数学北师版必修1第一章 集合单元检测
(时间：45分钟，满分：100分)
一、选择题(本大题共8小题，每小题6分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知集合M＝{x|－2＜x＜3}，则下列结论正确的是( )．
A．2.5∈M B．0M
C． ∈M D．集合M是有限集
2．设M＝{3，a}，N＝{x∈Z|0＜x＜3}，M∩N＝{1}，M∪N为( )．
A．{1,3，a} B．{1,2,3，a}
C．{1,2,3} D．{1,3}
3．设U＝R，A＝{x|x＞0}，B＝{x|x＞1}，则A∩()等于( )．
A．{x|0≤x＜1} B．{x|0＜x≤1}
C．{x|x＜0} D．{x|x＞1}
4．已知集合A＝{x|x＞1}，B＝{x|x＜m}，且A∪B＝R，那么m的值可以是( )．
A．－1 B．0 C．1 D．2
5．已知全集U＝Z，A＝{1,2,3}，B＝{2,3,4,5}，那么B∩()等于( )．
A．{0,4,5} B．{0,1}
C．{4,5} D．{2,3}
6．设U是全集，A，B是U的子集，则下图中的阴影部分所表示的集合为( )．
A．(A∪B)
B．(A∪B)∩B
C．B∪()
D．((A∩B))∩B
7．满足M{a1，a2，a3，a4}，且M∩{a1，a2，a3}＝{a1，a2}的集合M的个数是( )．
A．1 B．2 C．3 D．4
8．在集合{a，b，c，d}上定义两种运算和如下：
那么d(ac)等于( )．
A．a B．b C．c D．d
二、填空题(本大题共3小题，每小题6分，共18分．把正确答案填在题中横线上)
9．用列举法表示集合：M＝＝______.
10．设集合A＝{x||x|＝2}，B＝{x|ax＝2}．若BA，则实数a的值为__________．
11．有15人进家电超市，其中有9人买了电视，有7人买了电脑，两种均买了的有3人，则这两种都没买的有__________人．
三、解答题(本大题共3小题，共34分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
12．(10分)设全集为R，集合A＝{x|3≤x＜6}，B＝{x|2＜x＜9}．
(1)分别求A∩B，()∪A；
(2)已知C＝{x|a＜x＜a＋1}，若C B，求实数a的取值范围．
13．(12分)已知集合A＝{x|－5＜x＜－1}，B＝{x|－1≤x＜1}．
(1)求A∩B；
(2)若全集U＝{x|－5＜x＜5}，求(A∪B)；
(3)若C＝{x|x＜a}，且B∩C＝B，求a的取值范围．
14．(12分)已知A＝{x|x2－ax＋a2－19＝0}，B＝{x|x2－5x＋6＝0}，C＝{x|x2＋2x－8＝0}．
(1)若A∩B＝A∪B，求a的值；
(2)若A∩B，且A∩C＝，求a的值；
(3)若A∩B＝A∩C≠，求a的值．
参考答案
1答案：A 解析：因为－2＜2.5＜3，所以2.5是集合M中的元素，即2.5∈M.
2答案：C 解析：N＝{1,2}，∵M∩N＝{1}，∴a＝1.
∴M＝{3,1}．
∴M∪N＝{1,2,3}．
3答案：B 解析：由题意可得＝{x|x≤1}，
所以A∩()＝{x|0＜x≤1}．
4答案：D 解析：画出数轴，分析可知m的取值范围是m＞1，故m的值可以是2.
5答案：C
6答案：D
7答案：B 解析：由题意，知a1，a2∈M，a3M，a4不一定，
所以M＝{a1，a2}或{a1，a2，a4}．
8答案：A 解析：由所给运算知ac＝c，因此dc＝a.
9答案：{－11，－6，－3，－2,0,1,4,9}
解析：由∈Z，且m∈Z可知m＋1是10的约数，
故|m＋1|＝1,2,5,10，从而m的值为－11，－6，－3，－2,0,1,4,9.
10答案：0,1，－1 解析：由已知得A＝{x||x|＝2}＝{2，－2}．
当a＝0时，B＝，符合要求；
当a≠0时，B＝{x|ax＝2}＝，令＝2或－2，得a＝1或－1.故实数a的值为0,1，－1.
11答案：2 解析：结合Venn图可知，
两种都没买的有2人．
12答案：解：(1)A∩B＝{x|3≤x＜6}，
∵＝{x|x≤2，或x≥9}，
∴()∪A＝{x|x≤2，或3≤x＜6，或x≥9}．
(2)∵CB，利用数轴
∴∴2≤a≤8.
所以a的取值范围为2≤a≤8.
13答案：解：(1)∵A＝{x|－5＜x＜－1}，B＝{x|－1≤x＜1}，
∴A∩B＝.
(2)∵A∪B＝{x|－5＜x＜1}，
U＝{x|－5＜x＜5}，
∴(A∪B)＝{x|1≤x＜5}．
(3)∵B＝{x|－1≤x＜1}，C＝{x|x＜a}，
由B∩C＝B，得BC，
∴a≥1，即a的取值范围是{a|a≥1}．
14答案：解：(1)∵A∩B＝A∪B，
∴A＝B，即x2－ax＋a2－19＝x2－5x＋6，
∴a＝5.
(2)由已知有B＝{2,3}，C＝{－4,2}．
∵A∩B，A∩C＝，∴3∈A，而－4,2A.
由32－3a＋a2－19＝0，解得a＝－2或a＝5.
当a＝－2时，A＝{3，－5}，符合题意，
当a＝5时，A＝{3,2}，与A∩C＝矛盾，
∴a＝－2.
(3)若A∩B＝A∩C≠，则有2∈A.
由22－2a＋a2－19＝0，得a＝5或a＝－3.
当a＝5时，A＝{3, 2}，不符合条件，
当a＝－3时，A＝{－5,2}，符合条件．
∴a＝－3.§3 集合的基本运算
3.1 交集与并集
问题导学
一、集合的交集、并集运算
活动与探究1
(1)设集合M＝{m∈Z|－3＜m＜2}，N＝{n∈Z|－1≤n≤3}，则M∩N等于( )．
A．{0,1} B．{－1,0,1}
C．{0,1,2} D．{－1,0,1,2}
(2)已知集合A＝{x|－4≤x＜2}，B＝{x|－1＜x≤3}，求A∩B，A∪B.
迁移与应用
1．若集合M＝{－1,0,1}，N＝{0,1,2}，则M∩N等于( )．
A．{0,1} B．{－1,0,1}
C．{0,1,2} D．{－1,0,1,2}
2．设集合A＝{2,4,6}，B＝{1,3,6}，则下图中阴影部分表示的集合是( )．
A．{2,4,6} B．{1,3,6}
C．{1,2,3,4,6} D．{6}
3．已知集合A＝{x|1≤x＜3}，B＝{x|x＞2}，试求A∩B和A∪B.
求集合的交集、并集运算，首先应看清集合中元素的取值范围，化简集合．若是用列举法表示的数集，可以根据交集、并集的定义直接观察出结果；若是用描述法表示的数集，可借助数轴分析写出结果，此时要注意当端点不在集合中时，用“空心点”表示．
二、交集、并集的简单应用
活动与探究2
设集合A＝{－4,2a－1，a2}，B＝{9，a－5,1－a}．已知A∩B＝{9}，求a的值以及A∪B.
迁移与应用
若集合M＝{－1，a,3}，N＝{a＋2，a－2}，且M∩N＝{3}，则a＝__________.
处理集合中的参数问题时，要始终具有检验意识，除了按照条件进行检验外，还应根据集合元素的互异性进行检验．
三、交集、并集性质的应用
活动与探究3
设集合A＝{－2}，B＝{x∈R|ax2＋x＋1＝0，a∈R}．若A∩B＝B，求a的取值范围．
迁移与应用
1．设集合A＝{x|－1＜x＜a}，B＝{x|1＜x＜3}，且A∪B＝{x|－1＜x＜3}，求a的取值范围．
2．设集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2－4x＋a＝0}，若A∪B＝A，求实数a的取值范围．
(1)在利用集合的交集、并集性质解题时，常常会遇到A∪B＝B，A∩B＝A等这类条件，解答时常借助A∪B＝B A B，A∩B＝A A B进行转化求解．
(2)当集合A，B满足A B时，如果集合B是一个确定的集合，而集合A不确定时，要考虑A＝和A≠两种情况，切不可漏解．
(3)求解与一元二次方程的解集有关的集合问题时，要注意充分利用根的判别式、根与系数的关系等进行分析求解．
当堂检测
1．已知集合A＝{1,3,5,7,9}，B＝{0,3,6,9,12}，则A∩B等于( )．
A．{3,5} B．{3,6} C．{3,7} D．{3,9}
2．已知集合A＝{x|x＞0}，B＝{x|－1≤x≤2}，则A∪B等于( )．
A．{x|x≥－1} B．{x|x≤2}
C．{x|0＜x≤2} D．{x|－1≤x≤2}
3．已知集合A＝{2，－3}，集合B满足B∩A＝B，那么符合条件的集合B的个数是( )．
A．1 B．2
C．3 D．4
4．已知集合A＝{x|x≤1}，B＝{x|x≥a}，且A∪B＝R，则实数a的取值范围是__________．
5．已知A＝{－3，a2，a＋1}，B＝{a－3,2a－1，a2＋1}，若A∩B＝{－3}，求a的值．
提示：用最精炼的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记。
答案：
课前预习导学
【预习导引】
1．(1)A∩B A交B {x|x∈A，且x∈B}
(2)①B∩A ② ③ ④A ⑤
预习交流1 提示：这种说法不正确，两个集合没有公共元素时，它们的交集是空集，但不能说它们没有交集，任何两个集合都可以进行交集运算．
预习交流2 提示：不一定．两个非空集合的交集可能是空集，也可能是非空集合．交集是否为非空集合主要取决于它们是否有公共元素．
2．(1)A∪B A并B {x|x∈A，或x∈B}
(2)①B∪A ② ③ ④A ⑤A
预习交流3 (1)提示：不对．不能简单地认为A∪B是由A中的所有元素和B中的所有元素简单拼凑构成的集合．并集作为一个集合，其元素满足互异性，相同的元素只能算作一个．因此A∪B中，最多含有5个元素，也可能含有3个或4个元素．
(2)提示：A∪B中的元素可以分为以下三类：①在A中不在B中的元素；②在B中不在A中的元素；③既在A中也在B中的元素．
(3)提示：由交集、并集的定义，结合Venn图可知，当A∩B＝A(或A∪B＝B)时，能推得A B.所以交集、并集具有以下重要的性质：
A∩B＝A A B A∪B＝B.
课堂合作探究
【问题导学】
活动与探究1 思路分析：(1)首先化简M，N，然后再求交集．
(2)集合A，B都是无限集，可借助数轴直观求解A∩B，A∪B.
(1)B 解析：由已知得M＝{－2，－1,0,1}，N＝{－1,0,1，2,3}，
所以M∩N＝{－1,0,1}．故选B.
(2)解：分别在数轴上表示集合A和B，
根据交集、并集的定义，由上图知，
A∩B＝{x|－1＜x＜2}，A∪B＝{x|－4≤x≤3}．
迁移与应用 1．A
2．C 解析：阴影部分表示的集合是A∪B＝{1,2,3,4,6}．
3．解：利用数轴易知A∩B＝{x|2＜x＜3}，A∪B＝{x|x≥1}．
活动与探究2 思路分析：由A∩B＝{9}知，9是集合A和B的公共元素且是唯一的公共元素，由此求出a的值，确定A，B，然后求A∪B，要注意集合中的元素满足互异性．
解：由于A∩B＝{9}，
所以9是集合A与B的唯一的公共元素，
因此9∈A，于是2a－1＝9或a2＝9.
若2a－1＝9，得a＝5，这时A＝{－4,9,25}，B＝{9,0，－4}，
则A∩B＝{－4,9}，与已知矛盾，因此a＝5不合题意．
若a2＝9，则a＝±3.
当a＝3时，A＝{－4,5,9}，B＝{9，－2，－2}，集合B中的元素不满足互异性，故a＝3不合题意．
当a＝－3时，A＝{－4，－7,9}，B＝{9，－8,4}，则A∩B＝{9}，
故a＝－3符合题意，这时A∪B＝{－4，－7,9，－8,4}．
综上，实数a＝－3，A∪B＝{－4，－7,9，－8,4}．
迁移与应用 5 解析：由于M∩N＝{3}，
所以3∈N.
若a＋2＝3，则a＝1，这时M＝{－1,1,3}，N＝{3，－1}，不符合M∩N＝{3}；
若a－2＝3，则a＝5，这时M＝{－1,5,3}，N＝{7,3}，符合题意，故a＝5.
活动与探究3 思路分析：由条件A∩B＝B知B A，然后对B分是否为进行讨论，求出a的取值范围．
解：∵A∩B＝B，∴B A.∵A＝{－2}≠，
∴B＝或B≠.
当B＝时，方程ax2＋x＋1＝0无实数解，
即∴∴a＞.
B≠时，当a＝0时，方程变为x＋1＝0，即x＝－1，
∴B＝{－1}．此时A∩B＝，不满足条件，舍去．
当a≠0时，
依题意知方程ax2＋x＋1＝0有相等的实根，即Δ＝0，
∴1－4a＝0.∴a＝.
此时方程变为x2＋x＋1＝0，
其解为x＝－2，满足条件．综上可得a≥.
迁移与应用 1．解：如图．
由A∪B＝{x|－1＜x＜3}知，集合A的右端点应介于1和3之间，可以为3但不能为－1，∴1＜a≤3.
2．解：A＝{1,2}，∵A∪B＝A，∴B A.集合B有两种情况，B＝或B≠.
当B＝时，方程x2－4x＋a＝0无实数根，
∴Δ＝16－4a＜0.∴a＞4.
当B≠时，若Δ＝0，则a＝4，B＝{2} A满足条件；
若Δ＞0，则1,2是方程x2－4x＋a＝0的根，由根与系数的关系知矛盾，无解．∴a＝4.
综上可知a的取值范围是a≥4.
【当堂检测】
1．D
2．A 解析：借助数轴，易知A∪B＝{x|x≥－1}．
3．D 解析：由B∩A＝B可得B A，因此B就是A的子集，所以符合条件的集合B一共有4个：，{2}，{－3}，{2，－3}．
4．a≤1
5．解：∵A∩B＝{－3}，∴－3∈B.
易知a2＋1≠－3，∴a－3＝－3或2a－1＝－3.
若a－3＝－3，即a＝0，
此时A＝{0,1，－3}，B＝{－3，－1,1}，
则A∩B＝{1，－3}，这与已知矛盾．
若2a－1＝－3，则a＝－1，
此时A＝{0,1，－3}，B＝{－3，－4,2}，
则A∩B＝{－3}，符合题意．综上可知a＝－1.§1 集合的含义与表示
问题导学
一、对集合概念的理解
活动与探究1
考察下列每组对象能否构成一个集合：
①美丽的小鸟；②不超过20的非负整数；③立方接近零的正数；④直角坐标系中，第一象限内的点．
迁移与应用
1．考察下列每组对象能否构成一个集合：
(1)2010年上海世博会上展出的所有展馆；
(2)2013年安徽高考数学试卷中所有的难题；
(3)北京大学2013级的新生；
(4)接近0的数的全体；
(5)比较小的正整数的全体；
(6)平面上到坐标原点O的距离等于1的点的全体．
2．判断下列对象能否构成集合？若能构成，则集合中有多少个元素？
(1)所有的等腰梯形；
(2)英语单词book中的字母；
(3)方程x2－6x＋9＝0的根．
(1)判断一组对象能否构成集合，关键看这组对象是否具有确定性．如果条件满足就可以断定这些元素可以构成集合，否则不能构成集合．
(2)判断集合中元素的个数时，要注意相同的对象归入同一集合时只能算一个元素，即集合中元素是互不相同的．
二、用列举法表示集合
活动与探究2
用列举法表示下列集合：
(1)不大于11的非负偶数组成的集合；
(2)由所有小于10的既是奇数又是质数的自然数组成的集合；
(3)一次函数y＝x与y＝2x－1图像的交点组成的集合；
(4)方程x(x2－1)＝0的所有实数根组成的集合．
迁移与应用
1．将集合用列举法表示，正确的是( )．
A．{2,3} B．{(2,3)}
C．{x＝2，y＝3} D．(2,3)
2．用列举法表示“所有非负奇数组成的集合”．
(1)列举法表示集合的关键是先弄清集合中的元素是什么，是数还是点，还是其他元素，另外还要弄清元素的个数．
(2)当集合中元素的个数较少时，可采用列举法；当集合中的元素较多或无限，且有一定规律时，也可用列举法表示，但必须把元素间的规律呈现清楚，才能用省略号．
(3)用列举法表示集合时还要注意三点：①元素间用逗号“，”隔开，不能用“；”或“、”，最后一个元素后没有“，”；②元素之间无顺序要求，但不能重复；③元素不能有遗漏．
三、用描述法表示集合
活动与探究3
用描述法表示下列集合：
(1)被5除余1的正整数组成的集合；
(2)坐标平面内坐标轴上的点集；
(3)使y＝有意义的实数x的集合；
(4)200以内的正奇数；
(5)方程x2－5x－6＝0的解的集合．
迁移与应用
1．用描述法表示所有偶数的集合为____________，3和4的所有正的公倍数的集合为__________．
2．用适当的方法表示下列集合：
(1){15的正因数}；
(2)三角形的全体构成的集合；
(3)A＝{(x，y)|x＋y＝4，x∈N＋，y∈N＋}；
(4)满足不等式3x＋1≤0的所有实数的集合．
对于元素个数不确定且元素间无明显规律的集合，可采用描述法：
(1)用描述法表示集合，首先应弄清楚集合中元素的属性，是数集、点集，还是其他的类型．一般地，数集用一个字母代表其元素，而点集则用一个有序数对来表示．
(2)若描述部分出现元素记号以外的字母时，要对新字母说明其含义或指出其取值范围．
四、集合中元素互异性的应用
活动与探究4
已知集合A由3个元素：a2，a＋1,0构成，且1∈A，试求实数a的取值．
迁移与应用
由m,2－m,4组成一个集合M，且集合M中含有3个元素，则实数m的取值范围是__________．
(1)集合中元素的互异性是指一个集合中不能有两个相同的元素，根据这一性质，可以确定集合中字母的取值及取值范围，通常的解法是先利用集合中元素的确定性求出字母的所有可能的取值或范围，再根据互异性对集合中的元素进行检验，从而求出字母的取值或范围．
(2)利用互异性求参数的值或范围时，要注意分类讨论思想方法的运用．
当堂检测
1．下列各组对象中不能构成集合的是( )．
A．某教育集团的全体员工
B．2012年伦敦奥运会的所有参赛国家
C．北京大学建校以来毕业的所有学生
D．美国NBA的篮球明星
2．所给下列关系正确的个数是( )．
①－∈R；②Q；③0∈N＋；④|－3|N＋.
A．1 B．2 C．3 D．4
3．集合{x∈N|x＜5}的另一种表示法是( )．
A．{0,1,2,3,4} B．{1,2,3,4}
C．{0,1,2,3,4,5} D．{1,2,3,4,5}
4．已知集合A＝{1，m＋1}，则实数m满足的条件是________．
5．用适当的方法表示下列集合，并指出它是有限集还是无限集：
(1)由平面直角坐标系内所有第三象限的点组成的集合；
(2)由方程x2＋x＋1＝0的实数根组成的集合；
(3)由所有周长等于10 cm的三角形组成的集合；
(4)集合P＝{x|x＝2n,0≤n≤2，且n∈N}；
(5)方程(x－2)2(x＋2)(x－3)＝0的解集．
提示：用最精炼的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记。
答案：
课前预习导学
【预习导引】
1．全体 对象
2．(1)属于 不属于 (2)∈
预习交流1 提示：(1)确定性：指的是作为一个集合中的元素，必须是确定的，即一个集合一旦确定，某一个元素属于或不属于这个集合是确定的．要么是该集合中的元素，要么不是，二者必居其一，这个性质通常被用来判断一组对象能否构成集合．
(2)互异性：集合中的元素必须是互异的，就是说，对于一个给定的集合，它的任意两个元素都是不同的．这一性质是用来检验某个参数值是否是某个集合问题的解的依据．
(3)无序性：集合与其中元素的排列顺序无关，如集合{a，b，c}与{b，a，c}是相等的集合．
3．(1)数 (2)N N＋或N* Z Q R
预习交流2 提示：a等于0.
4．(1)一一列举 大括号 (2)确定的条件
预习交流3 提示：不一定，如果一个集合中，元素的个数是无限的，但它们是有规律的，也可以用列举法来表示，例如所有正偶数组成的集合可以表示为{2,4,6,8，…}．
预习交流4 提示：是．
5． 有限集 无限集
预习交流5 提示：不是空集；有一个元素．
课堂合作探究
【问题导学】
活动与探究1 思路分析：要判断每组对象能否构成集合，关键是分析各组对象所具有的条件是否明确．若明确，则能构成集合；否则不能构成集合．
解：①中“美丽”的范畴太广，不具有明确性，因此不能构成集合；②中的对象可以列举出来：0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20，共21个数；③中接近0的界限不明确；④中的对象有无限个，但条件明确，即所有横、纵坐标均大于0的点都在该集合中．
综上可知②④能构成集合，①③不能构成集合．
迁移与应用 1．解：(1)，(3)，(6)的对象都是确定的，因而能构成集合．“难题”“接近0的数”“比较小的正整数”标准不明确，所以(2)，(4)，(5)不能构成集合．
2．解：(1)能构成集合，集合中有无限多个元素．
(2)能构成集合，集合中有三个元素，即b，o，k.
(3)能构成集合，集合中只有一个元素，即3.
活动与探究2 思路分析：题目中要求用列举法表示集合，需先辨析集合中元素的属性及满足的性质，再一一列举出满足条件的元素．
解：(1)集合为{0,2,4,6,8,10}．
(2)满足条件的数有3,5,7，故所求集合为{3,5,7}．
(3)由得
所以交点坐标为(1,1)．故所求集合为{(1,1)}．
(4)由x(x2－1)＝0，得x＝0,1，－1.
故所求集合为{0,1，－1}．
迁移与应用 1．B
2．{1,3,5,7,9，…}
活动与探究3 思路分析：用描述法表示集合时，关键要弄清元素的属性是什么，再给出其满足的性质，注意不要漏掉类似“x∈N”等小条件．
解：(1)根据被除数＝商×除数＋余数，故此集合可表示为{x|x＝5n＋1，n∈N}．
(2)由于坐标轴上的点的横坐标x与纵坐标y满足xy＝0，故此集合可表示为{(x，y)|xy＝0，x∈R，y∈R}．
(3)要使该式有意义，需有
解得x≤2，且x≠0.故此集合可表示为{x|x≤2，且x≠0}．
(4){x|x＝2k＋1，x＜200，k∈N}．
(5){x|x2－5x－6＝0}．
迁移与应用 1．{x|x＝2n，n∈，k∈N＋}
2．解：(1)15＝1×3×5.故集合可表示为{1,3,5,15}．
(2){x|x是三角形}或{三角形}．
(3){(1,3)，(2,2)，(3,1)}．
(4){x|3x＋1≤0}．
活动与探究4 思路分析：由1∈A知，要么a2＝1，要么a＋1＝1，由此求得a的取值，然后再根据元素的互异性进行检验，最后确定a的值．
解：由于1∈A，所以a2＝1或a＋1＝1.
若a2＝1，则a＝±1.
当a＝1时，集合A中的元素是1,2,0，符合要求；
当a＝－1时，集合A中的元素是1,0,0，不符合元素的互异性；
若a＋1＝1，则a＝0，集合A中的元素是0,1,0，不符合元素的互异性．
综上，实数a的值为1.
迁移与应用 m≠1且m≠4且m≠－2 解析：由于M中含有3个元素，因此有
解得
所以实数m的取值范围是m≠1且m≠4且m≠－2.
【当堂检测】
1．D 解析：根据集合中元素的确定性来判断涉及对象是否构成集合．因为选项A，B，C中所给对象都是确定的，从而可以构成集合；而选项D中所给对象不确定，原因是没有具体的标准衡量一位美国NBA篮球运动员是否为篮球明星，所以不能构成集合．
2．B 解析：①②正确，③④错误．
3．A
4．m≠0 解析：由集合中的元素满足互异性，知m＋1≠1，即m≠0.
5．解：(1)所求集合可表示为{(x，y)|x＜0，且y＜0}，它是无限集．
(2)因为方程x2＋x＋1＝0的判别式Δ＜0，故该方程无实根．所以由方程x2＋x＋1＝0的实根组成的集合为，它是有限集．
(3)所求集合可表示为{x|x是周长等于10 cm的三角形}，它是无限集．
(4)P＝{0,2,4}，它是有限集．
(5)集合可表示为{－2,2,3}，它是有限集．§1 集合的含义与表示
1．理解集合的概念，会判断元素与集合的关系．
2．理解并记住集合中元素的性质．
3．熟记常用数集的符号．
4．理解列举法和描述法，能运用它们表示集合．
1．集合
一般地，指定的某些对象的__________称为集合，集合中的每个对象叫作这个集合的__________．
集合常用大写字母A，B， C，D，…标记．
2．元素与集合的关系
(1)关系：__________或_________．
(2)表示：若元素a在集合A中，就说元素a属于集合A，记作a__________A；若元素a不在集合A中，就说元素a不属于集合A，记作a__________A.
集合中元素的性质：
①确定性：指的是作为一个集合中的元素，必须是确定的，即一个集合一旦确定，某一个元素属于或不属于这个集合是确定的．要么是该集合中的元素，要么不是，二者必为其一，这个特性通常被用来判断涉及的总体是否构成集合．
②互异性：集合中的元素必须是互异的，就是说，对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的．
③无序性：集合中的元素是没有顺序的，也就是说，集合中的元素没有前后之分．
3．数集
(1)定义：________________的集合简称数集．
(2)常见数集：自然数集记为_______________；整数集记为_______________；正整数集记为_______________；有理数集记为_______________；实数集记为_______________．
【做一做1】下列关系正确的是( )．
A．0∈N＋ B．πR C．1Q D．0∈Z
4．集合的表示法
(1)列举法：把集合中的________________一一列举出来写在大括号内的方法．
(2)描述法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及其取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征. 这种用确定的____表示某些对象是否____这个集合的方法叫作描述法．
在不引起混淆的情况下，为了简便，有些集合用描述法表示时，可省去竖线及其代表元素．如所有直角三角形组成的集合，可以表示为{直角三角形}，但不能表示为{所有直角三角形}，因为{ }本身就有“所有”“全部”的意思．
【做一做2－1】 集合{x∈N|x＜5}的另一种表示法是( )．
A．{0,1,2,3,4} B．{1,2,3,4}
C．{0,1,2,3,4,5} D．{1,2,3,4,5}
【做一做2－2】 3和4的所有正的公倍数的集合为__________．
5．集合的分类
按所含元素的个数分为：有限集和无限集．含________个元素的集合叫有限集，含________个元素的集合叫无限集．
6．空集
不含有任何__________的集合叫作空集，记作.
数0，{0}，，{}的关系：数0不是集合，{0}是含一个元素0的集合，而是不含任何元素的集合，{}是指以为元素的集合．
答案：1．全体 元素
2．(1)属于 不属于 (2)∈
3．(1)数 (2)N Z N＋ Q R
【做一做1】 D
4．(1)元素 (2)条件 属于
【做一做2－1】 A
【做一做2－2】 {x|x＝12k，k∈N＋}
5．有限 无限
6．元素
1．对于集合定义的理解
剖析：(1)集合中的元素是具体的，它的属性是明确的，即对于某一集合而言，任何一个元素要么是这个集合的元素，要么不是这个集合的元素，二者必为其一．
(2)对于一个集合，应该从整体的角度来看待它，例如由“我们班的学生”组成的一个集合A，这就是一个整体．
(3)要注意组成集合的对象的广泛性：一方面，任何一个确定的对象，都可以组成一个集合，如人、物、数、方程、不等式等都可以作为构成集合的对象；另一方面，集合本身也可以作为集合的对象．
2．结合实例说明集合中元素的性质特征
剖析：(1)确定性．作为集合的元素，必须是确定的，对于集合A和元素a，要么a∈A，要么aA，二者必为其一，且只为其一．如：所有大于100的数组成一个集合．集合中的元素是确定的，而“较大的整数”就不能构成一个集合，因为它的对象是不确定的．再如：“很大的树”“较高的人”等都不能构成集合．
(2)互异性．对于一个给定的集合，集合中的元素一定是不同的，任何两个相同的对象在同一集合中只能出现一次．如：由a，a2组成一个集合，则a的取值不能是0或1.
(3)无序性．集合中元素的次序无先后之分，如：小于3的正整数，可以表示为{1,2}，也可以表示为{2,1}，它们都表示同一个集合．
由此可见，利用集合的三个特征性质来判定元素是否能构成集合，是非常有效的方法．
题型一集合的判定
【例1】 判断下列每组对象能否构成一个集合．
(1)美丽的小鸟；(2)不超过20的非负整数；(3)立方接近零的正数；(4)直角坐标系中，第一象限内的点．
分析：要判定每组对象能否构成集合，可先分析各组对象所具有的条件是否明确，若明确，再结合元素所必须具备的特征作出判断．
反思：判定元素能否构成集合，关键看这些元素是否具有确定性和互异性．如果条件满足就可以断定这些元素可以构成集合，否则不能构成集合．
题型二 集合中元素的性质的应用
【例2】 已知x2∈{1,0，x}，求实数x的值．
分析：分类讨论x2是集合中的哪个元素，要根据集合中元素的互异性进行取舍．
反思：本题是应用集合中元素的性质来解决的．这类问题既要讨论元素的确定性，又要利用互异性检验解的正确与否，初学者解题时易忽视元素的互异性，必须在学习中高度重视．另外，本类问题往往涉及分类讨论的数学思想．
题型三 集合的表示
【例3】 用适当的方法表示下列集合．
(1)化简式子＋(x，y为非零实数)所得结果构成的集合；
(2)大于4的所有奇数组成的集合；
(3)直角坐标系内第二象限的点组成的集合；
(4)方程(x－1)(x2－5)＝0的根组成的集合．
分析：(1)根据x，y值的符号，两项分别可得1或－1，化简的结果有3种情形，用列举法表示集合；(2)奇数的表达式为2k＋1(k∈N)，由于有无数个元素，可用描述法表示；(3)代表的元素是有序实数对(x，y)，用描述法表示；(4)只有3个根，用列举法表示．
反思：1.用描述法表示集合，首先应弄清楚集合的属性，是数集、点集还是其他的类型．一般地，数集用一个字母代表其元素，而点集则用一个有序数对来表示．若描述部分出现元素记号以外的字母时，要对新字母说明其含义或指出取值范围，如(2)小题．
2．对于元素个数确定的集合或元素个数不确定但元素间存在明显规律的集合，可采用列举法．应用列举法时要注意：①元素之间用“，”而不是用“、”隔开；②元素不能重复；③不考虑元素顺序．
题型四 求参数的取值范围
【例4】 已知集合A＝{x|ax2－2x－1＝0，x∈R}，若集合A中至多有一个元素，求实数a的取值范围．
分析：由描述法可知集合A是关于x的方程ax2－2x－1＝0的实数解集，首先应考虑方程是不是一元二次方程．
反思：已知集合中元素的个数，求其中某参数的取值范围时，关键是对集合的表示法的正确理解．本题中，由于集合A是方程的解集，所以转化为讨论方程根的问题．
答案：【例1】 解：(1)中“美丽”的范畴太广，不具有明确性，因此不能构成集合；(2)中的元素可以列举出来：0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20，共21个数；(3)中接近零的界限不明确；(4)中元素具有无限个，但条件明确，即所有横、纵坐标均大于0的点均在该集合中．
综上可知(2)(4)能构成集合，(1)(3)不能构成集合．
【例2】 解：若x2＝0，则x＝0，此时集合为{1,0,0}，不符合集合中元素的互异性，舍去．
若x2＝1，则x＝±1.
当x＝1时，集合为{1,0,1}，不符合集合中元素的互异性，舍去；
当x＝－1时，集合为{1,0，－1}，符合要求．
若x2＝x，则x＝0或x＝1，不符合集合中元素的互异性，都舍去．
综上可知，x＝－1.
【例3】 解：(1) {0,2，－2}．
(2){x|x＝2k＋1，k≥2且k∈N}．
(3){(x，y)|x＜0且y＞0}．
(4){－，1，}．
【例4】 解：当a＝0时，方程只有一个根－，则a＝0符合题意．
当a≠0时，则关于x的方程ax2－2x－1＝0是一元二次方程．由于集合A中至多有一个元素，则一元二次方程ax2－2x－1＝0有两个相等的实数根或没有实数根，所以Δ＝ 4＋4a≤0.解得a≤－1.
综上可得，实数a的取值范围是{a|a＝0或a≤－1}．
1 下列所给的对象不能构成集合的是( )．
A．某公司的全体员工
B．2009年全国经济百强县
C．2010年考入北京大学的全体学生
D．美国NBA的篮球明星
2 给出下列关系：①∈R；②Q；③|－3|N＋；④||∈N.
其中正确关系的个数为( )．
A．1 B．2 C．3 D．4
3 集合{x∈N＋|x－3＜2}用列举法可表示为( )．
A．{0,1,2,3,4} B．{1,2,3,4}
C．{0,1,2,3,4,5} D．{1,2,3,4,5}
4 集合A＝{x|mx2＋2x＋2＝0}中只有一个元素，则m的值构成的集合为__________．
5 选择适当的方法表示下列集合：
(1)绝对值不大于3的整数组成的集合；
(2)方程(3x－5)(x＋2)＝0的实数解组成的集合；
(3)一次函数y＝x＋6图像上所有点组成的集合．
答案：1．D 根据集合中元素的确定性来判断是否构成集合．因为选项A，B，C中所给对象都是确定的，从而可以构成集合；而选项D中所给对象不确定，原因是没有具体的标准衡量一位美国NBA球员是否为篮球明星，所以不能构成集合．
2．B ①②正确，③④错误．
3．B {x∈N＋|x－3＜2}＝{x∈N＋|x＜5}＝{1,2,3,4}．
4. 当m＝0时，A＝{－1}满足题意；
当m≠0时，由Δ＝4－8m＝0，得m＝，A＝{－2}满足题意．
5．解：(1)绝对值不大于3的整数是－3，－2，－1,0,1,2,3，共有7个元素，用列举法表示为{－3，－2，－1,0,1,2,3}．
(2)方程(3x－5)(x＋2)＝0的实数解仅有两个，分别是，－2，用列举法表示为.
(3)一次函数y＝x＋6图像上有无数个点，用描述法表示为{(x，y)|y＝x＋6}．3.2 全集与补集
1．了解全集、补集的概念，以及它们的表示方法．
2．在已知全集的情况下，会求它的某一子集的补集．
3．能进行集合的交集、并集和补集的综合运算．
1．全集
(1)定义：一般地，如果一个集合含有我们所要研究的集合的全部________，那么就称这个集合为全集．
(2)符号表示：全集通常记作____________．
(3)图示：用Venn图表示全集U，如图所示．
2．补集
(1)定义：设U是全集，A是U的一个子集(即AU)，则由U中____________的元素组成的集合，叫作U中子集A的补集(或余集)．
(2)符号表示：U中子集A的补集记作，即＝____________.
A∩()＝，A∪()＝U，()＝A，U＝，＝U，(A∩B)＝()∪()，(A∪B)＝()∩()．
(3)图示：用Venn图表示，如图所示．
集合平时很常用，数学概念有不同；
理解集合并不难，三条性质是关键；
元素确定和互异，还有无序要牢记；
集合不论空不空，总有子集在其中；
集合用图很方便，子交并补很明显．
【做一做1－1】 设全集U＝{小于10的自然数}，集合
A＝{小于10的正偶数}，B＝{小于10的正质数}，求，.
【做一做1－2】 已知集合U＝{1,2,3,4,5}，A＝{2,3,4}，B＝{4,5}，则A∩()＝__________.
答案：1．(1)元素 (2)U
2．(1)所有不属于A (2){x|x∈U，且xA}
【做一做1－1】 解：U＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}．
A＝{2,4,6,8}，B＝{2,3,5,7}．
∴＝{0,1,3,5,7,9}，＝{0,1,4,6,8,9}．
【做一做1－2】 {2,3} 由题意知＝{1,2,3}．
又A＝{2,3,4}，
所以A∩()＝{2,3}．
1．为什么AC与BC不一定相等？
剖析：依据补集的含义，符号AC和BC都表示集合C的补集，但是AC表示集合C在全集A中的补集，而BC表示集合C在全集B中的补集，由于集合A和B不一定相等，所以AC与 BC不一定相等．因此，求集合的补集时，首先要明确全集，否则容易出错．
如集合A＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，B＝{0,1,2,3,4}，C＝{1,3, 4}，则AC＝{2,5,6,7,8,9}，BC＝{0,2}，很明显AC≠BC.
2．全集一定包含任何元素吗？集合A和集合A的补集会有公共元素吗？
剖析：全集仅是包含我们所研究问题所涉及的全部元素，而非任何元素；集合A和A的补集无公共元素，因为补集的定义即为A以外的元素组成的集合．
题型一 求补集的简单运算
【例1】 已知A＝{0,1,2}，＝{－3，－2，－1}，＝{－3，－2,0}，用列举法写出集合B.
分析：先结合条件，利用补集性质求出全集U，再由补集定义求集合B.
反思：在进行补集的简单运算时，应首先明确全集，而利用A∪＝U求全集U是利用定义解题的常规性思维模式，故进行补集运算时，要紧扣补集定义及补集的性质来解题．
题型二 交、并、补的综合运算
【例2】 已知全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2＜x＜3}，B＝{x|－3＜x≤3}，求，A∩B，(A∩B)，()∩B.
分析：由于U，A，B均为无限集，所求问题是集合间的交、并、补运算，故考虑借助数轴求解．
反思：求解与不等式表示的数集间的集合运算时，一般要借助于数轴求解，此方法的特点是简单直观，同时要注意各个端点的画法及取到与否．
题型三 Venn图在解题中的应用
【例3】 设全集U＝{x|x≤20的质数}，A∩()＝{3,5}，()∩B＝{7,19}，()∩()＝{2,17}，求集合A，B.
分析：利用列举法可求得集合U，然后利用Venn图处理．
反思：有些集合问题比较抽象，解题时若借助Venn图进行分析或利用数轴、图像采取数形结合的思想方法，往往可将问题直观化、形象化．本题在确定11,13的归属问题时，结合Venn图可把全集U划分为如下四部分，全集U中的任一元素必在且只在下图的四部分之一中，由题意可知11,13不在前三部分内，必然在A∩B内．
A∩() B∩()
()∩() A∩B
或(A∪B)
题型四 补集的综合应用
【例4】 已知集合A＝{x|2a－2＜x＜a}，B＝{x|1＜x＜2}，且A RB，求a的取值范围．
分析：→→
反思：解答本题的关键是利用A RB，对A＝与A≠进行分类讨论，转化为等价不等式(组)求解，同时要注意区域端点的问题．
答案：【例1】 解：∵A＝{0,1,2}，＝{－3，－2，－1}，
∴U＝A∪＝{－3，－2，－1,0,1,2}．
又∵＝{－3，－2,0}，∴B＝{－1,1,2}．
【例2】 解：把全集U和集合A，B在数轴上表示如图所示．
由图可知
＝{x|x≤－2或3≤x≤4}，
A∩B＝{x|－2＜x＜3}，
U(A∩B)＝{x|x≤－2或3≤x≤4}，
()∩B＝{x|－3＜x≤－2或x＝3}．
【例3】 解：因为U＝{2,3,5,7,11,13,17,19}，由题意画出Venn图，如图所示，故集合A＝{3,5,11,13}，B＝{7,11,13,19}．
【例4】 解：RB＝{x|x≤1或x≥2}≠，∵A，
∴分A＝和A≠两种情况讨论．
(1)若A＝，此时有2a－2≥a，∴a≥2.
(2)若A≠，则有或
∴a≤1.
综上所述，a≤1或a≥2.
1 设集合U＝{x∈N|0＜x≤8}，S＝{1,2，4,5}，T＝{3,5,7}，则S∩()等于( )．
A．{1,2,4} B．{1,2,3,4,5,7}
C．{1,2} D．{1,2,4,5,6,8}
2 已知集合U＝R，B＝{x|x＞2}，则等于( )．
A．{x|x＞2} B． {x|x≥2}
C．{x|x＜2} D．{x|x≤2}
3 已知全集U＝{1,2,3,4,5}，M＝{1,2}，N＝{2,5}，则如图阴影部分表示的集合是( )．
A．{3,4,5} B．{1,3,4}
C．{1,2,5} D．{3,4}
4 已知全集U＝{－1,0,1,2,3}，集合M＝{x|x为不大于3的自然数}，则M＝__________.
5 已知全集U，集合A＝{1,3,5,7,9}，＝{2,4,6,8}，＝{1,4,6,8,9}，求集合B.
答案：1．A U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，则有UT＝{1,2,4,6,8}，
∴S∩(UT)＝{1,2,4}．
2．D
3．D 阴影部分是U(M∪N)＝{3,4}．
4．{－1} ∵M＝{0,1,2,3}，∴UM＝{－1}．
5．分析：利用A∪()＝U求解．
解：U＝A∪()＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}．
∵＝{1,4,6,8,9}，
∴B＝U()＝{2,3,5,7}．3.1 交集与并集
1．理解两个集合的交集和并集的含义，会求两个简单集合的交集与并集．
2．掌握有关术语和符号∩和∪，能用Venn图表达集合之间的关系和运算．
1．交集
(1)定义：一般地，由既属于集合A又属于集合B的________组成的集合，叫作A与B的交集，也就是由集合A与B的“公共”元素组成的集合．
当集合A和集合B无公共元素时，说集合A，B的交集为空集．
(2)符号表示：A与B的交集记作A∩B，即A∩B＝____________.
(3)图示：用Venn图表示A∩B，如图所示．
A∩B＝B∩A，A∩A＝A，A∩＝，(A∩B) A，(A∩B) B，ABA∩B＝A.
【做一做1】 设集合A＝{1,3,5,8}，B＝{5,6,8}，则A∩B等于( )．
A．{5} B．{5,8} C．{8} D．{1,3,5,6,8}
2．并集
(1)定义：一般地，由属于集合A____属于集合B的所有元素组成的集合，叫作A与B的并集，也就是由集合A与B的“全部”元素组成的集合．
当元素a是集合A，B的公共元素时，由集合元素的互异性知，集合A与B的并集中仅有一个元素a，不能有两个相同的元素a.
(2)符号表示：A与B的并集记作A∪B，即A∪B＝____________.
“x∈A或x∈B”包含三种情况：①x∈A，但xB；②x∈B，但xA；③x∈A，且x∈B.
(3)图示：用Venn图表示A∪B，如图①②所示．
A∪B＝B∪A，A∪A＝A，A∪＝A，A (A∪B)，B (A∪B)，ABA∪B＝B.
【做一做2】 已知集合A＝{x|x＞0}，B＝{x|－1≤x≤2}，则A∪B等于( )．
A．{x|x≥－1} B．{x|x≤2}
C．{x|0＜x≤2} D．{x|－1≤x≤2}
答案：1．(1)所有元素 (2){x|x∈A，且x∈B}
【做一做1】 B 依据交集的定义，用Venn图表示或观察A，B中的元素，如图所示，可得A∩B＝{5,8}．
2．(1)或 (2){x|x∈A，或x∈B}
【做一做2】 A 用数轴表示集合A和B，如图所示，
则阴影部分就是A∪B，
所以A∪B＝{x|x≥－1}．
1．对于A∩B＝，存在哪几种可能的情况？
剖析：存在三种情况：
(1)集合A，B均为空集；
(2)集合A，B中有一个是空集；
(3)集合A，B均为非空集，但无相同元素．
2．为什么集合{x|x∈A，或x∈B}与集合{x|x∈A，且x∈B}不一定相等？
剖析：在数学中，“或”表示至少有一个成立，而“且”表示都成立．“x∈A，或x∈B”表示元素x可能在集合A中，也可能在集合B中，也可能同时在集合A和B中，因此集合{x|x∈A，或x∈B}是集合A和B的并集．而“x∈A，且x∈B”仅表示元素x同时在集合A和B中，即是集合A和B的公共元素，因此集合{x|x∈A，且x∈B}表示集合A和B的交集．所以这两个集合不一定相等，并且有{x|x∈A，且x∈B}{x|x∈A，或x∈B}．
例如，集合A＝{1,2,3}，集合B＝{3,4}，则集合{x|x∈A，或x∈B}＝{1,2,3,4}＝A∪B，而集合{x|x∈A，且x∈B}＝{3}＝A∩B.很明显此时{x|x∈A，或x∈B}≠{x|x∈A，且x∈B}，且{x|x∈A，且x∈B}{x|x∈A，或x∈B}．
题型一 集合的基本运算
【例1】 已知集合A＝{x|－4≤x＜2}，B＝{x|－1＜x≤3}，求A∩B，A∪B.
分析：已知集合A，B都是无限集合，要求A∩B，A∪B，可借助数轴直观求解．
反思：利用数形结合的思想，将满足条件的集合在数轴上一一表示出来，从而求出集合的交集、并集，是必须掌握且要熟练运用的方法．
题型二 交集与并集的综合应用
【例2】 设集合A＝{|a＋1|,3,5}，集合B＝{2a＋1，a2＋2a，a2＋2a－1}，当A∩B＝{2,3}时，求A∪B.
分析：欲求A∪B，关键在于求出a，由条件A∩B＝{2,3}，根据交集的定义，可得|a＋1|＝2，从而求出A，B.
反思：本例中，抓住A∩B＝{2,3}，联想交集性质A∩BA，从而得到2和3均在A中，推知|a＋1|＝2.由此可知捕捉解题的“题眼”，找到解题切入点，是顺利解题的关键，若已知中含有未知字母(或参数)，在解出未知字母(或参数)后，应代入原集合进行检验，最后再进行并、交运算．
题型三 由集合间的关系求参数的取值范围
【例3】 设集合A＝{x|x2－x－2＝0}，B＝{x|x2＋x＋a＝0}，若A∪B＝A，求实数a的取值范围．
分析：集合A，B均是关于x的一元二次方程的解集，由A∪B＝A可得BA，通过讨论集合B是否为空集来求得a的取值范围．
反思：通过深刻理解集合表示法的转换及集合之间的关系，把求参数取值范围问题转化为不等式、方程等常见的数学问题，这称为数学的转化与化归思想，也是常用的数学方法．
解本题时，特别容易出现的错误是遗漏了B＝的情形，其原因是对BA的理解不够充分．对于BA，当A≠时，则有B＝或B≠.避免出错的方法是培养分类讨论的数学思想方法和注意经验的积累．
答案：【例1】 解：分别在数轴上表示集合A和B，
根据A∩B，A∪B的定义，由图知，A∩B＝{x|－1＜x＜2}，A∪B＝{x|－4≤x≤3}．
【例2】 解：∵2∈A，∴|a＋1|＝2.∴a＝1或a＝－3.
当a＝1时，集合B的元素a2＋2a＝3,2a＋1＝3.由集合元素的互异性知a≠1.
当a＝－3时，2a＋1＝－5，a2＋2a＝3，a2＋2a－1＝2，即集合B＝{－5,3,2}．∴A∪B＝{－5,2,3,5}．
【例3】 解：A＝{x|x2－x－2＝0}＝{－1,2}，B是关于x的方程x2＋x＋a＝0的解集．
∵A∪B＝A，∴BA.
∵A＝{－1,2}≠，∴B＝或B≠.
当B＝时，即关于x的方程x2＋x＋a＝0无实数解，则有Δ＝1－4a＜0，即此时有a＞.
当B≠时，即关于x的方程x2＋x＋a＝0有实数解．
若B中仅有一个元素，则Δ＝0，即a＝，
此时B＝＝.
∵－A，∴B不是A的子集，即a＝不合题意．
若B中含有两个元素，则必有B＝{－1,2}，则－1和2是关于x的方程x2＋x＋a＝0的解，
∴即
∵1≠－1，∴此时不合题意．
综上可得，实数a的取值范围是.
1 (2010广东高考，文1)若集合A＝{0,1,2,3}，B＝{1,2,4}，则集合A∪B＝( )．
A．{0,1,2,3,4} B．{1,2,3,4}
C．{1,2} D．{0}
2 若集合P＝{x|x2＝1}，M＝{x|x2－2x－3＝0}，则P∩M等于( )．
A．{3} B．{1} C．{－1} D．
3 已知集合A＝{x|x＜a}，B＝{x|x≤1，或x≥2}，且A∪B＝R，则实数a的取值范围是( )．
A．a≤1 B．a＜1 C．a≥2 D．a＞2
4 若集合A＝{x|x≤2}，B＝{x|x≥a}满足A∩B＝{2}，则实数a＝__________.
5 (2010福州三中期中，17)已知集合A＝{2，a－1}，B＝{a2－7，－1}，且A∩B＝{2}，求实数a的值．
答案：1．A 因为A＝{0,1,2,3}，B＝{1,2,4}，
所以A∪B＝{0,1,2,3,4}．
2．C P＝{x|x2＝1}＝{－1,1}，M＝{x|x2－2x－3＝0}＝{－1,3}．所以P∩M＝{－1}，故选C.
3．C 如图所示，要使A∪B＝R，则a位于2的右边或与2重合，即a≥2.
4．2 ∵A∩B＝{x|a≤x≤2}＝{2}，∴a＝2.
5．解：∵A∩B＝{2}，∴2∈A且2∈B.
∴a2－7＝2.∴a＝3或a＝－3.
当a＝3时，集合A中的元素a－1＝2，不符合集合中元素的互异性，∴a＝3舍去．
当a＝－3时，A＝{2，－4}，B＝{2，－1}，符合已知A∩B＝{2}．
综上所述，a＝－3.§2 集合的基本关系
1．理解子集的概念，并能写出给定集合的子集、真子集．
2．熟记集合相等的定义，能判定给定集合间的关系．
3．会用Venn图表示或判断集合间的关系．
1．Venn图
(1)定义：在数学中，为了直观地表示集合间的关系，我们常用封闭曲线的____表示集合，称为Venn图．
(2)使用方法：把____写在封闭曲线的内部．
常把封闭曲线画成椭圆或矩形等图形．
2．子集
(1)一般地，对于两个集合A与B，如果集合A中的任何一个元素都是集合B中的____，即若a∈A，则a∈B，我们就说集合A______集合B，或集合B包含集合A，这时我们说集合A是集合B的子集，记作A____B(或BA)，读作“A包含于B”(或“B包含A”)．
(2)当AB时，用Venn图表示，如图①，图②所示．
(3)规定：空集是任何集合的____，即A.
子集性质：任何一个集合都是它本身的子集，即AA；对于集合A，B，C，如果AB，BC，那么AC.
【做一做1】列举出集合{1,2,3}的所有子集．
3．集合相等
(1)定义1：只要构成两个集合的__________是一样的，即这两个集合中的元素完全相同，就称这两个集合相等.
(2)定义2：如果集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，即___________，且集合B中的任何一个元素都是集合A中的元素，即___________，那么就说集合A与集合B相等，记作A＝B.
(3)图示：当A＝B时，用Venn图表示，如图所示．
【做一做2】 试确定整数x，y，使得{2x，x＋y}＝{7,4}．
4．真子集
(1)定义：如果集合AB，且________，我们就说集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA)．
(2)图示：当AB时，用Venn图表示，如图所示．
(3)当集合A不包含于集合B，或集合B不包含集合A时，记作AB(或BA)．
空集是任何非空集合的真子集，即A(A≠)．
当AB时，AB或A＝B.
【做一做3】 下列说法正确的是( )．
A．任何一个集合必有两个或两个以上的子集
B．任何一个集合必有一个真子集
C．任何集合都有子集
D．空集不是空集的子集
答案：1．(1)内部 (2)元素
2．(1)元素 包含于 (3)子集
【做一做1】 解：集合{1,2,3}的所有子集为，{1}，{2}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}，{1,2,3}，共8个．
3．(1)元素 (2)AB BA
【做一做2】 解：由集合相等的定义，得或
解得或又x，y是整数，故
4．(1)A≠B
【做一做3】 C 此题主要考查对子集、真子集概念的理解以及空集的有关问题，注意以下几个结论：①任何非空集合既有子集又有真子集，而空集只有子集(空集本身)，没有真子集．②空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．故A，B，D是错误的，应选C.
1．如何理解子集的概念？
剖析：(1) “A是B的子集”的含义是：集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，即由任意x∈A能推出x∈B.
(2)不能把“AB”理解成“A是B中部分元素组成的集合”，因为当A＝时，AB，但A中不含任何元素；又当A＝B时，也有AB，但A中含有B中的所有元素，这两种情况都使AB成立．
2．符号∈和有什么区别？
剖析：符号∈只能适用于元素与集合之间，符号∈的左边只能写元素，右边只能写集合，说明左边的元素属于右边的集合，表示元素与集合之间的关系，如－1∈Z，∈R；符号只能适用于集合与集合之间，其左右两边都必须写集合，说明左边的集合是右边集合的子集，左边集合的元素均属于右边的集合，如{1}{1,0}，{x|x＜2}{x|x＜3}．
题型一 确定集合的子集、真子集
【例1】 设A＝{x|(x2－16)(x2＋5x＋4)＝0}，写出集合A的子集，并指出其中哪些是它的真子集．
分析：要确定集合A的子集、真子集，首先必须清楚集合A中的元素．由于集合A中的元素是方程(x2－16)(x2＋5x＋4)＝0的根，所以要先解该方程．
反思：(1)求集合的子集问题时，一般可以按照集合的元素个数进行分类，再依次找出每类中符合要求的集合．
(2)解决这类问题时，还要注意两个比较特殊的集合，即和集合自身．
(3)集合的子集、真子集个数的规律为：含有n个元素的集合有2n个子集，有(2n－1)个真子集，有(2n－2)个非空真子集．
题型二 集合的相等
【例2】 已知集合A＝，B＝{－x2,0}，若A＝B，则x2 009＋y2 010＝__________，A＝B＝__________.
反思：解决此类问题的步骤：(1)利用集合相等的条件，建立方程或方程组，求得参数．(2)把所得数值依次代入集合验证，若满足元素的三个特性，则所求是可行的，否则应舍去．
题型三 判断集合间的关系
【例3】 设集合M＝，N＝，则( )．
A．M＝N B．MN C．MN D．M∩N＝
反思：判断两个集合间的关系时，主要是根据这两个集合中元素的特征，结合有关定义来判断．对于用列举法表示的集合，只需要观察其元素即可得它们之间的关系；对于用描述法表示的集合，要从所含元素的特征来分析，分析之前可以用列举法多取几个元素来估计它们之间可能有什么关系，然后再加以证明．
题型四 已知两集合之间的关系，求参数的范围
【例4】 设集合A＝{x|－1≤x≤6}，B＝{x|m－1≤x≤2m＋1}，已知BA.求实数m的取值范围．
分析：由BA可得集合B＝或B中的任何一个元素都在集合A中，可借助数轴解决．
反思：已知两集合之间的关系求参数的值时，要明确集合中的元素，通常依据相关的定义，观察这两个集合元素的关系，转化为解方程或解不等式．
本题中，集合B可能为易被忽视，要注意这一“陷阱”，BA表明集合B的元素都是集合A的元素，其中包含B＝.
题型五 易错辨析
易错点 忽略空集致错
【例5】 已知集合P＝{x|x2＋x－6＝0}，Q＝{x|mx－1＝0}，若QP，则实数m＝__________.
错解：由P＝{x|x2＋x－6＝0}，得P＝{－3,2}；
由Q＝{x|mx－1＝0}，得Q＝.∵QP，
∴＝－3或＝2，解得m＝－或m＝.
则实数m的值可取－或.
错因分析：当集合Q＝，即m＝0时，显然也满足QP，错解中少了对这种情况的讨论．
答案：【例1】 解：将方程(x2－16)(x2＋5x＋4)＝0因式分解得(x－4)(x＋1)(x＋4)2＝0，则可得方程的根为x＝－4或x＝－1或x＝4.故集合A＝{－4，－1,4}，其子集为，{－4}，{－1}，{4}，{－4，－1}，{－4,4}，{－1,4}，{－4,1,4}，真子集为，{－4}，{－1}，{4}，{－4，－1}，{－4,4}，{－1,4}．
【例2】 －1 {－1,0} 根据集合相等的定义知x＝0或＝0.
当x＝0时，无意义，所以只能＝0，得y＝0，代入A，B得A＝{x,0}，B＝{－x2,0}．
又∵A＝B，∴－x2＝x.∴x＝0或x＝－1.
当x＝0时，不合题意，舍去．
当x＝－1时，A＝{－1,0}，B＝{－1,0}．
∴A＝B，符合题意．
∴x2 009＋y2 010＝(－1)2 009＋02 010＝－1.
【例3】 B M中，x＝＋＝，N中，x＝，由于k∈Z，
∴M中的x表示的奇数倍，N中的x表示的整数倍．
∴MN.
【例4】 解：当m－1＞2m＋1，即m＜－2时，B＝，符合题意．
当m－1≤2m＋1，即m≥－2时，B≠.
由BA，借助数轴表示如图所示．
则解得0≤m≤.
综上所述，m＜－2或0≤m≤.
【例5】 正解：由P＝{x|x2＋x－6＝0}，得P＝{－3,2}．
当m＝0时，方程mx－1＝0无解，此时集合Q＝，满足题意；
当m≠0时，方程mx－1＝0的解为x＝，此时集合Q＝.
∵QP，∴＝－3或＝2，解得m＝－或m＝.
综上所述，实数m的值为0或－或.
1 下列关系中正确的个数为( )．
①0∈{0}；②{0}；③{0,1}{(0,1)}；④{(a，b)}＝{(b，a)}
A．1 B．2 C．3 D．4
2 集合A＝{x|0≤x＜3且x∈N}的真子集的个数是( )．
A．16 B．8 C．7 D．4
3 已知集合A＝{x∈R|－2＜x＜4}，B＝{x|x－5＜0}，则A与B之间的关系为( )．
A．AB B．AB C．A＝B D．不确定
4 已知集合M＝{－8,1,9}，集合N＝{1，m－1}，若NM，则实数m＝__________.
5 已知M＝{0,2，b}，N＝{0,2，b2}，且M＝N，求实数b的值．
答案：1．B ①②正确，③④错误．
2．C 由题意知，A＝{0,1,2}，故A的真子集的个数是23－1＝7.
3．A 为便于考察A，B中元素的范围，利用数轴把A，B表示出来，如图所示．
∵x－5＜0，∴x＜5.因此B中元素不能都属于A，但A中元素都小于5(即都在B中)，由真子集的定义知A是B的真子集．
4．－7或10 ∵m－1∈N，NM，∴m－1∈M.
∴m－1＝－8或m－1＝9.∴m＝－7或10.
5．分析：由b＝b2解得b，要注意满足集合元素的互异性．
解：∵M＝N，∴b＝b2.
解得b＝1或b＝0(舍去)．∴b＝1.§2 集合的基本关系
问题导学
一、判断集合间的关系
活动与探究1
请判断以下给出的各对集合之间的关系：
(1)P＝{x||x|＝x，x∈N且x＜2}，Q＝{x∈Z|－2＜x＜2}；
(2)A＝{x|x是等腰三角形}，B＝{x|x是等腰直角三角形}；
(3)M＝{1,2}，N＝{x|x2－3x＋2＝0}；
(4)C＝{x|0＜x＜1}，D＝{x|0＜x＜2}．
迁移与应用
判断下列各对集合间的关系：
(1)A＝{x|x是偶数}，B＝{x|x是整数}；
(2)A＝{x|x2＝4}，B＝{x|x2＝－4}；
(3)A＝{(x，y)|xy＜0}，B＝{(x，y)|x＞0，y＜0或x＜0，y＞0}．
(1)判断两个集合之间的关系的方法有：
①将元素一一列举出来再判断；
②从集合中的元素入手，观察两个集合的特征性质能否相互推出；
③集合中的元素为不等式的解集时，可借助数轴判断．
(2)集合中关系的描述原则：
①当A B和AB均成立时，AB更准确的反映了集合A，B的关系；
②当A B和A＝B均成立时，A＝B更准确的反映了集合A，B的关系．
(3)注意空集的特殊性：
①是任何集合的子集；
②是任何非空集合的真子集．
二、子集、真子集的确定问题
活动与探究2
写出集合M＝{x|x(x－1)2(x－2)＝0}的所有子集，并指明哪些是M的真子集．
迁移与应用
1．集合B＝{a，b，c}，C＝{a，b，d}，集合A满足A B，A C，则集合A的个数是( )．
A．8 B．3 C．4 D．1
2．已知{1,2} A{1,2,3,4}，写出满足条件的所有的集合A.
(1)求给定集合的子集(真子集)时，一般按照子集所含的元素个数分类，再依次写出符合要求的子集(真子集)．在写子集时注意不要忘记空集和集合本身．
(2)假设集合A中含有n个元素，则有：
①A的子集的个数为2n；
②A的真子集的个数为2n－1；
③A的非空子集的个数为2n－1；
④A的非空真子集的个数为2n－2.
以上结论在求解时可以直接应用．
三、两个集合相等及其应用
活动与探究3
设集合A＝{x，y}，B＝{0，x2}，若A＝B，求实数x，y的值．
迁移与应用
1．已知集合A＝{1,2，x2－1}，集合B＝{x,2,0}，若A＝B，则x＝__________.
2．已知集合P＝{x|x＝2n，n∈Z}，Q＝{x|x＝2n＋2，n∈Z}，试判断集合P与Q的关系，并证明．
由于集合中的元素可能有多个，所以利用集合相等解题时，需要注意分类讨论，还要注意检验所得结果是否满足元素的互异性．
四、已知两个集合间的关系求参数的值(范围)
活动与探究4
已知集合A＝{x|1≤x＜4}，B＝{x|x＜a}，若A B，求实数a的取值范围．
迁移与应用
1．已知集合A＝{－1,3,2m－1}，集合B＝{3，m2}，若B A，求实数m的值．
2．已知集合A＝{x|－2＜x≤5}，B＝{x|－m＋1≤x≤2m－1}，且A B，求实数m的取值范围．
(1)已知两个集合之间的关系求参数的值时，要明确集合中的元素，通常依据相关的定义，把这两个集合中元素的关系转化为解方程或解不等式(组)．
(2)对于给定的集合中的元素是用不等式来表示的，这类问题通常借助数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，还要注意验证端点值，做到准确无误，一般含“＝”用实心点表示，不含“＝”用空心点表示．
(3)此类问题还应注意“空集”这一“陷阱”，尤其是集合中含有字母参数时，初学者会想当然地认为是非空集合而丢解，因此分类讨论是必须的．
当堂检测
1．若集合A＝{x|－2＜x≤2，x∈N}，则A的子集的个数是( )．
A．2 B．4 C．8 D．16
2．已知集合A＝{x|－1＜x＜2}，B＝{x|0＜x＜1}，则( )．
A．A＞B B．AB C．BA D．A B
3．如果A＝{x|x＞－1}，那么正确的结论是( )．
A．0 A B．{0}A C．{0}∈A D．∈A
4．设a∈R，若集合{2,9}＝{1－a,9}，则a＝__________.
5．已知集合A＝{x|x＜3}，B＝{x|x＜a}，若B A，则实数a的取值范围是__________；若BA，则实数a的取值范围是__________．
提示：用最精炼的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记。
答案：
课前预习导学
【预习导引】
1．包含于 包含 子集
预习交流1 提示：(1)“∈”是表示元素与集合之间的关系，比如1∈N，－1N.
(2)“ ”是表示集合与集合之间的关系，比如N R，{1,2,3} {3,2,1}．
(3)“∈”的左边是元素，右边是集合，而“ ”的两边均为集合．
预习交流2 提示：集合之间的包含关系也具有这种传递性，即：若A B，B C，则A C.
2．封闭曲线的内部
3．任何一个元素 集合A
预习交流3 提示：(1)对于元素个数较少的有限集，可用列举法将元素列举出来，说明两个集合中的元素完全相同即可；对于无限集，常用的方法是证明两个集合互为子集，即A B，且B A.
(2)集合的相等具有传递性．即若A＝B，B＝C，则有A＝C.
4．A≠B
预习交流4 提示：(1)A B指的是集合A是集合B的子集，这时可能有A＝B；而AB指的是集合A是集合B的真子集，这时不存在A＝B的情况．因此A B包含两种情况：AB和A＝B.
(2)AB时，可以理解为集合A中的所有元素都是集合B中的元素，但集合B中至少有一个元素不是A中的元素．
5．(1)任何集合 (2)任何非空集合
(3)子集
预习交流5 提示：是空集，不含任何元素；{}是集合，且此集合中含有一个元素；存在子集，是其本身，但没有真子集．
课堂合作探究
【问题导学】
活动与探究1 思路分析：对于(1)，先将两个集合分别化简，用列举法将元素一一写出来再判断其关系；对于(2)，可根据等腰三角形和等腰直角三角形的关系直接进行判断；对于(3)，应先将集合N化简再判断；对于(4)，可借助数轴进行判断．
解：(1)由于P＝{0,1}，Q＝{－1,0,1}，所以由真子集的定义可知PQ.
(2)由于等腰直角三角形一定是等腰三角形，但等腰三角形不一定是等腰直角三角形，因此由真子集的定义可知AB.
(3)由于N＝{x|x2－3x＋2＝0}＝{1,2}，而M＝{1,2}，所以M＝N.
(4)由数轴(如下图)可知CD.
迁移与应用 解：(1)由于偶数一定是整数，但整数不一定是偶数，故AB.
(2)由于A＝{x|x2＝4}＝{2，－2}，B＝{x|x2＝－4}＝，故BA.
(3)集合A中的元素是第二、四象限中的点，集合B中的元素也是第二、四象限中的点，故A＝B.
活动与探究2 思路分析：先解方程x(x－1)2(x－2)＝0，求出其所有的根，从而确定集合M中的元素，然后按照子集、真子集的定义写出子集，并判断哪些是真子集．
解：解方程x(x－1)2(x－2)＝0可得x＝0或x＝1或x＝2，故集合M＝{0,1,2}．
由0个元素构成的子集为：；
由1个元素构成的子集为：{0}，{1}，{2}；
由2个元素构成的子集为：{0,1}，{0,2}，{1,2}；
由3个元素构成的子集为：{0,1,2}．
因此集合M的所有子集为：，{0}，{1}，{2}，{0,1}，{0,2}，{1,2}，{0,1,2}．
其中除集合{0,1,2}以外，其余的子集全是M的真子集．
迁移与应用 1．C 解析：若A＝，则满足A B，A C；
若A≠，由A B，A C，知A是由属于B且属于C的元素构成，此时集合A可能为{a}，{b}，{a，b}．故满足条件的集合A的个数是4.
2．解：由题意可知，满足条件的所有集合A为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}．
活动与探究3 思路分析：两个集合都是用列举法给出的，可根据集合相等的定义得到元素间的关系，从而求解．
解：∵A＝B，∴x＝0或y＝0.
当x＝0时，x2＝0，则B中的元素0重复出现，此时集合B中的元素不满足互异性，舍去．
当y＝0时，x＝x2，解得x＝1或x＝0(舍去)，
此时A＝{1,0}＝B，满足条件．
综上可知，x＝1，y＝0.
迁移与应用 1．1 解析：由A＝B，得
∴x＝1.
2．解：P＝Q.证明如下：
集合P中：x＝2n，n∈Z，所以P中元素都是2的倍数，亦即P为所有偶数构成的集合．
集合Q中：x＝2n＋2＝2(n＋1)，当n∈Z时，有n＋1∈Z.
因此Q中元素也是2的倍数，亦即Q为所有偶数构成的集合．故P＝Q.
活动与探究4 思路分析：两个集合均为无限集，解答时可采用数轴分析法，将集合A，B分别表示在数轴上，利用数轴分析a的取值范围．
解：将集合A表示在数轴上(如图所示)，
要满足A B，表示数a的点必须在表示4的点处或在表示4的点的右边，所以所求a的取值范围为a≥4.
迁移与应用 1．解：∵B A，且m2≥0，
∴m2＝2m－1，
即m2－2m＋1＝0.∴m＝1.
2．解：∵A B，如图所示，
∴
【当堂检测】
1．C 解析：由于A＝{x|－2＜x≤2，x∈N}＝{0,1,2}，
所以集合A共有8个子集，分别为：，{0}，{1}，{2}，{0,1}，{0,2}，{1,2}，{0,1,2}．
2．C 解析：利用数轴分析．
3．B 解析：由于0＞－1，所以{0}A.而选项A，C，D对于元素与集合、集合与集合的关系使用符号不对，故都是错误的．
4．－1 解析：∵1－a＝2，∴a＝－1.
5．{a|a≤3} {a|a＜3} 解析：在数轴上表示出集合A＝{x|x＜3}，然后分析a的取值范围．
