1.2.3 空间几何体的直观图
问题导学
一、画水平放置的平面图形的直观图
活动与探究1
如下图所示，水平放置的梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝4 cm，CD＝2 cm，∠DAB＝30°，AD＝3 cm，试画出它的直观图．
迁移与应用
1．如图所示为水平放置的正方形ABCO，它在直角坐标系xOy中，点B的坐标为(2,2)，则在用斜二测画法画出的它的直观图中，顶点B′到x′轴的距离为__________，直观图A′B′C′O′的面积为____________．
2．用斜二测画法画出如图所示水平放置的△ABC的直观图．
(1)在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的坐标系是关键，一般要使得平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上，以便于画点．
(2)在直观图中，确定坐标轴上的对应点以及与坐标轴平行的线段端点的对应点都比较容易，但是如果原图中的点不在坐标轴上或不在与坐标轴平行的线段上，就需要我们经过这些点作坐标轴的平行线段，将其转化到与坐标轴平行的线段上来确定．
(3)同一个图形选取坐标系的角度不同，得到的直观图可能不同．
(4)由直观图画法可知直观图面积是原图形面积的．
二、将直观图还原为平面图形
活动与探究2
如图所示，梯形A1B1C1D1是平面图形ABCD的直观图．若A1D1∥O′y′，A1B1∥C1D1，A1B1＝C1D1＝2，A1D1＝O′D1＝1．请画出原来的平面图形的形状，并求原图形的面积．
迁移与应用
1．如图，A′B′∥O′y′，B′C′∥O′x′，那么，直观图所示的平面图形是( )
A．任意三角形
B．锐角三角形
C．直角三角形
D．钝角三角形
2．如图，△A′B′C′是水平放置的平面图形的直观图，将其恢复成原图形．
由直观图还原为平面图形的关键是找与x′轴、y′轴平行的直线或线段，且平行于x′轴的线段还原时长度不变，平行于y′轴的线段还原时放大为直观图中相应线段长的2倍，由此确定图形的各个顶点，顺次连接即可．
三、画空间几何体的直观图
活动与探究3
如图是一个空间几何体的三视图，试用斜二测画法画出它的直观图．
迁移与应用
根据给出的空间几何体的三视图，用斜二测画法画出它的直观图．
(1)画几何体的直观图时，应先弄清几何体的结构特征，再运用斜二测画法画出直观图．
(2)画空间几何体的直观图时，比画平面图形的直观图增加了一个z′轴，表示竖直方向，且z′轴方向上的线段，方向与长度都与原来保持一致．
当堂检测
1．在原来的图形中，两条线段平行且相等，则在斜二测直观图中对应的两条线段( )
A．平行且相等 B．平行不相等
C．相等不平行 D．既不平行也不相等
2．如图，B′C′∥x′轴，A′C′∥y′轴，则下面直观图所表示的平面图形是( )
A．正三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．直角三角形
3．有下列结论：
①角的水平放置的直观图一定是角；②相等的角在直观图中仍然相等；③相等的线段在直观图中仍然相等；④若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行．其中结论正确的是__________．(填序号)
4．水平放置的△ABC的直观图如图所示，已知A′C′＝3，B′C′＝2，则AB边上的中线的实际长度为__________．
5．如下图，已知几何体的三视图，用斜二测画法画出它的直观图．
提示：用最精练的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记．
答案：
课前预习导学
【预习导引】
1．(1)45° 135° 水平面 (2)x′轴 y′轴 (3)保持原长度不变 一半
预习交流1 (1)提示：平行投影．
(2)提示：将直观图还原成平面图的过程是由平面图到直观图问题的逆过程．解决由直观图还原为平面图的问题，要注意画法步骤中有关规则的逆向转换，比如：直观图中x′轴与y′轴的夹角为45°(或135°)，则需还原成90°，与y′轴平行的线段还原时应为原线段长度的2倍，且保持与y轴平行．
2．90° 不变
预习交流2 提示：不一定唯一．作直观图时，由于选轴不同，所画直观图就不一定相同．
课堂合作探究
【问题导学】
活动与探究1 思路分析：利用斜二测画法作该梯形的直观图．
画法：(1)在梯形ABCD中，以边AB所在的直线为x轴，点A为原点，建立平面直角坐标系xAy，画出对应的x′轴、y′轴，使∠x′A′y′＝45°．
(2)过D点作DE⊥x轴，垂足为E，在x′轴上取A′B′＝AB＝4 cm，A′E′＝AE＝AD·cos 30°＝(cm)，DE＝AD·sin 30°＝(cm)．过E′作E′D′∥y′轴，使E′D′＝ED＝ cm，再过点D′作D′C′∥x′轴，且使D′C′＝ CD＝2 cm．
(3)连接A′D′，B′C′，并擦去x′轴与y′轴及其他一些辅助线，则四边形A′B′C′D′就是梯形ABCD的直观图．
迁移与应用 1．
2．画法：(1)在△ABC中，以A为原点，边AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系xAy，画出对应的x′轴、y′轴，使∠x′A′y′＝45°．
(2)过C作CD⊥x轴于点D，在x′轴上取A′B′＝AB，A′D′＝AD．过D′作D′C′∥y′轴，并取D′C′＝DC．
(3)连接A′C′，B′C′，并擦去x′轴、y′轴及D′C′，则△A′B′C′就是△ABC的直观图．
活动与探究2 思路分析：逆用斜二测画法还原图形，再求出原图形的高，进而求出原图形的面积．
解：如图，建立直角坐标系xOy，在x轴上截取OD＝O′D1＝1，OC＝O′C1＝2．
在过点D作的y轴的平行线上截取DA＝2D1A1＝2．
在过点A作的x轴的平行线上截取AB＝A1B1＝2．
连接BC，即得到了原平面图形．
由作法可知，原四边形ABCD是直角梯形，上、下底长度分别为AB＝2，CD＝3，高AD＝2．所以原图形的面积为S＝×2＝5．
迁移与应用 1．C
2．画法：(1)画直角坐标系xCy，在x轴上取CA＝C′A′，如图①；
(2)在原题图中，过B′作B′D′∥y′轴，交x′轴于D′，在x轴上取CD＝C′D′，过D作DB∥y轴，并使DB＝2D′B′；
(3)连接AB，BC，则△ABC即为△A′B′C′原来的图形，如图②．
活动与探究3 思路分析：由三视图知，该几何体是六棱台．用斜二测画法画出上、下底面，连接对应的顶点即得直观图．
画法：(1)画轴．如图①，画x轴、y轴、z轴，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°．
(2)画两底面．由三视图知该几何体是底面为正六边形的六棱台，用斜二测画法画出底面ABCDEF，在z轴上截取OO′，使OO′等于三视图中的相应高度．过O′作Ox的平行线O′x′，Oy的平行线O′y′，利用O′x′与O′y′画出底面A′B′C′D′E′F′．
(3)成图．连接A′A，B′B，C′C，D′D，E′E，F′F，整理得到三视图表示的几何体的直观图，如图②．
迁移与应用 解：由三视图可知该空间几何体是一圆台，
下面画出它的直观图．
画法：(1)画轴．如图(1)，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°．
(2)画圆台的两底面，画出底面⊙O，假设交x轴于A，B两点，在z轴上截取O′，使OO′等于三视图中相应高度，过O′作Ox的平行线O′x′，Oy的平行线O′y′，利用O′x′与O′y′画出底面⊙O′，设⊙O′交x′轴于A′，B′两点．
(3)成图．连接A′A，B′B，去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线，即得到给出的三视图所表示的几何体的直观图(如图(2))．
【当堂检测】
1．A 2．D 3．①④ 4．2.5
5．画法：(1)画轴．如下图①，画x轴、y轴、z轴，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°．
(2)画圆台的两底面，利用椭圆模板，画出底面⊙O．在z轴上截取OO′，使OO′等于三视图中相应高度，过O′作Ox的平行线O′x′，Oy的平行线O′y′，利用O′x′与O′y′画出上底面⊙O′(与画⊙O一样)．
(3)画圆锥的顶点．在Oz上截取点P，使PO′等于三视图中相应的高度．
(4)成图．连接PA′，PB′，A′A，B′B，整理得到三视图表示的几何体的直观图，如图②．1.1 空间几何体的结构
第1课时 棱柱、棱锥、棱台的结构特征
问题导学
一、棱柱、棱锥、棱台的概念
活动与探究1
有下列命题：
①有两个面平行，其余各面都是平行四边形所围成的几何体一定是棱柱；
②各个面都是三角形的几何体是三棱锥；
③用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，得到的几何体叫做棱台；
④棱柱的各相邻侧面的公共边互相平行．
以上命题中，正确命题的序号是__________．
迁移与应用
1．在棱柱中，( )
A．只有两个面平行
B．所有的棱都相等
C．所有的面都是平行四边形
D．两底面平行，且各侧棱也平行
2．下列说法正确的是( )
A．三棱柱有三个侧面、三条侧棱和三个顶点
B．四面体有四个面、六条棱和四个顶点
C．六棱锥有七个顶点
D．棱柱的各条侧棱可以不相等
3．棱台不具有的性质是( )
A．两底面相似 B．侧面都是梯形
C．侧棱都平行 D．侧棱延长后都交于一点
根据形成几何体的结构特征的描述，结合棱柱、棱锥、棱台的定义进行判断，注意判断时要充分发挥空间想象能力，必要时可制作几何模型，通过演示进行准确判断．
二、对多面体形状的认识
活动与探究2
如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F分别是A1B1与A1C1的中点，试判断几何体ABC－A1EF是什么几何体，并指出它的底面与侧面．
迁移与应用
如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1被平面BCEF所截得的两部分分别是怎样的几何体？几何体ABCD－A1FED1若是棱柱，指出它的底面和侧面．
判断一个多面体是棱柱、棱锥还是棱台，需根据它们的定义及结构特征来判断．
棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形，两个底面相互平行；
棱锥的一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形；
棱台的上、下底面相互平行，各侧棱的延长线交于同一点．
三、简单几何体的表面展开与折叠问题
活动与探究3
(1)请画出如图所示的几何体的表面展开图．
(2)根据下图所给的平面图形，画出立体图形．
迁移与应用
1．下图中能围成正方体的是__________．(填序号)
2．在正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，现沿DE，DF，EF把△ADE，△CDF，△BEF折起，使A，B，C三点重合，则折成的几何体为______．
(1)解答展开与折叠问题，要结合多面体的结构特征发挥空间想象能力和动手能力．
(2)若给出多面体画其展开图时，常常给多面体的顶点标上字母，先把多面体的底面画出来，然后依次画出各侧面．
(3)若是给出表面展开图，则可把上述程序逆推．
当堂检测
1．下列几何体中，棱柱有( )
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
2．有两个面平行的多面体不可能是( )
A．棱柱 B．棱锥
C．棱台 D．以上都错
3．下面的多面体是棱台的是( )
A．两底面是相似多边形的多面体
B．侧面是梯形的多面体
C．两底面平行的多面体
D．两底面平行，侧棱延长后交于一点的多面体
4．一个棱台至少有__________个面，面数最少的棱台有__________个顶点，有__________条棱．
5．在下面四个平面图形中，哪几个是各侧棱都相等的四面体的展开图？其序号是__________．(把你认为正确的序号都填上)
提示：用最精练的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记．
答案：
课前预习导学
【预习导引】
1．(1)形状 大小 空间图形
(2)平面多边形 定直线 封闭几何体 多边形 公共边 棱与棱 定直线
预习交流1 提示：多面体最少有4个面、4个顶点和6条棱．
2．每相邻两个四边形 互相平行 相邻侧面 顶点 三棱柱 四棱柱 五棱柱 棱柱ABCDEF－A′B′C′D′E′F′ 有一个公共顶点 多边形面 有公共顶点的各个三角形面 侧棱 底面 四面体 棱锥S－ABCD 棱台 下底面、上底面 棱台ABCD－A′B′C′D′
预习交流2 (1)提示：根据棱柱的定义，棱柱的各侧棱互相平行，侧面是平行四边形，两个底面是全等的多边形．
(2)提示：根据棱锥的定义，棱锥的侧面一定是三角形，且各个三角形有公共顶点．
(3)提示：棱台的各侧棱延长后交于一点，各侧面是梯形，两个底面是相似的多边形．
课堂合作探究
【问题导学】
活动与探究1 ④ 解析：由图甲知，命题①错误；如图乙，由两个结构相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体，各面都是三角形，但它不是棱锥，命题②错误；由棱台的定义知，命题③错误；由棱柱的特点知，命题④正确．
迁移与应用 1．D 2．B 3．C
活动与探究2 思路分析：利用棱柱、棱锥、棱台的定义及结构特征判断．
解：∵E，F分别是A1B1，A1C1的中点，且A1B1＝AB，A1C1＝AC，B1C1＝BC，∴＝＝＝．
∴△A1EF∽△ABC且AA1，BE，CF延长后交于一点．又平面A1B1C1平行于平面ABC，∴几何体A1EF－ABC是三棱台．其中△ABC是下底面，△A1EF是上底面，四边形ABEA1，四边形BCFE，四边形ACFA1是侧面．
迁移与应用 解：所截两部分分别是四棱柱和三棱柱．几何体ABCD－A1FED1是四棱柱，它的底面是四边形ABFA1和四边形DCED1，侧面为ABCD，BCEF，ADD1A1和A1D1EF．
活动与探究3 思路分析：由题意首先弄清几何体的侧面各是什么形状，然后再通过空间想象或动手实践进行展开或折叠．
解：(1)展开图如图所示：
②
(2)将各平面图形折起后形成的空间图形如图所示：
迁移与应用 1．①②③
2．三棱锥
【当堂检测】
1．D 2．B 3．D 4．五 六 九
5．①②1.2 空间几何体的三视图和直观图
1.2.1～1.2.2 中心投影与平行投影、空间几何体的三视图
问题导学
一、中心投影与平行投影
活动与探究1
E，F分别是正方体的面ADD1A1和面BCC1B1的中心，则四边形BFD1E在该正方体的面上的投影(即本节所指的正投影)可能是图中的__________(要求把可能的序号都填上)．
迁移与应用
1．下列叙述中正确的个数是( )
①正方形的平行投影一定是菱形；②平行四边形的平行投影一定是平行四边形；③三角形的平行投影一定是三角形．
A．0 B．1 C．2 D．3
2．如图所示，有一灯O，在它前面有一物体AB，灯所发出的光使物体AB在离灯O 10 m的墙上形成了一个放大到3倍的影子，试求出灯与物体AB之间的距离．
1．在平行投影中，当图形中的直线或线段不平行于投射线时，平行投影具有的性质：
(1)直线或线段的投影仍是直线或线段；
(2)平行直线的投影平行或重合；
(3)平行于投射面的线段，它的投影与这条线段平行且等长；
(4)与投射面平行的平面图形，它的投影与这个图形全等；
(5)在同一直线或平行直线上，两条线段平行投影的比等于这两条线段的比．
2．在中心投影下，与投影面平行的平面图形留下的影子，与这个平面图形相似．
二、画空间几何体的三视图
活动与探究2
画出下列几何体的三视图．
迁移与应用
1．简单几何体的正视图、侧视图的高等于几何体的________________________．
2．画出下列几何体的三视图．
(1)在画三视图时，要想象几何体的后面、右面、下面各有一个屏幕，一组平行光线分别从前面、左面、上面垂直照射，我们画的是影子的轮廓，再一条一条验证几何体的轮廓线，看到的画实线，看不到的画虚线．
(2)画组合体的三视图时，先将组合体正确分解为几个简单几何体，再根据它们的结构正确画出三视图．
三、由三视图还原空间几何体
活动与探究3
根据三视图(如图所示)想象物体原形，指出其结构特征，并画出物体的实物草图．
迁移与应用
1．一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等，那么这个几何体不可以是( )
A．球 B．三棱锥
C．正方体 D．圆柱
2．下图是一个几何体的三视图，请你想象这个几何体的形状，并画出这个几何体．
由三视图还原几何体时，一般先由俯视图确定底面，由正视图与侧视图确定几何体的高及位置，同时想象视图中每一部分对应实物部分的形状．
当堂检测
1．如图所示圆锥的侧视图为( )
2．如图是某几何体的三视图，则这个几何体是( )
A．棱台 B．棱锥 C．棱柱 D．都不对
3．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是BB1，BC的中点，则图中阴影部分在平面ADD1A1上的正投影为( )
4．如图，左侧三个平面图形分别是右侧图a所示的几何体的三视图，请指出其对应的分别是什么视图．
图①是图a的__________图；图②是图a的__________图；图③是图a的__________图．
5．某几何体的正视图和侧视图均如图1所示，则该几何体的俯视图可以是( )
图1
提示：用最精练的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记．
答案：
课前预习导学
【预习导引】
1．(1)不透明 影子 光线 留下物体影子 (2)①一点 交于一点 ②平行光线 平行的 正对着投影面 斜投影 形状和大小 平行投影
2．(1)正视图 前面向后面 (2)侧视图 左面向右面 (3)俯视图 上面向下面
3．(1)高度 长度 宽度 (2)实线 虚线
预习交流 (1)提示：每个视图都反映物体两个方向上的尺寸．正视图反映物体的上下和左右尺寸，俯视图反映物体的前后和左右尺寸，侧视图反映物体的前后和上下尺寸．
(2)提示：不一定．一般地，从不同角度观察同一个几何体，它的三视图是不一样的，如长方体．但也有少数几何体，从不同角度观察它，其三视图都一样，如球．
课堂合作探究
【问题导学】
活动与探究1 ②③ 解析：如图所示，四边形BFD1E在面CC1D1D上的正投影如②，在面BCC1B1上的正投影如③，在面ABCD上的正投影如②，故可能的是②③．
迁移与应用 1．A 解析：因为当平面图形与投射线平行时，所得的投影是线段，所以三个叙述均不正确．
2．解：如图，作OH⊥AB于H，延长OH交A′B′于H′，则OH即为所求．
由几何关系及物理中光沿直线传播的知识，可得△OAB∽△OA′B′，从而有＝．
∵＝且OH′＝10 m，
∴OH＝ m，即灯与物体AB之间的距离为 m．
活动与探究2 思路分析：(1)画三视图之前，先弄清几何体的结构，再确定各视图的形状，并注意轮廓线的虚实；
(2)图③是一个组合体，上面是圆台，下面是圆柱，可按圆台与圆柱的三视图画出．
解：图①的三视图如图甲，图②的三视图如图乙；图③的三视图如图丙．
迁移与应用 1．高
2．解：图①、图②、图③的三视图分别如图甲、图乙、图丙．
活动与探究3 思路分析：由正视图、侧视图确定该几何体为锥体，再结合俯视图确定其是四棱锥，由俯视图可知其底面形状，再结合正视图、侧视图所给信息还原几何体．
解：由俯视图知，该几何体的底面是一直角梯形；由正视图知，该几何体是一四棱锥，且有一侧棱与底面垂直，所以该几何体如右图所示．
迁移与应用 1．D
2．解：这是一个简单的组合体：上面是一个圆柱，下面是一个长方体．几何体如下图所示．
【当堂检测】
1．C 2．A 3．A 4．侧视 俯视 正视 5．①②③1.3 空间几何体的表面积与体积
1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积
问题导学
一、柱体、锥体、台体的表面积
活动与探究1
圆台的上、下底面半径分别是10 cm和20 cm，它的侧面展开图的扇环的圆心角是180°，那么圆台的表面积是多少？
迁移与应用
1．若圆锥的侧面展开图是圆心角为120°、半径为l的扇形，则这个圆锥的表面积与侧面积的比是( )
A．3∶2 B．2∶1
C．4∶3 D．5∶3
2．一个三棱柱的三视图如下图所示，则这个几何体的表面积是__________．
求几何体的表面积时，要先弄清几何体的结构特征，若是台体，要注意运用台体与锥体的关系；若是旋转体，要注意轴截面及侧面展开图的应用．
二、柱体、锥体、台体的体积
活动与探究2
过三棱台ABC－A′B′C′上底面的一边A′C′与侧棱BB′平行的一个截面，把棱台分为两部分，截面与AB，CB的交点D，E分别为AB，CB的中点．求棱台被分成两部分的体积的比．
迁移与应用
1．半径为R的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为( )
A．πR3 B．πR3 C．πR3 D．πR3
2．若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )
A． B．
C．1 D．2
常见的求几何体体积的方法：
(1)公式法：直接代入公式求解．
(2)等积法：如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的形式即可．
(3)补体法：将几何体补成易求解的几何体，如棱锥补成棱柱、三棱柱补成四棱柱等．
(4)分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积．
三、组合体的表面积与体积
活动与探究3
如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AD=a，BC=2a，∠DCB=60°，若在平面ABCD内过点C作l⊥CB，以l为轴旋转一周．求旋转体的表面积和体积．
迁移与应用
1．某几何体的三视图如图所示，则它的体积是( )
A．8－ B．8－ C．8－2π D．
2．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为__________．
求组合体的表面积与体积的方法：
(1)首先应弄清它的组成，其表面有哪些底面和侧面，各个面应怎样求其面积，然后把这些面的面积相加或相减；求体积时也要先弄清组成，求出各简单几何体的体积，然后再相加或相减．
(2)在求组合体的表面积、体积时要注意“表面(和外界直接接触的面)”与“体积(几何体所占空间的大小)”的定义，以确保不重复、不遗漏．
当堂检测
1．一个几何体的三视图及其尺寸如图(单位：cm)，则该几何体的表面积为( )
A．12π B．18π
C．24π D．36π
2．一个圆台的母线长等于上、下底面半径和的一半，且侧面积是32π，则母线长为( )
A．2 B．2
C．4 D．8
3．已知某个几何体的三视图如图，根据图中标出的尺寸(单位：cm)，可得这个几何体的体积是( )
A．cm3 B．cm3
C．2 000 cm3 D．4 000 cm3
4．已知一圆柱的轴截面面积为Q，则其侧面积为________．
5．若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的体积是__________cm3．
提示：用最精练的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记．
答案：
课前预习导学
【预习导引】
1．几何体表面 表面 空间
2．面积之和
3．πr2 2πrl 2πr2＋2πrl πr2 πrl πr2＋πrl πr′2 πr2 π(r＋r′)l πr2＋πr′2＋π(r＋r′)l
预习交流1 提示：求旋转体的表面积，关键是求旋转体的底面半径及母线长，这些量都在旋转体的轴截面中．
4．(1)Sh (2)Sh
(3)h(S＋＋S′)
预习交流2 (1)提示：将该几何体分割为柱体、锥体或台体，再分别求出它们的体积，把这些体积进行运算即得该几何体的体积．
(2)提示：在台体的体积公式中，令S′＝S，得柱体的体积公式；令S′＝0，得锥体的体积公式．
课堂合作探究
【问题导学】
活动与探究1 思路分析：根据圆台的侧面展开图求出圆台的母线，进而求出圆台的表面积．
解：如图所示，设圆台的上底面周长为c，因为扇环的圆心角是180°，
故c＝π·SA＝2π×10，∴SA＝20．同理可得SB＝40．
∴AB＝SB－SA＝20．
∴S表面积＝S侧＋S上＋S下＝π(r1＋r2)·AB＋πr12＋πr22＝π(10＋20)×20＋π×102＋π×202＝1 100π(cm2)．故圆台的表面积为1 100π cm2．
迁移与应用 1．C
2．24＋8 解析：由三视图可知该三棱柱是底面边长为4的正三角形，侧面是高为2的矩形，则其表面积S＝3×4×2＋2××4×4×sin 60°＝24＋8．
活动与探究2 思路分析：应用棱台和棱柱的体积公式求解．
解：设棱台上底面△A′B′C′的面积为S′，棱台的高为h．由题意可知△A′B′C′≌△DBE．∵△DBE∽△ABC，D，E分别是AB，BC的中点，∴＝．∴S△ABC＝4S′．
∴V台ABC－A′B′C′＝h·(S′＋＋4S′)
＝h·7S′＝h·S′，
V柱DBE－A′B′C′＝S′·h．
∴棱台被分成的两部分体积比为4∶3或3∶4．
迁移与应用 1．A 2．C
活动与探究3 思路分析：该梯形绕直线l旋转一周后所得旋转体是一个圆柱里面挖去一个圆锥所剩的几何体，根据梯形这样一个平面图形，求出其旋转后所得几何体的上下底面的半径与高，再求表面积与体积．
解：如图，在梯形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AD＝a，BC＝2a，∠DCB＝60°，
∴CD＝＝2a，AB＝CDsin 60°＝a，
∴DD′＝AA′－2AD＝2BC－2AD＝2a，∴DO＝DD′＝a．
由于以l为轴将梯形ABCD旋转一周后形成的几何体为圆柱中挖去一个倒放的与圆柱等高的圆锥．
由上述计算知，圆柱母线长a，底面半径2a，圆锥的母线长2a，底面半径a．∴圆柱的侧面积S1＝2π·2a·a＝4πa2，圆锥的侧面积S2＝π·a·2a＝2πa2，
圆柱的底面积S3＝π(2a)2＝4πa2，圆锥的底面积S4＝πa2，∴组合体上底面积S5＝S3－S4＝3πa2，
∴旋转体的表面积S＝S1＋S2＋S3＋S5＝(4＋9)πa2．
又由题意知形成的几何体的体积为一个圆柱的体积减去一个圆锥的体积．V柱＝Sh＝π·(2a)2·a＝4πa3．V锥＝S′h＝·π·a2·a＝πa3．
∴V＝V柱－V锥＝4πa3－πa3＝πa3．
迁移与应用 1．A 2．12＋π
【当堂检测】
1．C 2．C 3．B 4．πQ
5．144第2课时 圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征、简单组合体的结构特征
问题导学
一、旋转体的概念
活动与探究1
判断下列说法是否正确，并说明理由：
(1)矩形绕一直线旋转所成的旋转体是圆柱；
(2)直角三角形绕其一边所在的直线旋转所成的旋转体是圆锥；
(3)直角梯形绕其一腰所在直线旋转所成的旋转体是圆台；
(4)圆面绕其任意一条直径旋转都能形成球．
迁移与应用
1．一个等腰梯形绕着它的对称轴旋转一周所得各面围成的几何体是( )
A．圆柱 B．圆台
C．圆锥 D．以上都不对
2．用一个平面截一个几何体，无论如何截，所得截面都是圆面，则这个几何体一定是( )
A．圆锥 B．圆柱 C．圆台 D．球体
圆柱、圆锥、圆台和球都是由平面图形绕着某条轴旋转而成的，平面图形不同，得到的旋转体也不同，即使是同一平面图形，所选轴不同，得到的旋转体也不一样．
在旋转过程中，观察平面图形的各边所形成的轨迹，应利用空间想象能力，或亲自动手制作平面图形的模型来分析旋转体的形状．
二、组合体的结构特征
活动与探究2
1．请描述如图所示的组合体的结构特征．
2．图中的平面图形绕直线l旋转一周，说明形成的几何体的结构特征．
迁移与应用
1．将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在的直线旋转一周，所得的几何体是由( )
A．一个圆台、两个圆锥构成
B．两个圆台、一个圆锥构成
C．两个圆柱、一个圆锥构成
D．一个圆柱、两个圆锥构成
2．说出下列几何体的结构特征．
(1)对于组合体的结构特征，只需说明是由哪些简单几何体构成即可．
(2)会识别较复杂的图形是学好立体几何的第一步，因此我们应注意观察周围的物体，然后将它们“分拆”成几个简单的几何体，进而培养我们的空间想象能力和识图能力．
三、旋转体中的简单计算
活动与探究3
已知一个圆台的上、下底面半径分别是1 cm，2 cm，截得圆台的圆锥的母线长为12 cm．求圆台的母线长．
迁移与应用
1．已知一个圆柱的轴截面是一个正方形，且其面积是Q，则此圆柱的底面半径为__________．
2．把一个圆锥截成圆台，已知圆台的上、下底面半径之比是1∶4，母线长为10，求圆锥的母线长．
旋转体中有关底面半径、母线、高的计算，可利用轴截面求解，即将立体问题平面化．对于圆台的轴截面，可将两腰延长相交后在三角形中求解．这是解答圆台问题常用的方法．
当堂检测
1．如图所示的蒙古包可以看成是由__________构成的几何体．( )
A．三棱锥、圆锥 B．三棱锥、圆柱
C．圆锥、圆柱 D．圆锥、三棱柱
2．如图所示的平面中阴影部分绕中间轴旋转一周，形成的几何体形状为( )
A．一个球体
B．一个球体中间挖去一个圆柱
C．一个圆柱
D．一个球体中间挖去一个长方体
3．下列几何体是旋转体的是( )
A．①② B．②③ C．②④ D．③④
4．如图中的△ABC绕直线BC旋转一周所形成的几何体是__________．
5．一圆锥的母线长为6，底面半径为3，用该圆锥截一圆台，截得圆台的母线长为4，则圆台的另一底面半径为______．
提示：用最精练的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记．
答案：
课前预习导学
【预习导引】
1．平面图形 轴
2．面 垂直 平行 不垂直
圆柱O′O 面 圆锥SO 圆锥底面 圆台O′O 半圆面 球心 球O
预习交流 (1)提示：①圆柱的任意两条母线平行，过两条母线的截面是矩形．
②圆柱的轴截面是矩形，轴截面中含有圆柱的底面直径与圆柱的母线．
③不一定．圆柱的母线与轴是平行的．
(2)提示：①圆锥的任意两条母线相交，交点为圆锥的顶点，过任意两条母线的截面是等腰三角形．
②圆锥的轴截面是等腰三角形，轴截面中含有圆锥的底面直径及圆锥的母线．
③是母线．
(3)提示：①圆台还可以看作是以直角梯形的垂直于底的腰所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体．
②圆台中，过任意两条母线的截面是等腰梯形，轴截面也是等腰梯形，其中含有上、下底面的直径及圆台的母线．
③不一定．圆台的母线延长后交于截得圆台的圆锥的顶点．
(4)提示：半圆或圆绕它的直径所在直线旋转一周形成球面．球面是一曲面，它只能度量面积，而不能度量体积，球是由球面围成的几何体，它不仅可以度量表面积，还可以度量体积．
(5)提示：将台体的上底面扩大，使上、下底面全等，就是柱体，台体的上底面缩为一个点就是锥体．
3．(1)简单几何体 (2)①拼接 ②截去或挖去一部分
课堂合作探究
【问题导学】
活动与探究1 思路分析：根据圆柱、圆锥、圆台、球的定义判断．
解：(1)错．矩形绕其一边所在直线旋转形成的才是圆柱．
(2)错．直角三角形绕斜边所在的直线旋转形成的是两个同底圆锥的组合体．
(3)错．直角梯形绕垂直于底的腰所在直线旋转形成圆台，若绕另一腰所在直线旋转形成的是组合体．
(4)正确．符合球的定义．
迁移与应用 1．B 2．D
活动与探究2 1．思路分析：本题主要考查简单组合体的结构特征和空间想象能力．依据柱、锥、台、球的结构特征依次作出判断．
解：(1)是由一个圆锥和一个同底的圆台拼接而成的组合体；
(2)是由一个圆台挖去一个同底的圆锥后剩下的部分得到的组合体；
(3)是由一个四棱锥和一个同底的四棱柱拼接而成的组合体．
2．思路分析：将平面图形分割为规则图形(矩形、直角三角形、直角梯形、半圆等)，再根据圆柱、圆锥、圆台、球的定义解答．
解：过原图中的折点向旋转轴引垂线，这样便可得到三个规则图形：矩形、直角梯形、直角三角形，旋转一周后便得到一个组合体，该组合体是由圆柱、圆台和圆锥组合而成的．
迁移与应用 1．D
2．解：图(1)是由一个三棱柱与一个同底的三棱锥组成的组合体；
图(2)是由两个同底的圆台组成的组合体；
图(3)是由一个圆柱与一个半球组成的组合体，其中半球的半径与圆柱的底面半径相同；
图(4)是由一个圆柱挖去一个三棱柱得到的组合体，其中三棱柱的底面在圆柱的底面上．
活动与探究3 思路分析：圆锥、圆台的轴截面中有母线与上、下底面圆半径，因而用轴截面解答．
解：如图是几何体的轴截面，由题意知AO＝2 cm，A′O′＝1 cm，SA＝12 cm．
由＝，得SA′＝·SA＝×12＝6(cm)，∴AA′＝SA－SA′＝6(cm)．∴圆台的母线长为6 cm．
迁移与应用 1．
2．解：如图是圆台的轴截面．由题意得＝＝，即＝，∴SA＝．
∴圆锥的母线长为．
【当堂检测】
1．C 2．B 3．B
4．两个同底的圆锥组成的组合体
5．1课时作业13 函数模型及其应用
一、选择题
1．f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当x∈(4，＋∞)时，下列选项中正确的是( )．
A．f(x)＞g(x)＞h(x) B．g(x)＞f(x)＞h(x)
C．g(x)＞h(x)＞f(x) D．f(x)＞h(x)＞g(x)
2．我国为了加强对烟酒生产的宏观管理，除了应征税收外，还征收附加税，已知某种酒每瓶售价为70元，不收附加税时，每年大约销售100万瓶；若每销售100元国家要征附加税x元(叫做税率x%)，则每年销售量将减少10x万瓶，如果要使每年在此项经营中所收取的附加税额不少于112万元，则x的最小值为( )．
A．2 B．6 C．8 D．10
3．对于任意实数x，符号[x]表示x的整数部分，即[x]是不超过x的最大整数，例如[2]＝2；[2.1]＝2；[－2.2]＝－3，这个函数[x]叫做“取整函数”，它在数学本身和生产实践中有广泛的应用，那么[log31]＋[log32]＋[log33]＋…＋[log3243]的值为( )．
A．847 B．850 C．852 D．857
4．某研究小组在一项实验中获得一组关于y，t之间的数据，将其整理后得到如下的散点图，下列函数中，最能近似刻画y与t之间的关系的是( )．
A．y＝2t B．y＝2t2
C．y＝t3 D．y＝log2t
5．某地区的一种特色水果上市时间仅能持续几个月，预测上市初期和后期会因供不应求使价格呈连续上涨的态势，而中期又将出现供大于求使价格连续下跌，为准确研究其价格走势，下面给出的四个价格模拟函数中合适的是(其中p，q为常数，且q＞1，x∈[0,5]，x＝0表示4月1日，x＝1表示5月1日，…以此类推)( )．
A．f(x)＝p·qx B．f(x)＝px2＋qx＋1
C．f(x)＝x(x－q)2＋p D．f(x)＝pln x＋qx2
6．图形M(如图所示)是由底为1，高为1的等腰三角形及高为2和3的两个矩形所构成的，函数S＝S(a)(a≥0)是图形M介于平行线y＝0及y＝a之间的那一部分面积，则函数S(a)的图象大致是( )．
7．定义域为D的函数f(x)同时满足条件：①常数a，b满足a＜b，区间[a，b]D，②使f(x)在[a，b]上的值域为[ka，kb](k∈N*)，那么我们把f(x)叫做[a，b]上的“k级矩形”函数．函数f(x)＝x3是[a，b]上的“1级矩形”函数，则满足条件的常数对(a，b)共有几对( )．
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
8．某超市销售一种奥运纪念品，每件售价11.7元，后来，此纪念品的进价降低了6.4%，售价不变，从而超市销售这种纪念品的利润提高了8%，则这种纪念品的原进价是__________元．
9．某服装商贩同时卖出两套服装，卖出价为168元/套，以成本计算一套盈利20%，而另一套亏损20%，则此商贩__________．(填赚或赔多少钱)
10．某商家一月份至五月份累计销售额达3 860万元，预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增x%，八月份销售额比七月份递增x%，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等，若一月份至十月份销售总额至少达7 000万元，则x的最小值是__________．
三、解答题
11．某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过4吨时，每吨为1.80元，当用水超过4吨时，超过部分每吨3.00元，某月甲、乙两户共交水费y元，已知甲、乙两户该月用水量分别为5x吨、3x吨．
(1)求y关于x的函数；
(2)若甲、乙两户该月共交水费26.4元，分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费．
12．(2012湖北黄冈期末统考)某工厂生产一种产品的原材料费为每件40元，若用x表示该厂生产这种产品的总件数，则电力与机器保养等费用为每件0.05x元，又该厂职工工资固定支出12 500元．
(1)把每件产品的成本费P(x)(元)表示成产品件数x的函数，并求每件产品的最低成本费；
(2)如果该厂生产的这种产品的数量x不超过3 000件，且产品能全部销售，根据市场调查：每件产品的销售价Q(x)与产品件数x有如下关系：Q(x)＝170－0.05x，试问生产多少件产品时，总利润最高？(总利润＝总销售额－总成本)
参考答案
一、选择题
1．B 解析：画出三个函数的图象，如图所示，当x∈(4，＋∞)时，指数函数的图象位于二次函数的图象的上方，二次函数的图象位于对数函数图象的上方，故g(x)＞f(x)＞h(x)．
2．A 解析：由(100－10x)·70·≥112，
解得2≤x≤8.所以x的最小值为2.
3．D 解析：根据取整函数的定义，结合对数运算可得：[log31]～[log32]均为0；[log33]～[log38]均为1；[log39]～[log326]均为2；[log327]～[log380]均为3；[log381]～[log3242]均为4；[log3243]＝5.
所以原式＝(2－0)×0＋(8－2)×1＋(26－8)×2＋(80－26)×3＋(242－80)×4＋5＝857.
4．D 解析：此曲线符合对数函数的变化趋势．
5．C 解析：由题意，排除A，B，对于选项C，f′(x)＝3x2－4qx＋q2，令f′(x)＝0，x＝q或，且q和都大于零，x＜或x＞q时f(x)单调递增，＜x＜q时f(x)单调递减，满足题意，对于D，f′(x)＝＋2qx，令f′(x)＝0，此方程无实根或有两异号根，不合题意．
6．C 解析：依题意，当a≤1时，
S(a)＝＋2a＝－a2＋3a；
当1＜a≤2时，S(a)＝＋2a；
当2＜a≤3时，S(a)＝＋2＋a＝a＋；
当a＞3时，S(a)＝＋2＋3＝，
于是S(a)＝
由解析式可知选C.
7．C 解析：∵f(x)＝x3在[a，b]上单调递增，∴f(x)的值域为[a3，b3]．
又函数f(x)＝x3是[a，b]上的“1级矩形”函数，
则有解得或或
因此，满足条件的常数对(a，b)共有3对．
二、填空题
8．6.5 解析：设原进价为x元，则依题意有(11.7－x)(1＋8%)＝11.7－(1－6.4%)x，解得x＝6.5.
9．赔14元 解析：设盈利的那套服装成本价为x，则x＋20%x＝168，x＝140，
设亏损的那套服装成本价为y，
则y－20%y＝168，y＝210，
所以商贩赔(210－168)－(168－140)＝14(元)．
10．20 解析：由题意得，3 860＋500＋[500(1＋x%)＋500(1＋x%)2]×2≥7 000，
化简得(x%)2＋3·x%－0.64≥0，
解得x%≥0.2，或x%≤－3.2(舍去)．
∴x≥20，即x的最小值为20.
三、解答题
11．解：(1)当甲户的用水量不超过4吨时，即x≤，乙户的用水量也不超过4吨，y＝(5x＋3x)×1.8＝14.4x；
当甲户的用水量超过4吨，乙户的用水量不超过4吨时，
即＜x≤，
y＝4×1.8＋3x×1.8＋3×(5x－4)＝20.4x－4.8，
当乙户的用水量超过4吨时，即x＞，
y＝8×1.8＋3×(8x－8)＝24x－9.6，
所以y＝
(2)由(1)可知y＝f(x)在各段区间上均为单调递增，
当x∈时，
y≤f＝11.52＜26.4；
当x∈时，
y≤f＝22.4＜26.4；
当x∈时，
令24x－9.6＝26.4，解得x＝1.5，
所以甲户用水量为5x＝7.5吨，
付费S1＝4×1.8＋3.5×3＝17.70(元)；
乙户用水量为3x＝4.5吨，付费S2＝4×1.8＋0.5×3＝8.70(元)．
12．解：(1)P(x)＝＋40＋0.05x，
由基本不等式得
P(x)≥2＋40＝90.
当且仅当＝0.05x，即x＝500时，等号成立．
∴P(x)＝＋40＋0.05x，每件产品成本的最小值为90元．
(2)设总利润为y元，则
y＝xQ(x)－xP(x)＝－0.1x2＋130x－12 500＝－0.1 (x－650)2＋29 750.
当x＝650时，ymax＝29 750.
答：生产650件产品时，总利润最高，最高总利润为29 750元．
