1.2 利用二分法求方程的近似解
问题导学
一、二分法定义的理解
活动与探究1
(1)下列图像与x轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点的是( )．
(2)用二分法求方程f(x)＝0的近似解，f(1)＝－2，f(1.5)＝0.625，f(1.25)＝－0.984，f(1.375)＝－0.260，下一个求f(m)，则m＝________.
迁移与应用
(1)下面关于二分法的叙述，正确的是( )．
A．用二分法可以求所有函数零点的近似值
B．用二分法求方程的近似解时，可以精确到小数点后的任一位
C．二分法无规律可循
D．只有在求函数零点时才用二分法
(2)用二分法求函数f(x)＝x3＋5的零点可以取的初始区间为( )．
A．[－2,1] B．[－1,0]
C．[0,1] D．[1,2]
“二分法”与判定函数零点的定义密切相关，只有满足函数图像在零点附近连续且在该零点两侧的函数值异号时才能应用“二分法”求函数零点．
二、用二分法求方程的近似解
活动与探究2
求方程lg x－2－x＋1＝0的近似解(精度0.1)．
迁移与应用
用二分法求函数f(x)＝x3－x－1在区间[1,1.5]内的近似零点．(精度0.1)
利用二分法求方程的近似解时应注意的问题
(1)注意题目中要求的精度，它决定着二分法到何时结束；
(2)选择方程的解可能存在的合适的初始区间，它决定着二分法计算步骤的繁简；
(3)题目要求的精度不同，得到的方程的近似解不同．
当堂检测
1．下列函数中不能用二分法求零点的是( )．
A．f(x)＝3x－1 B．f(x)＝x3
C．f(x)＝|x| D．f(x)＝ln x
2．下列函数图像与x轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点的近似值的是( )．
3．已知f(x)＝x3＋x2－2x－2，f(1)·f(2)＜0，用二分法求f(x)在[1,2]内的零点时，第一步是____________．
4．用二分法求方程x3－2x－5＝0在区间[2,3]内的实根，取区间中点为x0＝2.5，那么下一个有根的区间是__________．
5．用二分法求函数f(x)＝ln x＋2x－6的零点，其参考数据如下：
次数 左端点 左端点函数值 右端点 右端点函数值
第1次 2 －1.306 85 3 1.098 61
第2次 2.5 －0.083 71 3 1.098 61
第3次 2.5 －0.083 71 2.75 0.511 60
第4次 2.5 －0.083 71 2.625 0.215 08
第5次 2.5 －0.083 71 2.562 5 0.065 98
第6次 2.531 25 －0.008 79 2.562 5 0.065 98
第7次 2.531 25 －0.008 79 2.546 875 0.028 62
第8次 2.531 25 －0.008 79 2.539 062 5 0.009 92
从表中可以看出方程ln x＋2x－6＝0的一个正的近似解是________(精度为0.01)．§1 函数与方程
1.1 利用函数性质判定方程解的存在
问题导学
一、求函数的零点
活动与探究1
判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出：
(1)f(x)＝1＋log3x；
(2)f(x)＝4x－16；
(3)f(x)＝.
迁移与应用
1．求下列函数的零点：
(1)f(x)＝－x2＋2x＋3；(2)f(x)＝2x－2.
2．若函数f(x)＝＋a的零点是－2，则a的值为________．
1．求函数f(x)的零点，基本方法是解方程f(x)＝0，方程的根就是零点．
2．解分式方程、对数方程等要验根，保证方程有意义，避免增解．
二、函数零点个数的判断
活动与探究2
判断函数f(x)＝x2－的零点的个数．
迁移与应用
1．函数f(x)＝x－的零点的个数是( )．
A．0 B．1 C．2 D．3
2．求函数f(x)＝lnx＋2x－6的零点个数．
判断函数零点的个数常有以下方法：
(1)解方程f(x)＝0，方程根的个数就是函数f(x)的零点的个数；
(2)画出函数f(x)的图像，该图像与x轴交点的个数就是函数f(x)零点的个数；
(3)将方程f(x)＝0变形为g(x)＝h(x)，在同一坐标系中画出函数g(x)和h(x)的图像，两个图像交点的个数就是原函数f(x)零点的个数．
三、判断方程(函数)在指定区间上是否存在实数解(零点)
活动与探究3
(1)函数f(x)＝ex＋x－2的零点所在的一个区间是( )．
A．(－2，－1) B．(－1,0)
C．(0,1) D．(1,2)
(2)已知函数f(x)＝2x－3x2.问方程f(x)＝0在区间[－1,0]内有没有实数解？为什么？
迁移与应用
1．方程log3x＋x＝3的解所在的区间为( )．
A．(0,2) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4)
2．试判断方程x3＝2x在区间[1,2]内是否有实数解．
判断一个方程f(x)＝0(函数f(x))在区间[a，b]上是否存在实数解(零点)，首先看函数f(x)在区间[a，b]上的图像是否连续，其次再检验是否满足f(a)·f(b)＜0.若满足，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点，且相应的方程f(x)＝0必有实数解．
四、函数零点的综合应用
活动与探究4
当a取何值时，方程ax2－2x＋1＝0的一个根在(0,1)上，另一个根在(1,2)上？
迁移与应用
若函数f(x)＝x2＋2x－a的两个零点中一个大于1，另一个小于1，那么实数a的取值范围是________．
解决这类问题应注意以下几点：
(1)首先画出符合题意的草图，转化为函数问题．
(2)结合草图考虑四个方面：①Δ与0的大小；②对称轴与所给端点值的关系；③端点的函数值与零的关系；④开口方向．
(3)写出由题意得到的不等式．
(4)由得到的不等式去验证图像是否符合题意．
当堂检测
1．函数f(x)＝的零点是( )．
A．1 B．－1 C．±1 D．0
2．函数f(x)＝lnx－1的零点所在的大致区间为( )．
A．(1,2) B．(2,3) C．(3,4) D．(4,5)
3．函数f(x)＝ax2＋bx＋c，若f(1)＞0，f(2)＜0，则f(x)在(1,2)上零点的个数是( )．
A．至多有一个 B．有一个或两个
C．有且仅有一个 D．一个也没有
4．函数f(x)＝x2－的零点的个数是________．
5．若方程ax2－x－1＝0在(0,1)内有解，求a的取值范围．
提示：用最精炼的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记。
答案：
课前预习导学
【预习导引】
1．(1)交点的横坐标 (2)f(x)＝0
预习交流1 提示：不正确．函数的零点是函数图像与x轴交点的横坐标，即函数零点的实质是一个实数，而不是几何上的点．
预习交流2 提示：并不是所有的函数都有零点，例如：y＝和y＝x2＋3等都没有零点．对于二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，计算Δ＝b2－4ac，则当Δ＞0时，f(x)有2个零点，当Δ＝0时，f(x)有1个零点，当Δ＜0时，f(x)无零点．
2．至少有一个零点 至少有一个实数解
预习交流3 (1)提示：函数在(a，b)内有零点，可能只有1个，也可能有多个．图①和②分别是函数f(x)和g(x)的图像．由图知，f(x)与g(x)的图像在(a，b)上连续不断，且满足f(a)·f(b)＜0，图①中函数f(x)在(a，b)内有2个零点，图②中函数g(x)在(a，b)内有3个零点．由此可见，满足题设条件的函数的零点不一定只有1个．
(2)提示：不一定．例如：函数f(x)＝x2－1在区间(－2,2)内有2个零点，但却有f(－2)·f(2)＞0.
(3)提示：不对．例如：函数f(x)＝在闭区间[－2,2]上的图像不连续，虽有f(－2)·f(2)＜0，但f(x)在(－2,2)内没有零点．
课堂合作探究
【问题导学】
活动与探究1 解：(1)令1＋log3x＝0，
则log3x＝－1，解得x＝，
所以函数的零点为x＝.
(2)令4x－16＝0，则4x＝42，
解得x＝2，
所以函数的零点为x＝2.
(3)因为f(x)＝＝，令＝0，
解得x＝－6，所以函数的零点为x＝－6.
迁移与应用 1．解：(1)令－x2＋2x＋3＝0，
解得x＝－1或x＝3，
即函数的零点是x1＝－1，x2＝3.
(2)令2x－2＝0，解得x＝1，
即函数的零点是x＝1.
2． 解析：依题意知f(－2)＝0，即＋a＝0，所以a＝.
活动与探究2 解：(方法一)令f(x)＝x2－＝0，得x2＝，即x3＝1，解得x＝1，故函数f(x)＝x2－只有一个零点．
(方法二)令f(x)＝x2－＝0，得x2＝，设g(x)＝x2，h(x)＝，在同一坐标系中分别画出函数g(x)和h(x)的图像，
由图像可知，两个图像只有一个交点，
故函数只有一个零点．
迁移与应用 1．C 解析：令f(x)＝0，即x－＝0.
解得x＝±2.所以f(x)有2个零点．
2．解法一：在同一平面直角坐标系中作出y＝ln x与y＝6－2x的图像，由图知，两个函数图像只有一个交点，故函数f(x)的零点个数为1.
解法二：∵f(2)＝ln2＋2×2－6＝ln2－2＜0，
f(3)＝ln3＋2×3－6＝ln3＞0，
∴f(2)·f(3)＜0.∴f(x)在(2,3)上有零点．
又∵f(x)在(0，＋∞)上是增加的，
∴函数f(x)有且只有一个零点．
活动与探究3 思路分析：(1)只需分析函数在哪个区间的两个端点的函数值异号即可；(2)要判断方程f(x)＝0在区间[－1,0]上有没有实数解，只需看f(－1)，f(0)是否异号即可．
(1)C 解析：由于f(－2)＝e－2－2－2＜0，f(－1)＝e－1－1－2＜0，f(0)＝e0＋0－2＝－1＜0，f(1)＝e＋1－2＝e－1＞0，所以f(0)·f(1)＜0，因此零点所在的一个区间是(0,1)．选C.
(2)解：∵f(－1)＝－3＜0，f(0)＝1＞0，又∵函数f(x)＝2x－3x2的图像是连续曲线，∴f(x)在区间[－1,0]内有零点，即f(x)＝0在区间[－1,0]内有实数解．
迁移与应用 1．C 解析：构造函数，转化为求函数的零点所在的区间．
令f(x)＝log3x＋x－3，则f(2)＝log32＋2－3＝log3＜0，f(3)＝log33＋3－3＝1＞0，又因为函数f(x)在(0，＋∞)上是连续且单调的函数，所以方程log3x＋x＝3的解所在的区间为(2,3)．
2．解：设函数f(x)＝x3－2x，
∵f(1)＝1－2＝－1＜0，
f(2)＝8－4＝4＞0，
∴f(1)·f(2)＜0.
又∵函数f(x)＝x3－2x的图像是连续曲线，
∴函数f(x)＝x3－2x在区间[1,2]内至少有一个零点，即方程x3＝2x在区间[1,2]内至少有一个实数解．
活动与探究4 思路分析：令函数f(x)＝ax2－2x＋1，本题的实质是该函数的一个零点在(0,1)上，另一个在(1,2)上，结合函数的图像列出不等式组，注意对a＞0，a＝0，a＜0作出讨论．
解：当a＝0时，方程即为－2x＋1＝0，只有一根，不符合题意．
当a＞0时，设f(x)＝ax2－2x＋1，
因为方程的根分别在区间(0,1)，(1,2)上，
所以即解得＜a＜1.
当a＜0时，设方程的两根为x1，x2，
则x1·x2＝＜0，
x1，x2一正一负，不符合题意．
综上，a的取值范围为＜a＜1.
迁移与应用 a＞3 解析：依题意，由图像可知f(1)＜0，即12＋2×1－a＜0，解得a＞3.
【当堂检测】
1．B 解析：令f(x)＝0，得＝0，即x＋1＝0，所以x＝－1.
2．B 解析：因为在给出的区间中，只有f(2)·f(3)＜0，而在其余区间两个端点处的函数值均同号．
3．C
4．2 解析：令f(x)＝0，得x2＝.设g(x)＝x2，h(x)＝.画出g(x)和h(x)的图像，由图像可知，两个函数图像有2个交点，所以函数f(x)有2个零点．
5．解：ax2－x－1＝0在(0,1)内有解，
即函数f(x)＝ax2－x－1在(0,1)内有零点，
故f(0)·f(1)＜0，
即－1×(a－2)＜0，解得a＞2.数学北师版必修1第四章 函数应用单元检测
(时间：45分钟，满分：100分)
一、选择题(本大题共8小题，每小题6分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列函数没有零点的是( )．
A．f(x)＝0 B．f(x)＝2
C．f(x)＝x3－1 D．
2．函数的零点所在的大致区间是( )．
A．(1,2) B．(2,3)
C．(3,4) D．(e，＋∞)
3．函数的零点的个数是( )．
A．0 B．1 C．2 D．3
4．若函数y＝f(x)在区间[0,4]上的图像是连续不断的曲线，且方程f(x)＝0在(0,4)内仅有一个实数根，则f(0)·f(4)的值( )．
A．大于0 B．小于0
C．等于0 D．无法判断
5．在养分充足的情况下，细菌的数量会以指数函数的方式增加．假设细菌A的数量每2小时可以增加为原来的2倍，细菌B的数量每5小时可以增加为原来的4倍．现在若养分充足，且一开始两种细菌的数量相等，要使细菌A的数量是B的数量的两倍，需要的时间为( )．
A．5 h B．10 h C．15 h D．30 h
6．若一元二次方程ax2＋2x＋1＝0(a≠0)有一个正根和一个负根，则有( )．
A．a＜0 B．a＞0
C．a＜－1 D．a＞1
7．某厂有许多形状为直角梯形的铁边边角料，如图，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x，y应为( )．
A．x＝15，y＝12 B．x＝12，y＝15
C．x＝14，y＝10 D．x＝10，y＝14
8．若方程mx－x－m＝0(m＞0，m≠1)有两个不同的实数根，则m的取值范围是( )．
A．m＞1 B．0＜m＜1
C．m＞0 D．m＞2
二、填空题(本大题共3小题，每小题6分，共18分．把正确答案填在题中横线上)
9．已知f(x)，g(x)均为[－1,3]上连续不断的曲线，根据下表能判断方程f(x)＝g(x)有实数解的区间为________.
x －1 0 1 2 3
f(x) －0.677 3.011 5.432 5.980 7.651
g(x) －0.530 3.451 4.890 5.241 6.892
10．函数f(x)＝x2－2x＋m的零点均是正数，则实数m的取值范围是__________．
11．若函数f(x)是偶函数，定义域为{x∈R|x≠0}且f(x)在(0，＋∞)上是减少的，f(2)＝0，则函数f(x)的零点有______个．
三、解答题(本大题共3小题，共34分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
12．(10分)判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出：
(1)f(x)＝－8x2＋7x＋1；(2)f(x)＝x2＋x＋2；
(3)f(x)＝x3＋1.
13．(12分)已知甲、乙两个工厂在今年的1月份的利润都是6万元，且甲厂在2月份的利润是14万元，乙厂在2月份的利润是8万元．若甲、乙两个工厂的利润(万元)与月份x之间的函数关系式分别符合下列函数模型：f(x)＝a1x2＋b1x＋6，g(x)＝a23x＋b2(a1，a2，b1，b2∈R)．
(1)求甲、乙两个工厂今年5月份的利润；
(2)在同一直角坐标系下画出函数f(x)与g(x)的草图，并根据草图比较今年甲、乙两个工厂的利润的大小情况．
14．(12分)已知函数f(x)＝ex＋4x－3.
(1)求证：函数f(x)在[0,1]上有唯一零点；
(2)用二分法求函数取到这个唯一零点时相应的x的近似值．(误差不超过0.2，参考数据：e≈2.7，≈1.6，e0.3≈1.2)的取值范围．
参考答案
1答案：B
2答案：B 解析：由于f(1)＝3＞0，f(2)＝－ln 2＞0，f(3)＝1－ln 3＜0，f(2)·f(3)＜0，所以零点所在区间为(2,3)．
3答案：B 解析：由f(x)＝0可得解得x＝0，故函数仅有1个零点．
4答案：D 解析：如图中的(1)，(2)，(3)均符合题意，故f(0)·f(4)的值不确定．
5答案：B 解析：假设一开始两种细菌数量均为m，则依题意经过x小时后，细菌A的数量是f(x)＝m·，细菌B的数量是g(x)＝m·，令m·＝2·m·，解得x＝10.
6答案：A 解析：注意到二次函数y＝ax2＋2x＋1恒过(0,1)点，因此当a＜0时，方程恒有一正根和一负根，符合题意；当a＞0时，不合题意．故有a＜0.
7答案：A 解析：∵由三角形相似得，得，
∴S＝xy＝－ (y－12)2＋180.
∴当y＝12时，S有最大值，此时x＝15.
8答案：A 解析：方程mx－x－m＝0有两个不同的实数根，即函数y＝mx与y＝x＋m的图像有两个不同的交点．显然，当m＞1时，两图像有两个不同交点，当0＜m＜1时，只有1个交点，故m的取值范围是m＞1.
9答案：(0,1)(答案不唯一) 解析：由于f(－1)＜g(－1)，f(0)＜g(0)，f(1)＞g(1)，所以f(x)＝g(x)的解应在区间(0,1)内．
10答案：(0,1] 解析：设x1，x2是函数f(x)的零点，则有
即解得0＜m≤1.
11答案：2 解析：由已知条件，得f(－2)＝0，画出函数f(x)的大致图像如图所示，可知f(x)有两个零点．
12答案：解：(1)因为f(x)＝－8x2＋7x＋1
＝－(8x＋1)(x－1)，
令f(x)＝0，可解得x＝或x＝1，
所以函数的零点为和1.
(2)令x2＋x＋2＝0，因为Δ＝12－4×1×2＝－7＜0，所以方程无实数解．所以f(x)＝x2＋x＋2不存在零点．
(3)因为f(x)＝x3＋1＝(x＋1)(x2－x＋1)，
令(x＋1)(x2－x＋1)＝0，
解得x＝－1.所以函数的零点为－1.
13答案：解：(1)依题意知
则有解得∴f(x)＝4x2－4x＋6.
∴f(5)＝4×52－4×5＋6＝86.
又∵有
解得a2＝，b2＝5，
∴g(x)＝·3x＋5＝3x－1＋5.
∴g(5)＝34＋5＝86.
(2)作函数图像如下：
从图中可以看出今年甲、乙两个工厂的利润：
当x＝1或x＝5时，有f(x)＝g(x)；
当1＜x＜5时，有f(x)＞g(x)；
当5＜x≤12时，有f(x)＜g(x)．
14答案：(1)证明：∵f(0)＝e0－3＝－2＜0，f(1)＝e＋1＞0，
∴f(0)·f(1)＜0.
又函数y＝ex，y＝4x－3在R上均为增函数，
∴函数f(x)在[0,1]上递增．
∴函数f(x)在[0,1]上存在唯一零点．
(2)解：取区间[0,1]作为起始区间，用二分法逐次计算
如下：
区间中点坐标 中点对应函数值 取区间[an，bn] |an－bn|
[0,1] 1
x0＝＝0.5 f(x0)≈0.648 7 [0,0.5] 0.5
x1＝＝0.25 f(x1)≈－0.716 0 [0.25,0.5] 0.25
x2＝＝0.375
由上表可知，区间[0.25, 0.5]的长度为0.25，∴该区间的中点x2＝0.375到区间端点的距离小于0.2，因此可作为误差不超过0.2的一个零点的相应x的近似值．
∴函数y＝f(x)取到唯一零点时，相应的x的近似值为0.375.§2 实际问题的函数建模
问题导学
一、二次函数模型的应用
活动与探究1
某租赁公司出租同一型号的设备40套，当每套月租金为270元时，恰好全部租出．在此基础上，每套月租金每增加10元，就少租出1套设备，而未租出的设备每月需支付各种费用每套20元．设每套设备实际月租金为x元(x≥270元)，月收益为y元(总收益＝设备租金收入－未租出设备费用)．
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)当x为何值时，月收益最大？最大值是多少？
迁移与应用
某旅游公司的最大接待量为1 000人，为保证公司正常运作，实际的接待量x要小于1 000，留出适当的空闲量(如：当接待量为800人时，则空闲量为200人)，空闲量与最大接待量的比值叫作空闲率．已知该公司4月份接待游客的月增加量y(人)和实际接待量x(人)与空闲率的乘积成正比．(设比例系数k＞0)
(1)写出y关于x的函数关系式，并指出定义域；
(2)当k＝时，求4月份游客日增加量的最大值．
在函数模型中，二次函数模型占有重要的地位，根据实际问题列出二次函数解析式后，通常可利用配方法求出其最值，但应注意函数自变量的取值范围，即应在函数定义域的前提下求最值．
二、分段函数模型
活动与探究2
某医药研究所开发一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测，服药后每毫升血液中的含药量y(毫克)与时间t(小时)之间近似满足如图所示的曲线．
(1)写出服药后y与t之间的函数关系式y＝f(t)；
(2)进一步测定：每毫升血液中含药量不少于0.25毫克时，药物对治疗疾病有效．求服药一次治疗疾病的有效时间．
迁移与应用
某公司生产一种电子仪器的固定成本为20 000元，每生产一台仪器需要增加投入100元，已知总收益满足函数：
R(x)＝其中x是仪器的月产量．
(1)将利润表示为月产量的函数f(x)．
(2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？(总收益＝总成本＋利润)
分段函数模型应用的关键是确定分段的各边界点，即明确自变量的取值区间，对每一区间进行分类讨论，从而写出函数的解析式．需注意分段函数的最值，是各区间上解析式所得最值的最大者或最小者．
三、指数函数模型的应用
活动与探究3
有一种放射性元素，因放出射线，其质量在不断减少，经测算，每年衰减的百分率相同．若该元素最初的质量为50 g，经过一年后质量变为40 g.
(1)设x(x≥0)年后，这种放射性元素的质量为y g，写出y关于x的表达式．
(2)求经过多长时间，这种放射性元素的质量变为原来的一半？(精确到0.1年，参考数据：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)
迁移与应用
某纯净水制造厂在净化水的过程中，每增加一次过滤可减少水中杂质20%.
(1)写出水中杂质含量y与过滤的次数x之间的函数关系式；
(2)要使水中杂质减少到原来的5%以下，则至少需要过滤几次？(参考数据：lg 2＝0.301 0)
实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常可以用指数函数模型来表示，在建立函数模型时，注意用列举、归纳等方法来探求内在的规律．
四、对数函数模型的应用
活动与探究4
大西洋鲑鱼每年都要逆流而上2 000 m，游回产地产卵．研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速可以表示为函数y＝log3，单位是m/s，其中x表示鲑鱼的耗氧量的单位数．
(1)当一条鲑鱼的耗氧量是8 100个单位时，它的游速是多少？
(2)计算一条鲑鱼静止时耗氧量的单位数；
(3)若鲑鱼A的游速大于鲑鱼B的游速，问这两条鲑鱼谁的耗氧量较大？并说明理由．
迁移与应用
燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数v＝5log2，单位是m/s，其中Q表示燕子的耗氧量．
(1)燕子静止时的耗氧量是多少个单位？
(2)当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？
有关对数函数的应用题一般都会给出函数关系式，要求根据实际情况求出函数关系式中的参数，或给出具体情境，从中提炼出数据，代入关系式求值，然后根据所求值回答其实际意义．
当堂检测
1．一辆汽车的行驶路程s关于时间t变化的图像如图所示，那么图像所对应的函数模型是( )．
A．一次函数模型 B．二次函数模型
C．指数函数模型 D．对数函数模型
2．某研究小组在一项实验中获得一组数据，将其整理得到如图所示的散点图，下列函数中，最能近似刻画y与t之间关系的是( )．
A．y＝2t B．y＝2t2
C．y＝t3 D．y＝log2t
3．在一次数学实验中，采集到如下一组数据：
x －2.0 －1.0 0 1.00 2.00 3.00
y 0.24 0.51 1 2.02 3.98 8.02
则x，y的函数关系最接近(其中a，b为待定系数)函数( )．
A．y＝a＋bx B．y＝bx
C．y＝ax2＋b D．y＝
4．据报道，全球变暖使北冰洋冬季冰雪覆盖面积在最近50年内减少了5%，如果按此速度，设2000年北冰洋冬季冰雪覆盖面积为m，则从2000年起，经过x年后，北冰洋冬季冰雪覆盖面积y与x的函数关系式是( )．
A．y＝·m
B．y＝(1－)·m
C．y＝0.9550－x·m
D．y＝(1－0.0550－x)·m
5．长为3，宽为2的矩形，当长增加x，宽减少时，面积达到最大，此时x的值为______．
提示：用最精炼的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记。
答案：
课前预习导学
【预习导引】
1．f(a)·f(b)＜0 中点 小区间
2．反号 中点 精度 任意一个数
预习交流1 提示：利用二分法求得的零点也可能是准确值，例如f(x)＝x2－1在[0,2]上的零点；利用二分法求方程在[a，b]内的近似解时，如果方程的根有多个，那么一次只能求得其中的一个．
预习交流2 提示：(1)要看清题目要求的精度，它决定着二分法步骤的结束．
(2)初始区间的选定一般在两个整数间，不同的初始区间结果是相同的，但二分的次数却相差较大．
(3)用二分法求出的零点一般是零点的近似值，但并不是所有函数都可以用二分法求零点，必须满足在区间[a，b]上连续不断，且f(a)·f(b)＜0这样条件的函数才能用二分法求得零点的近似值．
课堂合作探究
【问题导学】
活动与探究1 (1)B (2)1.437 5 解析：(1)从图像上可以看出B中的函数值在零点两侧都小于0，所以不能用二分法求函数的零点．
(2)由于f(1.25)·f(1.5)＜0，所以近似解位于区间[1.25,1.5]，又f(1.375)·f(1.5)＜0，所以近似解位于区间[1.375,1.5]，因此下一次计算应取m＝＝1.437 5.
迁移与应用 (1)B (2)A 解析：(2)由于f(－2)＝(－2)3＋5＝－3＜0，f(1)＝13＋5＝6＞0，f(－2)·f(1)＜0，所以初始区间可取[－2,1]．
活动与探究2 思路分析：先确定f(x)＝lg x－2－x＋1的零点所在的大致区间，再用二分法求解．
解：令f(x)＝lg x－2－x＋1，函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．
因为函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数(证明略)，所以f(x)至多有一个零点．
又因为f(1)＝0.5＞0，f(0.1)≈－0.933＜0，所以方程在[0.1,1]内有唯一实数解．
使用二分法求解，如下表：
次数 左端点 左端点函数值 右端点 右端点函数值
第1次 0.1 －0.933 033 1 0.5
第2次 0.1 －0.933 033 0.55 0.057 343
第3次 0.325 －0.286 415 0.55 0.057 343
第4次 0.437 5 －0.097 435 0.55 0.057 343
第5次 0.493 75 －0.016 670 0.55 0.057 343
至此，得到区间[0.493 75,0.55]，其长度0.55－0.493 75＝0.056 25＜0.1，由于要求的精度为0.1，则这一区间内的任一数都可作为方程的近似解，不妨取0.5作为方程的近似解．
迁移与应用 解：用二分法逐次计算，列表如下：
次数 左端点 左端点函数值 右端点 右端点函数值
第1次 1 －1 1.5 0.875
第2次 1.25 －0.296 875 1.5 0.875
第3次 1.25 －0.296 875 1.375 0.224 609
第4次 1.312 5 －0.051 514 1.375 0.224 609
由于区间[1.312 5,1.375]的长度1.375－1.312 5＝0.062 5＜0.1，所以当精度为0.1时，该区间内的每一个数都是函数的近似零点，不妨取1.3作为函数f(x)在[1,1.5]内的近似零点．
【当堂检测】
1．C 2．B
3．取区间[1,2]的中点c＝＝.
4．[2,2.5] 解析：令f(x)＝x3－2x－5，f(2)＝－1＜0，f(2.5)＝2.53－10＞0，所以有根区间是[2,2.5]．
5．2.53 解析：由于区间[2.531 25,2.539 062 5]的长度为2.539 062 5－2.531 25＝0.007 812 5＜0.01，所以精度为0.01时，方程的一个正的近似解是2.53.
§2 实际问题的函数建模
课前预习导学
【预习导引】
1．函数
2．性质 整体特征 函数表达式 实验 数据 拟合
3．(1)方法 知识
预习交流 提示：(1)直线模型：一次函数模型y＝kx＋b(k≠0)，其图像增长特点是直线式上升(x的系数k＞0)，通过图像可以直观地认识它，特例是正比例函数模型y＝kx(k＞0)．
(2)反比例函数模型：y＝(k＞0)型，其增长特点是y随x的增大而减小．
(3)指数函数模型：y＝a·bx＋c(b＞0，且b≠1，a≠0)，其增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快(底数b＞1，a＞0)，常形象地称为指数爆炸．
(4)对数函数模型：y＝mlogax＋n(a＞0，a≠1，m≠0)，其增长特点是随着自变量的增大，函数值增大越来越慢(底数a＞1，m＞0)．
(5)幂函数模型：y＝a·xn＋b(a≠0)，其中最常见的是二次函数模型：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，其特点是随着自变量的增大，函数值先减小后增大(a＞0)．
在以上几种函数模型的选择与建立时，要注意函数图像的直观运用，分析图像特点，分析变量x的范围，同时还要与实际问题结合，如取整等．
课堂合作探究
【问题导学】
活动与探究1 思路分析：(1)利用总收益＝设备租金收入－未租出设备费用列出函数关系式；
(2)转化为求相应二次函数的最大值．
解：(1)设每套设备实际月租金为x元(x≥270元)，则未租出的设备为套，未租出的设备费用为元；租出的设备为套，月租金总额为元．
所以y＝x－×20
＝－0.1x2＋65x＋540.
(2)由(1)得y＝－0.1x2＋65x＋540＝－0.1(x－325)2＋11 102.5.所以当x＝325时，y取最大值为11 102.5，
即当每套设备实际月租金为325元时，月收益达到最大值11 102.5元．
迁移与应用 解：(1)由题意知，当实际接待量为x人时，空闲率为.故y关于x的函数关系式为y＝kx·(k＞0)，函数的定义域为0＜x＜1 000.
(2)∵当k＝时，y＝x·
＝(－x2＋1 000x)
＝[－(x－500)2＋250 000]
＝－(x－500)2＋25，
∴当x＝500时，ymax＝25.
∴4月份游客日增加量的最大值为25人．
活动与探究2 思路分析：(1)由于在t∈[0,1]，t∈(1，＋∞)上的函数模型已知，只须用待定系数法求出相应的k和a的值，即可用分段函数写出y＝f(t)．
(2)令f(t)≥0.25，解出t的范围，进而确定治疗疾病的有效时间．
解：(1)由函数图像可知，当t∈[0,1]时，函数的解析式为y＝kt(k≠0)，
将M(1,4)代入得k＝4，所以y＝4t.
又当t∈(1，＋∞)时，函数的解析式为y＝t－a，
将点(3,1)代入得a＝3.所以y＝t－3.
综上，y＝f(t)＝
(2)当0≤t≤1时，由f(t)＝4t≥0.25，得≤t≤1；
当t＞1时，由f(t)＝t－3≥0.25，得1＜t≤5，
因此≤t≤5.
所以服药一次治疗疾病的有效时间为5－＝(个)小时．
迁移与应用 解：(1)每月产量为x台，
则总成本为20 000＋100x，从而
f(x)＝
(2)当0≤x≤400时，f(x)＝－(x－300)2＋25 000，
所以当x＝300时，有最大值25 000；
当x＞400时，f(x)＝60 000－100x是减少的，
f(x)＜60 000－100×400＝20 000＜25 000，
所以当月产量为300台时，公司所获利润最大，最大利润为25 000元．
活动与探究3 思路分析：本题属于降低率问题，可建立指数函数模型解决．
解：(1)由题意知，每经过一年该放射性元素衰减的百分率为＝20%，
所以y＝50(1－20%)x，即y＝50×0.8x(x≥0)．
(2)由题意知50×0.8x＝25，
即0.8x＝0.5.
则lg 0.8x＝lg 0.5，
所以xlg 0.8＝lg 0.5，
即x＝＝≈≈3.1.
故约经过3.1年，这种放射性元素的质量变为原来的一半．
迁移与应用 解：(1)设刚开始水中杂质含量为1，
第1次过滤后，y＝1－20%；
第2次过滤后，y＝(1－20%)(1－20%)＝(1－20%)2；
第3次过滤后，y＝(1－20%)2(1－20%)＝(1－20%)3；
……
第x次过滤后，y＝(1－20%)x.
所以y＝(1－20%)x＝0.8x(x≥1，x∈N)．
(2)由(1)得0.8x＜5%，
所以x＞log0.80.05＝＝＝≈13.4.
故至少需要过滤14次．
活动与探究4 思路分析：(1)将x＝8 100代入函数关系式即可；(2)静止即游速为零；(3)由鲑鱼A的游速大于鲑鱼B的游速，可列出不等式，解该不等式即可．
解：(1)将x＝8 100代入函数关系式，得y＝log381＝×4＝2，所以一条鲑鱼的耗氧量是8 100个单位时，它的游速是2 m/s.
(2)令y＝0，得log3＝0，即＝1，则x＝100，
所以一条鲑鱼静止时耗氧量为100个单位．
(3)由yA＞yB，得log3＞log3，即log3xA＞log3xB，
则xA＞xB，所以鲑鱼A的耗氧量较大．
迁移与应用 解：(1)由题意知，当燕子静止时，它的速度v＝0，
可得0＝5log2，解得Q＝10，
即燕子静止时的耗氧量是10个单位．
(2)将耗氧量Q＝80代入所给公式，得
v＝5log2＝5log28＝15(m/s)，
即当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度为15 m/s.
【当堂检测】
1．A 解析：由图像是一条射线知其所对应的函数模型是一次函数模型．
2．D
3．B 解析：散点图如图所示：
由散点图可知，此函数图像不是直线，排除A；此函数图像是上升的，是增函数，排除C，D，故选B.
4．A 解析：设北冰洋冬季冰雪覆盖面积每年为上一年的q%，则(q%)50＝0.95，∴q%＝，
即x年后湖水量为y＝·m.
5． 解析：由题意知面积S＝(3＋x)＝－＋＋6，
当x＝－＝时，面积S最大．阅读P85-92内容，回答如下问题：
1.《预防未成年人犯罪法》列举了青少年哪些不良行为和严重不良行为？
2.违法的含义。
3.违法的分类
4.犯罪的含义和基本特征。1．1 利用函数性质判定方程解的存在
1．了解函数的零点与方程的根的关系．
2．掌握函数零点存在性的判定方法．
3．探究在某区间上图像连续的函数存在零点的判定方法．
1．函数的零点
(1)定义：函数y＝f(x)的图像与横轴的交点的______称为这个函数的零点．
(2)意义：函数y＝f(x)的零点就是方程______的解．
①方程f(x)＝0有解函数f(x)的图像与x轴有交点函数f(x)有零点．
②并非所有的函数都有零点．例如，函数f(x)＝x2＋1，由于方程x2＋1＝0无实数根，则该函数无零点．
【做一做1－1】 函数y＝x的零点是( )．
A．(0,0) B．0 C．1 D．不存在
【做一做1－2】 函数f(x)＝x2－2x的零点个数是( )．
A．0 B．1 C．2 D．3
2．函数零点的判定定理
若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图像是____曲线，并且在区间端点的函数值符号______，即______＜0，则在区间(a，b)内，函数y＝f(x)至少有____零点，即相应的方程f(x)＝0在区间(a，b)内至少有一个实数解．
当函数y＝f(x)同时满足：①函数的图像在闭区间[a，b]上是连续曲线；②f(a)·f(b)＜0，则可以判断函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，但是不能明确说明有几个零点．
当函数y＝f(x)的图像在闭区间[a，b]上不是连续曲线，或不满足f(a)·f(b)＜0时，函数y＝f(x)在区间[a，b]内可能存在零点，也可能不存在零点．
例如：①二次函数f x ＝x2－2x－3在区间[3，4]上有f 3 ＝0，f 4 ＞0，所以有f 3 ·f 4 ＝0，但3是函数f x 的一个零点.
②函数f x ＝x2在区间[－1，1]上，f －1 ·f 1 ＝1＞0，但是它存在零点0.
③函数f x ＝在区间[－1，1]上有f －1 ·f 1 ＜0，但是由其图像知函数f x 在区间 －1，1 内无零点.
【做一做2－1】 已知函数f(x)＝x3－x－1仅有一个正零点，则此零点所在的区间是( )．
A．(3,4) B．(2,3)
C．(1,2) D．(0, 1)
【做一做2－2】 函数f(x)＝mx－1在(0,1)内有零点，则实数m的取值范围是__________．
答案：1．(1)横坐标 (2)f(x)＝0
【做一做1－1】 B
【做一做1－2】 C
2．连续 相反 f(a)·f(b) 一个
【做一做2－1】 C 利用零点存在的判定条件，判断零点存在的区间．由于f(0)＝－1＜0，f(1)＝－1＜0，f(2)＝5＞0，f(3)＝23＞0，f(4)＝59＞0，根据选项，只有区间(1,2)满足．
【做一做2－2】 (1，＋∞) 由f(0)·f(1)＜0得(－1)·(m－1)＜0.∴m＞1.
函数的零点是点吗？
剖析：函数y＝f(x)的图像与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点，因此函数的零点不是点，是方程f(x)＝0的解，即函数的零点是一个实数．当函数的自变量取这一实数时，其对应函数值为零．方程f(x)＝0解的个数等于函数f(x)零点的个数．
函数f(x)＝x＋1，当f(x)＝x＋1＝0时仅有一个实根x＝－1，所以函数f(x)＝x＋1有一个零点－1.由此可见函数f(x)＝x＋1的零点是一个实数－1，而不是一个点(－1,0)．
题型一 求函数的零点
【例1】 判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．
(1)f(x)＝－8x2＋7x＋1；
(2)f(x)＝1＋log3x；
(3)f(x)＝4x－16；
(4)f(x)＝.
分析：可通过解方程求得函数的零点．
反思：求函数的零点时，先考虑解方程f(x)＝0，方程f(x)＝0无实根则函数无零点，方程f(x)＝0有实根则函数有零点．
本题(4)中解方程容易错写成函数的零点是－6和2，其原因是没有验根．避免出现此类错误的方法是解分式方程、对数方程等要验根，保证方程有意义．
题型二 判断函数零点的个数
【例2】 求函数f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2的零点个数．
分析：思路一，借助函数f(x)的单调性确定；思路二，借助图像确定．
反思：判断函数零点个数的方法主要有：
(1)解方程：当能直接求解零点时，就直接求出进行判断．
(2)用定理：零点存在性定理．
(3)利用图像的交点：有些题目可先画出某两个函数y＝f(x)，y＝g(x)的图像，其交点的横坐标是f(x)－g(x)的零点．
题型三 判断函数零点所在大致区间
【例3】 求证：方程5x2－7x－1＝0的根一个在区间(－1,0)上，另一个在区间(1,2)上．
分析：证明方程5x2－7x－1＝0的两根分别位于(－1,0)和(1,2)上，即证在(－1,0)和(1,2)上各有一个零点．
反思：判断函数f(x)是否在(x1，x2)上存在零点，除验算f(x1)·f(x2)＜0是否成立外，还需考察函数在(x1，x2)上是否连续．若要判断根的个数，还需结合函数的单调性．
题型四 由函数的零点求参数的取值范围
【例4】 若函数y＝ax2－x－1只有一个零点，求实数a的取值范围．
分析：由于函数y＝ax2－x－1中x2前面的系数a不确定，故需分a＝0和a≠0两种情况讨论．
反思：解决本题时易忽略a＝0的情形，因为题目中并没有说明所给函数是二次函数．
题型五 易错辨析
易错点 因函数的图像不是连续不断的而造成判断错误
【例5】 函数f(x)＝x＋的零点个数为__________．
错解：因为f(－1)＝－2，f(1)＝2，且x＜0时，f(x)＜0；x＞0时，f(x)＞0，所以y＝f(x)有一个零点．故填1.
错因分析：函数的定义域决定了函数的一切性质，分析函数的有关问题时必须先求定义域．通过作图可知函数f(x)＝x＋的图像不是连续不断的，因而零点存在性定理不能使用．
答案：【例1】 解：(1)令－8x2＋7x＋1＝0，解得x＝－或x＝1，所以函数的零点为－和1.
(2)令1＋log3x＝0，则log3x＝－1，解得x＝，
所以函数的零点为.
(3)令4x－16＝0，则4x＝42，解得x＝2，所以函数的零点为2.
(4)因为f(x)＝＝，令＝0，解得x＝－6，
所以函数的零点为－6.
【例2】 解法1：∵f(0)＝1＋0－2＝－1＜0，
f(2)＝4＋lg3－2＝2＋lg3＞0，
∴f(x)＝0在(0,2)上必定存在实根．
又显然f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2在(－1，＋∞)上为增函数，故f(x)有且只有一个实根．
解法2：在同一坐标系下作出h(x)＝2－2x和g(x)＝lg(x＋1)的叠合图像．
由图像知g(x)＝lg(x＋1)和h(x)＝2－2x有且只有一个交点，即f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2有且只有一个零点．
【例3】 解：设f(x)＝5x2－7x－1，则f(－1)·f(0)＝11×(－1)＝－11＜0，f(1)·f(2)＝(－3)×5＝－15＜0.
而二次函数f(x)＝5x2－7x－1是连续的，
所以f(x)在(－1,0)和(1,2)上各有一个零点，
即方程5x2－7x－1＝0的根一个在区间 (－1,0)上，另一个在区间(1,2)上．
【例4】 解：(1)当a＝0时，函数为y＝－x－1，显然该函数的图像与x轴只有一个交点，即函数只有一个零点．
(2)当a≠0时，函数y＝ax2－x－1是二次函数．
因为y＝ax2－x－1只有一个零点，
所以关于x的方程ax2－x－1＝0有两个相等的实数根，
所以Δ＝0，即1＋4a＝0，解得a＝－.
综上所述，a的值为0或－.
【例5】 正解：函数的定义域为{x|x≠0}，
当x＞0时，f(x)＞0；当x＜0时，f(x)＜0，所以函数没有零点．故填0.
1 下列函数存在零点的是( )．
A．y＝ B．y＝log3x C．y＝x2＋x＋1 D．y＝3x
2 若函数f(x)在区间[－2,2]上的图像是连续不断的曲线，且函数f(x)在(－2,2)内有一个零点，则f(－2)·f(2)的值 ( )．
A．大于0 B．小于0
C．等于0 D．不能确定
3 函数f(x)＝的零点所在的大致区间是( )．
A．(0,1) B．(1,2) C．(2，e) D．(3,4)
4 函数f(x)＝－x3－3x＋5的零点所在区间为________．
5 已知函数f(x)＝2x－3x2.问方程f(x)＝0在区间[－1,0]内有没有实数解？为什么？
答案：1．B
2．D 函数f(x)在(－2,2)内有一个零点，则可能f(－2)·f(2)＜0，可能f(－2)·f(2)＞0.
3．B f(1)＝ln2－2＜0，f(2)＝ln3－1＞0，则函数f(x)的零点所在的大致区间是(1,2)．
4．(1,2) ∵f(0)＝5＞0，f(1)＝1＞0，f(2)＝－9＜0，
∴零点所在区间为(1,2)．
5．分析：要判断方程f(x)＝0在区间[－1,0]上有没有实数解，只需看f(－1)，f(0)是否反号即可．
解：∵f(－1)＝，f(0)＝1＞0，
又∵函数f(x)＝2x－3x2的图像是连续曲线，
∴f(x)在区间[－1,0]内有零点，即f(x)＝0在区间[－1,0]内有实数解．1.2 利用二分法求方程的近似解
1．根据具体函数的图像，借助计算器用二分法求相应方程的近似解．
2．学习利用二分法求方程近似解的过程和方法．
1．二分法的概念
对于图像在区间[a，b]上连续不断且满足f(a)·f(b)＜0的函数y＝f(x)，每次取区间的_________，将区间___________，再经比较，按需要留下其中一个小区间的方法称为二分法．
二分就是平均分成两部分．二分法就是通过不断地将所选区间一分为二，逐步找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精确度，用此区间的某个数值近似地表示真正的零点．
【做一做】 已知函数f (x)＝x3＋x2－2x－2，f(1)·f(2)＜0，用二分法逐次计算时，若x0是[1,2]的中点，则f(x0)＝________.
2．用二分法求方程的近似解的过程
过程如图所示．
在图中：
“初始区间”是一个两端函数值________号的区间；
“M”的含义是：取新区间，一个端点是原区间的____________，另一端是原区间两端点中的一个，新区间两端点的函数值反号；
“N”的含义是：方程解满足要求的________．
“P”的含义是：选取区间内的任意一个数作为方程的近似解．
在二分法求方程解的步骤中，初始区间的选定，往往需要通过分析函数的____和___________．初始区间可以选得不同，不影响最终计算结果．
函数连续值两端，相乘为负有零点，
区间之内有一数，方程成立很显然．
要求方程近似解，先看零点的区间，
每次区间分为二，分后两端近零点．
答案：1．中点 一分为二
【做一做】 0.625
2．中点 零 反 中点 精度 性质 试验估计
用二分法求方程的近似解需注意什么？
剖析：用二分法求方程的近似解要注意的问题：
(1)要看清题目要求的精度，它决定着二分法步骤的结束．
(2)初始区间的选定一般在两个整数间，不同的初始区间结果是相同的，但二分的次数却相差较大．
(3)用二分法求出的零点一般是零点的近似值，但并不是所有函数都可以用二分法求零点，必须满足在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)＜0这样条件的函数才能用二分法求得零点的近似值．
题型一 函数零点的性质
【例1】 函数f(x)＝x3－2x2＋3x－6在区间[－2,4]上的零点必定在( )．
A．[－2,1]内 B．[，4]内 C．[1，]内 D．[，]内
分析：按二分法的顺序是计算f(1)，f()等进行，但数据计算较麻烦，[－2,4]内的整数较多，选易计算的整数求解．
反思：用二分法求函数的近似零点，是取中点求函数值，看符号，确定新区间，再取中点求函数值等依次进行下去．
有时从计算速度上考虑，首先把整数代入计算会更快一些，如f(0)，f(±1)，….
题型二 求方程的近似解
【例2】 求方程lgx－2－x＋1＝0的近似解(精度为0.1)．
分析：先确定f(x)＝lgx－2－x＋1的零点所在的大致区间，再用二分法求解．
反思：求方程近似解的步骤：(1)构造函数，利用图像或单调性确定方程解所在的大致区间，通常限制在区间(n，n＋1)，n∈Z；(2)利用二分法求出满足精度的方程解所在的区间M；(3)写出方程的近似解．
题型三 用二分法证明方程根的分布
【例3】 已知函数f(x)＝3ax2＋2bx＋c，a＋b＋c＝0，f(0)＞0，f(1)＞0，证明a＞0，并利用二分法证明方程f(x)＝0在[0,1]内有两个实根．
分析：∵f(0)＞0，f(1)＞0，
∴只需在[0,1]内找到一个点的函数值小于零即可．
反思：根据二分法，若f＜0不成立，可计算f是否为负，若还不成立，再计算f是否为负，总之，在区间[0,1]内找到一个分点，使对应函数值为负即可．
题型四 二分法的实际应用
【例4】 在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障．这是一条10 km长的线路，如何迅速查出故障所在？如果沿着线路一小段一小段地查找，困难很多，每查一个点要爬一次电线杆，10 km长，大约有200多根电线杆呢．想一想，维修线路的工人师傅怎样工作最合理？
分析：先检查中间一根电线杆，则将故障的范围缩小一半，再用同样方法依次检查下去．
反思：这种检查线路故障的方法，就是二分法的应用．二分法不仅可用于查找线路、水管、气管故障，还可用于实验设计、资料查询，也是求根的常用方法．
答案：【例1】 D 解：f(0)＝－6＜0，f(1)＝－4＜0，f(2)＝0，
故2为一零点在(1,3)内，只有D选项满足．
【例2】 解：令f(x)＝lgx－2－x＋1，函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．
因为函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数(证明略)，所以f(x)至多有一个零点．
又因为f(1)＝0.5＞0，f(0.1)≈－0.933 032 992＜0，
所以方程在[0.1,1]内有唯一一个实数解．
使用二分法求解，如下表：
次数 左端点 左端点函数值 右端点 右端点函数值
第1次 0.1 －0.933 032 992 1 0.5
第2次 0.1 －0.933 032 992 0.55 0.057 342 561
第3次 0.325 －0.286 415 025 0.55 0.057 342 561
第4次 0.437 5 －0.097 435 016 0.55 0.057 342 561
第5次 0.493 75 －0.016 669 624 0.55 0.057 342 561
由于区间[0.493 75,0.55]的区间长度为0.056 25，它小于0.1，因此，我们可以选取这一区间内的任意一个数作为方程lg x－2－x＋1＝0的近似解．例如，选取0.5作为方程lg x－2－x＋1＝0的一个近似解．
【例3】 解：∵f(1)＞0，∴3a＋2b＋c＞0，
即3(a＋b＋c)－b－2c＞0.
∵a＋b＋c＝0，
∴－b－2c＞0，则－b－c＞c，即a＞c.
∵f(0)＞0，∴c＞0，则a＞0.
在[0,1]内选取二等分点，
则f＝a＋b＋c＝a＋(－a)＝－a＜0.
∵f(0)＞0，f(1)＞0，
∴f(x)在区间[0，]和[，1]内分别存在一个零点．又二次方程f(x)＝0最多有两个实根，
∴方程f(x)＝0在[0,1]内有两个实根．
【例4】 解：如图，他首先从中点C查．用随身带的话机向两端测试时，发现AC段正常，断定故障在BC段，再到BC段中点D，这次发现BD段正常，可见故障在CD段，再到CD段中点去查．
每查一次，可以把待查的线路长度缩减一半，要把故障可能发生的范围缩小到50 m至100 m，即一两根电线杆附近，只要检查7次就够了．
1 下列图像与x轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点的是( )．
2 下列函数中，必须用二分法求其零点的是( )．
A．y＝x＋7 B．y＝5x－1
C．y＝log3x D．y＝
3 用二分法求函数y＝f(x)在区间(2,4)上的零点，验证f(2)·f(4)＜0.给定精度ε＝0.01，取区间(2,4)的中点 x1＝，计算得f(2)·f(x1)＜0，则此时零点x0∈__________.(填区间)
4 用二分法研究函数f(x)＝x3＋3x－1的零点时，第一次经计算f(0)＜0，f(0.5)＞0，可得其中一个零点x0∈__________，第二次应计算__________，这时可判断x0∈__________.
5 求方程ln x＋x－3＝0在(2,3)内的近似解．(精确到0.1)
答案：1．A
2．D D选项中无法解方程，则必须用二分法求零点．
3．(2,3) ∵f(2)·f(3)＜0，∴x0∈(2,3)．
4．(0,0.5) f(0.25) (0.25,0.5) 由二分法知x0∈(0,0.5)，取x1＝0.25，这时f(0.25)＝0.253＋3×0.25－1＜0，
故x0∈(0.25,0.5)．
5．分析：借助于计算器，利用二分法求解．
解：令f(x)＝lnx＋x－3，即求函数f(x)在(2,3)内的零点．
因为f(2)＝ln2－1＜0，f(3)＝ln3＞0，即(2,3)作为初始区间，用二分法列表如下：
次数 左端点 左端点函数值 右端点 右端点函数值
第1次 2 －0.306 85 3 1.098 61
第2次 2 －0.306 85 2.5 0.416 29
第3次 2 －0.306 85 2.25 0.060 93
第4次 2.125 －0.121 23 2.25 0.060 93
第5次 2.187 5 －0.029 74 2.25 0.060 93
第6次 2.187 5 －0.029 74 2.218 75 0.015 69
由于区间(2.187 5,2.218 75)内所有值精确到0.1，都是2.2，所以方程的近似解是2.2.
