2.1 第一课时必要条件与性质定理
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题（本大题共6小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
设，则的一个必要条件是( )
A. B. C. D.
已知，，若p是q的一个必要不充分条件，则m的取值范围为( )
A. B.
C. D.
已知不等式成立的必要不充分条件是或，则实数m的最大值为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
已知，，若p是q的必要条件，则实数a的取值范围是( )
A. B. C. D.
使“不等式在上恒成立”的一个必要不充分条件是( )
A. B. C. D.
若“”是“”的必要不充分条件，则实数a的取值范围是( )
A. B.
C. D.
二、填空题（本大题共3小题，共15.0分）
“”是“”的__________条件．
写出的一个必要非充分条件__________
已知集合，若“”是“”的必要不充分条件，则实数a的取值范围是__________.
三、解答题（本大题共6小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
本小题分
已知命题，命题，且q是p的必要不充分条件，求实数a的取值范围.
本小题分
已知集合，，.
求，；
若是的必要条件，求实数m的取值范围.
本小题分
已知，非空集合若是的必要条件，求实数m的取值范围.
本小题分
已知，，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
本小题分
已知集合，，
求，；
若是的必要条件，求实数m的取值范围．
本小题分
已知集合集合，
若时，请判断是的什么条件？并说明理由用“充要条件”“充分不必要条件”“必要不充分条件”“既不充分也不必要条件”作答
若是的一个必要条件，求实数a的取值范围.
答案和解析
1.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查必要条件的判定，属于基础题目.
根据必要条件判断即可.
【解答】
解：由成立可得也成立，
但是成立，不一定成立，
所以的一个必要条件为
故选
2.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了必要不充分条件的应用，考查集合的包含关系，属于基础题.
求出p的等价条件，利用必要不充分条件的定义进行求解即可.
【解答】
解：p的等价条件是
若p是q的一个必要不充分条件，只需满足，解得：
故选：
3.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查必要条件、充分条件与充要条件的判断，涉及一元二次不等式的解法，集合是包含关系，属于基础题.
先由解得或，再由题意列不等式组解得.
【解答】
解：由解得或，
不等式成立的必要不充分条件是或，
，解得，经检验等号可以取得，
故实数m的最大值为
故选
4.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查必要条件的定义，属于一般题.
根据p是q的必要条件，列不等式组确定实数a的取值范围．
【解答】
解：设满足p的实数组成的集合为M，满足q的实数组成的集合为N，
p是q的必要条件，
即，解得
故选
5.【答案】B
【解析】
【分析】
先利用参变量分离法求出a的取值范围，然后根据充分条件、必要条件的定义进行判定即可．
本题主要考查了不等式恒成立问题，以及充分条件、必要条件的判定，同时考查了学生逻辑推理的能力和运算求解的能力，属于基础题．
【解答】
解：因为不等式在上恒成立，
所以，
即，而可以推出，不能推出，
所以使“不等式在上恒成立”的一个必要不充分条件是，
故选：
6.【答案】B
【解析】
【分析】
本题主要考查充分、必要条件的判定，属于中档题.
由充分、必要条件的定义以及集合间的包含关系可得a的范围.
【解答】
解：若“”是“”的必要不充分条件，
则由\(0{\leqslant}x{\leqslant}4 a{\leqslant}x{\leqslant}a\text{+}2\)，
而，
故
即为的真子集，
故有
则实数 a的取值范围是
故选
7.【答案】必要不充分
【解析】
【分析】
本题主要考查充分条件、必要条件的判断，属于基础题.
由题意，由前者不能推出后者，由后者可以推出前者，故可得答案．
【解答】
解：若“”，则“”不成立，如，
反之，若“”，则“”成立，
则“”是“”的必要不充分条件.
故答案为：必要不充分．
8.【答案】答案不唯一
【解析】
【分析】
本题主要考查充分、必要条件与集合之间的关系，属于基础题.
将必要非充分条件转化为集合之间的关系，即可求解.
【解答】
解：令，
根据题意，将问题转化为写出一个集合B，使，所以集合B可以为
故答案为：答案不唯一
9.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查充要条件、必要条件及充分条件的判断和集合关系中的参数问题，属于中档题目．
首先整理两个集合，解不等式，得到最简形式，根据是的必要不充分条件，得到两个集合之间的关系，从而得到不等式两个端点之间的关系，得到结果．
【解答】
解：，
是的必要不充分条件，
，
等号不同时成立，
解得
故答案为：
10.【答案】解：是p的必要不充分条件，即p所对应的集合是q 所对应集合的真子集，
且不能同时取等，得
【解析】本题考查必要不充分条件的应用，属于基础题.
由题意得到p所对应的集合是q 所对应集合的真子集是解题的关键.
11.【答案】解：因为，，
所以，，
所以
由已知，得，
因为是的必要条件，所以，
所以，解得，
故实数m的取值范围为
【解析】本题主要考查集合的交、并、补集的运算和根据必要条件求参数范围，关键是将必要条件转化为集合之间的包含关系.
根据交集的定义可求出，根据并集的定义求出，然后再根据补集的定义，即可求出；
将必要条件转化为集合之间的包含关系可得，列出不等式，即可求出实数m的取值范围.
12.【答案】解：由，解得：，
是的必要条件，
，S是非空集合，
，解得
实数m的取值范围是
【解析】本题考查了一元二次不等式的解法、集合之间的运算关系、必要条件的应用，属于中档题.
利用一元二次不等式的解法化简P，根据是的必要条件，可得，又因为S是非空集合，所以，求解即可．
13.【答案】解：，，且p是q的必要不充分条件，
所以
或解得
实数m的取值范围是
【解析】本题考查充分必要条件的判定及其应用，考查数学转化思想方法．
根据“p是q的必要不充分条件”转化为集合的包含关系得关于m的不等式组，求解得答案．
14.【答案】解：因为，
所以，
又，
所以或
由已知，得，
因为是的必要条件，
所以，
又因为，
所以，
解得，
故所求实数m的取值范围为
【解析】本题主要考查了集合的运算，以及必要条件的综合应用，考查学生的运算求解能力.
根据题意可解得，又，根据集合的运算解出即可.
因为是的必要条件，所以，即可解得m的取值范围.
15.【答案】 解：时
是的必要不充分条件.
是的一个必要条件，
当时，，不成立;
当时，由，得
当时，由得
综上，实数a的取值范围为或
【解析】本题考查充分必要条件的判断，考查集合关系的应用，属拔高题.
时，，进而判断是的必要不充分条件.
由是的一个必要条件，得，讨论a的取值，得关于a的不等式，求解即可.
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第1页，共7页2.1第三课时充要条件
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题（本大题共6小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
设全集为U，则下面四个选项中不是“”的充要条件的是( )
A. B.
C. D.
在下列结论中，正确的有个.( )
①是的充分不必要条件
②在中，“为直角三角形”的充要条件是
③若，则“不全为”是“”的充要条件
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
“不等式在R上恒成立”的充要条件是( )
A. B. C. D.
下列各个命题中，满足p是q的充要条件的个数为( )
①两个三角形三边对应相等，两个三角形全等；
②两个三角形全等，q：两个三角形的两边及其一边所对的角相等；
③两个三角形的两个内角对应相等，两个三角形相似；
④两个三角形相似，q：两个三角形的两边对应成比例.
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
设a，，则“”的充要条件是( )
A. a，b不都为2 B. a，b都不为2
C. a，b中至多有一个是2 D. a，b都不为0
设集合，若集合，，则的充要条件是( )
A. ， B. D.，
C. ， D. ，
二、多选题（本大题共3小题，共15.0分。在每小题有多项符合题目要求）
下列各题中，p是q的充要条件的有( )
A. p：四边形是正方形；q：四边形的对角线互相垂直且平分
B. p：两个三角形相似；q：两个三角形三边成比例
C. p：；q：，；
D. p：是一元二次方程的一个根；q：
设计如图所示的四个电路图，“开关闭合”；“灯泡亮”，则p是q的充要条件的电路图是( )
A. B.
C. D.
设全集为U，则下面四个命题中是“”的充要条件的是( )
A. B.
C. D.
三、填空题（本大题共6小题，共30.0分）
“方程无实根”的充要条件是__________ .
已知集合，或，则的充要条件是__________ .
请写出一个使成立的充要条件：__________，充分不必要条件：__________.
至少有一个负实根的充要条件是__________.
已知关于x的方程，则该方程有两个正根的充要条件是__________ .
方程至少有一个负实根的充要条件是__________.
四、解答题（本大题共3小题，共36.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
本小题分
设
若p是q的必要不充分条件，求a的取值范围；
若p是q的充分不必要条件，求a的取值范围；
若a是方程的根，判断p是q的什么条件.
本小题分
求证方程有且只有一个负数根的充要条件为或
本小题分
设非空集合，，，求使成立的充要条件．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了集合的运算、集合之间的关系，充要条件的判断，考查了推理能力.
利用集合的运算、集合之间的关系即可判断出结论.
【解答】
解：U为全集，下面四个命题：
A. 由，可得由可得，故是的充要条件．
B.由可得，由可得，故是的充要条件．
C.由，可得，由可得，故是的充要条件．
D.由，可得，不能推出，故不是的充要条件
故选
2.【答案】C
【解析】
【分析】
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键，属于基础题．
利用充分条件，必要条件的定义分别判断即可．
【解答】
解：对于①，由，但是或或，不一定有，故是的充分不必要条件，①正确；
对于②，当或时不能推出，由可得为直角三角形，故②错；
对于③，由，b不全为0，反之，由a，b不全为，故③正确．
故选
3.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查不等式恒成立问题和充要条件.
先求出不等式恒成立时m的取值范围，然后再根据充要条件的定义即可求解.
【解答】
解：由题意知，不等式在R上恒成立在R上恒成立，
因为，所以，
所以“不等式在R上恒成立”的充要条件是
故选
4.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了充要条件及其判断，属于基础题.
根据三角形全等的判定与性质及三角形相似的判定与性质即可得出答案.
【解答】
解：根据三角形全等的判定定理及性质可知，两个三角形三边对应相等等价于两个三角形全等，故①中，故①满足；
②中，由两个三角形的两边及其一边所对的角相等不能得到两个三角形全等，即\(q p\)，故②不满足；
③由两个三角形的两个内角对应相等可以推出两个三角形相似，反之亦成立，即，故③满足；
④由两个三角形的两边对应成比例推不出两个三角形相似，即\(q p\)，故④不满足；
故选
5.【答案】B
【解析】
【分析】
本题主要考查了充要条件的判断，考查了学生对充要条件概念的理解.
直接利用充要条件的定义判定即可得到正确答案.
【解答】
解：
即，则可得且
反之：且可得，
综上可得“”的充要条件是“且”.
故选
6.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查集合交集定义、充分必要条件判断，属于中档题.
结合题意可得，进一步可得，得，反之亦成立.
【解答】
解：由题意，知，
由可得，得，反之亦成立.
故的充要条件是，
故选
7.【答案】BD
【解析】
【分析】
本题考查充要条件的判断，属于基础题.
利用充要条件的定义进行判断即可.
【解答】
解：对于A、因为对角线互相垂直且平分的四边形不一定是正方形，故p不是q的充要条件；
对于B、由相似三角形的判定和性质可知，p是q的充要条件；
对于C、当时，满足，但不满足，，故p不是q的充要条件；
对于D、是一元二次方程的一个根，故p是q的充要条件.
故选
8.【答案】BD
【解析】
【分析】
本题考查充分必要条件的判断，考查逻辑推理能力，属于基础题.
通过题意分析，可得只要开关闭合，灯泡就会亮，反过来，只要灯泡亮，开关一定是闭合的，通过判断4个图，确定是否以上两种情况同时满足即可.
【解答】
解：由题知，电路图A中，开关闭合，灯泡亮，而灯泡亮开关不一定闭合，故A中p是q的充分不必要条件；
电路图B中，开关闭合，灯泡亮，且灯泡亮，则开关闭合，故B中p是q的充要条件；
电路图C中，开关闭合，灯泡不一定亮，灯泡亮则开关一定闭合，故C中p是q的必要不充分条件；
电路图D中，开关闭合则灯泡亮，灯泡亮则开关闭合，故D中p是q的充要条件，
故选
9.【答案】ABC
【解析】
【分析】
本题考查充要条件的判断，考查交集，补集运算，属于中档题.
利用集合间的关系和必要条件、充分条件与充要条件的判断，逐项判断即可；
【解答】
解：对于选项A，由，可得由可得，即是命题的充要条件，故A满足条件；
对于选项B，由可得，由可得，故是命题的充要条件，故B满足条件；
对于选项C，由，可得，由可得，
故是命题的充要条件，故C满足条件；
对于选项D，由，可得，不能推出，
故不是命题的充要条件，故D不满足条件．
故选
10.【答案】
【解析】
【分析】
根据根的判别式求出“方程无实根”的充要条件即可．
本题考查了充要条件，考查根的判别式，是基础题．
【解答】
解：方程无实根，
，解得：，
反之，若，则方程无实根，
故“方程无实根”的充要条件是：，
故答案为：
11.【答案】
【解析】
【分析】
根据，所以集合，又因为，，结合数轴从而解得的充要条件．
本题考查含参数集合交集的运算，充分必要条件的定义，用到数形结合的思想方法．注意端点等号的取得．
【解答】
解：根据题意，集合，，，
分析可得，
解可得，，
故答案为：
12.【答案】或
【解析】
【分析】
本题主要考查充要条件，充分不必要条件的应用，属于基础题.
根据充要条件，充分不必要条件的概念即可求解.
【解答】
解：或；
或，
故成立的充要条件为或
\(ab=0 a=0\)；\(a=0 ab=0\)，
故成立的充分不必要条件为：
故答案为或
13.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查的是充要条件，一元二次方程根与系数的关系，属于中档题.
根据一元二次方程的根与系数的关系求解即可.
【解答】
解：当时，原方程为一元一次方程，有一个负实根，
符合题设．
当时，原方程为一元二次方程，
它有实根的充要条件是，即
设此时方程的两根分别为，，
则，，
当只有一个负实根时，所以；
当有两个负实根时，所以
综上所述，所求的a的取值范围为
故答案为：
14.【答案】或
【解析】
【分析】
本题考查了方程根的分布、充要条件，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
由已知可得：该方程有两个正根的充要条件是，且，求解即可.
【解答】
解：关于x的方程，即，
则该方程有两个正根的充要条件是，且，
解得：或，
因此该方程有两个正根的充要条件是：或
故答案为：或，
15.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查一元二次方程根的分布问题，充要条件问题，属于中档题．
先对二次项系数分为0和不为0两种情况讨论，在二次项系数不为0时，又分两根一正一负和两根均为负值两种情况，综合在一起找到a所满足的条件即可得到，再利用上述过程可逆，就可以下结论．
【解答】
解：①时，显然方程没有等于零的根．
若方程有两异号实根，则，得；
若方程有两个负的实根，
则必有
②若时，可得也适合题意．
综上知，若方程至少有一个负实根，则
反之，若，则方程至少有一个负的实根，
因此，关于x的方程至少有一负的实根的充要条件是：
故答案为：
16.【答案】解：设，，
是q的必要不充分条件，
，
；
是q的充分不必要条件，
，
；
若a是方程的根，即，
即，解得，
，p是q的充要条件．
【解析】本题考查了充分条件，必要条件的应用，考查了方程的求解，考查计算能力和推理能力，属于一般题．
设，，
若p是q的必要不充分条件，则，进而可得a的范围；
若p是q的充分不必要条件，则，进而可得a的范围；
若a是方程的根，则，则，p是q的充要条件．
17.【答案】解：充分性：
当时，方程变为，其根为，方程只有一个负根；
当时，方程为其根为，方程只有一个负根；
当时，，方程有两个不相等的根，且，方程有一正一负根；
必要性：
若方程有且仅有一个负根；
当时，适合条件；
当时，方程有实根，
则，，
当时，方程有一个负根，若方程有且仅有一负根，则，
，
综上方程有且仅有一负根的充要条件为或 .
【解析】本题借助充分与必要条件考查了一元二次方程根的存在问题．
首先充分性，分别讨论，，与三种情形；其次必要性，分别讨论，与两种情形.
18.【答案】解：
当时，由，得
当时，由，得
当时，由，得
综上所述，使的充要条件是
【解析】本题考查充要条件的应用，考查二次函数的值域，考查分类讨论思想，属于拔高题.
，对a分类讨论并根据可求实数a的取值范围.
第2页，共6页
第1页，共6页2.1第二课时充分条件与判定定理
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题（本大题共6小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
，若为的充分非必要条件，则实数a的取值范围( )
A. B. C. D.
下列“若p，则q”形式的命题中，p是q的充分条件的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
已知条件p：，条件q：，且是的充分不必要条件，则a的取值范围( )
A. B. C. D.
设，下列四个条件中，使成立的充分不必要条件是( )
A. B. C. D.
设p：；q：，若p是q的充分不必要条件．则实数a的取值范围是( )
A. B. C. D.
若不等式成立的充分条件为，则实数a的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共1小题，共5.0分。在每小题有多项符合题目要求）
若是的充分不必要条件，则实数a的值可以是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
若关于x的不等式成立的充分不必要条件是，则实数a的取值范围是__________.
写出“”的一个充分非必要条件__________
有下列不等式：①；②；③；④其中可以是“”的充分条件的不等式的序号为__________.
若“”是“”成立的充分不必要条件，则实数a的取值范围是__________.
四、解答题（本大题共4小题，共48.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
本小题分
集合，，求证：的一个充分非必要条件是
本小题分
已知集合，，R为实数集.
当时，求及；
若“”是“”的充分不必要条件，求实数t的取值范围.
本小题分
已知关于x的不等式恒成立
当时q成立，求实数m的取值范围;
若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围.
本小题分
设全集是实数集
当时，求，；
若“”是“”的充分条件，求实数a的取值范围．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】
【分析】
根据由是的充分非必要条件，得出，列出不等式，解得a的取值范围即可．
本题考查了利用充分必要条件的定义求字母取值范围问题，需要转化为集合关系解答，属于基础题．
【解答】
解：“”是“”的充分非必要条件，
，
，
故实数a的取值范围是.
故选
2.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查了充分条件的判断，属于基础题.
根据充分条件的定义逐一判断即可.
【解答】
解：A项中，，则符合题意；
B项中，或，故B不符合题意;
C项中，当时，，无意义，故C不符合题意;
D项中，当，故D不符合题意，
故选
3.【答案】A
【解析】
【分析】
求出：，根据是的充分不必要条件，得出q是p充分不必要条件，即可求解．
本题综合考查了充分、必要条件，与命题之间的关系，结合不等式求解．
【解答】
解：：，：或，
是的充分不必要条件，
是p充分不必要条件，
：，p：或，
故选：
4.【答案】B
【解析】
【分析】
根据不等式的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行求解即可．
本题主要考查充分条件和必要条件的应用，熟练掌握不等式的关系和充分、必要条件的定义是解决本题的关键．
【解答】
解：若 ，不能得到，故A不正确，
当，时，满足，但是，故C不正确，
若，则，反之也成立，故是的充要条件，D不正确，
若，则成立，反之当时，不一定成立，
故使成立的充分不必要条件是，故选
5.【答案】B
【解析】
【分析】
先求出命题q，再利用p是q的充分不必要条件，代入解不等式组即可得出答案.
本题主要考查了利用充分不必要条件求参数的问题.
【解答】
：，
p是q的充分不必要条件，
或，
解得
故选：
6.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查充分条件的判断，属于中档题．
由已知中不等式成立的充分条件是，令不等式的解集为A，可得，可以构造关于a的不等式组，解不等式组即可得到答案．
【解答】
解：不等式成立的充分条件是，
设不等式的解集为A，则，
当时，，不满足要求；
当时，，
若，则
解得
故选
7.【答案】BCD
【解析】
【分析】
本题考查了必要条件、充分条件的相关知识，试题难度较易.
由必要条件、充分条件的定义即可得出结果.
【解答】
解：是的充分不必要条件，
实数a的值可以是2，3，
故选
8.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了充分不必要条件，考查集合关系中的参数取值问题，属于基础题.
解出不等式，由题得集合是集合的真子集，进而得关于a不等式组，求解即可.
【解答】
解：解得，
由关于x的不等式成立的充分不必要条件是，
则集合是集合的真子集，
故，且等号不同时成立，
解得，
故a的取值范围为
故答案为
9.【答案】答案不唯一
【解析】
【分析】
本题考查充分非必要条件，属基础题
根据条件直接写出结果.
【解答】
解：当“”时，“”.
反之，不一定成立.
故答案为：答案不唯一
10.【答案】②③④
【解析】
【分析】
本题考查了充分条件，属基础题.
根据充分条件的定义即可判断.
【解答】
解：，即，①显然不能使一定成立，②③④满足题意．
故答案为②③④.
11.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查充分不必要条件的应用，涉及一元二次不等式的解法.
不等式可解得或，再根据题意即可求解.
【解答】
解：若“”是“”成立的充分不必要条件，
则“”可以推出“”，但是“”推不出“”，
由解得或，
所以
故答案为
12.【答案】证明：集合，
若，则，或，或，
当时，，
当时，，
当时，，
故的充要条件为或，
则的一个充分非必要条件是
【解析】本题考查充分必要条件的判断和证明，以及集合的包含关系，属于中档题.
将集合M化简，当N是M的子集时，求出k的所有取值，即可得证.
13.【答案】解：由，得：，即，
当时，，则或，
所以，
由“”是“”的充分不必要条件，则AB，
，
显然，
①当时，即时，，
要满足AB，则，
解得；
②当时，即时，，
要满足AB，则，
解得；
综上：实数t的取值范围为：或
【解析】利用一元二次不等式的解法化简集合A，由解得集合B，，然后利用并集，交集和补集的运算求解.
根据“”是“”的充分不必要条件，可得AB，进行求解即可.
本题主要考查了充分不必要条件的应用，考查二次不等式的解法，集合的交 并 补的运算及集合间的包含关系，属于拔高题.
14.【答案】解：由题可知，
即实数m的取值范围是
，设，，
是q的充分不必要条件，是B的真子集，
① 由知，时，，符合题意；
② 时，，符合题意
③时，，符合题意
④或时，设，的对称轴为直线，由A是B的真子集得或或，或或
综上所述：
【解析】分析可知一元二次不等式大于零恒成立等价于；
是q的充分不必要条件可得对应集合A是B的真子集，再对m进行分类讨论即可.
本题考查充分不必要条件的应用，考查解含参的一元二次不等式.
15.【答案】解：，
当时，，
或，或，
，，
则或；
当“”是“”的充分条件时，，即，
当，即时，满足；
当，即时，，
要使，需，解得，
综上可得，实数a的取值范围是
【解析】本题考查了集合关系中的参数取值问题、交、并、补集的混合运算和充分条件.
当时，先得出集合A、B，再由集合的运算可得结果；
当“”是“”的充分条件时，，即，分和两种情况求解即可.
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