第2课时 两角和与差的正弦函数
问题导学
1．给角求值
活动与探究1
化简下列各式：
(1)sin 14°cos 16°＋sin 76°cos 74°；
(2)sin－cos．
迁移与应用
求值或化简：
(1)cos＋sin；
(2)sin 80°·cos 35°－sin 10°·cos 55°；
(3)sin＋cos；
(4)．
运用两角和与差的正弦公式解决给角求值问题的方法：
(1)从整体出发，先找出函数式中角与角之间的内在联系，将原三角函数式化简．
(2)将非特殊角的三角函数值转化为特殊角的三角函数值．
(3)注意公式的结构特征和符号规律，并灵活运用公式．
2．给值(式)求值
活动与探究2
(1)已知α，β∈，sin(α＋β)＝－，sin＝，求sin的值；
(2)已知sin＋sin α＝－，－＜α＜0，求cos α的值．
迁移与应用
已知函数f(x)＝2sin，x∈R．
(1)求f(0)的值；
(2)设α，β∈，f＝，f(3β＋2π)＝，求sin(α＋β)的值．
解决这类问题的关键在于从整体上把握所求的角与已知条件中角的运算关系，具体有以下几种情况：
(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式．
(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．
如：已知角－α的相关三角函数值，那么要求角＋α的三角函数值，就可以利用＋α＝－变换得到．
(3)角的拆分方法不唯一，要注意根据题目合理选择．
3．利用辅助角公式asin x＋bcos x＝sin(x＋θ)(a，b不同时为零)研究三角函数的性质
活动与探究3
若函数f(x)＝(1＋tan x)cos x,0≤x＜．
(1)把f(x)化成Asin(ωx＋φ)的形式；
(2)判断f(x)在上的单调性，并求f(x)的最大值．
迁移与应用
1．(1)函数f(x)＝sin x＋cos x的最小正周期是__________；
(2)函数f(x)＝sin x－cos x的最小值是__________．
2．已知a＝(，－1)，b＝(sin x，cos x)，x∈R，f(x)＝a·b．
(1)求f(x)的表达式；
(2)求函数f(x)的周期、值域、单调区间．
辅助角公式化简的步骤及应用
(1)“提”常数
即提取，使asin x＋bcos x变成．
(2)“定”θ值
令cos θ＝，sin θ＝确定辅助角θ的值．
(3)用处多
利用辅助角公式我们可以进一步研究这类函数的周期、值域、单调性、对称性等很多问题．
当堂检测
1．对等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β的认识正确的是( )．
A．对任意的角α，β都成立
B．只对α，β取几个特殊值时成立
C．对于任何角α，β都不成立
D．有无限个α，β的值使等式成立
2．计算sin 59°·cos 29°－cos 59°sin 29°的结果等于( )．
A． B． C． D．
3．在△ABC中，已知sin(A－B)cos B＋cos(A－B)sin B≥1，则△ABC是( )．
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．等腰非直角三角形
4．要使sin α－cos α＝4m－6有意义，则m的范围是__________．
5．已知函数f(x)＝．
(1)求函数f(x)的定义域；
(2)若f(x)＝，求sin x·cos x的值．
提示：用最精炼的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记．
答案：
课前预习导学
【预习导引】
sin αcos β＋cos αsin β
sin αcos β－cos αsin β
预习交流1 提示：对比公式Cα±β的识记规律“余余正正，和差相反”可得公式Sα±β的记忆规律：“正余余正，和差相同”．
2．－cos α －cos α
预习交流2 A
3．
预习交流3 解析：
∵a＝2，b＝－3，
∴A＝＝.
∴2 sin x－3cos x＝sin(x＋φ)(其中φ在第四象限，且tan φ＝－)，∴函数的最大值为.
课堂合作探究
【问题导学】
活动与探究1 解：(1)原式＝sin 14°cos 16°＋sin(90°－14°)cos(90°－16°)＝sin 14°cos 16°＋cos 14°sin 16°＝sin(14°＋16°)＝sin 30°＝.
(2)原式＝
2
＝2
＝2sin
＝2sin＝－.
迁移与应用 解：(1)原式＝coscos α－sinsin α＋sincos α＋cossin α＝cos α－sin α＋cos α＋sin α＝cos α.
(2)原式＝sin 80°·cos 35°－cos 80°·sin 35°＝sin(80°－35°)＝sin 45°＝.
(3)原式＝·
＝sin
＝sin＝×＝.
(4)原式＝
＝
＝－cos 45°＝－.
活动与探究2 解：(1)∵α，β∈，
∴＜α＋β＜2π，＜β－＜.
故cos(α＋β)＝，
cos＝－.
∴sin
＝sin
＝sin(α＋β)·cos－cos(α＋β)·sin
＝×－×
＝－＝－.
(2)由已知，得sin αcos＋cos αsin＋sin α＝－，
∴sin α＋cos α＝－.
∴sin α＋cos α＝－，
即sin＝－.
∵－＜α＜0，
∴－＜α＋＜.
∴cos＝.
∴cos α＝cos
＝coscos＋
sinsin＝×＋×＝.
迁移与应用 解：(1)f(0)＝2sin＝－2sin ＝－1；
(2)∵＝f
＝2sin
＝2sin α，
＝f(3β＋2π)
＝2sin
＝2sin＝2cos β，
∴sin α＝，cos β＝，
∴cos α＝＝＝，
sin β＝＝＝，
故sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β
＝×＋×＝.
活动与探究3 解：(1)f(x)＝(1＋tan x)·cos x
＝·cos x
＝cos x＋sin x
＝2
＝2sin.
(2)∵0≤x＜，
∴f(x)在上是增加的，在上是减少的．
∴当x＝时，f(x)有最大值2.
迁移与应用 1．(1)2π
(2)－ 解析：(1)f(x)＝sin，最小正周期是2π.
(2)f(x)＝sin，最小值是－.
2．解：(1)f(x)＝a·b＝(，－1)·(sin x，cos x)
＝sin x－cos x(x∈R)．
(2)f(x)＝sin x－cos x
＝2
＝2sin.
∴T＝＝2π，值域为[－2,2]．
由－＋2kπ≤x－≤＋2kπ(k∈Z)得f(x)的递增区间为，k∈Z；
由＋2kπ≤x－≤＋2kπ(k∈Z)得f(x)的递减区间为，k∈Z.
【当堂检测】
1．D 2．C 3．C 4．[1,2]
5．解：(1)由题意，
sin≠0，
∴x＋≠kπ(k∈Z)．
∴x≠kπ－(k∈Z)．
函数f(x)的定义域为.
(2)f(x)＝
＝
＝(cos x－sin x)，
∵f(x)＝，
∴cos x－sin x＝.
∴1－2sin x·cos x＝.
∴sin x·cos x＝.§3 二倍角的三角函数
第1课时 倍角公式
问题导学
1．利用公式求值
活动与探究1
(1)求cos ·cos 的值；
(2)已知sin α＝，α∈，求sin 2α，cos 2α，tan 2α的值；
(3)已知sinsin＝，求sin 2α．
迁移与应用
1．求下列各式的值：
(1)sin 75°·cos 75°；
(2)．
2．已知sin＝，求cos 2θ的值．
利用二倍角公式求值的注意要点：
(1)在利用二倍角公式解决这类问题时，要充分挖掘题目中各角之间的关系，如角2α，＋2α分别是α，＋α的二倍角，角＋α与－α互余等，是顺利求值的关键．(2)(sin α±cos α)2＝1±sin 2α是常用结论，应扎实记忆．(3)当遇到±α这样的角时可利用互余角的关系和诱导公式，将条件与结论沟通．cos 2α＝sin＝2sin·cos．类似这样的变换还有：
cos 2α＝sin＝2sincos，
sin 2α＝cos＝2cos2－1，
sin 2α＝－cos＝1－2cos2等等．
2．利用公式化简求值
活动与探究2
(1)化简：cos 20°cos 40°cos 80°；
(2)若180°＜α＜270°，
试化简；
(3)求(tan 10°－)sin 40°的值．
迁移与应用
·＝( )．
A．tan α B．tan 2α C．1 D．
在运用二倍角公式化简求值时应注意：
1．明确式子结构，观察角与角之间的关系
当单角是非特殊角，而其倍角是特殊角时，常利用倍角公式及其变形公式化为特殊角求值；当式子中涉及的角较多，要先变角，化异角为同角；对根式形式的化简，以去根号为目的，化简时注意角的范围．
2．灵活选取公式形式
主要逆用公式形式：2sin αcos α＝sin 2α；cos α＝；cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α＝cos 2α；＝tan 2α．
主要变形用公式形式：1±sin 2α＝sin2α＋cos2α±2sin αcos α＝(sin α±cos α)2；1＋cos 2α＝2cos2α；1－cos 2α＝2sin2α；cos2α＝；sin2α＝．
3．利用公式研究三角函数的性质
活动与探究3
已知函数f(x)＝sin 2xsin φ＋cos2xcos φ－sin(0＜φ＜π)，其图像过点．
(1)求φ的值；
(2)将函数y＝f(x)的图像上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图像，求函数g(x)在上的最大值和最小值．
迁移与应用
已知函数f(x)＝sin2x＋sin xcos x＋2cos2x，x∈R．求函数f(x)的最小正周期和单调增区间．
解答此类综合题的关键是利用三角函数的公式将f(x)化为f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，然后借助于三角函数的图像及性质去研究f(x)的相应性质，解答过程中一定要注意公式的合理应用，以免错用公式，导致化简失误．
当堂检测
1．函数f(x)＝2sin xcos x是( )．
A．最小正周期为π的奇函数
B．最小正周期为2π的偶函数
C．最小正周期为2π的奇函数
D．最小正周期为π的偶函数
2．＝( )．
A．cos 10° B．sin 10°－cos 10°
C．sin 35° D．±(sin 10°－cos 10°)
3．已知f(tan x)＝tan 2x，则f(2)＝__________．
4．函数y＝sin4x－cos4x(x∈R)的最小正周期为( )．
A． B．π C．2π D．4π
5．已知函数f(x)＝．
(1)求f(x)的定义域及最小正周期；
(2)求f(x)的单调递增区间．
提示：用最精炼的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记．
答案：
课前预习导学
【预习导引】
2sin αcos α β＝α cos2α－sin2α 2cos2α－1 1－2sin2α β＝α sin2α＋cos2α＝1 消去sin2α或cos2α β＝α
预习交流1 提示：倍角公式在运用时不只局限于2α是α的2倍的情况，对于两个角的比值等于2的情况都成立，如8α是4α的二倍角，是的二倍角，是的二倍角等．
预习交流2 提示：降幂扩角公式：cos2α＝；
sin2α＝.
升幂缩角公式：1＋cos 2α＝2cos2α；
1－cos 2α＝2sin2α.
预习交流3 (1)B (2)C
(3)－ (4)－
课堂合作探究
【问题导学】
活动与探究1 解：(1)原式＝cos ·sin ＝sin ＝.
(2)法一∵sin α＝，α∈，
∴cos α＝－
＝－，
∴sin 2α＝2sin αcos α＝－，
cos 2α＝1－2sin2α＝，
tan 2α＝－.
法二∵sin α＝
∴cos 2α＝1－2sin2α＝，
又∵α∈，
∴2α∈(π，2π)．
∴sin 2α＝－
＝－，tan 2α＝－.
(3)sin
＝cos
＝cos，
∴sinsin
＝cossin
＝sin
＝cos 2α＝.
∴cos 2α＝.
又0＜α＜，∴0＜2α＜π.
∴sin 2α＝.
迁移与应用 1．解：(1)原式＝sin 150°＝；
(2)原式＝cos2－sin2＝cos ＝.
2．解：sin＝cos θ＝，
∴cos 2θ＝2cos2θ－1＝－.
活动与探究2 解：(1)原式＝·cos 20°·cos 40°·cos 80°
＝
＝
＝＝＝.
(2)∵180°＜α＜270°，
∴90°＜＜135°，
则cos α＜0，sin＞0.
原式＝
＝
＝
＝＝sin.
(3)法一：(tan 10°－)sin 40°
＝sin40 °
＝
＝
＝＝－1.
法二：(tan 10°－)sin 40°
＝(tan 10°－tan 60°)sin 40°
＝sin 40°
＝·sin 40°
＝
＝＝－1.
迁移与应用 B 解析：原式＝·＝tan 2α.
活动与探究3 解：(1)f(x)＝sin 2xsin φ＋cos φ－cos φ
＝sin 2xsin φ＋cos 2xcos φ
＝(sin 2xsin φ＋cos 2xcos φ)
＝cos(2x－φ)．
又函数图像过点，
所以＝cos，即cos＝1.
又0＜φ＜π，所以φ＝.
(2)由(1)知f(x)＝cos，将函数y＝f(x)的图像上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图像，可知g(x)＝f(2x)＝cos，
因为x∈，
所以4x∈[0，π]，
因此4x－∈，
故－≤cos≤1.
所以y＝g(x)在上的最大值和最小值分别为和－.
迁移与应用 解：f(x)＝＋sin 2x＋(1＋cos 2x)
＝sin 2x＋cos 2x＋＝sin＋，
∴f(x)的最小正周期
T＝＝π.
由题意得2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，即kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.
∴f(x)的单调增区间为，k∈Z.
【当堂检测】
1．A 2．C 3．－ 4．B
5．解：(1)由sin x≠0得x≠kπ(k∈Z)，
故f(x)的定义域为{x∈R|x≠kπ，k∈Z}．
因为f(x)
＝
＝2cos x(sin x－cos x)
＝sin 2x－cos 2x－1
＝sin－1，
所以f(x)的最小正周期T＝＝π.
(2)函数y＝sin x的单调递增区间为(k∈Z)．
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，x≠kπ(k∈Z)，
得kπ－≤x≤kπ＋，x≠kπ(k∈Z)．
所以f(x)的单调递增区间为和(k∈Z)．第2课时 半角公式
问题导学
1．用半角公式求值
活动与探究1
已知sin α＝－且π＜α＜，求sin，cos，tan的值．
迁移与应用
已知|cos θ|＝，且＜θ＜3π，求sin，cos，tan的值．
已知角α的某三角函数值，用半角公式可求的正弦、余弦、正切值，思路是先由已知利用同角公式求出该角的余弦值，再用半角公式求解，在解题过程中要注意根据的范围确定正负号．
2．利用公式化简证明
活动与探究2
(1)化简：(0＜θ＜π)．
(2)求证：＝tan x．
迁移与应用
(1)已知sin xtan x＜0，化简的结果是( )．
A．cos x B．－cos x
C．sin x D．－sin x
(2)求证：＝sin 2α．
1．三角函数式化简的方法与技巧：
(1)应用公式：根据式子的结构，明确对公式是正用、逆用，还是通过拼凑变形用．
(2)统一函数名称和角：常采用异名化同名，异角化同角等方式减少三角函数的名称和角的种类．
(3)特殖值与特殊角的三角函数的互化：如＝tan 60°．
(4)注意“1”的代换，如sin2α＋cos2α＝1，tan 45°＝1．
2．证明三角恒等式的常用方法：
(1)直接法：直接从等式的一边开始转化到等式的另一边，一般是按照由繁到简的原则进行，依据是相等关系的传递性．
(2)综合法：由一个已知的等式(或已有的公式等)恒等变形到所要证明的等式．
(3)中间量法：通过证明等式左右两边都等于同一个式子完成恒等式的证明．
3．利用公式解决三角函数综合问题
活动与探究3
已知函数f(x)＝asin x·cos x－acos2x＋a＋b(a＞0)．
(1)化简函数的解析式将其写成f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B的形式；
(2)求函数的递减区间及函数图像的对称中心．
迁移与应用
已知函数f(x)＝sin＋sin＋2cos2x－1，x∈R．
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)求函数f(x)在区间上的最大值和最小值．
运用公式解决三角函数综合问题的思路：
(1)运用和、差、倍角公式化简．
(2)统一化成f(x)＝asin ωx＋bcos ωx＋k的形式．
(3)利用辅助角公式化为f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋k，研究其性质．
当堂检测
1．在tan的定义域内，下列各式中恒成立的一个是( )．
A．tan＝ B．tan＝－
C．tan＝ D．tan＝
2．若cos α＝，且α∈(0,2π)，则sin等于( )．
A． B．－ C． D．－
3．已知sin＝，cos＝－，则α所在的象限是( )．
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
4．函数f(x)＝2cos2＋sin x的最小正周期是__________．
5．已知α为钝角，β为锐角，且sin α＝，sin β＝，求cos的值．
提示：用最精炼的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记．
答案：
课前预习导学
【预习导引】
α
预习交流1 提示：根号前的“±”是由角“”所在范围来确定的，如果不能确定角“”的范围，“±”应保留．
预习交流2 提示：tan＝＝
此公式的特点是用角α的正、余弦表示半角的正切，与半角公式相比，避免了开方与讨论符号的麻烦，用起来简单明了，在三角恒等变形中经常使用．
预习交流3 解析：sin 11°＝＝，
cos 11°＝＝.
课堂合作探究
【问题导学】
活动与探究1 解：∵sin α＝－，π＜α＜，
∴cos α＝－＝－＝－.
又＜＜，
∴sin＝＝＝，
cos＝－
＝－＝－，
tan＝＝－4.
迁移与应用 解：∵|cos θ|＝，＜θ＜3π，
∴cos θ＝－.
又∵＜＜，
∴sin＝－
＝－＝－，
cos＝－＝－，
tan＝＝2.
活动与探究2 (1)解：原式
＝
＝
＝sin2－cos2＝－cos θ.
(2)证明：左端＝
＝sin x＝
＝tan x＝右端．
迁移与应用 (1)B 解析：
∵sin x·tan x＜0，
∴cos x＜0.
∴＝＝－cos x.
(2)证明：法一：
左边＝－
＝
＝.
＝sin αcos α＝sin 2α
＝右边．
∴原式成立．
法二：左边
＝
＝
＝sin αcos α＝sin 2α
＝右边．
∴原式成立．
法三：左边＝
＝cos2α·
＝cos2α·tan α
＝cos αsin α＝sin 2α
＝右边．
∴原式成立．
活动与探究3 解：(1)f(x)＝
asin 2x－a·＋a＋b
＝asin 2x－acos 2x＋b
＝asin＋b(a＞0)．
(2)令＋2kπ≤2x－≤＋2kπ(k∈Z)，
得kπ＋≤x≤kπ＋π.
∴f(x)的递减区间是(k∈Z)．
令2x－＝kπ(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z)．
∴函数图像的对称中心为.
迁移与应用 解：(1)f(x)
＝sin 2x·cos＋cos 2x·sin＋sin 2x·cos－cos 2x·sin＋cos 2x＝sin 2x＋cos 2x＝sin.
所以，f(x)的最小正周期T＝＝π.
(2)因为f(x)在区间上是增函数，在区间上是减函数，
又f＝－1，f＝，f＝1，
故函数f(x)在区间上的最大值为，最小值为－1.
【当堂检测】
1．C 2．A 3．C 4．2π
5．解：由题意得cos α＝－，cos β＝.
∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin α·sin β
＝×＋×
＝.
又＜α＜π，0＜β＜，
∴0＜＜.
∴cos＝
＝＝.§1 同角三角函数的基本关系
问题导学
一、求值问题
1．求同一个角的三角函数值
活动与探究1
(1)已知sin α＝，且α是第二象限的角，求cos α，tan α．
(2)在△ABC中，tan A＝，求sin A和cos A的值．
迁移与应用
已知tan α＝－，且α是第二象限角，求sin α，cos α．
利用同角三角函数关系求值的步骤、方法：
(1)一看：由题设的条件能否确定角的范围，角的范围直接决定三角函数值解的个数．
(2)二变：在求值时，往往要在原有关系的基础上先变形，再列方程(组)，具体如下：
①若已知sin θ(或cos θ)求tan θ常用以下变形：
②若已知tan θ求sin θ(或cos θ)常用以下变形：
(3)三算：利用步骤(2)建立方程(组)，并结合步骤(1)确定角的范围，写出该角的三角函数值．
2．关于sin α，cos α齐次式的求值
活动与探究2
(1)若tan α＝2，则的值为( )．
A．0 B． C．1 D．
(2)已知tan θ＝2，则sin2θ＋sin θcos θ－2cos2θ等于( )．
A．－ B． C．－ D．
(3)已知＝2，求sin θcos θ的值．
迁移与应用
已知＝5，则sin2α－sin α·cos α的值是( )．
A． B．－ C．－2 D．2
关于sin α，cos α的齐次式的求值问题
关于sin α，cos α的齐次式就是式子中的每一项都是关于sin α，cos α的式子，且它们的次数之和相同，其求解策略为：可用cosnα(n∈N＋)去除原式分子、分母的各项，这样可以将原式化为关于tan α的表达式，再整体代入tan α＝m的值，从而完成求值任务．具体如下：
(1)形如，的分式，分子、分母分别同时除以cos α，cos2α，将正、余弦转化为正切或常数，从而求值．
(2)形如asin2α＋bsin αcos α＋ccos2α的式子，将其看成分母为1的分式，再将分母1变形为sin2α＋cos2α，转化为形如的式子．
3．含sin α±cos α，sin αcos α的式子的求值
活动与探究3
已知0＜α＜π，sin α＋cos α＝，求sin α－cos α的值．
迁移与应用
已知0＜α＜π，sin αcos α＝－，求sin α－cos α的值．
1．sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α 三个式子中，已知其中一个，可以求出其他两个，即“知一求二”．它们的关系是：(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α，(sin α－cos α)2＝1－2sin αcosα．
2．求sin α＋cos α或sin α－cos α的值时，要注意判断它们的符号．
二、化简三角函数式
活动与探究4
化简·．
迁移与应用
化简：－．
利用同角三角函数基本关系式化简的常用的方法有：
(1)化切为弦，即把非正、余弦的函数都化成正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化简的目的．
(2)对于含有根号的，常把根号下的式子化成完全平方式，然后去根号，达到化简的目的．
(3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解或构造sin2α＋cos2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的．
三、证明三角恒等式
活动与探究5
求证：(sin α＋cos α)2＝1＋．
迁移与应用
求证：(1)sin4α－cos4α＝2sin2α－1；
(2)tan2α－sin2α＝tan2αsin2α．
证明三角恒等式的策略
证明三角恒等式，实际上就是将等式左右两端表面看似存在较大差异的式子，通过巧妙变形后消除差异，使其左右两端相等．为了达到这个目的，我们经常采用以下的策略和方法：
(1)从一边开始，证明它等于另一边．
(2)证明左右两边都等于同一个式子．
(3)变更论证，采用左右相减、化除为乘等方法，转化成与原结论等价的命题形式．
当堂检测
1．化简的结果是( )．
A．cos B．－cos C．sin D．－sin
2．已知cos θ＝，且＜θ＜2π，那么tan θ的值为( )．
A． B．－ C． D．－
3．已知α是第四象限的角，tan α＝－，则sin α等于( )．
A． B．－ C． D．－
4．化简＝______．
5．已知tan α＝3，求下列各式的值：
(1)；(2)2sin2α－3sin α·cos α．
提示：用最精炼的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记。
答案：
课前预习导学
【预习导引】
(1)sin2α＋cos2α＝1 (2)
预习交流1 提示：平方关系对任意角都成立；商数关系只有当α≠kπ＋(k∈Z)时才成立．
预习交流2 提示：应用同角三角函数基本关系式，根据问题的需要，应注意它们的如下变形形式：
如sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α，1＝sin2α＋cos2α；sin α＝tan α·cos α，cos α＝.
预习交流3 (1)B (2)－ － (3)sin θ cos2θ
课堂合作探究
【问题导学】
活动与探究1 解：(1)由sin2α＋cos2α＝1，得cos α＝±，
因为α是第二象限角，cos α＜0，
所以cos α＝－＝－，tan α＝＝－.
(2)由题意知A∈(0，π)且tan A＝，
∴A∈，从而sin A＞0，cos A＞0.
由
解得sin A＝，cos A＝.
迁移与应用 解：由题意得
由②得sin α＝－cos α，代入①得cos2α＝.
∵α是第二象限的角，
∴cos α＝－，sin α＝－cos α＝－·＝.
活动与探究2 (1)B (2)D 解析：(1)分子、分母同时除以cos α(cos α≠0)得，
＝
＝＝.
(2)将分母看作1＝sin2θ＋cos2θ，
原式＝
＝＝
＝.
(3)解：∵
＝＝2，
∴tan θ＝3.
∴sin θcos θ＝＝＝.
迁移与应用 A 解析：原式化为＝5，解得tan α＝2.
∴sin2α－sin αcos α
＝
＝＝.
活动与探究3 解：将已知等式两边平方，得1＋2sin αcos α＝，∴2sin αcos α＝－.
又∵0＜α＜π，
∴sin α＞0，cos α＜0，
∴sin α－cos α＞0，
∴sin α－cos α＝＝＝.
迁移与应用 解：∵0＜α＜π，sin αcos α＝－＜0，
∴sin α＞0，cos α＜0，
∴sin α－cos α＞0.
由(sinα－cos α)2
＝1－2sin αcos α
＝1－2×＝，
∴sin α－cos α＝.
活动与探究4 解：原式＝·
＝·
＝·
＝·
＝·＝±1.
迁移与应用 解：原式
＝－
＝－
＝－＋＝＝－2tan α.
活动与探究5 证明：左边＝1＋2sin α·cos α，
右边＝1＋＝1＋2sin α·cos α＝左边．
∴等式成立．
迁移与应用 证明：(1)左边＝(sin2α＋cos2α)(sin2α－cos2α)
＝sin2α－cos2α＝sin2α－(1－sin2α)
＝2sin2α－1＝右边．
∴等式成立．
(2)右边＝tan2α(1－cos2α)
＝tan2α－tan2αcos2α
＝tan2α－cos2α
＝tan2α－sin2α＝左边．
∴等式成立．
【当堂检测】
1．A 2．B 3．D
4．－(sin 4＋cos 4)
5．解：(1)原式＝＝＝.
(2)原式
＝
＝
＝＝.§2 两角和与差的三角函数
2.2 两角和与差的正弦、余弦函数
第1课时 两角和与差的余弦函数
问题导学
1．给角求值问题
活动与探究1
求下列各式的值：
(1)sin 43°cos 13°－sin 13°sin 47°；
(2)cos(α－35°)·cos(25°＋α)＋sin(α－35°)·sin(25°＋α)；
(3)cos 15°＋sin 15°．
迁移与应用
试求下列各式的值：
(1)cos 175°·cos 55°＋cos 85°·cos 35°；
(2)sin(α－50°)sin(20°－α)－cos(α－50°)cos(20°－α)．
求解含非特殊角的三角函数式的求值问题的一般思路：
(1)把非特殊角转化为特殊角的和或差，用公式直接求值．
(2)在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角差的余弦公式的结构形式，然后逆用公式求值．
(3)在转化过程中，对于某些特殊角，可先化为具体角的三角函数，再逆用公式进行化简求值．
2．给值(式)求值问题
活动与探究2
已知α，β为锐角，且sin α＝，cos(α＋β)＝－，求cos β的值．
迁移与应用
已知cos α＝，α∈，则cos等于( )．
A． B． C． D．
1．三角变换是三角运算的灵魂与核心，它包括角的变换、函数名称的变换、三角函数式结构的变换．在给值求值的过程中，往往要利用已知某角的正弦(余弦)值，求出相应的余弦(正弦)值，要注意根据角的范围确定相应函数值的符号．
2．在将所求角分解成某两角的差时，应注意如下变换：
α＝(α＋β)－β，β＝(α＋β)－α，α＝β－(β－α)，β＝α－(α－β)，
α＝(2α－β)－(α－β)，β＝(2β－α)－(β－α)，
α＝[(α＋β)＋(α－β)]，β＝[(β＋α)＋(β－α)]等．
3．给值求角问题
活动与探究3
已知α，β为锐角，cos α＝，sin(α＋β)＝，求β 的值．
迁移与应用
在△ABC中，A，B为锐角，sin A＝，sin B＝，求A＋B的值．
给值求角型题目，有两个关键环节：一是求出所求角的某种三角函数值，二是确定角的范围．注意避免对角的范围不加讨论，或范围讨论程度过大或过少，而出现的所求角不合题意的错误．
当堂检测
1．下列式子中，正确的个数为( )．
①cos(α－β)＝cos α－cos β；
②cos＝－sin α；
③cos(α－β)＝cos αcos β－sin αsin β．
A．0 B．1 C．2 D．3
2．sin α＝，α是锐角，则cos＝( )．
A． B．
C． D．
3．设向量a＝(cos 23°，cos 67°)，b＝(cos 53°，cos 37°)，a·b＝( )．
A． B． C．－ D．－
4．若cos α＝，α∈，则cos＝______．
5．已知sin α＝，α∈，cos β＝－，β为第三象限角，求cos(α－β)的值．
提示：用最精炼的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记．
答案：
课前预习导学
【预习导引】
cos αcos β－sin αsin β
cos αcos β＋sin αsin β
预习交流1 提示：cos(α＋β)＝cos[α－(－β)]＝cos αcos(－β)＋sin α·sin(－β)＝cos αcos β－sin α·sin β.
预习交流2 提示：(1)对于公式中出现的角不仅局限于具体的角，也可以是一些角所构成的“小团体”，比如cos中的“”相当于角α，“”相当于角β，可用两角差的余弦公式展开．
(2)公式中的左右两边出现的角(小团体)始终是两个，当出现多个时要善于观察这些角之间的关系，善于运用诱导公式进行转换，使之符合公式所具备的结构特征，便于进行化简和求值．
预习交流3 (1)D (2)B
(3)C
课堂合作探究
【问题导学】
活动与探究1 解：(1)原式＝cos 47°cos 13°－sin 13°sin 47°
＝cos(47°＋13°)＝cos 60°
＝.
(2)原式＝cos[(α－35°)－(25°＋α)]
＝cos(－60°)＝cos 60°＝.
(3)原式＝cos 45°·cos 15°＋sin 45°·sin 15°＝cos(45°－15°)＝cos 30°＝.
迁移与应用 解：(1)原式＝cos(180°－5°)·cos 55°＋cos(90°－5°)·cos(90°－55°)
＝－cos 5°·cos 55°＋sin 5°·sin 55°＝－cos(5°＋55°)
＝－cos 60°＝－.
(2)原式＝－cos[(α－50°)＋(20°－α)]
＝－cos(－30°)＝－cos 30°＝－.
活动与探究2 解：∵α为锐角，且sin α＝，
∴cos α＝＝＝.
又α，β为锐角，cos(α＋β)＝－，
∴0＜α＋β＜π，
sin(α＋β)＝
＝＝.
∴cos β＝cos[(α＋β)－α]
＝cos(α＋β)·cos α＋sin(α＋β)·sin α
＝×＋×
＝.
迁移与应用 C 解析：∵α∈，
∴sin α＝－.
∴cos＝cos αcos －sin αsin
＝(cos α－sin α)
＝＝.
活动与探究3 解：∵α为锐角，cos α＝，
∴sin α＝＝.
又∵β为锐角，∴0＜α＋β＜π.
∵sin(α＋β)＝＜＝sin α，
∴α＋β∈，
∴cos(α＋β)
＝－＝－.
∴cos β＝cos[(α＋β)－α]
＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α
＝×＋×
＝.
∵β∈，∴β＝.
迁移与应用 解：∵A，B为锐角，sin A＝，sin B＝，
∴cos A＝＝，
cos B＝＝.
∴cos(A＋B)＝cos Acos B－sin Asin B
＝×－×
＝.
∵0＜A＋B＜π，∴A＋B＝.
【当堂检测】
1．A 2．A 3．A 4．
5．解：∵sin α＝，α∈，
∴cos α＝－＝－＝－.
又∵β为第三象限角，cos β＝－，
∴sin β＝－＝－.
∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β
＝×＋×＝.2.3 两角和与差的正切函数
问题导学
1．公式的直接应用
活动与探究1
已知sin(π＋θ)＝－，tan φ＝，并且θ是第二象限角，求tan(θ－φ)的值．
迁移与应用
已知tan α＝－，cos β＝，α，β∈(0，π)．求tan(α－β)，tan(α＋β)的值．
用两角和与差的正切求值的基本思路：
(1)利用同角三角函数的基本关系式，求出所给角的正切值．
(2)分析所求值的角与已知角的关系．
(3)利用两角和与差的正切公式求值．
2．公式的逆用与变形用
活动与探究2
求值：(1)tan 10°＋tan 50°＋tan 10°tan 50°；
(2)．
迁移与应用
求值：(1)tan 23°＋tan 37°＋tan 23°·tan 37°；
(2)．
应用两角和与差的公式化简的注意要点：
(1)公式的逆运用，首先要熟悉公式的结构特征，其次要注意常值的代换，如tan＝1，tan＝，tan＝等．
(2)公式的变形应用，只要见到tan α±tan β，tan αtan β时，要有灵活应用公式Tα±β的意识．
3．利用公式求角
活动与探究3
已知tan(α－β)＝，tan β＝－，α，β∈(0，π)，求2α－β的值．
迁移与应用
如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为，．
(1)求tan(α－β)的值；
(2)求α＋β的值．
求角问题中应特别关注的问题：
(1)角的变换
前面学习Sα±β，Cα±β的过程中运用的角的变换技巧仍然适用于公式Tα±β，如2α－β＝α＋(α－β)，在求值过程中要进一步掌握这些角的变换方法．
(2)函数名称的选取
在明确所求角是如何通过已知角变换之后，具体要根据题设条件去选择恰当的函数．
(3)角的范围的界定
根据求出的三角函数值确定所求的角时，角的范围会直接影响解的个数，因此，角的范围的确定是求角问题中最为关键的因素．
4．公式的综合应用
活动与探究4
在△ABC中，已知tan A与tan B是方程2x2＋9x－13＝0的两个根，求tan C的值．
迁移与应用
已知α，β∈且tan α，tan β是方程x2＋3x＋4＝0的两个根，求α＋β的值．
公式Tα＋β与一元二次方程的联系：
在两角和的正切公式Tα＋β中，有tan α＋tan β和tan αtan β这两项，对比一元二次方程中的根与系数的关系，为我们利用韦达定理解决问题找到了很好的结合点．因此tan α、tan β可以看作一元二次方程的根，这样tan α＋tan β、tan αtan β、tan α－tan β就可以互相表示，进而可以利用它们求tan(α±β)．
当堂检测
1．tan(－165°)的值是( )．
A．2＋ B．2－
C．－2＋ D．－2－
2．已知α∈，sin α＝，则tan等于( )．
A． B．7 C．－ D．－7
3．tan 70°＋tan 50°－tan 70°tan 50°＝( )．
A． B． C．－ D．－
4．设tan α，tan β是方程x2－3x＋2＝0的两根，则tan(α＋β)的值为( )．
A．－3 B．－1 C．1 D．3
5．已知tan＝，tan＝2，求tan(α＋β)的值．
提示：用最精炼的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记．
答案：
课前预习导学
【预习导引】
(1)
(2)
预习交流1 提示：从公式的推导过程来看，要使公式成立，α，β以及α±β都不能等于kπ＋(k∈Z)，例如tan，tan都有意义，但tan无意义．
预习交流2 提示：两角和与差的正切公式的常见变形：
(1)tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)；
(2)1－tan αtan β＝；
(3)tan α＋tan β＋tan αtan βtan(α＋β)＝tan(α＋β)；
(4)tan αtan β＝1－.
这些变形是化简和求值中常用的形式，这些变形实质上是在提醒我们只要遇见tan α±tan β和tan αtan β时，就要有灵活运用公式Tα±β的变形形式的意识．
预习交流3 (1)D (2)B
(3) (4)－
课堂合作探究
【问题导学】
活动与探究1 解：∵sin(π＋θ)＝－sin θ＝－，∴sin θ＝.
又θ是第二象限角，
∴cos θ＝－＝－.
∴tan θ＝＝－.
又tan φ＝，
∴tan(θ－φ)＝
＝＝－2.
迁移与应用 解：∵β∈(0，π)，cos β＝，
∴sin β＝＝.
∴tan β＝＝2.
∴tan(α－β)＝
＝＝－7.
tan(α＋β)＝＝＝1.
活动与探究2 解：(1)
∵tan(10°＋50°)＝＝，
∴tan 10°＋tan 50°＝－tan 10°tan 50°.
∴tan 10°＋tan 50°＋tan 10°tan 50°＝.
(2)
＝
＝tan(60°－15°)＝tan 45°＝1.
迁移与应用 解：(1)
∵tan(23°＋37°)
＝＝，
∴tan 23°＋tan 37°＝－tan 23°tan 37°.
∴tan 23°＋tan 37°＋tan 23°tan 37°＝.
(2)原式＝
＝tan(105°－45°)
＝tan 60°＝.
活动与探究3 解：因为tan β＝－，tan(α－β)＝，
所以tan α＝tan[(α－β)＋β]＝
＝＝.
tan(2α－β)＝tan[(α－β)＋α]
＝
＝＝1.
因为tan α＝＞0，tan β＝－＜0，
所以α∈，β∈，α－β∈(－π，0)．
又tan(α－β)＝＞0，
所以α－β∈，
2α－β＝α＋(α－β)∈(－π，0)．
而tan(2α－β)＝1，
所以2α－β＝－.
迁移与应用 解：(1)由题可知：cos α＝，cos β＝.由于α，β为锐角，则sin α＝，sin β＝.
故tan α＝，tan β＝.
则tan(α－β)＝
＝＝－.
(2)∵tan(α＋β)＝＝1，
sin α＝＜，sin β＝＜，即α＋β＜，
故α＋β＝.
活动与探究4 解：由题意知
∴tan C＝tan[π－(A＋B)]＝－tan(A＋B)
＝－
＝－＝＝.
迁移与应用 解：∵tan α，tan β是方程x2＋3x＋4＝0的两个根，
∴
∴tan(α＋β)＝＝＝.
又由①②可知tan α＜0，tan β＜0.
又α，β∈，故α，β∈.
从而α＋β∈(－π，0)，
∴α＋β＝－.
【当堂检测】
1．B 2．A 3．D 4．A
5．解：tan
＝tan
＝
＝＝－.
tan(α＋β)
＝tan
＝
＝＝2－3.
