数学人教A必修1第三章3．1.1 方程的根与函数的零点
1．理解函数零点的定义，会求函数的零点．
2．掌握函数零点的判定方法．
3．理解函数的零点与方程的根的联系．
1．函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴的交点和相应方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的关系
函数图象
判别式符号 Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0
与x轴交点个数 ____ ____ ____
方程的根的个数 ____ ____ 0
【做一做1】 已知二次函数y＝x2－x－1，则使y＝0成立的实数x有( )．
A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个
2．函数的零点
(1)定义：对于函数y＝f(x)，我们把使______成立的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．
(2)几何意义：函数y＝f(x)的图象与________的交点的______就是函数y＝f(x)的零点．
(3)结论：方程f(x)＝0有______ 函数y＝f(x)的图象与x轴有______ 函数y＝f(x)有______．
并非所有的函数都有零点．例如，函数f(x)＝x2＋1，由于方程x2＋1＝0无实数根，故该函数无零点．
【做一做2－1】 已知函数y＝f(x)有零点，下列说法不正确的是( )．
A．f(0)＝0 B．方程f(x)＝0有实根
C．函数f(x)的图象与x轴有交点 D．函数f(x)的零点是方程f(x)＝0的根
【做一做2－2】 函数f(x)＝的零点是( )．
A．(1,0) B．0 C．1 D．0和1
3．函数零点的判定定理
条件 结论
函数y＝f(x)在[a，b]上 y＝f(x)在(a，b)内有零点
(1)图象是________的曲线
(2)f(a)f(b)____0
判断函数f(x)是否存在零点的方法有：
(1)方程法：判断方程f(x)＝0是否有解．
(2)图象法：判断函数y＝f(x)的图象与x轴是否有交点．
(3)定理法：利用零点的判定定理来判断．
【做一做3－1】 函数f(x)＝x2＋x－b2的零点个数是( )．
A．0 B．1 C．2 D．无数
【做一做3－2】 函数f(x)＝kx－2x在(0,1)上有零点，则实数k的取值范围是__________．
答案：1．2 1 0 2 1
【做一做1】 C 判别式Δ＝1＋4＝5＞0，则方程x2－x－1＝0有两个根，即使y＝0成立的实数x有2个．
2．(1)f(x)＝0 (2)x轴 横坐标 (3)实数根 交点 零点
【做一做2－1】 A
【做一做2－2】 C 令＝0，解得x＝1，则函数f(x)的零点是1.
3．(1)连续不断 (2)＜
【做一做3－1】 C ∵一元二次方程x2＋x－b2＝0的根的判别式Δ＝1＋4b2＞0，∴函数f(x)＝x2＋x－b2有2个零点．
【做一做3－2】 (2，＋∞) f(0)＝－1，f(1)＝k－2，由于f(0)·f(1)＜0，则－(k－2)＜0，故k＞2.
1．对零点判定定理的理解
剖析：(1)当函数y＝f(x)同时满足：①函数的图象在闭区间[a，b]上是连续曲线；②f(a)·f(b)＜0，则可以判断函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，但是不能明确说明有几个零点．
(2)当函数y＝f(x)的图象在闭区间[a，b]上不是连续曲线，或不满足f(a)·f(b)＜0时，函数y＝f(x)在区间[a，b]内可能存在零点，也可能不存在零点．
例如：二次函数f(x)＝x2－2x－3在区间[3,4]上有f(3)＝0，f(4)＞0，所以f(3)·f(4)＝0，但x＝3是函数f(x)的一个零点．
函数f(x)＝x2，在区间[－1,1]上，f(－1)·f(1)＝1＞0，但是它存在零点0.
函数f(x)＝在区间[－1,1]上，有f(－1)·f(1)＜0，但是由其图象知函数f(x)在区间(－1,1)内无零点．
2．函数的零点不是点
剖析：我们把使f(x)＝0成立的实数x叫做函数y＝f(x)的零点，因此函数的零点不是点，是函数y＝f(x)与x轴的交点的横坐标，即零点是一个实数．当函数的自变量取这一实数时，其函数值为零．函数f(x)的零点是方程f(x)＝0的实根，方程f(x)＝0有几个实根，函数f(x)就有几个零点．例如函数f(x)＝x＋1，当f(x)＝x＋1＝0成立时，x＝－1，所以函数f(x)＝x＋1有一个零点－1，由此可见函数f(x)＝x＋1的零点是一个实数－1，而不是一个点．
题型一 求函数的零点
【例1】 判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．
(1)f(x)＝－8x2＋7x＋1； (2)f(x)＝1＋log3x；
(3)f(x)＝4x－16； (4)f(x)＝.
分析：可通过解方程f(x)＝0求得函数的零点．
反思：(1)求函数的零点时，先考虑解方程f(x)＝0，方程f(x)＝0无实数根则函数无零点，方程f(x)＝0有实数根，则方程的实数根是函数的零点．
(2)本题(4)中容易错写成函数的零点是x1＝－6，x2＝2，其原因是没有验根．
题型二 判断函数零点的个数
【例2】 判断函数f(x)＝－的零点个数．
分析：转化为判断函数x与y＝图象交点的个数．
反思：当无法解方程f(x)＝0时，常用图象法判断函数f(x)的零点个数：
对于函数f(x)，如果能化为f(x)＝g(x)－h(x)的形式，其中函数g(x)和h(x)的图象能够画出来，那么在同一平面直角坐标系中画出函数g(x)和h(x)的图象，它们图象交点的个数就是函数f(x)的零点的个数．
题型三 判断函数零点所在的大致区间
【例3】 方程log3x＋x＝3的解所在的区间为( )．
A．(0,2) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4)
反思：判断方程的解所在的区间常转化为函数的零点问题，当方程f(x)＝0无法解出时，常用函数零点的判定定理来解决．
题型四 易混易错题
易错点 对函数零点的判定定理理解不透彻
【例4】 已知函数y＝f(x)的图象在闭区间[a，b]上为一条连续的曲线，且f(a)·f(b)＞0，则函数f(x)在(a，b)内( )．
A．肯定没有零点 B．至多有一个零点
C．可能有两个零点 D．以上说法均不正确
答案：【例1】 解：(1)令－8x2＋7x＋1＝0，
解得x＝－或x＝1.
所以函数的零点为x＝－和x＝1.
(2)令1＋log3x＝0，则log3x＝－1，解得x＝.
所以函数的零点为x＝.
(3)令4x－16＝0，则4x＝42，解得x＝2.
所以函数的零点为x＝2.
(4)因为f(x)＝＝，
令＝0，解得x＝－6.
所以函数的零点为x＝－6.
【例2】解：设，y2＝.
在同一平面直角坐标系中画出两个函数的图象，如图所示，
则函数和y2＝的图象仅有一个交点，所以函数f(x)＝x－有一个零点．
【例3】 C 构造函数，转化为确定函数的零点所在的区间．令f(x)＝log3x＋x－3，则f(1)＝log31＋1－3＝－2＜0，f(2)＝log32＋2－3＝log3＜0，f(3)＝log33＋3－3＝1＞0，f(4)＝log34＋4－3＝log312＞0，那么方程log3x＋x＝3的解所在的区间为(2,3)．
【例4】 错解：根据函数零点的判定定理可知，选A.
错因分析：当函数满足：函数在闭区间[a，b]上为一条连续的曲线，且f(a)·f(b)＜0时，函数在(a，b)内至少存在一个零点．但是若不满足上述条件中的任何一个，则函数未必不存在零点．
正解：不妨设y＝f(x)＝x2－1，区间[a，b]为[－2,2]，则f(－2)·f(2)＞0，但是y＝f(x)在区间(－2,2)内存在两个零点－1,1，则可以排除选项A，B，D，故选C.
1(2010·天津卷)函数f(x)＝ex＋x－2的零点所在的一个区间是( )．
A．(－2，－1) B．(－1,0) C．(0,1) D．(1,2)
2方程－x＝0的解有( )．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
3设x0是方程ln x＋x＝4的解，则x0所在的区间是( )．
A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4)
4 (2011·山东日照模拟)若函数f(x)＝，则函数g(x)＝f(4x)－x的零点是__________．
5求下列函数的零点：
(1)f(x)＝5x－3；
(2)f(x)＝；
(3)f(x)＝x7－2.
答案：1． C 因为f(－2)＝e－2－2－2＝－4＜0，f(－1)＝e－1－1－2＝－3＜0，f(0)＝e0＋0－2＝－1＜0，f(1)＝e1＋1－2＝e－1＞0，f(2)＝e2＋2－2＝e2＞0，所以函数f(x)的零点在(0,1)内．
2． B 设g(x)＝，h(x)＝x，在同一坐标系中，画出函数g(x)和h(x)的图象，如图所示，则g(x)和h(x)的图象仅有一个交点，则方程－x＝0仅有一个解．
3． C 设f(x)＝ln x＋x－4，则f(1)＝－3＜0，
f(2)＝ln 2－2＜0，f(3)＝ln 3－1＞0，
f(4)＝ln 4＞0，则x0(2,3)．
4. g(x)＝f(4x)－x＝－x.令－x＝0，解得x＝，则函数g(x)的零点是.
5．解：(1)令5x－3＝0，∴5x＝3.∴x＝log53，
即函数f(x)的零点是x＝log53.
(2)令＝0，解得x＝1，
即函数的零点是x＝1.
(3)令x7－2＝0，得x＝，
即函数f(x)的零点是x＝.数学人教A必修1第三章3．2.2 函数模型的应用实例
1．会利用已知函数模型解决实际问题．
2．能建立函数模型解决实际问题．
函数模型的应用
(1)用已知的函数模型刻画实际问题；
(2)建立恰当的函数模型，并利用所得函数模型解释有关现象，对某些发展趋势进行预测．其基本过程如图所示．
巧记函数建模过程：
收集数据，画图提出假设；
依托图表，理顺数量关系；
抓住关键，建立函数模型；
精确计算，求解数学问题；
回到实际，检验问题结果．
【做一做1－1】 一辆汽车的行驶路程s关于时间t变化的图象如图所示，那么图象所对应的函数模型是( )．
A．一次函数模型 B．二次函数模型
C．指数函数模型 D．对数函数模型
【做一做1－2】 已知大气压p(百帕)与海拔高度h(米)的关系式为，则海拔6 000米处的大气压为__________百帕．
答案：【做一做1－1】 A
【做一做1－2】 4.9 当h＝6 000米时，＝4.9(百帕)．
1．常用的函数模型
剖析：在实际问题中，常用的函数模型如下表所示.
函数模型 解析式
正比例函数模型 f(x)＝kx(k为常数，k≠0)
反比例函数模型 f(x)＝(k为常数，k≠0)
一次函数模型 f(x)＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)
二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
指数函数模型 f(x)＝abx＋c(a，b，c为常数，a≠0，b＞0，b≠1)
对数函数模型 f(x)＝mlogax＋n(m，n，a为常数，m≠0，a＞0，a≠1)
幂函数模型 f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0，n≠1)
2.在应用题中列出函数解析式的三种方法
剖析：解答应用题的实质是要转化题意，寻找所给条件中含有的相等关系，用等式把变量联系起来，然后再整理成函数的解析式的形式．常用的方法有：
(1)待定系数法：若题目给出了含参数的函数关系式，则可用待定系数法求出函数解析式中相关参数的值，从而得到确定的函数解析式．
(2)归纳法：先让自变量x取一些特殊值，计算出相应的函数值，从中发现规律；再推广到一般情形，从而得到函数解析式．
(3)方程法：用x，y表示自变量及其他相关的量，根据问题的实际意义，运用掌握的数学、物理等方面的知识，列出关于x，y的二元方程；把x看成常数，解方程得y(即函数关系式)，此种方法形式上和列方程解应用题类似，故称为方程法．
题型一 已知函数模型的应用题
【例1】 灌满开水的热水瓶放在室内，如果瓶内开水原来的温度是θ1度，室内气温是θ0度，t分钟后，开水的温度可由公式θ＝θ0＋(θ1－θ0)e－kt求得，这里，k是一个与热水瓶类型有关的正的常量．现有一只某种类型的热水瓶，测得瓶内水温为100 ℃，过1小时后又测得瓶内水温变为98 ℃.已知某种奶粉必须用不低于85 ℃的开水冲调，现用这种类型的热水瓶在早上六点灌满100 ℃的开水，问：能否在这一天的中午十二点用这瓶开水来冲调上述奶粉(假定该地白天室温为20 ℃)
分析：先用待定系数法来确定k的值，然后根据给出的时间列出方程，解出水的温度并与85 ℃相比，高于这个温度该热水瓶的水就可以用，否则不可以用．
题型二 建立函数模型的应用题
【例2】 某投资公司投资甲、乙两个项目所获得的利润分别是M(亿元)和N(亿元)，它们与投资额t(亿元)的关系有经验公式：M＝，N＝t.今该公司将用3亿元投资这两个项目，若设甲项目投资x亿元，投资这两个项目所获得的总利润为y亿元．
(1)写出y关于x的函数表达式；
(2)求总利润y的最大值．
分析：(1)总利润＝投资甲项目利润＋投资乙项目利润＝M＋N；(2)转化为求(1)中函数的最大值．
反思：当实际应用题中没有给出函数模型时，其解题步骤是：
第一步：认真读题，缜密审题，确切理解题意，明确问题的实际背景，找出题意中所蕴含的函数关系；
第二步：恰当地设未知数，列出函数解析式，将实际问题转化成函数问题，即实际问题函数化；
第三步：运用所学的数学知识和数学方法解答函数问题，得出函数问题的解；
第四步：将所得函数问题的解还原成实际问题的结论，要注意检验所得的结论是否符合实际问题的意义．
题型三 拟合函数模型的应用题
【例3】 为了估计山上积雪融化后对下游灌溉的影响，在山上建立了一个观察站，测量最大积雪深度x cm与当年灌溉面积y hm2.现有连续10年的实测资料，如下表所示．
年序 最大积雪深度x/cm 灌溉面积y/hm2
1 15.2 28.6
2 10.4 21.1
3 21.2 40.5
4 18.6 36.6
5 26.4 49.8
6 23.4 45.0
7 13.5 29.2
8 16.7 34.1
9 24.0 45.8
10 19.1 36.9
(1)描点画出灌溉面积y hm2随积雪深度x cm变化的图象；
(2)建立一个能基本反映灌溉面积变化的函数模型y＝f(x)，并画出图象；
(3)根据所建立的函数模型，若今年最大积雪深度为25 cm，则可以灌溉的土地面积是多少？
分析：首先根据表中数据作出散点图，然后通过观察图象来判断问题所适用的函数模型．
反思：对于此类的实际应用问题，关键是建立适当的函数关系式，再解决数学问题，最后验证并结合问题的实际意义作出回答；这个过程就是先拟合函数再利用函数解题．函数拟合与预测的一般步骤是：
(1)根据原始数据，绘出散点图．
(2)通过考察散点图，画出“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或拟合曲线．
(3)根据所学的函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式．
(4)利用函数关系式，根据条件对所给的问题进行预测，为决策和管理提供依据．
题型四 易混易错题
易错点 求函数最值时忽略了实际情况对函数定义域的限制
【例4】 如图所示，在矩形ABCD中，已知AB＝a，BC＝b(b＜a)，在AB，AD，CD，CB上分别截取AE，AH，CG，CF都等于x.
问：当x为何值时，四边形EFGH的面积最大？并求出最大面积．
反思：利用函数解决实际问题时，要遵循定义域优先的原则，即必须考虑到自变量的实际意义，否则会出现错解，如本题的错解．
答案：【例1】 解：根据题意，有98＝20＋(100－20)e－60k，
整理得e－60k＝.
利用计算器，解得k≈0.000 422.
故θ＝20＋80e－0.000 422t.
从早上六点至中午十二点共过去6小时，即360分钟．
当t＝360时，θ＝20＋80e－0.000 422×360＝20＋80e－0.151 92，
由计算器算得θ≈89 ℃＞85 ℃，
即能够在这一天的中午十二点用这瓶开水来冲调奶粉．
【例2】 解：(1)当甲项目投资x亿元时，获得利润为M＝(亿元)，此时乙项目投资(3－x)亿元，获得利润为N＝(3－x)(亿元)，则有y＝＋(3－x)，x∈[0,3]．
(2)令＝t，t∈[0，]，则x＝t2，
此时y＝t＋(3－t2)＝－(t－1)2＋.
∵t∈[0，]，∴当t＝1，即x＝1时，y有最大值为，
即总利润y的最大值是亿元．
【例3】 解：(1)描点作图如图甲：
(2)从图甲中可以看到，数据点大致落在一条直线附近，由此，我们假设灌溉面积y和最大积雪深度x满足线性函数模型y＝a＋bx(a，b为常数，b≠0)．
取其中的两组数据(10.4,21.1)，(24.0,45.8)，
代入y＝a＋bx，得
用计算器可算得a≈2.4，b≈1.8.
这样，我们得到一个函数模型y＝2.4＋1.8x.作出函数图象如图乙，可以发现，这个函数模型与已知数据的拟合程度较好，这说明它能较好地反映最大积雪深度与灌溉面积的关系．
(3)由y＝2.4＋1.8×25，求得y＝47.4，即当最大积雪深度为25 cm时，可以灌溉土地47.4 hm2.
【例4】 错解：设四边形EFGH的面积为S，
则S＝ab－2
＝－2x2＋(a＋b)x＝－22＋.
根据二次函数的性质可知，
当x＝时，S有最大值.
错因分析：错解中没有考虑所得二次函数的定义域，就直接利用二次函数的性质求解，从而导致出错．
正解：设四边形EFGH的面积为S，则
S＝ab－2＝－2x2＋(a＋b)x＝－22＋，x∈(0，b]．
因为0＜b＜a，所以0＜b＜.
当≤b，即a≤3b时，
当x＝时，S有最大值；
当＞b，即a＞3b时，
易知S(x)在(0，b]上是增函数，
所以当x＝b时，S有最大值ab－b2.
综上可得：当a≤3b，x＝时，S有最大值；当a＞3b，x＝b时，S有最大值ab－b2.
1小明的父亲饭后出去散步，从家中走20分钟到一个离家900米的报亭看10分钟报纸后，用20分钟返回家里，下面图形中能表示小明的父亲离开家的时间与距离之间的关系的是( )．
2在一次数学实验中，采集到如下一组数据：
x －2.0 －1.0 0 1.0 2.0 3.0
y 0.24 0.51 1 2.02 3.98 8.02
则x，y的函数关系与下列哪类函数最接近？(其中a，b为待定系数)( )．
A．y＝a＋bx B．y＝bx C．y＝ax2＋b D．y＝
3某物体一天中的温度T是时间t的函数：T(t)＝t3－3t＋60，时间单位是小时，温度单位是摄氏度(℃)．若t＝0为中午12时，中午12时之前，t取值为负，中午12时之后，t取值为正，则上午8时的温度是__________．
4桶1中开始有a L水，桶1中的水不断流入桶2，t min后，桶1中剩余的水符合指数衰减曲线y1＝ae－nt，那么桶2中的水就是y2＝a－ae－nt(n为常数)．假设5 min时，桶1和桶2中的水相等，再过______ min，桶1中的水只有 L.
5某工厂生产某种产品的固定成本为2 000万元，并且每多生产1个单位产品，成本增加10万元，又知总收入k是单位产品数Q的函数k(Q)＝40Q－Q2，求总利润L(Q)的最大值．
答案：1． D
2． B 画出散点图如图所示：
由散点图可知选项B正确．
3． 8 ℃ 上午8时，即t＝－4，T(－4)＝(－4)3－3×(－4)＋60＝8.
4． 10 因为5 min时，桶1和桶2中的水相等，
所以a·e－5n＝a－a·e－5n，
所以e－5n＝.令a·e－nt＝，
则e－nt＝＝＝e－15n，故有t＝15.
所以再过10 min，桶1中的水只有 L.
5．解：总利润L(Q)＝40Q－Q2－(10Q＋2 000)
＝ (Q－300)2＋2 500，
故当Q＝300时，总利润L(Q)的最大值为2 500万元．数学人教A必修1第三章3．2.1 几类不同增长的函数模型
1．利用计算工具，比较指数函数、对数函数以及幂函数的增长差异．
2．结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义．
1．四种函数模型的性质
做一做1－1】 函数y＝2x与y＝x2的图象的交点个数是( )．
A．0 B．1 C．2 D．3
【做一做1－2】 下列函数增长的速度最快的是( )．
A．y＝3x B．y＝log3x C．y＝x3 D．y＝3x
2．三种增长函数模型的比较
(1)指数函数和幂函数
一般地，对于指数函数y＝ax(a＞1)和幂函数y＝xn(n＞0)，通过探索可以发现，在区间(0，＋∞)上，无论n比a大多少，尽管在x的一定变化范围内，ax会小于xn，但由于ax的增长____于xn的增长，因此总存在一个x0，当x＞x0时，就会有ax____xn.
(2)对数函数和幂函数
对于对数函数y＝logax(a＞1)和幂函数y＝xn(n＞0)，在区间(0，＋∞)上，随着x的增大，logax增长得越来越慢，图象就像是渐渐地与x轴平行一样．尽管在x的一定变化范围内，logax可能会大于xn，但由于logax的增长____于xn的增长，因此总存在一个x0，当x＞x0时，就会有logax____xn.
(3)指数函数、对数函数和幂函数
在区间(0，＋)上，尽管函数y＝ax(a＞1)，y＝logax(a＞1)和y＝xn(n＞0)都是____函数，但它们增长的速度不同，而且不在同一个“档次”上，随着x的增大，y＝ax(a＞1)的增长速度越来越____，会超过并远远大于y＝xn(n＞0)的增长速度，而y＝logax(a＞1)的增长速度则会越来越慢，因此总存在一个x0，当x＞x0时，就会有________＜xn＜____.
【做一做2】 当x＞4时，a＝4x，b＝log4x，c＝x4，则有( )．
A．a＜b＜c B．b＜a＜c
C．c＜a＜b D．b＜c＜a
答案：1．增 增 增 增 快 慢
【做一做1－1】 D 作出两个函数的图象，在第一象限中有两个交点，在第二象限中有一个交点，即共有三个交点．
【做一做1－2】 A
2．(1)快 ＞ (2)慢 ＜ (3)增 快 logax ax
【做一做2】 D
几类常见函数模型的增长特点
剖析：(1)直线模型：即一次函数模型．现实生活中很多事例可以用直线模型表示，例如匀速直线运动的时间和位移的关系，弹簧的伸长与拉力的关系等．直线模型的增长特点是直线上升(x的系数k＞1)，通过图象可以很直观地认识它．
(2)指数函数模型：能用指数型函数表达的函数模型叫做指数函数模型．指数函数增长的特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快(底数a＞1)，常形象地称之为“指数爆炸”．通过细胞分裂的实例以及函数图象的变化都可以清楚地看到“指数爆炸”的威力．
(3)对数函数模型：能用对数函数表达的函数模型叫做对数函数模型．对数函数增长的特点是随着自变量的增大(底数a＞1)，函数值增大的速度越来越慢．
题型一 选择函数描述变化规律
【例1】 四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如下表：
x 1 5 10 15 20 25 30
y1 2 26 101 226 401 626 901
y2 2 32 1 024 32 768 1.05×106 3.36×107 1.07×109
y3 2 10 20 30 40 50 60
y4 2 4.322 5.322 5.907 6.322 6.644 6.907
关于x呈指数函数变化的变量是__________．
反思：选择函数描述变化规律时，当增长速度最快且呈“爆炸”式增长时，常选择指数函数模型来描述；当增长速度较慢时，常选择对数函数模型来描述；当增长速度相对平稳时，常选择幂函数模型来描述；当增长的速度不变时，常选择一次函数模型来描述．
题型二 体会指数函数的增长速度
【例2】 2011年3月11日13时46分(北京时间)，日本发生了里氏9.0级的大地震，同时引发了海啸．地震和海啸造成大量人员伤亡，震惊了全世界．世界各地纷纷捐款捐物．甲、乙、丙三个公司分别到慈善总会捐款给灾区，捐款方式如下：
甲公司：在10天内，每天捐款5万元给灾区；乙公司：在10天内，第1天捐款1万元，以后每天比前一天多捐款1万元；丙公司：在10天内，第1天捐款0.1万元，以后每天捐款都比前一天翻一番．
你觉得哪个公司最慷慨？
分析：分别计算三个公司在10天内的捐款总数，捐款总数越大的公司越慷慨．
反思：设第x天捐款y万元，则甲公司的捐款用函数y＝5描述，乙公司的捐款用函数y＝x描述，丙公司的捐款用函数y＝0.1×2x－1描述，函数y＝0.1×2x－1是指数型函数，其增长速度最快，属于“爆炸式”增长．
答案：【例1】 y2 以爆炸式增长的变量是呈指数函数变化的．从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2开始变化，变量y1，y2，y3，y4都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快，可知变量y2关于x呈指数函数变化．
【例2】 解：三个公司在10天内捐款情况如下表所示.
由上表可以看出，丙公司捐款最多，为102.3万元，即丙公司最慷慨．
1某公司为了适应市场需求对产品结构作了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后来增长越来越慢；若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与时间x的关系，可选用( )．
A．一次函数 B．二次函数
C．指数型函数 D．对数型函数
2若x(0,1)，则下列结论正确的是( )．
A．2x＞＞lg x B．2x＞lg x＞
C．＞2x＞lg x D．lg x＞＞2x
3每年的3月12日是植树节，全国各地在这一天都会开展各种形式、各种规模的义务植树活动．某市现有树木面积10万平方米，计划今后5年内扩大树木面积，有两种方案如下：
方案一：每年植树1万平方米；
方案二：每年树木面积比上年增加9%.
你觉得哪个方案较好？
答案：1． D
2． A 当0＜x＜1时，2x＞20＝1,0＜＝1，lg x＜lg 1＜0.故2x＞＞lg x.
3．解：方案一：5年后树木面积是10＋1×5＝15(万平方米)．
方案二：5年后树木面积是10(1＋9%)5≈15.386(万平方米)．∵15.386＞15，∴方案二较好．3.2 函数模型及其应用
3.2.1 几类不同增长的函数模型
问题导学
一、一次函数、二次函数或幂函数模型
活动与探究1
有甲、乙两种商品，经销这两种商品所能获得的利润依次是p万元和q万元，它们与投入的资金x万元的关系有经验公式：p＝x，q＝.现有资金9万元投入经销甲、乙两种商品，为了获取最大利润，问：对甲、乙两种商品的资金分别投入多少万元能获取最大利润？
迁移与应用
1．下列函数中，随着x的增大，增长速度最快的是( )
A．y＝x5＋10 B．y＝100x3
C．y＝ln(x＋1) D．y＝0.5ex－2
2．某文具店出售软皮本和铅笔，软皮本每本2元，铅笔每支0.5元．该店推出两种优惠办法：(1)买一本软皮本赠送一支铅笔；(2)按总价的92%付款．现要买软皮本4本，铅笔若干支(不少于4支)，若购买铅笔x支，支付款为y元，试分别建立两种优惠办法中y与x之间的函数关系式，并说明使用哪种优惠办法更合算？
(1)用函数模型解实际问题较为容易，一般情况下可以用“问什么，设什么，列什么”这一方法来处理．
(2)对于给出图象的关于一次函数或二次函数或幂函数的应用题，可以先利用函数的图象用待定系数法求出解析式，再反过来，用函数解析式来解决问题，最后再翻译成具体问题作出解答．
二、指数函数模型
活动与探究2
有一种储蓄按复利计算利息，本金为a元，每期利率为r，设本利和为y，存期为x，写出本利和y随存期x变化的函数式．如果存入本金1 000元，每期利率2.25%，试计算5期后的本利和是多少(精确到0.01元)
迁移与应用
1．已知大气压p(百帕)与海拔高度h(米)的关系式为p＝1 000·，则海拔6 000米处的大气压为______．
2．某个病毒经30分钟繁殖为原来的2倍，且已知病毒的繁殖规律为y＝ekt(其中k为常数，t表示时间，单位：小时，y表示病毒个数)，则k＝______，经过5个小时，1个病毒能繁殖为______个．
在实际问题中，指数函数模型如增长率问题、复利计算问题等较为常见，通过归纳法确定函数关系是解决此类问题常用的方法．
三、对数函数模型
活动与探究3
已知火箭的起飞重量M是箭体(包括搭载的飞行器)的重量m和燃料重量x之和．在不考虑空气阻力的条件下，假设火箭的最大速度y关于x的函数关系式为：y＝k[ln(m＋x)－ln(m)]＋4ln2(其中k≠0)．当燃料重量为(－1)m吨(e为自然对数的底数，e≈2.72)时，该火箭的最大速度为4 km/s.
(1)求火箭的最大速度y(km/s)与燃料重量x吨之间的函数关系式y＝f(x)；
(2)已知该火箭的起飞重量是544吨，则应装载多少吨燃料才能使该火箭的最大飞行速度达到8 km/s，顺利地把飞船发送到预定的轨道？
迁移与应用
1．里氏震级M的计算公式为：M＝lg A－lg A0，其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A0是相应的标准地震的振幅．假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1 000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为__________级；9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的__________倍．
2．燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，研究燕子的科学家发现，两岁的燕子的飞行速度可以表示为函数v＝5log2，单位是m/s，其中Q表示燕子的耗氧量．
(1)计算：燕子静止时的耗氧量是多少单位？
(2)当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？
直接以对数函数为模型的应用问题不是很多．此类问题一般是先给出对数函数模型，利用对数运算性质求解．
当堂检测
1．某公司市场营销部的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，其图象如图所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售时的收入是( )
A．310元 B．300元
C．290元 D．280元
2．某种动物繁殖数量y(只)与时间x(年)的关系为y＝alog2(x＋1)，设这种动物第一年有100只，到第7年它们发展到( )
A．300只 B．400只
C．500只 D．600只
3．1992年底世界人口数达到54.8亿，若人口的年平均增长率为x%，设2012年底世界人口数为y(亿)，那么y与x的函数解析式为( )
A．y＝54.8(1＋x%)20
B．y＝54.8(1＋x%)21
C．y＝54.8(x%)20
D．y＝54.8(x%)21
4．某汽车在同一时间内速度v(km/h)与耗油量Q(L)之间有近似的函数关系：Q＝0.002 5v2－0.4v＋24.5，则车速为__________km/h时，汽车的耗油量最少．
5．某种细菌在培养过程中，每15分钟分裂一次，由一个分裂成两个，这种细菌由一个分裂成4 096个需要经过的时间为______．
提示：用最精炼的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记.
答案：
课前预习导学
【预习导引】
1．上升 上升 上升
2．(1)增函数 增长速度 (2)越来越快 越来越慢 (3)logax＜xn＜ax
预习交流 提示：在区间(0，＋∞)上，有x2＞log2x.
又当x＞4时，总有2x＞x2，
∴x0的最小值为4.
课堂合作探究
【问题导学】
活动与探究1 思路分析：先设投入两种商品的资金额，列出所获得的总利润，通过求函数最值解答问题．
解：设对乙商品投入x万元，则对甲商品投入9－x万元．
设利润为y万元，x∈[0,9]．
∴y＝(9－x)＋＝(－x＋4＋9)
＝[－(－2)2＋13]，∴当＝2，
即x＝4时，ymax＝1.3.
所以，投入甲商品5万元，乙商品4万元时，能获得最大利润1.3万元．
迁移与应用 1．D
2．解：由优惠办法(1)得到的函数关系式为y＝0.5x＋6(x≥4且x∈N)，
由优惠办法(2)得到的函数关系式为y＝0.46x＋7.36(x≥4且x∈N)．
由0.5x＋6＜0.46x＋7.36，得x＜34.
所以，当购买铅笔数少于34支(不少于4支)时，优惠办法(1)合算；当购买铅笔数多于34支时，优惠办法(2)合算；当购买铅笔数是34支时，两种优惠办法一样．
活动与探究2 解：已知本金为a元：
1期后的本利和为y1＝a＋a×r＝a(1＋r)；
2期后的本利和为y2＝a(1＋r)＋a(1＋r)r＝a(1＋r)2；
3期后的本利和为y3＝a(1＋r)3；
……
x期后的本利和为y＝a(1＋r)x.
将a＝1 000(元)，r＝2.25%，x＝5代入上式，得y＝1 000×(1＋2.25%)5＝1 000×1.022 55.
由计算器算得y≈1 117.68(元)．
所以复利函数式为y＝a(1＋r)x,5期后的本利和约为1 117.68元．
迁移与应用 1．4.9百帕
2．2ln 2 1 024 解析：t＝时，y＝2，
∴2＝，即ek＝4，
∴k＝ln 4＝2ln 2，y＝4t.
∴当t＝5时，y＝45＝1 024.
活动与探究3 思路分析：根据所给条件求出k即得函数式；把m＋x＝544与y＝8代入函数式解方程即得x.
解：(1)依题意把x＝(－1)m，y＝4代入函数关系式y＝k[ln(m＋x)－ln(m)]＋4ln2，解得k＝8，所以所求的函数关系式为y＝8[ln(m＋x)－ln(m)]＋4ln2，整理得y＝ln8.
(2)设应装载x吨燃料方能满足题意，此时，m＝544－x，y＝8，代入函数关系式y＝ln8得ln＝1，解得x≈344.
即应装载344吨燃料方能顺利地把飞船发送到预定的轨道．
迁移与应用 1．6 10 000 解析：由lg 1 000－lg 0.001＝6，得此次地震的震级为6级．因为标准地震的振幅为0.001，设9级地震最大振幅为A9，则lg A9－lg 0.001＝9，解得A9＝106，同理5级地震最大振幅A5＝102，所以9级地震的最大振幅是5级地震的10 000倍．
2．解：(1)由题意知，当燕子静止时，它的速度v＝0，代入所给的公式可得：0＝5log2，
解得Q＝10.
即燕子静止时的耗氧量是10个单位．
(2)将耗氧量Q＝80代入所给的公式得：
v＝5log2＝5log28＝15(m/s)．
即当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度为15 m/s.
【当堂检测】
1．B 解析：由射线经过点(1,800)，(2,1 300)得其解析式为y＝500x＋300(x≥0)，∴当x＝0时，y＝300.
2．A 解析：由题意得，x＝1时，y＝100，
即100＝alog2(1＋1)，∴a＝100，
∴y＝100log2(x＋1)．
∴当x＝7时，y＝300.
3．A 解析：1993年底，人口数为54.8(1＋x%)；
1994年底，人口数为54.8(1＋x%)2；
1995年底，人口数为54.8(1＋x%)3；
……
∴到2012年底，人口数为54.8(1＋x%)20.
4．80 解析：Q＝0.002 5v2－0.4v＋24.5＝0.002 5(v－80)2＋8.5，所以当v＝80 km/h时，Qmin＝8.5(L)．
5．3小时 解析：设经过x个15分钟，该种细菌由一个分裂为4 096个，则2x＝4 096，x＝12.
所以共需＝3(小时)．3.2.2 函数模型的应用实例
问题导学
一、分段函数模型应用举例
活动与探究1
某公司生产一种电子仪器的固定成本为20 000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：
R(x)＝其中x是仪器的月产量．
(1)将利润表示为月产量的函数f(x)；
(2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？(总收益＝总成本＋利润)
迁移与应用
某商品在近30天内每件的销售价格P(元)与时间t(天)的函数关系式是P＝
该商品的日销售量Q(件)与时间t(天)的函数关系式是Q＝－t＋40,0＜t≤30，t∈N*.
(1)求这种商品的日销售金额y关于时间t的函数关系式；
(2)求这种商品的日销售金额y的最大值，并指出在近30天中的第几天取得该最大值．
求分段函数的最值时，要求出每一段上的最值，再比较这些最值，找出原函数的最小值或最大值．
二、自建函数模型应用举例
活动与探究2
要在墙上开一个上部为半圆，下部为矩形的窗户(如图)，在窗框为定长l的条件下，要使窗户透光面积最大，窗户应具有怎样的尺寸？
迁移与应用
有一批材料可建成200 m的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成3个面积相等的矩形(如图)，求围成的矩形场地的最大面积(围墙厚度不计)．
用函数有关的知识建立数学模型，需要做好以下几点：
(1)通过阅读、理解，明白问题讲的是什么，熟悉实际背景，为解题打开突破口．
(2)将实际问题的文字语言转化为数学的符号语言，用数学式子表达文字关系．
(3)在构建数学模型的过程中，对已知数学知识进行检索，从而认定或构建相应的数学模型．
三、数据拟合型函数的应用问题
活动与探究3
某个体经营者把开始六个月试销A，B两种商品的逐月投资与所获纯利润列成下表：
投资A种商品金额/万元 1 2 3 4 5 6
获纯利润/万元 0.65 1.39 1.85 2 1.84 1.40
投资B种商品金额/万元 1 2 3 4 5 6
获纯利润/万元 0.25 0.49 0.76 1 1.26 1.51
该经营者准备下月投入12万元经营这两种产品，但不知投入A，B两种商品各多少万元才合算．请你帮助制定一个资金投入方案，使得该经营者能获得最大利润，并按你的方案求出该经营者下月可获得的最大纯利润(结果保留两位有效数字)．
迁移与应用
为了估计山上积雪融化后对下游灌溉的影响，在山上建立了一个观察站，测量最大积雪深度x与当年灌溉面积y.现有连续10年的实测资料，如下表所示．
年序 最大积雪深度x/cm 灌溉面积y/公顷
1 15.2 28.6
2 10.4 21.1
3 21.2 40.5
4 18.6 36.6
5 26.4 49.8
6 23.4 45.0
7 13.5 29.2
8 16.7 34.1
9 24.0 45.8
10 19.1 36.9
(1)描点画出灌溉面积随最大积雪深度变化的图象；
(2)建立一个能基本反映灌溉面积变化的函数模型，并画出图象；
(3)根据所建立的函数模型，若今年最大积雪深度为25 cm，可以灌溉土地多少公顷？
对于此类实际应用问题，关键是建立适当的函数关系式，再解决数学问题，最后验证并结合问题的实际意义作出回答，这个过程就是先拟合函数模型，再利用函数解题．函数拟合与预测的一般步骤是：
(1)能够根据原始数据、表格，绘出散点图；
(2)通过考查散点图，画出“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或拟合曲线．如果所有实际点都落到了拟合直线或曲线上，滴“点”不漏，那么这将是件十分完美的事情，但在实际应用中，这种情况一般是不会发生的．因此，使实际点尽可能均匀分布在直线或曲线两侧，使两侧的点大体相等，得出的拟合直线或拟合曲线就是“最贴近”的了；
(3)根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式；
(4)利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，为决策和管理提供依据．
当堂检测
1．今有一组数据如下：
t 1.99 3.0 4.0 5.1 6.12
v 1.5 4.04 7.5 12 18.01
现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是( )
A．v＝log2t B．v＝3·2t－3
C．v＝ D．v＝2t－2
2．甲从A地到B地，途中前一半路程的行驶速度是v1，后一半路程的行驶速度是v2(v1＜v2)，则甲从A地到B地走过的路程s与时间t的关系图示为( )
3．某厂日产手套总成本y(元)与手套日产量x(副)的关系式为y＝5x＋4 000，而手套出厂价格为每副10元．该厂为了不亏本，日产手套至少为( )
A．200副
B．400副
C．600副
D．800副
4．如图所示，灌溉渠的横截面是等腰梯形，底宽2 m，边坡的倾角为45°，水深h m，则横截面中有水面积A m2与水深h m的函数关系式为__________________．
5．某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为：y＝
其中，x代表拟录用人数，y代表面试人数．若应聘的面试人数为60，则该公司拟录用人数为______．
提示：用最精炼的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记.
答案：
课前预习导学
【预习导引】
预习交流1 提示：(1)正比例函数模型：f(x)＝kx(k为常数，k≠0)；
(2)反比例函数模型：f(x)＝(k为常数，k≠0)；
(3)一次函数模型：f(x)＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)；
(4)二次函数模型：f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)；
(5)指数函数模型：f(x)＝abx＋c(a，b，c为常数，a≠0，b＞0，b≠1)；
(6)对数函数模型：f(x)＝mlogax＋n(m，n，a为常数，m≠0，a＞0，a≠1)；
(7)幂函数模型：f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0，n≠1)．
预习交流2 提示：选择函数模型时，要让函数的性质、图象与所解决的问题基本吻合．因而，在解答这类问题时，先根据已知数据画出散点图，再根据散点图猜想函数模型，通过待定系数法求模拟函数的解析式，最后通过数据验证．
课堂合作探究
【问题导学】
活动与探究1 思路分析：解答本题可由已知总收益＝总成本＋利润，知利润＝总收益－总成本．由于R(x)为分段函数，所以f(x)也要分段求出，将问题转化为分段函数求最值问题．
解：(1)设每月产量为x台，则总成本为(20 000＋100x)元，从而f(x)＝
(2)当0≤x≤400时，f(x)＝－(x－300)2＋25 000，
∴当x＝300时，f(x)有最大值25 000；
当x＞400时，f(x)＝60 000－100x是减函数．
f(x)＜60 000－100×400＜25 000.
∴当x＝300时，f(x)的最大值为25 000.
∴每月生产300台仪器时，利润最大，最大利润为25 000元．
迁移与应用 解：(1)这种商品的日销售金额y＝PQ.
∴当0＜t＜25时，
y＝PQ＝(t＋20)(－t＋40)＝－t2＋20t＋800；
当25≤t≤30时，
y＝PQ＝(－t＋100)(－t＋40)＝t2－140t＋4 000.
∴y＝
(2)当0＜t＜25时，y＝－t2＋20t＋800＝－(t－10)2＋900，
即t＝10时，y取最大值900.
当25≤t≤30时，y＝t2－140t＋4 000＝(t－70)2－900.
∴y＝(t－70)2－900在[25,30]上是减函数，
∴t＝25时，y取最大值1 125.
所以，日销售金额的最大值为1 125元，在最近30天中的第25天日销售额最大．
活动与探究2 思路分析：设出半圆的直径为x，用x表示出矩形的长和宽，进而用x及l表示出窗户的面积，再求关于x的函数的最大值即可．
解：设半圆的直径为x，矩形的宽为y，窗户透光面积为S，则窗框总长l＝x＋x＋2y，
∴y＝.
∴S＝x2＋xy＝x2＋x·
＝－2＋.
由得
S＝f(x)的定义域为x∈.
当x＝时，Smax＝，此时y＝＝，
所以，当窗户的矩形的宽等于半圆的半径时，窗户透光面积最大．
迁移与应用 解：设场地宽为x m，则场地长为(200－4x) m，
场地面积为S＝x(200－4x)＝－4(x－25)2＋2 500(0＜x＜50)．
∴x＝25时，S有最大值为2 500.
故围成的矩形场地的最大面积是2 500 m2.
活动与探究3 思路分析：画出散点图，根据图象确定拟合函数．利用待定系数法求出函数解析式，利用函数求最值．
解：以投资额为横坐标，纯利润为纵坐标，在平面直角坐标系中画出散点图，如图所示．
观察散点图可以看出，A种商品所获纯利润y与投资额x之间的变化规律可以用二次函数模型进行模拟，如图(1)所示．
取(4,2)为最高点，则y＝a(x－4)2＋2，再把点(1，0.65)代入，得0.65＝a(1－4)2＋2，解得a＝－0.15，
所以y＝－0.15(x－4)2＋2.
B种商品所获纯利润y与投资额x之间的变化规律是线性的，可以用一次函数模型进行模拟，如图(2)所示．
设y＝kx＋b，取点(1,0.25)和(4,1)代入，
得解得
所以y＝0.25x.
即前六个月所获纯利润y关于月投资A种商品的金额x的函数关系式是y＝－0.15(x－4)2＋2；前六个月所获纯利润y关于月投资B种商品的金额x的函数关系式是y＝0.25x.
设下月投入A，B两种商品的资金分别为xA，xB(万元)，总利润为W(万元)，那么
所以W＝－0.15(xA－)2＋0.15×()2＋2.6.
当xA＝≈3.2(万元)时，W取最大值，约为4.1万元，此时xB＝8.8(万元)．
即该经营者下月把12万元中的3.2万元投资A种商品，8.8万元投资B种商品，可获得最大利润约为4.1万元．
迁移与应用 解：(1)描点作图如下：
(2)从图(甲)中可以看到，数据点大致落在一条直线附近，由此，我们假设灌溉面积y和最大积雪深度x满足线性函数模型y＝a＋bx.
取其中的两组数据(10.4,21.1)，(24.0,45.8)，代入y＝a＋bx，得
用计算器计算可得a≈2.4，b≈1.8.
这样，我们得到一个函数模型：y＝2.4＋1.8x.作出函数图象如图(乙)，可以发现，这个函数模型与已知数据的拟合程度较好，这说明它能较好地反映最大积雪深度与灌溉面积的关系．
(3)由y＝2.4＋1.8×25，解得y＝47.4，即当最大积雪深度为25 cm时，可以灌溉土地47.4公顷．
【当堂检测】
1．C 解析：分别将t代入计算，函数v＝最符合．
2．B 解析：∵v1＜v2，∴前半段路程用的时间长．
3．D 解析：该厂所获得的利润为f(x)＝10x－y＝10x－(5x＋4 000)＝5x－4 000.
由f(x)≥0，得5x－4 000≥0，解得x≥800.
4．A＝h2＋2h(h＞0) 解析：关键是求梯形上底．
由已知得梯形上底为(2＋2h) m，
所以A＝[2＋(2＋2h)]h＝h2＋2h(h＞0)．
5．25 解析：令y＝60，若4x＝60，则x＝15＞10，不合题意；
若2x＋10＝60，则x＝25，满足题意；
若1.5x＝60，则x＝40＜100，不合题意．
故拟录用人数为25.3.1.2 用二分法求方程的近似解
问题导学
一、用二分法求函数零点的近似值
活动与探究1
求函数f(x)＝x3＋2x2－3x－6的一个正数零点(精确度0.1)．
迁移与应用
1．用二分法求函数f(x)＝3x－x－4的一个零点，其参考数据如下：
f(1.600 0)＝0.200 f(1.587 5)＝0.133 f(1.575 0)＝0.067
f(1.562 5)＝0.003 f(1.556 25)＝－0.029 f(1.550 0)＝－0.060
据此数据，可得f(x)＝3x－x－4的一个零点的近似值(精确度0.01)为________．
2．用二分法求方程f(x)＝0在[1,2]上的近似解时，经计算f(1.687 5)＜0，f(1.718 75)＞0，可得出方程的一个近似解为__________．(精确度0.1)
3．用二分法求函数f(x)＝x3－x－1在区间[1,1.5]内的一个零点(精确度0.01)．
(1)用二分法求函数零点的近似值，首先要选好选准计算的初始区间，这个区间既要符合条件，又要尽量使其长度小，其次要依据给定的精确度及时检验计算中得到的区间是否满足这一精确度，以决定是停止计算还是继续计算．
(2)求方程f(x)＝0的近似解，可转化为求函数f(x)的零点，再按照二分法求函数零点近似值的步骤求解．
二、二分法的综合应用
活动与探究2
求的近似值．(精确度0.01)
迁移与应用
求的近似值(精确度0.1)．
用二分法求一些无理数的近似值时，首先要将其转化为方程的解或函数的零点问题，再按求函数零点或方程解的方法求解．
三、二分法的实际应用
活动与探究3
某县A地到B地的电话线路发生故障，这是一条10 km长的线路，每隔50 m有一根电线杆，如何迅速查出故障所在？
迁移与应用
一物品的价格在0～100之间，如果让我们猜该物品的价格，最多猜多少次就可使误差小于2元？
二分法的思想在实际生活中应用十分广泛，在电线线路、自来水管道、煤气管道等铺设线路比较隐蔽的故障排除方面有着重要的作用．方法是：每次取问题所在范围的中点，使范围减半，以达到快速解决问题的目的．
当堂检测
1．下列图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点的是( )
2．用二分法求函数f(x)＝x3＋5的零点可以取的初始区间是( )
A．[－2,1] B．[－1,0]
C．[0,1] D．[1,2]
3．用二分法求方程x2＝x－2的近似解时，所取的初始区间可以是( )
A．(0,1) B．(1,2)
C．(2,3) D．(3,4)
4．若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值的参考数据如下：
f(1)＝－2 f(1.5)＝0.625 f(1.25)＝－0.984
f(1.375)＝－0.260 f(1.437 5)＝0.162 f(1.406 25)＝－0.054
那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根(精确度0.1)为________．
5．一块电路板的线路AB之间有64个串联的焊接点(如图所示)，如果线路不通的原因是由于焊口脱落所致，要想检验出哪一处的焊口脱落，则至多需要检测________次．
提示：用最精炼的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记.
答案：
课前预习导学
【预习导引】
1．连续不断 f(a)·f(b)＜0 一分为二 逐步逼近零点
预习交流1 提示：不能．一个函数能用二分法求其零点需满足两个条件：一是函数图象在零点附近是连续不断的，二是该零点左右的函数值异号．
2．(1)f(a)·f(b)＜0 (3)①c就是函数的零点 ②(a，c) ③(c，b)
预习交流2 (1)提示：根据方程f(x)＝0的解与函数y＝f(x)的零点的关系，求方程f(x)＝0的近似解就是求函数y＝f(x)的近似零点．所以可以按求函数y＝f(x)的近似零点的步骤来求方程f(x)＝0的近似解．
(2)提示：精确度ε是指零点所在区间[a，b]满足|a－b|＜ε，并不是零点近似值精确到ε.
课堂合作探究
【问题导学】
活动与探究1 思路分析：由于要求的是函数的一个正数零点，因此可考虑首先确定一个包含正数零点的区间，如f(0)＝－6＜0，f(1)＝－6＜0，f(2)＝4＞0，故可以取区间[1,2]为计算的初始区间(当然[0,2]也可以)，然后用二分法求零点．
解：由于f(1)＝－6＜0，f(2)＝4＞0，可取区间[1,2]作为计算的初始区间，用二分法逐次计算，列表如下：
区间 中点的值 中点函数近似值
[1,2] 1.5 －2.625
[1.5,2] 1.75 0.234 4
[1.5,1.75] 1.625 －1.302 7
[1.625,1.75] 1.687 5 －0.561 8
[1.687 5,1.75] 1.718 75 －0.170 7
由上表计算可知，区间[1.687 5,1.75]的长度为1.75－1.687 5＝0.062 5＜0.1，所以可将1.687 5作为函数零点的近似值．
迁移与应用 1．1.562 5 解析：由参考数据知，f(1.562 5)＝0.003＞0，f(1.556 25)＝－0.029＜0，即f(1.562 5)·f(1.556 25)＜0，且1.562 5－1.556 25＝0.006 25＜0.01，∴f(x)＝3x－x－4的一个零点的近似值可取为1.562 5.
2．1.687 5
3．解：经计算f(1)＜0，f(1.5)＞0，所以函数在[1,1.5]内存在零点x0.
取(1,1.5)的中点x1＝1.25，经计算f(1.25)＜0，因为f(1.5)·f(1.25)＜0，所以x0∈(1.25,1.5)．
如此继续下去，得到函数的一个零点所在的区间，如下表：
(a，b) (a，b)的中点 f(a) f(b) f()
(1,1.5) 1.25 f(1)＜0 f(1.5)＞0 f(1.25)＜0
(1,25,1.5) 1.375 f(1.25)＜0 f(1.5)＞0 f(1.375)＞0
(1.25,1.375) 1.3125 f(1.25)＜0 f(1.375)＞0 f(1.312 5)＜0
(1.3125,1.375) 1.343 75 f(1.312 5)＜0 f(1.375)＞0 f(1.343 75)＞0
(1.312 5,1.343 75) 1.328 125 f(1.312 5)＜0 f(1.343 75)＞0 f(1.328 125)＞0
(1.312 5,1.328 125) 1.320 312 5 f(1.312 5)＜0 f(1.328 125)＞0 f(1.320 312 5)＜0
因为|1.328 125－1.320 312 5|＝0.007 812 5＜0.01，所以函数f(x)＝x3－x－1的一个精确度为0.01的近似零点可取为1.328 125.
活动与探究2 思路分析：可以看作是方程x3＝2的解，故可用二分法求出方程的近似解，即求函数f(x)＝x3－2的零点，即为的近似值．
解：设x＝，则x3＝2，即x3－2＝0，令f(x)＝x3－2，则函数f(x)的零点的近似值就是的近似值，以下用二分法求其零点：
由f(1)＝－1＜0，f(2)＝6＞0，故可以取区间[1,2]为计算的初始区间．
用二分法逐次计算，列表如下：
区间 中点值 中点函数近似值
(1,2) 1.5 1.375
(1,1.5) 1.25 －0.046 9
(1.25,1.5) 1.375 0.599 6
(1.25,1.375) 1.312 5 0.261 0
(1.25,1.312 5) 1.281 25 0.103 3
(1.25,1.281 25) 1.265 625 0.027 3
(1.25,1.265 625) 1.257 812 5 －0.01
(1.257 812 5,1.265 625)
∵1.265 625－1.257 812 5＝0.007 812 5＜0.01，
∴函数f(x)＝x3－2的近似零点为1.257 812 5，
即的近似值为1.257 812 5.
迁移与应用 解：设x＝，则x2＝5，即x2－5＝0，
令f(x)＝x2－5.
因为f(2.2)＝－0.16＜0.
f(2.4)＝0.76＞0，
所以f(2.2)·f(2.4)＜0，
说明这个函数在区间(2.2,2.4)内有零点x0，
取区间(2.2,2.4)的中点x1＝2.3，则f(2.3)＝0.29.
因为f(2.2)·f(2.3)＜0，
∴x0∈(2.2,2.3)
再取区间(2.2,2.3)的中点x2＝2.25，
f(2.25)＝0.062 5.
因为f(2.2)·f(2.25)＜0，
所以x0∈(2.2,2.25)．
由于|2.25－2.2|＝0.05＜0.1，
所以的近似值可取为2.25.
活动与探究3 思路分析：可以利用二分法的思想查出故障所在．
解：如图，可首先从中点C开始查起，用随身携带的工具检查，若发现AC段正常，断定故障在BC段，
再到BC段的中点D检查，若CD段正常，则故障在BD段，再到BD段的中点E检查，如此这般，每检查一次就可以将待查的线路长度缩短一半，经过7次查找，即可将故障范围缩小到50～100 m之间，即可较快找到故障所在．
迁移与应用 解：第一次取中点，误差最大为50；第二次再取物品价格所在区间的中点，误差最大为25；第三次取中点，误差最大为12.5；第四次取中点，误差最大为6.25，第五次取中点，误差最大为3.125，第六次取中点，误差最大为1.6，满足要求．所以最多猜六次即可达到要求．
【当堂检测】
1．A
2．A 解析：∵f(－2)＝－8＋5＝－3＜0，f(1)＝1＋5＝6＞0，∴初始区间可为[－2,1]．
3．B 解析：设f(x)＝x2－x－2，则f(0)＝－4＜0，f(1)＝1－2＝－1＜0，f(2)＝4－1＝3＞0，f(3)＝＞0，f(4)＝＞0，∴f(x)在(1,2)内有零点，即方程x2＝x－2的解在(1,2)内．
4．1.437 5
5．6 解析：第1次取中点把焊点数减半为＝32(个)，第2次取中点把焊点数减半为＝16(个)，第3次取中点把焊点数减半为＝8(个)，第4次取中点把焊点数减半为＝4(个)，第5次取中点把焊点数减半为＝2(个)，第6次取中点把焊点数减半为＝1(个)，所以至多需要检测的次数是6.3.1 函数与方程
3.1.1 方程的根与函数的零点
问题导学
一、求函数的零点
活动与探究1
判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出：
(1)f(x)＝；(2)f(x)＝x2＋2x＋4；
(3)f(x)＝2x－3；(4)f(x)＝1－log3x.
迁移与应用
1．函数f(x)＝x2－2x的零点是______，函数f(x)＝x3－1的零点是______．
2．若函数f(x)＝x2＋x－a的一个零点是－3，求实数a的值，并求函数f(x)其余的零点．
求函数f(x)的零点时，通常转化为解方程f(x)＝0.若方程f(x)＝0有实数根，则函数f(x)存在零点，该方程的根就是函数f(x)的零点；否则，函数f(x)不存在零点．
二、判断函数零点所在区间
活动与探究2
函数f(x)＝ln x－的零点的大致区间是( )
A．(1,2) B．(1，)和(3,4)
C．(2,3) D．(e，＋∞)
迁移与应用
1．函数f(x)＝lg x－的零点所在的大致区间是( )
A．(6,7) B．(7,8)
C．(8,9) D．(9,10)
2．根据表格中的数据，可以判定方程ex－x－2＝0的一个根所在的最小区间为______．
x －1 0 1 2 3
ex 0.37 1 2.72 7.39 20.09
x＋2 1 2 3 4 5
判断函数零点所在的区间，可先画出图象，找到零点的大致位置，再利用零点存在性定理找出零点所在区间．
三、零点个数的判断
活动与探究3
判断函数f(x)＝x－3＋ln x的零点的个数．
迁移与应用
1．对于函数f(x)，若f(－1)·f(3)＜0，则( )
A．方程f(x)＝0一定有实数解
B．方程f(x)＝0一定无实数解
C．方程f(x)＝0一定有两实根
D．方程f(x)＝0可能无实数解
2．函数f(x)＝x－的零点的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
3．若函数f(x)＝x2－ax＋a只有一个零点，则实数a的值是______．
判断函数f(x)＝g(x)－h(x)零点个数的方法主要有：
(1)解方程f(x)＝0，方程f(x)＝0解的个数就是函数f(x)零点的个数．
(2)直接作出函数f(x)的图象，图象与x轴交点的个数就是函数f(x)零点的个数．
(3)化函数的零点个数问题为方程g(x)＝h(x)的解的个数问题，在同一坐标系下作出y＝g(x)和y＝h(x)的图象，利用图象判定方程根的个数．
(4)若证明一个函数的零点唯一，也可先由零点存在性定理判断出函数有零点，再证明该函数在定义域内单调．
当堂检测
1．y＝2x－1的图象与x轴的交点坐标及其零点分别是( )
A．
B．
C． －
D． －
2．已知函数y＝f(x)是偶函数，其部分图象如图所示，则这个函数的零点至少有( )
A．2个
B．3个
C．4个
D．不确定
3．函数f(x)＝lg x＋x有零点的区间是( )
A．(1,2) B．(0,1)
C．(－1,0) D．(1,3)
4．函数f(x)＝x2－ax－b的两个零点是2,3，则a＝______，b＝______.
5．方程2|x|＋x＝2的实根的个数为__________．
提示：用最精炼的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记.
答案：
课前预习导学
【预习导引】
1．使f(x)＝0的实数x
预习交流1 提示：函数的零点不是点，是一个实数；由函数的零点定义可知，求函数的零点可通过解方程f(x)＝0得到．
2．有实数根 与x轴有交点 有零点
预习交流2 提示：函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根，也就是函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标．所以，函数y＝f(x)的图象与x轴有几个交点，函数y＝f(x)就有几个零点，方程f(x)＝0就有几个解．
3．连续不断 f(a)f(b)＜0 有零点 f(c)＝0
预习交流3 (1)提示：不一定．如f(x)＝x3－x，在区间[－2,2]上有f(2)·f(－2)＜0，但f(x)在(－2,2)内有三个零点－1,0,1；如f(x)＝x＋1，在区间[－2,0]上有f(－2)·f(0)＜0，在(－2,0)内只有一个零点－1.
(2)提示：y＝f(x)在(a，b)内也可能有零点．如f(x)＝x2－1，在区间[－2,2]上有f(－2)f(2)＞0，但在(－2,2)内有两个零点－1,1.
课堂合作探究
【问题导学】
活动与探究1 思路分析：解方程f(x)＝0，所得方程的解便是函数的零点．
解：(1)令＝0，解得x＝－3，
所以函数f(x)＝的零点是－3.
(2)令x2＋2x＋4＝0，由于Δ＝22－4×4＝－12＜0，
所以方程x2＋2x＋4＝0无解，
所以函数f(x)＝x2＋2x＋4不存在零点．
(3)令2x－3＝0，解得x＝log23，
所以函数f(x)＝2x－3的零点是log23.
(4)令1－log3x＝0，解得x＝3，
所以函数f(x)＝1－log3x的零点是3.
迁移与应用 1．0,2 1
2．解：由题意知f(－3)＝0，即(－3)2－3－a＝0，a＝6.
∴f(x)＝x2＋x－6.
解方程x2＋x－6＝0，得x＝－3或2.
∴函数f(x)其余的零点是2.
活动与探究2 思路分析：先根据图象判断零点的个数，再利用零点的存在性定理判断零点所在的大致区间．
C 解析：先根据函数g(x)＝ln x与h(x)＝的图象只有一个交点，说明函数f(x)＝ln x－只有一个零点．
∵f(1)＝－2＜0，f(2)＝ln 2－1＜0，
∴在(1,2)内，函数f(x)无零点；
又f(3)＝ln 3－＞0，∴f(2)·f(3)＜0.
∴f(x)＝ln x－在(2,3)内有一个零点．
迁移与应用 1．D 解析：f(6)＝lg 6－＝lg 6－＜0，f(7)＝lg 7－＜0，f(8)＝lg 8－＜0，f(9)＝lg 9－1＜0，f(10)＝lg 10－＝＞0，
∴f(9)f(10)＜0，所以函数f(x)在(9,10)内有零点．
2．(1,2) 解析：方程ex－x－2＝0的根就是函数f(x)＝ex－x－2的零点．
又f(1)＝2.72－3＝－0.28＜0，f(2)＝7.39－4＝3.39＞0，∴f(1)f(2)＜0.
∴函数f(x)在(1,2)内有零点，即方程ex－x－2＝0在(1,2)内有根．
活动与探究3 思路分析：构造函数y＝ln x和函数y＝－x＋3，从而将原问题转化为判断这两个函数图象交点的个数问题．也可利用函数的单调性借助函数零点的存在性定理来判断．
解法一：在同一平面直角坐标系中画出函数y＝ln x，y＝－x＋3的图象，如图所示．
由图可知函数y＝ln x，y＝－x＋3的图象只有一个交点，即函数f(x)＝x－3＋ln x只有一个零点．
解法二：因为f(3)＝ln 3＞0，f(2)＝－1＋ln 2＝ln＜0，所以f(3)·f(2)＜0，说明函数f(x)＝x－3＋ln x在区间(2,3)内有零点．
又f(x)＝x－3＋ln x在(0，＋∞)上是增函数，所以原函数只有一个零点．
迁移与应用 1．D 解析：函数f(x)的图象不一定连续，所以方程f(x)＝0不一定有解．
2．C 解析：令f(x)＝0，即x－＝0，x2＝4，
∴x＝±2.
3．0或4 解析：函数f(x)＝x2－ax＋a只有一个零点，就是一元二次方程x2－ax＋a＝0有两个相等实根，∴Δ＝(－a)2－4a＝0，a＝0或4.
【当堂检测】
1．B 解析：函数的零点是函数图象与x轴交点的横坐标．
2．C 解析：由图象知，函数y＝f(x)已经有两个正的零点．又偶函数的图象关于y轴对称，所以一定还有两个负的零点，所以该函数的零点至少有4个．
3．B 解析：∵f＝lg ＋＝－1＋＜0，f(1)＝lg 1＋1＝1＞0，
∴函数f(x)在内有零点．故选B.
4．5 －6 解析：由题意知2,3是方程x2－ax－b＝0的两个解．由根与系数的关系知a＝5，b＝－6.
5．2 解析：由2|x|＋x＝2得2|x|＝2－x.
所以方程2|x|＋x＝2的实根的个数就是函数f(x)＝2|x|与g(x)＝2－x图象交点的个数．在同一坐标系中作出函数f(x)与g(x)的图象(略)，由图知，两个函数的图象有两个交点，即原方程有两个实数解．
