§5 从力做的功到向量的数量积
问题导学
1．向量数量积的定义及几何意义
活动与探究1
已知|a|＝5，|b|＝4，a与b的夹角θ＝120°．
(1)求a·b；
(2)求a在b上的射影．
迁移与应用
(1)在题设不变的情况下，求b在a上的射影；
(2)把“a与b的夹角θ＝120°”换成“a∥b”，求a·b．
(1)数量积的符号同夹角的关系：
①若a·b＞0 θ为锐角或零角；
②若a·b＝0 θ＝或a与b至少有一个为0；
③若a·b＜0 θ为钝角或平角．
(2)求平面向量数量积的方法
①若已知向量的模及其夹角，则直接利用公式a·b＝|a||b|cos θ．
②若已知一向量的模及另一向量在该向量上的射影，可利用数量积的几何意义求a·b．
2．平面向量数量积的运算
活动与探究2
已知|a|＝4，|b|＝5，且a与b的夹角为60°，求
①a·b；②(a＋b)2；③(a－b)2；
④a2－b2；⑤(2a＋3b)·(3a－2b)．
迁移与应用
1．若向量a，b满足|a|＝|b|＝1，a与b的夹角为45°，则a·a＋a·b＝__________．
2．已知向量a与b的夹角为120°，且|a|＝|b|＝4，那么b·(2a＋b)＝__________．
向量数量积的运算中要注意的问题：
(1)两向量的数量积是数量，不是向量，注意区分其运算性质与数乘向量、实数与实数乘积的差异．
(2)向量数量积与代数式运算三个相近公式．
(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；
(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2；
(a－b)2＝|a|2－2a·b＋|b|2．
(3)向量数量积的表示中的“·”，既不能省略，也不能写成“×”．
3．求向量的模
活动与探究3
(1)已知向量a，b满足a·b＝0，|a|＝1，|b|＝2，则|2a－b|＝( )．
A．0 B．2 C．4 D．8
(2)已知|a|＝|b|＝5，向量a与b的夹角为，求|a＋b|，|a＋2b|．
迁移与应用
已知平面向量a，b，|a|＝1，|b|＝2，a⊥(a－2b)，求|3a＋b|，|a－2b|．
求向量的模的常见思路及方法：
(1)求模问题一般转化为求模平方，与向量数量积联系要灵活应用a2＝|a|2，勿忘记开方．
(2)a·a＝a2＝|a|2或|a|＝，此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化．
4．求向量的夹角问题
活动与探究4
已知|a|＝1，a·b＝，(a－b)·(a＋b)＝，
求：(1)a与b的夹角；
(2)a－b与a＋b的夹角的余弦值．
迁移与应用
1．若向量a，b满足|a|＝，|b|＝1，a·(a＋b)＝1，则向量a，b的夹角的大小为__________．
2．已知非零向量a，b满足|a|＝|b|＝|a＋b|．
求：(1)a与a＋b的夹角；
(2)a与a－b的夹角．
向量夹角的求法：
(1)求向量的夹角要利用公式cos θ＝，通常分别要求a·b和|a|·|b|的值．
(2)对于不方便单独求出a·b与|a|·|b|的值的问题，可寻求两者的关系，转化条件解方程(组)．
(3)要注意向量夹角的取值范围为[0，π]，涉及到具体几何图形问题要注意向量的方向，区分几何图形的内角与向量夹角的关系．
5．解决有关垂直问题
活动与探究5
已知a⊥b，且|a|＝2，|b|＝1，若对两个不同时为零的实数k，t，使得a＋(t－3)b与－ka＋tb垂直，试求k的最小值．
迁移与应用
已知a，b是两个非零向量，若a＋3b与7a－5b垂直，a－4b与7a－2b垂直，试求a与b的夹角θ．
向量垂直的应用
(1)理论依据：a⊥b a·b＝0．
(2)利用向量垂直求参数的取值，通常是由向量垂直，转化为数量积为0，再利用方程或函数的思想来求解．
当堂检测
1．若|a|＝5，|b|＝6，〈a，b〉＝60°，则a·b＝( )．
A．15 B．15 C．15 D．10
2．已知|a|＝4，|b|＝3，a·b＝－6，则a与b的夹角为( )．
A．150° B．120° C．60° D．30°
3．已知两个非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则下面结论正确的是( )．
A．a∥b B．a⊥b
C．|a|＝|b| D．a＋b＝a－b
4．若|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为60°，则|a＋3b|＝__________．
5．已知两个非零向量a，b，夹角θ＝120°，且(a－3b)⊥(7a＋5b)，问是否存在实数λ，满足(a－4b)⊥(λa－b)
提示：用最精炼的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记。
答案：
课前预习导学
【预习导引】
1．(1)夹角 (2)[0°，180°] (3)垂直 (4)同向 反向 垂直 a⊥b
预习交流1 120° 120°
2．(1)|a||b|cos θ a·b |a||b|cos θ (2)|b|cos θ |a|cos θ (3)F·s
预习交流2 提示：无关．由向量射影的定义知，a在b方向上的射影为|a|cos θ，其中θ为a，b的夹角，所以a在b方向上的射影只与|a|和a，b的夹角有关．
预习交流3 C 解析：m·n＝|m||n|cos 135°＝4×6×＝－12.
3．(2)|e1||e2|cos θ cos θ (3)a·e |a|cos θ (4)a·b＝0 (5)|a| (6) (7)≤ 等号
预习交流4 (1)120° (2)7
4．(1)a·b＝b·a (2)a·(b＋c)＝a·b＋a·c (3)λ(a·b) a·(λb)
预习交流5 (1)提示：若a，b，c为实数，当b≠0时，ab＝bc a＝c，但对于向量的数量积，该推理不正确，即a·b＝b·cDa＝c.由下图很容易看出，虽然a·b＝b·c，但a≠c.
(2)提示：对实数a，b，c而言，(ab)c＝a(bc)；但对向量a，b，c而言，(a·b)c＝a(b·c)未必成立，这是因为(a·b)c表示一个与c共线的向量，而a(b·c)表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线，所以(a·b)c＝a(b·c)未必成立．
课堂合作探究
【问题导学】
活动与探究1 解：(1)a·b＝|a||b|·cos θ＝5×4×cos 120°＝－10；
(2) a在b上的射影为|a|·cos θ＝＝＝－.
迁移与应用 解：(1)b在a上的射影为|b|cos θ＝＝＝－2；
(2)∵a∥b，∴a与b的夹角θ＝0°或180°.
当θ＝0°时，a·b＝|a||b|cos 0°＝20.
当θ＝180°时，a·b＝|a||b|cos 180°＝－20.
活动与探究2 解：①a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝4×5×＝10；
②(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝16＋20＋25＝61；
③(a－b)2＝|a|2－2a·b＋|b|2＝16－20＋25＝21；
④a2－b2＝|a|2－|b|2＝16－25＝－9；
⑤(2a＋3b)·(3a－2b)＝6|a|2＋5|a||b|cos 60°－6|b|2
＝6×16＋5×4×5×－6×25＝－4.
迁移与应用 1．1＋ 解析：a·a＋a·b＝1＋1×1×cos 45°＝1＋.
2．0 解析：b·(2a＋b)＝2a·b＋b2＝2|a||b|cos 120°＋|b|2＝2×4×4×＋42＝－16＋16＝0.
活动与探究3 (1)B 解析：|2a－b|＝
＝
＝＝2.
(2)解：因为a2＝|a|2＝25，b2＝|b|2＝25，
a·b＝|a||b|cos θ＝5×5×cos ＝，
所以|a＋b|＝＝
＝＝5.
|a＋2b|＝＝
＝＝＝5.
迁移与应用 解：∵a⊥(a－2b)，
∴a·(a－2b)＝0，
∴a2－2a·b＝0，
∴a·b＝.
|3a＋b|＝＝
＝＝4.
|a－2b|＝＝
＝
＝.
活动与探究4 解：(1)∵(a－b)·(a＋b)＝|a|2－|b|2＝，
又|a|＝1，∴|b|2＝，
∴|b|＝.
设a与b的夹角为θ，
则cos θ＝
＝＝，
∴θ＝45°.
∴a与b的夹角为45°.
(2)|a－b|＝
＝
＝＝，
|a＋b|＝
＝
＝＝.
设a－b与a＋b的夹角为φ，则
cos φ＝＝＝.
∴a－b与a＋b的夹角的余弦值为.
迁移与应用 1．135° 解析：设夹角为θ，
∵a·(a＋b)＝1，
∴|a|2＋a·b＝1，即2＋×1×cos θ＝1，
∴cos θ＝－，
∴a，b的夹角为135°.
2．解：如图所示，在平面内取一点O，作＝a，＝b，
以，为邻边作平行四边形OACB，使||＝||，
所以四边形OACB为菱形，OC平分∠AOB，这时＝a＋b，＝a－b.
(1)由于|a|＝|b|＝|a＋b|，
即||＝||＝||，
所以∠AOC＝60°，即a与a＋b的夹角为60°.
(2)∵∠AOC＝60°，
∴∠AOB＝120°.
又||＝||，
∴∠OAB＝30°，
即a与a－b的夹角为30°.
活动与探究5 解：∵a⊥b，
∴a·b＝0.
又a＋(t－3)b与－ka＋tb垂直，∴[a＋(t－3)b]·(－ka＋tb)＝0.
∴－ka2＋ta·b＋(t－3)(－k)a·b＋(t－3)tb2＝0，
∴－4k＋(t－3)t＝0.
∴k＝(t2－3t)
＝2－(t≠0)．
∴当t＝时，k取最小值－.
迁移与应用 解：由条件知
∴
由①－②得
46a·b－23b2＝0，
即2a·b＝b2，代入①式得a2＝b2，∴|a|＝|b|.
∴cos θ＝＝＝.
∴θ＝60°.
【当堂检测】
1．A 2．B 3．B 4．
5．解：由(a－3b)⊥(7a＋5b)，
得(a－3b)·(7a＋5b)＝0.
即7|a|2－15|b|2－16a·b＝0，①
由(a－4b)⊥(λa－b)，得(a－4b)·(λa－b)＝0，
即λ|a|2＋4|b|2－(1＋4λ)a·b＝0.②
又a·b＝|a||b|cos 120°＝－|a||b|，③
把③代入①得|a|＝|b|，
再代入②得
|a|2＝0.
∵|a|＞0，∴λ＋4＋＝0，即λ＝－.
故存在实数λ＝－，使(a－4b)⊥(λa－b)．4.3 向量平行的坐标表示
问题导学
1．向量共线的坐标表示
活动与探究1
已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，当k为何值时，ka＋b与a－3b平行？平行时它们是同向还是反向？
迁移与应用
已知向量a＝(1,1)，b＝(2，x)，若a＋b与4b－2a平行，则实数x的值是( )．
A．－2 B．0 C．1 D．2
利用向量共线的条件求值问题的处理思路：
对于根据向量共线的条件求值的问题，一般有两种处理思路，一是利用共线向量定理a＝λb(b≠0)列方程组求解，二是利用向量共线的坐标表达式x1y2－x2y1＝0直接求解．
2．关于三点共线问题
活动与探究2
如果向量＝i－2j，＝i＋mj，其中i，j分别是x轴，y轴正方向上的单位向量，试确定实数m的值使A，B，C三点共线．
迁移与应用
p，q，r是互异实数，三个点P(p，p3)，Q(q，q3)，R(r，r3)，求证：若P，Q，R三点共线，则p＋q＋r＝0．
三点共线的判断与证明方法
(1)证明三点共线的常见方法有：①证明两条较短的线段长度之和等于第三条线段的长度；②利用斜率相等；③利用直线方程，即由两点确定的直线过第三点；④利用向量共线的条件．
(2)用向量法证明三点共线的思路是：先利用三点构造出两个向量，再说明存在唯一的实数λ使得两向量共线．
3．利用向量共线的条件求交点的坐标
活动与探究3
如图所示，已知点A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，求AC与OB的交点P的坐标．
迁移与应用
在△AOB中，已知点O(0,0)，A(0,5)，B(4,3)，＝，＝，AD与BC交于点M，求点M的坐标．
利用向量共线确定交点坐标的基本思路：
(1)根据a＝λb表示出含未知点的向量，根据向量相等，列方程组求解．
(2)设出所求点的坐标，由向量共线的坐标表示列方程组求解．
当堂检测
1．已知向量a＝(4,2)，向量b＝(x,3)，且a∥b，则x等于( )．
A．9 B．6
C．5 D．3
2．已知A，B，C三点共线，且A(3，－6)，B(－5,2)，若点C的横坐标为6，则点C的纵坐标为( )．
A．－13 B．9
C．－9 D．13
3．已知向量a＝(4,2)，则下列选项中与a共线的一个向量为( )．
A．(1,2) B．(1,4)
C． D．
4．已知向量a＝(1,2)，b＝(－2,3)，若λa＋μb与a＋b共线，则λ与μ的关系为__________．
5．(1)已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，当实数k取何值时，ka＋2b与2a－4b平行？
(2)已知a＝(－2,3)，b∥a，向量b的起点为A(1,2)，终点B在坐标轴上，求点B的坐标．
提示：用最精炼的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记。
答案：
课前预习导学
【预习导引】
x1y2－x2y1＝0 ＝
预习交流1 提示：当两个向量的对应坐标同号或同为零时，同向．当两个向量的对应坐标异号或同为零时，反向．
例如：向量(1,2)与(－1，－2)反向；向量(1,0)与(3,0)同向；
向量(－1,2)与(－3,6)同向；向量(－1,0)与(3,0)反向等．
预习交流2 提示：不等价，因为y1，y2为零时，，无意义．
预习交流3 (1)D (2)
课堂合作探究
【问题导学】
活动与探究1 解法一：ka＋b＝k(1,2)＋(－3,2)＝(k－3，2k＋2)，
a－3b＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)．
∵(ka＋b)∥(a－3b)，
∴(k－3)×(－4)－10×(2k＋2)＝0.
解得k＝－.
此时ka＋b
＝
＝＝－(10，－4)
＝－(a－3b)，
∴当k＝－时，ka＋b与a－3b平行，并且反向．
解法二：由解法一知ka＋b＝(k－3,2k＋2)，a－3b＝(10，－4)，
因为(ka＋b)∥(a－3b)，
当ka＋b与a－3b平行时，存在唯一实数λ，
使ka＋b＝λ(a－3b)．
由(k－3,2k＋2)＝λ(10，－4)，
∴
解得k＝－，λ＝－.
当k＝－时，ka＋b与a－3b平行，
这时ka＋b＝－a＋b.
∵λ＝－＜0，
∴－a＋b与a－3b反向．
迁移与应用 D 解析：因为a＝(1,1)，b＝(2，x)，
所以a＋b＝(3，x＋1)，4b－2a＝(6,4x－2)．
由a＋b与4b－2a平行，
得3(4x－2)－6(x＋1)＝0，解得x＝2.
活动与探究2 解：由题意得＝(1，－2)，＝(1，m)．
∵A，B，C三点共线，
∴∥.
∴1×m－(－2)×1＝0，
∴m＝－2.
迁移与应用 证明：∵P，Q，R三点共线，
∴与共线．
∴存在实数λ使得＝λ.
即
②÷①得q2＋qp＋p2＝r2＋rp＋p2.
∴(q－r)(p＋q＋r)＝0.
∵p，q，r是互异实数，
∴p＋q＋r＝0.
活动与探究3 解法一：设
＝λ＝(4λ，4λ)．
＝(4λ－4,4λ)，＝(－2,6)．
因为A，P，C三点共线，
所以6×(4λ－4)－(－2)×4λ＝0，解得λ＝.
所以＝(3,3)，即P点坐标为(3,3)．
解法二：设P(x，y)，＝(x，y)，＝(4,4)．
因为O，P，B三点共线，所以4x－4y＝0.①
又因为＝(x－4，y)，＝(－2,6)，且A，P，C三点共线，
所以6×(x－4)－(－2)y＝0，即3x＋y＝12.②
由式①和②得x＝3，y＝3，所以P点坐标为(3,3)．
迁移与应用 解：∵点O(0,0)，A(0,5)，B(4,3)，
∴＝(0,5)，＝(4,3)．
∵＝(xc，yc)＝＝，∴点C的坐标为.
同理可得点D的坐标为.
设点M的坐标为(x，y)，
则＝(x，y－5)，而＝.
∵A，M，D三点共线，
∴与共线．
∴－x－2(y－5)＝0，即7x＋4y＝20.①
而＝，＝＝.
∵C，M，B三点共线，
∴与共线．
∴x－4＝0，即7x－16y＝－20.②
由①和②得x＝，y＝2.
∴点M的坐标为.
【当堂检测】
1．B 2．C 3．D 4．λ＝μ
5．解：(1)ka＋2b＝k(1,2)＋2(－3,2)＝(k－6，2k＋4)，
2a－4b＝2(1,2)－4(－3,2)＝(14，－4)，
要使ka＋2b与2a－4b平行，则(k－6)×(－4)－(2k＋4)×14＝0，得k＝－1.
(2)由b∥a，可设b＝λa＝(－2λ，3λ)，
设B(x，y)，则＝(x－1，y－2)＝b.
则
得
又点B在坐标轴上，
则1－2λ＝0或3λ＋2＝0，
解得λ＝或－，
所以B点坐标为或.§2 从位移的合成到向量的加法
2.1 向量的加法
问题导学
1．利用向量的加法法则作图
活动与探究1
如图所示，已知向量a，b，c，试求作和向量a＋b＋c．
迁移与应用
如图中(1)(2)(3)所示，试作出向量a与b的和．
(1)用三角形法则求和向量时，关键要抓住“首尾相接”，并且和向量是由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点；
(2)用平行四边形法则求和向量时，应注意“共起点”；
(3)在求多个向量的加法作图时，常利用向量的三角形法则．
2．向量的加法运算
活动与探究2
如图，O为正六边形ABCDEF的中心，化简下列向量：
(1)＋；
(2)＋；
(3)＋．
活动与探究3
化简下列各式：
(1)＋＋；(2)＋＋＋．
迁移与应用
化简或计算．
(1)＋＋；
(2)＋＋＋＋；
(3)＋＋＋＋．
两类向量加法运算问题的解法：
(1)图形中向量的加法运算，要注重三角形法则和平行四边形法则的运用，必要时借助图形的几何性质进行向量的平移转换．
(2)向量加法的化简，要先利用向量加法的交换律使各向量首尾相接，再利用结合律调整顺序，根据三角形法则或多边形法则得出结论．
3．向量加法的综合应用
活动与探究4
一艘船从A点出发以2km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时水的流速为2 km/h，求船实际航行的速度的大小与方向．
迁移与应用
如图(1)，用两根绳子把重10 N的物体W吊在水平杆子AB上，∠ACW＝150°，∠BCW＝120°，求A和B处所受力的大小(绳子的重量忽略不计)．
用向量加法解应用问题的方法：
(1)与大小、方向有关的一类应用题，如力的合成与分解，速度的合成等，可利用向量加法的知识来求解．
(2)解决此类问题的基本思路是结合图形，利用平行四边形法则，转化为求向量的模或方向，然后利用三角形知识求解．
当堂检测
1．若向量a表示向东走1 km，向量b表示向南走1 km，则向量a＋b表示( )．
A．向东南走 km B．向东南走2 km
C．向东北走 km D．向东北走2 km
2．已知四边形ABCD为菱形，则下列等式中成立的是( )．
A．＋＝
B．＋＝
C．＋＝
D．＋＝
3．化简＋＋＋的结果是__________．
4．在矩形ABCD中，若AB＝3，BC＝2，则|＋|＝__________．
5．已知向量a，b，比较|a＋b|与|a|＋|b|的大小．
提示：用最精炼的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记。
答案：
课前预习导学
【预习导引】
1．(1)a与b的和
预习交流1 提示：三角形法则适用于任意两个非零向量的求和；而平行四边形法则只适用于两个不共线向量的求和．
(3)终点 起点 起点到终点的向量
预习交流2 0
2．①b＋a ②a＋b b＋c a
预习交流3 提示：不是．两个向量的和仍是向量，具有大小和方向，不但长度变化还有方向的变化．
预习交流4 C
课堂合作探究
【问题导学】
活动与探究1 解：如图所示，首先在平面内任取一点O，作向量＝a，接着作向量＝c，则得向量＝a＋c.然后作向量＝b，则向量＝a＋b＋c为所求．
迁移与应用 解：如下图中(1)(2)(3)所示三个图中＝a＋b.
活动与探究2 解：(1)＋＝；
(2)＋＝；
(3)＋＝0.
活动与探究3 解：(1)＋＋＝(＋P)＋＝＋＝2；
(2)＋M＋＋＝(＋)＋(＋M)＝＋＝.
迁移与应用 解：(1)原式＝＋＋＝；
(2)原式＝＋＋＋＋＝0；
(3)原式＝(＋)＋＋(＋)＝＋＋0＝0.
活动与探究4
解：如图，设表示船垂直于对岸的速度，表示水流的速度，以AD，AB为邻边作平行四边形ABCD，则就是船实际航行的速度．
在Rt△ABC中，||＝2，||＝2，
∴||＝＝4.
∵tan∠CAB＝＝，
∴∠CAB＝60°.
迁移与应用 解：如图(2)，设、分别表示A、B所受的力，10 N的重力用表示，
则＋＝.
易得∠ECG＝180°－150°＝30°，∠FCG＝180°－120°＝60°.
∴∠CEG＝∠CFG＝90°，
∴||＝||cos 30°
＝10×＝5，
||＝||cos 60°＝10×＝5.
∴A处所受力的大小为5 N，B处所受力的大小为5 N.
【当堂检测】
1．A 2．C 3． 4．
5．解：(1)当a，b至少有一个为零向量时，有|a＋b|＝|a|＋|b|.
(1)
(2)①当a，b为非零向量，且a，b不共线时，如图(1)，有|a＋b|＜|a|＋|b|.
②当a，b为非零向量，且a，b同向共线时，如图(2)，有|a＋b|＝|a|＋|b|.
(2)
③当a，b为非零向量，且a，b异向共线时，如图(3)，有|a＋b|＜|a|＋|b|.
若|a|＞|b|，如图(3)．
(3)
若|a|＜|b|，如图(4)．
(4)§1 从位移、速度、力到向量
问题导学
1．向量的有关概念
活动与探究1
给出下列几种说法：
(1)温度、速度、位移这些物理量都是向量；
(2)若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b；
(3)向量的模一定是正数；
(4)起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量；
(5)向量与是共线向量，则A，B，C，D四点必在同一直线上．
其中正确的序号是________．
迁移与应用
判断下列说法是否正确，并说明理由．
(1)向量与向量的模相等；
(2)两个有公共终点的向量，一定是共线向量；
(3)数轴是向量；
(4)零向量没有方向；
(5)若向量a与b同向，且|a|＞|b|，则a＞b．
关于向量有关概念的几点说明：
(1)向量不同于数量，数量可以比较大小，而向量由模和方向确定，方向不能比较大小，因此向量也不能比较大小．
(2)数学上所研究的向量是自由向量，可以平移，因此向量中的共线与平行是相同的，而直线或线段中的共线与平行是不同的．
(3)零向量是特殊向量，方向可以看作是任意的．
2．向量的表示方法
活动与探究2
一运输汽车从A点出发向西行驶了100 km到达B点，然后又改变方向向西偏北50°走了200 km到达C点，最后又改变方向，向东行驶了100 km到达D点．
(1)作出向量，，；
(2)求．
迁移与应用
在如图所示的坐标系中(1个小方格表示1个单位长度)，用直尺和圆规画出下列向量．
(1)||＝3，点A在点O正西方向；
(2)||＝3，点B在点O北偏西45°方向；
(3)||＝2，点C在点O南偏东60°方向．
利用有向线段表示向量的基本步骤：
(1)确定向量的起点；
(2)确定向量的方向；
(3)根据向量的模确定向量的终点．
利用有向线段的起点和终点的字母表示向量时，必须是起点写在终点的前面．
3．相等向量与共线向量
活动与探究3
如图所示，△ABC的三边均不相等，E，F，D分别是AC，AB，BC的中点．
(1)写出与共线的向量；
(2)写出与的模大小相等的向量；
(3)写出与相等的向量．
迁移与应用
如图所示，O为正方形ABCD对角线的交点，四边形OAED，四边形OCFB都是正方形．在图中所示的向量中：
(1)分别写出与，相等的向量；
(2)写出与共线的向量；
(3)写出与的模相等的向量；
(4)向量与是否相等？
1．对共线向量与平行向量关系的认识
(1)平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上(与有向线段的起点无关)．
(2)共线向量是指平行向量，与是否真的画在同一条直线上无关．
2．在平面图形中找相等向量、共线向量时，首先要注意分析平面图形中的相等、平行关系，充分利用平行四边形性质、三角形中位线定理等平面几何知识，然后转化为向量相等、平行．
当堂检测
1．下列关于向量的说法中，正确的是( )．
A．长度相等的两向量必相等
B．两向量相等，其长度不一定相等
C．向量的大小与有向线段的起点无关
D．向量的大小与有向线段的起点有关
2．如图所示，在⊙O中，向量、、是( )．
A．有相同起点的向量
B．共线向量
C．模相等的向量
D．相等的向量
3．两列火车从同一站台沿相反方向开去，走了相同的路程，设两列火车的位移向量分别为a和b，那么下列命题中错误的一个是( )．
A．a与b为平行向量
B．a与b为模相等的向量
C．a与b为共线向量
D．a与b为相等的向量
4．如图所示，△ABC的内角C的角平分线CD交AB于D，的模为2，的模为3，的模为1，那么的模为________．
5．把平行于某一直线的所有单位向量的起点平移到同一始点，则这些向量的终点所构成的图形是______．
提示：用最精炼的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记。
答案：
课前预习导学
【预习导引】
1．大小 方向
预习交流1 D 解析：质量、路程、密度、功只有大小而没有方向，不是向量．
2．(1)方向和长度
(2)有向线段 向量的大小 向量的方向
预习交流2 提示：有向线段不是向量，它只是向量的一种表现形式．
3．|| |a|
预习交流3 提示：模是向量的长度，所以能比较大小，而向量不能，因为向量的大小即长度可以比较大小，但方向不能比较大小．
4．(1)零向量 0 (2)同方向 单位1 a0 (3)相等 相同 相等 (4)平行或重合 平行
共线
预习交流4 (1)提示：不相同，0是向量，模等于0,0是数量，无方向．
(2)提示：不一定，也可能平行或在同一条直线上．
(3)提示：不一定．因为单位向量的模虽然相等，但方向却不一定相同．
课堂合作探究
【问题导学】
活动与探究1 (4) 解析：(1)错误，只有速度、位移是向量．
(2)错误．由|a|＝|b|仅说明a与b模相等，但不能说明它们方向的关系．
(3)错误.0的模|0|＝0.
(4)正确．对于一个向量只要不改变其大小和方向，是可以任意移动的，因此相等向量可以起点不同．
(5)错误．共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量，必须在同一直线上．
迁移与应用 解：(1)正确．
(2)不正确．两向量虽然有公共终点，但方向不一定相同或相反，故不一定是共线向量．
(3)不正确．数轴是一条具有方向的直线，但是没有大小．
(4)不正确．零向量不是没有方向，而是方向是任意的．
(5)不正确．因为向量不能比较大小．
活动与探究2 解：(1)向量，，如下图所示．
(2)由题意，易知与方向相反，故与共线．
又||＝||，∴在四边形ABCD中，ABCD.
∴四边形ABCD为平行四边形．
∴||＝||＝200 (km)，且AD∥BC.
∴与同向，
则的方向也为西偏北50°，且||＝200(km)．
迁移与应用 解：
活动与探究3 解：(1)因为E，F分别是AC，AB的中点，
所以EF∥BC，且EF＝BC.
又因为D是BC的中点，
所以与共线的向量有：，，，，，，.
(2)与模相等的向量有：，，，，.
(3)与相等的向量有：，.
迁移与应用 解：(1)＝，＝；
(2)与共线的向量为：，，；
(3)||＝||＝|D|＝||＝||＝||＝||＝||；
(4)与不相等．
【当堂检测】
1．C 2．C 3．D 4．
5．两个点§4 平面向量的坐标
4.2 平面向量线性运算的坐标表示
问题导学
1．利用平面向量坐标的定义求坐标
活动与探究1
如下图，已知O是坐标原点，点A在第二象限，||＝2，∠xOA＝150°，求向量的坐标．
迁移与应用
在直角坐标系xOy中，向量a，b，c的方向如图所示，且|a|＝2，|b|＝3，|c|＝4，分别计算出它们的坐标．
向量坐标表示的方法与技巧
(1)相等向量的坐标相同；
(2)当向量的始点在坐标原点时，终点坐标即为向量坐标；否则可用终点的相应坐标减去始点的相应坐标来求向量的坐标；
(3)利用三角形的边的关系，将向量的长度转化为点的坐标，再求向量的坐标．
2．平面向量的坐标运算
活动与探究2
已知a＋b＝(－1,5)，3a＋4b＝(－6,19)，求a，b．
迁移与应用
1．已知a＝(－1,2)，b＝(3，－5)，则a＋b＝__________，－2a＋3b＝__________，a－2b＝__________．
2．已知向量a＝(3，－2)，b＝(－2,1)，c＝(7，－4)，用a，b作基底表示c，再用b，c作基底表示a．
平面向量坐标的线性运算
(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及数乘的运算法则进行；
(2)若已知有向线段两端点的坐标，则可以先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算；
(3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行．
3．向量坐标的应用
活动与探究3
已知点O(0,0)、A(1,2)、B(4,5)及＝＋t．
求：(1)t为何值时，点P在x轴上？点P在y轴上？点P在第二象限？
(2)四边形OABP能成为平行四边形吗？若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由．
迁移与应用
已知平面上三点的坐标分别为A(－2,1)，B(－1,3)，C(3,4)，求点D的坐标，使得这四个点是构成平行四边形的四个顶点．
参数取值的求法：
(1)根据图形的特征，确定向量的坐标特征．
(2)根据向量坐标的特征，列出不等式(组)或方程(组)求解．
当堂检测
1．已知a＝(－1,2)，b＝(1，－2)，则a＋b与a－b的坐标分别为( )．
A．(0,0)，(－2,4)
B．(1，－1)，(－3,3)
C．(0,0)，(2，－4)
D．(－2,4)，(2，－4)
2．若向量＝(1,2)，＝(3,4)，则＝( )．
A．(4,6) B．(－4，－6)
C．(－2，－2) D．(2,2)
3．已知A(6，－3)，B(－3,5)，若＝2，则点C的坐标为( )．
A．(12,13) B．(－12,13)
C．(－12，－13) D．(12，－13)
4．已知点A(1，－3)和向量a＝(3,4)，若＝2a，则点B的坐标为__________．
5．已知O是△ABC内一点，∠AOB＝150°，∠BOC＝90°，设＝a，＝b，＝c，且|a|＝2，|b|＝1，|c|＝3，试用a，b表示c．
提示：用最精炼的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记。
答案：
课前预习导学
【预习导引】
1．(x，y) (x，y)
预习交流1 提示：(1)向量a＝(x，y)，中间用等号连接，而点的坐标A(x，y)中间没有等号．
(2)平面向量的坐标只有当始点在坐标原点时，向量的坐标才与向量的终点坐标相同．
(3)在平面直角坐标系中，符号(x，y)可表示一个点，也可表示一个向量，叙述中应指明点(x，y)或向量(x，y)．
2．(1)(x1＋x2，y1＋y2)
(x1－x2，y1－y2) 和与差 积 (2)(x2－x1，y2－y1) 终点 始点
预习交流2 提示：与x轴平行的向量纵坐标为0，即a＝(x,0)；与y轴平行的向量横坐标为0，即b＝(0，y)．
预习交流3 (1)A
(2)(－4,6) (4，－6)
课堂合作探究
【问题导学】
活动与探究1
解：过点A作AB⊥x轴于点B，作AC⊥y轴于点C，
设A(x，y)，则x＝||cos 150°＝－，y＝||sin 150°＝1.
所以的坐标为(－，1)．
迁移与应用 解：设a＝(x1，y1)，则x1＝2·cos 45°＝，y1＝2·sin 45°＝，∴a＝(，)．
设b＝(x2，y2)，则x2＝3·cos 120°＝－，y2＝3·sin 120°＝，∴b＝.
设c＝(x3，y3)，
则x3＝4cos(－30°)＝4×＝2，y3＝4sin(－30°)＝4×＝－2，∴c＝(2，－2)．
活动与探究2 解法一：由a＋b＝(－1,5)，得b＝(－1,5)－a，
∴3a＋4[(－1,5)－a]＝(－6,19)．
∴－a＝(－6,19)－(－4,20)＝(－2，－1)．
∴a＝(2,1)．
∴b＝(－1,5)－(2,1)＝(－3,4)．
解法二：由已知得
②－①，得b＝(－3,4)．
∴a＝(－1,5)－(－3,4)＝(2,1)．
注：含有向量的线性组合xa＋yb的向量方程组的解法类似于解二元一次方程组，通常用解法二中的加减消元法．
迁移与应用 1． (11，－19) (－7,12)
2．解：根据平面向量基本定理，设c＝xa＋yb.
将a，b，c坐标代入，有(7，－4)＝x(3，－2)＋y(－2,1)
＝(3x－2y，－2x＋y)．
则有
解得
∴c＝a－2b.∴a＝c＋2b.
活动与探究3 解：(1)＝＋t＝(1＋3t,2＋3t)．
若点P在x轴上，只需2＋3t＝0，即t＝－；
若点P在y轴上，只需1＋3t＝0，即t＝－；
若点P在第二象限，则需
解得－＜t＜－.
(2)＝(1,2)，＝(3－3t,3－3t)．
若四边形OABP为平行四边形，需＝，
于是无解，故四边形OABP不能成为平行四边形．
迁移与应用 解：如图，(1)当平行四边形为ABCD1时，设顶点D1的坐标为(x1，y1)，
∵＝(－1－(－2)，3－1)＝(1,2)，＝(3－x1,4－y1)，
由于＝，得(1,2)＝(3－x1,4－y1)．
∴∴
∴顶点D1的坐标为(2,2)．
(2)当平行四边形为ACD2B时，设顶点D2的坐标为(x2，y2)，
∵＝(5,3)，＝(x2＋1，y2－3)．
∴∴
∴顶点D2的坐标为(4,6)．
(3)当平行四边形为D3ACB时，设顶点D3的坐标为(x3，y3)，
∵＝(5,3)，＝(－1－x3,3－y3)，
由于＝，得(5,3)＝(－1－x3,3－y3)，
∴∴
∴顶点D3的坐标为(－6,0)．
综上可知，D点坐标为(2,2)或(4,6)或(－6,0)．
【当堂检测】
1．A 2．A 3．B 4．(7,5)
5．解：如图，以O为原点，为x轴的非负半轴建立平面直角坐标系，由三角函数的定义，得
B(cos 150°，sin 150°)，C(3cos 240°，3sin 240°)，
即B，
C.
又因为A(2,0)，故a＝(2,0)，b＝，
c＝.
设c＝λ1a＋λ2b.
∴＝λ1(2,0)＋λ2
＝.
∴
解得
∴c＝－3a－3b.§6 平面向量数量积的坐标表示
问题导学
1．平面向量数量积的坐标运算
活动与探究1
(1)若向量a＝(1,1)，b＝(2,5)，c＝(3，x)满足条件(8a－b)·c＝30，则x＝( )．
A．6 B．5 C．4 D．3
(2)已知向量a与b同向，b＝(1,2)，a·b＝10，求：
①向量a的坐标；②若c＝ (2，－1)，求(a·c)·b．
迁移与应用
1．已知向量a＝(1，k)，b＝(2,2)，且a＋b与a共线，那么a·b的值为( )．
A．1 B．2 C．3 D．4
2．a＝(－4,3)，b＝(5,6)，则3|a|2－4a·b等于( )．
A．23 B．57 C．63 D．83
向量问题的处理有两种思路，一种是纯向量式，另一种是坐标式，两者互相补充，通过向量的坐标运算可实现向量问题的代数化，在解题中应注意与方程、函数等知识联系．
2．向量垂直条件的应用
活动与探究2
在△ABC中，＝(2,3)，＝(1，k)，且△ABC中有一个内角为直角，求k的值．
迁移与应用
平面内三点A，B，C在一条直线上，＝(－2，m)，＝(n,1)，＝(5，－1)，若⊥，求实数m，n的值．
向量垂直问题的解法：
(1)围绕a⊥b a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0展开．
(2)常用两种解决方法：(一)是转化成a·b＝0，往往要进行整体构造，(二)是转化成坐标运算．
(3)注意垂直问题中一般不考虑零向量．
3．向量的夹角问题
活动与探究3
已知△ABC顶点的坐标分别为A(3,4)，B(0,0)，C(c,0)．
(1)若c＝5，求cos A的值；
(2)若A是钝角，求c的取值范围．
活动与探究4
已知直线l1：4x＋3y－5＝0和l2：x＋7y＋6＝0，求直线l1和l2的夹角．
迁移与应用
1．若向量a＝(1,2)，b＝(1，－1)，则2a＋b与a－b的夹角等于( )．
A．－ B． C． D．
2．已知向量a＝(1,2)，b＝(－2，－4)，|c|＝，若(a＋b)·c＝，求a与c的夹角．
1．利用数量积求两向量夹角的步骤．
(1)利用平面向量数量积的坐标表示公式求出这两个向量的数量积．
(2)利用|a|＝计算出这两个向量的模．
(3)由公式cos θ＝直接求出cos θ的值．
(4)在0≤θ≤π内，由cos θ的值求角θ．
2．由cos θ＝去判断θ的取值有五种情况．
(1)cos θ＝1，θ＝0°；
(2)cos θ＝0，θ＝90°；
(3)cos θ＝－1，θ＝180°；
(4)cos θ＜0且cos θ≠－1，θ为钝角；
(5)cos θ＞0且cos θ≠1，θ为锐角．
当堂检测
1．已知向量a＝(1，－1)，b＝(2，x)．若a·b＝1，则x＝( )．
A．－1 B．－ C． D．1
2．设x∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，－2)，且a⊥b，则|a＋b|＝( )．
A． B． C．2 D．10
3．已知向量a＝(1,2)，b＝(－2，－4)，|c|＝，若(a＋b)·c＝，则a与c的夹角为( )．
A．30° B．60° C．120° D．150°
4．直线l1：x＋2y－3＝0和直线l2：x－3y＋1＝0的夹角θ＝__________．
5．在平面上建立直角坐标系，O是原点，已知点A(16,12)，B(－5,15)．
(1)求||，||；
(2)求∠OAB．
提示：用最精炼的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记。
答案：
课前预习导学
【预习导引】
1．(1)x1x2＋y1y2 相应坐标乘积的和
(2)a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0
预习交流1 提示：由于单位向量a0＝，且|a|＝.
所以a0＝
＝(a1，a2)
＝.
此为与向量a＝(a1，a2)同向的单位向量的坐标．
预习交流2 提示：不同．设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a∥b，则x1y2－x2y1＝0.a⊥b，
则x1x2＋y1y2＝0.
预习交流3 (1)D 解析：
|a|＝＝1，
|b|＝＝；
a·b＝1×＋0×＝；
(a－b)·b＝a·b－|b|2
＝－＝0，
故a－b与b垂直．
(2) (－4，－4)
预习交流4 k＝.
课堂合作探究
【问题导学】
活动与探究1 (1)C 解析：
8a－b＝8(1,1)－(2,5)＝(6,3)，
由(8a－b)·c＝30，得6×3＋3x＝30，∴x＝4.
(2)解：①∵a与b同向，且b＝(1,2)，
∴a＝λb＝(λ，2λ)(λ＞0)．
又∵a·b＝10，
∴λ＋4λ＝10，∴λ＝2，
∴a＝(2,4)．
②∵a·c＝2×2＋(－1)×4＝0，
∴(a·c)·b＝0·b＝0.
迁移与应用 1.D 解析：
∵a＋b与a共线，
∴a＋b＝λa，即(1＋2，k＋2)＝λ(1，k)．
由解得
故a＝(1,1)，则a·b＝1×2＋1×2＝4.
2．D 解析：|a|＝5，a·b＝－20＋18＝－2，
∴3|a|2－4a·b＝3×25－4×(－2)＝83.
活动与探究2 解：在△ABC中，(1)当∠A＝90°时，·＝0，
∴2×1＋3×k＝0，
∴k＝－.
(2)当∠B＝90°时，·＝0， ＝－＝(1－2，k－3)＝(－1，k－3)，
∴2×(－1)＋3×(k－3)＝0，
∴k＝.
(3)当∠C＝90°时，·＝0，
∴－1＋k(k－3)＝0，
∴k＝或k＝.
∴满足题意的k的值为－，，，.
迁移与应用 解：因为A，B，C三点共线，
所以与共线．
设＝λ(λ∈R)，
又＝(－2，m)，＝(n,1)，＝(5，－1)，
所以＝－＝(7，－1－m)，＝－＝(n＋2，1－m)，
所以(7，－1－m)＝λ(n＋2，1－m)，
故有得mn＋n－5m＋9＝0，①
又⊥，所以·＝－2n＋m＝0.②
式①②联立得或
所以m＝6，n＝3或m＝3，n＝.
活动与探究3 解：(1)＝(－3，－4)，＝(c－3，－4)，
当c＝5时，＝(2，－4)，
∴cos A＝＝＝.
(2)若A为钝角，则·＝－3(c－3)＋(－4)2＜0，解得c＞.
显然此时有AB和AC不共线，故当A为钝角时，c的取值范围为.
活动与探究4 解：任取直线l1和l2的方向向量m＝和n＝.
设向量m与n的夹角为θ，
因为m·n＝|m||n|cos θ，
从而cos θ＝
＝，
所以θ＝45°，即直线l1和l2的夹角为45°.
迁移与应用 1．C 解析：由于2a＋b＝(3,3)，a－b＝(0,3)，
所以cos〈2a＋b，a－b〉＝＝＝，故2a＋b与a－b的夹角为.
2．解：依题意a＋b＝(－1，－2)，|a|＝，
设c＝(x，y)，而(a＋b)·c＝，∴x＋2y＝－.
设a与c的夹角为θ，则
cos θ＝＝＝＝－，
∴a与c的夹角为120°.
【当堂检测】
1．D 2．B 3．C 4．45°
5．解：＝(16,12)，＝(－5,15)，＝(－21,3)．
(1)||＝＝20，
||＝＝15.
(2)＝(－16，－12)，
cos∠OAB＝
＝
＝
＝.
∴∠OAB＝45°.2.2 向量的减法
问题导学
1．向量加、减法的基本运算
活动与探究1
化简下列各式：
(1)－＋－；
(2)－＋；
(3)－－；
(4)＋＋－．
迁移与应用
如图，向量＝a，＝b，＝c，则向量可以表示为( )．
A．a＋b－c B．a－b＋c
C．b－a＋c D．b＋a－c
向量加减运算的方法步骤：
(1)观察向量的表示形式，若用小写字母表示，要采用合并同类项的方法化简；
(2)通过添、去括号或利用相反向量的性质重组；
(3)转化为首尾相连且求和的形式，或者起点相同且求差的形式；
(4)利用三角形法则化为最简形式．
2．用已知向量表示其他向量
活动与探究2
如图，在五边形ABCDE中，若四边形ACDE是平行四边形，且＝a，＝b，＝c，试用a，b，c表示向量，，，及．
迁移与应用
若O，E，F是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是( )．
A．＝＋
B．＝－
C．＝－＋
D．＝－－
用已知向量表示其他向量的基本思路：
(1)充分利用平面几何知识，灵活运用平行四边形法则和三角形法则；
(2)表示向量时要考虑以下问题：它是某个平行四边形的对角线吗？是否可以找到由起点到终点的恰当途径？
(3)必要时可直接用向量求和的多边形法则．
3．向量和与差的模
活动与探究3
若向量a，b满足|a|＝8，|b|＝12，则|a＋b|的最小值为__________，|a－b|的最大值为__________．
迁移与应用
1．已知向量a，b满足|a|＝3，|a＋b|＝|a－b|＝5，则|b|＝________．
2．在△ABC中，∠C＝90°，||＝5，||＝12，设a＝，b＝，则a－b的大小是________，a－b的方向是________．
两个向量的和与差的模满足||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|，只有当a与b共线时，等号才有可能成立．在这里，应注意：|a|－|b|与|a－b|的最小值是不一样的，前者可能为负，而后者一定非负．
当堂检测
1．在△ABC中，D，E，F分别为AB，BC，CA的中点，则－等于( )．
A． B． C． D．
2．下列等式中正确的个数是( )．
①a－0＝a；②b＋a＝a＋b；③－(－a)＝a；④a＋(－a)＝0；⑤a＋(－b)＝a－b．
A．2 B．3 C．4 D．5
3．若向量a与b反向，且|a|＝|b|＝1，则|a－b|等于( )．
A．0 B．1 C． D．2
4．＋－＝__________．
5．如图所示，已知一点O到平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的向量分别为r1，r2，r3，求．
提示：用最精炼的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记。
答案：
课前预习导学
【预习导引】
1．相等 相反 －a 零向量
a 0 －b －a 0
预习交流1 提示：不同．相反数是两个数的符号正负相反，大小相等；相反向量是两向量方向相反，大小相等．
预习交流2
2．相反向量 差 向量b的终点 向量a的终点
预习交流3 (1) (2) (3) (4) (5)
课堂合作探究
【问题导学】
活动与探究1 解：(1)－＋－＝(＋)＋(＋)＝＋＝0.
(2)－＋＝＋(＋)＝＋＝0.
(3)－－＝－(＋)＝－＝.
(4)＋＋－＝＋＋＋＝0.
迁移与应用 C
活动与探究2 解：∵四边形ACDE为平行四边形，
∴＝＝c.
＝－＝b－a，
＝－＝c－a，
＝－＝c－b，
∴＝＋＝b－a＋c.
迁移与应用 B
活动与探究3 4 20 解析：设a＝，b＝，则当a与b同向时，|a＋b|＝|a|＋|b|，|a－b|＝||a|－|b||；
当a与b反向时，|a＋b|＝||a|－|b||，|a－b|＝|a|＋|b|；
当a与b不共线时，||a|－|b||＜|a＋b|＜|a|＋|b|，||a|－|b||＜|a－b|＜|a|＋|b|，如图所示．
因此当a与b共线且反向时，|a＋b|取最小值为12－8＝4；当a与b共线且反向时，|a－b|取最大值为12＋8＝20.
迁移与应用 1．4 解析：
∵|a＋b|＝|a－b|，∴以a，b为邻边的四边形为矩形．
又∵|a|＝3，
则|b|＝＝4.
2．13 由B指向A
解析：a－b即向量，a－b的大小即线段AB的长度，在Rt△ABC中，∠C＝90°，||＝5，||＝12，所以|AB|＝13，方向由B指向A.
【当堂检测】
1．D 2．C 3．D 4．0
5．解：＝＋＝r1＋＝r1＋－＝r1＋r3－r2.3.2 平面向量基本定理
问题导学
1．用基底表示向量
活动与探究1
如图所示，在ABCD中，M，N分别为DC，BC的中点，已知＝c，＝d，试用c，d表示，．
迁移与应用
设M，N，P是△ABC三边上的点，它们使＝，＝，＝，若＝a，＝b，试用a，b将，，表示出来．
用基底表示向量的方法技巧
(1)熟练应用平行四边形法则和三角形法则以及线性运算；
(2)充分利用相等向量，相反向量和线段的比例关系进行转化；
(3)充分利用几何图形的性质，如平行、相似、全等、中位线等；
(4)充分利用首尾相接的各向量之和为0；
(5)注意a，b不共线，则0＝0·a＋0·b是唯一的；
(6)若直接利用基底表示比较困难，则利用“正难则反”的原则，采用方程思想来求解．
2．平面向量基本定理的应用
活动与探究2
平面内有一个△ABC和一点O(如图)，线段OA，OB，OC的中点分别为E，F，G；BC，CA，AB的中点分别为L，M，N，设＝a，＝b，＝c．
(1)试用a，b，c表示向量，，；
(2)证明：线段EL，FM，GN交于一点且互相平分．
迁移与应用
如图所示，在△ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，＝，＝a，＝b．
(1)用a，b表示，，，，；
(2)求证：B，E，F三点共线．
利用平面向量基本定理解决几何问题：
(1)平面向量的基本定理体现了转化与化归的数学思想，用向量解决几何问题时，可以选择适当的基底．将相关量表示为向量形式，通过向量运算解答问题．
(2)常见类型有证明三点共线，证明直线平行，证明线段相等．
当堂检测
1．已知向量e1，e2不共线，实数x，y满足(3x－4y)e1＋(2x－3y)e2＝6e1＋3e2，则x－y的值等于( )．
A．3 B．－3 C．0 D．2
2．已知ABCD为矩形，E是DC的中点，且＝a，＝b，则＝( )．
A．b＋a B．b－a
C．a＋b D．a－b
3．如果e1，e2是平面α内所有向量的一组基底，那么( )．
A．若实数λ1，λ2使λ1e1＋λ2e2＝0，则λ1＝λ2＝0
B．空间任一向量a可以表示为a＝λ1e1＋λ2e2，这里λ1，λ2是实数
C．对实数λ1，λ2，λ1e1＋λ2e2不一定在平面α内
D．对平面α中的任一向量a，使a＝λ1e1＋λ2e2的实数λ1，λ2有无数对
4．D，E，F分别为△ABC的边BC，CA，AB的中点，且＝a，＝b，给出下列向量表达式：
①＝－a－b；
②＝a＋b；
③＝－a＋b；
④＋＋＝0．
其中正确的序号为________．
5．已知O是直线AB外一点，存在实数x，y使得＝x＋y，且x＋y＝1．求证：A，B，C三点共线．
提示：用最精炼的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记。
答案：
课前预习导学
【预习导引】
a＝λ1e1＋λ2e2 基底
预习交流1 提示：(1)不唯一．同一平面可以有无数组不同的基底，因此，对不同的基底，同一向量的分解是不唯一的，但基底给定时，向量的表示方法唯一．
(2)基底具备两个主要特征：①基底是两个不共线的向量；②基底的选择是不唯一的．平面内两向量不共线是这两个向量可以作为这个平面内所有向量的一组基底的条件．
预习交流2 提示：可能不同．
预习交流3 B
课堂合作探究
【问题导学】
活动与探究1 解：设＝a，＝b，因为M，N分别为CD，BC的中点，所以＝b，＝a，
于是有
解得
即＝(2d－c)，
＝(2c－d)．
迁移与应用 解：＝－
＝－－
＝－－(－)
＝－＝b－a.
同理可得＝a－b，
＝－＝－(＋)
＝a＋b.
活动与探究2 解：(1)如题图，
∵＝a，＝(b＋c)，
∴＝－
＝(b＋c－a)．
同理：＝(a＋c－b)，
＝(a＋b－c)．
(2)设线段EL的中点为P1，
则＝(＋)
＝(a＋b＋c)．
设FM，GN的中点分别为P2，P3，同理可求得＝(a＋b＋c)，＝(a＋b＋c)．
∴＝＝.
即EL，FM，GN交于一点，且互相平分．
迁移与应用
(1)解：如图所示，延长AD到G，使＝2，连接BG，CG，得到平行四边形ABGC，
则＝a＋b，＝＝(a＋b)，
＝＝(a＋b)，
＝＝b，
＝－＝(a＋b)－a
＝(b－2a)，
＝－＝b－a
＝(b－2a)．
(2)证明：由(1)知，＝，∴，共线．
又，有公共点B，
∴B，E，F三点共线．
【当堂检测】
1．A 2．B 3．A
4．①②③④
5．证明：由x＋y＝1，＝x＋y，
得＝x＋(1－x)，
所以－＝x(－)，即＝x.
所以A，B，C三点共线．§3 从速度的倍数到数乘向量
3.1 数乘向量
问题导学
1．数乘向量的定义理解
活动与探究1
已知a，b是两个非零向量，判断下列各说法是否正确，并说明理由．
(1)2a的方向与a的方向相同，且2a的模是a的模的2倍；
(2)－2a的方向与5a的方向相反，且－2a的模是5a的模的；
(3)－2a与2a是一对相反向量；
(4)a－b与－(b－a)是一对相反的向量．
迁移与应用
已知λ，μ∈R，则在以下各命题中，正确的命题共有( )．
(1)当λ＜0，a≠0时，λa与a的方向一定相反；
(2)当λ＞0，a≠0时，λa与a的方向一定相同；
(3)当λμ＞0，a≠0时，λa与μa的方向一定相同；
(4)当λμ＜0，a≠0时，λa与μa的方向一定相反．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
数乘向量定义的几点说明：
(1)数乘向量仍是一个向量．λa中的实数λ叫做向量a的系数．
(2)实数与向量可以求积，但不能进行加减运算．
(3)
2．向量的线性运算及线性表示
活动与探究2
(1)计算下列各式：
①3(a－2b＋c)－(2c＋b－a)；
②(a－b)－(2a＋4b)＋(2a＋13b)．
(2)设x，y是未知向量．
①解方程5(x＋a)＋3(x－b)＝0；
②解方程组
迁移与应用
1．计算下列各式：
(1)3(2a－b)－2(4a－3b)；
(2)(4a＋3b)－(3a－b)－b；
(3)2(3a－4b＋c)－3(2a＋b－3c)．
2．已知向量a，b不共线．
(1)实数x，y满足等式3xa＋(10－y)b＝(4y＋7)a＋2xb，求出x，y的值；
(2)把满足3x－2y＝a，－4x＋3y＝b的向量x，y用a，b表示出来．
向量的线性运算及解含未知向量方程(组)的方法：
(1)向量的线性运算要遵循数乘向量的运算律．
(2)多项式运算中去括号、合并同类项、提取公因式等方法仍然适应于向量的线性运算．
(3)解实数方程(组)的移项、加减消元、代入消元法可应用于解含未知向量的方程或方程组．
3．向量共线的判定定理与性质定理的应用
活动与探究3
设两个非零向量e1和e2不共线．
(1)如果＝e1－e2，＝3e1＋2e2，＝－8e1－2e2，求证：A，C，D三点共线；
(2)如果＝e1＋e2，＝2e1－3e2，＝2e1－ke2，且A，C，D三点共线，求k的值．
迁移与应用
已知两个非零向量a，b不共线，＝a＋b，＝a＋2b，＝a＋3b．
(1)证明A，B，C三点共线；
(2)试确定实数k，使ka＋b与a＋kb共线．
活动与探究4
如图，ABCD为一个四边形，E，F，G，H分别为BD，AB，AC和CD的中点，求证：四边形EFGH为平行四边形．
迁移与应用
证明：连接三角形两边中点的线段平行于第三边且等于第三边的一半．
共线向量定理的应用
(1)共线向量的判定定理与性质定理，可直接用于判断两向量是否共线或根据向量共线确定参数的取值．
(2)共线向量的判定定理为证明三点共线和两直线平行提供了一种方法．
①证明三点共线，即转化为有公共点的两条有向线段表示的向量共线；
②证明两直线平行，则是转化为无公共点的两直线上的有向线段所表示的向量共线．
当堂检测
1．(2a－b)－(2a＋b)等于( )．
A．a－2b B．－2b C．0 D．b－a
2．已知λ，μ∈R，下面式子正确的是( )．
A．λa与a同向 B．0·a＝0
C．(λ＋μ)a＝λa＋μa D．若b＝λa，则|b|＝λ|a|
3．点C在直线AB上，且＝3，则等于( )．
A．－2 B．
C．－ D．2
4．已知e1，e2不共线，a＝ke1＋e2，b＝e1＋ke2，当k＝________时，a，b共线．
5．如图所示，已知D，E，F分别是△ABC的边AB，AC，BC的中点，求证：四边形BDEF为平行四边形．
提示：用最精炼的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记。
答案：
课前预习导学
【预习导引】
1．(1)向量 λa (2)|λ||a| (3)相同 相反 0 0 (4)伸长 压缩 伸长 |λ| 缩短 |λ| (5)②λa＋μa ③λa＋λb
预习交流1 提示：(1)向量的线性运算包括向量的加法、减法、实数与向量的积．
(2)向量线性运算的结果是向量，实数和代数式运算的结果是实数或代数式，尽管它们的运算律形式上相似，但其意义却迥然不同．因此在类比实数的运算律学习向量的有关运算律时务必经过严格证明后方可使用．
预习交流2 原式＝(4－3)a＋(－4－3－1)b＝a－8b.
2．(1)b＝λa (2)b＝λa
预习交流3 提示：若a＝0，当b＝0时，λ的值不唯一；
当b≠0时，不存在λ使b＝λa.
预习交流4 －
课堂合作探究
【问题导学】
活动与探究1 解：(1)正确．
∵2＞0，∴2a与a的方向相同．又|2a|＝2|a|，
∴(1)正确．
(2)正确．
∵5＞0，∴5a与a方向相同，且|5a|＝5|a|.
而－2＜0，
∴－2a与a的方向相反，且|2a|＝2|a|.
∴－2a与5a的方向相反，且－2a的模是5a的模的.
∴(2)正确．
(3)正确．
依据相反向量的定义及实数与向量乘积的定义进行判断．
(4)错误．
∵a－b与b－a是一对相反向量，
∴a－b与－(b－a)是一对相等向量．
∴(4)错误．
迁移与应用 D 解析：命题(1)(2)(3)(4)均正确，因为由λ与向量a的积λa的方向规定，易知(1)(2)正确，对于命题(3)(4)，当λμ＞0时，λ与μ同正或同负，所以λa与μa都与a同向或者都与a反向，所以λa与μa同向．当λμ＜0时，λ与μ异号，λa与μa中，一个与a同向，一个与a反向，所以λa与μa方向相反，故(3)(4)也正确，故选D.
活动与探究2 解：(1)①原式＝3a－6b＋3c－2c－b＋a＝4a－7b＋c.
②原式＝a－b－a－b＋a＋b
＝a＋
b
＝0×a＋0×b＝0.
(2)①原方程可变为5x＋5a＋3x－3b＝0，即8x＝－5a＋3b ，
∴x＝－a＋b.
②把第一个方程的－2倍与第二个方程相加，
得y＝－2a＋b，
从而y＝－a＋b.
代入原来第二个方程得
x＝－a＋b.
∴
迁移与应用 1．解：(1)原式＝6a－3b－8a＋6b＝－2a＋3b；
(2)原式＝a＋b－a＋b－b＝a＋b＝－a；
(3)原式＝6a－8b＋2c－6a－3b＋9c＝(6－6)a－(8＋3)b＋(2＋9)c＝－11b＋11c.
2．解：(1)∵a，b为不共线向量，
要使等式3xa＋(10－y)b＝(4y＋7)a＋2xb成立，
则有
解得
(2)
①×4＋②×3得y＝4a＋3b， ③
再将③代入①中，得x＝3a＋2b.
∴
活动与探究3 (1)证明：＝e1－e2，＝3e1＋2e2，＝－8e1－2e2，
＝＋＝4e1＋e2
＝－(－8e1－2e2)
＝－，
∴与共线．
又∵与有公共点C，
∴A，C，D三点共线．
(2)解：＝＋＝(e1＋e2)＋(2e1－3e2)＝3e1－2e2，
∵A，C，D三点共线，
∴与共线，从而存在实数λ使得＝λ，即3e1－2e2＝λ(2e1－ke2)，
∴解得λ＝，k＝.
迁移与应用 (1)证明：因为＝－＝a＋2b－(a＋b)＝b，
＝－＝a＋3b－(a＋b)＝2b，
于是＝2，即与共线．
又与有公共点A，所以A，B，C三点共线．
(2)解：由于a，b为非零向量且不共线，所以a＋kb≠0.
若ka＋b与a＋kb共线，则必存在唯一实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)，整理得(k－λ)a＝(λk－1)b，
因此
解得或
即存在唯一实数λ＝1，使ka＋b与a＋kb同向共线，此时k＝1，或存在唯一实数λ＝－1，使ka＋b与a＋kb反向共线，此时，k＝－1，因此k＝±1都满足题意．
活动与探究4 证明：∵F，G分别为AB，AC的中点，
∴＝.
同理＝，∴＝.
同理＝.
∴四边形EFGH为平行四边形．
迁移与应用
证明：如图，设△ABC中，M，N分别为AB，AC的中点．
则＝－＝－
＝(－)＝.
可得∥且||＝||.
【当堂检测】
1．B 2．C 3．D 4．±1
5．证明：∵D，E分别是AB，AC的中点，
∴＝，＝，
＝－
＝－
＝(－)＝.
∴＝，
∴DE∥BF且DE＝BF，
即四边形BDEF为平行四边形．§7 向量应用举例
问题导学
1．向量在平面几何中的应用
活动与探究1
在△ABC中，如图所示，点D和E分别在边BC与AC上，且BD＝BC，CE＝CA，AD与BE交于点R，证明：RD＝AD，RE＝BE．
活动与探究2
已知直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠CDA＝∠DAB＝90°，CD＝DA＝AB，求证：AC⊥BC．
迁移与应用
在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，若＝a，＝b，则＝( )．
A．a＋b B．a＋b
C．a＋b D．a＋b
用向量证明平面几何问题的方法，常见有两种思路．
(1)向量的线性运算法：
(2)向量的坐标运算法：
2．向量在平面解析几何中的应用
活动与探究3
已知点P(－3,0)，点A在y轴上，点Q在x轴的正半轴上，点M在直线AQ上，满足·＝0，＝－．当点A在y轴上移动时，求动点M的轨迹方程．
迁移与应用
已知点A(1,0)，直线l：y＝2x－6，点R是直线l上的一点，若＝2，求点P的轨迹方程．
向量在解析几何中的应用：
(1)已知直线的方向向量，可以用向量平行的条件求出过一点与方向向量平行的直线方程．
(2)已知直线的法向量，可由向量垂直的条件写出直线方程．
(3)其他在解析几何中涉及角度，垂直，共线等问题的处理，可将向量用点的坐标表示，利用向量的有关法则、性质列出方程(组)，从而使问题得以解决．
3．向量在物理学中的应用
活动与探究4
(1)一质点受到平面上的三个力F1，F2，F3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态．已知F1，F2成60°角，且F1，F2的大小分别为2和4，则F3的大小为( )．
A．6 B．2
C．2 D．2
(2)一辆汽车在平直公路上向西行驶，车上装着风速计和风向标，测得风向为东偏南30°，风速为4米/秒，这时气象台报告实际风速为2米/秒．试求风的实际方向和汽车的速度大小．
迁移与应用
如图，无弹性的细绳OA，OB的一端分别固定在A，B处，同质量的细绳OC下端系着一个秤盘，且使得OB⊥OC，试分析OA，OB，OC哪根绳受力最大？
用力向量和速度向量解决物理问题的方法步骤：
(1)把物理问题中的相关量用向量表示；
(2)转化为向量问题的模型，通过向量运算使问题得以解决；
(3)还原为物理问题．
注意：力、速度、加速度、位移都是向量；其中功W＝F·s即功是力F与所产生位移s的数量积；动量mv是数乘向量等．
当堂检测
1．若向量＝(1,1)，＝(－3，－2)分别表示两个力F1，F2，则|F1＋F2|为( )．
A．(5,0) B．(－5,0)
C． D．－
2．在△ABC中，＝a，＝b．当a·b＜0时，△ABC为( )．
A．直角三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
3．已知直线l：mx＋2y＋6＝0，向量(1－m,1)与l平行，则实数m的值是( )．
A．－1 B．1
C．2 D．－1或2
4．两个力F1＝i＋j，F2＝4i－5j作用于同一质点，使该质点从A(20,15)移到点B(7,0)．其中i，j是x轴，y轴正方向上的单位向量．
求：(1)F1，F2分别对该质点做的功；
(2)F1，F2的合力F对该质点做的功．
提示：用最精炼的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记。
答案：
课前预习导学
【预习导引】
1．d＝
预习交流1 d＝＝.
2．(B，－A) (A，B)
预习交流2 提示：不唯一，与直线的方向向量垂直的向量统称为直线的法向量；当B＝0时，直线的斜率不存在，当B≠0时，直线的斜率为－.
预习交流3 (1)B
(2)1 解析：如图所示，＝(0,1)，＝(－1,1)，A·A＝(0,1)·(－1,1)＝1.
预习交流4 提示：解决物理中力、速度、加速度、位移等有关矢量的合成与分解问题，以及与力做功相关的问题．
课堂合作探究
【问题导学】
活动与探究1 证法一：设＝e1，＝e2.
取{e1，e2}为基底，下面我们将用基底表示出来．
设＝λ，＝μ.
由于＝＋
＝e1＋(e2－e1)
＝e1＋e2，
＝＋＝－e1＋e2，
∴＝λ＝λe1＋λe2，①
＝μ＝－μe1＋μe2，
＝＋＝(1－μ)e1＋μe2.②
根据唯一性，由①和②可得解得
于是AR＝AD，RD＝AD；
BR＝BE，RE＝BE.
活动与探究2 证明：以A为原点，AB所在直线为x轴，建立直角坐标系，如图所示．
设AD＝1，则A(0,0)，B(2,0)，C(1,1)，D(0,1)．
∴＝(－1,1)，＝(1,1)，·＝(－1)×1＋1×1＝0.
∴⊥，即AC⊥BC.
迁移与应用 B 解析：如图，
∵E是OD的中点，
∴＝＝b.
又∵△ABE∽△FDE，
∴＝＝.
∴＝3，∴＝.
在△AOE中，＝＋＝a＋b.
∴＝＝a＋b.
活动与探究3 解：设点M(x，y)为轨迹上的任一点，设A(0，b)，Q(a,0)(a＞0)，则＝(x，y－b)，＝(a－x，－y)．
∵＝－，
∴(x，y－b)＝－(a－x，－y)．
∴a＝，b＝－，即
A，Q.
＝，＝.
∵·＝0，
∴3x－y2＝0.
即所求轨迹方程为y2＝4x(x＞0)．
迁移与应用 解：设P(x，y)，R(x1，y1)，
则＝(1－x1，－y1)，＝(x－1，y)．
由＝2，得(1－x1，－y1)＝2(x－1，y)，即
代入直线l的方程得y＝2x.
所以，点P的轨迹方程为y＝2x.
活动与探究4 (1)D 解析：(1)因为力F是一个向量，由向量加法的平行四边形法则知F3的大小等于以F1，F2为邻边的平行四边形的对角线的长，故|F3|＝|F1|2＋|F2|2－2|F1||F2|cos 120°＝4＋16＋8＝28，所以|F3|＝2.
(2)解：依据物理知识，有三对相对速度，汽车对地的速度为v车地，风对车的速度为v风车，风对地的速度为v风地．
风对地的速度可以看成车对地与风对车的速度的合速度，即v风地＝v风车＋v车地．
如图，根据向量加法的平行四边形法则可知，表示向量v风地的有向线段是平行四边形ABDC的对角线．
∵||＝4米/秒，∠ACD＝30°，||＝2米/秒，
∴∠ADC＝90°.
在Rt△ADC中，||＝||cos 30°＝2(米/秒)，即风的实际方向是吹向正南方向，汽车速度的大小为2米/秒．
迁移与应用 解：设OA，OB，OC三根绳子所受力分别是a，b，c，则a＋b＋c＝0，a，b的合力为c′＝a＋b，|c′|＝|c|，
如图，在平行四边形OB′C′A′中，
因为′⊥′，＝′，
所以||＞||，||＞||.
即|a|＞|b|，|a|＞|c|，
所以细绳OA受力最大．
【当堂检测】
1．C 2．C 3．D
4．解：(1)＝(7,0)－(20,15)＝(－13，－15)，
∴＝F1·＝－13－15＝－28(J)，
＝F2·＝4×(－13)＋(－5)×(－15)＝23(J)．
(2)F＝F1＋F2＝(5，－4)，
∴WF＝F·＝5×(－13)＋(－4)×(－15)＝－5(J)．
