中小学教育资源及组卷应用平台
九年级数学下册第三十章二次函数课时练习
考试时间:90分钟;命题人:数学教研组
考生注意:
1、本卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分100分,考试时间90分钟
2、答卷前,考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上
3、答案必须写在试卷各个题目指定区 ( http: / / www.21cnjy.com )域内相应的位置,如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用涂改液、胶带纸、修正带,不按以上要求作答的答案无效。www.21-cn-jy.com
第I卷(选择题 30分)
一、单选题(10小题,每小题3分,共计30分)
1、若二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过点(﹣1,1),(4,6),(3,1),则( )
A.y≤3 B.y≤6 C.y≥-3 D.y≥6
2、已知点、在二次函数的图象上,当,时,.若对于任意实数、都有,则的范围是( ).【来源:21·世纪·教育·网】
A. B. C.或 D.
3、已知二次函数y=ax2-2ax-1(a是常数,a≠0),则下列命题中正确的是( )
A.若a=1,函数图象经过点(-1,1) B.若a=-2,函数图象与x轴交于两点
C.若a<0,函数图象的顶点在x轴下方 D.若a>0且x≥1,则y随x增大而减小
4、已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则( )
( http: / / www.21cnjy.com / )
A.b>0,c>0,Δ=0 B.b<0,c>0,Δ=0
C.b<0,c<0,Δ=0 D.b>0,c>0,Δ>0
5、下列二次函数的图象中,顶点在第二象限的是( )
A. B.
C. D.
6、二次函数的最大值是( )
A. B. C.1 D.2
7、某商场第1年销售计算机5000台,如果每年的销售量比上一年增加相同的百分率,第3年的销售量为台,则关于的函数解析式为( )www-2-1-cnjy-com
A. B.
C. D.
8、将抛物线的图象向右平移1个单位,再向下平移2个单位得到的抛物线必定经过( )
A. B. C. D.
9、将抛物线y=x2先向右平移3个单位长度,再向上平移5个单位长度,所得抛物线的解析式为( )
A.y=(x+3)2+5 B.y=(x﹣3)2+5 C.y=(x+5)2+3 D.y=(x﹣5)2+3
10、2020年2月3日,随着南立交匝道最后一条交通线划线完毕,蒙山大道祊河桥迎来了南北东西方向全线通车,蒙山高架路“踏实落地”,市民从此可一路畅通.蒙山大道祊河桥(如图1),它由五个高度不同,跨径也不同的抛物线型钢拱通过吊桥,拉锁与主梁相连,最高的钢拱如图2所示,此钢拱(近似看成二次函数的图象-抛物线)在同一竖直平面内,与拱脚所在的水平面相交于A,B两点,拱高为78米(即最高点O到AB的距离为78米),跨径为90米(即AB=90米),以最高点O为坐标原点,以平行于AB的直线为轴建立平面直角坐标系,则此抛物线钢拱的函数表达式为( )
( http: / / www.21cnjy.com / )
A. B. C. D.
第Ⅱ卷(非选择题 70分)
二、填空题(5小题,每小题4分,共计20分)
1、二次函数 y 2x21 的图象开口方向______.(填“向上”或“向下”)
2、据了解,某蔬菜种植基地2019年的蔬菜产量为100万吨,2021年的蔬菜产量为万吨,如果2019年至2021年蔬菜产量的年平均增长率为,那么关于的函数解析式为_________.
3、如图,院子里有块直角三角形 ( http: / / www.21cnjy.com )空地ABC,∠C=90°.直角边AC=3m、BC=4m,现准备修一个如图所示的矩形DEFG的养鱼池,当矩形DEFG面积最大时,EF的长为 _____.21*cnjy*com
( http: / / www.21cnjy.com / )
4、如图,已知点A是抛物线图像上一点,将点A向下平移2个单位到点B,再把A绕点B顺时针旋转120°得到点C,如果点C也在该抛物线上,那么点A的坐标是______.21*cnjy*com
( http: / / www.21cnjy.com / )
5、若点(0,a),(3,b)都在二次函数y=(x﹣1)2的图象上,则a与b的大小关系是:a______b(填“>”,“<”或“=”).
三、解答题(5小题,每小题10分,共计50分)
1、已知,如图,直线分别与轴、轴交于点、,抛物线经过点和点,其对称轴与直线交于点.
( http: / / www.21cnjy.com / )
(1)求二次函数的表达式;
(2)若抛物线(其中)与抛物线的对称轴交于点.与直线交于点,过点作轴交抛物线的对称轴左侧部分于点.
①若点和点重合,求的值;
②若点在点的下方,求、的长(用含有的代数式表示);
③在②的条件下,设的长度为个单位,的长度为个单位,若.直接写出的范围.
2、某政府大力扶持大学生创业,李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯.销售过程中发现,月销售量(件)与销售单价(元)之间的关系可看作一次函数:,已知当销售单价定为25元时,李明每月获得利润为1250元.21教育网
(1)求的值;
(2)当销售单价定为多少元时,每月可获得最大利润?并求最大利润是多少?
(注:利润=(销售单价-进价)×销售量)
3、已知抛物线与x轴负半轴交于点A,与x轴正半轴交于点B,与y轴交于点C,点P为抛物线上一动点(点P不与点C重合).
( http: / / www.21cnjy.com / )
(1)当为直角三角形时,求的面积
(2)如图,当时,过点P作轴于点Q,求BQ的长.
(3)当以点A,B,P为顶点的三角形和相似时(不包括两个三角形全等),求m的值.
4、如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2﹣x﹣4与x轴交于点A(4,0),与y轴交于点C.点B(12,0),联结BC.
( http: / / www.21cnjy.com / )
(1)求该抛物线解析式;
(2)求∠ACB的正弦值;
(3)如图,点D为抛物线上一点,直线AD交y轴于点E,交线段BC于点F.若△ECA∽△EFC,求点D的坐标.
5、已知二次函数y=ax2+bx(a≠0)的图象经过点A(2,4),B(4,0).
( http: / / www.21cnjy.com / )
(1)求这个二次函数的表达式.
(2)将x轴上的点P先向上平移3n(n>0)个单位得点P1,再向左平移2n个单位得点P2,若点P1,P2均在该二次函数图象上,求n的值.
-参考答案-
一、单选题
1、C
【解析】
【分析】
根据图像经过三点求出函数表达式,再根据最值的求法求出结果.
【详解】
解:∵二次函数y=ax2+bx+c经过(﹣1,1),(4,6),(3,1),
∴,
解得:,
∴函数表达式为y=x2-2x-2,开口向上,
∴函数的最小值为=,即y≥-3,
故选C.
【点睛】
本题考查了待定系数法求二次函数表达式,二次函数的最值,属于基础题,解题的关键是掌握二次函数最值的求法.
2、A
【解析】
【分析】
先根据二次函数的对称性求出b ( http: / / www.21cnjy.com )的值,再根据对于任意实数x1、x2都有y1+y2≥2,则二次函数y=x2-4x+n的最小值大于或等于1即可求解.
【详解】
解:∵当x1=1、x2=3时,y1=y2,
∴点A与点B为抛物线上的对称点,
∴,
∴b=-4;
∵对于任意实数x1、x2都有y1+y2≥2,
∴二次函数y=x2-4x+n的最小值大于或等于1,
即,
∴c≥5.
故选:A.
【点睛】
本题考察了二次函数的图象和性质,对于二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0),其对称轴是直线:,顶点纵坐标是,抛物线上两个不同点P1(x1,y1),P2(x2,y2),若有y1=y2,则P1,P2两点是关于抛物线对称轴对称的点,且这时抛物线的对称轴是直线:.
3、B
【解析】
【分析】
根据二次函数的图象与性质逐项分析即可.
【详解】
A、当a=1,x=-1时,,故函数图象经过点(-1,2),不经过点(-1,1),故命题错误;
B、a=-2时,函数为,令y=0,即,由于,所以方程有两个不相等的实数根,从而函数图象与x轴有两个不同的交点,故命题正确;
C、当a<0时, ,其顶点坐标为,当a= 1时,顶点坐标为(1,0 ),在x轴上,故命题错误;
D、由于,抛物线的对称轴为直线x=1,当a>0且x≥1时,y随x增大而增大,故命题错误.
故选:B
【点睛】
本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数与一元二次方程的关系,熟练掌握这些知识是解题的关键.
4、B
【解析】
【分析】
根据抛物线的开口方向和对称轴的位置确定b的符号,由抛物线与x轴的交点个数确定△的符号,由抛物线与y轴的交点位置确定c的符号,即可得出答案.21cnjy.com
【详解】
解:∵抛物线的开口向上,
∴a>0,
∵抛物线的对称轴在y轴的右侧,
∴>0,
∴b<0,
∵抛物线与y轴的交点在x轴的上方,
∴c>0,
∵抛物线与x轴有一个交点,
∴Δ=0,
故选:B.
【点睛】
本题主要考查二次函数的图象与性质,关键是要牢记图象与系数的关系,牢记抛物线的对称轴公式.
5、C
【解析】
【分析】
根据二次函数的顶点式求得顶点坐标,即可判断.
【详解】
解:A.二次函数的顶点为(1,3),在第一象限,不合题意;
B.二次函数的顶点为(1,﹣3),在第四象限,不合题意;
C.二次函数的顶点为(﹣1,3),在第二象限,符合题意;
D.二次函数的顶点为(﹣1,﹣3),在第三象限,不合题意;
故选:C.
【点睛】
本题考查二次函数的图象、二次函数的性质,解答本题的关键是明确题意,利用二次函数的性质解答.
6、D
【解析】
【分析】
由图象的性质可知在直线处取得最大值,将代入解析式计算求解即可.
【详解】
解:由图象的性质可知,在直线处取得最大值
∴将代入中得
∴最大值为2
故答案为:2.
【点睛】
本题考查了二次函数的最值.解题的关键在于掌握二次函数的图象与性质.
7、B
【解析】
【分析】
根据增长率问题的计算公式解答.
【详解】
解:第2年的销售量为,
第3年的销售量为,
故选:B.
【点睛】
此题考查了增长率问题的计算公式,a是前量,b是后量,x是增长率,熟记公式中各字母的意义是解题的关键.21·世纪*教育网
8、B
【解析】
【分析】
由题意知,平移后的抛物线解析式为,将各选项中的横坐标代入,求出纵坐标并与各选项的纵坐标比较,纵坐标相同的即为正确答案.【来源:21cnj*y.co*m】
【详解】
解:由题意知,平移后的抛物线解析式为
将代入解析式得,与A中点坐标不同,故不符合要求;
将代入解析式得,与B中点坐标相同,故符合要求;
将代入解析式得,与C中点坐标不同,故不符合要求;
将代入解析式得,与D中点坐标不同,故不符合要求;
故选B.
【点睛】
本题考查了二次函数图象的平移.解题的关键在于写出平移后的二次函数解析式.
9、B
【解析】
【分析】
根据二次函数图象左加右减,上加下减的平移规律进行求解.
【详解】
解:将抛物线y=x2先向右平移3个单位长度,得:y=(x﹣3)2;
再向上平移5个单位长度,得:y=(x﹣3)2+5,
故选:B.
【点睛】
本题考察了二次函数抛物线的平移问题,解题的关键是根据左加右减,上加下减的平移规律进行求解.
10、B
【解析】
【分析】
直接利用图象设出抛物线解析式,进而得出答案.
【详解】
∵拱高为78米(即最高点O到 ( http: / / www.21cnjy.com )AB的距离为78米),跨径为90米(即AB=90米),以最高点O为坐标原点,以平行于AB的直线为x轴建立平面直角坐标系,【版权所有:21教育】
∴设抛物线解析式为y=ax2,点B(45,-78),
∴-78=452a,
解得:a=,
∴此抛物线钢拱的函数表达式为,
故选:B.
【点睛】
本题主要考查了二次函数的应用,正确设出抛物线解析式是解题关键.
二、填空题
1、向上
【解析】
【分析】
根据二次函数图象的性质,a>0,抛物线开口向上,a<0,抛物线开口向下可求解.
【详解】
∵a=2>0,
∴二次函数y=2x2+1图象的开口方向是向上,
故答案为:向上.
【点睛】
本题主要考查二次函数的图象与性质,由a的符号确定抛物线的开口方向是解题的关键.
2、
【解析】
【分析】
根据题意可得2020年的蔬菜产量为,2021年的蔬菜产量为,2021年的蔬菜产量为y万吨,由此即可得.
【详解】
解:根据题意可得:2020年的蔬菜产量为,
2021年的蔬菜产量为,
∴,
故答案为: .
【点睛】
题目主要考查二次函数的应用,理解题意,熟练掌握增长率问题是解题关键.
3、##
【解析】
【分析】
过点作,交于点,等面积法求得,设,进而根据得出比例式,根据矩形的面积为,得到关于的二次函数,根据二次函数的性质即可求得面积最大时的的值,进而求得的长.
【详解】
解:如图,过点作,交于点,
( http: / / www.21cnjy.com / )
∠C=90°.直角边AC=3m、BC=4m,
设,则
四边形是矩形
,
整理得
设矩形的面积为,则
当取得最大值时,,此时
故答案为:
【点睛】
本题考查了矩形的性质,勾股定理,相似三角形的性质与判定,二次函数的性质,掌握以上知识是解题的关键.
4、(,)
【解析】
【分析】
设A(x,x2),根据平移、旋转的性质求出C点坐标,代入抛物线求出x,故可求解.
【详解】
解:∵点A是抛物线图像上一点
故设A(x,x2),
∵将点A向下平移2个单位到点B,
故B(x,x2-2)
∵把A绕点B顺时针旋转120°得到点C,如图,
( http: / / www.21cnjy.com / )
过点B作BD⊥AB于B,过点C作CD⊥BD于D,
AB=BC=2,∠ABC=120°,∠ABD=90°,
∴∠DBC=30°
故CD=,BD=,
故C(x+,x2-3),
把C(x+,x2-3)代入,
∴x2-3=(x+)2,
解得x=-
∴A(-,3)
故答案为:(,3).
【点睛】
此题主要考查二次函数与几何综合,解题的关键是熟知坐标与函数的关系、平移与旋转的特点及直角三角形的性质.21世纪教育网版权所有
5、<
【解析】
【分析】
根据二次函数的解析式求得对称轴以及开口方向,根据点与对称轴的距离越远函数值越大即可判断的大小关系.2-1-c-n-j-y
【详解】
解:∵二次函数y=(x﹣1)2,,开口向上,对称轴为
又点(0,a),(3,b)都在二次函数y=(x﹣1)2的图象上,
故答案为:
【点睛】
本题考查了二次函数图象的性质,掌握二次函数图象的性质是解题的关键.
三、解答题
1、 (1)
(2)①;②,当时,;当时,;③
【解析】
【分析】
(1)先确定A(-3,0),B(0,3),分别代入解析式,求得b,c的值即可;
(2)①利用对称轴与直线y=x+3的交点,确定点C(-1,2),代入解析式中,求的值;
②分当<m<1和m≥1两种情况解答即可;
③根据得b=m+1,结合前面的解答直接写出的范围即可.
(1)
∵直线分别与轴、轴交于点、,
∴A(-3,0),B(0,3),
把A(-3,0),B(0,3)分别代入解析式,得
,
解得
∴抛物线的解析式为:.
(2)
①∵的对称轴为直线,直线AB的解析式为y=x+3,
∴点、,
∵点和点重合,
∴,
解得:,
∵,
∴.
②∵点、,且点D在点C的下方,
∴CD=2-()=;
∵点D在点C的下方,
∴,
当x=1时,,
∵轴,
∴点F的纵坐标为,
∴=即=0,
解得x== -1±|m-1|,
当时,x=-1+1-m=-m,此时,交点D不满足在C的下方,舍去;
或x=-1-1+m=m-2,
∴EF=;
当m≥1时,x=-1+m-1=m-2,此时,交点D不满足在C的下方,舍去;
或x=-1-m+1=-m,
∴EF=.
③∵,
∴=,
∴=,
∴b=m+1,b=-(m+1)舍去,
∴m≥1.
【点睛】
本题考查了待定系数法确定解析式,一元二次方程的解法,抛物线的平移,熟练掌握抛物线的性质,正确解方程是解题的关键.【出处:21教育名师】
2、 (1)的值是500;
(2)当销售单价定为35元时,每月可获得最大利润,最大利润是2250元
【解析】
【分析】
(1)根据利润=(销售单价-进价)×销售量列方程求解即可;
(2)根据利润=(销售单价-进价)×销售量得到w关于x的二次函数关系式,利用二次函数的性质求解即可.21教育名师原创作品
(1)
解:由题意可得,,
解得:,
答:的值是500;
(2)
解:设利润为w元,
由题意:,
,
∵-10<0,
∴时,取得最大值,此时,
答:当销售单价定为35元时,每月可获得最大利润,最大利润是2250元.
【点睛】
本题考查一元一次方程的应用、二次函数的实际应用,理解题意,根据等量关系正确得到一元一次方程和函数关系式是解答的关键.
3、 (1)4
(2)2
(3)或m=
【解析】
【分析】
(1)先求出A、B、C三点的坐标,进而表示出AB、BC、AC的长,然后根据勾股定理求得m,确定C的坐标,最后运用三角形的面积公式解答即可;
(2)先用待定系数法求得BC所在直线直线的解析式,进而求得直线AP的解析式,然后与抛物线的解析式联立即可解答;
(3)先说明∠ABC=45°,然后分三种情况解答即可.
(1)
解:由抛物线开口向上,则m>0
令x=0,则y=-2,即C点坐标为(0,-2),OC=2
令y=0,则,解得x=-2或x=m,即点A(-2,0),点B(m,0)
∴OA=2,OB=m
∴AB=m+2
由勾股定理可得AC2=(-2-0)2+[0-(-2)]2=8, BC2=(m-0)2+[0-(-2)]2=m2+4
∵当为直角三角形时,仅有∠ACB=90°
∴AB2= AC2+BC2,即(m+2)2=8+m2+4,解得m=2
∴AB=m+2=4
∴的面积为:·AB·OC=×4×2=4.
(2)
解:设BC所在直线的解析式为:y=kx+b
则 ,解得
∴BC所在直线的解析式为y=x-2
设直线AP的解析式为y=x+c
则有:0=×(-2)+c,即c=
∴线AP的解析式为y=x+
联立 解得x=-2(A点横坐标),x=m+2(P点横坐标)
∴点P的纵坐标为:
∴点P的坐标为(m+2,)
∴OQ=m+2
∴BQ=OQ-OB= m+2-m=2.
(3)
解:∵点P为抛物线上一动点(点P不与点C重合).
∴设P(x,)
∵在△ABC中,∠BAC=45°
∴当以点A,B,P为顶点的三角形和相似时,有三种情况:
①a.若△ABC∽△BAP
∴
又∵BP=AC
∴△ABC∽△BAP不符合题意;
( http: / / www.21cnjy.com / )
b. 若△ABP∽△BAC
∴
过P作PQ⊥x轴于点Q,则∠PQB=90°
∴∠BPQ=90°-∠PBQ=45°
∴PQ=BQ=m-x
由于PQ=
∴
∴
∴x-m=0或
∴x=m(舍去),x=-m-2
∴BQ=m-(-m-2)=2m+2
∵
∴
∴m2-4m-4=0,解得:m=或m=(舍去)
∴m=;
( http: / / www.21cnjy.com / )
②当∠PAB=∠BAC=45°时,分两种情况讨论:
a. 若△ABP∽△ABC,则 ,点C与点P重合,不合题意;
b. 若△ABP∽△BAC,则 ,
过P作PQ⊥x轴于点Q,则∠PQA=90°
∴∠APQ=90°-∠PAB=45°
∴PQ=AQ=x+2
由于PQ=
∴
∴
∴x+2=0或
∴x=-2(舍去),x=2m
∴AQ= =2m+2
∵
∴
∴m2-4m-4=0,解得:m=(舍去)或m=
∴m=;
( http: / / www.21cnjy.com / )
③当∠APB=∠BAC=45°时,分两种情况讨论:
a.过点A作PM//BC交抛物线于点M,则∠MAB=∠ABC,
∵∠MAB≠∠PAB,
∴∠PAB≠∠ABC,
∴△PAB与△BAC不相似;
( http: / / www.21cnjy.com / )
b. 取点C关于x轴的对称点,连接并延长 交抛物线于点N,则∠NBA=∠CBA,
∵∠PBA≠∠NBA,
∴∠PBA≠∠CBA,
∴△PAB与△BAC不相似;
( http: / / www.21cnjy.com / )
综上,m的值为m=或m=.
【点睛】
本题属于二次函数综合题,涉及抛物线 ( http: / / www.21cnjy.com )与坐标轴的交点、勾股定理、三角形面积公式、运用待定系数法求一次函数解析式、相似三角形的判定等知识点,灵活应用相关知识成为解答本题的关键.
4、 (1)抛物线的解析式为
(2)∠ACB的正弦值为
(3)点D的坐标为
【解析】
【分析】
(1)将A点坐标代入,求出的值,然后回代抛物线的解析式即可;
(2)根据抛物线解析式求出点的坐标,知是等腰直角三角形,求出的值,如图,延长,作,垂足为,为等腰直角三角形,求出的值,在中,,由勾股定理知,,将线段值代入求解即可;
(3)由可知,,,在中,,解得的值,得到点坐标,设过两点的直线解析式为,将两点坐标代入求得解析式,然后与抛物线解析式联立求出D点坐标即可;2·1·c·n·j·y
(1)
解:将代入中得
解得
∴抛物线的解析式为: .
(2)
解:将代入解得
∴点坐标为
∵
∴
∴是等腰直角三角形
∴
∴
∵B点坐标为
∴
如图,延长,作,垂足为
( http: / / www.21cnjy.com / )
∴
∴
∴为等腰直角三角形
∴
在中,,由勾股定理知
∴
∴的正弦值为.
(3)
解:∵
∴
∵,
∴
∴
∴在中,
∴解得
∴点坐标为
∴设过两点的直线解析式为
将两点坐标代入解析式得
解得
∴过两点的直线解析式为
联立一次函数解析式与抛物线解析式得
消得
解得或(舍去)
∴
∴D点坐标为.
【点睛】
本题考查了二次函数解析式, ( http: / / www.21cnjy.com )等腰直角三角形的判定与性质,正弦值,勾股定理,三角形相似,一次函数与二次函数的交点坐标等知识.解题的关键在于对知识的综合灵活运用.21·cn·jy·com
5、 (1)
(2)1
【解析】
【分析】
(1)利用待定系数法,即可求解;
(2)设点 ,可得点 ,从而得到点P1,P2关于对称轴 对称,可得 ,再由点P1在该二次函数图象上,可得,即可求解.
(1)
解:∵二次函数y=ax2+bx(a≠0)的图象经过点A(2,4),B(4,0),
∴ ,解得: ,
∴这个二次函数的表达式为 ;
(2)
解:设点 ,
∵点P先向上平移3n(n>0)个单位得点P1,再向左平移2n个单位得点P2,
∴点 ,
∵点P1,P2均在该二次函数图象上,
∴点 关于对称轴 对称,
∴ ,
∴ ,即 ,
∵点P1在该二次函数图象上,
∴ ,
∴,
解得: 或,
∵n>0,
∴.
【点睛】
本题主要考查了求二次函数的解析式,二次函数的图象和性质,熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 (共 2 页)
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)