N的对数．
对数式logaN＝b可看作一种记号，表示关于b的方程ab＝N(a＞0，a≠1)的解；也可以看作一种运算，即已知底为a(a＞0，a≠1)，幂为N，求幂指数的运算，因此，对数式logaN＝b又可看作幂运算的逆运算．
(2)特殊对数：通常将以____为底的对数叫作常用对数，并把log10N简记作______；在科学技术中常使用以无理数e＝2.718 28…为底数的对数，以____为底的对数称为自然对数，并把logeN简记作______．
(3)常见结论：负数和零没有对数；loga1＝______；logaa＝______；alogaN＝______.
【做一做1－1】 3b＝5化为对数式是( )．
A．logb3＝5 B．log35＝b
C．log5b＝3 D．log53＝b
【做一做1－2】 log117＝x化为指数式是( )．
A．7x＝11 B．11x＝7
C．x7＝11 D．x11＝7
2．对数的运算性质
如果a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，则：
(1)loga(MN)＝________；(2)logaMn＝________(n∈R)；(3)loga＝__________.
注意：loga(MN)≠(logaM)(logaN)，
loga(M＋N)≠logaM＋logaN，loga≠.
积的对数变加法，商的对数变减法，
幂的乘方取对数，要把指数提到前．
【做一做2】 若a＞0，a≠1，x＞y＞0，下列式子中正确的个数是( )．
①logax·logay＝loga(x＋y)；②logax－logay＝loga(x－y)；③loga＝logax÷logay；④loga(xy)＝logax·logay.
A．0 B．1 C．2 D．3
答案：1．(1)b logaN 底数 真数 (2)10 lg N e lnN
(3)0 1 N
【做一做1－1】 B
【做一做1－2】 B
2．(1)logaM＋logaN (2)nlogaM (3)logaM－logaN
【做一做2】 A
1．如何理解对数的概念及性质？
剖析：由于ab＝Nb＝logaN，故借助指数来分析理解对数的概念及性质．
(1)对数式logaN＝b是由指数式ab＝N变换而来的，两式底数相同，对数式中的真数N就是指数式中的幂的值N，而对数值b是指数式中的幂指数．对数式与指数式的关系如图所示．
在指数式ab＝N中，若已知a，N求幂指数b，便是对数运算b＝logaN.
(2)对数记号logaN只有在a＞0，a≠1，N＞0时才有意义．
因为在ab＝N中，a＞0，a≠1，所以在logaN中，a＞0，a≠1.
又因为正数的任何次幂都是正数，即ab＞0(a＞0)，故N＝ab＞0.
(3)并不是所有的指数式都能直接改写成对数式，如(－2)2＝4不能写成log－24＝2，只有在a＞0，a≠1，N＞0时，才有ab＝Nb＝logaN.
2．如何正确运用对数的运算法则？
剖析：(1)在运算过程中避免出现以下错误：
loga(MN)＝logaM·logaN.
loga＝.
logaNn＝(logaN)n.
logaM±logaN＝loga(M±N)．
(2)注意前提条件：a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，尤其是M，N都是正数这一条件，否则M，N中有一个小于或等于0，就导致logaM或logaN无意义，另外还要注意，M＞0，N＞0与M·N＞0并不等价．
(3)要注意对数运算法则的逆用．
题型一 指数式与对数式的互化
【例1】 (1)将对数式＝－3化为指数式；
(2)将指数式－2＝16化为对数式；
(3)求式子log2(log5x)＝0中的x.
分析：利用ab＝Nb＝logaN.
反思：对数的定义是对数形式和指数形式互化的依据，而对数形式与指数形式的互化又是解决问题的重要手段．
题型二 化简、求值
【例2】 计算下列各式的值：
(1)log2＋log212－log242；
(2)lg 52＋lg 8＋lg 5·lg 20＋(lg 2)2.
分析：利用对数运算性质进行计算．
反思：对于同底的对数的化简，常用方法是：
(1)“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数，如本题(1)；
(2)“拆”，将积(商)的对数拆成对数的和(差)，如本题(2)．
题型三 对数基本性质的应用
【例3】 求下列各式中x的值．
(1)log2(log4x)＝0；
(2)log3(lg x)＝1；
(3) ＝x.
分析：解答本题可利用对数的基本性质及对数与指数之间的关系求解．
反思：1.对数的性质：
(1)零和负数没有对数．
(2)设a＞0，a≠1，则有a0＝1.所以loga1＝0.即1的对数等于0.
(3)设a＞0，a≠1，则有a1＝a，所以logaa＝1，即底数的对数为1.
2．利用“底数”和“1”的对数的值为“1”和“0”，有利于化简和计算．
题型四 用已知对数表示其他对数
【例4】 用logax，logay，logaz表示下列各式：
(1)loga；(2)loga.
分析：应用对数的运算性质解决．
反思：用已知对数表示其他对数时，关键是应用对数运算性质，将真数“拆”成已知对数的真数形式．
题型五 易错辨析
易错点 忽略真数大于0导致出错
【例5】 已知lg x＋lg y＝2lg(x－2y)，求的值．
错解：因为lg x＋lg y＝2lg(x－2y)，
所以xy＝(x－2y)2，即x2－5xy＋4y2＝0.
所以(x－y)(x－4y)＝0，解得x＝y或x＝4y.
则＝1或＝4，所以＝＝0或＝＝4.
错因分析：错解中忽略了lg x＋lg y＝2lg(x－2y)成立的前提是即x＞2y＞0，在求出x，y的关系后未检验是否满足前提条件，从而导致产生增根．
答案：【例1】 解：(1)因为＝－3，所以－3＝27.
(2)因为－2＝16，所以＝－2.
(3)因为log2(log5x)＝0，
所以log5x＝1，则x＝51＝5.
【例2】 解：(1)原式＝log2＝log2＝－.
(2)原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5×(1＋lg 2)＋(lg 2)2
＝2(lg 5＋lg 2)＋lg 5＋lg 2(lg 5＋lg 2)
＝2＋lg 5＋lg 2＝2＋1＝3.
【例3】 解：(1)∵log2(log4x)＝0，∴log4x＝20＝1.
∴x＝41＝4.
(2)∵log3(lg x)＝1，∴lg x＝31＝3.
∴x＝103＝1 000.
(3)∵＝x，
∴(－1)x＝
＝＝
＝－1.∴x＝1.
【例4】 解：(1)loga ＝loga(xy)－logaz＝logax＋logay－logaz；
(2)loga ＝loga(x2 )－loga ＝logax2＋loga －loga ＝2logax＋logay－logaz.
【例5】 正解：因为lg x＋lg y＝2lg(x－2y)，
所以xy＝(x－2y)2，即x2－5xy＋4y2＝0.
所以(x－y)(x－4y)＝0，解得x＝y或x＝4y.
因为x＞0，y＞0，x－2y＞0，所以x＝y应舍去．
则＝4，所以
1 (2011长春高一期末)下列指数式与对数式互化不正确的一组是( )．
A．e0＝1与ln 1＝0
B．与
C．log39＝2与＝3
D．log77＝1与71＝7
2 在b＝log2(5－a)中，实数a的取值范围是( )．
A．a＞5 B．a＞0 C．a＜5 D．R
3 (2011浙江台州高一期末)log2的值是( )．
A． B. C． D.
4 若log3＝0，则x＝__________.
5 已知log23＝a，log25＝b，用a，b表示下列各式：
(1)log20.6；(2)log2；(3)log2.
答案： 1．C 选项C中，log39＝2的指数式为32＝9.
2．C 由对数的定义，知5－a＞0a＜5.
3．D log2＝.
4．－4 由题意得＝1，解得x＝－4，经检验x＝－4是原方程的根．
5．解：(1)log20.6＝log2 ＝log23－log25＝a－b.
(2)log2 log2(3×5×2)＝(log23＋log25＋log22)＝(a＋b＋1)．
(3)log2＝－log2125＝log23－3log25＝a－3b.5.3 对数函数的图像和性质
1．理解并掌握对数函数的概念，会画对数函数的图像．
2．根据图像掌握对数函数的性质．
3．能利用对数函数的图像和性质来比较大小、求定义域和值域、确定单调区间等．
对数函数的图像和性质
如下表所示：
a＞1 0＜a＜1
图像
性质 (1)定义域：______ (1)定义域：______
(2)值域：______ (2)值域：______
(3)过定点______，即当x＝1时，y＝0 (3)过定点______，即当x＝1时，y＝0
(4)当x＞1时，y＞0，0＜x＜1时，y＜0 (4)当x＞1时，y＜0，0＜x＜1时，y＞0
(5)是(0，＋∞)上的______ (5)是(0，＋∞)上的______
①对数logax的符号(x＞0，a＞0，a≠1)：
当x＜1，a＜1或x＞1，a＞1时，logax＞0，即当真数x和底数a同大于(或小于)1时，对数logax＞0，也就是为正数，简称为“同正”；
当x＜1，a＞1或x＞1，a＜1时，logax＜0，即当真数x和底数a中一个大于1，而另一个小于1时，也就是说真数x和底数a的取值范围“相异”时，对数logax＜0，即为负数，简称为“异负”．
因此对数的符号简称为“同正异负”．
②助记口诀：
对数增减有思路，函数图像看底数，
底数只能大于0，等于1来也不行．
底数若是大于1，图像从下往上增，
底数0到1之间，图像从上往下减．
无论函数增和减，图像都过(1,0)点．
【做一做1－1】 函数y＝logax(a＞0，a≠1)的图像过定点( )．
A．(1,1) B．(1,0) C．(0,1) D．(0,0)
【做一做1－2】 函数y＝的定义域是( )．
A．(3，＋∞) B．[3，＋∞) C．(4，＋∞) D．[4，＋∞)
【做一做1－3】 函数y＝的值域是________．
答案：(1)(0，＋∞) (1)(0，＋∞) (2)R (2)R (3)(1,0) (3)(1,0) (5)增函数 (5)减函数
【做一做1－1】 B
【做一做1－2】 D 使函数有意义，需log2x－2≥0，
即log2x≥2＝log24，∴x≥4.
【做一做1－3】 [－2，＋∞) ∵4x－x2≤4，
∴(4x－x2)≥4＝－2.
1．函数y＝logax(a＞0，a≠1)的底数变化对图像位置有何影响？
剖析：观察图像，注意变化规律：
(1)上下比较：在直线x＝1的右侧，a＞1时，a越大，图像越靠近x轴，0＜a＜1时，a越小，图像越靠近x轴．
(2)左右比较：(比较图像与y＝1的交点)交点的横坐标越大，对应的对数函数的底数越大．
画对数函数y＝logax的图像时，应牢牢抓住三个关键点(a,1)，(1,0)，.
2．对数函数和指数函数的性质有什么区别和联系？
剖析：将对数函数和指数函数的性质对比列成表，如下表所示：
名称 指数函数 对数函数
解析式 y＝ax(a＞0，a≠1) y＝logax(a＞0，a≠1)
定义域 (－∞，＋∞) (0，＋∞)
值域 (0，＋∞) (－∞，＋∞)
单调性 当a＞1时为增函数，当0＜a＜1时为减函数
函数值变化情况 当a＞1时：若x＞0，则y＞1；若x＝0，则y＝1；若x＜0，则0＜y＜1 当a＞1时：若x＞1，则y＞0；若x＝1，则y＝0；若0＜x＜1，则y＜0
当0＜a＜1时：若x＞0，则0＜y＜1；若x＝0，则y＝1；若x＜0，则y＞1 当0＜a＜1时：若x＞1，则y＜0；若x＝1，则y＝0；若0＜x＜1，则y＞0
图像 y＝ax(a＞0，a≠1)的图像与y＝logax(a＞0，a≠1)的图像关于直线y＝x对称
通过将对数函数与指数函数的性质进行对比，可以发现：当a＞1或0＜a＜1时，对数函数与指数函数的单调性是一致的；定义域和值域恰好相反；对数函数的反函数是指数函数，所以可以利用指数函数的性质来研究对数函数．应该注意到：这两种函数都要求底数a＞0，a≠1.
题型一 求定义域
【例1】 求函数f(x)＝的定义域．
分析：x取值需使被开方数为非负数且真数为正实数．
反思：求与对数函数有关的函数定义域时，除遵循前面已学习过的求函数定义域的方法外，还要对这种函数自身有如下要求：(1)要特别注意真数大于零；(2)要注意对数的底数；(3)按底数的取值应用单调性，有针对性地解不等式．
题型二 比较大小
【例2】 比较下列各组中两个值的大小：
(1)log31.9， log32；
(2)log23，log0.32；
(3)logaπ，loga3.141.
分析：(1)构造函数y＝log3x，利用其单调性比较；
(2)分别比较与0的大小；
(3)分类讨论底数a的取值范围．
反思：比较两个对数值大小的方法：①单调性法：当底数相同时，构造对数函数利用其单调性来比较大小，如本题(1)；②中间量法：当底数和真数都不相同时，通常借助常数(常用－1,0,1)为媒介间接比较大小，如本题(2)；③分类讨论：当底数与1的大小关系不确定时，要对底数与1的大小分类讨论，如本题(3)．
题型三 对数函数的图像
【例3】 作出函数y＝log2|x＋1|的图像，由图像指出函数的单调区间，并说明它的图像可由y＝log2x的图像经过怎样变换而得到．
分析：
反思：(1)掌握对数函数y＝logax(a＞0，a≠1)的图像．
(2)由y＝logax到y＝loga(x＋h)是平移变换，由y＝logax到y＝loga|x|是对称变换，有对称又有平移时，先对称再平移．
(3)图像与性质是对应的，由图像得性质较直观、形象．
题型四 求单调区间
【例4】 求下列函数的单调区间：
(1)y＝；
(2)y＝.
分析：复合函数的单调性的判断仍然用复合函数判断法，即“同增异减”，但要考虑函数的定义域．
反思：有关对数函数的复合函数的单调性问题，仍然用“同增异减”来处理，但要注意对数函数的定义域，即真数必须大于零．
答案：【例1】 解：要使函数有意义，需有
即解得＜x≤1.
∴函数f(x)的定义域为.
【例2】 解：(1)(单调性法)因为y＝log3x在(0，＋∞)上是增函数，所以log31.9＜log32.
(2)(中间量法)因为log23＞log21＝0，log0.32＜0，
所以log23＞log0.32.
(3)(分类讨论)当a＞1时，函数y＝logax在定义域上是增函数，则有logaπ＞loga3.141；
当0＜a＜1时，函数y＝logax在定义域上是减函数，则有logaπ＜loga3.141.
综上所得，当a＞1时，logaπ＞loga3.141；
当0＜a＜1时，logaπ＜loga3.141.
【例3】 解：作出函数y＝log2x的图像，将其关于y轴对称得到图像y＝log2|x|的另一分支曲线．再将整个图像向左平移1个单位长度就得到函数y＝log2|x＋1|的图像．如图所示．
由图可得函数y＝log2|x＋1|的递减区间为(－∞，－1)，递增区间为(－1，＋∞)．
【例4】 解：(1)令t＝x2－2x－3，则y＝在(0，＋∞)上递减．
而t＝x2－2x－3在(－∞，1]上递减，在[1，＋∞)上递增，但t＝x2－2x－3＞0，
∴x＞3或x＜－1.
故函数f(x)＝(x2－2x－3)的递增区间为 (－∞，－1)，递减区间为(3，＋∞)．
(2)令t＝ x，则t＝x在(0，＋∞)上递减，而y＝t2－6t＋2在(－∞，3]上递减，在[3，＋∞)上递增，
∴t＝≤3，即x≥时，y＝()2－6＋2递增；当t＝≥3，即0＜x≤时，函数递减．故函数y＝()2－6＋2的递增区间为，递减区间为.
1 (2010广东高考，文2)函数f(x)＝lg(x－1)的定义域是( )．
A．(2，＋∞) B．(1，＋∞) C．[1，＋∞) D．[2，＋∞)
2 已知函数f(x)＝log(a＋1)x是(0，＋∞)上的增函数，那么a的取值范围是( )．
A．(0,1) B．(1，＋∞) C．(－1,0) D．(0，＋∞)
3 若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a＞0，a≠1)的反函数，且f(2)＝1，则f(x)等于( )．
A．log2x B. C． D．2x－2
4 (2011浙江台州高一期末)设f(x)＝则＝__________.
5 比较loga2与loga3的大小(a＞0，a≠1)．
答案：1．B 由x－1＞0，得x＞1，
所以定义域为(1，＋∞)．
2．D 由题意得a＋1＞1，解得a＞0.
3．A 由题意，知f(x)＝logax，∵f(2)＝1，
∴loga2＝1.∴a＝2.∴f(x)＝log2x.故选A.
4．0 ，
＝f(0)＝20－1＝0.
5．解：设f(x)＝logax，
当0＜a＜1时，f(x)＝logax是减函数，
则f(2)＞f(3)，即loga2＞loga3；
当a＞1时，f(x)＝logax是增函数，
则f(2)＜f(3)，即loga2＜loga3.
综上可得，当0＜a＜1时，loga2＞loga3；
当a＞1时，loga2＜loga3.§1 正整数指数函数
问题导学
一、正整数指数函数的概念
活动与探究1
若函数y＝(a－2)x为正整数指数函数，求实数a的取值范围．
迁移与应用
1．下列函数中一定是正整数指数函数的是( )．
A．y＝x5(x∈N＋) B．y＝3x＋2(x∈N＋)
C．y＝4－x(x∈N＋) D．y＝4×3－x(x∈N＋)
2．若函数y＝(a2－3a＋3)·ax为正整数指数函数，求a的值．
判断一个函数是否是正整数指数函数的步骤是：
首先看形式：函数解析式为指数幂的形式，系数为1，且幂的底数为常数，此常数大于零且不为1，指数位置仅为x；其次看定义域：x的取值为全体正整数．
以上全部满足，函数是正整数指数函数，只要有一条不满足，函数就不是正整数指数函数．
二、正整数指数函数的图像与性质
活动与探究2
某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过1年，剩留的这种物质是原来的84%，假设这种放射性物质最初质量为1.
(1)写出这种物质的剩留量y随年数x(x∈N＋)变化的函数关系式；
(2)画出该函数的图像；
(3)说明该函数的单调性．
迁移与应用
1．函数y＝x，x∈N＋是( )．
A．增函数 B．减函数
C．奇函数 D．偶函数
2．画出正整数指数函数y＝3x(x∈N＋)的图像，并指出其单调性和值域．
1．正整数指数函数的图像是一系列孤立的点，且全部在第一象限内；
2．正整数指数函数不具有奇偶性，但具有单调性，当底数a＞1时，函数是增函数；当底数0＜a＜1时，函数是减函数．
三、正整数指数函数的应用
活动与探究3
高一某学生家长去年年底到银行存入2 000元活期存款，如果银行的年利率为0.38%(按复利计算)，他n年后把钱从银行全部取出，设取出的钱数为y，请写出n与y之间的关系式，12年后他把钱全部取出，能取多少钱？(只列式不计算)
迁移与应用
某公司研发了一种新产品，第一年获利100万元，以后每年比前一年多获利20%，则第三年获利__________万元．
1．正整数指数函数在实际生产、生活中具有广泛的应用，增长率问题、复利问题、细胞分裂问题、质量浓度等问题都与正整数指数函数相关．
2．求解实际应用问题的关键是仔细审题，把文字语言转化成数学语言进而建模，求解相应的数学模型，最后回归到实际问题．
当堂检测
1．下列函数中一定是正整数指数函数的是( )．
A．y＝2x＋1，x∈N＋ B．y＝x3，x∈N＋
C．y＝3－x，x∈N＋ D．y＝3×2x，x∈N＋
2．函数y＝x，x∈N＋的图像是( )．
A．一条上升的曲线 B．一条下降的曲线
C．一系列上升的点 D．一系列下降的点
3．若正整数指数函数y＝(a－1)x(x∈N＋)在N＋上是减函数，则实数a的取值范围是__________．
4．函数y＝x，x∈N＋，且x∈[－3,2]的值域是________．
5．某市现有人口总数为100万人，如果年自然增长率为1.2%，则经过x(x∈N＋)年后，该市人口总数y(万人)的表达式为__________．
提示：用最精炼的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记。
答案：
课前预习导学
【预习导引】
1．y＝ax N＋
预习交流1 提示：正整数指数函数的形式具有以下两个特点：
(1)形如y＝ax形式．
(2)对各量的要求是a＞0，a≠1，x∈N＋.
预习交流2 提示：由于正整数指数函数的定义域是正整数集N＋，而正整数集是不连续的，所以用描点法画正整数指数函数的图像时，不能用平滑的曲线连起来，也就是说，正整数指数函数的图像是由一系列孤立的点组成的．
2．y＝kax(k∈R，k≠0，k≠1，a＞0，且a≠1)
课堂合作探究
【问题导学】
活动与探究1 思路分析：利用正整数指数函数的定义来求a的取值范围．
解：若函数y＝(a－2)x为正整数指数函数，
则解得a＞2，且a≠3.
所以实数a的取值范围是{a|a＞2，且a≠3}．
迁移与应用 1．C 解析：y＝4－x＝x(x∈N＋)是正整数指数函数．
2．解：若函数y＝(a2－3a＋3)·ax为正整数指数函数，需满足解得a＝2.
活动与探究2 思路分析：通过归纳分析，将剩留量y表示成经过年数x的函数，并可列表、描点、作图，进而求得答案．
解：(1)由于这种物质最初的质量是1，经过x年，剩留量是y.
经过1年，剩留量y＝1×84%＝0.841；
经过2年，剩留量y＝1×84%×84%＝0.842；
……
一般地，经过x年，剩留量y随年数x变化的函数关系式为y＝0.84x(x∈N＋)．
(2)根据这个函数关系式可以列表如下：
x 1 2 3 4 5 6 …
y 0.84 0.71 0.59 0.50 0.42 0.35 …
用描点法画出正整数指数函数y＝0.84x的图像(如下图)，它的图像是由一些孤立的点组成的．
(3)通过计算和看图可知，随着年数的增加，剩留量在逐渐减少，即该函数为减函数．
迁移与应用 1．A
2．解：列表，描点作图，如图所示．
x 1 2 3 …
y 3 9 27 …
单调性：函数y＝3x(x∈N＋)是增函数．
值域：{3,32,33，…}．
活动与探究3解：一年后他应取出的钱数为y＝2 000(1＋0.38%)，两年后他应取出的钱数为y＝2 000(1＋0.38%)2；三年后他应取出的钱数为y＝2 000(1＋0.38%)3，…，n年后他应取出的钱数为y＝2 000(1＋0.38%)n；所以n与y之间的关系式为y＝2 000(1＋0.38%)n(n∈N＋),12年后他把钱全部取出，取出的钱数应为y＝2 000 (1＋2.38%)12.
迁移与应用 144 解析：依题意，第三年获利为100×(1＋20%)2＝144万元．
【当堂检测】
1．C 解析：能化简的首先化简，正整数指数函数最终应为y＝ax(a＞0，且a≠1)的形式，其中指数仅为自变量，且x∈N＋，ax的系数为1.而A中y＝2x＋1＝2×2x；B中y＝x3是幂函数的形式；D中y＝3×2x，均不符合；C中y＝3－x＝x符合题目要求．
2．D 解析：底数0＜＜1，函数为减函数，图像下降．因为x∈N＋，所以其图像为一系列下降的点．
3．1＜a＜2 解析：依题意，应有0＜a－1＜1，解得1＜a＜2.
4． 解析：∵x∈[－3,2]，且x∈N＋，
∴x＝1,2.
又∵y＝x，∴y∈.
5．y＝100×(1＋1.2%)x 解析：经过1年，人口总数为100×(1＋1.2%)，经过2年，人口总数为100×(1＋1.2%)2，…，因此经过x年后，人口总数为y＝100×(1＋1.2%)x.
