宁夏回族自治区青铜峡市宁朔县中2022-2023学年高二上学期8月开学考试数学试题（Word版含解析）

宁朔县中2022-2023学年高二上学期8月开学考试
数学试题
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）
1．不等式的解集是 ( )
A． B． C． D．
2．已知圆锥的表面积为3π，它的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的体积为（　　）
A． B． C． D．
3．在数列中，，，若，则（ ）
A．671 B．672 C．673 D．674
4．已知数列是等比数列，若则的值为( )
A．4 B．4或-4 C．2 D．2或-2
5．的内角的对边分别为，若，则( )
A． B． C． D．
6．如图直角是一个平面图形的直观图，斜边，
则原平面图形的面积（ ）
A． B． C．4 D．
7．棱台的上、下底面面积分别是2，4，高为3，则棱台的体积等于（ ）
A． B． C． D．6
8．若棱长为的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
9．已知四面体中，，分别是，的中点，若，，，则与所成角的度数为 ( )
A． B． C． D．
10．已知实数，满足不等式组，则的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
11．若数列{xn}满足lg xn＋1＝1＋lg xn(n∈N＋)，且x1＋x2＋x3＋…＋x100＝100，则lg(x101＋x102＋…＋x200)的值为( 　　)
A．102 B．101 C．100 D．99
12．牟合方盖是由我国古代数学家刘徽首先发现并采用的一种用于计算球体体积的方法，该方法不直接给出球体的体积，而是先计算牟合方盖的体积.刘徽通过计算，“牟合方盖”的体积与球的体积关系为，并且推理出了“牟合方盖”的八分之一的体积计算公式，即，从而计算出.如果记所有棱长都为的正四棱锥的体积为，则（ ）
A． B．1 C． D．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）
13．已知，且，则的最小值为_________ .
14．在等差数列中，若，则________．
15．在中，设三个内角，，所对的边分别为，，，且，，，则的面积为________.
16．如图，过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，所得截面圆的面积与球的表面积之比为________．
三、解答题（本大题共6个小题，其中17题为10分，其它小题为12分，共70分）
17．已知数列的前项和．
（1）求的通项公式； （2）求数列的前项和．
18．（1）已知一元二次不等式的解集为，求不等式的解集；
（2）若不等式在实数集R上恒成立，求m的范围.
19．的内角的对边分别为，.
（1）求；
（2）若，的面积为，求.
20．如图，三棱柱的侧棱与底面垂直，，，，，点是的中点.
（1）求证：平面.
（2）求证：；
21．已知公比大于0的等比数列的前项和为，，是和的等差中项.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
22．如图，在三棱锥中，底面ABC，，，点D为线段AC的中点，点E为线段PC上一点．
(1)求证：平面平面PAC；
(2)当平面BDE时，求三棱锥的体积
参考答案：
1．C
【分析】直接根据一元二次不等式的解法求解即可.
【详解】不等式对应的方程为，
即，
解得方程的根为或，
不等式的解集为，
即不等式的解集为，故选C.
【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解法，属于简单题.
2．C
【分析】求出圆锥的底面半径和圆锥的母线长与高，再计算圆锥的体积．
【详解】解：设圆锥的底面半径为r，圆锥的母线长为l，
由，得，
又，
所以，解得；
所以圆锥的高为，
所以圆锥的体积为．
故选：C．
3．D
【分析】分析得到数列是以1为首项，3为公差的等差数列，利用等差数列通项即得解.
【详解】∵，，
∴
∴数列是以1为首项，3为公差的等差数列，
∴，解得.
故选：D.
4．A
【分析】设数列{an}的公比为q，由等比数列通项公式可得q4＝16，由a3＝a1q2，计算可得．
【详解】因
故选A
【点睛】本题考查等比数列的性质以及通项公式，属于简单题．
5．A
【分析】由余弦定理可求出，再求.
【详解】由余弦定理可得，
又，所以. 故选A.
【点睛】本题考查余弦定理.，，，对于余弦定理，一定要记清公式的形式.
6．A
【解析】根据斜二测画法规则可求原平面图形三角形的两条直角边长度，利用三角形的面积公式即可求解.
【详解】由题意可知为等腰直角三角形，，
则，所以原图形中，，，
故原平面图形的面积为.
故选：A
7．C
【分析】依题意直接利用台体体积的计算公式即得结果.
【详解】依题意，棱台的上底面面积，下底面面积，高为，
故由公式可知，棱台的体积是，
故选：C.
8．C
【分析】求出正方体的体对角线的一半，即为球的半径，利用球的表面积公式，即可得解.
【详解】这个球是正方体的外接球，其半径等于正方体的体对角线的一半，
即，
所以，这个球的表面积为.
故选：C.
【点睛】本题考查正方体的外接球的表面积的求法，求出外接球的半径是本题的解题关键，属于基础题.求多面体的外接球的面积和体积问题，常用方法有：（1）三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；（2）直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行，借助球的对称性，球心为上下底面外接圆的圆心连线的中点，再根据勾股定理求球的半径；（3）如果设计几何体有两个面相交，可过两个面的外心分别作两个面的垂线，垂线的交点为几何体的球心.
9．D
【解析】取中点，连接，可得异面直线所成的角（或其补角），然后在三角形中求解．
【详解】如图，取中点，连接，∵，分别是，的中点，∴，
∴异面直线与所成角是（或其补角）．
∵，，
∴，又，∴，∴，
∴异面直线与所成角90°．
故选：D.
【点睛】本题考查求异面直线所成的角，解题关键是利用定义作出这个角，注意必要的证明，然后在三角形中求解．
10．B
【分析】画出可行域，找到最优解，得最值.
【详解】画出不等式组对应的可行域如下：
平行移动直线，当直线过点时，
.
故选：B.
11．A
【详解】 由，得，
所以数列是公比为的等比数列，
又，
所以，
所以，故选A．
12．C
【分析】计算出，，即可得出结论.
【详解】由题意，，
所有棱长都为的正四棱锥的体积为，
，
故选：．
13．6
【分析】根据基本不等式，即可求解.
【详解】解：∵
∴，（当且仅当，取“=”）
故答案为：6.
14．
【分析】根据等差数列下标和性质计算可得；
【详解】解：在等差数列中，因为，
又
所以，解得；
故答案为：
15．
【分析】先利用余弦定理求出,再根据三角形面积公式求面积即可.
【详解】由,,,利用余弦定理有,
即,因为，所以
故面积.
故答案为
【点睛】本题主要考查简单的余弦定理与三角形面积公式,属于基础题型.
16．
【分析】求出截面圆半径后可得面积比．
【详解】截面圆半径为，球半径为，则由题意得，
所以截面圆面积与球表面积比为．
故答案为：．
17．（1） ；（2） ．
【分析】（1）直接由前n项和与项的关系求解.（2）利用等差数列求和公式计算可得.
【详解】（1）因为，
所以当时，，
当时，，
显然时也满足，
所以．
（2）因为，
所以数列为等差数列，其前项和．
18．（1）；（2）.
【分析】（1）先将不等式问题转化为方程问题求出的值，然后就可以解不等式了；
（2）一元二次不等式恒成立，即考虑其判别式.
【详解】（1）因为的解集为，
所以与是方程的两个实数根，
由根与系数的关系得解得
不等式，
即，整理得，解得.
即不等式的解集为.
（2）由题意可得，，即，整理得，
解得.
19．（1）；（2）8.
【分析】(1)首先利用正弦定理边化角，再利用余弦定理可得结果；
（2）利用面积公式和余弦定理可得结果.
【详解】（1）因为，所以，
则，
因为，所以.
（2）因为的面积为，所以，即，
因为，所以，
所以.
【点睛】本题主要考查解三角形的综合应用，意在考查学生的基础知识，转化能力及计算能力，难度不大.
20．（1）设与的交点为，连结，
∵是的中点，是的中点，∴
∵平面，平面， ∴平面.
（2）在直三棱柱中，平面，所以，
又因为，，，则，所以，
又，所以平面，所以.
21．（1）；（2）.
【解析】（1）设数列的公比为，依题意得到方程，求出，从而求出数列的通项公式；
（2）由（1）可得的通项公式，再利用错位相减法求和即可；
【详解】解：（1）设数列的公比为.
由题意知，
即，化简得，
因为，所以.
所以.
（2）由（1）可知.
所以，①
，②
由，可得，
所以.
【点睛】数列求和的方法技巧
(1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和．
(2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和．
(3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和．
22．(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）线面垂直的性质有，等腰三角形性质有，再根据线面垂直、面面垂直的判定即可证结论.
（2）由线面平行性质有，进而可得E为PC的中点，又P与A到面BDE的距离相等，再由即可求体积.
（1）因为底面ABC，底面ABC，所以，因为，且D为线段AC的中点，所以，又，面PAC，所以平面PAC，又面BDE，所以面面PAC.
（2）因为面BDE，面PAC，面面，所以，因为D为AC的中点，所以E为PC的中点，由题意知：P到平面BDE的距离与A到平面BDE的距离相等，所以所以三棱锥的体积为.