2.3.2 平面与平面垂直的判定
问题导学
一、面面垂直的判定
活动与探究1
在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面△ABC为等边三角形，E∈BB1，且BE＝EB1．
求证：平面A1EC⊥平面ACC1A1(注：侧棱和底面垂直的棱柱叫直棱柱)．
迁移与应用
1．如图，已知AB⊥平面BCD，BC⊥CD，则图中互相垂直的平面共有__________对．
2．在四棱锥P－ABCD中，若PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD是菱形，求证：平面PAC⊥平面PBD．
证明面面垂直有两种基本方法：①定义法：先作(或找)出二面角的平面角，再证明该角是90°；②判定定理法：在一个平面内找(或作)出一条直线，再证明该直线与另一个平面垂直．
二、求二面角的大小
活动与探究2
四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，且PA=AB．
(1)求二面角A－PD－C平面角的度数；
(2)求二面角B－PA－D平面角的度数；
(3)求二面角B－PA－C平面角的度数．
迁移与应用
1．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是BD的中点，二面角C1－AB－C的平面角是__________；二面角C1－BD－C的平面角是__________，其正切值为__________．
2．在三棱锥S －ABC中，SA⊥平面ABC，BC⊥AC，则二面角S－BC－A的平面角是__________．
求二面角的大小的方法为：一作，即先作出二面角的平面角；二证，即说明所作角是二面角的平面角；三求，即利用二面角的平面角所在的三角形算出角的三角函数值，再求出角的大小．
三、线面垂直与面面垂直的综合应用
活动与探究3
如图，P是矩形ABCD所在平面外一点，PA⊥平面ABCD，E，F分别是AB，PD的中点，又二面角P－CD－B为45°．
(1)求证：AF∥平面PEC；
(2)求证：平面PEC⊥平面PCD．
迁移与应用
1．过一条直线和一个平面垂直的平面有( )
A．一个
B．无数个
C．一个或无数个
D．0个
2．如图所示，在四棱锥S－ABCD中，底面四边形ABCD是平行四边形，SC⊥平面ABCD，E为SA的中点．求证：平面EBD⊥平面ABCD．
证“面面垂直”转化为“线面垂直”，证“线面垂直”转化为“线线垂直”，即线线垂直→线面垂直→面面垂直．
当堂检测
1．下列命题中
①两个相交平面组成的图形叫做二面角；
②异面直线a，b分别和一个二面角的两个面垂直，则a，b组成的角与这个二面角的平面角相等或互补；
③二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成角的最小角；
④二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系．
其中正确的是( )
A．①③ B．②④ C．③④ D．①②
2．对于直线a，b，c和平面α，β，已知a α，b β，c β，a⊥b，a⊥c，则α与β的位置关系是( )
A．α⊥β B．α∥β
C．α∩β＝l D．不确定
3．以等腰直角三角形斜边上的高为棱，把它折成直二面角，则折后两条直角边的夹角为( )
A．30° B．45° C．60° D．90°
4．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，平面AA1C1C与平面C1BD的位置关系是________．
5．在四面体A－BCD中，BD＝a，其余棱长均为a，则二面角A－BD－C的大小为__________．
提示：用最精练的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记．
答案：
课前预习导学
【预习导引】
1．两个半平面 二面角的棱 二面角的面 α－AB－β P－AB－Q α－l－β P－l－Q
2．垂直于l 射线OA和OB 直二面角
预习交流1 (1)提示：0°≤θ＜180°
(2)提示：二面角α－l－β的平面角∠AOB满足的条件是：
①O∈l；②OA α，OB β；③OA⊥l，OB⊥l．
(3)提示：根据等角定理，二面角的平面角的大小与在棱上选取的点的位置无关．
3．直二面角
预习交流2 提示：90°
4．垂线 a⊥α，a β，则α⊥β
预习交流3 提示：要证明两个平面垂直，只需在一个平面内找(或作)一条直线与另一个平面垂直，并证明即可．
课堂合作探究
【问题导学】
活动与探究1 思路分析：要证明平面A1EC⊥平面ACC1A1，只需在平面A1EC内找一条线与平面ACC1A1垂直．
证明：取A1C的中点F，AC的中点G，连接EF，FG，BG，则GFAA1．
又BEAA1，
∴GFBE．
∴EF∥GB．
∵△ABC是等边三角形，
∴BG⊥AC．
∴EF⊥AC．又AA1⊥平面ABC，∴AA1⊥BG．
∴EF⊥AA1．
∵AC∩AA1＝A，∴EF⊥平面ACC1A1．∵EF 平面A1EC，
∴平面A1EC⊥平面ACC1A1．
迁移与应用 1．3
2．证明：∵PA⊥平面ABCD，且BD 平面ABCD，
∴PA⊥BD．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD．∵PA∩AC＝A，
∴BD⊥平面PAC．∵BD 平面PBD，∴平面PAC⊥平面PBD．
活动与探究2 思路分析：(1)证明面PAD⊥面PCD；(2)，(3)先找出二面角的平面角，再证明该角满足平面角的定义，最后在三角形中求角的大小．
解：(1)∵PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥CD．又四边形ABCD为正方形，∴CD⊥AD．PA∩AD＝A，∴CD⊥平面PAD．
又CD 平面PCD，
∴平面PAD⊥平面PCD．
∴二面角A－PD－C平面角的度数为90°．
(2)∵PA⊥平面ABCD，
∴AB⊥PA，AD⊥PA．
∴∠BAD为二面角B－PA－D的平面角．又由题意∠BAD＝90°，
∴二面角B－PA－D平面角的度数为90°．
(3)∵PA⊥平面ABCD，
∴AB⊥PA，AC⊥PA．
∴∠BAC为二面角B－PA－C的平面角．又四边形ABCD为正方形，∴∠BAC＝45°，即二面角B－PA－C平面角的度数为45°．
迁移与应用 1．∠C1BC ∠C1OC 2．∠SCA
活动与探究3 思路分析：(1)取PC中点G，可证AF∥EG；(2)证明AF⊥平面PCD，则EG⊥平面PCD，可得平面PEC⊥平面PCD．
证明：(1)取PC的中点G；连接EG，FG．∵F是PD的中点，
∴FGCD．又AECD，
∴AEFG．∴四边形AEGF是平行四边形．∴AF∥EG．
又AF 平面PEC，EG 平面PEC，∴AF∥平面PEC．
(2)∵PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥CD．又∵CD⊥AD，且PA∩AD＝A，
∴CD⊥平面PAD．
∴CD⊥AF，CD⊥PD．
∴∠PDA是二面角P－CD－B的平面角，即∠PDA＝45°．
又∵PA⊥AD，F是PD中点，
∴AF⊥PD．∵PD∩CD＝D，
∴AF⊥平面PCD．
∵AF∥EG，∴EG⊥平面PCD．
∵EG 平面PEC，
∴平面PEC⊥平面PCD．
迁移与应用 1．C
2．证明：如图所示，连接AC，与BD交于点F，连接EF．因为F为ABCD对角线AC与BD的交点，所以F为AC的中点．
又E为SA的中点，所以EF为△SAC的中位线，所以EF∥SC．又SC⊥平面ABCD，所以EF⊥平面ABCD．又EF 平面EBD，所以平面EBD⊥平面ABCD．
【当堂检测】
1．B 2．D 3．C 4．垂直 5．90°2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系
2.1.1 平面
问题导学
一、三种语言的转换
活动与探究1
(1)说明语句“l α，m∩α＝A，A l”表示的点、线、面的位置关系，并画出图形；
(2)用符号语言表示下图所表示的点、线、面的位置关系．
迁移与应用
1．如图所示的点、线、面的位置关系用符号语言表示为________________．
2．用符号语言表示“三个平面α，β，γ相交于一点P，且平面α与平面β交于PA，平面α与平面γ交于PB，平面β与平面γ交于PC”，并画出图形．
在立体几何中，符号“∈”和“ ”表示点与直线、点与平面的关系；符号“∩”表示直线与直线或直线与平面相交；符号“ ”和“ ”表示直线与平面的关系．虽然借用集合中的符号表示点、线、面的位置关系，但在读时仍用几何语言．
二、点线共面问题
活动与探究2
过直线l外一点P引两条直线PA，PB和直线l分别相交于A，B两点，求证：三条直线PA，PB，l共面．
迁移与应用
1．空间两两相交的三条直线，可以确定的平面数是( )
A．1 B．2 C．3 D．1或3
2．已知直线a∥b，直线l与a，b都相交．求证：直线a，b，l共面．
(1)证明多点、多线共面时，可先由部分点线确定一个平面，再由公理1证明其他点线也在这个平面内．
(2)两条相交直线确定一个平面，两条平行直线也确定一个平面．
三、证明多点共线问题
活动与探究3
如图，在四面体ABCD中，E，G分别为BC，AB上的点，H，F分别为AD，CD上的点，GH与EF交于点O．求证：B，D，O在同一条直线上．
迁移与应用
1．已知平面α∩平面β＝l，点P∈α，P∈β，则点P与直线l的关系是__________．
2．如图，已知△ABC在平面α外，它的三边所在的直线分别交平面α于点P，Q，R，求证：P，Q，R三点共线．
证明多点共线的方法是利用公理3，只需说明这些点都是两个平面的公共点，则必在这两个平面的交线上，这是证明多点共线的基本思路与方法．
四、证明多线共点
活动与探究4
已知三个平面α，β，γ两两相交于三条直线，即α∩β＝c，β∩γ＝a，γ∩α＝b，若直线a和b不平行，
求证：a，b，c三条直线必过同一点．
迁移与应用
如图，已知平面α，β，且α∩β=l．设梯形ABCD中，AD∥BC，且AB α，CD β，求证：AB，CD，l共点(相交于一点)．
证明三线共点常用的方法是先说明两条直线共面且相交于一点；然后说明这个点在以另一条线为交线的两个平面内，即该点在另一条直线上，所以三线共点．
当堂检测
1．下列说法中正确的个数为( )
①梯形一定是平面图形；②若四边形的两对角线相交于一点，则该四边形是平面图形；③圆心和圆上两点可确定一个平面；④三条平行线最多可确定三个平面．
A．1 B．2
C．3 D．4
2．如果直线a 平面α，直线b 平面α，M∈a，N∈b，M∈l，N∈l，则( )
A．l α B．l α
C．l∩α＝M D．l∩α＝N
3．在空间中，下列命题不正确的是( )
A．若两个平面有一个公共点，则它们有无数个公共点
B．若已知四个点不共面，则其中任意三点不共线
C．若A既在平面α内，又在平面β内，且α与β交于b，则A在b上
D．任意三点能确定一个平面
4．已知平面α∩β＝l，△ABC的三边中，AB α，AC β，则顶点A与直线l的位置关系是__________．
5．已知α∩β＝l，m α，n β，m∩n＝P，则点P与直线l的位置关系用符号表示为__________．
提示：用最精练的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记．
答案：
课前预习导学
【预习导引】
1．(1)无限延展 (2)①平行四边形 45° 2倍 ②立体感 虚线 (3)平面α 平面ABCD 平面AC 平面BD
预习交流1 (1)提示：能用三角形表示平面，可写为平面ABC．
(2)提示：一个平面把空间分成两部分；两个平面相交时，把空间分成四部分，平行时，把空间分成三部分．
2．(1)所有点都 平面α经过直线l
预习交流2 提示：因为点可看作元素，则直线与平面都可看作是点的集合，所以，点与线、点与面之间的关系就是元素与集合的关系，线与面之间的关系就是集合与集合之间的关系，所以用集合的符号表示点、线、面之间的关系正好与集合中元素、集合的关系一致．
3．两点 这条直线在此平面内 l α 不在一条直线上的三点有且只有 一条过该点的公共直线
预习交流3 (1)提示：应用公理1可说明某直线在某个平面内，或某个点在某个平面内．如，若l α，A∈l，则A∈α．
(2)提示：“有且只有一个”的含义是“存在且惟一”，它包含两个意思：一是存在，二是惟一．
(3)提示：两个平面相交只有一条交线，点P在交线上．
课堂合作探究
【问题导学】
活动与探究1 思路分析：利用三种语言的关系解答．
解：(1)直线l在平面α内，直线m与平面α相交于点A，且点A不在直线l上，图形如图所示．
(2)图示的点、线、面的位置关系可用符号语言表示为α∩β＝l，m α，n β，l∩n＝P，m∥l．
迁移与应用 1．α∩β＝l，m∩α＝A，m∩β＝B，A l，B l
2．解：α∩β＝PA，α∩γ＝PB，β∩γ＝PC，PA∩PB∩PC＝P．图形如图所示．
活动与探究2 思路分析：根据条件P，A，B确定一个平面，再证直线l，PA，PB在这个平面内．
证明：如图，∵点P，A，B不共线，
∴点P，A，B确定一个平面α．
∴P∈α，A∈α，B∈α．∴PA α，PB α．又A∈l，B∈l，∴l α．
∴PA，PB，l共面．
迁移与应用 1．D
2．证明：∵a∥b，
∴直线a，b确定一个平面，记为α，如图．
设a∩l＝A，b∩l＝B，
则A∈a，B∈b，∴A∈α，B∈α．
∴l α．∴直线a，b，l共面．
活动与探究3 思路分析：本例是一个证明三点共线的问题，根据题意只需证明点O在直线BD上．而BD是平面ABD与平面BCD的交线，因而只需证明点O在平面ABD内，也在平面BCD内即可．
证明：∵GH∩EF＝O，∴O∈GH，O∈EF．又GH 平面ABD，EF 平面BCD，∴O∈平面ABD，O∈平面BCD．∴点O在平面ABD与平面BCD的交线上．又∵平面ABD∩平面BCD＝BD，∴O∈BD．
∴B，D，O在同一条直线上．
迁移与应用 1．P∈l
2．证明：∵AB∩α＝P，AB 平面ABC，∴P∈平面ABC，P∈α，
∴P在平面ABC与平面α的交线上．同理可证，Q和R均在这条交线上．∴P，Q，R三点共线．
活动与探究4 思路分析：先由a，b共面且不平行，得a与b相交，设交于点P，再证明交点P在c上，即证明P∈α，P∈β．
证明：∵α∩γ＝b，β∩γ＝a，
∴a γ，b γ．
又由于直线a和b不平行，
∴a，b必相交．
设a∩b＝P，如图，则P∈a，P∈b．
∵a β，b α，∴P∈β，P∈α．
又α∩β＝c，
∴P∈c，即交线c经过点P．
∴a，b，c三条直线相交于同一点．
迁移与应用 证明：∵四边形ABCD是梯形，且AD∥BC，
∴延长AB，DC，设交于点O．
则O∈AB，O∈CD．
∵AB α，CD β．∴O∈α，O∈β．
∵α∩β＝l，∴O∈l．
∴AB，CD，l共点．
【当堂检测】
1．C 2．A 3．D 4．A∈l 5．P∈l2.3.3～2.3.4 直线与平面垂直的性质、平面与平面垂直的性质
问题导学
一、线面垂直性质的应用
活动与探究1
如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC．
求证：(1)MN∥AD1；
(2)M是AB的中点．
迁移与应用
1．若a，b表示直线，α表示平面，下列命题中正确的个数为( )
①a⊥α，b∥α a⊥b；②a⊥α，a⊥b b∥α；③a∥α，a⊥b b⊥α；④a⊥α，b⊥α a∥b．
A．1 B．2 C．3 D．0
2．已知α∩β＝l，EA⊥α于点A，EB⊥β于点B，a α，a⊥AB．
求证：a∥l．
线面垂直的性质也是得到线线平行的一个方法，在有线面垂直的条件下，要得平行线，可先考虑线面垂直的性质．
二、面面垂直的性质的应用
活动与探究2
如图，P是四边形ABCD所在平面外的一点，四边形ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD．若G为AD的中点，
求证：(1)BG⊥平面PAD；
(2)AD⊥PB．
迁移与应用
如图，已知V是△ABC外一点，VB⊥平面ABC，平面VAB⊥平面VAC．求证：AC⊥AB．
面面垂直的性质是作平面的垂线的重要方法，因此，在有面面垂直的条件下，若需要平面的垂线，要首先考虑面面垂直的性质．
三、线线、线面、面面垂直的综合应用
活动与探究3
如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面．
迁移与应用
如图，平面PAC⊥平面ABC，试作出二面角P－AB－C的平面角．
线面垂直的综合应用就是线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化，在解答垂直关系问题时要注意已知垂直条件，特别是线面垂直与面面垂直性质的应用．
当堂检测
1．若平面α⊥平面β，平面β⊥平面γ，则( )
A．α∥γ B．α⊥γ
C．α与γ相交但不垂直 D．以上都有可能
2．下列说法中不正确的是( )
A．若一条直线垂直于一个三角形的两边，则一定垂直于第三边
B．同一个平面的两条垂线一定共面
C．过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一个平面内
D．过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直
3．平面α，β及直线l满足：α⊥β，l∥α，则一定有( )
A．l∥β
B．l β
C．l与β相交
D．以上三种情况都有可能
4．如图所示，平面α⊥平面β，在α与β的交线l上取线段AB＝4 cm，AC，BD分别在平面α和平面β内，AC⊥l，BD⊥l，AC＝3 cm，BD＝12 cm，求线段CD的长度．
5．如图所示，三棱锥S－ABC中，平面SBC⊥底面ABC，且SA＝SB＝SC，试判断△ABC的形状．
提示：用最精练的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记．
答案：
课前预习导学
【预习导引】
1．平行 a⊥α，b⊥α a∥b
预习交流1 (1)提示：如图，过直线l作两个平面，分别与两个平面α，β相交于a，a′，b，b′，∵l⊥α，
∴l⊥a，l⊥b．∵l⊥β，∴l⊥a′，l⊥b′．∴a∥a′，b∥b′．又a与b相交，a′与b′相交，∴α∥β．
∴垂直于同一条直线的两个平面平行．
(2)提示：不一定．可能平行，也可能相交，如相邻的墙面与地面都垂直，但两墙面相交．
2．垂直于交线 α⊥β，α∩β＝l，a α，a⊥l
预习交流2 (1)提示：若α⊥β，l⊥α，在β内作a与α，β的交线垂直，则a⊥α，∴a∥l．
∴l∥β或l β，即直线l与平面β平行或在平面β内．
(2)提示：不一定．只有在一个平面内垂直于两平面交线的直线才能垂直于另一个平面．
课堂合作探究
【问题导学】
活动与探究1 思路分析：对于(1)要证明线线平行，要先证线面垂直，即证AD1⊥平面A1DC．对于(2)可利用平行的传递性加以证明．
证明：(1)∵四边形ADD1A1为正方形，∴AD1⊥A1D．
又∵CD⊥平面ADD1A1，
∴CD⊥AD1．∵A1D∩CD＝D，
∴AD1⊥平面A1DC．
又∵MN⊥平面A1DC，
∴MN∥AD1．
(2)如图，连接ON，在△A1DC中，A1O＝OD，A1N＝NC．
∴ONCDAB．
∴ON∥AM．又∵MN∥OA，
∴四边形AMNO为平行四边形，
∴ON＝AM．∵ON＝AB，
∴AM＝AB．
∴M是AB的中点．
迁移与应用 1．B
2．证明：EA⊥α，EB⊥β, α∩β＝l l⊥平面EAB．
又∵a α，EA⊥α，∴a⊥EA．
又∵a⊥AB，
∴a⊥平面EAB．∴a∥l．
活动与探究2 思路分析：(1)可利用面面垂直的性质定理去证明；(2)可通过垂直关系来转化．
证明：(1)连接BD，在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，
∴△ABD为正三角形．
又G为AD的中点，
∴BG⊥AD．
又平面PAD⊥平面ABCD，
平面PAD∩平面ABCD＝AD，BG 平面ABCD，
∴BG⊥平面PAD．
(2)∵△PAD为正三角形，G为AD的中点，∴PG⊥AD．
由(1)知BG⊥AD，
又BG∩PG＝G，
∴AD⊥平面PBG．
∴AD⊥PB．
迁移与应用 证明：在平面VAB内，过点B作BD⊥VA于D．
∵平面VAB⊥平面VAC，且交线为VA，
∴BD⊥平面VAC．∴BD⊥AC．∵VB⊥平面ABC，
∴VB⊥AC．
∵BD∩VB＝B，且VB 平面VBA，BD 平面VBA，
∴AC⊥平面VBA，
∴AC⊥AB．
活动与探究3 思路分析：根据直线和平面垂直的判定定理，可在γ内构造两相交直线分别与平面α，β垂直；或者由面面垂直的性质易在α，β内作出平面γ的垂线，再设法证明l与其平行即可．
解：已知α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l．
求证：l⊥γ．
证明：方法一：在γ内取一点P，作PA垂直α与γ的交线于A，PB垂直β与γ的交线于B，则PA⊥α，PB⊥β．
∵l＝α∩β，∴l⊥PA，l⊥PB．又PA∩PB＝P，且PA γ，PB γ，∴l⊥γ．
方法二：在α内作直线m垂直于α与γ的交线，在β内作直线n垂直于β与γ的交线，
∵α⊥γ，β⊥γ，∴m⊥γ，n⊥γ．∴m∥n．又n β，∴m∥β．
又m α，α∩β＝l，
∴m∥l．∴l⊥γ．
迁移与应用
解：如图，在平面PAC内，过点P作PO⊥AC于O，在平面ABC内，过O作OD⊥AB于D，连接PD．则∠PDO就是二面角P－AB－C的平面角，证明如下：∵PO⊥平面ABC，∴AB⊥PO．又∵OD⊥AB，
∴AB⊥平面PDO，
∴AB⊥PD．∴∠PDO满足二面角的平面角的定义，即是二面角P－AB－C的平面角．
【当堂检测】
1．D 2．D 3．D
4．解：∵AC⊥l，AC＝3 cm，AB＝4 cm，∴BC＝5 cm．
∵BD⊥l，α∩β＝l，α⊥β，BD β，∴BD⊥α．又BC α，∴BD⊥BC．在Rt△BDC中，DC＝＝13 cm．
5．解：如下图所示，取BC的中点O，
∵SB＝SC，∴SO⊥BC．
∵平面SBC⊥底面ABC，
∴SO⊥平面ABC．
∵SA＝SB＝SC，∴OA＝OB＝OC．∴∠A＝90°．
∴△ABC为直角三角形．生物学是自然科学的一个门类。研究生物的结构、功能、发生和发展的规律，以及生物与周围环境的关系等的科学。数学人教A必修2第二章 点、直线、平面之间的位置关系单元检测
(时间：60分钟，满分：100分)
一、选择题(本大题共8小题，每小题6分，共48分)
1．室内有一直尺，无论怎样放置，在地面上总有这样的直线，它与直尺所在的直线( )
A．异面 B．相交 C．平行 D．垂直
2．对两条不相交的空间直线a与b，必存在平面α，使得( )
A．a α，b α B．a α，b∥α
C．a⊥α，b⊥α D．a α，b⊥α
3．已知二面角α－l－β的大小为60°，m，n为异面直线，且m⊥α，n⊥β，则m，n所成的角为( )
A．30° B．60° C．90° D．120°
4．设l是直线，α，β是两个不同的平面( )
A．若l∥α，l∥β，则α∥β
B．若l∥α，l⊥β，则α⊥β
C．若α⊥β，l⊥α，则l⊥β
D．若α⊥β，l∥α，则l⊥β
5．设α，β为不重合的平面，m，n为不重合的直线，则下列命题正确的是( )
A．若α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，则m⊥α
B．若m α，n β，m∥n，则α∥β
C．若m∥α，n∥β，m⊥n，则α⊥β
D．若n⊥α，n⊥β， m⊥β，则m⊥α
6．如下图，在四面体ABCD中，E，F分别是AC与BD的中点，若CD＝2AB＝4，EF⊥BA，则EF与CD所成的角为( )
A．90° B．45°
C．60° D．30°
7．点P是等腰△ABC所在平面外一点，PA⊥平面ABC，PA＝8，在△ABC中，底边BC＝6，AB＝AC＝5，则P到BC的距离为( )
A． B． C． D．
8．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则BC1与平面BB1D1D所成的角的正弦值为( )
A． B． C． D．
二、填空题(本大题共3小题，每小题6分，共18分)
9．若二面角α－l－β是直二面角，A∈α，B∈β，AA1⊥l于A1，BB1⊥l于B1，且AA1＝A1B1＝1，B1B＝2，M是直线l上的一个动点，则AM＋BM的最小值为________．
10．已知平面α∥平面β，P是α，β外一点，过P点的两条直线AC，BD分别交α于A， B，交β于C，D，且PA＝6，AC＝9，AB＝8，则CD的长为________．
11．已知菱形ABCD中，AB＝2，∠A＝120°，沿对角线BD将△ABD折起使二面角A－BD－C为120°，则点A到△BCD所在平面的距离为__________．
三、解答题(本大题共3小题，12,13小题每小题10分，14小题14分，共34分)
12．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，A1B1＝A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点(点D不同于点C)，且AD⊥DE，F为B1C1中点．
求证：(1)平面ADE⊥平面BCC1B1；
(2)直线A1F∥平面ADE．
13．如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱垂直底面，∠ACB＝90°，AC＝BC＝AA1，D是棱AA1的中点．
(1)证明：平面BDC1⊥平面BDC；
(2)平面BDC1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比．
14．如图所示，正方形ABCD和矩形ADEF所在平面相互垂直，G是AF的中点．
(1)求证：ED⊥AC；
(2)若直线BE与平面ABCD成45°角，求异面直线GE与AC所成角的余弦值．
参考答案
1答案：D
2答案：B
3答案：B
4答案：B
5答案：D
6答案：D
7答案：A
8答案：D
9答案：
10答案：20或4
11答案：
12答案：略
13答案：(1)略
(2)平面BDC1分此棱柱所得两部分体积的比为1∶1.
14答案：(1)证明：在矩形ADEF中，ED⊥AD，
∵平面ADEF⊥平面ABCD，且平面ADEF∩平面ABCD＝AD，
∴ED⊥平面ABCD.
∵AC 平面ABCD，
∴ED⊥AC.
(2)解：由(1)知：ED⊥平面ABCD，
∴∠EBD是直线BE与平面ABCD所成的角，即∠EBD＝45°.
设AB＝a，则DE＝BD＝，
取DE中点M，连接AM，
∵G是AF的中点，
∴AM∥GE，
∴∠MAC是异面直线GE与AC所成角或其补角.连接BD交AC于点O，连接MO.
∵，O是AC的中点，∴MO⊥AC，
∴，∴异面直线GE与AC所成角的余弦值为.2.2.3～2.2.4 直线与平面平行的性质、平面与平面平行的性质
问题导学
一、直线与平面平行的性质定理的应用
活动与探究1
求证：若一条直线分别和两个相交平面平行，则这条直线必与它们的交线平行．
迁移与应用
1．如图，过正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BB1作一平面交平面CDD1C1于EE1，则直线BB1与EE1的关系是________．
2．如图，在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，EH∥FG．求证：EH∥BD．
运用线面平行的性质定理时，应先确定线面平行，再寻找过已知直线的平面与平面相交的交线，然后确定线线平行．证题过程应认真领悟线线平行与线面平行的相互转化关系．
二、面面平行的性质定理的应用
活动与探究2
如图所示，两条异面直线BA，DC与两平行平面α，β分别交于B，A点和D，C点，M，N分别是AB，CD的中点．
求证：MN∥平面α．
迁移与应用
1．如图所示，已知平面α∥平面β，A∈α，B∈α，C∈β，D∈β，AD∥BC，则线段AD与BC的长度关系是__________．
2．如图，已知α∥β，点P是平面α，β外的一点(不在α与β之间)．直线PB，PD分别与α，β相交于点A，B和C，D．
(1)求证：AC∥BD；
(2)已知PA＝4 cm，AB＝5 cm，PC＝3 cm，求PD的长．
面面平行的性质定理的几个有用推论：
(1)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面．
(2)夹在两个平行平面之间的平行线段相等．
(3)经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．
(4)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例．
(5)如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行．
三、平行关系的综合应用
活动与探究3
如图所示，平面四边形ABCD的四个顶点A，B，C，D均在平行四边形A′B′C′D′所确定的平面α外，且AA′，BB′，CC′，DD′互相平行．
求证：四边形ABCD是平行四边形．
迁移与应用
在三棱锥S－ABC中，D，E，F分别是AC，BC，SC的中点，G是AB上任意一点．求证：SG∥平面DEF．
在平行关系中，线线、线面、面面平行关系经常交替使用，相互转化，特别是一些复杂的题目，在线线、线面、面面平行关系中，判定了一个成立，接着可以利用性质转化成另一个也成立，其关系可用下图示意．
当堂检测
1．如果直线a∥平面α，则( )
A．平面α内有且只有一条直线与a平行
B．平面α内有无数条直线与a平行
C．平面α内不存在与a垂直的直线
D．平面α内有且只有一条与a垂直的直线
2．如果一条直线和一个平面平行，两端点分别在直线和平面上的两线段相等，那么这两条线段所在直线的位置关系是( )
A．平行 B．相交 C．异面 D．皆有可能
3．若α∥β，直线a α，点B∈β，则在β内过点B的所有直线中( )
A．不一定存在与a平行的直线
B．只有两条与a平行的直线
C．存在无数条与a平行的直线
D．有且只有一条与a平行的直线
4．过正方体ABCD－A1B1C1D1的顶点A1，C1，B的平面与底面ABCD所在平面的交线为l，则l与A1C1的位置关系是________．
5．如图，四边形ABDC是梯形，AB∥CD，且AB∥平面α，AC∩α＝M，BD∩α＝N，其中M是AC的中点．AB＝4，CD＝6，则MN＝________．
提示：用最精练的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记．
答案：
课前预习导学
【预习导引】
1．过这条直线的任一平面与此平面的交线 a β α∩β＝b 线线平行
预习交流1 (1)提示：根据直线与平面平行的性质定理，只需过a作一平面与平面α相交，则交线与a平行．
(2)提示：过a与平面α相交的平面有无数个，它们与α的交线互相平行．
2．相交 平行 α∩γ＝a β∩γ＝b 线线平行
预习交流2 提示：平面α内的任意直线都与平面β平行，与平面β内的直线平行或异面，即平面α内的任意直线与平面β内的直线都没有公共点．
课堂合作探究
【问题导学】
活动与探究1 思路分析：先写出已知与求证，再利用线面平行的性质定理及判定定理证明．
解：已知：a∥α，a∥β，α∩β＝b．求证：a∥b．
证明：设A∈α，且A b，过直线a和点A作平面γ交平面α于直线c，如图，
∵a∥α，a γ，α∩γ＝c，
∴a∥c(直线和平面平行的性质定理)．
再设B∈β，且B b，同样，过直线a和点B的平面δ交平面β于直线d．同理a∥d(直线和平面平行的性质定理)．
∴d∥c．又∵d β，c β，
∴c∥β(直线与平面平行的判定定理)．又∵c α，α∩β＝b，
∴c∥b(直线与平面平行的性质定理)．从而a∥b．
迁移与应用 1．BB1∥EE1
2．证明：因为EH∥FG，FG 平面BCD，EH 平面BCD，所以EH∥平面BCD．因为EH 平面ABD，平面ABD∩平面BCD＝BD，所以EH∥BD．
活动与探究2 思路分析：利用三角形的中位线及面面平行的性质证明．
证明：过点A作AE∥CD交α于E，取AE的中点P，连接MP，PN，BE，ED，AC．
∵AE∥CD，
∴AE，CD确定平面AEDC．
则平面AEDC∩平面α＝DE，平面AEDC∩平面β＝AC，
∵α∥β，∴AC∥DE．
又P，N分别为AE，CD的中点，∴PN∥DE．PN α，DE α，
∴PN∥α．又M，P分别为AB，AE的中点，
∴MP∥BE，且MP α，BE α，
∴MP∥α．∴平面MPN∥平面α．又MN 平面MPN，∴MN∥α．
迁移与应用 1．AD＝BC
2．(1)证明：∵PB∩PD＝P，
∴直线PB和PD确定一个平面γ，则α∩γ＝AC，β∩γ＝BD．
又α∥β，∴AC∥BD．
(2)解：由(1)得AC∥BD，∴＝．∴＝．∴CD＝．∴PD＝PC＋CD＝(cm)．
活动与探究3 思路分析：充分利用A′B′C′D′的平行关系及AA′，BB′，CC′，DD′间的平行关系，先得出线面平行，再得面面平行，最后再由面面平行的性质定理得线线平行．
证明：∵四边形A′B′C′D′是平行四边形，∴A′D′∥B′C′．∵A′D′ 平面BB′C′C，B′C′ 平面BB′C′C，
∴A′D′∥平面BB′C′C．
同理AA′∥平面BB′C′C．
∵A′D′ 平面AA′D′D，AA′ 平面AA′D′D，
且A′D′∩AA′＝A′，
∴平面AA′D′D∥平面BB′C′C．
又∵AD，BC分别是平面ABCD与平面AA′D′D、平面BB′C′C的交线，故AD∥BC．
同理可证AB∥CD．∴四边形ABCD是平行四边形．
迁移与应用 证明：∵D，E分别是AC，BC的中点．∴DE∥AB．
又DE 平面SAB，AB 平面SAB，∴DE∥平面SAB．
同理可证EF∥平面SAB．
∵DE∩EF＝E，
∴平面DEF∥平面SAB．
∵SG 平面SAB，
∴SG∥平面DEF．
【当堂检测】
1．B 2．D 3．D 4．l∥A1C1 5．52.3 直线、平面垂直的判定及其性质
2.3.1 直线与平面垂直的判定
问题导学
一、直线与平面垂直的证明
活动与探究1
如图所示，Rt△ABC所在平面外一点S，且SA=SB=SC，点D为斜边AC的中点．
(1)求证：SD⊥平面ABC；
(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC．
迁移与应用
1．一直线和三角形两边所在直线都垂直，则该直线和三角形所在平面的位置关系是__________．
2．在三棱锥V－ABC中，VA＝VC，BA＝BC，O是AC的中点，则AC与平面VOB的关系是________．
利用直线与平面垂直的判定定理证明直线与平面垂直，就是在平面内找(或作)两条相交直线，再证明已知直线与这两条相交直线都垂直．
二、直线与平面垂直定义的应用
活动与探究2
如下图，已知AP⊥⊙O所在平面，AB为⊙O的直径，C是圆周上不同于A，B的任意一点，过点A作AE⊥PC于点E，求证：AE⊥平面PBC．
迁移与应用
1．如图，P为△ABC所在平面外的一点，且PA，PB，PC两两垂直，则PA与BC的关系是__________．
2．如下图，α∩β＝CD，EA⊥α，垂足为A，EB⊥β，垂足为B．求证：CD⊥AB．
在立体几何中，为证两直线垂直，常需证明一条直线与另一条直线所在的平面垂直．这体现了线线垂直与线面垂直的相互转化，也是证明两直线垂直的重要方法．
三、直线与平面所成的角
活动与探究3
如图所示，Rt△BMC中，斜边BM=5，它在平面ABC上的射影AB长为4，∠MBC＝60°，求MC与平面CAB所成角的正弦值．
迁移与应用
如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点．求直线BE与平面ABB1A1所成的角的正弦值．
求斜线与平面所成角的步骤：
①寻找过直线上一点与平面垂直的直线；
②连接垂足和斜足得出射影，确定出所求角；
③把该角放入三角形中计算．
当堂检测
1．下列命题中正确的个数是( )
①如果直线l与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α；
②如果直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α；
③如果直线l不垂直于α，则α内没有与l垂直的直线；
④如果直线l不垂直于α，则α内也可以有无数条直线与l垂直．
A．0 B．1 C．2 D．3
2．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，与AD1垂直的平面是( )
A．平面DD1C1C B．平面A1DB1
C．平面A1B1C1D1 D．平面A1DB
3．直线a⊥平面α，b∥α，则a与b的关系为( )
A．a⊥b，且a与b相交 B．a⊥b，且a与b不相交
C．a⊥b D．a与b不一定垂直
4．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则AC1与平面A1B1C1D1所成角的正弦值为__________．
5．如图，在△ABC中，∠C＝90°，若PA⊥平面ABC，则图中直角三角形的个数为__________．
提示：用最精练的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记．
答案：
课前预习导学
【预习导引】
1．任意一条 垂直 l⊥α 垂线 垂面 垂足
预习交流1 (1)提示：不一定．若平面内的无数条直线是平行的，则直线l与平面可能平行，也可能垂直，也可能是相交但不垂直，也可能直线l在平面内．
(2)提示：l⊥a．
2．(1)两条相交直线 (3)a α，b α，a∩b＝P，l⊥a，l⊥b
预习交流2 (1)提示：定理中“相交”二字不可去掉，否则直线与平面不一定垂直．
(2)提示：设法在平面内找(或作)两条相交直线与已知直线垂直．
3．(1)斜线 斜足 (2)垂足O和斜足A (3)射影 锐角 (4)直角 0° 0°≤θ≤90°
课堂合作探究
【问题导学】
活动与探究1 思路分析：由于D是AC中点，SA＝SC，则SD是△SAC的高，可证△SDB≌△SDA．由AB＝BC，则Rt△ABC是等腰直角三角形，则BD⊥AC，利用线面垂直的判定定理即可得证．
证明：(1)∵SA＝SC，D为AC的中点，∴SD⊥AC．在Rt△ABC中，AD＝DC＝BD，又SA＝SB，
∴△ADS≌△BDS．
∴SD⊥BD．又AC∩BD＝D，
∴SD⊥平面ABC．
(2)∵BA＝BC，D为AC的中点，∴BD⊥AC．
又由(1)知SD⊥BD，
于是BD垂直于平面SAC内的两条相交直线．∴BD⊥平面SAC．
迁移与应用 1．垂直
2．AC⊥平面VOB
活动与探究2 思路分析：要证AE⊥平面PBC，∵AE⊥PC，只需证AE⊥BC；
要证AE⊥BC，只需证BC⊥平面PAC．
证明：∵PA⊥⊙O所在平面，而BC在⊙O所在平面内，∴PA⊥BC．
又∵AB为⊙O直径，∴AC⊥BC．
又PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC．∵AE 平面PAC，
∴BC⊥AE．
又∵AE⊥PC，BC∩PC＝C，
∴AE⊥平面PBC．
迁移与应用 1．垂直
2．证明：∵EA⊥α，CD α，
根据直线和平面垂直的定义，则有CD⊥EA．同样，∵EB⊥β，CD β，则有EB⊥CD．
又EA∩EB＝E，
∴CD⊥平面AEB．又∵AB 平面AEB，∴CD⊥AB．
活动与探究3 解：由题意知，A是M在平面ABC内的射影，
∴MA⊥平面ABC．∴MC在平面CAB内的射影为AC．
∴∠MCA即为直线MC与平面CAB所成的角．
又∵在Rt△MBC中，BM＝5，∠MBC＝60°，∴MC＝BM·sin∠MBC＝5sin 60°＝5×＝．
在Rt△MAB中，MA＝＝＝3．
在Rt△MAC中，sin∠MCA＝＝＝．即MC与平面CAB所成角的正弦值为．
迁移与应用 解：取AA1的中点M，连接EM，BM．因为E是DD1的中点，四边形ADD1A1为正方形，所以EM∥AD．又在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AD⊥平面ABB1A1，所以EM⊥平面ABB1A1，
从而BM为直线BE在平面ABB1A1上的射影，∠EBM即为直线BE与平面ABB1A1所成的角．
设正方体的棱长为2，则EM＝AD＝2，BE＝＝3，于是在Rt△BEM中，sin∠EBM＝＝，即直线BE与平面ABB1A1所成的角的正弦值为．
【当堂检测】
1．B 2．B 3．C 4． 5．42.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系
问题导学
一、空间两条直线位置关系的判定
活动与探究1
在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AA1，AB的中点，试判断下列各对线段所在直线的位置关系：
(1)AB与CC1；
(2)A1B1与DC；
(3)A1C与D1B；
(4)DC与BD1；
(5)D1E与CF．
迁移与应用
1．异面直线是指( )
A．空间中两条不相交的直线
B．分别位于两个不同平面内的两条直线
C．平面内的一条直线与平面外的一条直线
D．不同在任何一个平面内的两条直线
2．下列结论正确的是( )
A．没有公共点的两条直线是平行直线
B．两条直线不相交就平行
C．两条直线有既不相交又不平行的情况
D．一条直线和两条相交直线中的一条平行，它也可能和另一条平行
3．已知三条直线a，b，c，a与b异面，b与c异面，则a与c的位置关系是__________．
(1)空间两条直线位置关系的判定方法：
①判定两条直线平行或相交可用平面几何的方法去判断，而两条直线平行也可以用公理4判断．
②判定两条直线是异面直线的方法：
定义法：由定义判断两直线不可能在同一平面内．
排除法(反证法)：排除两直线共面(平行或相交)．
(2)两条直线异面，是指找不到平面，使这两条直线同在这一平面内，并不是说，这两条直线不同在某一平面内．
二、公理4与等角定理的应用
活动与探究2
如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，M1分别是棱AD和A1D1的中点．
(1)求证：四边形BB1M1M为平行四边形；
(2)求证：∠BMC=∠B1M1C1．
迁移与应用
1．空间两个角α，β的两边分别对应平行，且α＝60°，即β为( )
A．60° B．120°
C．30° D．60°或120°
2．如图，空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点．求证：四边形EFGH是平行四边形．
(1)公理4表明了平行线的传递性，它可以作为判断两直线平行的依据，同时也给出空间两直线平行的一种证明方法．
(2)如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，并且方向相同，那么这两个角相等．
三、求异面直线所成的角
活动与探究3
如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，求下列异面直线所成的角．
(1)AA1与BC；
(2)DD1与A1B；
(3)A1B与AC．
迁移与应用
正方体ABCD－A1B1C1D1中，
(1)AC和DD1所成的角是________；
(2)AC和D1C1所成的角是________；
(3)AC和B1D1所成的角是________．
求两异面直线所成的角的一般步骤：
(1)作角：根据两异面直线所成角的定义，用平移法作出异面直线所成的角；
(2)证明：证明作出的角就是要求的角即证明所作角的两边分别与两异面直线平行；
(3)计算：求角的值，常在三角形中求解；
(4)结论．
也可用“一作”“二证”“三求解”来概括．
当堂检测
1．如图所示，在三棱锥P－ABC中，六条棱所在的直线是异面直线的共有( )
A．2对 B．3对 C．4对 D．6对
2．若∠AOB＝∠A1O1B1且OA∥O1A1，OA与O1A1的方向相同，则下列结论中正确的是( )
A．OB∥O1B1且方向相同
B．OB∥O1B1
C．OB与O1B1不平行
D．OB与O1B1不一定平行
3．若直线a∥直线b，直线a与直线c异面，则b与c( )
A．一定是异面直线 B．一定是相交直线
C．不可能是平行直线 D．不可能是相交直线
4．在长方体ABCD－A1B1C1D1的所有棱中，与棱AA1平行的棱有______．
5．正方体ABCD－A1B1C1D1中，与AC成45°角的棱共有__________条．
提示：用最精练的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记．
答案：
课前预习导学
【预习导引】
1．(1)任何一个
预习交流1 提示：a，b不一定是异面直线，因为a，b也有可能平行或相交．
根据异面直线的定义，若a，b是异面直线，则找不到任何一个平面，使得直线a，b都在这个平面内．
2．相交直线 平行直线 异面直线
预习交流2 提示：这两条直线平行或异面．
3．(1)互相平行 平行线的传递性 a∥c (2)对应平行 相等 互补
预习交流3 提示：相等
4．(1)锐角 直角 (2)直角 a⊥b
预习交流4 (1)提示：0°＜θ≤90°
(2)提示：∵a⊥c，
∴a与c所成的角为直角．
∵a∥b，∴b与c所成的角等于a与c所成的角．即b与c所成的角是直角，∴b⊥c．
课堂合作探究
【问题导学】
活动与探究1 思路分析：依据两直线相交、平行、异面的定义、公理或定理判断．
解：(1)∵C∈平面ABCD，AB 平面ABCD，又C AB，C1 平面ABCD，∴AB与CC1异面．
(2)∵A1B1∥AB，AB∥DC，
∴A1B1∥DC．
(3)∵A1D1∥BC，则A1，B，C，D1在同一平面内，∴A1C与D1B相交．
(4)∵B∈平面ABCD，DC 平面ABCD，又B DC，D1 平面ABCD，∴DC与BD1异面．
(5)连接A1B，EF，D1C，则A1BD1C．又E，F分别是AA1，AB的中点，∴EFA1B．
∴EFD1C，∴四边形CD1EF是梯形，D1E与CF是腰．
∴D1E与CF相交．
迁移与应用 1．D 2．C
3．相交、平行或异面
活动与探究2 思路分析：(1)欲证四边形BB1M1M是平行四边形，可证BB1与MM1平行且相等；(2)可结合(1)利用等角定理证明或利用三角形全等证明．
证明：(1)在正方形ADD1A1中，M，M1分别为AD，A1D1的中点，∴MM1AA1．又∵AA1BB1，
∴MM1∥BB1，且MM1＝BB1，
∴四边形BB1M1M为平行四边形．
(2)由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形，∴B1M1∥BM．
同理可得四边形CC1M1M为平行四边形，∴C1M1∥CM．
由平面几何知识可知，∠BMC和∠B1M1C1都是锐角，
∴∠BMC＝∠B1M1C1．
迁移与应用 1．D
2．证明：连接BD，因为EH是△ABD的中位线，
所以EH∥BD，且EH＝BD．
同理FG∥BD，且FG＝BD．
所以EH∥FG，且EH＝FG．
所以四边形EFGH是平行四边形．
活动与探究3 思路分析：先根据两异面直线所成角的定义，在图中作出或找出两异面直线所成的角，然后再求其大小．
解：(1)∵AD∥BC，AA1⊥AD，
∴AA1⊥BC，即AA1与BC所成的角为90°．
(2)∵DD1∥AA1，∴DD1与A1B所成的角就是AA1与A1B所成的角．又∠AA1B＝45°，∴DD1与A1B所成的角为45°．
(3)连接D1C，AD1，则A1B∥D1C．
∴D1C与AC所成的角就是A1B与AC所成的角．
又∵AC＝CD1＝D1A，
∴∠ACD1＝60°．
∴A1B与AC所成的角为60°．
迁移与应用 (1)90° (2)45° (3)90°
【当堂检测】
1．B 2．D 3．C 4．BB1，CC1，DD1 5．82.1.3～2.1.4 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系
一、直线与平面的位置关系
活动与探究1
下面命题中正确的个数是( )
①若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α；②若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都平行；③如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行；④若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都没有公共点．
A．0 B．1
C．2 D．3
迁移与应用
以下几种说法(其中a，b表示直线，α表示平面)，
①若a∥b，b α，则a∥α；②若a∥α，b∥α，则a∥b；③若a∥b，b∥α，则a∥α；④若a∥α，b α，则a∥b．其中正确的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
判断直线与平面的位置关系时，可借助于正方体、长方体这些常见的几何体，帮助理解，作出判断；也可借助于实物演示帮助判断．
二、平面与平面之间的位置关系
活动与探究2
α，β是两个不重合的平面，下面说法正确的是( )
A．平面α内有两条直线a，b都与平面β平行，那么α∥β
B．平面α内有无数条直线平行于平面β，那么α∥β
C．若直线a与平面α和平面β都平行，那么α∥β
D．平面α内所有的直线都与平面β平行，那么α∥β
迁移与应用
1．直线a 平面α，直线b 平面β，a∥b，则平面α与β的位置关系是( )
A．平行
B．相交
C．平行或相交
D．以上都不正确
2．若直线a 平面α，直线b 平面β，a，b是异面直线，则α，β的位置关系是__________．
根据条件判断两平面平行，可以看两个平面相交时，是否也能满足条件．若能满足条件，则两个平面不一定平行；若不能满足条件，则可判断两平面平行．
当堂检测
1．如果直线a∥平面α，那么直线a与平面α内的( )
A．一条直线不相交
B．两条直线不相交
C．无数条直线不相交
D．任意一条直线不相交
2．若直线a不平行于平面α，则下列结论成立的是( )
A．α内的所有直线均与a异面
B．α内不存在与a平行的直线
C．α内直线均与a相交
D．直线a与平面α有公共点
3．若直线a∥平面α，直线b∥平面α，则a与b的位置关系是( )
A．相交 B．平行
C．异面 D．相交、平行或异面
4．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，与平面AA1D1D平行的平面是________；与平面A1B1C1D1平行的平面是________，与平面BDD1B1平行的棱有________．
5．三个平面把空间最少分为______部分，最多可分为______部分．
提示：用最精练的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记．
答案：
课前预习导学
【预习导引】
1．有无数个 有且只有一个 没有 直线在平面外
预习交流1 提示：直线a与平面α平行，则直线a和平面α内的任何一条直线都没有公共点，故a与b可能平行，也可能异面．
2．无数
预习交流2 提示：∵α∥β，
∴平面α与平面β没有公共点．
∵a α，b β，∴直线a，b没有公共点，∴a与b平行或异面．
课堂合作探究
【问题导学】
活动与探究1 B 解析：如图所示：
我们借助长方体模型，棱AA1所在直线有无数点在平面ABCD外，但棱AA1所在直线与平面ABCD相交，所以命题①不正确．
A1B1所在直线平行于平面ABCD，A1B1显然不平行于BD，所以命题②不正确．
A1B1∥AB，A1B1所在直线平行于平面ABCD，但直线AB 平面ABCD，所以命题③不正确．
l与平面α平行，则l与α无公共点，l与平面α内所有直线都没有公共点，所以命题④正确．
迁移与应用 A
活动与探究2 D 解析：A，B都不能保证α，β无公共点，如图①；C中当a∥α，a∥β时，α与β可能相交，如图②；只有D说明α，β一定无公共点．
迁移与应用 1．C
2．相交或平行
【当堂检测】
1．D 2．D 3．D
4．平面BCC1B1 平面ABCD AA1，CC1
5．4 8
