§8 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像
问题导学
1．用“五点法”作正弦函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像
活动与探究1
用“五点法”作出函数y＝2sin的简图，并指出这个函数的振幅、周期、频率、初相和单调区间．
迁移与应用
用“五点法”作出函数y＝3sin的图像，并指出它的振幅、周期、频率、初相、相位．
“五点法”作图，要抓住要害，即要抓住五个关键点，使函数式中的ωx＋φ分别取0，，π，，2π，然后求出相应的x，y值，作出图像．
2．图像变换
活动与探究2
用两种方法将函数y＝sin x的图像变换为y＝2sin的图像．
活动与探究3
将函数y＝f(x)的图像上每一点的纵坐标变为原来的，再将横坐标变为原来的，最后将整个图像向左平移个单位，可得y＝sin x的图像，求函数f(x)的解析式．
迁移与应用
函数y＝sin的图像可以看作把函数y＝sin 2x的图像向__________平移__________个单位得到．
函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图像与y＝sin x的图像的关系；
(1)函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k(A＞0，ω＞0)中的A，ω，k，φ变化时，函数图像的形状和位置会相应地发生变化，其中A和ω确定图像的形状，φ和k确定图像与坐标轴的相对位置关系，图像的基本变换有以下几种：
a．振幅变换：由A的变化引起．
b．周期变换：由ω的变化引起．
c．相位变化：由φ的变化引起．
d．上下变化：由k的变化引起．
(2)图像变换的两种途径的差异：a．先相位变换后周期变换；b．先周期变换后相位变换．
①y＝sin xy＝sin(x＋φ)y＝sin(ωx＋φ)
y＝Asin(ωx＋φ)．
②y＝sin x
y＝sin ωx y＝sin(ωx＋φ)y＝Asin(ωx＋φ)．
3．根据图像确定函数解析式
活动与探究4
如图，它是函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜π)的图像，由图中条件写出该函数的解析式．
迁移与应用
1．函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(0＜φ＜2π，A＞0，ω＞0)的部分图像如图所示，则f(0)的值是__________．
2．函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜，x∈R)的部分图像如图所示，求函数表达式．
由图像确定函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式，主要从以下三个方面来考虑：
(1)A的确定：根据图像的“最高点，最低点”确定A；
(2)ω的确定：结合图像先求周期T，然后由T＝(ω＞0)确定ω；
(3)φ的确定：常用的方法有：
①代入法：把图像上的一个已知点或图像与x轴的交点代入(此时，A，ω已知)求解．(此时要注意交点在上升区间还是在下降区间上)
②五点法：确定φ的值时，往往以寻找“五点”中的第一个“零点”作为突破口．“五点”中的ωx＋φ的值具体如下：
“第一点”(即图像上升时与x轴的交点)为ωx＋φ＝0；
“第二点”(即图像的“峰点”)为ωx＋φ＝；
“第三点”(即图像下降时与x轴的交点)为ωx＋φ＝π；
“第四点”(即图像的“谷点”)为ωx＋φ＝；
“第五点”为ωx＋φ＝2π．
4．y＝Asin(ωx＋φ)＋b的性质及综合应用
活动与探究5
已知函数f(x)＝2sin＋1(0＜φ＜π，ω＞0)为偶函数，且函数y＝f(x)图像的两相邻对称轴间的距离为．
(1)求f的值；
(2)将函数y＝f(x)的图像向右平移个单位后，再将得到的图像上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图像，求g(x)的单调递减区间．
迁移与应用
已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)在一个周期内，当x＝时，y有最大值为2，当x＝时，y有最小值为－2．
(1)求函数f(x)表达式；
(2)若g(x)＝f(－x)，求g(x)的单调递减区间．
(1)函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)为偶函数 φ＝kπ＋(k∈Z)；为奇函数 φ＝kπ(k∈Z)．同理，函数y＝Acos(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)为偶函数 φ＝kπ(k∈Z)；为奇函数 φ＝kπ＋(k∈Z)．
(2)求y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)的单调区间时，首先把x的系数化为正的，再利用整体代换，即把ωx＋φ代入相应不等式中，求解相应的变量x的范围．
当堂检测
1．函数y＝2sin的周期、振幅各是( )．
A．4π，－2 B．4π，2
C．π，2 D．π，－2
2．要得到y＝sin的图像，只要将y＝sin 2x的图像( )．
A．向左平移 B．向右平移
C．向左平移 D．向右平移
3．如图所示，已知函数y＝2sin(ωx＋φ)的图像，那么( )．
A．ω＝，φ＝ B．ω＝，φ＝－
C．ω＝2，φ＝ D．ω＝2，φ＝－
4．函数y＝2sin在[0，π]上的单调减区间是__________．
5．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜)上的最高点为(2，)，该最高点到相邻的最低点间曲线与x轴交于一点(6,0)，求函数解析式，并求函数在x∈[－6,0]上的值域．
提示：用最精炼的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记．
答案：
课前预习导学
【预习导引】
1．0，，π，，2π
预习交流1 －，，，，
2．值域 最大值 最小值 振幅 初相 ωx＋φ
周期 T＝ ＝
预习交流2 －
预习交流3 D
4．R [－A，A] kπ＋，k∈Z kπ，k∈Z 2kπ－ 2kπ＋ 2kπ＋ 2kπ＋
预习交流4 略
课堂合作探究
【问题导学】
活动与探究1 解：(1)列表：
列表时2x＋取值分别为0，，π，，2π，再求出相应的x值和y值.
x －
2x＋ 0 π 2π
y 0 2 0 －2 0
(2)描点：在直角坐标系中描出点，，，，.
(3)连线：用平滑的曲线顺次连接各点所得图像如下图所示．
利用这类函数的周期性，我们可以把上面所得到的简图向左、右扩展，得到y＝2sin，x∈R的简图(图略)．
这个函数的振幅是2，周期是T＝＝π，频率是f＝＝，初相是.
函数的递减区间为(k∈Z)．
同理，递增区间为(k∈Z)．
迁移与应用 图略 振幅为3，周期是4π，频率为，初相为－，相位是x－.
活动与探究2 解：方法一：(先平移后伸缩)y＝sin x的图像y＝sin的图像y＝sin的图像y＝2sin的图像．
方法二：(先伸缩后平移)y＝sin x的图像y＝sin 3x的图像y＝sin的图像y＝2sin的图像．
活动与探究3 解：将y＝sin x的图像向右平移个单位得到y＝sin的图像，把所得图像上所有点的横坐标伸长为原来的2倍得到y＝sin的图像，再把y＝sin的图像上所有点的纵坐标变为原来的2倍得到y＝2sin的图像．
∴f(x)的解析式为f(x)＝2sin.
迁移与应用 右 解析：y＝sin
＝sin，
∴由y＝sin 2x的图像向右平移个单位便得到
y＝sin的图像．
活动与探究4 解：由图像知，A＝3.
∵＝－＝，∴T＝π.
∴ω＝＝2.
∴y＝3sin(2x＋φ)．
下面求φ.
方法一：(单调性法)
∵点在递减的区间上，
∴＋φ∈
，k∈Z.
由sin＝0，得＋φ＝π＋2kπ，k∈Z，
∴φ＝2kπ＋，k∈Z.
又∵|φ|＜π，∴φ＝.
方法二：(最值点法)将最高点坐标代入y＝3sin(2x＋φ)，得3sin＝3.
∴φ＋＝＋2kπ，k∈Z.
∴φ＝2kπ＋，k∈Z.
又∵|φ|＜π，∴φ＝.
方法三：(起始点法)函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像一般由“五点法”作出，而起始点的横坐标x正是由ωx＋φ＝0解得的，故只要找出起始点的横坐标x，就可以迅速求得初相φ.
由图像求得x0＝－.
故φ＝－ωx0＝－2×＝.
方法四：(平移法)由图像知，将y＝3sin 2x的图像沿x轴向左平移个单位，就得到本题图像，故φ＝2×＝.
综上，所求函数的解析式为y＝3sin.
迁移与应用 1．
2．f(x)＝4sin
活动与探究5 解：(1)∵f(x)为偶函数，
∴φ－＝kπ＋(k∈Z)，
∴φ＝kπ＋，k∈Z.
又∵0＜φ＜π，∴φ＝，
∴f(x)＝2sin＋1＝2cos ωx＋1.
又函数y＝f(x)的图像的两相邻对称轴间的距离为，
∴＝2×，∴ω＝2.
故f(x)＝2cos 2x＋1，
因此f＝2cos＋1＝＋1.
(2)将f(x)的图像向右平移个单位后，得到f的图像，再将所得图像上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到f的图像．
所以g(x)＝f＝2cos＋1
＝2cos＋1.
当2kπ≤－≤2kπ＋π(k∈Z)，即4kπ＋≤x≤4kπ＋(k∈Z)时，g(x)单调递减．
因此g(x)的单调递减区间是
(k∈Z)．
迁移与应用 (1)f(x)＝2sin
(2)，k∈Z.
【当堂检测】
1．B 2．D 3．C 4．
5．f(x)＝sin.
值域是[－，1]．§1 周期现象
问题导学
1．对周期现象的理解
活动与探究1
周期现象是普遍存在的，不仅在自然界中存在，在数学界中也存在着形形色色的周期现象．请验证自然数的乘方的末位数字是否重复出现，是否是周期现象？
迁移与应用
1．钟表的秒针每分钟转一圈，它的运行是周期现象吗？
2．连续掷一枚骰子，可能出现点数为1,2,3,4,5,6，这些数字是否会周期性地重复出现？
周期现象的判断：
分析一种现象是否为周期现象，关键是分析这种现象是否是在相同间隔内重复出现的．对于具体的数学问题可采用列举验证的方法进行分析．
2．周期现象在实际中的应用
活动与探究2
有些恒星的亮度是会变化的，其中有一种称为造父变星，本身体积会膨胀收缩造成亮度周期性的变化．下图为一造父变星的亮度随时间变化的图像．据此回答：此星亮度的变化周期为多少天？最亮时是几等星？最暗时是几等星？
迁移与应用
今天是星期一，50天后的那一天是星期几？
周期现象的应用：
(1)找周期，即分析周期现象的间隔，找出什么时候会重复出现．
(2)算结果，关键是分析出周期现象是怎样重复的，所算问题是处在一个周期内的什么位置．
当堂检测
1．判断下列现象是否为周期现象．
(1)寒来暑往；
(2)路口红绿灯变换；
(3)手表的时针转动．
2．今天是星期一，那么7k(k∈N＋)天后的那一天是星期几？从明天算起，第7k天是星期几？100天后的那一天是星期几？
3．如图是一个单摆的振动图像，根据图像，回答下面问题：
(1)单摆的振动是周期现象吗？
(2)若是周期现象，其振动的周期是多少？
(3)单摆离开平衡位置的最大距离是多少？
提示：用最精炼的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记。
答案：
课前预习导学
【预习导引】
周期现象 周期现象 周期性
预习交流 提示：物理学中的波，单摆；地理学中的日夜更替；气象学中的四季交替变化等．
课堂合作探究
【问题导学】
活动与探究1 解：21＝2，22＝4，23＝8,24＝16,25＝32,26＝64，27＝128,28＝256，……；
31＝3,32＝9,33＝27,34＝81,35＝243,36＝729,37＝2 187,38＝6 561，……．
由上面的验证可知，自然数经过5次乘方之后，其末位数字会重复出现，是周期现象．
迁移与应用 1．是．
2．不会．
活动与探究2 解：此造父变星亮度的变化周期约为5.5天，最亮时是3.7等星，最暗时是4.4等星．
迁移与应用 星期二．
【当堂检测】
1．(1)(2)(3)都是
2．星期一 星期一 星期三
3．(1)是 (2)0.8 s
(3)0.5 cm§2 角的概念的推广
问题导学
1．角的概念的理解
活动与探究1
时钟走了3小时20分，则分针所转过的角的度数为多少？时针所转过的角的度数为多少？
迁移与应用
已知A＝{锐角}，B＝{α|0°≤α＜90°}，C＝{第一象限角}，D＝{小于90°的角}，求A∩B，A∪C，C∩D，A∪D．
对推广后角的概念的理解．
(1)紧紧抓住“旋转”二字，用运动的观点来看角．
(2)结合实际意义明确角的概念经过推广后，角的范围不再局限于0°～360°，而是包括正角、负角和零角．
(3)正确理解正角、负角和零角的概念，既要注意始边位置和旋转量，又要注意旋转方向是逆时针、顺时针，还是没有转动．
2．终边相同的角及象限角
活动与探究2
已知α＝－1 910°．
(1)把α写成β＋k×360° (k∈Z,0°≤β＜360°)的形式，并指出它是第几象限的角；
(2)求θ，使θ与α的终边相同，且－720°≤θ＜0°．
迁移与应用
将下列各角表示为k·360°＋α(k∈Z,0°≤α＜360°)的形式，并指出是第几象限角．
(1)－1 840°；(2)1 690°．
终边相同的角相差360°的整数倍．判定一个角在第几象限，只要找与它终边相同的0°～360°范围内的角，这个0°～360°范围内的角所在象限即为所求．
3．区域角的表示
活动与探究3
如图所示，写出终边落在阴影部分(实线包括边界，虚线不包括边界)的角的集合．
迁移与应用
如图所示，写出终边落在图中阴影部分(实线包括边界，虚线不包括边界)的角的集合．
区域角及其表示方法
区域角是指终边落在平面直角坐标系的某个区域内的角．其写法可分为三步：
(1)先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界；
(2)按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°到360°范围内的角α和β，写出最简区间{x|α＜x＜β}；
(3)根据旋转的观点把起始、终止边界对应角α、β加上k·360°(k∈Z)．
特别地，如“活动与探究3”中，若是对顶区域，如图②，可用一个表达式表示：先在一个阴影中找出区间角如[45°，90°]，然后再在两边加上n×180°(n∈Z)即可；若区域包括了x轴非负半轴，则可由负角到正角，如图③，两边再加上k×360°(k∈Z)．
4．已知α角所在的象限，判断角的终边所在的位置
活动与探究4
已知角α是第二象限角，试判断角是第几象限角．
迁移与应用
已知角α是第一象限角，试判断2α，是第几象限角．
与象限角有关的角的范围求法：
(1)解决与象限角有关的角的范围问题时，必须熟练掌握各象限角的表示，
第一象限角：{α|k×360°＜α＜90°＋k×360°，k∈Z}
第二象限角：{α|90°＋k×360°＜α＜180°＋k×360°，k∈Z}
第三象限角：{α|180°＋k×360°＜α＜270°＋k×360°，k∈Z}
第四象限角：{α|270°＋k×360°＜α＜360°＋k×360°，k∈Z}
(2)已知α角所在的象限，确定所在象限，方法一：是将k分为2n,2n＋1这两种情况讨论分析，再进行判断；
方法二：作出各个象限的角平分线，它们与坐标轴把周角等分成8个区域，从x轴的非负半轴起，按逆时针方向把这8个区域依次循环标上号码1、2、3、4，则标号是几的两个区域，就是α为第几象限角时，终边落在的区域，即所在的象限就可以直观地看出，如图所示．
当堂检测
1．已知α是第四象限角，则是( )．
A．第一或第二象限角
B．第二或第三象限角
C．第二或第四象限角
D．第三或第四象限角
2．给出下列四个命题：①－75°是第四象限角；②225°是第三象限角；③475°是第二象限角；④－615°是第一象限角．其中正确的命题有( )．
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
3．与405°角终边相同的角是( )．
A．k·360°－45°，k∈Z B．k·360°－405°，k∈Z
C．k·360°＋45°，k∈Z D．k·180°＋45°，k∈Z
4．(1)一个30°的角，将其终边按逆时针方向旋转三周，则旋转后的角是________．
(2)若时钟走过2小时40分，则分针转过的角度是________．
5．终边在第一、三象限角平分线上的角的集合为________；终边在第二、四象限角平分线上的角的集合为________．
提示：用最精炼的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记。
答案：
课前预习导学
【预习导引】
1．一条射线 端点 旋转
2．(1)逆时针 顺时针 没有作任何旋转 (2)原点 终边(除端点外)
3．原点 终边(除端点外)
预习交流1 (1)略 (2)一 三 四
3．S＝{β|β＝α＋k×360°，k∈Z} 整数
预习交流2 (1)D
(2){α|α＝20°＋k·360°，k∈Z}
课堂合作探究
【问题导学】
活动与探究1 分针转过的角的度数为－1 200°；时针转过的角的度数为－100°
迁移与应用 解：A∩B＝{α|0°＜α＜90°}，
A∪C＝{α|k×360°＜α＜90°＋k×360°，k∈Z}，
C∩D＝{α|k×360°＜α＜90°＋k×360°，k∈Z，k≤0}，
A∪D＝{α|α＜90°}．
活动与探究2 解：(1)－1 910°＝－6×360°＋250°，其中β＝250°，k＝－6，
从而α＝250°＋(－6)×360°，它是第三象限的角．
(2)令θ＝250°＋k×360°(k∈Z)，取k＝－1，－2就得到满足－720°≤θ＜0°的角，即250°－360°＝－110°，250°－720°＝－470°.所以θ为－110°，－470°.
迁移与应用 解：(1)－1 840°＝－6×360°＋320°，
故－1 840°是第四象限角．
(2)1 690°＝4×360°＋250°，
故1 690°是第三象限角．
活动与探究3 图①中S＝{α|60°＋k×360°≤α≤310°＋k×360°，k∈Z}．
图②中S＝{α|45°＋n×180°≤α≤90°＋n×180°，n∈Z}．
图③中S＝{α|－30°＋k×360°＜α＜30°＋k×360°，k∈Z}．
迁移与应用 解：终边落在第二象限内阴影部分中的角的集合可表示为{x|k×360°＋135°＜x≤k×360°＋180°，k∈Z}，终边落在第四象限内阴影部分中的角的集合可表示为{x|k×360°－15°≤x≤k×360°，k∈Z}，
∴终边落在阴影部分的角的集合可表示为
{x|k×360°＋135°＜x≤k×360°＋180°或－15°＋k×360°≤x≤k×360°，k∈Z}．
活动与探究4 解法一：(分类讨论法)
∵角α是第二象限角，
∴k×360°＋90°＜α＜k×360°＋180°，k∈Z.
∵k×180°＋45°＜＜k×180°＋90°，k∈Z，∴当k＝2n，n∈Z时，n×360°＋45°＜＜n×360°＋90°，即角是第一象限角；
当k＝2n＋1，n∈Z时，n×360°＋225°＜＜n×360°＋270°，即角是第三象限角．∴角的终边落在第一或第三象限．
解法二：(几何法)
先将各象限二等分，从x轴非负半轴起，按逆时针方向依次将各区域标上1,2,3,4，标有2的区域即为角的终边所在区域，如图所示，故角是第一、三象限角．
迁移与应用 2α是第一或第二象限角或终边在y轴的非负半轴上.是第一或第三象限角
【当堂检测】
1．C 2．C 3．C
4．(1)1 110° (2)－960°
5．{α|α＝k×180°＋45°，k∈Z}
{α|α＝k×180°＋135°，k∈Z}7.3 正切函数的诱导公式
问题导学
1．利用诱导公式求值
活动与探究1
(1)计算：①tan 945°；②tan．
(2)若sin(75°－α)＝m，则cos(15°＋α)的值是__________．
迁移与应用
已知tan＝－5，求tan的值．
应用诱导公式求值的方法
(1)利用“负角化正角，大角化小角”的原则，转化为0～之间的角，再根据特殊角的三角函数值求解．
(2)整体把握角与角之间的相互关系，把未知角转化为已知角进行求解．
2．利用诱导公式化简
活动与探究2
化简：．
迁移与应用
已知α是第三象限角，且
f(α)＝．
(1)化简f(α)；
(2)若sin＝，求f(α)；
(3)若α＝－1 860°，求f(α)．
(1)当三角式中出现形如±α(k∈Z)的角时，就应想到利用适当的诱导公式进行化简，同时要明确转化方向：负角化正角，大角化小角，异名化同名，复杂化简单．
(2)在利用诱导公式处理问题时，注意关键的两点：一定名称，二定符号．
3．利用诱导公式证明三角恒等式
活动与探究3
求证：＝－tan α．
迁移与应用
已知sin(α＋β)＝0，求证：tan(2α＋β)＋tan β＝0．
(1)三角恒等式的证明方式有多种，如“由繁到简”“左、右归一”“证等价式”等，要根据实际而选择，本例中显然适于“由繁到简”，化简左式推出右式．
(2)证明过程的本质即为左式的化简，其关键是根据角的特征，准确地选用适当的诱导公式化“多角”为“一角”，从而成为同角三角函数表达式，问题得以解决．
当堂检测
1．tan480°的值为( )．
A． B．－ C． D．－
2．tan的值等于( )．
A．－1 B．－ C． D．1
3．已知570°角的终边上有一点P(a，－3)，则a的值为( )．
A．3 B．－3 C． D．－
4．化简＝__________．
5．求三角函数式sin(－1 200°)·cos 1 290°＋cos(－1 020°)·sin(－1 050°)＋tan 945°的值．
提示：用最精炼的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记．
答案：
课前预习导学
【预习导引】
1．(1)tan α (2)－tan α
(3)－tan α (4)－tan α (5)tan α
2．(1)－cot α (2)cot α
预习交流1 提示：正切函数诱导公式中的角α是任意角，并不一定是锐角．形如k·±α的角，正弦、余弦、正切函数的诱导公式可归纳为“奇变偶不变，符号看象限”，当k为偶数时，得α的同名函数值；当k为奇数时，得α的异名函数值，然后在前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．
预习交流2 (1)－
(2)－
课堂合作探究
【问题导学】
活动与探究1 (1)解：
①tan 945°＝tan(2×360°＋225°)＝tan 225°＝tan(180°＋45°)＝tan 45°＝1.
②tan＝－tan
＝－
＝tan ＝.
(2)m 解析：由15°＋α＋75°－α＝90°，可知cos(15°＋α)＝sin[90°－(15°＋α)]＝sin(75°－α)＝m.
迁移与应用 5
活动与探究2 解：原式＝
＝
＝
＝＝1.
迁移与应用 (1)－cos α
(2)－ (3)－
活动与探究3 证明：左边＝
＝
＝－tan α＝右边．
∴被证式得证．
迁移与应用 略
【当堂检测】
1．B 2．A 3．B 4．－ 5．2§4 正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式
4.1 任意角的正弦函数、余弦函数的定义
问题导学
1．利用定义求任意角的正弦、余弦值
活动与探究1
已知角α的终边在射线y＝2x(x＞0)上，求角α的正弦函数值、余弦函数值．
迁移与应用
在直角坐标系的单位圆中，α＝．
(1)画出角α；
(2)求出角α的终边与单位圆的交点坐标．
(1)已知角α的终边在直线上求α的三角函数值时，常用的解题方法有以下两种：
①先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后利用三角函数的定义直接求出相应的三角函数值．
②注意到角的终边为射线，取射线上任一点坐标(a，b)，则对应角的正弦值sin α＝，余弦值cos α＝．
(2)当角的终边上的点的坐标以参数的形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论．
2．正弦值与余弦值的符号判断及应用
活动与探究2
(1)判断符号：sin 340°cos 265°；
(2)若sin 2α＞0，且cos α＜0，试确定α所在的象限．
迁移与应用
(1)判断符号：①sin 105°·cos 230°__________0；
②sin·cos__________0．
(2)若cos α＞0，且sin α＜0，则α是第__________象限角．
对于确定α角所在象限问题，应首先确定正弦、余弦函数的符号，然后确定角α所在的象限，则它们所在象限的公共部分即为所求．
3．与正弦、余弦函数有关的定义域问题
活动与探究3
求下列函数的定义域：
(1)y＝；
(2)y＝lg sin 2x＋．
迁移与应用
函数y＝＋的定义域是( )．
A．(2kπ，(2k＋1)π)(k∈Z)
B．(k∈Z)
C．(k∈Z)
D．[2kπ，(2k＋1)π](k∈Z)
求解三角函数定义域的解题策略
求解含有三角函数式的函数的定义域问题，和求定义域的问题的解决方法是一致的，即通过列不等式或不等式组，然后解不等式或不等式组，最后写出函数的定义域．凡涉及三角函数的定义域问题，在求解时，必须考虑到三角函数本身一定有意义．在求解一个固定的集合与一个含有无限多段的集合的交集时，可以通过取特殊值或画数轴来解决．
当堂检测
1．若sin θcos θ＞0，则θ在( )．
A．第一或第二象限
B．第一或第三象限
C．第一或第四象限
D．第二或第四象限
2．已知角α的终边过点P(－1,2)，则cos α的值为( )．
A．－ B．－ C． D．
3．若α是第三象限角，则－＝( )．
A．0 B．1 C．2 D．－2
4．函数y＝的定义域是__________．
5．若点P(－4a,3a)(a≠0)为角α终边上一点，求sin α，cos α．
提示：用最精炼的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记。
答案：
课前预习导学
【预习导引】
1．原点 单位长
2．纵坐标 v＝sin α 横坐标 u＝cos α 全体实数 [－1,1]
预习交流1 略
预习交流2 (1)
(2)－ － 解析：x＝－3，y＝－1，r＝，
∴sin A＝＝－，
cos A＝＝－.
3．＋ ＋ － － ＋ － － ＋
预习交流3 (1)提示：根据正弦函数与余弦函数的定义可知，正弦函数与余弦函数的函数值的符号由角α终边上点的坐标确定，而角终边上点的坐标符号又由终边所在的位置确定，因此要确定角α的正弦值或余弦值的符号，只需确定角α终边所在的位置．
(2)＜ ＜
课堂合作探究
【问题导学】
活动与探究1 sin α＝，cos α＝
迁移与应用 解：(1)如图所示．
(2)∵sin α＝，cos α＝，
∴角α的终边与单位圆的交点坐标为，如图所示．
活动与探究2 解：(1)∵340°是第四象限角，265°是第三象限角，
∴sin 340°＜0，cos 265°＜0.
∴sin 340°cos 265°＞0.
(2)∵sin 2α＞0，∴2kπ＜2α＜2kπ＋π(k∈Z)，
∴kπ＜α＜kπ＋(k∈Z)．
当k为偶数时，设k＝2m(m∈Z)，有2mπ＜α＜2mπ＋(m∈Z)；
当k为奇数时，设k＝2m＋1(m∈Z)，有2mπ＋π＜α＜2mπ＋(m∈Z)．
∴α为第一或第三象限角．又由cos α＜0，可知α为第三象限角．
迁移与应用 (1)①＜ ②＞ (2)四
活动与探究3 (1){x|x∈R且x≠kπ，k∈Z}
(2)
迁移与应用 B 解析：要使函数有意义，须
∴
∴2kπ＋≤x≤2kπ＋π，k∈Z.
【当堂检测】
1．B 2．A 3．A
4．{x|2kπ－π≤x≤2kπ，k∈Z}
5．a＞0时，sin α＝，cos α＝－；a＜0时，sin α＝－，cos α＝§5 正弦函数的性质与图像
问题导学
1．正弦函数的图像
活动与探究1
(1)用“五点法”作y＝2－sin x的图像时，首先描出的五个点的纵坐标是( )．
A．0,1,0，－1,0
B．0,2,0，－2,0
C．2,1,2,3,2
D．2,3,2，－3,2
(2)用“五点法”作函数y＝－1＋sin x(x∈[0,2π])的简图．
迁移与应用
1．正弦函数y＝sin x(x∈R)的图像的一条对称轴是( )．
A．x轴 B．y轴
C．直线x＝ D．直线x＝π
2．用“五点法”作出y＝2sin x，x∈[0,2π]的简图．
作函数y＝asin x＋b的图像的步骤
2．正弦函数的定义域问题
活动与探究2
求函数y＝的定义域．
迁移与应用
求下列函数的定义域：
(1)y＝；
(2)y＝log2sin x；
(3)y＝log．
含正弦函数的复合函数的定义域的求法：
(1)常见的限制条件有①分式的分母不等于0；②对数的真数大于0；③二次根式的被开方数大于等于0．
(2)列出含正弦函数的不等式组，化简为含sin x的不等式，利用数形结合，在正弦曲线或单位圆中表示，然后取各部分的交集．
3．正弦函数的值域、最值问题
活动与探究3
求下列函数的值域：
(1)y＝3－2sin 2x；
(2)y＝sin2x－sin x＋1，x∈．
迁移与应用
求函数y＝＋sin x－sin2x(x∈R)的值域．
有关正弦函数的值域或最值的常见类型及求法：
(1)形如y＝Asin(ωx＋φ)＋k的求最值或值域问题，利用正弦函数的有界性，即|sin x|≤1；
(2)形如y＝psin 2x＋qsin x＋r(p≠0)的函数求最值或值域问题，通过换元法转化为给定区间[m，n]上的二次函数的最值问题，必要时要分区间讨论转化成常见的“轴变区间定”或“轴定区间变”问题求解；
(3)形如y＝的函数求最值或值域问题，可化为sin x＝f(y)的形式，通过|f(y)|≤1求解，或利用分离常数法求解．
4．正弦函数的单调性及应用
活动与探究4
利用正弦函数的单调性，比较下列各对正弦值的大小．
(1)sin 190°与sin 200°；
(2)sin与sin；
(3)sin与sin．
迁移与应用
不通过求值，指出下列各式大于零还是小于零．
(1)sin 135°－sin 144°；
(2)sin－sin；
(3)sin－sin．
1．对正弦函数单调性的理解：
(1)正弦函数在定义域R上不是单调函数．
(2)因为正弦函数是周期函数，周期为2π，所以研究正弦函数的单调性，只要研究一个周期内(如[0,2π])的单调性即可．
2．利用单调性比较三角函数值的大小的步骤：
(1)异名函数化为同名函数．
(2)利用诱导公式把角化到同一单调区间上．
(3)利用函数的单调性比较大小．
3．求函数的单调区间时，要充分利用正弦函数的递增、递减区间．
在求复合函数的单调区间时，要先求定义域，同时还要注意内层、外层函数的单调性．
5．三角函数的奇偶性问题
活动与探究5
判断下列函数的奇偶性．
(1)f (x)＝xsin(π＋x)；
(2)f(x)＝；
(3)f(x)＝lg(sin x＋)．
迁移与应用
已知f(x)＝ax＋bsin3x＋1(a，b为常数)．
(1)若g(x)＝f(x)－1，试证明g(x)为奇函数；
(2)若f(5)＝7，求f(－5)．
(1)判断函数奇偶性的方法
特别提醒：对于正弦函数要注意诱导公式sin(－x)＝－sin x的应用．
(2)正弦函数的奇偶性问题的求解方法是：首先在所求的区间上设自变量，然后转化到已知条件上来解决．
当堂检测
1．函数f(x)＝1＋sin x的最小正周期是( )．
A． B．π C． D．2π
2．函数y＝sin的定义域是( )．
A．R B．[－1,1]
C． D．[－3,3]
3．函数y＝sin x的值域是( )．
A．[－1,1] B．
C． D．
4．函数f(x)＝是( )．
A．奇函数 B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数
5．令a＝sin，b＝sinπ，则a与b的大小关系是__________．
6．用五点法作出函数y＝sin x－2在x∈[－2π，2π]上的图像．
提示：用最精炼的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记。
答案：
课前预习导学
【预习导引】
1．(2)(0,0) (π，0) (2π，0)
预习交流1 略
预习交流2
(1)和 － 1 －1
(2) [－2,4]
(k∈Z)
课堂合作探究
【问题导学】
活动与探究1 (1)C (2)略
迁移与应用 1．C
2．解：①列表：
x 0 π 2π
y＝2sin x 0 2 0 －2 0
②描点绘图，如下图．
活动与探究2 解：为使函数有意义，需满足
即由正弦函数的图像(见图(1))或单位圆(见图(2))可得，如图所示．
所以函数的定义域为
.
迁移与应用 解：(1)
(2){x|2kπ＜x＜2kπ＋π，k∈Z}
(3).
活动与探究3 解：(1)∵－1≤sin 2x≤1，∴－2≤－2sin 2x≤2.
∴1≤3－2sin 2x≤5.
∴函数的值域为[1,5]．
(2)y＝sin2x－sin x＋1＝2＋.
设t＝sin x，∵x∈，
∴由正弦函数的图像知≤t≤1.
而函数y＝2＋在上单调递增，
∴当t＝，即x＝时，ymin＝，当t＝1，即x＝时，ymax＝1.
∴函数的值域是.
迁移与应用 解：设sin x＝t，则t∈[－1,1]．
∴y＝－t2＋t＋＝－2＋2.
∴当t＝－1时，ymin＝－；
当t＝时，ymax＝2.∴所求函数值域为.
活动与探究4 解：(1)sin 190°＝sin(180°＋10°)＝－sin 10°，
sin 200°＝sin(180°＋20°)＝－sin 20°.
∵y＝sin x在(0°，90°)上单调递增，
∴sin 10°＜sin 20°，
从而－sin 10°＞－sin 20°，
∴sin 190°＞sin 200°.
(2)∵y＝sin x在上单调递增，
且－＜－＜－＜，
∴sin＜sin.
(3)sin＝sin＝－sin，
sin＝sin
＝－sin，
∵＞＞＞0，
∴sin＞sin.
∴－sin＜－sin.
∴sin＜sin.
迁移与应用 (1)＞0 (2)＞0 (3)＜0
活动与探究5 解：(1)f(x)＝－x·sin x，定义域为R.
∵f(－x)＝x·sin(－x)＝－x·sin x＝f(x)，
∴函数f(x)为偶函数．
(2)由2sin x－1≥0得sin x≥，
∴x∈
(k∈Z)．
定义域不关于原点对称，
故f(x)为非奇非偶函数．
(3)∵＞|sin x|≥－sin x，
∴sin x＋＞0.
∴函数的定义域为R，关于原点对称．
又f(－x)＋f(x)
＝lg(－sin x＋)＋lg(sin x＋)
＝lg[(－sin x＋)(sin x＋)]
＝lg(1＋sin2x－sin2x)
＝lg 1＝0，
∴f(－x)＝－f(x)．
∴f(x)为奇函数．
迁移与应用 (1)略 (2)－5
【当堂检测】
1．D 2．A 3．B 4．B
5．b＜a 6．略4.3 单位圆与诱导公式
问题导学
1．周期函数的理解与应用
活动与探究1
已知f(x＋a)＝－f(x)(a＞0)，求证：f(x)是周期函数，并求出它的一个周期．
迁移与应用
(1)若钟摆的高度h(mm)与时间t(s)之间的函数关系如图所示．
则该函数的周期及在t＝25 s时钟摆的高度为( )
A．2 s,10 mm B．1 s,20 mm
C．1 s,10 mm D．2 s,20 mm
(2)已知函数f(x)是R上的周期为5的周期函数，且f(1)＝2 012，求f(11)．
(1)周期的定义是对定义域中每一个x值来说的．如果只有个别的x值满足f(x＋T)＝f(x)，则不能说T是f(x)的周期．
(2)从等式f(x＋T)＝f(x)来看，应强调自变量x本身加的常数才是周期．如f(2x＋T)＝f(x)，不能说T是f(x)的周期．
2．利用诱导公式求值
活动与探究2
求下列三角函数值．
(1)cos 945°；(2)sinπ；
(3)cos；(4)sin．
迁移与应用
求下列三角函数值．
(1)sin；(2)cos；
(3)cos(－60°)－sin(－210°)．
解答该类题目的常用方法是先把负角化成正角，然后再把大于360°的角利用诱导公式转化到0°～90°之间的角进行求值．在公式的选取上没有固定格式，关键在于熟练运用．
活动与探究3
已知cos＝m(|m|≤1)，求cos，sin的值．
迁移与应用
已知sin(45°＋α)＝，求sin(135°－α)的值．
利用诱导公式解决条件求值问题的方法
(1)仔细分析条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算的差异及联系．
(2)当条件式与所求式中未知角的符号相同时，将两角相减，当未知角符号相反时， 将两角相加可得出两角的关系，再选用恰当诱导公式求值．
3．三角函数式的化简问题
活动与探究4
化简求值：．
迁移与应用
化简：．
化简三角函数式的策略
角多、函数类型多是三角函数式化简问题的特点，据此解答此类问题时要注意以下几点：
(1)化简时要使函数类型尽量少，角的弧度数(或角度数)的绝对值尽量小，能求值的要求出值．
(2)认真观察有关角之间的关系，根据需要变角，如＋α可写成2π－或π＋，不同的表达方式，决定着使用不同的诱导公式．
当堂检测
1．cos 300°＝( )
A．－ B．－ C． D．
2．已知f(x)是R上的奇函数，且f(1)＝2，f(x＋3)＝f(x)，则f(8)＝( )
A．2 B．－2 C．0 D．8
3．sin(π－2)－cos化简的结果为( )．
A．0 B．－1 C．2sin 2 D．－2sin 2
4．已知cos＝，则cos＝__________．
5．化简：．
提示：用最精炼的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记。
答案：
课前预习导学
【预习导引】
1．(1)sin x cos x (2)f(x＋T)＝f(x) 周期 (3)周期 周期 最小的正数 最小的正数
预习交流1 略
2．(1)－sin α cos α －sin α cos α sin α －cos α －sin α －cos α
(2)cos α －sin α cos α sin α
预习交流2 提示：(1)关于2kπ＋α(k∈Z)，－α，2π－α，π±α的正弦(余弦)诱导公式可简记为“函数名不变，符号看象限”．
(2)关于±α的正弦(余弦)的诱导公式可简记为“函数名互换，符号看象限”．
(3)将两类公式归纳为：k×＋α(k∈Z)的三角函数值，k为偶数时，得α的同名函数值，当k为奇数时，得α的异名函数值，然后都在前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．概括为“奇变偶不变，符号看象限”．
预习交流3 (1)－
(2)－ (3) (4)
课堂合作探究
【问题导学】
活动与探究1 证明：∵f(x＋2a)＝f[(x＋a)＋a]＝－f(x＋a)＝－[－f(x)]＝f(x)，
∴f(x)是周期函数，且2a是它的一个周期．
迁移与应用 (1)D (2)2 012
活动与探究2 解：(1)cos 945°＝cos(2×360°＋225°)＝cos 225°＝cos(180°＋45°)＝－cos 45°＝－；
(2)sinπ＝sin＝sinπ＝sin
＝－sin＝－；
(3)cos
＝cos
＝－cos
＝－＝；
(4)sin
＝－sin＝－sin
＝－sin＝sin＝.
迁移与应用 (1)－
(2)－ (3)0
活动与探究3 cos＝－m，sin＝m.
迁移与应用
活动与探究4 解：原式＝
＝
＝
＝1.
迁移与应用 1
【当堂检测】
1．C 2．B 3．A 4． 5．1§6 余弦函数的图像与性质
问题导学
1．余弦函数的图像及应用
活动与探究1
画出函数y＝－cos x，x∈[0,2π]的简图．
活动与探究2
利用余弦函数的图像解不等式cos x≥．
迁移与应用
函数y＝1＋cos x的图像( )．
A．关于x轴对称 B．关于y轴对称
C．关于原点对称 D．关于直线x＝对称
(1)作函数y＝acos x＋b的图像的步骤．
(2)利用函数的图像解不等式时，要准确作出函数的图像，找出一个周期内与x轴交点的横坐标是关键．
2．余弦函数的定义域
活动与探究3
求下列函数的定义域．
(1)y＝；(2)y＝log3．
迁移与应用
1．函数f(x)的定义域为[0,1]，则f(cos x)的定义域为__________．
2．求函数的定义域：
y＝．
含余弦函数的复合函数的定义域的求法：
(1)利用常见函数定义域的限制条件列出不等式(组)；
(2)利用余弦函数的图像或单位圆解有关余弦不等式，写出解集；
(3)注意正确写出余弦值对应的特殊角．
3．余弦函数的值域(最值)
活动与探究4
已知x∈，
(1)求函数y＝cos x的值域；
(2)求函数y＝－3(1－cos2x)－4cos x＋4的最大值、最小值．
迁移与应用
1．函数y＝ecos x的值域是______．
2．求函数y＝－cos2x＋cos x＋2的最大值及相应的x的值．
(1)求形如y＝acos x＋b的三角函数的最值时，既要注意x的限定范围，又要注意a的正、负对最值的影响．
(2)形如y＝acos2x＋bcos x＋c(a≠0)的三角函数最值问题常利用二次函数的思想转化成在给定区间[m，n]上求二次函数最值的问题，解答时依然采用数形结合的思想加以分析，必要时要分区间讨论转化成常见的“轴变区间定”，或“轴定区间变”问题．
4．余弦函数单调性的应用
活动与探究5
(1)比较cos与cos的大小；
(2)求y＝2cos的单调区间．
迁移与应用
求函数y＝cos的单调递减区间．
(1)比较余弦值大小的常用方法是首先利用诱导公式化简到同一单调区间上，再利用单调性比较大小；
(2)求函数y＝Acos(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的单调区间的关键是把ωx＋φ看成一个整体．然后利用余弦函数的单调区间建立不等式，解出x．注意当ω＜0时，要先利用诱导公式化负为正．
5．余弦函数的奇偶性与周期性
活动与探究6
判断函数f(x)＝cos(2π－x)－x3sin x的奇偶性．
活动与探究7
求函数y＝cos 2x，x∈R的周期．
迁移与应用
1．下列函数中，以π为周期的偶函数是( )．
A．y＝sin|x| B．y＝|cos x|
C．y＝cos D．y＝sin
2．已知函数y＝f(x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝sin 2x＋cos x，求f(x)的解析式．
1．求函数的最小正周期的基本方法：
(1)若能直接用某些结论，则用其结论即可；若不能直接用，可对其解析式进行等价变形后，再使用结论；
(2)一般地，y＝Acos(ωx＋φ)的周期为T＝．
2．函数奇偶性的应用：
(1)画关于原点对称的区间上的图像．
(2)判断函数的单调性(或比较函数值的大小)．
(3)求函数的解析式．
当堂检测
1．函数y＝cos x的值域是( )．
A．[－1,1] B． C． D．[－1,0]
2．函数y＝－cos x，x∈[0,2π]，其单调性是( )．
A．在[0，π]上是增函数，在[π，2π]上是减函数
B．在上是增函数，在，上是减函数
C．在[π，2π]上是增函数，在[0，π]上是减函数
D．在，上是增函数，在上是减函数
3．函数y＝－xcos x的部分图像是图中的( )．
4．(1)比较大小：cos__________cos；
(2)函数y＝的定义域是__________．
5．已知函数y＝a－bcos x的最大值是，最小值是－，求函数y＝－4asin bx的最大值．
提示：用最精炼的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记．
答案：
课前预习导学
【预习导引】
1．(1)向左平移个 (2)余弦曲线
预习交流1 (0,1)、、(π，－1)、、(2π，1)
预习交流2 左 2π
2．R [－1,1] 2kπ 1
(2k＋1)π －1 2π [2kπ－π，2kπ] [2kπ，2kπ＋π] 偶 y
x＝kπ (kπ＋，0)(k∈Z)
预习交流3 提示：(1)定义域都是R，值域都是[－1,1]，也称正弦、余弦函数的有界性．
(2)最小正周期都是2π.
(3)图像形状相同，只是在坐标系中位置不同．
预习交流4 (1)B
(2)(k∈Z)
(3)＞ ＜
课堂合作探究
【问题导学】
活动与探究1 解：画法一：按五个关键点列表：
x 0 π 2π
y＝cos x 1 0 －1 0 1
y＝－cos x －1 0 1 0 －1
描点并将它们用光滑的曲线连接起来，如图所示：
画法二：先用五点法画y＝cos x，x∈[0,2π]的图像，再作它关于x轴的对称图形，即得到y＝－cos x，x∈[0,2π]的图像．
活动与探究2
.
迁移与应用 B 解析：y＝1＋cos x的图像由y＝cos x的图像向上平移1个单位得到，又因为y＝cos x的图像关于y轴对称，故y＝1＋cos x的图像也关于y轴对称．
活动与探究3 解：(1)要使函数有意义，需满足1＋cos x≠0，
∴cos x≠－1.
∴x≠2kπ＋π，k∈Z.
故所求函数的定义域为
{x|x≠2kπ＋π，k∈Z}．
(2)要使函数有意义，需满足＞0，
∴－cos x＞0，cos x＜.
∴2kπ＋＜x＜2kπ＋，k∈Z.
故所求函数的定义域为
.
迁移与应用 1.
(k∈Z)
2．.
活动与探究4 解：(1)∵x∈，作出函数y＝cos x的图像(图像略)，从图像上可知
当x＝0时，ymax＝1，
当x＝时，ymin＝cos＝－，
∴函数的值域为.
(2)设t＝cos x，由(1)知，t∈.
∴y＝－3(1－t2)－4t＋4
＝3t2－4t＋1
＝32－.
根据二次函数的图像，可知
当t＝，即cos x＝时，
ymin＝－.
当t＝－，即cos x＝－时，ymax＝.
迁移与应用 1．
解析：∵cos x∈[－1,1]，
∴ecos x∈.
2．x＝2kπ±(k∈Z)时，ymax＝
活动与探究5 解：(1)
∵cos＝cos
＝cos，
cos＝cos
＝cos，
而π＞＞＞0，且y＝cos x在[0，π]上是减函数，
∴cos＜cos，即
cos＜cos.
(2)由2kπ－π≤2x＋≤2kπ(k∈Z)，得kπ－≤x≤kπ－(k∈Z)，
∴函数的递增区间是(k∈Z)．
由2kπ≤2x＋≤2kπ＋π(k∈Z)，得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，
∴函数的递减区间是(k∈Z)．
迁移与应用 解：由2kπ≤3x－≤2kπ＋π，k∈Z，得＋≤x≤＋，k∈Z.
∴单调递减区间是(k∈Z)．
活动与探究6 解：函数的定义域为R，关于原点对称，
又f(x)＝cos x－x3sin x，
∴f(－x)＝cos(－x)－(－x)3sin(－x)＝cos x－x3sin x＝f(x)．
∴f(x)为偶函数．
活动与探究7 π
迁移与应用 1．B 解析：A中函数y＝sin|x|不是周期函数，C中函数y＝cos既不是奇函数也不是偶函数，D中函数y＝sin的周期为2π.
2．f(x)＝
【当堂检测】
1．B 2．A 3．D
4．(1)＞
(2)(k∈Z)
5．2§9 三角函数的简单应用
问题导学
1．已知三角函数的模型解决实际问题
活动与探究1
如图所示，表示电流I(单位：安)与时间t(单位：秒)的关系式I＝Asin(ωt＋φ)(A＞0，ω＞0)在一个周期内的图像．
(1)试根据图像写出I＝Asin(ωt＋φ)的解析式；
(2)为了使I＝Asin(ωt＋φ)中，t在任意一段秒的时间内能同时取最大值A和最小值－A，那么正整数ω的最小值为多少？
迁移与应用
如图所示，某市拟在长为8 km的道路OP的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM，该曲线段为函数y＝Asin ωx(A＞0，ω＞0)，x∈[0,4]的图像，且图像的最高点为S(3,2)；赛道的后一部分为折线段MNP．为保证参赛运动员的安全，限定∠MNP＝120°，求A，ω的值和M，P两点间的距离．
这类问题的特点是三角函数的解析式结构已知，要求根据图像或性质首先求出待定的A，ω，φ，b的值，然后再利用解析式解决有关问题，其中准确确定待定字母的值是解题的关键．
2．建立三角函数模型解决实际问题
活动与探究2
如图所示，摩天轮的半径为40 m，O点距地面的高度为50 m，摩天轮做匀速转动，每3 min转一圈，摩天轮上的P点的起始位置在最低点处．
(1)试确定在时刻t min时P点距离地面的高度；
(2)在摩天轮转动的一圈内，有多长时间P点距离地面超过70 m
迁移与应用
受日月的引力，海水会发生涨落．这种现象叫作潮汐．在通常情况下，船在涨潮时驶进航道靠近船坞；卸货后落潮时返回海洋．
某港口水的深度y(米)是时间t(0≤t≤24，单位：时)的函数，记作y＝f(t)，下面是某日水深的数据：
t(时) 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y(米) 10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 13.0 10.1 7.0 10.0
经长期观察，y＝f(t)的曲线可以近似地看成函数y＝Asin ωt＋b的图像．
(1)试根据以上数据，求出函数y＝f(t)的近似表达式；
(2)一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离为5米或5米以上时认为是安全的(船舶停靠时，船底只需不碰海底即可)．某船吃水深度(船底离水面的距离)为6.5米，如果该船希望在同一天内安全进出港，请问：它至多能在港内停留多长时间(忽略进出港所需的时间)
解决这类问题首先要建立坐标系，根据题意确定函数的解析式，然后再解决相关问题．
3．三角函数的最值问题
活动与探究3
如图所示，ABCD是一块边长为100 m的正方形地皮，其中AST是一半径为90 m的扇形小山，其余部分都是平地，一开发商想在平地上建一个矩形停车场，使矩形的一个顶点P在上，相邻两边CQ，CR落在正方形的边BC，CD上．求矩形停车场PQCR面积的最大值和最小值．(提示：sin2θ＋cos2θ＝1)
迁移与应用
如图，动点P在以AB＝4为直径的半圆上自A向B运动，设＝x，△ABP的面积为S，试把S表示成x的函数，并求当S取最大值时x的值．
处理以三角形为模型的三角函数的实际应用问题的关键在于如何巧妙地引入角，使实际问题转化为三角函数问题．
当堂检测
1．如图所示为一简谐振动的图像，则下列判断正确的是( )．
A．该质点的振动周期为0.7 s
B．该质点的振幅为5 cm
C．该质点在0.1 s和0.5 s时振动速度最大
D．该质点在0.3 s和0.7 s时的加速度为零
2．如图所示，为一半径为3 m的水轮，水轮圆心O距离水面2 m，已知水轮自点A开始1 min旋转4圈，水轮上的点P到水面距离y(m)与时间x(s)满足函数关系y＝Asin(ωx＋φ)＋2，则( )．
A．ω＝，A＝3 B．ω＝，A＝3
C．ω＝，A＝5 D．ω＝，A＝5
3．已知某人的血压满足函数解析式f(t)＝24sin 160πt＋110，其中f(t)为血压，t为时间，则此人每分钟心跳的次数为( )．
A．60 B．70 C．80 D．90
4．动点A(x，y)在圆x2＋y2＝1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周．已知时间t＝0时，点A的坐标是，则当0≤t≤12时，动点A的纵坐标y关于t(单位：秒)的函数的单调递增区间是__________．
5．一个悬挂在弹簧上的小球，被从它的静止位置向下拉0.2 m的距离，如图所示，此小球在t＝0时被放开并允许振动．如果此小球在1 s后又回到这一位置．
(1)求出描述此小球运动的一个函数关系式；
(2)求当t＝6.5 s时小球所在的位置．
提示：用最精炼的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记．
答案：
课前预习导学
【预习导引】
预习交流 解：(1)当t＝0时，U＝110(伏)，即开始时的电压为110伏．
(2)T＝＝(秒)，即电压值重复出现一次的时间间隔为0.02秒．
(3)电压的最大值为220伏．
当100πt＋＝，即t＝秒时第一次获得这个最大值．
课堂合作探究
【问题导学】
活动与探究1 解：(1)由图已知A＝300，T＝－＝，所以ω＝＝100π.
又因为是“五点法”作图的第三个点，
所以×100π＋φ＝π.
所以φ＝.
所以I＝300sin.
(2)依题意有T≤，即≤.所以ω≥200π，
又因为ω∈N＋，所以ω的最小正整数为629.
迁移与应用 解：依题意，有A＝2，＝3，
又T＝，∴ω＝.
∴y＝2sin x.
当x＝4时，y＝2sin ＝3，
∴M(4,3)．又P(8,0)，
∴MP＝＝5.
活动与探究2 解：(1)以中心O为坐标原点建立如图所示的坐标系，设t min时P距地面高度为y，依题意得
又∵T＝3，∴ω＝.
由于起始位置在最低点处，
则φ＝－.
∴y＝40sin＋50.
(2)令40sin＋50＞70，
∴sin＞，
∴2kπ＋＜t－＜2kπ＋(k∈Z)，
∴2kπ＋＜t＜2kπ＋(k∈Z)，
∴3k＋1＜t＜3k＋2.
令k＝0，得1＜t＜2.
因此，共有1min P点距离地面超过70 m.
迁移与应用 解：(1)由已知数据作出散点图如下，易知函数y＝f(t)的周期T＝12，振幅A＝3，b＝10，所以y＝3sin ＋10，t∈[0,24]．
(2)由题意知，该船进出港时，水深应不小于5＋6.5＝11.5(米)，
所以3sin＋10≥11.5.
所以sin≥.
解得2kπ＋≤t≤2kπ＋(k∈Z)，12k＋1≤t≤12k＋5(k∈Z)．
在同一天内，取k＝0或1，
所以1≤t≤5或13≤t≤17.
所以该船最早能在凌晨1时进港，下午17时出港，它至多能在港内停留16小时．
活动与探究3 解：设∠PAB＝θ(0°≤θ≤90°)，延长RP交AB于点M，则
AM＝90cos θ，MP＝90sin θ，
PQ＝MB＝100－90cos θ，
PR＝MR－MP＝100－90sin θ.
故矩形PQCR的面积为
S＝PQ·PR＝(100－90cos θ)(100－90sin θ)
＝10 000－9 000(sin θ＋cos θ)＋8 100sin θcos θ.
设sin θ＋cos θ＝t(1≤t≤)，
则sin2θ＋cos2θ＋2sin θcos θ＝t2，
∴sin θcos θ＝.
∴S＝10 000－9 000t＋8 100×＝4 0502＋950.
故当t＝时，Smin＝950(m2)；
当t＝时，Smax＝14 050－9 000(m2)．
迁移与应用 解：由弧长公式得∠AOP＝(0＜x＜2π)，
∴△ABP的面积是
S＝2×OA×OPsin
＝2××2×2×sin
＝4sin ，
即S＝4sin .
当sin ＝1，即＝，x＝π时，Smax＝4.
【当堂检测】
1．B 2．A 3．C 4．[0,1]和[7,12]
5．解：(1)取向上的位移为正，设在t s时小球相对于静止位置的位移为s，根据物理知识可设s＝Asin(ωt＋φ)．
由题中条件可知A＝0.2，T＝1，ω＝＝2π.
又t＝0时，s＝－0.2，故0.2sin φ＝－0.2，取φ＝－.
故s＝0.2sin，即s＝－0.2cos 2πt.
(2)令t＝6.5，
则s＝－0.2cos 13π＝0.2，
故当t＝6.5 s时小球在静止位置的上方0.2米处．§3 弧度制
问题导学
1．角度制与弧度制的互化
活动与探究1
(1)把112°30′化成弧度；(2)把－化成度．
迁移与应用
把下列各角从度化成弧度或从弧度化成度．
(1)67°30′；(2)810°；(3)108°；(4)135°；(5)7π；(6)－；(7)；(8)－．
1．角度与弧度的互化．
(1)原则：牢记180°＝π rad，充分利用1°＝ rad，
1 rad＝°进行换算．
(2)方法：设一个角的弧度数为α，角度数为n，则
α rad＝°；n°＝n· rad．
2．将角度制化为弧度制，当角度制中含有“分”“秒”单位时，应先将它们统一转化为“度”，再利用1°＝ rad化为弧度即可．
以弧度为单位表示角时，常把弧度写成多少π的形式．如无特殊要求，不必把π写成小数．
2．用弧度表示终边相同的角及区域角
活动与探究2
已知角α＝2 005°，
(1)将α改写成β＋2kπ(k∈Z,0≤β＜2π)的形式，并指出α是第几象限的角；
(2)在区间[－5π，0)上找出与α终边相同的角．
迁移与应用
已知角α的终边与的终边相同，求角在[0,2π)内的值．
(1)用弧度表示终边相同的角
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的集合用弧度可表示为{β|β＝2kπ＋α，k∈Z}，这里α应为弧度数．
(2)在某个区间内寻找与α终边相同的角β
①首先表示β的一般形式．
②然后根据区间范围讨论k的值．
③最后把k的值代入β的一般形式求出．
活动与探究3
用弧度表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在图中的阴影部分内的角的集合(不包括边界)．
迁移与应用
用弧度表示顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边落在阴影部分内的角的集合，如图所示，包括边界．
区域角的表示方法
(1)要用终边相同的角的表示形式表示出以阴影部分的边界为终边的角，并注意旋转的方向及两边界角的大小顺序；
(2)表达式中角度制与弧度制不能混用；
(3)要分清阴影部分是否包括边界，以确定表达式中是否带“等号”．
3．弧长公式及扇形面积公式的应用
活动与探究4
扇形AOB的周长为8 cm，圆心角为α(0＜α＜2π)．
(1)若这个扇形的面积为3 cm2，求圆心角α的大小；
(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角α的大小．
迁移与应用
如图所示，已知扇形AOB的圆心角为120°，半径长为6，求：
(1)的长；
(2)弓形ACB的面积．
(1)在弧度制下的弧长公式及扇形面积公式中，由α，r，l，S中的两个量可以求出另外的两个量，即用方程的思想“知二求二”．
(2)求扇形的面积关键是求得扇形的圆心角、半径、弧长三个量中的任意两个量．相反，也可由扇形的面积结合其他条件，求扇形的圆心角、半径、弧长．解题时要注意公式的灵活变形及方程思想的运用．
当堂检测
1．下列说法中，错误的是( )．
A．用角度制和弧度制度量任一角，单位不同，量数也不同
B．1°的角是周角的，1 rad的角是周角的
C．1 rad的角比1°的角要大
D．用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径无关
2．已知扇形的圆心角为弧度，半径为2，则扇形的面积为( )．
A．π B．
C．2π D．
3．把－1 485°写成2kπ＋α(0≤α＜2π，k∈Z)的形式是( )．
A．－8π＋ B．－8π－
C．－10π－ D．－10π＋
4．(1)300°化为弧度是________；
(2)－化为度是________；
(3)终边落在如图的阴影部分(包括边界)的角的集合是________．
5．已知扇形的周长为6 cm，面积为2 cm2，求扇形圆心角α(0＜α＜2π)．
提示：用最精炼的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记。
答案：
课前预习导学
【预习导引】
1．(1) (2)1弧度的角 rad 弧度 弧度
预习交流1 略
预习交流2 30° 45° 120°
0
3．正数 负数 0
预习交流3 (1) (2)
4． |α|r lr |α|r2
预习交流4 (1)提示：此公式可类比三角形的面积公式来记忆．
(2)
课堂合作探究
【问题导学】
活动与探究1 解：(1)112°30′＝112.5°＝112.5×＝×＝；
(2)－＝－°＝－75°.
迁移与应用 (1)rad
(2)rad (3)rad (4)rad
(5)1 260° (6)－450° (7)1 035°
(8)－144°
活动与探究2 解：(1)2 005°＝2 005×＝＝5×2π＋π.
又π＜＜，
所以α与终边相同，是第三象限角．
(2)与α角终边相同的角为2kπ＋，k∈Z.
由－5π≤2kπ＋＜0，可得－－≤k＜－.
∵k∈Z，∴k＝－3，－2，－1.
∴在区间[－5π，0)上，与角α终边相同的角是－，－，－.
迁移与应用 ，，
活动与探究3 解：(1)图①中以OB为终边的角为330°，可看成是－30°，化为弧度，即－，而75°＝75×＝，∴.
(2)图②中以OB为终边的角为225°，可看成是－135°，化为弧度，即－，而135°＝135×＝，∴.
迁移与应用 解：(1)
.
(2)
.
(3)
.
活动与探究4 解：设扇形AOB的半径为r，弧长为l，
(1)由题意可得
解得或
∴α＝＝或α＝＝6.
(2)∵2r＋l＝8，
∴S扇＝lr＝(8－2r)·r＝－r2＋4r＝－(r－2)2＋4，
∴当r＝2时，S扇形最大取4，此时l＝4，α＝＝2.
迁移与应用 (1)4π
(2)12π－9
【当堂检测】
1．A 2．D 3．D
4．(1) (2)－150°
(3)
5．1弧度或4弧度§7 正切函数
7.2 正切函数的图像与性质
问题导学
1．正切函数的定义及应用
活动与探究1
若tan α＝，借助三角函数的定义求角α的正弦函数值和余弦函数值．
迁移与应用
已知角α的终边经过点P(1，－2)，求的值．
(1)已知角α终边上一点P(x，y)，点P到原点O的距离r＝|OP|＝，则sin α＝，cos α＝，tan α＝．
(2)已知角α的正切值，在求它的正弦值和余弦值时，要注意对α角所在的象限分类讨论．
2．正切函数的定义域、值域问题
活动与探究2
(1)求函数y＝的定义域．
(2)求函数y＝tan2x－2tan x－3在区间上的值域．
迁移与应用
求函数y＝tan的定义域、值域．
求与正切函数有关的函数的定义域、值域的方法及应注意的问题．
(1)求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数y＝tan x有意义，即x≠kπ＋(k∈Z)．而对于构建的三角不等式，常利用三角函数的图像求解．
(2)求解与正切函数有关的函数值域时，要注意函数的定义域，在定义域内求值域；对于求由正切函数复合而成的函数的值域时，常利用换元法，但要注意新“元”的范围．
3．正切函数的周期性、单调性
活动与探究3
求函数y＝tan的定义域、最小正周期、单调区间及对称中心．
迁移与应用
求函数y＝3tan的周期和单调区间．
对正切函数的周期性与单调性的解读：
(1)函数y＝Atan(ωx＋φ)(ω＞0)的最小正周期为T＝．
(2)正切函数在每一个单调区间内是增函数，但在整个定义域上不是增函数．
(3)求函数y＝Atan(ωx＋φ)(ω＞0)的定义域、单调区间、对称中心等时，常采用“整体代换”的思想，把ωx＋φ作为一个整体，依据函数y＝tan x的定义域，单调区间及对称中心来求解．
4．利用函数图像研究函数性质
活动与探究4
利用正切函数的图像作出y＝tan x＋|tan x|的图像，并根据图像研究其性质．
迁移与应用
作出函数y＝tan|x|的图像．
(1)作函数y＝|f(x)|的图像一般利用图像变换方法，具体步骤是：
①保留函数y＝f(x)的图像在x轴上方的部分；
②将函数y＝f(x)的图像在x轴下方的部分沿x轴向上翻折．
(2)若函数为周期函数，可先研究其一个周期上的图像，再利用周期性，延拓到定义域上即可．
当堂检测
1．函数y＝tan 2x的最小正周期是( )．
A． B． C．π D．2π
2．在下列函数中，同时满足：①在上递增；②以2π为周期；③是奇函数的是( )．
A．y＝|tan x| B．y＝cos x
C．y＝tan D．y＝－tan x
3．若点P(3，y)是角α终边上的一点，且满足y＜0，cos α＝，则tan α等于( )．
A．－ B． C． D．－
4．若sin θ＜0，且tan θ＜0，则θ是第__________象限角．
5．(1)求函数y＝的定义域；
(2)求函数y＝tan x的值域．
提示：用最精炼的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记．
答案：
课前预习导学
【预习导引】
1．(1)正切函数 y＝tan α (2)tan α (3)正 负
预习交流1 提示：当α＝kπ＋(k∈Z)时，角α的终边与单位圆交点为P(0，±1)，此时比值无意义．
预习交流2 略
2．(2)①
②R ③kπ(k∈Z，且k≠0) π ④奇 ⑤(k∈Z)
预习交流3 不是
预习交流4 不是
课堂合作探究
【问题导学】
活动与探究1 解：因为tan α＝＞0，所以，α是第一或第三象限的角．
(1)如果α是第一象限的角，则由tan α＝可知，角α终边上必有一点P(4,3)，
所以x＝4，y＝3.
因为r＝|OP|＝＝5，
所以sin α＝＝，
cos α＝＝.
(2)如果α是第三象限的角，则由tan α＝可知，角α终边上必有一点P(－4，－3)，
所以x＝－4，y＝－3.
可知r＝|OP|＝＝5，
所以sin α＝＝－，cos α＝＝－.
迁移与应用
活动与探究2
(1)∪(k∈Z)．
(2)[－4,2]．
迁移与应用 解：由x－≠kπ＋，k∈Z，得x≠2kπ＋(k∈Z)．
∴所求函数的定义域为，值域为R.
活动与探究3 解：由2x－≠kπ＋，k∈Z，
得x≠＋，k∈Z.
所以，函数y＝tan的定义域是.
又由T＝，得T＝，
∴函数y＝tan的最小正周期为.
由kπ－＜2x－＜kπ＋，k∈Z，得
－＜x＜＋，k∈Z.
所以函数y＝tan的单调增区间为
(k∈Z)．
由2x－＝，k∈Z，得x＝＋，k∈Z，
所以函数y＝tan的对称中心是，k∈Z.
迁移与应用 T＝4π.
单调区间为
(k∈Z)．
活动与探究4 解：∵当x∈(k∈Z)时，y＝tan x≤0，
当x∈(k∈Z)时，y＝tan x＞0，
∴y＝tan x＋|tan x|＝
如图所示．
性质：定义域：
(k∈Z)，
值域：[0，＋∞)，
单调性：增函数，递增区间为(k∈Z)，
奇偶性：非奇非偶函数，
周期性：以π为周期的周期函数．
迁移与应用
【当堂检测】
1．B 2．C 3．D 4．四
5．(1)(k∈Z) (2)(－∞，－1]∪[1，＋∞)
