人教版九年级上册22.1.2 二次函数y=ax2的图象和性质 课件(共20张PPT)

(共20张PPT)
（第一课时）
22.1.2 二次函数y=ax2的图象和性质
用描点法画二次函数y=ax2的图象
01
从二次函数y=ax2的图象探索其性质
02
学习目标
2.描点
根据表中x，y的数值在坐标平面中描出对应的点.
3.连线
用平滑曲线顺次连接各点，就得到y = x2的图象.
3
6
9
y
O
-3
3
x
一、用描点法画二次函数y=ax2的图象
在y = x2中，自变量x可以是任意实数，列表表示出几组对应值：
x ... -3 -2 -1 0 1 2 3 ...
y=ax2 ... 9 4 1 0 1 4 9 ...
1.列表
例：画出二次函数y=x2的图像。
二、二次函数y = ax2的图象和性质
3
6
9
y
O
-3
3
x
这条抛物线关于y轴对称，y轴就是它的对称轴.
抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点。
顶点坐标是________.
顶点是图象的最____点.
函数y = x2的图象开口______.
在抛物线y = x2上
任取一点（m，m2），
因为它关于y轴的对称
点（-m，m2）也在抛
物线y = x2上，所以抛
物线y = x2关于y轴对称。
当x<0 (在对称轴的左侧)时，y随着x的增大而减小.
当x>0 (在对称轴的右侧)时，y随着x的增大而增大.
向上
事实上，二次函数的图像都是抛物线。
函数 的图象与函数y=x2 的图象相比，有什么共同点和不同点？
思考
2
6
8
y
4
O
-2
2
x
4
-4
y=2x2
开口都向上；
对称轴都是y轴；
增减性相同：当x<0时，y随x增大而减小；当x>0时，y随x增大而增大.
顶点都是原点(0，0)，顶点是抛物线的最低点；
a值越大，抛物线的开口越小．
归纳
一般地，当a>0时，抛物线y=ax2的开口向上，对称轴是y轴，顶点是原点，顶点是抛物线的最低点，a越大，抛物线的开口越小.
探究
画出函数y=-x2, , y=-2x2的图象，并思考这些抛物线有什么共同点和不同点．
x ··· -3 -2 -1 0 1 2 3 ···
y = -x2 ··· -9 -4 -1 0 -1 -4 -9 ···
··· -2 0 -2 ···
y = -2x2 ··· -18 -8 -2 0 -2 -8 -18 ···
-3
-6
-9
y
O
-3
3
x
y=-x2
y=-2x2
顶点都是原点(0，0)，顶点是抛物线的最高点；
增减性相同： 当x<0时，y随x增大而增大；当x>0时，y随x增大而减小.
开口都向下；
对称轴都是y轴；
a值越小，抛物线的开口越小．
归纳
一般地，当a<0时，抛物线y=ax2的开口向下，对称轴是y轴，顶点是原点，顶点是抛物线的最高点，a越小，抛物线的开口越小.
小 结
1.二次函数的图象都是抛物线.
2.抛物线y=ax2的图象性质:
（1）抛物线y=ax2的对称轴是y轴，顶点是原点.
（2）当a>0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点;
(3)当a<0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点;
|a|越大，抛物线的开口越小.
y=-2x2
y=-x2
2
6
8
y
4
y=2x2
-8
-4
-2
-6
O
-2
2
x
4
-4
随堂演练
1.函数y = 2x2的图象的开口_______，对称轴是_______，顶点是________ .
向上
y轴
（0，0）
a = 2>0
2. 已知下列二次函数①y=-x2；②y= x2；③y=15x2；④y =-4x2；⑤y = 4x2.
（1）其中开口向上的是________（填序号）；
（2）其中开口向下且开口最大的是______（填序号）；
（3）有最高点的是_______（填序号）.
②
③
⑤
①
①
④
开口向下
a<0
3. 分别写出抛物线y=4x2与 的开口方向、对称轴及顶点坐标.
解：抛物线y=4x2的开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标（0，0）；
抛物线 的开口向下，对称轴为y轴，顶点坐标（0，0）.
y
O
x
y
O
x
课堂小结
二次函数y = ax2 的性质
根据图形填表：
抛物线 y = ax2（a>0） y = ax2（a＜0）
顶点坐标
对称轴
位置
开口方向
增减性
最值
（0，0）
y轴
在x轴的上方（除顶点外）
向上
当x<0时，y随着x的增大而减小.
当x>0时，y随着x的增大而增大.
当x = 0时，最小值为0.
（0，0）
y轴
在x轴的下方（除顶点外）
向下
当x = 0时，最大值为0.
当x<0时，y随着x的增大而增大.
当x>0时，y随着x的增大而减小.
22.1.2二次函数y=ax2的图象和性质第二课时利用图象探索二次函数y=ax2的性质-3
3
o
3
6
9
函数y=x2的图象如下：
x
y
二次函数y=x2的图象形如物体抛射时所经过的路线,我们把它叫做抛物线.
这条抛物线关于y轴对称,
y轴就是它的对称轴.
对称轴与抛物线的交
点叫做抛物线的顶点.
导入
增减性：y 轴左侧，y随x增大而减小； y 轴右侧，y随x增大而增大.
x
y
O
－2
2
2
4
6
4
－4
8
相同点：开口：向上，
顶点：原点（0,0）——最低点
对称轴： y 轴
增减性：y 轴左侧，y随x增大而减小
y 轴右侧，y随x增大而增大
不同点：开口大小不同，a 值越大，抛物线的开口越小．
知识讲解
思考一
函数y= x2, y=2x2的图象与函数y=x2的图象相比,有什么共同点和不同点
1
2
|a|越大,抛物线的开口就越小.
函数y=ax2(a>0）的性质探究
几何画板验证特殊到一般
x
1
y
-1
-2
-3
0
1
2
3
-1
-2
-3
-4
-5
函数y=－ x2,y=－2x2的图象与函数y=－x2的图象相比,有什么共同点和不同点
1
2
不同点:
开口大小不同; a越小，
抛物线的开口越小．
相同点：开口：向下，
顶点：原点（0,0）——最高点
对称轴： y 轴
增减性：y 轴左侧，y随x增大而增大
y 轴右侧，y随x增大而减小
知识讲解
思考二
|a|越大,抛物线的开口就越小.
函数y=ax2(a<0）的性质探究
几何画板验证特殊到一般
对比抛物线，y=x2和y=－x2.它们关于x轴对称吗？一般地，抛物线y=ax2和y=－ax2呢？
在同一坐标系内,抛物线 与
抛物线 是关于x轴对称的.
知识讲解
思考三
y=ax2 (a≠0) a>0 a<0
图 象
开口方向
顶点坐标
对称轴
增 减 性
极值
x
y
O
y
x
O
向上
向下
(0 ,0)
(0 ,0)
y轴
y轴
当x<0时，在y轴的左侧
y随着x的增大而减小。
当x<0时,在y轴的左侧
y随着x的增大而增大。
x=0时,y最小=0
x=0时,y最大=0
抛物线y=ax2 (a≠0)的开口大小是由|a|来确定的,一般说来, |a|越大,
当x>0时，在y的右侧
y随着x的增大而增大。
当x>0时，在y的右侧
y随着x的增大而减小。
抛物线的开口就越小.
知识讲解
归纳总结
1、函数y=2x2的图象的开口 ，对称轴是 ，顶点是 ；在对称轴的左
侧，y随x的增大而 ，在对称轴的右侧，
y随x的增大而 ；
2、函数y=-3x2的图象的开口 ，对称轴是 ，顶点是 ；在对称轴的左
侧，y随x的增大而 ，在对称轴的右侧，
y随x的增大而 ；
向上
y轴
（0,0）
减小
增大
向下
y轴
（0,0）
增大
减小
课堂练习
3.已知 y =(m+1)x 是二次函数且其图象开口向上,求m的值.
m2+m
解: 依题意有:
m+1>0 ②
m2+m=2 ①
解②得:m1=－2, m2=1
由①得:m>－1
∴ m=1
二次函数y=ax2的图象及性质
性质
重点关注4个方面
开口方向及大小
对称轴
顶点坐标
增减性
小结
思想方法：
数形结合，从特殊到一般，整体思想
知识要点：
谢谢观看!