2.2 对数函数
2.2.1 对数与对数运算
第1课时 对数的概念及性质
问题导学
一、对数的概念
活动与探究1
求下列各式中的实数x的取值范围：
(1)log2(x－10)；(2)log(x－1)(x＋2)．
迁移与应用
求下列各式中实数x的取值范围：
(1)log(2x－1)(x＋2)；(2)．
求形如logf(x)g(x)的式子有意义的x的取值范围，可利用对数的定义，即满足进而求得x的取值范围．
二、利用对数式与指数式的关系求值
活动与探究2
求下列各式中x的值：
(1)logx27＝；(2)log2x＝－；(3)x＝log27；(4).
迁移与应用
1．将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：
(1)2－7＝；(2)3a＝27；(3)10－1＝0.1；
(4)；(5)lg 0.001＝－3；(6)ln 5＝m.
2．求下列各式中x的值．
(1)log2x＝；(2)logx3＝3；(3)x＝log5；(4).
(1)logaN＝x与ax＝N(a＞0，且a≠1，N＞0)是等价的，转化前后底数不变．
(2)对于对数和对数的底数与真数三者之间，已知其中两个就可以利用对数式和指数式的互化求出第三个．
三、对数性质的应用
活动与探究3
求下列各式中x的值：
(1)log3(log2x)＝0；
(2)log2(lg x)＝1；
(3)；
(4)(a＞0，b＞0，c＞0，a≠1，b≠1)．
迁移与应用
1．计算：__________；log1 0241＝__________；
__________；__________.
2．求下列各式中x的值：
(1)log2[log3(lg x)]＝0；
(2)；
(3)lg(ln x)＝1.
对数的基本性质及对数恒等式是进行对数化简、求值的重要工具，要熟记并能灵活应用．
当堂检测
1．3b＝5化为对数式是( )
A．logb3＝5
B．log35＝b
C．log5b＝3
D．log53＝b
2．log3等于( )
A．4 B．－4
C． D．－
3．在b＝log(a－2)(5－a)中，实数a的取值范围是( )
A．a＞5或a＜5
B．2＜a＜5
C．2＜a＜3或3＜a＜5
D．3＜a＜4
4．__________.
5．若log5[log3(log2x)]＝0，则__________.
提示：用最精炼的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记.
答案：
课前预习导学
【预习导引】
1．数x 以a为底N的对数 x＝logaN
预习交流1 (1) (2)3＝log5125
2．(1)负数和零 (2)0 (3)1
预习交流2 提示：因为正数的任何次幂都是正数，因而在ab＝N中，N总是正数．所以在b＝logaN中，N＞0.
3．(1)10 lg N (2)e(e＝2.718 28…) ln N
预习交流3 b＝lg a M＝en
课堂合作探究
【问题导学】
活动与探究1 思路分析：根据对数的定义列出不等式(组)求解．
解：(1)由题意有x－10＞0，∴x＞10，
∴实数x的取值范围是{x|x＞10}．
(2)由题意有
即∴x＞1且x≠2，
∴实数x的取值范围是{x|x＞1，且x≠2}．
迁移与应用 解：(1)因为真数大于0，底数大于0且不等于1，所以
解得x＞且x≠1.
即实数x的取值范围是；
(2)因为底数x2＋1≠1，所以x≠0；又因为－3x＋8＞0，所以x＜.综上可知，x＜，且x≠0.
即实数x的取值范围是{x|x＜，且x≠0}．
活动与探究2 思路分析：根据对数的概念将式子转化为指数式，然后利用指数幂的运算求得结果．
解：(1)由logx27＝可得＝27，
∴x＝＝9.
(2)由log2x＝－可得x＝＝.
(3)由x＝log27可得27x＝，∴33x＝3－2，
∴x＝－.
(4)由可得()x＝16，
∴2－x＝24，∴x＝－4.
迁移与应用 1．解：(1)log2＝－7；
(2)log327＝a；
(3)lg 0.1＝－1；
(4)()－5＝32；
(5)10－3＝0.001；(6)em＝5.
2．解：(1)由log2x＝，得x＝＝＝2.
(2)由logx3＝3，得x3＝3＝()3，∴x＝.
(3)由x＝log5，得5x＝＝5－4，∴x＝－4.
(4)由，得x2＝()4＝4，∴x＝±2.
活动与探究3 思路分析：利用logaa＝1，loga1＝0，(a＞0，且a≠1，N＞0)进行求解．
解：(1)∵log3(log2x)＝0，
∴log2x＝1.∴x＝21＝2.
(2)∵log2(lg x)＝1，
∴lg x＝2.∴x＝102＝100.
(3)x＝＝.
(4)x＝＝c.
迁移与应用 1．1 0 20 解析：＝＝.
＝22×＝4×5＝20.
2．解：(1)∵log2[log3(lg x)]＝0，∴log3(lg x)＝1.
∴lg x＝3，x＝103＝1 000.
(2)∵，∴.
∴lg x＝，x＝＝.
(3)∵lg(ln x)＝1，∴ln x＝10.∴x＝e10.
【当堂检测】
1．B 2．B
3．C 解析：由对数的定义知
解得2＜a＜3或3＜a＜5.
4． 解析：＝31×＝3×＝.
5． 解析：∵log5[log3(log2x)]＝0，
∴log3(log2x)＝1.
∴log2x＝3.∴x＝23.
∴＝＝＝.数学人教A必修1第二章2．2.2 对数函数及其性质第2课时
1．理解对数函数的单调性，并能利用单调性比较大小、求最值或值域、解不等式．
2．初步掌握对数函数在生活中的应用．
3．知道对数函数和指数函数互为反函数．
1．对数函数的图象和性质
对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)的图象和性质如下表所示：
底数 a＞1 0＜a＜1
图象
性质 定义域：________
值域：________
当x＝1时，y＝0，即图象恒过定点(1,0)
当x＞1时，y＞0；当0＜x＜1时，y＜0 当x＞1时，y＜0；当0＜x＜1时，y＞0
在(0，＋)上是________ 在(0，＋)上是________
【做一做1－1】 函数f(x)＝logax在(0，＋)上是减函数，则a的取值范围是( )．
A．(0，＋) B．(－，1) C．(0,1) D．(1，＋)
【做一做1－2】 函数f(x)＝log2x在[1,8]上的值域是( )．
A．R B．[0，＋) C．(－，3] D．[0,3]
2．对数函数的反函数
对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)的反函数是y＝ax(a＞0，且a≠1)．
【做一做2】 函数y＝3x的反函数是( )．
A．y＝x3 B．y＝logx3 C．y＝log3x D．y＝lg x
答案：1．(0，＋) (－，＋) 增函数 减函数
【做一做1－1】 C
【做一做1－2】 D 函数f(x)＝log2x在区间[1,8]上是增函数，则f(1)≤f(x)≤f(8)，即0≤f(x)≤3.
【做一做2】 C
1．函数y＝logax(a＞0，且a≠1)的图象与y＝x(a＞0，且a≠1)的图象之间的关系
剖析：函数y＝log2x与y＝x的图象，函数y＝log3x与y＝x的图象如图所示，结合图象可知函数y＝logax(a＞0，且a≠1)的图象与y＝x(a＞0，且a≠1)的图象关于x轴对称．
2．底数对对数函数图象的影响
剖析：在同一坐标系中画出以下各组函数的图象，观察并写出你的发现．
(1)y＝log2x，y＝log3x，y＝log4x，y＝lg x，如图①所示．
(2) ，如图②所示．
① ②
观察结果：对于第一组：y＝log2x，y＝log3x，y＝log4x，y＝lg x，其图象的共同特征是上升的；对于第二组，其图象的共同特征是下降的．
结论：①当a＞1时，图象上升，自变量x越大，函数值y就越大；当x∈(0,1)时，y＜0，当x∈(1，＋∞)时，y＞0；自变量取同一值时，底数a越大，图象就越接近x轴，即当k＞1时，有log2k＞log3k＞log4k＞lg k，当0＜k＜1时，有log2k＜log3k＜log4k＜lg k.
②当0＜a＜1时，图象下降，自变量x越大，函数值y就越小；当x∈(0,1)时，y＞0，当x∈(1，＋∞)时，y＜0；自变量取同一值时，底数a越小，图象越接近x轴，即当k＞1时，，当0＜k＜1时，.
题型一 比较大小
【例1】 比较下列各组中两个值的大小：
(1)log31.9，log32；
(2)log23，log0.32；
(3)logaπ，loga3.141.
分析：(1)构造函数f(x)＝log3x，利用其单调性比较；
(2)分别比较两对数与0的大小；
(3)分类讨论底数a的取值范围．
反思：比较两个对数值大小的方法：①单调性法：当底数相同时，构造对数函数利用其单调性来比较大小，如本题(1)；②中间量法：当底数和真数都不相同时，通常借助中间量(如－1,0,1)来比较大小，如本题(2)；③分类讨论法：当底数与1的大小关系不确定时，要对底数分类讨论，如本题(3)．
题型二 解不等式
【例2】 解不等式：log2(2x－1)＜log2(－x＋5)．
分析：利用对数函数的单调性，将对数的大小比较转化为真数的大小比较．
反思：对数不等式有两种常见类型：
(1)形如logax＞logab的不等式，借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况进行讨论．
(2)形如logax＞b的不等式，应将b化为以a为底的对数式的形式，再借助y＝logax的单调性求解．
题型三 易混易错题
易错点 忽略对底数的讨论致错
【例3】 函数y＝logax(a＞0，且a≠1)在[2,4]上的最大值与最小值的差是1，求a的值．
反思：在解决底数中包含字母的对数函数问题时，要注意对底数进行分类讨论，一般考虑a＞1与0＜a＜1两种情况．忽略底数a对函数y＝logax(a＞0，且a≠1)的单调性的影响就会出现漏解或错解．
答案：【例1】 解：(1)(单调性法)因为f(x)＝log3x在(0，＋)上是增函数，由于1.9＜2，则f(1.9)＜f(2)，
所以log31.9＜log32.
(2)(中间量法)因为log23＞log21＝0，log0.32＜log0.31＝0，
所以log23＞log0.32.
(3)(分类讨论)当a＞1时，函数y＝logax在定义域上是增函数，则有logaπ＞loga3.141；
当0＜a＜1时，函数y＝logax在定义域上是减函数，则有logaπ＜loga3.141.
综上所述，当a＞1时，logaπ＞loga3.141；
当0＜a＜1时，logaπ＜loga3.141.
【例2】 解：由题意，得解得＜x＜5.
又函数y＝log2x在(0，＋∞)上是增函数，所以原不等式化为2x－1＜－x＋5，解得x＜2.所以原不等式的解集是.
【例3】 错解：因为函数y＝logax(a＞0，且a≠1)在[2,4]上的最大值是loga4，最小值是loga2，所以loga4－loga2＝1，即loga＝1，所以a＝2.
错因分析：错解中误以为函数y＝logax(a＞0，且a≠1)在[2,4]上是增函数．
正解：(1)当a＞1时，函数y＝logax在[2,4]上是增函数，所以loga4－loga2＝1，即loga＝1，所以a＝2.
(2)当0＜a＜1时，函数y＝logax在[2,4]上是减函数，所以loga2－loga4＝1，即loga＝1，所以a＝.
由(1)(2)知a＝2或a＝.
1设2，b＝log23，c＝0.3，则( )．
A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜c＜a D．b＜a＜c
2函数y＝的定义域是( )．
A．(9，＋) B．[9，＋)
C．[27，＋) D．(27，＋)
3函数f(x)＝logax(a＞0，且a≠1)在[2,3]上的最大值为1，则a＝__________.
4不等式log3(1－x)＞log3(x＋2)的解集是________．
答案：1． B ＝0，b＝log23＞log22＝1,0＜c＝＝1，则a＜c＜b.
2． C 要使函数有意义，x的取值需满足解得x≥27.
3． 3 当a＞1时，f(x)的最大值是f(3)＝1，
则loga3＝1，∴a＝3＞1.∴a＝3符合题意；
当0＜a＜1时，f(x)的最大值是f(2)＝1，
则loga2＝1，∴a＝2＞1.∴a＝2不合题意．
4. 原不等式等价于
解得－2＜x＜.2.1.2 指数函数及其性质
第1课时 指数函数的图象及性质
问题导学
一、指数函数的概念问题
活动与探究1
(1)若指数函数f(x)的图象经过点(2,9)，则f(－2)＝__________，f(1)＝__________；
(2)函数f(x)＝(m2－m＋1)ax(a＞0，且a≠1)是指数函数，则m＝__________；
(3)若函数f(x)＝(2a－1)x是指数函数，则a的取值范围是__________．
迁移与应用
1．下列函数中是指数函数的是( )
A．y＝3x－2 B．y＝2·5x
C．y＝5x＋2 D．y＝(a＋2)x(a＞－2，且a≠－1)
2．函数y＝(k＋2)ax＋2－b(a＞0，且a≠1)是指数函数，则k＝__________，b＝__________.
3．已知指数函数f(x)的图象过点，则f(－3)＝__________.
(1)一个函数是指数函数，需满足三个条件：
①底数大于0且不等于1；
②幂指数是单一的自变量x；
③系数为1，且没有其他项．
(2)求指数函数的解析式可用待定系数法．
二、函数的图象问题
活动与探究2
画出函数y＝|x|的图象，并根据图象写出函数的值域及单调区间．
迁移与应用
1．函数y＝a|x|(a＞1)的图象是( )
2．函数y＝ax－3＋3(a＞0，且a≠1)的图象恒过定点______．
处理函数图象问题的常用方法：一是抓住图象上的特殊点；二是利用图象的变换；三是利用函数的奇偶性与单调性．
当堂检测
1．下列函数中指数函数的个数是( )
①y＝3x ②y＝x3 ③y＝－3x ④y＝xx
⑤y＝(6a－3)x
A．0 B．1 C．2 D．3
2．函数y＝ax－a(a＞0，a≠1)的图象可能是( )
3．已知函数f(x)＝若f(a)＋f(1)＝0，则实数a的值等于( )
A．－3 B．－1
C．1 D．3
4．函数f(x)＝3·ax－2－4(a＞0，且a≠1)的图象恒过定点______．
5．已知函数y＝(a－1)x是指数函数，且当x＜0时，y＞1，则实数a的取值范围是______．
提示：用最精炼的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记.
答案：
课前预习导学
【预习导引】
1．y＝ax R
预习交流1 (1)提示：它们都不满足指数函数的定义，所以都不是指数函数．
(2)提示：①如果a＝0，当x＞0时，ax恒等于0；当x≤0时，ax无意义．
②如果a＜0，例如y＝(－4)x，这时对于x＝，，…，在实数范围内的函数值不存在．
③如果a＝1，则y＝1x是一个常量，无研究的必要．
为了避免上述各种情况，所以规定a＞0且a≠1.
2．R (0，＋∞) (0,1) 0 1 y＞1 0＜y＜1
y＞1 增函数 减函数
预习交流2 (1)提示：利用指数函数的单调性时，若底数中含有字母，则应讨论底数大于1还是小于1，以确定函数的单调性．
(2)提示：函数y＝ax(a＞0，且a≠1)与y＝a－x(a＞0，且a≠1)的图象关于y轴对称．
(3)提示：对于指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)，当x＝1时，y＝a.所以，在坐标系中作出直线x＝1，与各曲线交点的纵坐标即为各函数的底数，交点越高底数越大．
课堂合作探究
【问题导学】
活动与探究1 (1) 3 (2)0或1
(3)∪(1，＋∞) 解析：(1)设f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)，∵f(x)的图象过点(2,9)，
∴a2＝9，a＝3，即f(x)＝3x.
∴f(－2)＝3－2＝，f(1)＝3.
(2)∵函数f(x)＝(m2－m＋1)ax是指数函数，
∴m2－m＋1＝1，解得m＝0或1.
(3)∵函数f(x)＝(2a－1)x是指数函数，
∴2a－1＞0且2a－1≠1，即a＞且a≠1.
迁移与应用 1．D 2．－1 2
3．8 解析：设f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)，则a4＝，
∴a＝.∴f(x)＝x.
∴f(－3)＝－3＝8.
活动与探究2 思路分析：因为y＝|x|＝所以，分段画出函数的图象即可．
解：∵y＝|x|＝
∴在同一坐标系内画出函数y＝x(x≥0)及y＝2x(x＜0)的图象．这两段图象合起来就是所求函数的图象，如图．
由图象可知值域是(0,1]，递增区间是(－∞，0]，递减区间是[0，＋∞)．
迁移与应用 1．B 解析：y＝a|x|＝
又a＞1，故选B.
2．(3,4)
【当堂检测】
1．C
2．C 解析：当a＞1时，y＝ax是增函数，－a＜－1，则函数y＝ax－a的图象与y轴的交点在x轴下方，故选项A不正确；y＝ax－a的图象与x轴的交点是(1,0)，故选项B不正确；当0＜a＜1时，y＝ax是减函数，y＝ax－a的图象与x轴的交点是(1,0)，故选项C正确；若0＜a＜1，则－1＜－a＜0，y＝ax－a的图象与y轴的交点在x轴上方，故选项D不正确．
3．A 解析：由题意知f(1)＝21＝2.
∵f(a)＋f(1)＝0，∴f(a)＋2＝0.
若a＞0，则f(a)＝2a,2a＋2＝0无解；
若a≤0，则f(a)＝a＋1.
∴a＋1＋2＝0，a＝－3.
4．(2，－1)
5．(1,2) 解析：∵x＜0时，y＞1，
∴0＜a－1＜1，即1＜a＜2.数学人教A必修1第二章2．1.1 指数与指数幂的运算第2课时
1．理解分数指数幂的含义，掌握根式与分数指数幂的互化．
2．掌握指数幂的运算性质，并能对代数式进行化简或求值．
1．分数指数幂
(1)意义：＝______，＝______＝______，其中a＞0，m，nN*，n＞1.
(2)0的正分数指数幂等于______，0的负分数指数幂__________．
(3)规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了__________指数．
【做一做1－1】 ＝( )．
A. B. C. D.
【做一做1－2】 ＝( )．
A． B. C. D.
2．有理数指数幂的运算性质
(1)aras＝______(a＞0，r，sQ)；
(2)(ar)s＝______(a＞0，r，sQ)；
(3)(ab)r＝______(a＞0，b＞0，rQ)．
三条运算性质的文字叙述：
(1)同底数幂相乘，底数不变，指数相加；
(2)幂的乘方，底数不变，指数相乘；
(3)积的乘方等于乘方的积．
【做一做2－1】 已知m＞0，则＝( )．
A．m B． C．1 D．
【做一做2－2】 已知x＞0，y＞0，化简＝( )．
A．xy B. C． D．
3．无理数指数幂
一般地，无理数指数幂aα(a＞0，α是无理数)是一个确定的______．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．
在引入分数指数幂的概念后，指数概念就实现了由整数指数幂向有理数指数幂的扩展；在引入无理数指数幂的概念后，指数概念就实现了由有理数指数幂向实数指数幂的扩展．
【做一做3－1】 ＝( )．
A．10 B．25 C． D．25
【做一做3－2】＝( )．
A. B．2 C．1 D．3
答案：1．(1) (2)0 没有意义 (3)有理数
【做一做1－1】 D
【做一做1－2】 D
2．(1)ar＋s (2)ars (3)arbr
【做一做2－1】 A
【做一做2－2】 B 原式＝21＝x14y－9＝.
3．实数
【做一做3－1】 B 原式＝＝52＝25.
【做一做3－2】 D 原式＝.
与一定相等吗
剖析：当a＝－4时，，而＝无意义，所以.其原因是指数幂的运算性质中(ar)s＝ars成立的条件是a＞0，r，sR，但是与中a的取值范围分别是R和[0，＋)，所以与不一定相等．因此，在应用指数幂的运算性质时，要注意其前提条件，即a＞0，b＞0.
题型一 根式化为指数式
【例1】 将下列根式化为分数指数幂的形式．
(1)(a＞0)；
(2)；
(3)．
反思：解此类问题应熟练应用＝，＝ (a＞0，m，nN*，且n＞1)，当所求根式含有多重根号时，要由里向外用分数指数幂写出，然后用性质进行化简．
题型二 分数指数幂的运算
【例2】 (1)计算：；
(2)化简：(a＞0)．
反思：在进行幂和根式的化简时，一般要先将根式化成幂的形式，并化小数指数幂为分数指数幂，尽可能地统一成分数指数幂形式，再利用幂的运算性质进行化简、求值和计算．
题型三 根据条件，求代数式的值
【例3】 已知＝3，求a＋a－1，a2＋a－2的值．
分析：观察到＝1，对已知等式两边平方即可求解．
反思：根据条件求值是代数式求值中的常见题型，一般要结合已知条件先化简再求值，另外要特别注意条件的应用，如条件中的隐含条件，整体代入等．本题若通过＝3先解出a再代入求值，则非常复杂．
题型四 易混易错题
易错点 忽略有意义的条件导致计算出错
【例4】 化简：.
答案：【例1】 解：(1)原式＝.
(2)原式＝.
(3)原式＝.
【例2】 解：(1)原式＝－1＋(－2)－4＋＝0.4－1－1＋＋＋0.1＝.
(2)原式＝＝a0＝1.
【例3】 解：∵＝3，∴=9.
∴a＋2＋a－1＝9，a＋a－1＝7.
∴(a＋a－1)2＝49，即a2＋2＋a－2＝49.
∴a2＋a－2＝47.
【例4】 错解：(1－a)
＝
＝(1－a)(a－1)－1＝.
错因分析：错解中忽略了题中有意义的条件，若有意义，则－a≥0，故a≤0，这样＝(1－a)－1.
正解：由有意义可知－a≥0，故a≤0，
所以
＝
＝(1－a)(1－a)－1.
1化简的结果是( )．
A．6a B．－a C．－9a D．9a2
2化简(a＞0，b＞0)＝__________.
3计算＝__________.
4已知a2＋a－2＝3，则a＋a－1＝__________.
5已知，求的值．
答案：1． C 原式＝
＝.
2. 原式＝＝ab－1＝.
3． 21 原式＝(2－2)－2＋
.
4． ∵a2＋a－2＝(a＋a－1)2－2，∴(a＋a－1)2－2＝3，
∴(a＋a－1)2＝5，∴a＋a－1＝.
5．解：∵＝4，∴x＋2＋x－1＝16.∴x＋x－1＝14.
∴x2＋2＋x－2＝196，x2＋x－2＝194.
∴原式＝＝－3.2.1 指数函数
2.1.1 指数与指数幂的运算
第1课时 根式与指数幂
问题导学
一、利用根式的性质化简或求值
活动与探究1
计算下列各式的值：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)＋＋.
迁移与应用
1．下列各式总能成立的是( )
A．(－)4＝a－b B．()4＝a＋b
C．＝a－b D．＝a＋b
2．()5＝______；＝______；＝______.
3．化简.
(1)解决根式的化简或求值问题，首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质进行化简或求值．
(2)开偶次方时，先用绝对值表示开方的结果，再去掉绝对值符号化简，化简时要结合条件或分类讨论．
二、根式与分数指数幂的互化
活动与探究2
把下列根式表示为分数指数幂的形式，把分数指数幂表示为根式的形式：
(1)(a＞b)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5).
迁移与应用
1．下列根式与分数指数幂的互化正确的是( )
A．－＝(x＞0) B．＝(y＜0)
C．＝(x＞0) D．＝－(x≠0)
2．把下列分数指数幂表示为根式的形式，把根式表示为分数指数幂的形式．
(1)(x＞y)＝______；(2)＝______；
(3)(p＞0，q＞0)＝______；
(4)(m＞n)＝______.
在进行根式与分数指数幂的互化时，要注意：分数指数幂的指数的分母是根式的根指数，分子是被开方数的指数．
若指数的分子、分母能够约分，在约分时，要保证约分前后式子的值不变．
当堂检测
1．－的结果是( )
A．2 B．－2
C．±2 D．以上都不对
2．下列各式正确的是( )
A．＝ B．＝a
C．＝ D．a0＝1
3．若有意义，则实数x的取值范围是( )
A．[2，＋∞) B．(－∞，2]
C．(2，＋∞) D．(－∞，2)
4．64的6次方根是________，计算的值是________．
5．计算＋＋＝______.
提示：用最精炼的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记.
答案：
课前预习导学
【预习导引】
1．xn＝a n＞1，且n∈N* (1)正数 负数 (2)互为相反数 － ±(a＞0) (3)负数 (4)0 ＝0 n a
预习交流1 (1)提示：当根指数是偶数时，被开方数必须是非负数．
(2)±2 －5
2．(1)a (2)a |a|＝
预习交流2 提示：在化简时，要特别注意：当n为偶数时，≥0，即＝|a|，因而要先用绝对值表示，再根据a的正负去掉绝对值．
3．(1)＝(a＞0，m，n∈N*，且n＞1) (2)(a＞0，m，n∈N*，且n＞1) (3)零 没有意义
预习交流3 提示：不表示个a相乘，它是根式的另一种表示形式．把根式用分数指数幂表示的最大的优点是：可以将根式的运算转化为幂的运算，从而利用幂的运算性质来进行运算．
课堂合作探究
【问题导学】
活动与探究1 思路分析：利用的性质进行求值运算时，要注意n的奇偶性，特别是n为偶数时，要注意a的正负．对于(5)要先配方，再结合根式的运算进行求解．
解：(1)＝－4；
(2)＝＝＝3；
(3)＝|3－π|＝π－3；
(4)＝|x－2|＝
(5)因为3－2＝()2－2＋12＝(－1)2，
所以原式＝＋＋
＝|－1|＋(1－)＋|1－|
＝－1＋1－＋－1
＝－1.
迁移与应用 1．B
2．－5 －5 5
3．解：＝＝|x＋1|＝
活动与探究2 思路分析：根据＝与＝(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)进行互化．
解：(1)＝；
(2)＝；
(3)＝；
(4)＝；
(5)＝.
迁移与应用 1．C 解析：－＝；∵y＜0，
∴，而＞0，
∴≠(y＜0)．＝；＝.
所以A，B，D均错，C正确．
2．(1) (2) (3) (4)
【当堂检测】
1．B
2．C 解析：＝＝，
＝|a|，a0＝1条件为a≠0，故A，B，D错．
3．C 解析：＝，要使该式有意义，则(x－2)3＞0，即x＞2，故选C.
4．±2 解析：∵(±2)6＝64，∴64的6次方根是±2；＝＝＝＝＝.
5． 解析：原式＝＋＋＝0.5＋－＝.数学人教A必修1第二章2．1.2 指数函数及其性质第1课时
1．理解指数函数的概念，能画出指数函数图象的草图，会判断指数函数．
2．初步掌握指数函数的性质，并能解决与指数函数有关的问题．
1．指数函数的定义
一般地，函数y＝______(a＞0，且a≠1)叫做指数函数，其中x是______．
指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的结构特征：
(1)底数：大于零且不等于1的常数；
(2)指数：仅有自变量x；
(3)系数：ax的系数是1.
【做一做1】 已知f(x)＝9x，则f等于( )．
A. B．2 C．3 D．9
2．指数函数的图象和性质
指数函数的图象和性质如下表所示：
a＞1 0＜a＜1
图象
性质 定义域 ______
值域 ______
过定点 过定点______，即x＝0时，y＝1
单调性 在R上是______ 在R上是______
奇偶性 非奇非偶函数
指数函数的性质可用如下口诀来记忆：
指数增减要看清，抓住底数不放松；
反正底数大于0，不等于1已表明；
底数若是大于1，图象从下往上增；
底数0到1之间，图象从上往下减；
无论函数增和减，图象都过(0,1)点．
【做一做2－1】 y＝x的图象可能是( )．
【做一做2－2】 y＝()x的值域是( )．
A．R B．[0，＋)
C．(－，0) D．(0，＋)
【做一做2－3】 函数y＝(a－2)x在R上是增函数，则实数a的取值范围是__________．
答案：1．ax 自变量
【做一做1】 C f＝＝＝3.
2．R (0，＋∞) (0,1) 增函数 减函数
【做一做2－1】 C
【做一做2－2】 D
【做一做2－3】 (3，＋∞) 由a－2＞1，得a＞3.
1．对指数函数中底数取值范围的理解
剖析：①若a＜0，则对于x的某些数值，可使ax无意义．如(－2)x，当x＝时无意义．
②若a＝0，则当x＞0时，ax＝0；当x≤0时，ax无意义．
③若a＝1，则对于任何xR，ax是一个常量1，没有研究的必要性．
为了避免上述各种情况，所以规定a＞0，且a≠1，这样对于任何xR，ax都有意义．
2．指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)中底数a对函数图象的影响
剖析：设y＝f(x)＝ax，则f(1)＝a，即直线x＝1与指数函数f(x)＝ax图象交点的纵坐标是底数a.如图(1)所示．
(1) (2)
指数函数y＝ax，y＝bx，y＝cx，y＝dx的图象如图(2)所示，则有a＞b＞1＞c＞d＞0.从图中可以看出：在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小，在y轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小．
指数函数y＝ax与y＝x(或y＝a－x)的图象关于y轴对称．
题型一 判断指数函数
【例1】 下列函数中，哪些是指数函数？
(1)y＝(－8)x；(2)y＝；(3)y＝(2a－1)x，且a≠1；(4)y＝2·3x.
分析：依据指数函数解析式满足的三个特征来判断．
反思：判断一个函数是否为指数函数只需判定其解析式是否符合y＝ax(a＞0，且a≠1)这一结构，其具备的特点如下：
题型二 求定义域、值域
【例2】 求下列函数的定义域与值域．
(1)；(2).
分析：由于指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的定义域是R，所以函数y＝af(x)(a＞0，且a≠1)与函数f(x)的定义域相同，在定义域内可利用指数函数的单调性来求值域．
反思：对于y＝af(x)(a＞0，且a≠1)这类函数：
(1)定义域是使f(x)有意义的x的取值范围；
(2)值域问题，应分以下两步求解：
①由定义域求出u＝f(x)的值域；
②利用指数函数y＝au的单调性求得此函数的值域．
题型三 定点问题
【例3】 若函数f(x)＝ax－1＋3(a＞0，且a≠1)的图象恒过定点P，试求点P的坐标．
分析：利用指数函数y＝ax的图象过定点(0,1)来确定．
反思：函数f(x)＝kag(x)＋b(k，a，b均为常数，且k≠0，a＞0，且a≠1)．若g(m)＝0，则f(x)的图象过定点(m，k＋b)．
题型四 易混易错题
易错点 利用换元法时，忽视中间变量的取值范围
【例4】 求函数y＝x＋x＋1的值域．
反思：求形如f(ax)的函数的值域时，常利用换元法，设ax＝t，根据f(ax)的定义域求得t的范围，再转化为求f(t)的值域．
答案：【例1】 解：(1)中底数－8＜0，故不是指数函数．
(2)中指数不是自变量x，故不是指数函数．
(3)中，∵a＞，且a≠1，∴2a－1＞0，且2a－1≠1.
∴y＝(2a－1)x是指数函数．
(4)中3x前的系数是2，而不是1，故不是指数函数．
综上所述，仅有(3)是指数函数．
【例2】 解：(1)由x－4≠0，得x≠4，
∴定义域为{x|x∈R，且x≠4}．
∵≠0，∴≠1.
∴y＝的值域为{y|y＞0，且y≠1}．
(2)定义域为R.
∵|x|≥0，
∴＝1.
故的值域为{y|y≥1}．
【例3】 解：令x－1＝0，解得x＝1，此时f(1)＝a0＋3＝4，
即f(x)的图象恒过定点P的坐标为(1,4)．
【例4】 错解：令t＝x，则原函数可化为y＝t2＋t＋1＝2＋≥，即当t＝－时，ymin＝，即原函数的值域是.
错因分析：原函数的自变量x的取值范围是R，换元后t＝x＞0，而不是t∈R，错解中，把t的取值范围当成了实数集R.
正解：令t＝x，t∈(0，＋∞)，则原函数可化为y＝t2＋t＋1＝2＋.因为函数y＝2＋在(0，＋∞)上是增函数，所以y＞1，即原函数的值域是(1，＋∞)．
1若y＝(a－3)·(a－2)x是指数函数，则a＝______.
2函数f(x)＝a3－x－1(a＞0，且a≠1)的图象恒过定点的坐标是__________．
3函数y＝4x＋2x－3的值域为__________．
4已知指数函数f(x)的图象过点(3,8)，则f(6)＝__________.
5求下列函数的值域：
(1)；(2).
答案：1． 4 由题意，得解得a＝4.
2． (3,0) 令3－x＝0，解得x＝3，则f(3)＝a0－1＝0，即过定点(3,0)．
3． (－3，＋∞) 函数的定义域是R.设2x＝t，则t＞0.
∴y＝t2＋t－3＝在(0，＋)上为增函数，
∴y＞＝－3，∴函数的值域为(－3，＋)．
4． 64 设f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)．
∵函数f(x)的图象过点(3,8)，∴8＝a3，a＝2.
∴f(x)＝2x.∴f(6)＝26＝64.
5．解：(1)∵≠0，∴y＝≠1.
∴y＞0且y≠1，∴值域是(0,1)(1，＋)．
(2)∵≥0，∴≥50＝1.
∴值域是[1，＋)．数学人教A必修1第二章2．1.1 指数与指数幂的运算第1课时
1．理解n次方根及根式的概念，掌握根式的性质．
2．能利用根式的性质对根式进行化简．
1．n次方根
定义 一般地，如果xn＝a，那么______叫做a的______，其中n＞1，且nN*
个数 n是奇数 a＞0 x＞0 x仅有一个值，记为
a＜0 x＜0
n是偶数 a＞0 x有两个值，且互为相反数，记为±
a＜0 x不存在
(1)任何实数均有奇次方根，仅有非负数才有偶次方根，负数没有偶次方根．
(2)＝0(n＞1，且nN*)．
【做一做1－1】 等于( )．
A．2 B．－2 C．±2 D．－8
【做一做1－2】 等于( )．
A．2 B．－2 C．±2 D．4
【做一做1－3】 已知x7＝5，则x＝__________.
2．根式
(1)定义：式子______叫做根式，这里n叫做______，a叫做______．
正数开方要分清，根指奇偶大不同，
根指为奇根一个，根指为偶双胞生．
负数只有奇次根，算术方根零或正，
正数若求偶次根，符号相反值相同．
负数开方要慎重，根指为奇才可行，
根指为偶无意义，零取方根仍为零．
(2)性质：(n＞1，且nN*)
①()n＝a.
②＝
【做一做2－1】 根式的根指数是__________，被开方数是__________．
【做一做2－2】 5＝______；＝______.
答案：1．x n次方根
【做一做1－1】 B
【做一做1－2】 A
【做一做1－3】 ∵x7＝5，
∴x是5的7次方根，则x＝.
2．(1) 根指数 被开方数
【做一做2－1】 2 m＋1
【做一做2－2】 －2 2
1．对()n的理解
剖析：()n是实数a的n次方根的n次幂，其中实数a的取值范围由n的奇偶性来决定：
(1)当n为大于1的奇数时，()n＝a，a∈R.例如，()3＝27，()5＝－32，()7＝0.
(2)当n为大于1的偶数时，()n＝a，a≥0.例如，()4＝27，()2＝3，()6＝0；若a＜0，式子()n无意义，例如，由于x2＝－2，x4＝－54均不成立，则，均无意义，所以()2，()4均无意义，也就不能说它们的值了．
由此看来，只要()n有意义，其值就恒等于a，即()n＝a.
2．对的理解
剖析：是实数an的n次方根，是一个恒有意义的式子，不受n的奇偶性限制，aR.但是这个式子的值受n的奇偶性限制：
(1)当n为大于1的奇数时，其值为a，即＝a，例如，＝－2，＝6.1.
(2)当n为大于1的偶数时，其值为|a|，即＝|a|.例如，＝3，＝|－3|＝3.
因此，＝
题型一 利用根式的性质化简、求值
【例1】 求下列各式的值：
(1)＋；
(2)()5＋()6(b＞a)．
分析：利用根式的性质化简各个根式，再进行运算．
反思：化简时，首先明确根指数n是奇数还是偶数，然后再依据根式的性质进行化简；化简()n时，关键是明确是否有意义，只要有意义，则()n＝a.
为使开偶次方后不出现符号错误，可先用绝对值表示开方的结果，再去掉绝对值的符号．
题型二 有条件的根式的化简
【例2】 设－3＜x＜3，化简－.
题型三 易混易错题
易错点 忽略n的范围导致式子化简出错
【例3】 计算：＋.
反思：化简时必须先明确n是奇数还是偶数．当n为奇数时，＝a；当n为偶数时，＝|a|＝要注意n的奇偶性对式子的影响．
答案：【例1】 解：(1)原式＝－8＋|3－π|＝－8＋π－3＝π－11.
(2)原式＝(a－b)＋(b－a)＝a－b＋b－a＝0.
【例2】 解：原式＝－＝|x－1|－|x＋3|.
∵－3＜x＜3，∴当－3＜x＜1时，
原式＝－(x－1)－(x＋3)＝－2x－2；
当1≤x＜3时，原式＝(x－1)－(x＋3)＝－4.
∴原式＝
【例3】 错解：＋
＝(1＋)＋(1－)＝2.
错因分析：≠1－，而是＝|1－|＝－1.其出错原因是忽略了＝a成立的条件是n为正奇数，如果n为正偶数，那么＝|a|.
正解：＋
＝(1＋)＋|1－|＝1＋＋－1＝2.
1已知a＜0，bR，则＝__________.
2 ＝__________.
3已知x＜1，则＝__________.
4已知x＜1，则＝__________.
5已知＝11，则实数m的取值范围是__________．
答案：1．－a－b ∵a＜0，∴＝|a|＝－a.又＝b，
∴原式＝－a－b.
2． 2 原式＝π－2＋4－π＝2.
3． 1 ∵x＜1，∴x－2＜0，x－1＜0，∴原式＝|x－2|－＝|x－2|－|x－1|＝－(x－2)＋(x－1)＝1.
4. ∵x＜1，∴原式＝.
5． (－∞，5] ＝6＋m＋|5－m|.当m＞5时，|5－m|＝m－5，此时，6＋m＋|5－m|＝6＋m＋m－5＝2m＋1＞11；当m≤5时，|5－m|＝5－m，此时，6＋m＋|5－m|＝6＋m＋5－m＝11.所以满足题意的实数m的取值范围是m≤5.数学人教A必修1第二章2．2.1 对数与对数运算第1课时
1．理解对数的概念，掌握对数的基本性质．
2．掌握指数式与对数式的互化，能应用对数的定义和性质解方程．
1．对数的概念
条件 ax＝N(a＞0，且a≠1)
结论 数x叫做以a为底N的对数，a叫做对数的______，N叫做______
记法 x＝________
对数式logaN可看作一种记号，表示关于x的方程ax＝N(a＞0，且a≠1)的解；也可以看作一种运算，即已知底为a(a＞0，且a≠1)幂为N，求幂指数的运算，因此，对数式logaN又可看作幂运算的逆运算．
【做一做1－1】 若2m＝3，则m＝( )．
A．log32 B．log23 C．log22 D ．log33
【做一做1－2】 log78的底数是______，真数是____．
2．常用对数和自然对数
(1)常用对数：通常我们将以______为底的对数叫做常用对数，并把log10N记为______．
(2)自然对数：在科学技术中常使用以无理数e＝2.718 28…为底数的对数，以______为底的对数称为自然对数，并把logeN记为______．
【做一做2】 lg 7与ln 8的底数分别是( )．
A．10,10 B．e，e C．10，e D．e,10
3．对数与指数的关系
当a＞0，且a≠1时，ax＝Nx＝________.
当ax＝N时，x＝logaN，则＝N(a＞0，且a≠1)．
【做一做3】 log54＝a化为指数式是( )．
A．54＝a B．45＝a C．5a＝4 D．4a＝5
4．对数的基本性质
(1)____和______没有对数．
(2)loga1＝____(a＞0，且a≠1)．
(3)logaa＝____(a＞0，且a≠1)．
【做一做4－1】 在b＝log3(m－1)中，实数m的取值范围是( )．
A．R B．(0，＋) C．(－，1) D．(1，＋)
【做一做4－2】 log41＋log(－1)(－1)＝______.
答案：1．底数 真数 logaN
【做一做1－1】 B
【做一做1－2】 7 8
2．(1)10 lg N (2)e ln N
【做一做2】 C
3．logaN
【做一做3】 C
4．(1)零 负数 (2)0 (3)1
【做一做4－1】 D 由m－1＞0，得m＞1.
【做一做4－2】 1 原式＝0＋1＝1.
如何理解对数的概念
剖析：(1)对数是由指数转化而来．对数式logaN＝b是由指数式ab＝N转化而来的，两式底数相同，对数式中的真数N就是指数式中的幂的值N，而对数值b是指数式中的幂指数．对数式与指数式的关系如图所示．
在指数式ab＝N中，若已知a，N求幂指数b，便是对数运算b＝logaN.
(2)对数记号logaN只有在a＞0，且a≠1，N＞0时才有意义．
因为在ab＝N中，a＞0，且a≠1，所以在logaN中，a＞0，且a≠1.
又因为正数的任何次幂都是正数，即ab＞0(a＞0)，故N＝ab＞0.
(3)并不是所有的指数式都能直接改写成对数式，如(－2)2＝4不能写成log－24＝2，只有在a＞0，且a≠1，N＞0时，才有ab＝Nb＝logaN.
(4)由于对数式与指数式实际上是同一关系的不同表示形式，所以可以将对数问题转化为指数问题来解决．
题型一 对数式与指数式的互化
【例1】 将下列指数式与对数式互化：
(1)log216＝4； (2)27＝－3；
(3)27＝6; (4)43＝64；
(5)3－2＝； (6)－2＝16.
分析：利用当a＞0，且a≠1时，logaN＝bab＝N进行互化．
题型二 求对数的值
【例2】 求下列各式的值．
(1)81； (2)lg 0.001； (3)(＋2)．
反思：求对数式logaN的值的步骤：
(1)设logaN＝m；(2)将logaN＝m写成指数式am＝N；(3)将N写成以a为底的指数幂N＝ab，则m＝b，即logaN＝b.
题型三 解方程
【例3】 求下列各式中x的值．
(1)log2(log4x)＝0；
(2)log3(lg x)＝1；
(3)＝x.
分析：由题目可获取以下主要信息：
①(1)(2)题对数的值是特殊实数0和1；
②(3)题中底数和真数都含有根式．
解答本题可利用对数的定义求解．
反思：解有关对数的方程时，首先观察方程，若在真数位置上含有未知数，则转化为指数式来解决，如本题(1)和(2)；若底数和真数的位置上均不含有未知数，则求对数的值即可，如本题第(3)小题；最后要注意验根，即检验是否符合对数的定义．
题型四 易混易错题
易错点 忽视对数的底数的取值范围
【例4】 已知logx9＝2，求x的值．
反思：解决有关对数问题，要明确对数的底数是不等于1的正数，真数是正数，否则容易出现错解，如本题．
答案：【例1】 解：(1)24＝16.
(2)－3＝27.
(3)()6＝27.
(4)log4 64＝3.
(5)log3 ＝－2.
(6) 16＝－2.
【例2】 解：(1)设81＝m，则m＝81.
又∵81＝34＝－4，∴m＝－4，
∴m＝－4，即＝－4.
(2)设lg 0.001＝n，则10n＝0.001.
又∵0.001＝10－3，∴10n＝10－3，
∴n＝－3，即lg 0.001＝－3.
(3)设(＋2)＝p，则(－2)p＝＋2，
又∵＋2＝＝(－2)－1，
∴(－2)p＝(－2)－1，∴p＝－1，
∴(＋2)＝－1.
【例3】 解：(1)∵log2(log4x)＝0，∴log4x＝20＝1，
∴x＝41＝4.
(2)∵log3(lg x)＝1，∴lg x＝31＝3，
∴x＝103＝1 000.
(3)∵＝x，
∴(－1)x＝＝＝＝－1，∴x＝1.
【例4】 错解：∵logx9＝2，∴x2＝9，∴x＝±3.
错因分析：错解中，忽视了底数a＞0，导致出现增根．
正解：∵logx9＝2，∴x2＝9，∴x＝±3.
又∵x＞0，且x≠1，∴x＝3.
1 log5b＝2化为指数式是( )．
A．5b＝2 B．b5＝2 C．52＝b D．b2＝5
2 3b＝5化为对数式是( )．
A．logb3＝5 B．log35＝b
C．log5b＝3 D．log53＝b
3 已知logx8＝3，则x的值为( )．
A. B．2 C．3 D．4
4 ＝______.
5若log3 ＝0，则x＝________.
答案：1． C 2. B
3． B 由题意，得x3＝8＝23，即x＝2.
4．－3 设＝m，则，又.
∴，
∴m＝－3，即＝－3.
5．－4 由题意，得＝1，解得x＝－4，
经检验x＝－4是原方程的根．2.3 幂函数
问题导学
一、幂函数的概念及应用
活动与探究1
已知函数y＝(m2＋2m－2)xm＋2＋2n－3是幂函数，求m，n的值．
迁移与应用
1．下列函数中是幂函数的是( )
A．y＝x2x B．y＝2x C． D．y＝3x＋2
2．若幂函数f(x)的图象经过点(2,2)，则f(9)＝______.
由幂函数的定义，只有形如y＝xα的函数才是幂函数，即系数为1，底数为x，指数为常数的单项式，否则，不是幂函数．
二、幂的大小比较
活动与探究2
比较下列各组数的大小：
(1)和；
(2)和；
(3)和；
(4)，和.
迁移与应用
1．用“＞”或“＜”填空：
(1)________；
(2)________；
(3)________.
2．把下列各数按由小到大的顺序排列：
，，3，0，.
比较两个幂的大小可以分以下四种情况：
(1)同指数，不同底数，但底数为正，则利用幂函数在(0，＋∞)的单调性比较；
(2)同底数，不同指数，但底数大于零且不为1，则利用指数函数的单调性比较；
(3)底数与指数都不相同的，可引入“中间量”进行比较，“中间量”常为0或1；
(4)若底数为负，可根据指数的情况，将幂化简变形，使底数为正，再利用幂函数或指数函数的单调性比较．
三、幂函数性质的综合应用
活动与探究3
已知幂函数f(x)＝xm－3(m∈N*)为偶函数，且在区间(0，＋∞)上是减函数，求函数f(x)的解析式．
迁移与应用
1．已知幂函数y＝x5－2m(m∈N*)是奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数，则m的值是________．
2．已知函数y＝(m2－9m＋19)x2m－9是幂函数，且图象不过原点，则m＝__________.
若幂函数y＝xα若在(0，＋∞)上是递增的，则α＞0；若在(0，＋∞)上是递减的，则α＜0.
当堂检测
1．下列函数：①y＝x2＋1；②；③y＝2x2；④；⑤y＝＋1.其中是幂函数的是( )
A．①⑤ B．①②③ C．②④ D．②③⑤
2．若幂函数f(x)的图象经过点，则f等于( )
A．4 B．2
C． D．
3．若函数f(x)＝(m2－m－1)x－m＋1是幂函数，且在x∈(0，＋∞)上是减函数，则实数m的取值集合是( )
A．{m|m＝－1或m＝2}
B．{m|－1＜m＜2}
C．{2}
D．{－1}
4．若幂函数f(x)＝xα的图象经过点(3,9)，那么函数f(x)的单调增区间是______．
5．设，，，则a，b，c的大小关系是__________．
提示：用最精炼的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记.
答案：
课前预习导学
【预习导引】
1．幂函数
预习交流1 (1)提示：它们都不满足幂函数的定义，所以都不是幂函数．
(2)提示：幂函数y＝xα的底数为自变量，指数是常数，而指数函数正好相反，指数函数y＝ax中，底数是常数，指数是自变量．
2．R R R [0，＋∞) (－∞，0)∪(0，＋∞) R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y|y≠0} 奇 偶 奇
非奇非偶 奇 增 增 减 增 增 减 减 (1,1)(0,0) (1,1)(0,0) (1,1)(0,0) (1,1)(0,0) (1,1)
预习交流2 (1)(0,0)，(1,1) 增 (2)(1,1) 减
课堂合作探究
【问题导学】
活动与探究1 思路分析：由幂函数的定义，应有m2＋2m－2＝1，2n－3＝0，据此可求m，n的值．
解：∵函数y＝(m2＋2m－2)xm＋2＋2n－3是幂函数，
由幂函数的定义得
解得m＝－3或1，n＝.
迁移与应用 1．C
2．27 解析：设f(x)＝xα，则2α＝2，
∴α＝，
∴f(x)＝.∴f(9)＝＝33＝27.
活动与探究2 思路分析：比较两个幂值的大小，可借助幂函数的单调性或取中间量进行比较．对于(1)(2)(3)，可利用同指数或转化为同指数的幂函数进行比较，而(4)可找中间量进行比较．
解：(1)∵函数在(0，＋∞)上为减函数，
又3＜3.1，∴.
(2)，
又函数在(0，＋∞)上为增函数，且＞，
所以，
即.
(3)∵函数在(0，＋∞)上为减函数，
又＞，
∴，
∴.
(4),0＜＝1；
，∴.
迁移与应用 1．(1)＜ (2)＞ (3)＜
解析：(1)∵幂函数在(0，＋∞)上是增函数，且＜，∴.
(2)∵幂函数在(0，＋∞)上是减函数，且＞，
∴.
又，，
∴.
(3)，∵幂函数在(0，＋∞)上是增函数，且2.1＞，∴.又，，
∴，
即.
2．解：∵＞1，0＝1,0＜＜1，3＜0，∴按由小到大的顺序排列为3＜＜0＜＜.
活动与探究3 思路分析：∵幂函数f(x)＝xm－3(m∈N*)是偶函数，且在区间(0，＋∞)上是减函数，
∴m－3＜0且m－3是偶数．又m∈N*，可求得m的值．
解：∵f(x)＝xm－3在(0，＋∞)上是减函数，
∴m－3＜0.∴m＜3.
又∵m∈N*，
∴m＝1,2.
又∵f(x)＝xm－3是偶函数，
∴m－3是偶数．
∴m＝1.∴f(x)＝x－2.
迁移与应用 1．1或2 解析：∵幂函数y＝x5－2m在(0，＋∞)上是增函数，
∴5－2m＞0，m＜.
又m∈N*，∴m＝1或2.
m＝1时，y＝x3；m＝2时，y＝x，都是奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数．
∴m的值是1或2.
2．3 解析：由题意得即m＝3.
【当堂检测】
1．C
2．A 解析：设f(x)＝xα，则＝2α，∴α＝－2.
∴f(x)＝x－2.∴f＝－2＝22＝4.
3．C 解析：由条件知解得m＝2.
4．[0，＋∞) 解析：∵f(x)＝xα的图象经过点(3,9)，∴3α＝9，α＝2.
∴f(x)＝x2，其单调递增区间为[0，＋∞)．
5．a＞c＞b 解析：∵(x＞0)为增函数，
∴a＞c.
∵y＝x(x∈R)为减函数，∴c＞b.∴a＞c＞b.数学人教A必修1第二章2．2.1 对数与对数运算第2课时
1．掌握对数的运算性质，并能运用运算性质化简、求值．
2．了解对数的换底公式及其应用．
3．初步掌握对数在生活中的应用．
1．对数的运算性质
条件 a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0
性质 loga(MN)＝____________
loga＝____________
logaMn＝__________(n∈R)
loga(MN)＝____________
注意：一般情况下，loga(MN)≠(logaM)(logaN)，loga(M＋N)≠logaM＋logaN，loga≠.
【做一做1－1】 lg 2＋lg 5的值为( )．
A．2 B．5 C．7 D．1
【做一做1－2】 log318－log32的值为( )．
A．log316 B．log320 C．log336 D．2
2．换底公式
logab＝______________(a＞0，且a≠1；c＞0，且c≠1；b＞0)．
(1)可用换底公式证明以下结论：
①logab＝；②logab·logbc·logca＝1；③loganbn＝logab；④loganbm＝logab；⑤＝－logab.
(2)对换底公式的理解：
换底公式真神奇，换成新底可任意，
原底加底变分母，真数加底变分子．
【做一做2】 log29·log278＝______.
答案：1．logaM＋logaN logaM－logaN nlogaM
【做一做1－1】 D 原式＝lg(2×5)＝lg 10＝1.
【做一做1－2】 D 原式＝log3＝log39＝2.
2.
【做一做2】 2 原式＝×＝＝2.
对数的运算性质
剖析：(1)对数的运算性质是我们进行化简、求值及证明的依据，要灵活掌握，达到正用、逆用及变形用．
(2)使用对数运算性质的前提条件是M＞0，N＞0，a＞0，且a≠1，离开上述条件，公式就不一定成立．如log2[(－2)×(－7)]是存在的，但log2(－2)与log2(－7)不存在，故log2[(－2)×(－7)]≠log2(－2)＋log2(－7)．
(3)对数的运算性质与指数的运算性质的关系如下表：(表中M＞0，N＞0，a＞0，且a≠1)
式子 ab＝N logaN＝b
名称 a——幂的底数b——幂的指数N——幂 a——对数的底数b——以a为底N的对数N——真数
运算性质 aman＝am＋n＝am－n(am)n＝amn loga(MN)＝logaM＋logaNloga＝logaM－logaNlogaMn＝nlogaM
题型一 化简、求值
【例1】 计算下列各式的值：
(1)log2＋log212－log242；
(2)lg 52＋lg 8＋lg 5·lg 20＋(lg 2)2.
分析：利用对数的运算性质进行计算，(1)可以用两种方法计算．
反思：对于同底的对数的化简，常用方法是：
(1)“收”：将同底的两个对数的和(差)收成积(商)的对数，如本题(1)中方法一；
(2)“拆”：将积(商)的对数拆成对数的和(差)，如本题(1)中方法二；
(3)“收”和“拆”相结合，如本题(2)．
题型二 换底公式的应用
【例2】 已知log189＝a,18b＝5，求log3645.(用a，b表示)
分析：利用指数式和对数式的互化公式，将18b＝5化成log185＝b，利用换底公式，将log3645化成以18为底的对数，最后进行对数运算即可．
反思：(1)利用换底公式可以把不同底的对数化成同底的对数，要注意换底公式的正用、逆用以及变形应用．(2)题目中有指数式和对数式时，要注意将指数式与对数式统一成一种形式．
题型三 对数的实际应用
【例3】 一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩余的质量约是原来的84%，估计约经过多少年，该物质的剩余量是原来的一半．(结果保留1个有效数字)
分析：归纳出剩余量关于时间的关系式，利用计算器求解．
反思：解有关对数应用问题的步骤是：①审清题意，弄清各数据的含义；②恰当地设未知数，建立数学模型，即已知ax＝N(a，N是常数，且a＞0，a≠1)，求x；③利用换底公式借助于计算器来解数学模型；④还原为实际问题，归纳结论，注意有时要检验结论是否符合实际意义．
题型四 易混易错题
易错点 忽略真数大于0致错
【例4】 已知lg x＋lg y＝2lg(x－2y)，求的值．
反思：根据指数式与对数式的互化可知，真数实际上是指数式中的指数幂，故为正数．所以在求解含有对数式的问题时，一定要注意真数的取值范围，保证真数大于零．求解过程不等价时，在求出答案后需进行检验．
答案：【例1】 解：(1)方法一：原式＝log2＝log2＝－.
方法二：原式＝log2＋log2(22×3)－log2(2×3×7)＝log27－log2(24×3)＋2＋log23－－log23－log27＝－×4－log23＋＋log23＝－2＋＝－.
(2)原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5×(1＋lg 2)＋(lg 2)2
＝2(lg 5＋lg 2)＋lg 5＋lg 2(lg 5＋lg 2)
＝2＋lg 5＋lg 2＝2＋1＝3.
【例2】 解：∵18b＝5，∴b＝log185.
∴log3645＝＝＝＝＝＝＝.
【例3】 解：设最初的质量是1，经过x年，剩余量是y，则
经过1年，剩余量是y＝0.84；
经过2年，剩余量是y＝0.842；
…
经过x年，剩余量是y＝0.84x.
依题意，得0.84x＝0.5，解得x＝log0.840.5.
用计算器求得log0.840.5＝≈4.
故约经过4年，该物质的剩余量是原来的一半．
【例4】 错解：因为lg x＋lg y＝2lg(x－2y)，
所以xy＝(x－2y)2，即x2－5xy＋4y2＝0.
所以(x－y)(x－4y)＝0，解得x＝y或x＝4y，
所以＝1或＝4.
错因分析：错解中，lg x＋lg y＝2lg(x－2y)与xy＝(x－2y)2对x，y的取值范围的要求是不相同的，即求解过程不等价，因此，得出解后要代入原方程验证，这是求解过程中最易忽略的地方．
正解：同上，得到＝1或＝4.
由题意知，x＞0，y＞0，所以当＝1时，x－2y＜0，则lg(x－2y)无意义，所以＝1不合题意，应舍去；
当＝4时，将x＝4y代入已知条件，符合题意．
所以＝4.
1 (2010·四川卷)2log510＋log50.25＝( )．
A．0 B．1 C．2 D．4
2 (log43＋log83)×＝______.
3已知3a＝2，用a表示log34－log36＝______.
4设3x＝4y＝36，求的值．
5光线每通过一块玻璃板，其强度要减少10%，至少要把几块这样的玻璃板重叠起来，才能使通过它们后的光线强度在原强度的以下？(lg 3≈0.477 1)
答案：1． C 原式＝log5(102×0.25)＝log525＝2.
2. 原式＝.
3． a－1 ∵3a＝2，
∴a＝log32，
∴log34－log36＝log322－log3(2×3)＝2log32－log32－log33＝a－1.
4．解：∵3x＝36,4y＝36，
∴x＝log336，y＝log436.
则＝log363，＝log364，
∴＝2log363＋log364＝log36(32×4)＝1.
5．解：设光线没有通过任何玻璃板时的强度为m，通过x块玻璃板后其强度为y.
当x＝1时，y＝0.9m；
当x＝2时，y＝0.92m；
当x＝3时，y＝0.93m；
…
则y＝0.9xm.
设0.9xm＝m，
∴0.9x＝.
∴x＝log0.9＝≈10.4，
即至少要把11块这样的玻璃板重叠起来，才能使通过它们后的光线强度在原强度的以下．数学人教A必修1第二章2．2.2 对数函数及其性质第1课时
1．掌握对数函数的概念，会判断对数函数．
2．初步掌握对数函数的图象和性质．
3．能利用对数函数的性质解决有关问题．
1．对数函数的定义
一般地，我们把函数y＝________(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中____是自变量，函数的定义域是________．
(1)由于指数函数y＝ax中的底数a满足a＞0，且a≠1，则对数函数y＝logax中的底数a也必须满足a＞0，且a≠1.
(2)对数函数的解析式同时满足：①对数符号前面的系数是1；②对数的底数是不等于1的正实数(常数)；③对数的真数仅有自变量x.
【做一做1】 已知f(x)＝log9x，则f(3)＝______.
2．对数函数的图象和性质
一般地，对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)的图象和性质如下表所示：
a＞1 0＜a＜1
图象
性质 定义域 ：________
值域：______
图象过定点______，即当x＝1时，y＝0
在(0，＋∞)上是________ 在(0，＋∞)上是________
非奇非偶函数
对数函数的知识总结：
对数增减有思路，函数图象看底数；
底数只能大于0，等于1来可不行；
底数若是大于1，图象从下往上增；
底数0到1之间，图象从上往下减；
无论函数增和减，图象都过(1,0)点．
【做一做2－1】 函数y＝log4.3x的值域是( )．
A．(0，＋) B．(1，＋)
C．(－，0) D．R
【做一做2－2】 函数f(x)＝logax的图象如图所示，则a的取值可能是( )．
A．10 B. C. D.
3．反函数
对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)和指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)互为反函数．它们的图象关于直线______对称．
【做一做3】 函数y＝ln x的反函数是______．
答案：1．logax x (0，＋)
【做一做1】 f(3)＝log93＝log9＝.
2．(0，＋) R (1,0) 增函数 减函数
【做一做2－1】 D
【做一做2－2】 A
3．y＝x
【做一做3】 y＝ex
对数函数和指数函数的区别与联系
剖析：将对数函数和指数函数的性质对比列表如下：
名称 指数函数 对数函数
解析式 y＝ax(a＞0，且a≠1) y＝logax(a＞0，且a≠1)
定义域 (－∞，＋∞) (0，＋∞)
值域 (0，＋∞) (－∞，＋∞)
单调性 当a＞1时为增函数，当0＜a＜1时为减函数
函数值的变化情况 当a＞1时：若x＞0，则y＞1；若x＝0，则y＝1；若x＜0，则0＜y＜1 当a＞1时：若x＞1，则y＞0；若x＝1，则y＝0；若0＜x＜1，则y＜0
当0＜a＜1时：若x＞0，则0＜y＜1；若x＝0，则y＝1；若x＜0，则y＞1 当0＜a＜1时：若x＞1，则y＜0；若x＝1，则y＝0；若0＜x＜1，则y＞0
图象 y＝ax的图象与y＝logax的图象关于直线y＝x对称
题型一 判断对数函数
【例1】 下列函数中，哪些是对数函数？
(1)y＝logax2(a＞0，且a≠1)；
(2)y＝log2x－1；
(3)y＝2log8x；
(4)y＝logxa(x＞0，且x≠1)；
(5)y＝log5x.
分析：根据对数函数的定义进行判断．
反思：函数y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其特点是：
(1)系数为1；
(2)底数为大于0且不等于1的常数；
(3)真数为单个自变量x.
题型二 求定义域
【例2】 求函数y＝的定义域．
反思：求与对数函数有关的函数的定义域时，除了已学习过的求函数定义域的方法外，还要注意对数的真数大于零．
题型三 定点问题
【例3】 函数f(x)＝loga(x＋1)＋1(a＞0，且a≠1)的图象恒过定点P，则点P的坐标是________．
反思：函数f(x)＝klogag(x)＋b(a＞0，且a≠1)的图象恒过定点P，若g(m)＝1，则定点P的坐标为(m，b)．
题型四 易混易错题
易错点 忽略对数函数的定义域致错
【例4】 已知函数y＝f(x)，x，y满足关系式lg(lg y)＝lg(3－x)，求函数y＝f(x)的表达式及定义域、值域．
反思：解决含有对数的问题时一定要使对数式有意义，即要使对数的真数大于0，底数大于0且不等于1.
答案：【例1】 解：只有(5)为对数函数．
(1)中真数不是自变量x，故不是对数函数；
(2)中对数式后减1，故不是对数函数；
(3)中log8x前的系数是2，而不是1，
故不是对数函数；
(4)中底数是自变量x，而非常数a，故不是对数函数．
【例2】 解：要使函数有意义，需有
解得x＜4且x≠3，
故函数的定义域为(－∞，3)∪(3,4)．
【例3】 (0,1) 令x＋1＝1，得x＝0，
则f(0)＝loga1＋1＝1，即定点P的坐标为(0,1)．
【例4】 错解：∵lg(lg y)＝lg(3－x)，∴lg y＝3－x，
∴y＝103－x，定义域为R，值域为(0，＋∞)．
错因分析：错解没有注意到对数函数的定义域，即已知关系式成立的前提为
正解：∵lg(lg y)＝lg(3－x)，
∴lg y＝3－x，且
∴y＝103－x，x＜3，
∴y＞103－3＝1，
∴y＝f(x)的定义域为(－∞，3)，值域是(1，＋∞)．
1函数y＝logx(3－2x)的定义域是( )．
A. B. C．(0,1) D．(0,1)
2函数f(x)＝＋lg(4－x)的定义域为______．
3对数函数f(x)的图象过点(3，－2)，则f()＝______.
4函数f(x)＝－5loga(x－1)＋2(a＞0，且a≠1)的图象恒过定点P，则点P的坐标是__________．
5已知对数函数f(x)＝(m2－m－1)log(m＋1)x，求f(27)．
答案：1． C 要使函数有意义，自变量x的取值需满足解得0＜x＜1或1＜x＜.
2． [3,4) 要使函数有意义，自变量x的取值需满足解得3≤x＜4.
3．－1 设f(x)＝logax，所以－2＝loga3，所以a－2＝3，
所以a＝，则f(x)＝x，
则f()＝＝log=－1.
4． (2,2) 令x－1＝1，得x＝2，
又∵f(2)＝2，
∴f(x)的图象恒过定点(2,2)．
5．解：∵f(x)是对数函数，∴解得m＝2.
∴f(x)＝log3x，∴f(27)＝log327＝3.数学人教A必修1第二章2．1.2 指数函数及其性质第2课时
1．能利用指数函数的单调性解不等式、比较大小、求最值．
2．掌握指数函数在实际生活中的简单应用．
指数函数的图象和性质
y＝ax(0＜a＜1) y＝ax(a＞1)
图 象
性 质 定义域：______
值域：______
过定点(0,1)，即当x＝0时，y＝1
当x＞0时，0＜y＜1；当x＜0时，y＞1 当x＞0时，y＞1；当x＜0时，0＜y＜1
在R上是______ 在R上是______
【做一做1－1】 已知a＝31.03，b＝31.04，则( )．
A．a＞b B．a＝b C．a＜b D．a≥b
【做一做1－2】 已知指数函数f(x)＝ax，且f(3)＜f(2)，则a的取值范围是__________．
答案：R (0，＋∞) 减函数 增函数
【做一做1－1】 C
【做一做1－2】 (0,1) ∵函数f(x)＝ax是指数函数，
且f(3)＜f(2)，∴f(x)在R上是减函数．
∴0＜a＜1.
底数对指数函数变化的影响
剖析：(1)对函数增长快慢的影响
①当底数a＞1时，指数函数y＝ax是R上的增函数，且当x＞0时，底数a的值越大，函数图象越“陡”，说明其函数值增长得越快，如图1所示．
图1 图2
②当底数0＜a＜1时，指数函数y＝ax是R上的减函数，且当x＜0时，底数a的值越小，函数图象越“陡”，说明其函数值减小得越快，如图2所示．
(2)对函数值变化的影响
①若a＞b＞1，当x＜0时，总有0＜ax＜bx＜1；当x＝0时，总有ax＝bx＝1；当x＞0时，总有ax＞bx＞1.
②若0＜b＜a＜1，当x＜0时，总有bx＞ax＞1；当x＝0时，总有ax＝bx＝1；当x＞0时，总有0＜bx＜ax＜1.
综上所得，当x＞0，a＞b＞0时，ax＞bx；当x＜0，a＞b＞0时，ax＜bx.
题型一 比较大小
【例1】 比较下列各题中两个值的大小：
(1)1.72.5,1.73；
(2)2.3－0.28,0.67－3.1.
分析：(1)构造指数函数，利用其单调性比较大小；(2)利用中间值1比较大小．
反思：比较指数式大小的方法：
(1)单调性法：比较同底数幂的大小，可构造指数函数，利用指数函数的单调性比较大小．要注意：明确所给的两个值是哪个指数函数的两个函数值；明确指数函数的底数与1的大小关系；最后根据指数函数的单调性来判断．如本题(1)．
(2)中间量法：比较不同底且不同指数幂的大小，常借助于中间值1进行比较．如本题(2)．
题型二 解简单的指数不等式
【例2】 如果a2x＋1≤ax－5(a＞0，且a≠1)，求x的取值范围．
分析：讨论a的取值→得关于x的不等式→解不等式得x的范围．
反思：解关于x的不等式af(x)＞ag(x)(a＞0，且a≠1)时，主要依据指数函数的单调性，它的一般步骤为
题型三 最值问题
【例3】 函数f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大，求a的值．
分析：由题目可获取以下主要信息：
①f(x)＝ax中a是参数；
②给定区间为[1,2]；
③在给定区间上最大值比最小值大.
可结合指数函数f(x)的单调性，对a分类讨论求值．
反思：指数函数y＝ax(a＞1)在R上是增函数，在闭区间[s，t]上存在最大值、最小值，当x＝s时，函数取得最小值as；当x＝t时，函数取得最大值at.指数函数y＝ax(0＜a＜1)在R上是减函数，在闭区间[s，t]上存在最大值、最小值，当x＝s时，函数取得最大值as；当x＝t时，函数取得最小值at.
题型四 应用问题
【例4】 某林区2010年木材蓄积量为200万立方米，由于采取了封山育林、严禁采伐等措施，使木材蓄积量的年平均增长率能达到5%.
(1)若经过x年后，该林区的木材蓄积量为y万立方米，求y＝f(x)的表达式，并求此函数的定义域．
(2)作出函数y＝f(x)的图象，并应用图象求至少经过多少年后，林区的木材蓄积量能达到300万立方米？
反思：解指数函数的应用问题时，通常利用归纳法得出函数解析式．
答案：【例1】 解：(1)(单调性法)由于1.72.5与1.73的底数是1.7，
故构造函数y＝1.7x，
则函数y＝1.7x在R上是增函数．
又2.5＜3，所以1.72.5＜1.73.
(2)(中间量法)由指数函数的性质，知
2．3－0.28＜2.30＝1,0.67－3.1＞0.670＝1，
所以2.3－0.28＜0.67－3.1.
【例2】 解：当0＜a＜1时，∵a2x＋1≤ax－5，
∴2x＋1≥x－5，解得x≥－6.
当a＞1时，∵a2x＋1≤ax－5，
∴2x＋1≤x－5，解得x≤－6.
综上所述，
当0＜a＜1时，x的取值范围是[－6，＋∞)；
当a＞1时，x的取值范围是(－∞，－6]．
【例3】 解：当a＞1时，f(x)在[1,2]上是增函数，
∴a2－a＝，解得a＝或a＝0(舍去)．
当0＜a＜1时，f(x)在[1,2]上是减函数，
∴a－a2＝，解得a＝或a＝0(舍去)．
综上所述，a的值为或.
【例4】 解：(1)现有木材蓄积量为200万立方米，
经过1年后木材蓄积量为200＋200×5%＝200(1＋5%)万立方米；
经过2年后木材蓄积量为
200(1＋5%)＋200(1＋5%)×5%＝200(1＋5%)2万立方米；
…
经过x年后木材蓄积量为200(1＋5%)x万m3.
故y＝f(x)＝200(1＋5%)x(x∈N*)．
(2)作函数y＝f(x)＝200(1＋5%)x(x≥0)的图象，如图所示，函数y＝200(1＋5%)x(x∈N*)的图象为y＝200(1＋5%)x(x≥0)的图象上当x取正整数时的一系列孤立的点．
作直线y＝300与函数y＝200(1＋5%)x(x≥0)的图象交于点A，设A为(x0,300)，由图象可知，8＜x0＜9，故至少经过9年后，林区的木材蓄积量能达到300万立方米．
1已知2x＞21－x，则x的取值范围是( )．
A．R B．x＜ C．x＞ D．
2设y1＝40.9，y2＝80.48，y3＝，则( )．
A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2
C．y2＞y1＞y3 D．y3＞y1＞y2
3函数f(x)＝在区间[－1,2]上的最大值是__________．
4函数y＝的定义域是__________．
5已知镭经过1百年后的质量为原来质量的95.76%，设质量为20克的镭经过x百年后的质量为y克(其中xN*)，求y与x之间的函数关系式，并求出经过1 000年后镭的质量(精确到0.001克)．
答案：1． C ∵2x＞21－x，∴x＞1－x，即x＞.
2． B y1＝40.9＝(22)0.9＝21.8，y2＝80.48＝(23)0.48＝21.44，y3＝＝(2－1)－1.5＝21.5，由于函数y＝2x在R上是增函数，又1.44＜1.5＜1.8，则21.44＜21.5＜21.8，即y1＞y3＞y2.
3． 2 f(x)＝在[－1,2]上是减函数，
则最大值为f(－1)＝＝2.
4． [0，＋) 要使函数有意义，自变量x的取值需满足2x－1≥0，即2x≥1＝20，所以x≥0.
5．解：把1百年看成一个基数，然后看每经过1百年镭的质量的变化．
镭原来的质量为20克；
1百年后镭的质量为20×95.76%克；
2百年后镭的质量为20×(95.76%)2克；
3百年后镭的质量为20×(95.76%)3克；
…
x百年后镭的质量为20×(95.76%)x克．
∴y与x之间的函数关系式为
y＝20×(95.76%)x(xN*)．
∴经过1 000年后镭的质量为
y＝20×(95.76%)10≈12.968(克)．第2课时 指数函数及其性质的应用
问题导学
一、幂的大小比较
活动与探究1
比较下列各组数的大小：
(1)1.9－π与1.9－3；
(2)与0.70.3；
(3)0.7－1与.
迁移与应用
用“＞”或“＜”填空：
(1)－3.5________－1.2；(2)33.1________－2；
(3)1.51.3________3.1；(4)40.9________80.48.
活动与探究2
如果a－5x＞ax＋7(a＞0，且a≠1)，求x的取值范围．
迁移与应用
若0.71－x＞0.72x，则实数x的取值范围是________；若0.2x＞52x－1，则实数x的取值范围是__________．
(1)比较指数幂的大小，应根据所给指数幂的形式，选用单调性法或中间量法来求解．
(2)若a＞1，af(x)＞ag(x) f(x)＞g(x)；
若0＜a＜1，af(x)＞ag(x) f(x)＜g(x)．
二、求函数的定义域
活动与探究3
求下列函数的定义域：
(1)；(2)；(3)y＝.
迁移与应用
1．函数y＝3x－1的定义域是______；函数y＝－|x|的定义域是______；函数的定义域是______．
2．求函数y＝的定义域．
函数y＝af(x)(a＞0，且a≠1)的定义域与函数f(x)的定义域相同．
三、求函数的值域
活动与探究4
求下列函数的值域：
(1)y＝2x－2，x∈[－2,3]；(2)；
(3)；(4)y＝.
迁移与应用
1．函数y＝－|x|的值域是______．
2．函数y＝的值域是______．
3．求函数的值域．
当堂检测
1．已知a＝0.80.7，b＝0.80.9，c＝1.20.8，则a，b，c的大小关系是( )
A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．c＞a＞b
2．函数y＝的值域是( )
A．[0，＋∞) B．[0,4] C．[0,4) D．(0,4)
3．函数y＝的定义域是( )
A．(－∞，0] B．[0，＋∞) C．(－∞，2] D．[2，＋∞)
4．不等式0.52x＞0.5x－1的解集为______(用区间表示)．
5．方程4x＋2x－2＝0的解是__________．
提示：用最精炼的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记.
答案：
课前预习导学
预习交流1 思路分析：此函数是由指数函数及二次函数复合而成的函数，因此也可根据复合函数的单调性对其讨论．
解：函数的定义域为R，
令u＝x2－2x，则y＝u.列表如下：
由表可知，原函数在(－∞，1]上是增函数，在(1，＋∞)上是减函数．
课堂合作探究
【问题导学】
活动与探究1 思路分析：底数相同的幂依据指数函数的单调性比较；底数不同且指数也不同的，可借助中间值比较．
解：(1)∵指数函数y＝1.9x在R上是增函数，且－π＜－3，∴1.9－π＜1.9－3.
(2)∵指数函数y＝0.7x在R上是减函数，且2－≈0.268＜0.3，
∴＞0.70.3.
(3)∵指数函数y＝0.7x在R上单调递减，且－1＜0，
∴0.7－1＞0.70＝1.
又∵指数函数y＝0.6x在R上单调递减，且＞0，
∴＜0.60＝1.
∴0.7－1＞.
迁移与应用 (1)＞ (2)＞ (3)＞ (4)＞
解析：(1)∵函数y＝x在R上是减函数，且－3.5＜－1.2，∴－3.5＞－1.2；
(2)∵函数y＝3x在R上是增函数，
又－2＝32，且3.1＞2，
∴33.1＞－2；
(3)∵1.5＞1,1.3＞0，∴1.51.3＞1.
而0＜＜1，且3.1＞0，
∴3.1＜1，∴1.51.3＞3.1；
(4)∵40.9＝21.8,80.48＝21.44，且函数y＝2x在R上是增函数，1.8＞1.44，
∴21.8＞21.44，即40.9＞80.48.
活动与探究2 思路分析：分0＜a＜1与a＞1两种情况，利用指数函数的单调性求解．
解：①当a＞1时，∵a－5x＞ax＋7，
∴－5x＞x＋7，解得x＜－.
②当0＜a＜1时，∵a－5x＞ax＋7，
∴－5x＜x＋7，解得x＞－.
综上所述，x的取值范围是：当a＞1时，x＜－；
当0＜a＜1时，x＞－.
迁移与应用
解析：∵0.7∈(0,1)，且0.71－x＞0.72x，
∴1－x＜2x，x＞.
∵0.2x＝x＝5－x，
∴原不等式化为5－x＞52x－1.
∵5＞1，∴－x＞2x－1，x＜.
活动与探究3 思路分析：根据函数式列出不等式(组)求定义域．
解：(1)要使函数式有意义，则x－4≠0，即x≠4.所以函数的定义域为(－∞，4)∪(4，＋∞)．
(2)要使函数式有意义，则x－2≥0，即x≥2.所以函数的定义域为[2，＋∞)．
(3)要使函数式有意义，则有1－3x－1≥0，即3x－1≤1＝30，∴x－1≤0，x≤1.∴函数y＝的定义域是(－∞，1]．
迁移与应用 1．R R (3，＋∞)
2．解：要使函数式有意义，则1－x≥0，即x≤1.
∴x≥0.所以该函数的定义域为[0，＋∞)．
活动与探究4 思路分析：求函数y＝af(x)的值域时，先求出f(x)的值域，再利用指数函数的单调性求解．
解：(1)∵－2≤x≤3，∴－4≤x－2≤1.
又∵2＞1，∴≤2x－2≤2.
所以该函数的值域为.
(2)∵≠0，∴≠1.
又＞0，所以该函数的值域为(0,1)∪(1，＋∞)．
(3)∵x2－2x＋3＝(x－1)2＋2≥2，
又∈(0,1)，
∴0＜≤2＝.
∴函数的值域为.
(4)∵3x－1＞0，∴－3x－1＜0.
∴0≤1－3x－1＜1.
∴0≤y＜1.
即函数y＝的值域为[0,1)．
迁移与应用 1．[1，＋∞)
2．[0,2) 解析：∵2x－1＞0，∴0≤4－2x－1＜4.
∴0≤＜2.
3．解：∵－x2＋2x－2＝－(x－1)2－1≤－1，且∈(0,1)，
∴≥－1＝3.
∴函数的值域是{y|y≥3}．
【当堂检测】
1．D 解析：考察函数y＝0.8x，
∴0.80.9＜0.80.7＜1.
又1.20.8＞1，∴c＞a＞b.
2．C 解析：∵4x＞0，∴0≤16－4x＜16.
∴函数y＝的值域为[0,4)．
3．A 解析：由x－2－4≥0，得22－x≥22，
∴2－x≥2，x≤0.
4．(－∞，－1) 解析：∵0＜0.5＜1，
∴由0.52x＞0.5x－1得2x＜x－1，
即x＜－1.
5．x＝0 解析：令2x＝t，则方程4x＋2x－2＝0化为t2＋t－2＝0，
即(t＋2)(t－1)＝0，
∵t＝2x＞0，∴t＋2＞0.
∴t＝1，即2x＝1，x＝0.第2课时 对数函数及其性质的应用
问题导学
一、比较两个对数的大小
活动与探究1
比较下列各组数中两个值的大小：
(1)log0.31.8，log0.32.7；(2)3log45,2log23；
(3)log32，log56；(4)，log40.6；
(5)log20.4，log30.4.
迁移与应用
1．若a＝log3π，b＝log76，c＝log20.8，则( )
A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．b＞c＞a
2．比较下面两个值的大小：
(1)log2.10.4与log2.10.3；
(2)与；
(3)log67与log53；
(4)log52与log0.33.
比较两个对数值的大小，若底数相同，可根据对数函数的单调性判断；若底数不相同，可借助中间量loga1＝0(a＞0，且a≠1)或logaa＝1(a＞0，且a≠1)来比较，也可换底后再比较．
二、解对数不等式
活动与探究2
解下列不等式：
(1)log2(2x＋3)＞log2(5x－6)；
(2)log3(2x＋1)＋＞0；
(3).
迁移与应用
1．如果，那么( )
A．y＜x＜1 B．x＜y＜1 C．1＜x＜y D．1＜y＜x
2．满足不等式log3x＜log3(2－x)的x的取值集合为______．
3．函数y＝的定义域为______．
常见对数不等式有两种类型：
(1)形如logaf(x)＞logag(x)的不等式，借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论．若底数不同，先将底数化为相同的形式再求解．
(2)形如logaf(x)＞b的不等式，应将b化为以a为底的对数式的形式，再借助y＝logax的单调性求解．
特别注意的是，每个对数的真数均为正．
三、求函数的值域
活动与探究3
求下列函数的值域：
(1)；
(2)y＝log3，x∈[－3，－1]．
迁移与应用
1．函数f(x)＝log2(3x＋1)的值域为( )
A．(0，＋∞) B．[0，＋∞)
C．(1，＋∞) D．[1，＋∞)
2．设a＞1，函数f(x)＝logax在区间[a,2a]上的最大值与最小值之差为，则a等于( )
A． B．2 C．2 D．4
3．函数在x∈[1,3]上的值域为______．
求函数y＝logaf(x)的值域时，先求出f(x)的值域，再利用对数函数y＝logau的单调性求出原函数的值域．
当堂检测
1．若a＝log117，b＝log0.83，则( )
A．a＞b B．a≥b
C．a＜b D．a≤b
2．函数的定义域是( )
A．(－∞，2)
B．(1，＋∞)
C．[2，＋∞)
D．(1,2]
3．设函数f(x)＝则满足f(x)≤2的x的取值范围是( )
A．[－1,2]
B．[0,2]
C．[1，＋∞)
D．[0，＋∞)
4．函数y＝log2(x2－2x＋3)的值域是__________．
5．函数的反函数是______．
提示：用最精炼的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记.
答案：
课前预习导学
【预习导引】
1．(1)(0，＋∞) 增 (0，＋∞) 减 (2)＞ ＜ ＜ ＞
预习交流1 (1)logam＞logan logam＜logan (2)m＞n m＜n
2．反函数
预习交流2 提示：互为反函数的两个函数的图象关于直线y＝x对称．
课堂合作探究
【问题导学】
活动与探究1 思路分析：(1)中的两个数可直接用对应的对数函数的单调性比较；(2)中的两个数可化为同底的两个对数，然后用对应的对数函数的单调性比较；(3)中的两个对数的底数不同，真数也不同，但其中一个大于1，另一个小于1；(4)中两个数，一个小于0，一个大于0；(5)将两个对数换底后再比较．
解：(1)∵函数y＝log0.3x在(0，＋∞)上是减函数，
且1.8＜2.7，∴log0.31.8＞log0.32.7.
(2)3log45＝log4125,2log23＝4log43＝log481.
∵函数y＝log4x在(0，＋∞)上是增函数，且125＞81，
∴log4125＞log481，即3log45＞2log23.
(3)∵函数y＝log3x在(0，＋∞)上是增函数，且2＜3，
∴log32＜log33＝1.
同理log56＞log55＝1.∴log32＜log56.
(4)∵函数在(0，＋∞)上是减函数，且0.4＜1，
∴＝0.同理，log40.6＜log41＝0.
∴＞log40.6.
(5)log20.4＝，log30.4＝.
∵3＞2＞1，∴ln 3＞ln 2＞0.∴＞＞0.
又ln 0.4＜0，∴＜.
即log20.4＜log30.4.
迁移与应用 1．A 解析：∵log3π＞log33＝1,0＝log71＜log76＜log77＝1，log20.8＜log21＝0，∴a＞b＞c，故选A.
2．解：(1)∵函数f(x)＝log2.1x在(0，＋∞)上是增函数，且0.4＞0.3，故log2.10.4＞log2.10.3.
(2)∵函数在(0，＋∞)上是减函数，且8＞7，
故.
(3)∵log67＞log66＝1，log53＜log55＝1，
∴log67＞log53.
(4)∵log52＞log51＝0，log0.33＜log0.31＝0，
∴log52＞log0.33.
活动与探究2 思路分析：将各式化为同底的对数，利用对数函数的单调性化为一般不等式求解．
解：(1)原不等式等价于
解得＜x＜3.
所以原不等式的解集为.
(2)由log3(2x＋1)＋＞0得
log3(2x＋1)＞，即log3(2x＋1)＞log3(3x－1)．
∴解得＜x＜2.
所以原不等式的解集为.
(3)由，得.
∴解得＜x＜.
所以原不等式的解集为.
迁移与应用 1．D 解析：由得x＞y.
由得y＞1，
∴x＞y＞1.
2．(0,1) 解析：由题意得解得0＜x＜1.
3． 解析：要使函数式有意义，则
即解得＜x≤1.
活动与探究3 思路分析：先求出真数的范围，再利用对数函数的单调性求原函数的值域．
解：(1)设u＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4≤4，
∵在(0，＋∞)上是减函数，
∴≥＝－2.
∴函数的值域为[－2，＋∞)．
(2)设u＝x－2，
∵x∈[－3，－1]，∴3≤x≤27，
即1≤u≤25.
∵函数y＝log3u在(0，＋∞)上是增函数，
∴0≤log3≤log325.
∴原函数的值域为[0，log325]．
迁移与应用 1．A
2．D 解析：∵a＞1，∴f(x)＝logax在[a,2a]上为增函数，
∴loga(2a)－logaa＝loga2＝，解得a＝4，故选D.
3．[－3，－2] 解析：∵x∈[1,3]，
∴2x＋2∈[4,8]．
∴，
即－3≤≤－2.
【当堂检测】
1．A 解析：∵a＝log117＞log111＝0，b＝log0.83＜log0.81＝0，
∴a＞b.
2．D 解析：由题意得，
∴0＜x－1≤1，
即1＜x≤2.
3．D 解析：当x≤1时，由21－x≤2，得1－x≤1，即x≥0，
∴0≤x≤1.当x＞1时，由1－log2x≤2，得log2x≥－1，
即x≥，∴x＞1.
综上，满足f(x)≤2的x的取值范围是[0，＋∞)．
4．[1，＋∞) 解析：令u＝x2－2x＋3，则u＝(x－1)2＋2≥2.
∵函数y＝log2u在u∈(0，＋∞)上是增函数，
∴y≥log22＝1.∴y∈[1，＋∞)．2.2.2 对数函数及其性质
第1课时 对数函数的图象及性质
问题导学
一、求函数的定义域
活动与探究1
求下列函数的定义域：
(1)y＝lg(x＋1)＋；(2)y＝log(x－3)(7－x)．
迁移与应用
1．设集合A＝{x|－3≤2x－1≤3}，集合B为函数y＝lg(x－1)的定义域，则A∩B＝( )
A．(1,2) B．[1,2]
C．[1,2) D．(1,2]
2．求下列函数的定义域：
(1)y＝；(2)y＝logx＋1(16－4x)．
函数的定义域在没有特殊约定的前提下，就是使解析式有意义的自变量的取值范围．求对数型函数的定义域一定要注意真数大于0，底数大于0且不等于1的限制条件．
二、对数函数的图象问题
活动与探究2
画出下列函数的图象，并根据图象写出函数的定义域与值域以及单调区间：
(1)y＝log3(x－2)；(2).
迁移与应用
1．函数y＝2loga(x－1)(a＞0，且a≠1)的图象过定点__________．
2．画出函数y＝|log2(x＋1)|的图象，并写出函数的值域及单调区间．
画函数图象时，要注意图象的特殊点、特殊线的作用，还要注意函数的奇偶性、图象的对称性及单调性的应用．
当堂检测
1．下列函数是对数函数的是( )
A．y＝loga(2x)(a＞0，且a≠1)
B．y＝loga(x2＋1)(a＞0，且a≠1)
C．(a＞0，且a≠1)
D．y＝2lg x
2．函数f(x)＝lg(x－1)＋的定义域为( )
A．(1,4] B．(1,4) C．[1,4] D．[1,4)
3．对数函数y＝logax的图象如图所示，则实数a的可能取值是( )
A．5 B． C． D．
4．已知函数f(x)＝log5x，则f(3)＋f＝________.
5．已知对数函数f(x)的图象过点(8,3)，则f＝______.
提示：用最精炼的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记.
答案：
课前预习导学
【预习导引】
1．y＝logax (0，＋∞)
预习交流1 解：根据对数函数的定义知，只有②是对数函数，其余都不满足对数函数的定义．
2．(0，＋∞) R (1,0) x＝1 y＝0 y＞0 y＜0 y＜0 y＞0 增函数 减函数
预习交流2 (1)提示：利用对数函数的单调性时，若底数中含有字母，则应讨论底数大于1还是小于1，以确定函数的单调性．
(2)提示：函数y＝logax与(a＞0，且a≠1)的图象关于x轴对称．
(3)提示：对于对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)，当y＝1时，x＝a.所以，在坐标系中作出直线y＝1，该直线与各曲线交点的横坐标为它们的底数，交点越靠右，底数越大．
课堂合作探究
【问题导学】
活动与探究1 思路分析：列出使原函数有意义的不等式组，解不等式组即可．
解：(1)要使函数有意义，
需即
∴－1＜x＜1.
∴函数的定义域为(－1,1)．
(2)要使函数有意义，需
∴
∴3＜x＜7，且x≠4.
∴函数的定义域为(3,4)∪(4,7)．
迁移与应用 1．D 解析：由－3≤2x－1≤3得，－1≤x≤2；
要使函数y＝lg(x－1)有意义，须令x－1＞0，
∴x＞1.∴集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|x＞1}，
∴A∩B＝{x|1＜x≤2}．
2．解：(1)由已知得
即
∴x＞且x≠1.
∴该函数的定义域为∪(1，＋∞)．
(2)由得故该函数的定义域是{x|－1＜x＜0，或0＜x＜2}．
活动与探究2 解：(1)函数y＝log3(x－2)的图象如图所示，其定义域为(2，＋∞)，值域为R，在区间(2，＋∞)上是增函数．
(2)y＝||＝其图象如图所示，
其定义域为(0，＋∞)，值域为[0，＋∞)，在(0,1]上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数．
迁移与应用 1．(2,0)
2．解：函数y＝|log2(x＋1)|的图象如图所示．
由图象知，其值域为[0，＋∞)，单调减区间是(－1,0]，单调增区间是(0，＋∞)．
【当堂检测】
1．C
2．A 解析：由题意得
所以1＜x≤4.
3．A 解析：由图象可知函数y＝logax在定义域内为增函数，
∴a＞1.故选A.
4．2 解析：f(3)＋f＝log53＋log5＝log53＋log525－log53＝2.
5．－5 解析：设f(x)＝logax(a＞0，且a≠1)，则3＝loga8，
∴a3＝8，a＝2.
∴f(x)＝log2x，f()＝log2＝log22－5＝－5.第2课时 指数幂的运算
问题导学
一、利用有理指数幂的性质求值
活动与探究1
化简下列各式(其中字母均表示正数)：
(1)－0＋＋16－0.75＋；
(2).
迁移与应用
计算下列各式：
(1)0.5＋0.1－2＋－3π0＋；
(2)－－1×－10×；
(3)(x＞0，y＞0)；
(4)．
若幂的底数是带分数，则先化为假分数，若底数能写成幂的形式，就先将其写成幂的形式，然后再按运算顺序进行计算．
二、根式与分数指数幂的综合运算
活动与探究2
(1)(a＞0，b＞0)；
(2)÷(a＞0)．
迁移与应用
1．(a＞0)＝____.
2．化简下列各式：
(1)；
(2)4·(－3)·÷.
在进行根式与分数指数幂的混合运算时，先把根式化为分数指数幂，再运用有理指数幂的运算性质进行化简求值．遇到多重根号时，应由里到外写成分数指数幂再进行运算．
三、条件化简求值
活动与探究3
已知x＋x－1＝3，求下列各式的值：
(1)；(2)x2＋x－2；(3)x2－x－2.
迁移与应用
1．若am＝2，an＝3，则＝______.
2．(1)已知，求a2＋a－2的值；
(2)已知＋b＝1，求的值．
解答条件求值与化简问题时，要认真分析条件与所求式之间的联系，进而找到解答问题的思路与方法．
当堂检测
1．下列运算正确的是( )
A．a·a2＝a2 B．(ab)3＝ab3
C．(a2)3＝a6 D．a10÷a2＝a5
2．下列运算结果中正确的为( )
A．a2·a3＝a6 B．(－a2)3＝(－a3)2
C．(－1)0＝1 D．(－a2)3＝－a6
3．化简(a＞0，b＞0)的结果是( )
A． B．
C． D．
4．计算：＝______.
5．若10x＝3,10y＝4，则102x－y＝______.
提示：用最精炼的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记.
答案：
课前预习导学
【预习导引】
1．(1)ar＋s (2)ars (3)arbr
预习交流1 (1)提示：有理指数幂的运算性质是整数指数幂的运算性质的推广．
(2) a4b9
2．实数 有理数指数幂
课堂合作探究
【问题导学】
活动与探究1 思路分析：若幂的底数能写成幂的形式，就先写成幂的形式，再利用有理指数幂的运算性质，先乘方，再乘除，最后加减．
解：(1)原式＝－1＋(－2)－4＋2－3＋＝(0.4)－1－1＋＋＋0.1＝.
(2)原式＝[2×(－6)÷(－3)]＝4ab0＝4a.
迁移与应用 解：(1)原式＝＋－2＋－3＋＝＋100＋－3＋＝100.
(2)原式＝－(3×1)－1×－10×＝－×1－3＝0.
(3)原式＝.
(4)原式＝[4×(－3)÷(－6)]＝.
活动与探究2 思路分析：(1)先将根式化为分数指数幂，再进行运算；(2)中有多重根号，计算时由里到外依次进行．
解：(1)原式＝
＝＝a－1＝.
(2)原式＝＝÷
＝a÷a＝1.
迁移与应用 1． 解析：原式＝.
2．解：(1)原式＝
＝.
(2)原式＝4×(－3)÷(－6)·
＝＝2xy－1＝.
活动与探究3 思路分析：∵＝x＋2＋x－1，(x＋x－1)2＝x2＋2＋x－2，x2－x－2＝(x＋x－1)(x－x－1)，∴根据已知x＋x－1＝3可求解．
解：∵x＋x－1＝x＋＝3，∴x＞0.
(1)设，则＝x＋x－1＋2.
∵x＋x－1＝3，∴y2＝5.
又y＞0，∴y＝，即＝.
(2)设z＝x2＋x－2，则z＝(x＋x－1)2－2＝9－2＝7.
∴x2＋x－2＝7.
(3)x2－x－2＝(x＋x－1)(x－x－1)，
而(x－x－1)2＝x2－2＋x－2＝5，
∴x－x－1＝±.∴x2－x－2＝±3.
迁移与应用 1． 解析：
＝＝＝.
2．解：(1)∵，∴.
∴a＋2＋a－1＝9，∴a＋a－1＝7.又(a＋a－1)2＝49，
∴a2＋2＋a－2＝49.∴a2＋a－2＝47.
(2)＝＝.
∵＋b＝1，∴＝3.
【当堂检测】
1．C
2．D 解析：a2·a3＝a5；(－a2)3＝(－1)3·(a2)3＝－a6，而(－a3)2＝a6，∴在a≠0时(－a2)3≠(－a3)2；若a＝1，则(－1)0无意义，所以只有D正确．
3．C 解析：原式＝
＝.
4．8 解析：原式＝
＝·2－2＝＝23＝8.
5． 解析：102x－y＝＝＝＝.
