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九年级数学上册《21.2.2 公式法》课时训练
一、选择题
1．（2021九上·肃州期末）一元二次方程 的根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．只有一个实数根
C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根
【答案】D
【解析】解：∵
∴Δ＝b2 4ac＝12 4×1×（－3）＝13＞0，
∴方程有两个不相等的实数根.
2．（2021九上·揭东期末）下列方程有两个相等的实数根的是（ ）
A．x2﹣2x+1＝0 B．x2﹣3x+2＝0 C．x2﹣2x+3＝0 D．x2﹣9＝0
【答案】A
【解析】解：A、x2﹣2x+1＝0，判别式，有两个相等的实数根，符合题意；
B、x2﹣3x+2＝0，判别式，有两个不相等的实数根，不符合题意；
C、x2﹣2x+3＝0，判别式，没有实数根，不符合题意；
D、x2﹣9＝0，判别式，有两个不相等的实数根，不符合题意；
3．（2021九上·茂南期末）直线y=+a不经过第四象限，则关于的方程a-2-1=0的实数解的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．1个或2个
【答案】D
【解析】解：根据题意得直线y=+a一定经过第一、三象限，
∵直线y=+a不经过第四象限，
∴，
当时，关于的方程a-2-1=0为一元二次方程，
∴，
∴一元二次方程有两个不相等实数根，
当时，关于的方程a-2-1=0为一元一次方程，有1个实数解，
综上所述，关于的方程a-2-1=0的实数解的个数是1个或2个
4．（2021九上·禅城期末）若一元二次方程x2＋mx＋4＝0有两个相等的实数根，则m的值是（ ）
A．2 B．±2 C．±4 D．±2
【答案】C
【解析】解：∵一元二次方程x2＋mx＋4＝0有两个相等的实数根，
∴△=m2－4×4=0，
解得：m=±4
5．（2021九上·秦都期末）关于x的一元二次方程 没有实数根，则实数n的值可以为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【解析】解：根据题意可知： ，
∴ .
∴符合题意的选项为D
6．（2021九上·蓬江期末）关于x的一元二次方程mx2+（2m﹣4）x+（m﹣2）＝0有两个实数根，则m的取值范围（ ）
A．m≥2 B．m≤2 C．m≥2且m≠0 D．m≤2且m≠0
【答案】D
【解析】解：根据题意得m≠0且Δ=（2m-4）2-4m×（m-2）≥0，
解得m≤2且m≠0
7．（2021九上·鞍山期末）已知关于x的一元二次方程总有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．
【答案】B
【解析】解：∵关于x的一元二次方程总有两个不相等的实数根，
∴，即
∵，
当时，，即关于x的一元二次方程总有两个不相等的实数根
8．（2021九上·高坪月考）关于 的一元二次方程 总有实数根，则 应满足的条件是（ ）
A． B． 且
C． 且 D．
【答案】B
【解析】解：∵关于x的一元二次方程（k-1）x2-2x+1=0总有实数根，
∴△=b2-4ac=4-4（k-1）≥0，
解得：k≤2，
且k-1≠0，
则k应满足的条件是：k≤2且k≠1
9．（2021九上·永年期中）对于一元二次方程 ，下列说法：
①若 ，则 ；②若方程 有两个不相等的实根，则方程 必有两个不相等的实根；③若 是方程 的一个根，则一定有 成立；④若 是一元二次方程 的根，则
其中正确的是（ ）
A．只有①② B．只有①②④ C．只有①③④ D．只有①②③
【答案】B
【解析】解：①若a+b+c=0，则x=1是方程ax2+bx+c=0的解，
由一元二次方程的实数根与判别式的关系可知：△=b2-4a≥0，故①符合题意；
②方程ax2+c=0有两个不相等的实根，
∴△=0-4ac＞0，
∴-4ac＞0
则方程ax2+bx+c=0的判别式△=b2-4a＞0，
∴方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实根，
故②符合题意；
③∵c是方程ax2+bx+c=0的一个根，
则ac2+bc+c=0，
∴c（ac+b+1）=0，
若c=0，等式仍然成立，
但ac+b+1=0不一定成立，
故③不符合题意；
④若x0是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，
则由求根公式可得：x0= ，
∴2ax0+b=± ，
∴b2-4ac=（2ax0+b）2，
故④符合题意．
故正确的有①②④
10．（2021九上·柯桥月考）小刚在解关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）时，只抄对了a＝2，c＝1，解出其中一个根是x＝1．他核对时发现所抄的b比原方程的b值小1．则原方程的根的情况是（ ）
A．不存在实数根 B．有两个不相等的实数根
C．有另一个根是x＝﹣1 D．有两个相等的实数根
【答案】A
【解析】解：小刚在解关于x的方程ax2 + bx+c= 0(a≠0)时，只抄对了a=2， c=1，解出其中一个根是 x＝1 ，代入 ax2+bx+c＝0 ，得2×12+b×1+1=0，
解得： b=-3，
∵核对时发现所抄的比原方程的b值小1，
∴原方程的b=-3+1= -2，
则原方程为2x2- 2x+ 1= 0，
∵b2- 4ac=(-2)2-4×2×1=4-8=-4<0，
∴原方程不存在实数根
二、填空题
11．（2021九上·伊通期末）一元二次方程3x2＝3﹣2x的根的判别式的值为 ．
【答案】40
【解析】解：∵，
∴，
∴，，，
12．（2021九上·溧阳期末）若一元二次方程x2-4x+k+2=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 .
【答案】
【解析】解：方程x2-4x+k+2=0，
这里a＝1，b＝-4，c＝k+2，
∵方程有两个不相等的实数根，
∴△=b2 4ac＝（-4）2 4×1×（k+2）>0，
解得：
13．（2021九上·永州月考）若关于x的一元二次方程有实数根，则实数k的取值范围为 .
【答案】k≤4且k≠1
【解析】解：因为关于x的一元二次方程有实数根
所以
由得 ，解 得
所以实数k的取值范围为：k≤4且k≠1
14．（2021九上·新乐期末）已知关于x的一元二次方程．若此方程有两个相等的实数根，则实数k的值为 ；若此方程有两个实数根，则实数k的取值范围为 ．
【答案】9；k≤9
【解析】解：Δ=62-4k=36-4k，
∵方程有两个相等的实数根，
∴Δ=36-4k=0，
解得：k=9；
∵方程有两个实数根，
∴Δ=36-4k≥0，
解得：k≤9
15．（2021九上·赣州期中）已知 的两边 、 的长是关于 的一元二次方程 的两个实数根，第三边 的长为5，当 是等腰三角形时，则k的值为 ．
【答案】5或4
【解析】△=（2k+1）2-4（k2+k）=4k2+4k+1-4 k2-4k =1，
所以x= ，解得x1=k+1，x2=k，
当k+1=5时，解得k=4，此时△ABC是等腰三角形，
当k=5时，此时△ABC是等腰三角形，
即k为值为：5或4
三、解答题
16．（2021九上·临江期末） 用公式法解方程x2﹣3x+1＝0
【答案】解：∵ a=1，b=-3，c=1
Δ＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×1×1＝9﹣4＝5＞0 ，方程有两个不等的实数根
∴x1＝，x2＝
17．（2021九上·大石桥期末）解下列方程：
（1）x2+2x-19=0
（2）(x+1)(2x-3)=2
【答案】（1）解：x2+2x-19=0；
，
，
，
（2）解：(x+1)(2x-3)=2
，
，
，
，
18．（2021九上·微山期中）关于x的一元二次方程 ．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程的两个实数根都是正整数，求m的最小值．
【答案】（1）证明：依题意，得
．
，
∴ ．
∴方程总有两个实数根．
（2）解：由 ．
可化为：
得 ，
∵ 方程的两个实数根都是正整数，
∴ ．
∴ ．
∴的最小值为
19．（2021九上·揭西期末）等腰三角形的三边长分别为、、，若，与是方程的两根，求此三角形的周长．
【答案】解：①若是三角形的腰，则b与c中至少有一边长为6，
代入方程得：，
解得或，
∴当时，
方程可化为，
解得，，
∴三角形三边长分别为4、6、6，
周长为：；
当时，
方程可化为，
解得，；
三角形三边长分别为6、6、10，
周长为：；
∴三角形的周长为16或22；
②若是三角形的底边，则b、c为腰，即，则方程有两个相等的实数根，
∴，
解得，
∴原方程可化为，
解得，
此时，，，不能构成三角形，舍去；
综上所述，三角形的周长为16或22
20．（2021九上·陇县期中）如果关于 的方程 没有实数根，试判断关于 的方程 的根的情况.
【答案】解：当m=0时，
-4x+5=0
解之：
此时方程有一个实数根，不符合题意；
∴m≠0
∴b2-4ac＜0
∴
解之：m＞4；
∵（m-5）x2-2（m+2）x+m+5=0
∵
∵m＞4
∴2m+4＞0
当m＞4且m≠5时
∴方程（m-5）x2-2（m+2）x+m+5=0有两个不相等的实数根；
当m=5时，方程（m-5）x2-2（m+2）x+m+5=0有1个实数根
21．（2021九上·揭西月考）已知关于 的一元二次方程 有两实数根 ，求 的取值范围。
【答案】解：∵ 方程 有两实数根
∴ ≥0 ，
解得： ≤ ，
∴ 的取值范围为： ≤
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九年级数学上册《21.2.2 公式法》课时训练
一、选择题
1．（2021九上·肃州期末）一元二次方程 的根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．只有一个实数根
C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根
2．（2021九上·揭东期末）下列方程有两个相等的实数根的是（ ）
A．x2﹣2x+1＝0 B．x2﹣3x+2＝0 C．x2﹣2x+3＝0 D．x2﹣9＝0
3．（2021九上·茂南期末）直线y=+a不经过第四象限，则关于的方程a-2-1=0的实数解的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．1个或2个
4．（2021九上·禅城期末）若一元二次方程x2＋mx＋4＝0有两个相等的实数根，则m的值是（ ）
A．2 B．±2 C．±4 D．±2
5．（2021九上·秦都期末）关于x的一元二次方程 没有实数根，则实数n的值可以为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
6．（2021九上·蓬江期末）关于x的一元二次方程mx2+（2m﹣4）x+（m﹣2）＝0有两个实数根，则m的取值范围（ ）
A．m≥2 B．m≤2 C．m≥2且m≠0 D．m≤2且m≠0
7．（2021九上·鞍山期末）已知关于x的一元二次方程总有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．
8．（2021九上·高坪月考）关于 的一元二次方程 总有实数根，则 应满足的条件是（ ）
A． B． 且
C． 且 D．
9．（2021九上·永年期中）对于一元二次方程 ，下列说法：
①若 ，则 ；②若方程 有两个不相等的实根，则方程 必有两个不相等的实根；③若 是方程 的一个根，则一定有 成立；④若 是一元二次方程 的根，则
其中正确的是（ ）
A．只有①② B．只有①②④ C．只有①③④ D．只有①②③
10．（2021九上·柯桥月考）小刚在解关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）时，只抄对了a＝2，c＝1，解出其中一个根是x＝1．他核对时发现所抄的b比原方程的b值小1．则原方程的根的情况是（ ）
A．不存在实数根 B．有两个不相等的实数根
C．有另一个根是x＝﹣1 D．有两个相等的实数根
二、填空题
11．（2021九上·伊通期末）一元二次方程3x2＝3﹣2x的根的判别式的值为 ．
12．（2021九上·溧阳期末）若一元二次方程x2-4x+k+2=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 .
13．（2021九上·永州月考）若关于x的一元二次方程有实数根，则实数k的取值范围为 .
14．（2021九上·新乐期末）已知关于x的一元二次方程．若此方程有两个相等的实数根，则实数k的值为 ；若此方程有两个实数根，则实数k的取值范围为 ．
15．（2021九上·赣州期中）已知 的两边 、 的长是关于 的一元二次方程 的两个实数根，第三边 的长为5，当 是等腰三角形时，则k的值为 ．
三、解答题
16．（2021九上·临江期末） 用公式法解方程x2﹣3x+1＝0
17．（2021九上·大石桥期末）解下列方程：
（1）x2+2x-19=0 （2）(x+1)(2x-3)=2
18．（2021九上·微山期中）关于x的一元二次方程 ．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程的两个实数根都是正整数，求m的最小值．
19．（2021九上·揭西期末）等腰三角形的三边长分别为、、，若，与是方程的两根，求此三角形的周长．
20．（2021九上·陇县期中）如果关于 的方程 没有实数根，试判断关于 的方程 的根的情况.
21．（2021九上·揭西月考）已知关于 的一元二次方程 有两实数根 ，求 的取值范围。
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