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九年级数学上册《21.2.2 公式法》导学案
1、理解并学会判断一个一元二次方程根的情况
2、理解一元二次方程求根公式的推导过程
3、学会用公式法解一元二次方程
重点：先把方程化为一般式，再用根的判别式对方程的根的情况进行分析，最后用求根公式进行解答
难点：理解一元二次方程求根公式的推导过程，并学会运用求根公式去解方程
1、根的判别式
① 当时，方程有两个实数根，其中，
当时，方程有两个不相等的实数根；
当时，方程有两个相等的实数根；
②当时，方程无实数根。
2、求根公式
把（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式．
3、用公式法解一元二次方程的一般步骤：
①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）；
②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）；
③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入求根公式进行计算，求出方程的根．
注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0．
1、（2022·营口）关于的一元二次方程有两个实数根，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：∵方程有两个实数根
∴
即
解得
故选D
2、（2021·溧阳市期末）若一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是_______________
【答案】
【解析】解：∵方程有两个不相等的实数根
∴
即
解得
3、（2020·浙江自主招生）若是一元二次方程的根，则判别式和完全平方式的关系是：_____
【答案】=
【解析】解：∵是一元二次方程的根
∴
∴
∴
又
∴=
4、一元二次方程的解是___________
【答案】，
【解析】解：
∴方程有两个不相等的实数根
∴
∴，
5、（2021·滕州市校级月考）已知关于的一元二次方程的常数项是0，则=________，方程的根是____________。
【答案】-3
【解析】解：∵方程的常数项是0
∴
解得
∵
∴
∴
∴方程为
化简得
解得
6、（2022·罗湖区二模）解方程：（公式法）
【答案】，
【解析】解：
∴方程有两个不相等的实数根
∴
∴，
1、已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ）
A. B.
C.且 D.且
【答案】D
【解析】解：∵一元二次方程有实数根
∴
解得
又
∴
∴且
故选D
2、（2020·常州市第二十四中学初三月考）如果关于的方程有两个不相等的实数根，那么在下列数值中，可以取的是（ ）
A．3 B．5 C．6 D．8
【答案】A
【解析】解：根据题意得：△=16﹣4m＞0，解得：m＜4，所以m可以取3，不能取5、6、8．
故选A．
3、（2020·广东省蛇口育才二中初三一模）已知关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0有实数根，若k为非正整数，则k等于（ ）
A． B．0 C．0或﹣1 D．﹣1
【答案】D
【解析】解：根据题意得k≠0且△＝(﹣2)2﹣4×k×(﹣1)≥0，
解得k≥﹣1且k≠0，
∵k为非正整数，
∴k＝﹣1，
故选D．
4、（2020·安徽省初三一模）关于x的一元二次方程ax2+2x+c＝0（a≠0）有两个相等的实数根，写出一组满足条件的实数a，c的值：a＝_____，c＝_____．
【答案】1 1
【解析】解：∵关于x的一元二次方程ax2+2x+c＝0（a≠0）有两个相等的实数根，
∴△＝22﹣4ac＝0，
∴ac＝1，即当a＝1时，c＝1．
故答案可以为1，1
5、用公式法解方程：
【答案】
【解析】解：
6、（2021春 招远市期中）按要求解下列方程：
（1）（配方法）；
（2）（公式法）．
【答案】（1），； （2），
【解析】解：（1），
，即，则，，；
（2），，，
△，
则，即，．
7、（2020·北京市十一学校初三月考）已知关于x的一元二次方程
（1）求证：无论实数 m 取何值，方程总有两个实数根；
（2）若方程有一个根的平方等于 9，求m的值．
【答案】（1）详见解析；（2）m 的值为 1 或﹣5
【解析】（1）证明：∵△＝[﹣（m+3）]2﹣4（m+2）＝（m+1）2≥0，
∴无论实数 m 取何值，方程总有两个实数根；
（2）解：∵方程有一个根的平方等于 9
∴x＝±3
当 x＝3 时，m＝1；当 x＝﹣3时， m＝﹣5
综上所述，m 的值为 1 或﹣5．
8、在等腰△ABC中，三边分别为a、b、c，其中a＝5，若关于x的方程x2+（b+2）x+6﹣b＝0有两个相等的实数根，求△ABC的周长．
【答案】△ABC的周长是12．
【解析】∵关于x的方程有两个相等的实数根，
∴△=，即；
解得，（舍去）；
①当a为底，b为腰时，则2+2＜5，构不成三角形，此种情况不成立；
②当b为底，a为腰时，则5﹣2＜5＜5+2，能够构成三角形；
此时△ABC的周长为：5+5+2=12；
故△ABC的周长是12。
本节课所学知识点
错题及错误原因
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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九年级数学上册《21.2.2 公式法》导学案
1、理解并学会判断一个一元二次方程根的情况
2、理解一元二次方程求根公式的推导过程
3、学会用公式法解一元二次方程
重点：先把方程化为一般式，再用根的判别式对方程的根的情况进行分析，最后用求根公式进行解答
难点：理解一元二次方程求根公式的推导过程，并学会运用求根公式去解方程
1、根的判别式
① 当 时，方程有两个实数根，其中，
当 时，方程有两个不相等的实数根；
当 时，方程有两个相等的实数根；
②当 时，方程无实数根。
2、求根公式
把 （b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式．
3、用公式法解一元二次方程的一般步骤：
①把方程化成一般形式，进而确定 ， ， 的值（注意符号）；
②求出 的值（若 ，方程无实数根）；
③在 的前提下，把a、b、c的值代入求根公式 进行计算，求出方程的根．
注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0．
1、（2022·营口）关于的一元二次方程有两个实数根，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
2、（2021·溧阳市期末）若一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是_______________
3、（2020·浙江自主招生）若是一元二次方程的根，则判别式和完全平方式的关系是：_____
4、一元二次方程的解是___________
5、（2021·滕州市校级月考）已知关于的一元二次方程的常数项是0，则=________，方程的根是____________。
6、（2022·罗湖区二模）解方程：（公式法）
1、已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ）
A. B.
C.且 D.且
2、（2020·常州市第二十四中学初三月考）如果关于的方程有两个不相等的实数根，那么在下列数值中，可以取的是（ ）
A．3 B．5 C．6 D．8
3、（2020·广东省蛇口育才二中初三一模）已知关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0有实数根，若k为非正整数，则k等于（ ）
A． B．0 C．0或﹣1 D．﹣1
4、（2020·安徽省初三一模）关于x的一元二次方程ax2+2x+c＝0（a≠0）有两个相等的实数根，写出一组满足条件的实数a，c的值：a＝_____，c＝_____．
5、用公式法解方程：
6、（2021春 招远市期中）按要求解下列方程：
（1）（配方法） （2）（公式法）．
7、（2020·北京市十一学校初三月考）已知关于x的一元二次方程
（1）求证：无论实数 m 取何值，方程总有两个实数根；
（2）若方程有一个根的平方等于 9，求m的值．
8、在等腰△ABC中，三边分别为a、b、c，其中a＝5，若关于x的方程x2+（b+2）x+6﹣b＝0有两个相等的实数根，求△ABC的周长．
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错题及错误原因
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