【最新精品解析】冀教版九下 第三十章二次函数章节测评试题(含解析)

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九年级数学下册第三十章二次函数章节测评
考试时间：90分钟；命题人：数学教研组
考生注意：
1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟
2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上
3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的 ( http: / / www.21cnjy.com )位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I卷（选择题 30分）
一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）
1、抛物线y＝﹣2（x﹣3）2﹣4的对称轴是（　　）
A．直线x＝3 B．直线x＝﹣3 C．直线x＝4 D．直线x＝﹣4
2、抛物线的顶点为（ ）
A． B． C． D．
3、已知点，，都在函数的图象上，则（ ）
A． B． C． D．
4、将函数的图像向上平移1个单位，向左平移2个单位，则所得函数表达式是（ ）
A． B．
C． D．
5、同一直角坐标系中，函数和（是常数，且）的图象可能是（ ）
A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B． ( http: / / www.21cnjy.com / )
C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
6、二次函数的自变量与函数值的部分对应值如下表：
… －3 －2 －1 0 1 …
… －11 －3 1 1 －3 …
对于下列结论：①二次函数的图像开口向下；②当时，随的增大而减小；③二次函数的最大值是1；④若，是二次函数图像与轴交点的横坐标，则，其中，正确的是（ ）
A．①② B．③④ C．①③ D．①②④
7、对于二次函数，下列说法正确的是（ ）
A．若，则y随x的增大而增大 B．函数图象的顶点坐标是
C．当时，函数有最大值－4 D．函数图象与x轴有两个交点
8、2020年2月3日，随着南立交匝道最后一条交通线划线完毕，蒙山大道祊河桥迎来了南北东西方向全线通车，蒙山高架路“踏实落地”，市民从此可一路畅通．蒙山大道祊河桥（如图1），它由五个高度不同，跨径也不同的抛物线型钢拱通过吊桥，拉锁与主梁相连，最高的钢拱如图2所示，此钢拱（近似看成二次函数的图象－抛物线）在同一竖直平面内，与拱脚所在的水平面相交于A，B两点，拱高为78米（即最高点O到AB的距离为78米），跨径为90米（即AB＝90米），以最高点O为坐标原点，以平行于AB的直线为轴建立平面直角坐标系，则此抛物线钢拱的函数表达式为（ ）
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A． B． C． D．
9、下列二次函数的图象中，顶点在第二象限的是（ ）
A． B．
C． D．
10、对于抛物线下列说法正确的是（ ）
A．开口向下 B．其最大值为-2 C．顶点坐标 D．与x轴有交点
第Ⅱ卷（非选择题 70分）
二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）
1、将函数的图象向______平移______个单位长度，再向______平移______个单位长度，可以得到函数的图象．
2、如图，抛物线过点，且对称轴为直线，有下列结论：；；抛物线经过点与点，则；方程的一个解是；，其中所有正确的结论是__________．
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3、已知点，在抛物线上，则，的大小关系是______（填“>”，“<”或“=”）．
4、已知多项式除以的余数分别为，则除以所得余式的最大值为_________．
5、如图，抛物线与直线的交点为，．当时，x的取值范围______．
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三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）
1、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣x﹣4与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点C．点B（12，0），联结BC．21教育网
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(1)求该抛物线解析式；
(2)求∠ACB的正弦值；
(3)如图，点D为抛物线上一点，直线AD交y轴于点E，交线段BC于点F．若△ECA∽△EFC，求点D的坐标．
2、某运动员在推铅球时，铅球经过的路线是抛物线的一部分（如图），落地点B的坐标是（10，0），已知抛物线的函数解析式为y＝﹣+c．
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(1)求c的值；
(2)计算铅球距离地面的最大高度．
3、已知在平面直角坐标系中，拋物线经过点、，顶点为点．
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(1)求抛物线的表达式及顶点的坐标；
(2)联结，试判断与是否相似，并证明你的结论；
(3)抛物线上是否存在点，使得．如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由．
4、如图1，在平面直角坐标系中，直线与抛物线相交于A，B两点（点B在第一象限），点C在AB的延长线上．且（n为正整数）．过点B，C的抛物线L，其顶点M在x轴上．
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(1)求AB的长；
(2)①当时，抛物线L的函数表达式为 ；
②当时．求抛物线L的函数表达式 ；
(3)如图2，抛物线E：经过B、C两点，顶点为P．且O、B、P三点在同一直线上，
①求与n的关系式；
②当时，设四边形PAMC的面积，当时，设四边形PAMC的面积（k，t为正整数，，），若，请直接写出值．
5、如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标为，且，抛物线（）图象经过，，三点．
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(1)求抛物线的解析式；
(2)是抛物线对称轴上的一点，当的值最小时，求点坐标；
(3)若点是直线下方的抛物线上的一个动点，作于点，当的值最大时，求此时点的坐标及的最大值．
-参考答案-
一、单选题
1、A
【解析】
【分析】
直接利用抛物线y＝﹣2（x﹣3）2﹣4，求得对称轴方程为：x=3．
【详解】
解：抛物线y=﹣2（x﹣3）2﹣4的对称轴方程为：直线x=3，
故选：A．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质与图象，解题的关键是掌握：二次函数的顶点式与对称轴的关系．
2、B
【解析】
【分析】
根据抛物线的顶点式y=a（x-h）2+k可得顶点坐标是（h，k）．
【详解】
解：∵y=2（x-1）2+3，
∴抛物线的顶点坐标为（1，3），
故选：B．
【点睛】
本题考查二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握抛物线的顶点式y=a（x-h）2+k，顶点坐标是（h，k）．
3、C
【解析】
【分析】
把点的坐标分别代入函数解析式可分别求得、、，再比较其大小即可．
【详解】
解：点，，都在函数的图象上，
，，，
，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，掌握函数图象上的点的坐标满足函数解析式是解题的关键．
4、B
【解析】
【分析】
由二次函数图象平移的规律即可求得平移后的解析式，再选择即可．
【详解】
解：将抛物线先向上平移1个单位，则函数解析式变为
再将向左平移2个单位，则函数解析式变为，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查二次函数的图象变换，掌握平移的规律是解题的关键，即“左加右减，上加下减”．
5、D
【解析】
【分析】
根据一次函数，二次函数的图象与性质逐一分析两个解析式中的的符号，再判断即可.
【详解】
解：选项A：由的图象可得：
由的图象可得：则 故A不符合题意；
选项B：由的图象可得：
由的图象可得：则
而抛物线的对称轴为： 则 故B不符合题意；
选项C：由的图象可得：
由的图象可得：则 故C不符合题意；
选项D：由的图象可得：
由的图象可得：则
而抛物线的对称轴为： 则 故D符合题意；
故选D
【点睛】
本题考查的是一次函数与二次函数的图象共存问题，掌握“一次函数与二次函数的图象与性质”是解本题的关键.21cnjy.com
6、A
【解析】
【分析】
根据待定系数法确定函数解析式，再根据函数的图象与性质求解即可．
【详解】
解：把（-1，1），（1，-3），（-2，-3）代入，得
解得，
∴二次函数式为：
∵
∴二次函数的图像开口向下，故①正确；
∵
∴对称轴为直线
∴当时，随的增大而减小，故②正确；
当时，二次函数的最大值是，故③错误；
若，是二次函数图像与轴交点的横坐标，则，故④错误
∴正确的是①②
故答案为①②
【点睛】
本题考查二次函数的性质、二次函数的最值、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．21·cn·jy·com
7、A
【解析】
【分析】
先将二次函数的解析式化为顶点式，再逐项判断即可求解．
【详解】
解：∵，且 ，
∴二次函数图象开口向下，
∴A、若，则y随x的增大而增大，故本选项正确，符合题意；
B、函数图象的顶点坐标是，故本选项错误，不符合题意；
C、当时，函数有最大值-2，故本选项错误，不符合题意；
∵ ，
∴D、函数图象与x轴没有交点，故本选项错误，不符合题意；
故选：A
【点睛】
本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
8、B
【解析】
【分析】
直接利用图象设出抛物线解析式，进而得出答案．
【详解】
∵拱高为78米(即最高点 ( http: / / www.21cnjy.com )O到AB的距离为78米)，跨径为90米(即AB=90米)，以最高点O为坐标原点，以平行于AB的直线为x轴建立平面直角坐标系，www.21-cn-jy.com
∴设抛物线解析式为y=ax2，点B(45，-78)，
∴-78=452a，
解得：a=，
∴此抛物线钢拱的函数表达式为，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了二次函数的应用，正确设出抛物线解析式是解题关键．
9、C
【解析】
【分析】
根据二次函数的顶点式求得顶点坐标，即可判断．
【详解】
解：A．二次函数的顶点为（1，3），在第一象限，不合题意；
B．二次函数的顶点为（1，﹣3），在第四象限，不合题意；
C．二次函数的顶点为（﹣1，3），在第二象限，符合题意；
D．二次函数的顶点为（﹣1，﹣3），在第三象限，不合题意；
故选：C．
【点睛】
本题考查二次函数的图象、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
10、D
【解析】
【分析】
根据二次函数的性质对各选项分析判断即可得解．
【详解】
解：由y=（x-1）2-2，可知，a=1＞0，则抛物线的开口向上，
∴A选项不正确；
由抛物线，可知其最小值为-2，∴B选项不正确；
由抛物线，可知其顶点坐标，∴C选项不正确；
在抛物线中，△=b -4ac=8>0，与与x轴有交点，∴D选项正确；
故选：D．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，掌握开口方向，对称轴、顶点坐标以及与x轴的交点坐标的求法是解决问题的关键．www-2-1-cnjy-com
二、填空题
1、 左 1 下 2
【解析】
【分析】
根据二次函数平移的性质解答．
【详解】
解：∵函数的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，可以得到函数的图象．
故答案为：左，1，下，2．
【点睛】
此题考查了二次函数图象平移的性质：上加下减，左加右减，熟记性质是解题的关键．
2、②⑤
【解析】
【分析】
由图象可知，抛物线开口向上，则，抛物线与轴交于负半轴，则，再由抛物线对称轴为直线，得到，即，即可判断①；根据抛物线的对称性可知抛物线过点，则当时，，由，可得，即可判断②；由抛物线对称轴为直线，且开口向上，则抛物线上的点，离对称轴水平距离越大，函数值越大，即可判断③；由cx2+bx+a=0，方程两边同时除以a得，再由方程的两个根分别为，，得到，，则即为，由此即可判断④；当对应的函数值为，【来源：21·世纪·教育·网】
当对应的函数值为，又时函数取得最小值，则，由此即可判断⑤．
【详解】
解：由图象可知，抛物线开口向上，则，抛物线与轴交于负半轴，则，
∵抛物线对称轴为直线，
∴，即，
，故①错误；
抛物线过点，且对称轴为直线，
抛物线过点，
当时，，
，
∴，故②正确；
抛物线对称轴为直线，且开口向上，
∴抛物线上的点，离对称轴水平距离越大，函数值越大，
∵点（4，）与直线的距离为3，点（-3，）与直线的距离为4，
，故③错误；
∵cx2+bx+a=0
∴方程两边同时除以a得，
∵方程的两个根分别为，，
∴，，
∴即为，
∴
解得或，故④错误；
当对应的函数值为，
当对应的函数值为，
又时函数取得最小值，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，故⑤正确．
故答案为：②⑤．
【点睛】
本题主要考查了二次函数图像与其系数的关系，解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系，二次函数图像的性质等等，熟知相关知识是解题的关键．21·世纪*教育网
3、
【解析】
【分析】
首先求得抛物线的对称轴和开口方向，可知开口向上对称轴为，根据点与对称轴的距离越远函数值越大即可判断，的大小关系．21*cnjy*com
【详解】
解：∵中，，开口向上，对称轴为，
∴点与对称轴的距离越远函数值越大
点，在抛物线上，
故答案为：
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数图象的性质是解题的关键．
4、5
【解析】
【分析】
先根据已知得出，再设，从而可得一个关于的方程组，解方程组可得的值，然后利用二次函数的性质即可得出答案．
【详解】
解：多项式除以的余数为1，
，
当时，，
同理可得：，
设除以所得商式为，余式为（因为除式是三次的，所以余式至多是二次的），
则，
因此有，
解得，
所以余式为，
由二次函数的性质得：当时，余式取得最大值，最大值为5，
故答案为：5．
【点睛】
本题考查了多项式的除法、二次函数的性质等知识点，正确设出余式的一般形式是解题关键．
5、或## 或
【解析】
【分析】
根据图像即可得出时，抛物线的图像在直线的上方，即可得出x的取值范围．
【详解】
如图所示，抛物线与直线的交点为，，
∴当时，或．
故答案为：或．
【点睛】
此题主要考查了二次函数与不等式，正确解读函数图象是解题关键．
三、解答题
1、 (1)抛物线的解析式为
(2)∠ACB的正弦值为
(3)点D的坐标为
【解析】
【分析】
（1）将A点坐标代入，求出的值，然后回代抛物线的解析式即可；
（2）根据抛物线解析式求出点的坐标，知是等腰直角三角形，求出的值，如图，延长，作，垂足为，为等腰直角三角形，求出的值，在中，，由勾股定理知，，将线段值代入求解即可；
（3）由可知，，，在中，，解得的值，得到点坐标，设过两点的直线解析式为，将两点坐标代入求得解析式，然后与抛物线解析式联立求出D点坐标即可；【来源：21cnj*y.co*m】
(1)
解：将代入中得
解得
∴抛物线的解析式为： ．
(2)
解：将代入解得
∴点坐标为
∵
∴
∴是等腰直角三角形
∴
∴
∵B点坐标为
∴
如图，延长，作，垂足为
( http: / / www.21cnjy.com / )
∴
∴
∴为等腰直角三角形
∴
在中，，由勾股定理知
∴
∴的正弦值为．
(3)
解：∵
∴
∵，
∴
∴
∴在中，
∴解得
∴点坐标为
∴设过两点的直线解析式为
将两点坐标代入解析式得
解得
∴过两点的直线解析式为
联立一次函数解析式与抛物线解析式得
消得
解得或（舍去）
∴
∴D点坐标为．
【点睛】
本题考查了二次函数解析式，等腰直角三角形的 ( http: / / www.21cnjy.com )判定与性质，正弦值，勾股定理，三角形相似，一次函数与二次函数的交点坐标等知识．解题的关键在于对知识的综合灵活运用．2-1-c-n-j-y
2、 (1)；
(2)铅球距离地面的最大高度为
【解析】
【分析】
（1）把（10，0）代入函数解析式中，即可求得c的值；
（2）直接利用对称轴的值，代入函数关系式进而得出答案．
(1)
把（10，0）代入函数解析式中得：
解得：
(2)
当x＝﹣时，y最大＝
所以铅球距离地面的最大高度为3m．
【点睛】
本题考查了二次函数的图象与性质，掌握二次函数的图象与性质是关键，属于基础题．
3、 (1)，顶点坐标为：；
(2)，证明见解析；
(3)存在点P，，理由见解析．
【解析】
【分析】
（1）根据题意设抛物线解析式为：，将点C代入解得，代入抛物线可得函数解析式；将一般式化为顶点式即可确定顶点坐标；【出处：21教育名师】
（2）结合图象，分别求出的三边长，的三边长，由勾股定理逆定理可得为直角三角形，且两个三角形的三条边对应成比例，即可证明；【版权所有：21教育】
（3）设存在点P使，作线段AC的中垂线交AC于点E，交AP于点F，连接CF，可得，，利用等腰直角三角形的性质可得，，再由勾股定理可得，设，根据直角坐标系中两点之间的距离利用勾股定理可得，同理可得=，利用代入消元法解方程即可确定点F的坐标，然后求出直线AF的直线解析式，联立抛物线解析式求交点坐标即可得．21教育名师原创作品
(1)
解：抛物线经过点，，，
设抛物线解析式为：，
将点C代入可得：，
解得：，
∴，
∴顶点坐标为：；
(2)
解：如图所示：
( http: / / www.21cnjy.com / )
为直角三角形且三边长分别为：，，，
的三边长分别为：，
，，
∴，
∴为直角三角形，
∵，
∴；
(3)
解：设存在点P使，作线段AC的中垂线交AC于点E，交AP于点F，连接CF，如（2）中图：
∴，，
∵，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，，
∴，即
解得：，
设，
∴，，
∴，
整理得：①，
=，
即②，
将①代入②整理得：，
解得：，，
∴，，
∴或（不符合题意舍去），
∴，，
设直线FA解析式为：，将两个点代入可得：
，
解得：，
∴，
∴联立两个函数得：，
将①代入②得：，
整理得：，
解得：，，
当时，，
∴．
【点睛】
题目主要考查待定系数法确定函数 ( http: / / www.21cnjy.com )解析式，相似三角形得判定和性质，中垂线的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等，理解题意，作出相应辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．
4、 (1)
(2)①；②
(3)①；②或
【解析】
【分析】
（1）联立直线与抛物线组成方程组解方程组得出点A、B的坐标分别为、，根据两点距离公式；
（2）①当时，，则点C的坐标为，求抛物线顶点M横坐标为，设抛物线L的表达式为，将点B坐标代入得出，解方程即可；②当时，，则点C的坐标为，求出抛物线顶点M横坐标为，设抛物线L的表达式为，将点B的坐标代入得出，解方程即可；21世纪教育网版权所有
（3）①根据，则点C的坐标为，则抛物线顶点M横坐标为，可求点P的横坐标也为，待定系数法求直线OB的表达式为，根据点P在直线OB上，求出点P的坐标为；根据顶点式写出抛物线E的表达式为，将点B的坐标代入上式得，求解即可；②，当时，，当时，，根据，得出，根据k，t为正整数，，，得出，或，满足上述条件，求出或10即可．
(1)
解：联立直线与抛物线组成方程组，
消去y得：，
解得，
故点A、B的坐标分别为、，
∴；
(2)
解：①当时，，则点C的坐标为，
则抛物线顶点M横坐标为，
设抛物线L的表达式为，
将点B的坐标代入上式得：，
解得，
故答案为：；
②当时，，则点C的坐标为，
则抛物线顶点M横坐标为，
故设抛物线L的表达式为，
将点B的坐标代入上式得：，
解得，
故抛物线的表达式为：；
(3)
①当时，，则点C的坐标为，
则抛物线顶点M横坐标为，
故点P的横坐标也为，
设OB的解析式为y=sx，
点B代入得1=，
解得，
直线OB的表达式为，
∵点P在直线OB 上，
当时，，故点P的坐标为；
则抛物线E的表达式为，
将点B的坐标代入上式得：，
解得：；
②，
，
，
，
当时，，
当时，，
∵，即，即，
∵k，t为正整数，，，
∴，或，满足上述条件，
即或10，
由①知，，
∴或．
【点睛】
本题考查待定系数法求抛物线解析式，抛 ( http: / / www.21cnjy.com )物线顶点式，解方程组，一次函数解析式，四边形面积，二元一次方程的整数解，代数式的值，掌握待定系数法求抛物线解析式，抛物线顶点式，解方程组，一次函数解析式，四边形面积，二元一次方程的整数解，代数式的值，是解题关键
5、 (1)；
(2)（）；
(3)点P（2，-6），PD最大值为
【解析】
【分析】
（1）根据点B的坐标，得出OB的长，进而根据即可得到OA、OC的长，利用待定系数法求出函数解析式；2·1·c·n·j·y
（2）利用配方法求出抛物线的对称轴，连接AC，交对称轴于一点即为点M，此时的值最小，求出直线AC的解析式，当时求出y的值即可得到点M的坐标；
（3）过点P作PH平行于y轴，交AC于点H，根据等腰直角三角形的性质求出∠OAC=∠OCA=45°，根据平行线的性质求出∠PHD=∠OCA=45°，设点P（x，），则点H（x，x-4），根据正弦函数定义得到，根据函数的性质得解问题．
(1)
解：∵点的坐标为，
∴OB=1，
∵，
∴OA=OC=4，
∴点A的坐标为（4,0），点C的坐标为(0,-4),
将点A、B、C的坐标代入中，得
，解得，
∴抛物线的解析式为；
(2)
解：∵，
∴抛物线的对称轴为直线，
连接AC，交对称轴于一点即为点M，此时的值最小，
设直线AC的解析式为，
∴，解得，
∴直线AC的解析式为y=x-4，
当时，，
∴点M的坐标为（）；
(3)
解：过点P作PH平行于y轴，交AC于点H，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA=45°，
∴∠PHD=∠OCA=45°，
设点P（x，），则点H（x，x-4），
∴，
∵，
∴PD有最大值，当x=2时，PD最大值为，
此时点P（2，-6）．
( http: / / www.21cnjy.com / ) ．
【点睛】
此题考查了待定系数法求抛物线解析式，抛物 ( http: / / www.21cnjy.com )线的对称轴，化一般式为顶点式，最短路径问题，二次函数的性质，锐角三角函数，正确掌握抛物线的各知识点是解题的关键，这是一道二次函数与一次函数的综合题．21*cnjy*com
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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