4.3 空间直角坐标系
问题导学
一、求空间点的坐标
活动与探究1
在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是D1D，BD的中点，G在棱CD上，且CG＝CD，H为C1G的中点，试建立适当的坐标系，写出E，F，G，H的坐标．
迁移与应用
1．在空间直角坐标系中有一点P(1，，)，过点P作平面xOy的垂线PQ，则垂足Q的坐标为( )
A．(0，，0) B．(0，，)
C．(1,0，) D．(1，，0)
2．已知三棱锥S－ABC，SA⊥面ABC，SA＝2，△ABC为正三角形且边长为2，如图建立空间直角坐标系后，试写出各顶点坐标．
(1)题目若未给出坐标系，建立空间直角坐标系时应遵循以下原则：
①让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内；
②充分利用几何图形的对称性．
(2)求某点的坐标时，一般先找这一点在某一坐标平面上的射影，确定其两个坐标，再找出它在另一轴上的射影(或者通过它到这个坐标平面的距离加上正负号)确定第三个坐标．
二、求对称点的坐标
活动与探究2
在空间直角坐标系中，点P(－2,1,4)．
(1)求点P关于x轴的对称点的坐标；
(2)求点P关于xOy平面的对称点的坐标；
(3)求点P关于点M(2，－1，－4)的对称点的坐标．
迁移与应用
1．在空间直角坐标系中，已知点P(x，y，z)，给出下列四种说法：
①点P关于x轴的对称点的坐标是(x，－y，z)；
②点P关于yOz平面的对称点的坐标是(x，－y，－z)；
③点P关于y轴的对称点的坐标是(x，－y，z)；
④点P关于原点的对称点的坐标是(－x，－y，－z)．
其中正确的个数是( )
A．3 B．2 C．1 D．0
2．在空间直角坐标系中，P(2,3,4)，Q(－2,3,4)两点的位置关系是________．
(1)求对称点的坐标可按以下规律写出：“关于谁对称谁不变，其余的符号均相反”，如关于x轴对称的点，横坐标不变，纵坐标、竖坐标变为原来的相反数；关于xOy坐标平面对称的点，横、纵坐标不变，竖坐标变为原来的相反数．特别地，若关于原点对称，则三个坐标均变为原来的相反数．
(2)在空间直角坐标系中，若A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则线段AB的中点坐标为，．
三、空间两点间距离公式及应用
活动与探究3
(1)已知A(1,2，－1)，B(2,0,2)，
①在x轴上求一点P，使|PA|＝|PB|；
②在xOz平面内的点M到A点与到B点等距离，求M点轨迹．
(2)在xOy平面内的直线x＋y＝1上确定一点M，使它到点N(6,5,1)的距离最小．
迁移与应用
1．空间中，两点M1(－1,0,2)，M2(0,3，－1)间的距离是__________．
2．已知空间直角坐标系内，M(4,1,2)，点P是x轴上一点，且PM＝，则点P的坐标为__________．
3．在空间直角坐标系中，已知点A(1,0,2)，B(1，－3,1)，点M在y轴上，且M到A与到B的距离相等，则M的坐标是__________．
4．空间内到点A(2，－1,4)的距离为5的点的轨迹方程为__________．
空间距离公式是平面上两点间距离公式的推广．一些平面上的解题思想、方法，对空间几何我们仍可借用．
当堂检测
1．点P(3,0,4)，Q(0,0，－3)在空间直角坐标系中的位置分别是在( )
A．y轴上、x轴上 B．xOz平面上、y轴上
C．xOz平面上、z轴上 D．xOy平面上、yOz平面上
2．已知点M(－3,5,2)，点M关于y轴的对称点为P，点M关于xOz平面的对称点为Q，则( )
A．P(3，－5，－2)，Q(－3，－5,2)
B．P(3,5，－2)，Q(－3，－5,2)
C．P(－3，－5，－2)，Q(－3,5，－2)
D．P(3，－5,2)，Q(3，－5,2)
3．如图，在空间直角坐标系中，有一棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1，A1C的中点E到AB的中点F的距离为( )
A．2 B．
C．2 D．1
4．设点M(4，－4,1)，N是z轴上的点，则|MN|的最小值为__________．
5．与平面xOy的距离等于6的点的坐标满足的条件是__________．
提示：用最精练的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记．
答案：
【预习导引】
1．(1)①x轴 y轴 z轴 ②O x轴、y轴、z轴 每两个坐标轴 xOy yOz zOx (2)x轴 y轴 z轴 (3)135° 90°
预习交流1 提示：三个坐标平面两两垂直；在xOy平面内画平面图形时，应采用斜二测画法．
2．有序实数组(x，y，z) 有序实数组(x，y，z) M(x，y，z) x y z
3．平面
预习交流2 提示：x轴上点的坐标的纵坐标与竖坐标均为0，形式为(x,0,0)；
y轴上点的坐标的横坐标与竖坐标均为0，形式为(0，y,0)；
z轴上点的坐标的横坐标与纵坐标均为0，形式为(0,0，z)．
xOy平面内的点的坐标的竖坐标为0，形式为(x，y,0)；
xOz平面内的点的坐标的纵坐标为0，形式为(x，0，z)；
yOz平面内的点的坐标的横坐标为0，形式为(0，y，z)．
4．平面
5．|P1P2|＝
课堂合作探究
【问题导学】
活动与探究1 思路分析：求空间直角坐标系内点的坐标时，一般找出要求的点在xOy面上射影的坐标，再找该点与射影间的距离以确定竖坐标．
解：建立如图所示的空间直角坐标系，
点E在z轴上，E为DD1的中点，故其坐标为．
过点F作FM⊥AD，FN⊥DC，由平面几何知FM＝，FN＝，
故F点坐标为．
点G在y轴上，
又GD＝，所以G点坐标为．
过H作HK⊥CD于K．因为H是C1G的中点，所以K为CG的中点，所以DK＝，HK＝．故H点坐标为．
迁移与应用 1．D
2．解：∵SA⊥面ABC，且SA＝2，
∴S(0,0,2)．
∵A为原点，∴A(0,0,0)．
∵C点在y轴上，且AC＝2，
∴C(0,2,0)．
B点位于平面xAy内，由B向AC作垂线交AC于D，则AD＝1，BD＝，∴B(，1,0)．
活动与探究2 思路分析：求对称点的坐标，可以过该点向对称平面或对称轴作垂线并延长使得垂足为所作线段的中点，再根据有关性质即可写出对称点坐标．
解：(1)由于点P关于x轴对称后，它在x轴的分量不变，在y轴、z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点为P1(－2，－1，－4)．
(2)由于点P关于xOy平面对称后，它在x轴、y轴的分量不变，在z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点为P2(－2,1，－4)．
(3)设对称点为P3(x，y，z)，则点M为线段PP3的中点，由中点坐标公式，可得x＝2×2－(－2)＝6，y＝2×(－1)－1＝－3，z＝2×(－4)－4＝－12，所以P3(6，－3，－12)．
迁移与应用 1．C
2．关于坐标平面yOz对称
活动与探究3 思路分析：根据点P，M的位置，设出它们的坐标，根据条件列出关系式，再化简求解．
解：(1)①设P(a,0,0)，则由已知得＝，
即a2－2a＋6＝a2－4a＋8，解得a＝1，
所以P点坐标为(1,0,0)．
②设M(x,0，z)，则有
＝，
整理得2x＋6z－2＝0，即x＋3z－1＝0．
故M点的轨迹是xOz平面内的一条直线．
(2)由已知，可设M(x,1－x,0)，则
|MN|＝
＝．
所以当x＝1时，|MN|min＝，此时点M(1,0,0)．
迁移与应用 1．
2．(9,0,0)或(－1,0,0)
3．(0，－1,0)
4．(x－2)2＋(y＋1)2＋(z－4)2＝25
【当堂检测】
1．C 2．B
3．B 4．8 5．z＝±64.2 直线、圆的位置关系
4.2.1 直线与圆的位置关系
问题导学
一、直线与圆位置关系的判断
活动与探究1
已知圆的方程是x2＋y2＝1，直线y＝x＋b．当b为何值时，
(1)圆与直线有两个公共点；
(2)圆与直线只有一个公共点；
(3)圆与直线没有公共点．
迁移与应用
1．直线3x＋4y－5＝0与圆x2＋y2－2x＋2y－7＝0的位置关系是( )
A．相离 B．相切
C．相交但不过圆心 D．相交且过圆心
2．直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝4的位置关系是__________．
判断直线与圆的位置关系有两种方法：代数法与几何法．具体用哪种方法判断直线与圆的位置关系，应由条件而定．代数法是从方程角度考虑，较繁琐；如果求交点坐标，就必须用该法；几何法是从几何角度考虑，方法简单，成为判断直线与圆位置关系的常用方法．
二、直线与圆相切问题
活动与探究2
过点A(4，－3)作圆C：(x－3)2＋(y－1)2＝1的切线，求此切线的方程．
迁移与应用
1．过点P(，)作圆x2＋y2＝4的切线，则切线方程为__________．
2．圆心为(1,1)且与直线x－y＝4相切的圆的方程为__________．
3．求与直线y＝x＋2平行且与圆(x－2)2＋(y－3)2＝8相切的直线的方程．
解答直线与圆相切问题时，通常用圆心到直线的距离等于半径求解．
经过圆上一点的切线有一条，经过圆外一点的切线有两条，在求切线方程时，要注意斜率不存在的情况．
三、直线与圆相交问题
活动与探究3
已知过点M(－3，－3)的直线l被圆x2＋y2＋4y－21＝0所截得的弦长为4，求直线l的方程．
迁移与应用
1．直线y＝kx被圆x2＋y2＝2截得的弦长等于________．
2．已知一圆C的圆心为(2，－1)，且该圆被直线l：x－y－1＝0截得的弦长为2，求该圆的方程．
直线与圆相交后的弦长问题，常采用几何法(半弦长、弦心距，圆的半径构成的直角三角形)求解．
当堂检测
1．若直线x＋y＋m＝0与圆x2＋y2＝m相切，则m为( )
A．0或2 B．2 C． D．无解
2．若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是( )
A．[－3，－1] B．[－1,3]
C．[－3,1] D．(－∞，－3]∪[1，＋∞)
3．圆x2＋y2－4x＋4y＋6＝0截直线x－y－5＝0所得的弦长等于( )
A． B． C．1 D．5
4．垂直于x轴的直线l被圆x2＋y2－4x－5＝0截得的弦长为2，则直线l的方程为__________．
5．自点A(2,3)作圆x2＋y2－2y－4＝0的切线，则切线长为________．
提示：用最精练的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记．
答案：
课前预习导学
【预习导引】
2 1 0 ＜ ＝ ＞ ＞ ＝ ＜
预习交流 (1)提示：利用圆心到直线的距离等于半径求解，但要注意直线的斜率不存在的情况．
(2)提示：解答这类问题常利用半弦长、半径及弦心距组成的直角三角形求解．
课堂合作探究
【问题导学】
活动与探究1 思路分析：可联立方程组，由方程组解的个数求解，也可求出圆心到直线的距离，与半径比较求解．
解：方法一：联立直线和圆的方程组成方程组：
整理可得2x2＋2bx＋b2－1＝0，其中Δ＝4(2－b2)．
(1)当Δ＝0，即b＝±时，直线和圆相切，此时直线和圆仅有一个公共点．
(2)当Δ＞0，即－＜b＜时，直线和圆相交，此时直线和圆有两个公共点．
(3)当Δ＜0，即b＜－或b＞时，直线和圆相离，此时直线和圆没有公共点．
方法二：圆x2＋y2＝1的圆心(0,0)到直线l：y＝x＋b的距离d＝，圆的半径为r＝1．
(1)当d＝＝1，即b＝±时，直线与圆相切，此时直线与圆有一个公共点．
(2)当d＝＜1，即－＜b＜时，直线与圆相交，此时直线与圆有两个公共点．
(3)当d＝＞1，即b＜－或b＞时，直线与圆相离，此时直线与圆没有公共点．
迁移与应用 1．C 2．相交
活动与探究2 思路分析：利用圆心到直线的距离等于圆的半径求出直线斜率，进而求出切线方程．
解：因为(4－3)2＋(－3－1)2＝17＞1，所以点A在圆外．
(1)若所求直线的斜率存在，设切线斜率为k，则切线方程为y＋3＝k(x－4)．因为圆心C(3,1)到切线的距离等于半径，半径为1，所以＝1，即|k＋4|＝，所以k2＋8k＋16＝k2＋1．解得k＝－．所以切线方程为y＋3＝－(x－4)，即15x＋8y－36＝0．
(2)若直线斜率不存在，
圆心C(3,1)到直线x＝4的距离也为1，这时直线与圆也相切，所以另一条切线方程是x＝4．
综上，所求切线方程为15x＋8y－36＝0或x＝4．
迁移与应用 1．x＋y－2＝0
2．(x－1)2＋(y－1)2＝8
3．解：设所求的切线方程为y＝x＋b，即x－y＋b＝0．∵圆心坐标为(2,3)，半径为2，
∴＝2，即|b－1|＝4，b＝5或－3．∴所求的切线方程为x－y－3＝0或x－y＋5＝0．
活动与探究3 思路分析：设出直线的斜率，利用圆半径、弦心距、弦长之间的关系求出斜率，再由点斜式写出直线的方程．
解：将圆的方程写成标准形式，得x2＋(y＋2)2＝25．
若直线l斜率不存在，则直线方程为x＝－3．圆心到该直线距离为3，又圆半径为5，所以求得弦长为8，不合题意，舍去．
若直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＋3＝k(x＋3)，即kx－y＋3k－3＝0．
圆心到直线l的距离为d＝，则2＋(2)2＝25．解得k＝－或k＝2．
所以所求直线的方程为y＋3＝－(x＋3)或y＋3＝2(x＋3)，即x＋2y＋9＝0或2x－y＋3＝0．
迁移与应用 1．2
2．解：设圆C的方程是(x－2)2＋(y＋1)2＝r2(r＞0)，则弦长l＝2，其中d为圆心到直线x－y－1＝0的距离，d＝．
∴l＝2＝2．
∴r2＝4．圆方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝4．
【当堂检测】
1．B 2．C 3．A 4．x＝0或x＝4 5．4.2.3 直线与圆的方程的应用
问题导学
一、直线与圆的方程的实际应用
活动与探究1
有一种大型商品，A，B两地均有出售且价格相同，某地居民从两地之一购得商品运回来，每千米的运费A地是B地的两倍，若A，B两地相距10千米，顾客选择A地或B地购买这种商品的运费和价格的总费用较低，那么不同地点的居民应如何选择购买此商品的地点？
迁移与应用
一艘轮船沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报，台风中心位于轮船正西70 km处，受影响的范围是半径为30 km的圆形区域，已知港口位于台风中心正北40 km 处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？
利用直线与圆的方程解决实际问题的程序是：(1)认真审题，明确题意；(2)建立直角坐标系，用坐标表示点，用方程表示曲线，从而在实际问题中建立直线与圆的方程；(3)利用直线与圆的方程的有关知识求解问题；(4)把代数结果还原为实际问题的解释．
二、坐标法在平面几何中的应用
活动与探究2
如图所示，在圆O上任取C点为圆心，作一圆C与圆O的直径AB相切于D，圆C与圆O交于E，F，且EF与CD相交于H．
求证：EF平分CD．
迁移与应用
AB为圆的定直径，CD为直径，过点D作AB的垂线DE，延长ED到P，使|PD|＝|AB|，求证：直线CP必过一定点．
坐标法解决几何问题，要先建立适当的坐标系，用坐标、方程表示出相应的几何元素，如点、直线、圆等，将几何问题转化为代数问题来解决，通过代数的运算得到结果，分析结果的几何意义，得到几何结论．其中建立适当的坐标系是解题的关键，一般建系时要坚持如下原则：
①若有两条互相垂直的直线，一般以它们分别为x轴和y轴；
②充分利用图形的对称性；
③让尽可能多的点落到坐标轴上，或关于坐标轴对称；
④关键点的坐标易于求得．
三、与圆有关的最值问题
活动与探究3
已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0．求：
(1)的最大值和最小值；
(2)y－x的最大值和最小值；
(3)x2＋y2的最大值和最小值．
迁移与应用
1．已知直线l：3x＋4y－1＝0，圆x2＋y2＋6x＋8＝0上的点到直线l的最小距离是__________，最大距离是__________．
2．实数x，y满足x2＋y2＋2x－4y＋1＝0，求的最大值和最小值．
求与圆上的点的坐标有关的最值问题时，常常根据式子的结构特征，寻找它的几何意义，进而转化成与圆的性质有关的问题解决，其中构造斜率、截距、距离是最常用的方法．
当堂检测
1．过圆x2＋y2－8x－2y＋10＝0内一点M(3,0)的最长弦所在直线的方程是( )
A．2x－y－6＝0 B．2x＋y－6＝0
C．x＋y－3＝0 D．x－y－3＝0
2．实数x，y满足x2＋y2－4y＋3＝0，则的取值范围是( )
A．[－，] B．(－∞，)
C．[－，＋∞) D．(－∞，－]∪[，＋∞)
3．台风中心从A地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B在A的正东40千米处，B城市处于危险区内的时间为( )
A．0.5小时 B．1小时 C．1.5小时 D．2小时
4．直线l：x－2y－3＝0与圆C：(x－2)2＋(y＋3)2＝9交于E，F两点，则△EOF(O是坐标原点)的面积为________．
5．如图，圆弧形桥拱的跨度AB＝12米，拱高CD＝4米，则拱桥的直径为________．
提示：用最精练的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记．
答案：
课前预习导学
【预习导引】
(1)适当 坐标和方程 代数 (2)代数问题 (3)代数运算结果
课堂合作探究
【问题导学】
活动与探究1 思路分析：建系，把实际问题转化为数学问题求解．
解：以直线AB为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，如图所示．
设A(－5,0)，则B(5,0)．
在坐标平面内任取一点P(x，y)，设从A地运货到P地的运费为2a元/千米，则从B地运货到P地的运费为a元/千米．
若P地居民选择在A地购买此商品，则2a＜a，整理得2＋y2＜2．即点P在圆C：2＋y2＝2的内部．
也就是说，圆C内的居民应在A地购物．
同理可推得圆C外的居民应在B地购物．
圆C上的居民可随意选择A，B两地之一购物．
迁移与应用 解：以台风中心为坐标原点，以东西方向为x轴建立直角坐标系(如图所示)，其中取10 km为单位长度，则受台风影响的圆形区域所对应的圆的方程为x2+y2=9，港口所对应的点的坐标为(0,4)，轮船的初始位置所对应的点的坐标为(7,0)，则轮船航线所在直线l的方程为即4x+7y－28=0，圆心(0,0)到直线4x+7y－28=0的距离d=半径r=3．∵d＞r，∴直线与圆相离，∴轮船不会受到台风的影响．
活动与探究2 思路分析：建立适当坐标系，设出圆O和圆C的方程，利用两圆相交求公共弦的方程，证明CD与EF的交点是线段CD的中点．
证明：以AB所在直线为x轴，O为坐标原点建立平面直角坐标系．
如图，设|AB|=2r，D(a,0)，
则|CD|=，∴C(a，)．∴圆O：x2＋y2＝r2，圆C：(x－a)2＋(y－)2＝r2－a2．
两方程作差得直线EF的方程为2ax＋2y＝r2＋a2．
令x＝a，得y＝，
∴Heq \b\lc\(\rc\)()，即H为CD的中点．∴EF平分CD．
迁移与应用 证明：以线段AB所在的直线为x轴，
以AB的中点为原点，建立直角坐标系，如图，设圆的方程为x2+y2=r2，直径AB位于x轴上，动直径为CD．
令C(x0，y0)，则D(－x0，－y0)，
∴P(－x0，－y0－2r)．
∴直线CP的方程为y－y0＝(x－x0)，即(y0＋r)x－(y＋r)x0＝0．
∴直线CP过直线x＝0与直线y＋r＝0的交点(0，－r)，即直线CP过定点(0，－r)．
活动与探究3 思路分析：本题可将和y－x转化成与直线斜率、截距有关的问题，x2＋y2可看成是点(x，y)与点(0,0)距离的平方，然后结合图形求解．
解：(1)如图，方程x2＋y2－4x＋1＝0表示以点(2,0)为圆心，以为半径的圆．
设＝k，即y＝kx，易知圆心(2,0)到y＝kx的距离为半径时直线与圆相切，斜率取得最大、最小值．
由＝，解得k2＝3．
∴k＝或k＝－．
∴的最大值为，最小值为－．
(2)设y－x＝b，则y＝x＋b，由点到直线的距离公式，得＝，即b＝－2±．
∴y－x的最大值为－2＋，最小值为－2－．
(3)x2＋y2表示圆上的一点与原点的距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心的连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值，又圆心到原点的距离为＝2，所以x2＋y2的最大值是(2＋)2＝7＋4，x2＋y2的最小值是(2－)2＝7－4．
迁移与应用 1．1 3 解析：圆心到直线的距离加、减圆的半径，就是所求的最大值与最小值．∵圆的方程为(x＋3)2＋y2＝1，
∴±1＝2±1．∴最小距离为1，最大距离为3．
2．解：原方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝4，表示以P(－1,2)为圆心，2为半径的圆．
设k＝，几何意义是：圆上点M(x，y)与点Q(4,0)连线的斜率．
由图可知当直线MQ是圆的切线时，k取最大值与最小值．
设切线为y－0＝k(x－4)，即kx－y－4k＝0．
圆心P到切线的距离＝2，化简为21k2＋20k＝0，解得k＝0或k＝－．
∴的最大值为0，最小值为－．
【当堂检测】
1．D 2．D 3．B
4．
5．13米4.1.2 圆的一般方程
问题导学
一、圆的一般方程的定义
活动与探究1
判断方程x2＋y2－4mx＋2my＋20m－20＝0能否表示圆，若能表示圆，求出圆心和半径．
迁移与应用
1．将圆x2＋y2－2x－4y＋1＝0平分的直线是( )
A．x＋y－1＝0 B．x＋y＋3＝0
C．x－y＋1＝0 D．x－y＋3＝0
2．下列方程能表示圆的是________．
(1)x2＋y2＋2x＋1＝0；(2)x2＋y2＋2ay－1＝0；
(3)x2＋y2＋20x＋121＝0；(4)x2＋y2＋2ax＝0．
3．若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆，求实数m的取值范围及圆心坐标和半径．
形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程，判定其是否表示圆时可有如下两种方法：
(1)由圆的一般方程的定义，若D2＋E2－4F＞0，则表示圆，否则不表示圆；
(2)将方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0配方为
2＋2＝求解．
二、求圆的一般方程
活动与探究2
△ABC的三个顶点分别为A(－1,5)，B(－2，－2)，C(5,5)，求其外接圆的方程．
迁移与应用
求经过点C(－1,1)和D(1,3)且圆心在直线y＝x上的圆的一般方程．
用待定系数法求圆的方程：
(1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程的问题，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a，b，r．
(2)如果已知条件和圆心或半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出参数D，E，F．
三、求动点的轨迹方程
活动与探究3
已知动点M到点A(2,0)的距离是它到点B(8,0)的距离的一半．
(1)求动点M的轨迹方程；
(2)若N为线段AM的中点，试求点N的轨迹．
迁移与应用
1．到两个点A(－1,2)，B(3，－4)的距离相等的点的轨迹方程是________．
2．自A(4,0)引圆x2＋y2＝4的割线ABC，求弦BC中点P的轨迹方程．
求动点的轨迹方程就是建立动点的横、纵坐标x，y的方程，因而，在求动点的轨迹方程时，先设出动点的坐标(x，y)，再代入题目中给出的等量关系，化简即得动点的轨迹方程．
当堂检测
1．圆x2＋y2－2x＋6y＋8＝0的周长为( )
A．π B．2π C．2π D．4π
2．若圆x2＋y2－2kx－4＝0关于直线2x－y＋3＝0对称，则k等于( )
A． B．－ C．3 D．－3
3．如果圆的方程为x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0，那么当圆的面积最大时，圆心坐标为( )
A．(－1,1) B．(1，－1)
C．(－1,0) D．(0，－1)
4．过三点O(0,0)，A(4,0)，B(0，－2)的圆的一般方程为________________．
5．已知线段AB的长为4，且端点A，B分别在x轴与y轴上，则线段AB的中点M的轨迹方程为__________．
提示：用最精练的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记．
答案：
课前预习导学
【预习导引】
1．定点 定长 圆心 半径
2．(x－a)2＋(y－b)2＝r2
预习交流1 提示：圆的标准方程是由圆心坐标与半径确定的，因此求圆的标准方程只需求出圆心坐标与半径．
3．点在圆外 点在圆上 点在圆内
预习交流2 提示：判断点与圆的位置关系有两种方法：
①将所给的点M与圆心C的距离跟半径r比较：
若|CM|＝r，则点M在圆上；
若|CM|＞r，则点M在圆外；
若|CM|＜r，则点M在圆内．
②可利用圆的标准方程来确定：
点M(m，n)在圆C上 (m－a)2＋(n－b)2＝r2；
点M(m，n)在圆C外 (m－a)2＋(n－b)2＞r2；
点M(m，n)在圆C内 (m－a)2＋(n－b)2＜r2．
课堂合作探究
【问题导学】
活动与探究1 思路分析：第(1)题可直接利用圆的标准方程求解，第(2)题可先利用两点间距离公式求出半径，再用圆的标准方程求解．
解：(1)∵圆心为(2,3)，半径为2，即a＝2，b＝3，r＝2，
∴圆的方程为(x－2)2＋(y－3)2＝4．
(2)方法一：∵圆的半径r＝|CP|＝＝5，圆心在点(8，－3)，
∴圆的方程是(x－8)2＋(y＋3)2＝25．
方法二：∵圆心为C(8，－3)，故设圆的方程为(x－8)2＋(y＋3)2＝r2．
又∵点P(5,1)在圆上，∴(5－8)2＋(1＋3)2＝r2，∴r2＝25，
∴所求圆的方程是(x－8)2＋(y＋3)2＝25．
迁移与应用 1．B
2．解：设圆心C(a，b)，半径为r，则由中点坐标公式，得a＝＝5，b＝＝6．再由两点距离公式，得r＝|CP1|＝＝．∴所求圆的方程是(x－5)2＋(y－6)2＝10．
活动与探究2 思路分析：先求出两直线的交点坐标即圆心坐标，再求出半径并写出方程，求出A，B，C各点与圆心的距离，分别与半径比较，判断出点与圆的位置关系．
解：解方程组得
∴圆心M的坐标为(0,1)．半径r＝|MP|＝＝5．
∴圆的标准方程为x2＋(y－1)2＝50．
∵|AM|＝＝＜r，∴点A在圆内．
∵|BM|＝＝＝r，
∴点B在圆上．
∵|CM|＝＝＞r，
∴点C在圆外．
∴圆的标准方程为x2＋(y－1)2＝50．
点A在圆内，点B在圆上，点C在圆外．
迁移与应用 1．B
2．(1，＋∞)
活动与探究3 思路分析：解答本题，可用待定系数法，设出圆的标准方程求解，也可根据圆的几何性质求出圆的圆心坐标和半径．
解：方法一：设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2．
由已知条件得
解得∴所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10．
方法二：由A(2，－3)，B(－2，－5)得，AB的中点为(0，－4)，kAB＝，
∴AB的垂直平分线的方程为y＋4＝－2x，即2x＋y＋4＝0，
解方程组得∴圆心为(－1，－2)，半径r＝＝．
故所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10．
方法三：设点C是圆心，
∵点C在直线l上，∴设点C(2b＋3，b)．
又∵|CA|＝|CB|，
∴＝，解得b＝－2，∴圆心为C(－1，－2)，半径r＝，故所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10．
迁移与应用 1．x2＋(y＋4)2＝5
2．解：方法一：由题意得圆心在x轴上．
设圆心坐标为M(a,0)，则|MA|＝|MB|，即(a－5)2＋(0－2)2＝(a－3)2＋(0＋2)2，
解得a＝4．所以圆心坐标为(4,0)，半径r＝|MA|＝．
所以圆的标准方程为(x－4)2＋y2＝5．
方法二：线段AB的垂直平分线方程为y＝－(x－4)，即x＋2y－4＝0．令y＝0，得x＝4，所以圆心坐标为(4,0)，半径r＝|MA|＝．
所以圆的标准方程为(x－4)2＋y2＝5．
【当堂检测】
1．D 2．C 3．A
4．(x＋2)2＋(y－1)2＝25
5．(x－2)2＋y2＝10
4．1．2 圆的一般方程
课前预习导学
【预习导引】
1．x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 r＝
预习交流1 提示：不是．只有当D2＋E2－4F＞0时，该方程才表示圆；
当D2＋E2－4F＝0时，方程表示一个点；
当D2＋E2－4F＜0时，方程不表示任何图形．
2．坐标(x，y)
预习交流2 提示：求动点轨迹方程的步骤是：
(1)设出动点M的坐标为(x，y)；
(2)根据条件列出关于x，y的关系式f(x，y)＝0；
(3)化简f(x，y)＝0．
课堂合作探究
【问题导学】
活动与探究1 思路分析：解答本题可直接利用D2＋E2－4F＞0是否成立来判断，也可把左端配方，看右端是否为大于零的常数．
解：方法一：由方程x2＋y2－4mx＋2my＋20m－20＝0可知D＝－4m，E＝2m，F＝20m－20，
∴D2＋E2－4F＝16m2＋4m2－80m＋80＝20(m－2)2．
因此，当m＝2时，它表示一个点；
当m≠2时，原方程表示圆，
此时，圆的圆心为(2m，－m)，
半径为r＝＝|m－2|．
方法二：原方程可化为(x－2m)2＋(y＋m)2＝5(m－2)2，
因此，当m＝2时，它表示一个点；
当m≠2时，原方程表示圆，
此时，圆的圆心为(2m，－m)，
半径为r＝|m－2|．
迁移与应用 1．C 2．(2)(4)
3．解：将方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0写成标准方程为(x＋m)2＋(y－1)2＝1－5m，由1－5m＞0得m＜．所以实数m的取值范围是，圆心坐标为(－m，1)，半径r＝．
活动与探究2 思路分析：由于所求的圆过三个点，因而选用一般式，从而只要确定系数D，E，F即可；注意到三角形外接圆的圆心为各边的垂直平分线的交点，所以也可先求圆心，再求半径，从而求圆的方程．
解：方法一：设所求的圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0．则由题意有
解得
故所求的圆的方程为x2＋y2－4x－2y－20＝0．
方法二：由题意可求得AC的中垂线方程为x＝2，BC的中垂线方程为x＋y－3＝0．
∴圆心P是两条中垂线的交点(2,1)．∴半径r＝|AP|＝＝5．
∴所求的圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝25，
即x2＋y2－4x－2y－20＝0．
迁移与应用 解法一：设方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
则圆心为，由已知得∴D＝E＝－2，F＝－2．∴方程为x2＋y2－2x－2y－2＝0．
解法二：线段CD的垂直平分线方程为x＋y－2＝0．
又∵圆心在直线y＝x上，
∴解方程组得圆心坐标为(1,1)．则半径r＝＝2．
∴所求圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4，
则一般方程为x2＋y2－2x－2y－2＝0．
活动与探究3 思路分析：(1)已知动点M到两定点的距离满足特定关系，求动点的轨迹方程，可以设出点M的坐标，然后根据条件列出方程，化简可得轨迹方程．
(2)N点随M点运动而运动，将M点坐标用A，N两点坐标表示，再将M点坐标代入(1)中的轨迹方程，即得N的轨迹方程，从而得点N的轨迹．
解：(1)设动点M的坐标为(x，y)，
∵A(2,0)，B(8,0)，|MA|＝|MB|，∴(x－2)2＋y2＝[(x－8)2＋y2]．化简得x2＋y2＝16，即动点M的轨迹方程为x2＋y2＝16．
(2)设点N的坐标为(x，y)，
∵A(2,0)，N为线段AM的中点，
∴点M的坐标为(2x－2,2y)．
又点M在圆x2＋y2＝16上，
∴(2x－2)2＋4y2＝16，即(x－1)2＋y2＝4．∴点N的轨迹是以(1,0)为圆心，2为半径的圆．
迁移与应用 1．2x－3y－5＝0
2．解：设P(x，y)，O为原点，连接OP，当x≠0时，OP⊥AP，即kOP·kAP＝－1，∴·＝－1，即x2＋y2－4x＝0．①
当x＝0时，P点坐标(0,0)是方程①的解，∴BC中点P的轨迹方程为x2＋y2－4x＝0(在已知圆内的部分)．
【当堂检测】
1．C 2．B 3．D
4．x2＋y2－4x＋2y＝0
5．x2＋y2＝44.1 圆的方程
4.1.1 圆的标准方程
一、圆的标准方程
活动与探究1
写出下列各圆的标准方程．
(1)圆心在点(2,3)，半径为2；
(2)经过点P(5,1)，圆心在点C(8，－3)．
迁移与应用
1．若圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋5)2＝3，则此圆的圆心和半径分别为( )
A．(－1,5)， B．(1，－5)，
C．(－1,5),3 D．(1，－5),3
2．已知两点P1(4,9)和P2(6,3)，求以P1P2为直径的圆的方程．
根据圆的标准方程，若已知圆心坐标与半径，可直接写出圆的标准方程；若已知圆的标准方程，可直接写出圆心坐标和半径．
二、点与圆的位置关系
活动与探究2
已知圆的圆心M是直线2x＋y－1＝0与直线x－2y＋2＝0的交点，且圆过点P(－5,6)．求圆的标准方程，并判断点A(2,2)，B(1,8)，C(6,5)是在圆上，在圆内，还是在圆外？
迁移与应用
1．点A(－2,3)与圆(x＋3)2＋(y－1)2＝9的位置关系是( )
A．在圆外 B．在圆内 C．在圆上 D．不确定
2．若点M(5＋1，)在圆(x－1)2＋y2＝26的外部，则实数a的取值范围是________．
点与圆的位置关系的判断方法：
(1)几何法：利用圆心到该点的距离d与圆的半径r比较．
(2)代数法：直接利用下面的不等式判定：
①(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2，点在圆外；
②(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2，点在圆上；
③(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2，点在圆内．
三、求圆的标准方程
活动与探究3
已知一个圆经过两个点A(2，－3)和B(－2，－5)，且圆心在直线l：x－2y－3＝0上，求此圆的方程．
迁移与应用
1．过A(2，－3)，B(－2，－5)两点且面积最小的圆的标准方程为________．
2．已知圆被x轴平分，且过点A(5,2)和B(3，－2)，求圆的标准方程．
求圆的标准方程可用以下两种方法求解：
(1)待定系数法：设出圆的标准方程，根据条件求出方程中的参数．
(2)利用圆的几何性质求出圆的圆心坐标与半径，从而得到圆的标准方程．
当堂检测
1．圆心为(－2，－1)，半径为4的圆的标准方程是( )
A．(x－2)2＋(y－1)2＝16 B．(x＋2)2＋(y－1)2＝16
C．(x－2)2＋(y＋1)2＝16 D．(x＋2)2＋(y＋1)2＝16
2．圆(x＋2)2＋(y－9)2＝4的圆心到直线3x＋4y－15＝0的距离是( )
A．1 B．2 C．3 D．5
3．点P(a,10)与圆(x－1)2＋(y－1)2＝2的位置关系是( )
A．在圆外 B．在圆上 C．在圆内 D．与a的值有关
4．圆心为点C(－2,1)，并且过点A(2，－2)的圆的标准方程为________________．
5．已知圆C经过A(5,1)，B(1,3)两点，圆心在x轴上，则C的方程是____________．
提示：用最精练的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记．4.2.2 圆与圆的位置关系
问题导学
一、两圆位置关系的判定
活动与探究1
已知圆C1：x2＋y2－2ax－2y＋a2－15＝0，圆C2：x2＋y2－4ax－2y＋4a2＝0(a＞0)．试求a为何值时两圆C1，C2的位置关系为：
(1)相切；(2)相交；(3)外离；(4)内含．
迁移与应用
1．圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为( )
A．内切 B．相交 C．外切 D．相离
2．两圆x2＋y2＝1和(x－1)2＋(y－a)2＝4相切，求实数a的值．
判断两圆的位置关系一般有两种方法：一是代数法，二是几何法，但因代数法运算烦琐，且容易出错，因此一般采用几何法．
二、与两圆相交有关的问题
活动与探究2
已知圆C1：x2＋y2＋6x－4＝0和圆C2：x2＋y2＋6y－28＝0．
(1)求两圆公共弦所在直线的方程；
(2)求经过两圆交点且圆心在直线x－y－4＝0上的圆的方程．
迁移与应用
1．圆x2＋y2－2x－5＝0和圆x2＋y2＋2x－4y－4＝0的交点为A，B，则线段AB的垂直平分线的方程为__________．
2．已知圆C1：x2＋y2＋2x－6y＋1＝0，圆C2：x2＋y2－4x＋2y－11＝0．求两圆的公共弦所在直线的方程及公共弦长．
已知圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则
(1)两圆方程相减即得两圆公共弦所在直线的方程．
(2)过两圆交点的圆的方程可设为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)．
三、与两圆相切有关的问题
活动与探究3
求与圆C：x2＋y2－2x＝0外切且与直线l：x＋y＝0相切于点M(3，－)的圆的方程．
迁移与应用
1．圆C1：x2＋y2＋4x－4y－5＝0，圆C2：x2＋y2－8x＋4y＋7＝0的公切线条数是__________．
2．半径为3的圆与x轴相切，且与圆x2＋(y－1)2＝1外切，求此圆的方程．
两圆相切包括外切与内切，外切时，圆心距等于两半径之和，内切时圆心距等于两半径差的绝对值．在题目没有说明是内切还是外切时，要分两种情况进行讨论．
当堂检测
1．圆O1：x2＋y2－2x＝0和圆O2：x2＋y2＋4y＝0的位置关系是( )
A．相离 B．外切 C．内切 D．相交
2．已知圆A，圆B相切，圆心距为10 cm，其中圆A的半径为4 cm，则圆B的半径为( )
A．6 cm或14 cm B．10 cm
C．14 cm D．无解
3．设r＞0，两圆(x－1)2＋(y＋3)2＝r2与x2＋y2＝16的位置关系不可能是( )
A．相切 B．相交
C．内切和内含 D．外切和外离
4．两圆x2＋y2＋2ax＋2ay＋2a2－1＝0和x2＋y2＋2bx＋2by＋2b2－2＝0的公共弦中，最长的弦等于__________．
5．以(3，－4)为圆心，且与圆x2＋y2＝64内切的圆的方程是__________．
提示：用最精练的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记．
答案：
课前预习导学
【预习导引】
1．外离、外切、相交、内切 内含
预习交流1 提示：两圆相切包括外切与内切两种情况，在解答两圆相切问题时，不能漏掉某种情况．
2．(1)r1＋r2 |r1－r2| (2)2 1 0 内切 外切 外离 内含
预习交流2 提示：代数法有时不能确切判定两圆的位置关系，如方程组只有一组解时，不能判定两圆是内切还是外切，方程组没有解时，不能判定两圆是外离还是内含，通常用几何方法判断两圆的位置关系．
课堂合作探究
【问题导学】
活动与探究1 思路分析：求出圆心距，与两半径的和或差比较求出a的值．
解：圆C1，C2的方程，经配方后可得：C1：(x－a)2＋(y－1)2＝16，C2：(x－2a)2＋(y－1)2＝1，∴圆心C1(a,1)，C2(2a,1)，半径r1＝4，r2＝1．
∴|C1C2|
＝＝a．
(1)当|C1C2|＝r1＋r2＝5，即a＝5时，两圆外切，
当|C1C2|＝r1－r2＝3，即a＝3时，两圆内切．
(2)当3＜|C1C2|＜5，即3＜a＜5时，两圆相交．
(3)当|C1C2|＞5，即a＞5时，两圆外离．
(4)当|C1C2|＜3，即a＜3时，两圆内含．
迁移与应用 1．B
2．解：两圆圆心距为，因为两圆相切，所以＝2＋1或＝2－1，即＝3或＝1．所以a＝±2或a＝0．
活动与探究2 思路分析：(1)因为两圆的交点同时满足两个圆的方程，所以两个圆的方程联立消去x2项与y2项，即得两圆的公共弦所在直线的方程．
(2)可求出两圆的交点坐标，结合圆心在直线x－y－4＝0上求出圆心坐标与半径，也可利用圆系方程求解．
解：(1)设两圆交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点坐标是方程组的解．
①－②得x－y＋4＝0．
∵A，B两点坐标都满足此方程，∴x－y＋4＝0即为两圆公共弦所在直线的方程．
(2)方法一：解方程组得两圆的交点A(－1,3)，B(－6，－2)．设所求圆的圆心为(a，b)，因圆心在直线x－y－4＝0上，故b＝a－4．
则＝，解得a＝，故圆心为，半径为．故圆的方程为2＋2＝，
即x2＋y2－x＋7y－32＝0．
方法二：设所求圆的方程为x2＋y2＋6x－4＋λ(x2＋y2＋6y－28)＝0(λ≠－1)，
其圆心为，代入x－y－4＝0解得λ＝－7．故所求圆的方程为x2＋y2－x＋7y－32＝0．
迁移与应用 1．x＋y－1＝0
2．解：联立方程组
①－②得3x－4y＋6＝0．
∴3x－4y＋6＝0即为两圆公共弦所在直线的方程．
易知圆C1的圆心(－1,3)，半径r＝3．
又C1到直线AB的距离为d＝＝，
∴|AB|＝2
＝2＝，
即两圆的公共弦长为．
活动与探究3 思路分析：设出圆的标准方程，根据条件列出方程组求解参数．
解：圆C的方程可化为(x－1)2＋y2＝1，圆心C(1,0)，半径为1．
设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，由题意可得解得
所以所求圆的方程为(x－4)2＋y2＝4．
迁移与应用 1．3 解析：圆C1：(x＋2)2＋(y－2)2＝13，圆C2：(x－4)2＋(y＋2)2＝13，因此两圆的圆心坐标分别为C1(－2,2)，C2(4，－2)，两圆的半径r1＝r2＝．圆心距|C1C2|＝＝2＝r1＋r2，∴两圆外切，有3条公切线．
2．解：因为所求圆的半径为3且与x轴相切，
所以设圆心坐标为(a，－3)或(a,3)．
又因为所求圆与圆x2＋(y－1)2＝1外切，所以＝4或＝4，即a＝±2或a＝0．所以所求圆的方程为(x±2)2＋(y－3)2＝9或x2＋(y＋3)2＝9．
【当堂检测】
1．D 2．A 3．D 4．2
5．(x－3)2＋(y＋4)2＝9或(x－3)2＋(y＋4)2＝169
