§5 简单的幂函数
问题导学
一、幂函数的概念及应用
活动与探究1
(1)下列函数中是幂函数的是__________．(只填序号)
①y＝x－2；②y＝4x2；③y＝x3－x；④y＝ (x＋3)4；
⑤y＝.
(2)若一个幂函数f(x)的图像经过点，那么f的值等于__________．
迁移与应用
1．在函数y＝，y＝3x2，y＝x2－x，y＝x0中，幂函数的个数为( )．
A．0 B．1 C．2 D．3
2．已知f(x)是幂函数，且f(2)＝8，则f的值等于__________．
(1)幂函数是一种“形式化定义”的函数，必须完全符合形式“y＝xα(α∈R)”的函数才是幂函数．其中，幂的底数是自变量，幂的指数是一个常数；幂前面的系数必须是1，且为单项式，否则不是幂函数．如果函数是以根式的形式给出的，则应先对根式进行化简整理，再对照幂函数的定义判断．
(2)由于幂函数的解析式中只含有一个参数α，因此只须一个条件就可确定幂函数的解析式．若已知待求函数是幂函数，则可根据待定系数法，设函数为f(x)＝xα，根据条件求出α.
二、函数的奇偶性的判定
活动与探究2
判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝x＋；
(2)f(x)＝2－|x|；
(3)f(x)＝(x－2)2；
(4)f(x)＝.
迁移与应用
1．判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝；
(2)f(x)＝x3－2x；
(3)f(x)＝；
(4)f(x)＝|x＋1|－|x－1|.
1．用定义判断函数奇偶性的步骤是：
2．对于一些较复杂的函数，也可以用如下性质判断函数奇偶性：
(1)偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数；
(2)奇函数的和、差仍为奇函数；
(3)奇(偶)数个奇函数的积、商(分母不为零)为奇(偶)函数；
(4)一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数．
三、奇偶函数图像的应用
活动与探究3
奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，其y轴右侧的图像如图所示，则f(x)＜0的x的取值集合为__________．
迁移与应用
已知偶函数f(x)的一部分图像如图所示．
(1)请画出f(x)的另一部分图像；
(2)判断f(x)是否有最大值或最小值．
(1)奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称．
(2)函数奇偶性反映到图像上是图像的对称性，因而当问题涉及奇函数或偶函数的有关问题时，不妨利用图像的对称性来解决，或者研究关于原点对称的区间上的函数值的有关规律即可．
四、函数奇偶性的综合应用
活动与探究4
(1)若f(x)是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f(x)＝x(1－x)，求函数f(x)的解析式．
(2)已知函数f(x)在R上是偶函数，且在(－∞，0]上是递减的，试比较f(3)与f(π)的大小．
迁移与应用
1．已知函数f(x)是[－5,5]上的偶函数，f(x)在[0,5]上具有单调性，且f(－3)＜f(－1)，则下列不等式一定成立的是( )．
A．f(－1)＜f(3) B．f(2)＜f(3)
C．f(－3)＜f(5) D．f(0)＞f(1)
2．函数y＝f(x)是R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x2－2x－3，求函数f(x)的解析式．
1．利用函数奇偶性求函数解析式的关注点
求奇、偶函数在某个区间的解析式就设这个区间上的变量为x，然后把x转化为－x，通过适当推导，求得所求区间上的解析式．
2．单调性与奇偶性的关系
(1)奇函数在其定义域内关于原点对称的区间上的单调性相同．
(2)偶函数在其定义域内关于原点对称的区间上的单调性相反．
当堂检测
1．下列函数为幂函数的是( )．
A．y＝2x3－1 B．y＝
C．y＝ D．y＝2x2
2．若函数f(x)＝3x2＋bx－1是偶函数，则b等于( )．
A．1 B．－1
C．0 D．任意实数
3．f(x)＝x3＋的图像关于( )．
A．原点对称 B．y轴对称
C．y＝x对称 D．y＝－x对称
4．设f(x)是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f(x)＝2x2－x，则f(1)＝( )．
A．－3 B．－1 C．1 D．3
5．如图给出奇函数y＝f(x)的局部图像，则f(－2)的值是______．
提示：用最精炼的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记。
答案：
课前预习导学
【预习导引】
1．自变量 常量 y＝xα
预习交流1 提示：并不是所有的一次函数和二次函数都是幂函数，只有其中的y＝x和y＝x2是幂函数．若y＝mxα是幂函数，则必有m＝1.
2．原点 y轴 －f(x) f(x) 奇偶性
预习交流2 (1)提示：函数f(x)的定义域一定关于原点对称．由函数奇偶性的定义知：若x在定义域内，则－x一定在定义域内．因此，具有奇偶性的函数的定义域必关于原点对称．
(2)提示：由于函数f(x)是奇函数，则f(－x)＝－f(x)，又函数f(x)在0处有定义，于是f(－0)＝－f(0)，即2f(0)＝0，所以f(0)＝0.
(3)提示：奇函数在关于y轴对称的两个区间上的单调性相同；偶函数在关于y轴对称的两个区间上的单调性相反．
课堂合作探究
【问题导学】
活动与探究1 思路分析：(1)根据幂函数的定义进行判断；(2)先设出f(x)的解析式，由图像经过的点的坐标确定解析式后再代入计算f的值．
(1)①⑤ (2)2 解析：(1)按照幂函数的定义可知y＝x－2是幂函数，又y＝＝x，所以函数y＝也是幂函数，其余函数均不是幂函数．
(2)设f(x)＝xα，由于其图像经过点，
所以4α＝，解得α＝－2，即f(x)＝x－2，
于是f＝－2＝＝2.
迁移与应用 1．C 解析：y＝＝x－3是幂函数；y＝3x2系数是3不是1，不是幂函数；y＝x2－x有两项，不是幂函数；y＝x0是幂函数，所以幂函数的个数为2.
2．－ 解析：设f(x)＝xα，依题意得2α＝8，所以α＝3，即f(x)＝x3，故f＝3＝－.
活动与探究2 思路分析：判断函数是奇函数还是偶函数，首先判断该函数的定义域是否关于原点对称，若不关于原点对称，则一定是非奇非偶函数；若关于原点对称，再判断f(x)与f(－x)的关系．
解：(1)∵函数f(x)的定义域是{x|x≠0}，关于原点对称，
又f(－x)＝－x＋＝－＝－f(x)．
∴f(x)为奇函数．
(2)∵函数f(x)的定义域为R，关于原点对称，
又f(－x)＝2－|－x|＝2－|x|＝f(x)，
∴f(x)为偶函数．
(3)f(x)的定义域是R，关于原点对称，f(－x)＝(－x－2)2＝(x＋2)2，
所以f(－x)≠f(x)，f(－x)≠－f(x)，因此函数f(x)是非奇非偶函数．
(4)函数f(x)的定义域为{x|x≠1}，显然不关于原点对称，∴f(x)是非奇非偶函数．
迁移与应用 1．解：(1)函数的定义域为{x|x≠－1}，不关于原点对称，所以f (x)既不是奇函数也不是偶函数．
(2)函数的定义域为R，
f(－x)＝(－x)3－2(－x)＝2x－x3＝－f(x)，
所以f(x)是奇函数．
(3)函数的定义域为R，
f(－x)＝＝＝f(x)，所以f(x)是偶函数．
(4)函数的定义域为R.
f(－x)＝|－x＋1|－|－x－1|＝|x－1|－|x＋1|＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．
活动与探究3 思路分析：奇函数的图像关于原点对称，据此可作出f(x)在[－5,0)上的图像，然后找出图像位于x轴下方的部分即得x的取值集合．
{x|－2＜x＜0或2＜x＜5} 解析：奇函数f(x)在[－5,5]上的图像如图所示，由图像可知，x∈(2,5)时，f(x)＜0，x∈(0,2)时，f(x)＞0.由于图像关于原点对称，所以x∈(－5，－2)时，f(x)＞0，x∈(－2,0)时，f(x)＜0，所以使f(x)＜0的x的取值集合为{x|－2＜x＜0或2＜x＜5}．
迁移与应用 解：(1)由题意知f(x)的图像关于y轴对称，作图如下：
(2)由图像可知f(x)有最大值，无最小值．
活动与探究4 思路分析：(1)设x＞0，则－x＜0，先求出f(－x)，再由奇函数满足的关系式求得f(x)．(2)先根据函数的奇偶性和它在(－∞，0]上的单调性，得到f(x)在[0，＋∞)上的单调性，再比较f(3)与f(π)的大小．或直接根据偶函数满足的关系式，将f(3)和f(π)分别化为f(－3)、f(－π)再比较大小．
解：(1)∵f(x)是定义在R上的奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)．
当x＞0时，－x＜0，
∴f(x)＝－f(－x)＝x(1＋x)．
当x＝0时，f(0)＝0.
∴函数f(x)的解析式为
f(x)＝
(2)方法一：∵f(x)是偶函数，且在(－∞，0]上递减，∴f(x)在(0，＋∞)上递增．
而3＜π，所以f(3)＜f(π)．
方法二：∵f(x)是偶函数，
∴f(3)＝f(－3)，f(π)＝f(－π)．
又∵f(x)在(－∞，0]上是减少的，且－3＞－π，
∴f(－3)＜f(－π)，即f(3)＜f(π)．
迁移与应用 1．D 解析：函数f(x)是[－5,5]上的偶函数，
因此f(x)＝f(|x|)，于是f(－3)＝f(3)，
f(－1)＝f(1)，则f(3)＜f(1)．
又f (x)在[0,5]上具有单调性，从而函数f(x)在[0,5]上是减少的，观察选择项，并注意到f(x)＝f(|x|)，只有D正确．
2．解：∵当x＜0时，－x＞0.
∴f(－x)＝(－x)2－2(－x)－3＝x2＋2x－3.
∵函数f(x)为偶函数，
∴f(－x)＝f(x)．
∴当x＜0时，f(x)＝x2＋2x－3.
∴f(x)＝
【当堂检测】
1．C 解析：A，B，D都是幂函数经过变化得到的函数，C中，y＝x－2是幂函数．
2．C 解析：由于f(x)是偶函数，所以f(－x)＝f(x)恒成立，
即3x2－bx－1＝3x2＋bx－1，因此2bx＝0，必有b＝0.
3．A 解析：∵f(－x)＝(－x)3＋＝－x3－＝－f(x)，∴函数f(x)为奇函数，图像关于原点对称．
4．A 解析：∵f(x)是定义在R上的奇函数，且x≤0时，f(x)＝2x2－x，∴f(1)＝－f(－1)＝－[2×(－1)2－(－1)]＝－3.
5．－ 解析：由图像知f(2)＝.
又∵f(x)为奇函数，∴f(－2)＝－f(2)＝－.2.3 映射
1．了解映射的概念，能够判定一些简单的对应是否为映射．
2．理解映射与函数的区别与联系．
1．映射
设两个非空集合A与B之间存在着对应关系f，而且对于A中的_________元素x，B中总有_______的一个元素y与它对应，就称这种对应为从A到B的映射，记作f：A→B.A中的元素x称为_______，B中的元素y称为x的_______，记作f：x→y.
映射是对应，但对应不一定是映射，即映射是特殊的对应．
【做一做1－1】 给出下列4个对应，是映射的是( )．
A．③④ B．①②
C．②③ D．①④
【做一做1－2】 在映射f：A→B中，下列说法中不正确的为( )．
①集合B中的任一元素，在集合A中至少有一个元素与它相对应．
②集合B中至少存在一个元素在集合A中无原像．
③集合B中可能有元素在集合A中无原像．
④集合B中可能有元素在集合A中的原像不止一个．
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
2．一一映射
当映射f：A→B满足：
(1)A中的每一个元素在B中都有唯一的像与之对应；(2)__________中的不同元素的____也不同；(3)B中的每一个元素都有__________，
那么就称映射f：A→B是——映射，——映射也叫作一一对应，一一映射是特殊的__________．
映射和一一映射的区别与联系
映射f：A→B 一一映射f：A→B
定义 对于集合A中的每一个元素x，B中总有唯一的一个元素y与之对应，就称这样的对应为A到B的映射 A到B的映射满足：A中的每一个元素在B中都有唯一的像与之对应，A中的不同元素的像也不同；B中的每一个元素都有原像，则该映射又称为一一映射
对应方式 多对一或一对一 一对一
原像 B中的一些元素可能没有原像 B中的任何元素有唯一的原像
像 A中的几个元素可能对应同一个像 A中的任何元素有唯一的像
方向性 B到A不一定是映射 B到A是一一映射
【做一做2】 下列对应是集合M到集合N的一一映射的是( )．
A．M＝N＝R，f：x→y＝－，x∈M，y∈N
B．M＝N＝R，f：x→y＝x2，x∈M，y∈N
C． M＝N＝R，f：x→y＝，x∈M，y∈N
D．M＝N＝R，f：x→y＝x3，x∈M，y∈N
3．函数与映射
函数是特殊的映射，对于映射f：A→B，当两个集合A， B均为非空________时，则从A到B的映射就是函数，所以函数一定是________，而映射不一定是函数．在函数中，________的集合称为函数的定义域，________的集合称为函数的值域．
【做一做3】下列对应为A到B的函数的是( )．
A．A＝R，B＝{x|x＞0}，f：x→y＝|x|
B．A＝Z，B＝N＋，f：x→y＝x2
C．A＝Z，B＝Z，f：x→y＝
D．A＝[－1,1]，B＝{0}，f：x→y＝0
答案：1．每一个 唯一 原像 像
【做一做1－1】 C
【做一做1－2】 A
2．(2)A 像 (3)原像 映射
【做一做2】 D 用排除法，选项A中集合M的元素0，在f下，N中没有元素与之对应，所以这个对应不是映射；选项B中集合M的元素±1，在f下的像都是1，故排除B；选项C中，负实数及0在f下没有元素和它对应，应排除；故选D.
3．数集 映射 原像 像
【做一做3】 D 由函数的定义可知，对于选项A,0∈R，
且|0|＝0B，故A项中的对应不是A到B的函数；
对于选项B,0∈Z，且02＝0N＋，
故B项中的对应不是A到B的函数；
对于选项C，当x＜0时，如－2∈Z，但无意义，
故C项中的对应不是A到B的函数；
对于选项D，是多对一的情形，
符合函数的定义，是A到B的函数．
1．映射f：A→B到底是什么？怎样理解映射的概念？
剖析：对于映射这个概念，可以从以下几点来理解：
①映射中的两个集合A和B可以是数集、点集或由图形组成的集合等；②映射是有方向的，A到B的映射与B到A的映射往往是不一样的；③映射要求对集合A中的每一个元素在集合B中都有像，并且像是唯一的；A中两个(或多个)元素可能有相同的像，这样集合A中元素的任意性和在集合B中对应的元素的唯一性构成了映射的核心；映射允许集合B中存在元素在A中没有原像，即映射只能是“多对一”或“一对一”，不能是“一对多”．
2．如何理解一一映射的概念？
剖析：(1)一对一：一一映射f：A→B中，要求原像不同，像也不同．
集合A中不同的元素在集合B中有不同的像，集合B中的元素都有不同的原像．
(2)可逆性：若映射f：A→B是一一映射，则集合B到集合A的映射一定是一一映射f′：B→A.
题型一 判断映射
【例1】下列对应是不是从A到B的映射？
(1)A＝R，B＝{正实数}，f：x→|x|；
(2)A＝{x|x≥2，x∈N＋}，B＝{y|y≥0，y∈Z}，f：x→y＝x2－2x＋2；
(3)A＝{x|x＞0}，B＝{y|y∈R}，f：x→y＝±.
分析：从定义出发来判断．从集合A到集合B的映射，是指按照某种对应法则f，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应．
反思：映射应满足存在性：集合A中的每一个元素在集合B中都有对应元素；唯一性：集合A中的每一个元素在集合B中都有唯一的元素与之对应．
题型二 求某一映射中的像或原像
【例2】 已知集合A＝R，B＝{(x，y)|x，y∈R}，f：A→B是从A到B的映射，f：x→(x＋1，x2＋1)，求A中元素在B中的对应的元素和B中元素在A中的对应元素．
分析：把x＝代入对应关系中可求得在B中对应的元素，在A中对应的元素可通过列方程组解出．
反思：求某一映射中的像或原像，要准确地利用映射的关系，恰当地列出方程或方程组．
题型三 求映射的个数问题
【例3】 已知A＝{a，b，c}，B＝{－1,0,1}，映射f：A→B满足f(a)＋f(b)＝f(c)，求映射f：A→B的个数．
分析：A中元素在f下对应B中的一个、两个或三个，并且满足f(a)＋f(b)＝f(c)，需分类讨论．
反思：理解映射的概念是解决本题的关键；另外，依映射的定义，若集合A中有m个不同元素，集合B中有n个不同元素，则A到B共有nm个映射，B到A共有mn个映射．
答案：【例1】 解：(1)中，当x＝0∈A时，|x|＝0B，即A中的元素0按对应法则f：x→|x|在B中没有像，∴(1)不是映射．
(2)中，∵y＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1≥0，∴对任意的x，总有y≥0.又当x≥2，且x∈N＋时，x2－2x＋2必为整数，即y∈Z.由A＝{x|x≥2，x∈N＋}，B＝{y|y≥0，y∈Z}知，当x∈A时，x2－2x＋2∈B，∴对A中每一个元素x，按对应法则f：x→y＝x2－2x＋2，在B中都有唯一的y与之对应，∴(2)是映射．
(3)中，对任意的x∈A＝{x|x＞0}，按对应法则f：x→y＝±，存在两个y∈B＝{y|y∈R}，即y＝和y＝－与之对应，∴(3)不是映射．
【例2】 解：将x＝代入对应关系，可求出其在B中的对应元素为(＋1,3)．
由得x＝.
所以在B中的对应元素为(＋1,3)，在A中的对应元素为.
【例3】 解：(1)当A中三个元素都是对应0时，
则f(a)＋f(b)＝0＋0＝0＝f(c)有1个映射．
(2)当A中三个元素对应B中两个元素时，满足f(a)＋f(b)＝f(c)的映射有4个，分别为1＋0＝1,0＋1＝1，(－1)＋0＝－1，0＋(－1)＝－1.
(3)当A中的三个元素对应B中的三个元素时，有2个映射，分别是(－1)＋1＝0,1＋(－1)＝0.
因此满足题设条件的映射有7个．
1 设集合A＝{a，b，c}，集合B＝R，以下对应关系中，一定能建立集合A到集合B的映射的是( )．
A．对集合A中的数开平方
B．对集合A中的数取倒数
C．对集合A中的数取算术平方根
D．对集合A中的数立方
2 已知映射f：A→B，其中集合A＝{－3，－2，－1,1,2,3,4}，集合B中的元素都是A中的元素的映射f的像，且对任意的a∈A，在B中和它对应的元素是|a|，则集合B中的元素的个数是( )．
A．4 B．5 C．6 D．7
3 设集合A，B都是坐标平面上的点集{(x，y)|x∈R，y∈R}，映射f：A→B使集合A中的元素(x，y)映射成集合B中的元素(x＋y，x－y)，则在f下，像(2,1)的原像为( )．
A．(3,1) B. C. D．(1,3)
4 设集合A＝{1,2,3}，集合B＝{a，b，c}，那么从集合A到集合B的一一映射的个数为__________．
5 判断下列对应是不是从集合A到集合B的映射，其中哪些是一一映射？哪些是函数？为什么？
(1)A＝{1,2,3,4}，B＝{3,4,5,6,7,8,9}，对应关系f：x→2x＋1；
(2)A＝{平面内的圆}，B＝{平面内的矩形}，对应关系是“作圆的内接矩形”；
(3)A＝{1,2,3,4}，B＝，对应关系f：x→.
答案：1．D 当a＜0时，对a开平方或取算术平方根均无意义，则A，C项错；当a＝0时，对a取倒数无意义，则B项错；由于任何实数都有立方，并且其立方仅有一个，所以对集合A中的数立方能建立映射．
2．A ∵a∈A，∴|a|＝1,2,3,4，即B＝{1,2,3,4}．
3．B ∵∴故应选B.
4．6 集合A中有3个元素，集合B中有3个元素，根据一一映射的定义可知从A到B的一一映射有6个．
5．解：(1)是映射也是函数，但不是一一映射．因为数集A中的元素x按照对应关系f：x→2x＋1和数集B中的元素2x＋1对应，这个对应是数集A到数集B的映射，也是函数．但B中的元素4,6,8没有原像，不能构成一一映射．
(2)不是从集合A到集合B的映射，更不是函数或者一一映射．因为一个圆有无穷多个内接矩形，即集合A中任何一个元素在集合B中有无穷多个元素与之对应．
(3)是A到B的映射，也是函数和一一映射．2.2 函数的表示法
问题导学
一、求函数的解析式
活动与探究1
(1)已知f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，求f(x)；
(2)已知f(＋1)＝x＋2，求f(x)；
(3)已知f(x)＋2f(－x)＝x＋1，求f(x)的解析式．
迁移与应用
1．已知f(x)是二次函数，且满足f(0)＝1，f(x＋1)－f(x)＝2x，求f(x)．
2．(1)已知f＝2x，求f(x)；
(2)已知2f(x)－f＝x，求f(x)．
求函数解析式的常见方法：
(1)若已知函数类型，可用待定系数法求解．
(2)若不清楚函数类型，比如已知f[g(x)]的解析式，求f(x)的解析式，可采用配凑法和换元法．配凑法是将f[g(x)]右端的代数式配凑成关于g(x)的形式，进而求出f(x)的解析式；换元法是令g(x)＝t，然后解出x，即用t表示x，然后代入f[g(x)]中即可求得f(t)，从而求得f(x)．
(3)构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过解方程组求得函数解析式．
二、作函数的图像
活动与探究2
作出下列函数的图像：
(1)y＝－x＋1，x∈Z；
(2)y＝2x2－4x－3,0≤x＜3.
迁移与应用
1．函数y＝＋x的图像是( )．
2．画出函数y＝x2－2x(x＞1或x＜－1)的图像．
一般地，作函数图像主要有三步：列表、描点、连线．作图像时一般应先确定函数的定义域，再化简解析式(有的要表示为分段函数)，再列表、描点画出图像，并在画图像的同时注意一些关键点，如与坐标轴的交点，分段函数的区间端点等．对于常见的一次、二次函数的图像可直接画出来．
三、分段函数及其应用
活动与探究3
已知函数f(x)＝
(1)求f，f(－2)的值；
(2)画出f(x)的图像；
(3)求f(x)的定义域和值域．
迁移与应用
1．已知f(x)＝则f(f(2))＝( )．
A．0 B．1 C．2 D．3
2．画出下列函数的图像，并写出它们的值域：
(1)y＝(2)y＝|x＋1|＋|x－3|.
(1)分段函数求值时，一定要注意所给自变量的值所在的范围，根据范围选择相应的解析式代入求得．
(2)分段函数的解析式因其特点可以分成两个或两个以上的不同解析式，所以它的图像也由几部分构成，有的可以是光滑的曲线段，有的也可以是一些孤立的点或几段线段．
(3)分段函数的定义域与值域的最好求法也是“图像法”，其定义域是自变量x各段取值的并集，值域是各段值域的并集．
当堂检测
1．已知函数f(x)由下表给出：
x －1 0 1 2
f(x) 4 2 0 1
则f(2)的值为( )．
A．4 B．2 C．0 D．1
2．f(x)＝|x－2|的图像是( )．
3．设函数f(x)＝则f(f(2))＝( )．
A．0 B．1 C．2 D．3
4．已知f(x)满足f(2x－1)＝4x2，则f(x)的解析式为__________．
5．某商场进了10台电脑，每台售价3 000元，试求售出台数x与收款数y之间的函数关系，分别用列表法、图像法、解析法表示出来．
提示：用最精炼的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记。
答案：
课前预习导学
【预习导引】
1．列表法 图像法 解析法 (1)表格 (2)图像
(3)自变量的解析表达式 解析法
预习交流1 (1)提示：
(2)提示：它与函数的图像只有一个交点．因为由函数的定义知，一个x的值只有唯一的y值与它对应．作与x轴垂直的直线，如果它与所给的图形最多只有一个交点，那么这个图形就是某个函数的图像．
2．取值区间 解析式
预习交流2 提示：分段函数虽然由几部分组成，但它却只有一个定义域，只是在定义域内不同区间上有不同的解析表达式而已，所以分段函数是一个函数，而不是几个函数．
课堂合作探究
【问题导学】
活动与探究1 思路分析：第(1)题已知f(x)是一次函数，用待定系数法求解；第(2)题用配凑法或换元法求解；第(3)题可用构造方程组求解法．
解：(1)由题意可设f(x)＝ax＋b(a≠0)，
则3f(x＋1)－2f(x－1)＝3ax＋3a＋3b－2ax＋2a－2b＝ax＋b＋5a＝2x＋17，
∴∴a＝2，b＝7.
∴f(x)＝2x＋7.
(2)方法一(配凑法)：
∵f(＋1)＝x＋2＝(＋1)2－1(＋1≥1)，
∴f(x)＝x2－1(x≥1)．
方法二(换元法)：
令＋1＝t(t≥1)，则x＝(t－1)2(t≥1)，
∴f(t)＝(t－1)2＋2＝t2－1(t≥1)．
∴f(x)＝x2－1(x≥1)．
(3)因为f(x)＋2f(－x)＝x＋1，以－x替换x，得f(－x)＋2f(x)＝－x＋1，由以上两式可解得f(x)＝－x＋.
迁移与应用 1．解：(待定系数法)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
因为f(0)＝1，所以c＝1.
又因为f(x＋1)－f(x)＝2x，
所以a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1－(ax2＋bx＋1)＝2x，即2ax＋a＋b＝2x.
所以从而a＝1，b＝－1，
所以f(x)＝x2－x＋1.
2．解：(1)设t＝，则x＝(t≠0)，
∴f(t)＝2·＝，故f(x)＝(x≠0)．
(2)∵2f(x)－f＝x，以替换x，得
2f－f(x)＝，
由以上两式消去f可得f(x)＝x＋(x≠0)．
活动与探究2 思路分析：根据一次函数和二次函数的图像，结合函数的定义域，作出函数图像．
解：(1)定义域为Z，所以图像为一群孤立的点．如图(a)．
图(a)
图(b)
(2)定义域不是R，因此图像不是完整的抛物线，而是抛物线的一部分．如图(b)．
迁移与应用 1．D 解析：函数定义域为{x|x≠0}，因此可排除选项C；当x＝1时，y＝2，可排除选项B；当x＝－1时，y＝－2，可排除选项A.故选D.
2．解：图像如图所示．
活动与探究3 思路分析：(1)根据，－2所在的区间求函数值．(2)(3)可分段画出图像，再结合图像求函数的值域．
解：(1)f＝2＝；f(－2)＝1.
(2)函数f(x)的图像如图所示．
(3)由题意知，函数f(x)的定义域为R.
由图像知，当|x|≤1时，f(x)＝x2的值域为[0,1]，
当|x|＞1时，f(x)＝1，所以f(x)的值域为[0,1]．
迁移与应用 1．C 解析：f(2)＝－2＋3＝1，
f(f(2))＝f(1)＝1＋1＝2.
2．解：(1)函数y＝的图像如左下图，观察图像，可得函数的值域为(1，＋∞)．
(2)将原函数式中的绝对值符号去掉，化为分段函数y＝它的图像如右上图．观察图像，得函数的值域为[4，＋∞)．
【当堂检测】
1．D
2．B 解析：函数的解析式可化为f(x)＝由描点法画出图像可知选B.
3．A 解析：f(2)＝＝1，f(f(2))＝＝0.
4．f(x)＝(x＋1)2 解析：令2x－1＝t，则x＝，于是f(t)＝4·2＝(t＋1)2，
即f(x)＝(x＋1)2.
5．解：用列表法可表示为
x(台) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
y(元) 3 000 6 000 9 000 12 000 15 000 18 000 21 000 24 000 27 000 30 000
用图像法表示如图所示．
用解析法表示为：y＝3 000x，x∈{1,2,3，…，10}．§4 二次函数性质的再研究
4.1 二次函数的图像
问题导学
一、二次函数的图像变换
活动与探究1
函数f(x)＝x2的图像经过怎样的变换，得到函数f(x)＝4x2－2x－1的图像？
迁移与应用
1．把函数y＝x2的图像向__________平移__________个单位长度就得到y＝2的图像．
2．(1)由y＝－2x2的图像，如何得到y＝－2(x＋1)2－3的图像？
(2)把y＝2x2的图像向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度，能得到哪个函数的图像？
所有二次函数的图像均可以由函数y＝x2的图像经过变换得到．变换前，先将二次函数的解析式化为f(x)＝a(x＋h)2＋k的形式，再确定变换的步骤．
二、求二次函数的解析式
活动与探究2
已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f＝8，试求此二次函数的解析式．
迁移与应用
1．已知二次函数f(x)的图像经过点A(1，－1)，B(3,3)，C(－2,8)，则其解析式为__________．
2．已知二次函数f(x)的顶点坐标为(1，－2)，且图像过点(2,4)，则f(x)＝__________.
求二次函数的解析式常用待定系数法，已知对称轴或顶点坐标或最值等有关信息时，解析式可设为f(x)＝a(x＋h)2＋k的形式；已知抛物线上三点坐标或解析式的性质时，解析式可设为一般式f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
当堂检测
1．下列函数中，其图像开口最小的是( )．
A．f(x)＝3x2 B．f(x)＝x2＋x－1
C．f(x)＝－x2－x D．f(x)＝－4x2＋1
2．已知二次函数f(x)＝x2－x，则其开口方向和与x轴交点的个数分别是( )．
A．向上 2 B．向上 0
C．向下 1 D．向下 2
3．将函数y＝2(x＋1)2－3的图像向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度所得图像对应的函数解析式为( )．
A．y＝2x2 B．y＝2(x＋2)2－6
C．y＝2x2－6 D．y＝2(x＋2)2
4．一条抛物线和y＝2x2的图像形状相同，其对称轴平行于y轴，且顶点坐标为(－1,3)，则它的解析式为________．
5．已知二次函数g(x)满足g(1)＝1，g(－1)＝5，图像过原点，求g(x)的解析式．
提示：用最精炼的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记。
答案：
课前预习导学
【预习导引】
1．(1)纵坐标 a倍 (2)开口大小 方向 左右平移 左移 右移 上下平移 上移 下移 (3)配方 y＝a(x＋h)2＋k 左右平移 上下平移
预习交流1 提示：a决定着图像的开口大小及方向．当a＞0时，开口向上，a＜0时，开口向下．|a|越大，开口越小，|a|越小，开口越大．
2．(2)(－h，k) x＝－h
预习交流2 提示：可设该二次函数的解析式为y＝a(x－m)2＋n(a≠0)，然后再通过另外一个条件确定a的值即可得到其解析式．
课堂合作探究
【问题导学】
活动与探究1 思路分析：将函数f(x)＝4x2－2x－1的解析式化为f(x)＝a(x＋h)2＋k的形式后进行解答．
解：f(x)＝4x2－2x－1＝42－.
图像变换的步骤是：
先将函数y＝x2的图像各点的纵坐标变为原来的4倍，横坐标不变，得到函数y＝4x2的图像；
再将函数y＝4x2的图像向右平移个单位长度，得到函数y＝42的图像；
最后将函数y＝42的图像向下平移个单位长度，得到y＝42－的图像，即得到函数f(x)＝4x2－2x－1的图像．
迁移与应用 1．右
2．解：(1)把y＝－2x2的图像向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度就得到y＝－2(x＋1)2－3的图像．
(2)经过平移能得到函数y＝2(x－3)2＋4＝2x2－12x＋22的图像．
活动与探究2 思路分析：本题在设二次函数的解析式时既可以设一般式，也可以从条件中寻求隐含信息(对称轴、顶点坐标等)，设f(x)＝a(x＋h)2＋k的形式求解．
解：方法一：设f(x)＝ax2＋bx＋c，其中a≠0.
∵根据题意可得方程组
解之得a＝－4，b＝4，c＝7.
∴f(x)＝－4x2＋4x＋7.
方法二：∵f(2)＝f(－1)，
∴抛物线的对称轴是x＝＝.
又∵f＝8，∴抛物线的顶点坐标为.
于是设f(x)＝a2＋8(a≠0)．
又∵f(2)＝－1，
∴a2＋8＝－1，∴a＝－4.
∴f(x)＝－42＋8＝－4x2＋4x＋7.
迁移与应用 1．f(x)＝x2－2x 解析：设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，依题意得
解得a＝1，b＝－2，c＝0，
故解析式为f(x)＝x2－2x.
2．6x2－12x＋4 解析：设f(x)＝a(x－1)2－2，
因为f(x)的图像过点(2,4)，
所以有a(2－1)2－2＝4，得a＝6.
所以f(x)＝6(x－1)2－2＝6x2－12x＋4.
【当堂检测】
1．D 解析：在二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，|a|越大，其图像开口越小．
2．A
3．D
4．y＝±2(x＋1)2＋3 解析：设抛物线方程为y＝±2(x－h)2＋k，由顶点坐标(－1,3)，得y＝±2(x＋1)2＋3.
5．解：由题意设g(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
∵g(1)＝1，g(－1)＝5，且图像过原点，
∴∴∴g(x)＝3x2－2x.§3 函数的单调性
1．理解函数单调性的定义．
2．会用函数单调性的定义判断函数的单调性．
3．能从给定的函数图像上直观得出函数的单调性及单调区间．
1．增函数
(1)定义：在函数y＝f(x)的定义域内的一个区间A上，如果对于任意两数x1，x2∈A，当x1＜x2时，都有________，那么，就称函数y＝f(x)在区间A上是增加的，有时也称函数y＝f(x)在区间A上是递增的．
设x1，x2∈A，x1≠x2，f(x)在A上是增加的(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0＞0.
(2)几何意义：函数f(x)的图像在区间A上是____________的．
(3)图示：如图所示．
【做一做1】 下列命题正确的是( )．
A．定义在(a，b)上的函数f(x)，如果存在x1，x2∈(a，b)，使得x1＜x2时，有f(x1)＜f(x2)，那么f(x)在(a，b)上为增函数
B．定义在(a，b)上的函数f(x)，如果有无穷多对x1，x2∈(a，b)，使得x1＜x2时，有f(x1)＜f(x2)，那么f(x)在(a，b)上为增函数
C．如果f(x)在区间I1上为增函数，在区间I2上也为增函数，那么f(x)在I1∪I2上也一定为增函数
D．如果f(x)在区间I上为增函数且f(x1)＜f(x2)(x1，x2∈I)，那么x1＜x2
2．减函数
(1)定义：在函数y＝f(x)的定义域内的一个区间A上，如果对于任意两数x1，x2∈A，当x1＜x2时，都有________，那么，就称函数y＝f(x)在区间A上是减少的，有时也称函数y＝f(x)在区间A上是递减的．
设x1，x2∈A，x1≠x2，f(x)在A上是减少的(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＜0＜0.
(2)几何意义：函数f(x)的图像在区间A上是__________的．
(3)图示：如图所示．
【做一做2－1】 设函数f(x)＝(2a－1)x＋b是R上的减函数，则有( )．
A．a≥ B．a≤ C．a＞－ D．a＜
【做一做2－2】 函数f(x)在R上是减函数，则有( )．
A．f(3)＜f(5) B．f(3)≤f(5)
C．f(3)＞f(5) D．f(3)≥f(5)
3．单调性
(1)定义：如果函数y＝f(x)在定义域的某个子集上是______或是______，那么就称函数y＝f(x)在这个子集上具有单调性．如果函数y＝f(x)在__________内是增加的或是减少的，我们分别称这个函数为增函数或减函数，统称为单调函数．
(2)几何意义：函数f(x)的图像在区间A上是____或____的．
一个函数出现两个或者两个以上单调区间时，不能用“∪”而应该用“和”来表示．如函数y＝，其定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，不能说函数在(－∞，0)∪(0，＋∞)上递减，而只能说函数在(－∞，0)和(0，＋∞)上递减．
书写函数的单调区间时，区间端点的开或闭没有严格规定，习惯上，若函数在区间端点处有定义，则写成闭区间，当然写成开区间也可以；若函数在区间端点处没有定义，则必须写成开区间．
【做一做3－1】 函数y＝－x2的单调增区间为( )．
A．(－∞，0] B．[0，＋∞)
C．(1，＋∞) D．(－∞，＋∞)
【做一做3－2】 已知函数y＝f(x)的图像如图所示，则它的单调减区间为__________．
4．最大值和最小值
(1)定义：一般地，对于函数y＝f(x)，其定义域为D，如果存在x0∈D，f(x0)＝M，使得对于任意的x∈D，都有f(x)≤M[或f(x)≥M]，那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大(小)值，即当x＝x0时，f(x0)是函数y＝f(x)的最大(小)值，记作ymax＝f(x0)[或ymin＝f(x0)]．
(2)几何意义：函数y＝f(x)的最大(小)值是其图像上最高(低)点的纵坐标．
【做一做4】 函数f(x)＝x－1在区间[3,6]上的最大值和最小值分别是( )．
A．6,3 B．5,2 C．9,3 D．7,4
答案：1．(1)f(x1)＜f(x2) (2)上升
【做一做1】 D A，B项中的x1，x2不具有任意性，C项中f(x)在I1和I2上均为增函数，但在I1∪I2上的单调性无法判定．
2．(1)f(x1)＞f(x2) (2)下降
【做一做2－1】 D ∵f(x)是R上的减函数，
∴2a－1＜0，即a＜.
【做一做2－2】 C ∵函数f(x)在R上是减函数，3＜5，
∴f(3)＞f(5)．
3．(1)增加的 减少的 整个定义域 (2)上升 下降
【做一做3－1】 A
【做一做3－2】 和
【做一做4】 B 函数f(x)＝x－1在区间[3,6]上是增加的，则当3≤x≤6时，f(3)≤f(x)≤f(6)，即2≤f(x)≤5，所以最大值和最小值分别是5,2.
理解函数的单调性
剖析：函数的单调性刻画了函数的图像特征，它反映了函数图像的变化趋势(当自变量增大时，函数值是增大还是减小，图像是上升还是下降)；函数y＝f(x)在区间D上是增函数(减函数)，等价于对于D中任意的两个自变量x1，x2且x1＜x2，都有f(x1)＜f(x2)〔f(x1)＞f(x2)〕，其中“任意”二字是关键，不能用具体的两个自变量代替，否则会产生错误．比如函数f(x)＝，取x1＝－1＜x2＝1，f(x1)＝－1，f(x2)＝1，f(x1)＜f(x2)，如果由此推出f(x)＝是增函数就会产生错误，原因就在于x1，x2是定值，不具有任意性．
另一方面，从反面考虑，由于存在x1＝－1＜x2＝1，f(x1)＝－1，f(x2)＝1，f(x1)＜f(x2)，我们可以下这样的结论：f(x)＝在整个定义域上肯定不是减函数；由定义还可以看出，函数的单调性是函数定义域内某个区间上的性质，因此它是一个局部的性质，并且在考察单调性时，必须先看函数的定义域，如果一个函数有多个单调增(减)区间，这些增(减)区间应该用逗号隔开(即“局部”)，而不能用并集的符号连接(并完之后就成了“整体”)．例如f(x)＝的单调减区间可以写成(0，＋∞)，(－∞，0)〔或者写成(0，＋∞)和(－∞，0)〕，但不能写成(0，＋∞)∪(－∞，0)；由于函数的单调性是反映函数图像变化趋势的，所以在一点处没法讨论函数的单调性，比如函数y＝x2的单调增区间可以写成(0，＋∞)，也可以写成[0，＋∞)，但是如果定义域中不包含这个点，则必须使用开区间表示；如果要证明一个函数的单调性，要严格按照定义进行，步骤如下：
(1)取值：在指定区间上任意取两个自变量x1，x2且x1＜x2；
(2)变形：主要是配方或分解因式、通分等；
(3)定号：判断f(x1)－f(x2)的符号；
(4)结论：由定义给出结论．
题型一 判断或证明函数的单调性
【例1】 证明函数f(x)＝x＋在(0,1)上是减少的．
分析：在(0,1)上任取x1，x2，且x1＜x2，只需证明f(x1)＞f(x2)即可．
反思：证明函数单调性，主要有2种方法．
(1)定义法．其步骤是：①在所给的区间上任取两个自变量x1和x2，通常令x1＜x2；②比较f(x1)和f(x2)的大小，通常是用作差比较法比较大小，此时比较它们大小的步骤是作差、变形、看符号；③再归纳结论．
(2)图像法．借助图像，依据函数单调性的几何意义来判断．此法适合客观题(选择题和填空题)．
题型二 求函数的单调区间
【例2】 画出函数y＝－x2＋2|x|＋3的图像，并指出函数的单调区间．
分析：只需画出函数的图像，看曲线在哪些区间是上升的，在哪些区间是下降的，即可确定函数的单调区间．
反思：利用函数图像确定函数的单调区间，具体做法是：先化简函数解析式，然后再画出它的草图，最后根据函数定义域与草图的位置、状态，确定函数的单调区间．
题型三 函数单调性的应用
【例3】 已知函数f(x)在区间(0，＋∞)上是减函数，试比较f(a2－a＋1)与f的大小．
分析：要比较两函数值的大小，需先比较自变量的大小．
反思：利用函数单调性的定义比较大小，一方面是正向应用，即若y＝f(x)在给定区间上是增函数，当x1＜x2时，f(x1)＜f(x2)，当x1＞x2时，f(x1)＞f(x2)；另一方面是逆向应用，即若y＝f(x)在给定区间上是增函数，当f(x1)＜f(x2)时，x1＜x2，当f(x1)＞f(x2)时，x1＞x2.
当y＝f(x)在给定区间上是减函数时，同理可得相应的结论．
【例4】 已知f(x)是定义在[－1,1]上的增函数，且f(x－2)＜f(1－x)，求x的取值范围．
分析：欲求x的取值范围，需由f(x－2)＜f(1－x)得出x－2与1－x的大小关系，同时要注意函数的定义域．
反思：解答此类问题的关键是充分利用函数的单调性，将函数值的不等关系转化为自变量取值的不等关系，即将抽象不等式转化为具体不等式求解．
题型四 单调性与最值的综合运用
【例5】 已知函数y＝f(x)对任意x，y∈R均有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当x＞0时，f(x)＜0，f(1)＝－.
(1)判断并证明f(x)在R上的单调性；
(2)求f(x)在[－3,3]上的最大、最小值．
分析：抽象函数的性质要紧扣定义，并同时注意特殊值的应用．
反思：证明函数的单调性，必须用定义严格证明，不能用特殊值去检验，判断函数的最值，往往从单调性入手．
题型五 易错辨析
易错点 对单调区间与在区间上单调两个概念理解错误
【例6】 若函数y＝|x－a|在区间(－∞，4]上是减少的，则实数a的取值范围是__________．
错解：函数y＝|x－a|的图像如图所示，由于函数在区间(－∞，4]上是减少的，因此a＝4.
错因分析：错解中把函数在区间(－∞，4]上是减少的误认为函数的单调减区间是(－∞，4]．若把原题目改为：函数y＝|x－a|的单调减区间是(－∞，4]，则a＝4符合题意．
答案：【例1】 证明：设0＜x1＜x2＜1，则
f(x1)－f(x2)＝－
＝(x1－x2)＋＝(x1－x2)
＝.
∵0＜x1＜x2＜1，∴x1x2－1＜0，x1－x2＜0.
则f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)．
∴f(x)＝x＋在(0,1)上是减少的．
【例2】 解：y＝－x2＋2|x|＋3
＝
函数图像如图所示．
函数在(－∞，－1]和[0,1]上是增加的；
函数在[－1,0]和[1，＋∞)上是减少的．
所以函数的单调增区间是(－∞，－1]和[0,1]，单调减区间是[－1,0]和[1，＋∞)．
【例3】 解：∵a2－a＋1＝2＋≥，
∴与a2－a＋1都是区间(0，＋∞)上的值．
又∵f(x)在区间(0，＋∞)上是减函数，
∴f≥f(a2－a＋1)．
【例4】 解：由题意可知解得1≤x≤2.
∵f(x)是定义在[－1,1]上的增函数，且f(x－2)＜f(1－x)，
∴x－2＜1－x.∴x＜.
∴1≤x＜为满足题设条件的x的取值范围．
【例5】 解：(1)令x＝y＝0，可得f(0)＝0，
令y＝－x可得f(－x)＝－f(x)．
在R上任取x1＜x2，则f(x2)－f(x1)＝f(x2)＋f(－x1)＝f(x2－x1)．
∵x1＜x2，∴x2－x1＞0.
又∵x＞0时，f(x)＜0，
∴f(x2－x1)＜0，即f(x2)＜f(x1)．
由定义可知f(x) 在R上为单调递减函数．
(2)∵f(x)在R上是减函数，
∴f(x)在[－3,3]上是减少的．
∴f(－3)最大，f(3)最小．
f(3)＝f(2)＋f(1)＝f(1)＋f(1)＋f(1)＝3×＝－2.
∴f(－3)＝－f(3)＝2，即f(x)在[－3,3]上的最大值为2，最小值为－2.
【例6】 正解：函数y＝|x－a|的图像如图所示，所以只要a＝4或a在4的右侧，都能保证函数y＝|x－a|在区间(－∞，4]上是减少的，因此a≥4.
1 函数y＝x2－6x＋10在区间(2,4)上是( )．
A．递减函数 B．递增函数
C．先递增再递减 D．先递减再递增
2 函数的单调递减区间是( )．
A．[0，＋∞) B．(－∞，0]
C．(－∞，0)，(0，＋∞) D．(－∞，0)∪(0，＋∞)
3 下列函数中，在区间(0,2)上增加的是( )．
A．y＝3－x B．y＝x2＋1
C．y＝－x2 D．y＝x2－2x－3
4 函数f(x)＝x2－|x|的单调递减区间是__________．
5 求证：函数f(x)＝在(－1，＋∞)上是减少的．
答案：1．D 由函数图像可知，函数y＝x2－6x＋10在区间(2,4)上先递减再递增，选D.
2．C 由y＝的图像知，选C.
3．B (排除法)选项A，y＝3－x在R上是减函数；选项C，y＝－x2在(0，＋∞)上是减少的；选项D，y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4，当x≤1时，y是x的减函数，当x≥1时，y是x的增函数，而在(0,2)上并不严格单调，故选B.
4.和 当x≥0时，f(x)＝x2－x，f(x)的单调减区间是，
当x＜0时，f(x)＝x2＋x，f(x)的单调减区间是.
5．证明：任取x1，x2∈(－1，＋∞)，且x1＜x2，
则f(x1)－f(x2)＝.
∵x1，x2∈(－1，＋∞)，且x1＜x2，
∴x1＋1＞0，x2＋1＞0，x2－x1＞0.
∴f(x1)－f(x2)＝＞0.
∴f(x)＝在(－1，＋∞)上是减少的．§3 函数的单调性
问题导学
一、利用定义证明函数在某区间上的单调性
活动与探究1
证明函数f(x)＝在区间[3,5]上是增加的．
迁移与应用
证明函数f(x)＝－x2＋4x＋1在区间[2，＋∞)上是减少的．
证明函数在某个区间上的单调性的步骤：
(1)取值：在给定区间上任取两个值x1，x2，且x1＜x2；
(2)作差变形：计算f(x1)－f(x2)，通过因式分解、通分、配方、分母(分子)有理化等方法变形；
(3)定号：判断上式的符号，若不能确定，则分区间讨论；
(4)结论：根据差的符号，得出单调性的结论．
二、根据图像求函数的单调区间
活动与探究2
画出函数y＝－x2＋2|x|＋3的图像，根据图像指出单调区间．
迁移与应用
1．已知f(x)(x∈[－4,7])的图像如图所示，则f(x)的递增区间是__________；递减区间是__________．
2．作出函数f(x)＝|x－3|的图像，并指出其单调区间．
(1)对于初等函数(如y＝kx＋b，y＝ax2＋bx＋c，y＝等)的单调区间的确定，常借助于函数图像去探求函数的单调区间．
(2)对于含有绝对值的函数，往往转化成分段函数去处理其图像，如y＝|x|＝在此基础上，借助于图像的变化趋势分析相应函数的单调性或单调区间．
(3)由图像确定函数的单调区间时需注意两点：
①单调区间必须是函数定义域的子集；
②图像不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接．
三、函数单调性的应用
活动与探究3
(1)已知函数f(x)＝x2－4ax＋1在[－1，＋∞)上是增加的，则实数a的取值范围是( )．
A．a≥－ B．a＞－
C．a≤－ D．a＝－
(2)已知y＝f(x)在定义域(－1,1)上是减函数，且f(1－a)＜f(2a－1)，求a的取值范围．
迁移与应用
(1)设f(x)是(－∞，＋∞)上的减函数，则( )．
A．f(1)＞f(2) B．f(－a)＜f(a)
C．f(0)＜f(a) D．f(1)＜f(2)
(2)若函数f(x)＝(4a－3)x＋2在R上是减函数，则实数a的取值范围是__________．
(3)已知f(x)是定义在R上的增函数，且f (x－2)＜f(1－x)，求x的取值范围．
(1)已知二次函数在某一区间上的单调性求参数的取值范围时，要结合函数的图像，分析抛物线的开口方向，根据对称轴与给定区间的位置关系，建立关于参数的不等式，从而求得参数的取值范围．
(2)根据函数的单调性比较函数值的大小时，首先应明确函数的单调性及单调区间，然后分析欲比较大小的函数值相对应的自变量的所属区间及其大小关系，最后利用单调性确定函数值的大小．
(3)由函数值的大小关系确定变量的取值范围时，关键是根据函数的单调性，将函数值的大小关系转换为相应自变量的大小关系，从而建立不等式求出参数的取值范围，但务必注意函数定义域对参数取值的限制，不可忽视定义域．
四、利用函数的单调性求最值
活动与探究4
(1)求函数f(x)＝－x2＋2x在区间[0，＋∞)上的最大值；
(2)求函数f(x)＝在区间[2,6]上的最大值和最小值．
迁移与应用
(1)函数f(x)＝4－5x在区间[－1,2]上的最小值等于__________．
(2)若函数f(x)＝，x∈[3,4]，求f(x)的最值．
1．熟记运用函数单调性求最值的步骤
(1)判断：先判断函数的单调性．
(2)求值：利用单调性代入自变量的值求得最值．
2．明确利用单调性求最大值、最小值易出错的几点
(1)写出最值时要写最高(低)点的纵坐标，而不是横坐标．
(2)求最值忘记求定义域．
(3)求最值，尤其是闭区间上的最值，不判断单调性而直接将两端点值代入．
当堂检测
1．函数f(x)＝－x2的递增区间为( )．
A．(－∞，0] B．[0，＋∞)
C．(－∞，＋∞) D．(－1，＋∞)
2．若f(x)＝(2a－1)x＋b是R上的减函数，则有( )．
A．a≥ B．a≤
C．a＞－ D．a＜
3．函数f(x)＝x2－4在区间[－2，－1]上的最大值是( )．
A．0 B．－3 C．3 D．1
4．若f(x)是R上的增函数，且f(x－1)＞f(2)，则x的取值范围是__________．
5．证明函数f(x)＝x＋在(2，＋∞)上是增加的．
提示：用最精炼的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记。
答案：
课前预习导学
【预习导引】
1．定义域内 任意两数 f(x1)＜f(x2) 增加的
递增 定义域内 任意两数 f(x1)＞f(x2) 减少的 递减
预习交流1 提示：不可以．如图，虽然f(－1)＜f(2)，但f(x)在[－1,2]上既不是增加的，也不是减少的．
2．增加 减少 单调区间 单调性 增加的 减少的 单调函数
预习交流2 (1)提示：不能用“∪”来连接，而应该用“和”来连接．如函数y＝，其定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，不能说函数在(－∞，0)∪(0，＋∞)上递减，而只能说函数在(－∞，0)和(0，＋∞)上递减．
(2)提示：不一定，例如函数y＝x2在其定义域R上不具有单调性．
(3)提示：如果f(x)在[a，b]上是增加的，那么由f(x1)＞f(x2)可得x1＞x2；如果f(x)在[a，b]上是减少的，那么由f(x1)＞f(x2)可得x1＜x2.
3．上升 减少
4．(1)①f(x)≤M ②f(x0)＝M (2)①f(x)≥M ②f(x0)＝M
预习交流3 提示：
在[a，b]上的单调性 在[a，b]上的最大值 在[a，b]上的最小值
在[a，b]上增加 f(b) f(a)
在[a，b]上减少 f(a) f(b)
在[a，c]上增加，在[c，b]上减少 f(c) f(a)与f(b)中的较小者
在[a，c]上减少，在[c，b]上增加 f(a)与f(b)中的较大者 f(c)
课堂合作探究
【问题导学】
活动与探究1 思路分析：利用函数增减性的定义来证明，其关键是对f(x1)－f(x2)进行变形，尽量化成几个最简单因式的乘积的形式．
证明：设x1，x2是区间[3,5]上的任意两个实数，且x1＜x2，
则f(x1)－f(x2)＝－＝.
因为3≤x1＜x2≤5，
所以2－x1＜0,2－x2＜0，x1－x2＜0.
所以f(x1)－f(x2)＜0，
即f(x1)＜f(x2)．
所以f(x)在[3,5]上是增加的．
迁移与应用 证明：设x1，x2是区间[2，＋∞)上的任意两个实数，且x1＜x2，
则f(x1)－f(x2)＝(－x＋4x1＋1)－(－x＋4x2＋1)
＝(x－x)＋4(x1－x2)＝(x1－x2)(4－x1－x2)．
因为2≤x1＜x2，
所以x1－x2＜0,4－x1－x2＜0，
所以f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)．
所以f(x)在[2，＋∞)上是减少的．
活动与探究2 思路分析：先去掉绝对值，将函数化为分段函数，再画出每一段上的图像，最后指出单调区间．
解：y＝－x2＋2|x|＋3＝
即f(x)＝
其图像如图所示．
由图像可知，f(x)的递增区间为(－∞，－1]和[0,1]，递减区间为[－1,0]和[1，＋∞)．
迁移与应用 1.[－1.5,3]和[5,6]，[－4，－1.5]和[3,5]和[6,7]
2．解：f(x)=作出函数的图像如图，由图知函数的递增区间是[3，＋∞)，递减区间是(－∞，3]．
活动与探究3 思路分析：(1)函数f(x)为二次函数，图像是抛物线，求出其对称轴，结合图像及已知条件分析对称轴与所给区间的位置关系，从而确定a的取值范围；
(2)不等式f(1－a)＜f(2a－1)为抽象不等式，不能直接求解．考虑到函数的单调性，可将函数值的不等关系转化为自变量取值的不等关系，即转化为具体不等式来求解．
(1)C 解析：f(x)＝x2－4ax＋1的图像开口向上，对称轴为x＝2a.∵f(x)在[－1，＋∞)上是增加的，
∴2a≤－1，即a≤－.
∴a的取值范围为a≤－.
(2)解：由题意可知
解得0＜a＜1.①
∵f(x)在(－1,1)上是减函数，且f(1－a)＜f(2a－1)，
∴1－a＞2a－1，即a＜.②
由①②可知，0＜a＜.
即所求a的取值范围是0＜a＜.
迁移与应用 (1)A 解析：由于－a与a、0与a的大小关系不确定，所以f(－a)与f(a)、f(0)与f(a)的大小关系也不确定，故B、C均错；又因为f(x)在R上递减，故f(1)＞f(2)，故D错，A正确．
(2)a＜ 解析：要使f(x)＝(4a－3)x＋2在R上是减函数，应满足4a－3＜0，解得a＜.
(3)解：∵f(x)是定义在R上的增函数，
且f(x－2)＜f(1－x)，
∴x－2＜1－x.∴x＜，
即x的取值范围是.
活动与探究4 思路分析：(1)结合函数f(x)的图像分析f(x)的单调性，从而确定其最大值；
(2)利用函数增加、减少的定义判断f(x)在[2,6]上的单调性，再求最值．
解：(1)画出函数f(x)＝－x2＋2x的图像(如图)，由图像可知：f(x)在[0,1]上是增加的，在[1，＋∞)上是减少的，所以f(x)在[0，＋∞)上的最大值是f(1)＝1.
(2)任取x1，x2∈[2,6]，且x1＜x2，则
f(x2)－f(x1)＝－＝.
因为2≤x1＜x2≤6，
所以x2－x1＞0，(x2＋1)(x1＋1)＞0，
于是＞0，即f(x1)＜f(x2)，
所以函数f(x)＝在区间[2,6]上是增加的，所以函数f(x)＝在区间[2,6]的左、右端点处分别取得最小值、最大值，即最大值为f(6)＝＝－，最小值为f(2)＝＝－.
迁移与应用 (1)－6 解析：显然f(x)＝4－5x在区间[－1,2]上是减少的，所以最小值等于f(2)＝－6.
(2)解：在[3,4]上任取两个值x1，x2且x1＜x2，
则x2－x1＞0，f(x2)－f(x1)＝－
＝＝.
∵x1，x2∈[3,4]，∴(x2－1)(x1－1)＞0，
x1－x2＜0.∴f(x2)＜f(x1)．
∴f(x)＝在[3,4]上是减少的．
∴f(x)的最大值为f(3)＝，f(x)的最小值为f(4)＝.
【当堂检测】
1．A
2．D 解析：∵f(x)是R上的减函数，
∴2a－1＜0.∴a＜.
3．A 解析：由图像易知f(x)＝x2－4在区间[－2，－1]上是递减的，故其最大值为f(－2)＝0.
4．(3，＋∞) 解析：∵f(x)是R上的增函数，且f(x－1)＞f(2)，∴x－1＞2，∴x＞3.
5．证明：任取x1，x2∈(2，＋∞)，且x1＜x2，
则f(x2)－f(x1)＝x2＋－x1－
＝(x2－x1)＋
＝(x2－x1).
∵2＜x1＜x2，∴x2－x1＞0，x1x2＞4，x1x2－4＞0.
∴f(x2)＞f(x1)．
∴函数f(x)＝x＋在(2，＋∞)上是增加的．4.2 二次函数的性质
问题导学
一、二次函数的对称性和单调性
活动与探究1
已知函数f(x)＝－2x2－4x＋c.
(1)求该函数图像的对称轴；
(2)若f(－5)＝4，求f(3)的值．
迁移与应用
若函数f(x)＝x2＋bx＋c满足f(－2)＝f(4)．
(1)求f(x)图像的对称轴；
(2)比较f(－1)与f(5)的大小．
1．二次函数图像的对称轴通常有以下三种求法：
(1)利用配方法求二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为x＝－.
(2)若二次函数f(x)对任意x1，x2∈R都有f(x1)＝f(x2)，则对称轴为x＝.
(3)若二次函数y＝f(x)对定义域内所有x都有f(a＋x)＝f(a－x)，则对称轴为x＝a(a为常数)．
2．利用对称性，结合开口方向，可以比较二次函数函数值的大小．
(1)若抛物线开口向上，则离对称轴越近，函数值越小；
(2)若抛物线开口向下，则离对称轴越近，函数值越大．
二、二次函数在某区间上的最值(值域)
活动与探究2
已知函数f(x)＝－x2＋kx＋k在区间[2,4]上具有单调性，求实数k的取值范围．
迁移与应用
已知二次函数f(x)＝x2＋2(m－2)x＋m－m2，若函数在区间[2，＋∞)上为增加的，求m的取值范围．
(1)利用二次函数的单调性可以求解函数解析式中参数的范围，这是函数单调性的逆向思维问题．解答此类问题的关键在于借助二次函数的对称轴，通过集合间的关系建立变量之间的关系，进而求解参数的取值范围．
(2)函数在区间(a，b)上单调与函数的单调区间是(a，b)的含义不同，注意区分．前者只能说明(a，b)是相应单调区间的一个子集；而后者说明a，b就是增减区间的分界点，即函数在a，b两侧具有相反的单调性．
活动与探究3
已知函数f(x)＝x2＋2ax＋2，x∈[－5,5]．
(1)当a＝－1时，求函数f(x)的最大值和最小值；
(2)用a表示出函数f(x)在区间[－5,5]上的最值．
迁移与应用
1．函数y＝3x2－6x＋1，x∈[0,3]的最大值是__________，最小值是__________．
2．设f(x)＝x2－4x－4，x∈[t，t＋1](t∈R)，求函数f(x)的最小值g(t)的解析式．
求二次函数在某区间上的最值问题，要注意：
(1)考虑二次函数的对称轴在该区间的两侧还是在区间内，从而确定函数的单调区间；
(2)当对称轴在区间内部时，还要考虑区间的两个端点与对称轴的距离的远近，当开口向上时，离对称轴越远，函数值越大，离对称轴越近，函数值越小；反之，当开口向下时，离对称轴越远，函数值越小，离对称轴越近，函数值越大．
三、二次函数的实际应用问题
活动与探究4
某汽车城销售某种型号的汽车，进货单价为25万元，市场调研表明：当销售单价为29万元时，平均每周能售出8辆，而当销售单价每降低0.5万元时，平均每周能多售出4辆．如果设每辆汽车降价x万元，每辆汽车的销售利润为y万元(每辆车的销售利润＝销售单价－进货单价)．
(1)求y与x之间的函数关系式，并在保证商家不亏本的前提下，写出x的取值范围；
(2)假设这种汽车平均每周的销售利润为z万元，试写出z与x之间的函数关系式；
(3)当每辆汽车的销售单价为多少万元时，平均每周的销售利润最大？最大利润是多少？
迁移与应用
某动物园为迎接大熊猫，要建造两间一面靠墙的大小相同且紧挨着的长方形熊猫居室，若可供建造围墙的材料长30米，那么宽为__________米时，所建造的熊猫居室面积最大，最大面积是__________平方米．
解实际应用问题的方法步骤
当堂检测
1．函数f(x)＝x2＋mx＋1的图像关于直线x＝1对称，则( )．
A．m＝－2 B．m＝2
C．m＝－1 D．m＝1
2．函数y＝x2＋bx＋c在x∈[0，＋∞)上是递增的，则( )．
A．b≥0 B．b≤0
C．b＞0 D．b＜0
3．函数f(x)＝－2x2＋4x－1在区间[－1,4]上的最大值与最小值分别是( )．
A．1，－7 B．1，－17
C．－7，－17 D．－7，－16
4．某电子产品的利润y(元)关于产量x(件)的函数解析式为y＝－3x2＋90x，要使利润获得最大值，则产量应为( )．
A．10件 B．15件 C．20件 D．30件
5．已知函数y＝f(x)＝3x2＋2x＋1.
(1)求这个函数图像的顶点坐标和对称轴；
(2)求函数的最小值；
(3)已知f＝1，不计算函数值，求f(0)；
(4)不直接计算函数值，试比较f与f的大小．
提示：用最精炼的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记。
答案：
课前预习导学
【预习导引】
上 下 － 低 － 高 －
预习交流1 (1)提示：二次函数的单调区间主要取决于其开口方向(与a有关)和对称轴(与－有关)．
(2)提示：二次函数在一个闭区间上一定同时存在最大值与最小值，并且最值都是在该闭区间的端点或二次函数的对称轴处取到．
预习交流2 提示：直线x＝a.
课堂合作探究
【问题导学】
活动与探究1 思路分析：(1)通过配方可得对称轴方程；(2)可先由f(－5)＝4求得c的值，确定解析式后再计算f(3)的值，也可直接利用对称性计算．
解：(1)由于f(x)＝－2x2－4x＋c＝－2(x＋1)2＋c＋2.
所以其图像的对称轴为x＝－1.
(2)方法一：由f(－5)＝4可得－2×(－5)2－4×(－5)＋c＝4，
于是c＝34，因此f(x)＝－2x2－4x＋34.
所以f(3)＝－2×32－4×3＋34＝4.
方法二：由于f(x)的图像关于x＝－1对称，
又－5和3关于x＝－1对称，
所以f(－5)＝f(3)，而f(－5)＝4，故f(3)＝4.
迁移与应用 解：(1)由于f(－2)＝f(4)，而－2和4关于x＝1对称，所以f(x)图像的对称轴是x＝1.
(2)函数f(x)＝x2＋bx＋c图像的开口向上，对称轴为x＝1，所以离对称轴越近，函数值越小．
而|－1－1|＝2，|5－1|＝4，
所以f(－1)＜f(5)．
活动与探究2 思路分析：首先求出f(x)的单调区间，要使f(x)在[2,4]上具有单调性，须使区间[2,4]为f(x)单调区间的子集．从而建立不等式求解k的取值范围．
解：f(x)＝－x2＋kx＋k＝－2＋，
f(x)的图像是开口向下的抛物线，对称轴是直线x＝.
要使f(x)在区间[2,4]上具有单调性，
须[2,4] 或[2,4] .
即≥4或≤2，
解得k≥8或k≤4.
迁移与应用 解：由题意知：函数图像开口向上且对称轴x＝－，函数在区间[2，＋∞)上是增加的，故－≤2，解得m≥0.
活动与探究3 思路分析：(1)→→
(2)→→→
解：(1)当a＝－1时，
f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1.
因为1∈[－5,5]，
故当x＝1时，f(x)取得最小值，且f(x)min＝f(1)＝1；
当x＝－5时，f(x)取得最大值，
且f(x)max＝f(－5)＝(－5－1)2＋1＝37.
(2)函数f(x)＝x2＋2ax＋2＝(x＋a)2＋2－a2的图像开口向上，对称轴为直线x＝－a.
当－a≤－5，即a≥5时，函数在区间[－5,5]上是增加的，所以f(x)max＝f(5)＝27＋10a，
f(x)min＝f(－5)＝27－10a.
当－5＜－a≤0，即0≤a＜5时，函数图像如图(1)所示．
由图像可得f(x)min＝f(－a)＝2－a2，
f(x)max＝f(5)＝27＋10a.
当0＜－a＜5，即－5＜a＜0时，函数图像如图(2)所示，由图像可得f(x)max＝f(－5)＝27－10a，
f(x)min＝f(－a)＝2－a2.
当－a≥5，即a≤－5时，函数在区间[－5,5]上是减少的，所以f(x)min＝f(5)＝27＋10a，f(x)max＝f(－5)＝27－10a.
迁移与应用 1．10 －2 解析：y＝3(x－1)2－2，该函数的图像如图所示．
从图像易知：f(x)max＝f(3)＝10，f(x)min＝f(1)＝－2.
2．解：由f(x)＝x2－4x－4＝(x－2)2－8，x∈[t，t＋1]，知对称轴为直线x＝2.
当t≤2≤t＋1，即1≤t≤2时，g(t)＝f(2)＝－8；
当t＋1＜2，即t＜1时，f(x)在[t，t＋1]上是减少的，g(t)＝f(t＋1)＝t2－2t－7.
当t＞2时，f(x)在[t，t＋1]上是增加的，
g(t)＝f(t)＝t2－4t－4.
综上，可得g(t)＝
活动与探究4 思路分析：解决本题需弄清楚：每辆车的销售利润＝销售单价－进货单价，先求出每辆车的销售利润，再乘以售出辆数可得每周销售利润．通过二次函数求最值可得汽车合适的销售单价．
解：(1)因为y＝29－25－x，
所以y＝－x＋4(0≤x≤4)．
(2)z＝y＝(8x＋8)(－x＋4)＝－8x2＋24x＋32(0≤x≤4)．
(3)由(2)知，z＝－8x2＋24x＋32＝－8(x－1.5)2＋50(0≤x≤4)，故当x＝1.5时，zmax＝50.
所以当销售单价为29－1.5＝27.5万元时，每周的销售利润最大，最大利润为50万元．
迁移与应用 5 75 解析：设长方形的宽为x米，则每个长方形的长为米，其中0＜x＜10.
故所求居室面积S＝x(30－3x)＝3(10x－x2)＝－3(x－5)2＋75(0＜x＜10)，
所以当x＝5时，Smax＝75(平方米)．
即当宽为5米时，才能使所建造的熊猫居室面积最大，为75平方米．
【当堂检测】
1．A 解析：函数f(x)＝x2＋mx＋1的图像的对称轴为x＝－，且只有一条对称轴，所以－＝1，即m＝－2.
2．A 解析：函数y＝x2＋bx＋c的对称轴是x＝－；要使该函数在x∈[0，＋∞)上递增，须－≤0，所以b≥0.
3．B 解析：由于f(x)＝－2x2＋4x－1＝－2(x－1)2＋1，图像的对称轴为x＝1，开口向下，所以当x＝1时，f(x)取最大值1，当x＝4时，f(x)取最小值－17.
4．B 解析：由二次函数解析式y＝－3x2＋90x＝－3(x－15)2＋675可知，当x＝15时，y取最大值．
5．解：y＝f(x)＝3x2＋2x＋1＝32＋.
(1)顶点坐标为，对称轴是直线x＝－.
(2)当x＝－时，ymin＝.
(3)∵函数图像关于直线x＝－对称，
∴f＝f.
∴f(0)＝f＝f＝f＝1.
(4)∵f＝f＝f＝f，
而函数在上是增加的，＜，
∴f＜f，即f＜f.
或＜.
∴f＜f.2.1 函数概念
1．了解生活中的变量关系．
2．理解函数的概念．
3．会求出简单函数的定义域、值域．
1．生活中的变量关系
(1)依赖关系：在某变化过程中有两个变量，如果其中一个变量的值发生了变化，另一个变量的值也会随之发生变化，那么就称这两个变量具有依赖关系．如果变量x，y具有依赖关系，对于其中一个变量x的每一个值，另一个变量y都有________的值时，那么称变量y是变量x的函数，即这两个变量之间具有函数关系．
(2)非依赖关系：在某变化过程中有两个变量，如果其中一个变量的值发生了变化，另一个变量的值不受任何影响，那么就称这两个变量具有非依赖关系．
函数关系是特殊的依赖关系，具有依赖关系的两个变量有的是函数关系，有的不是函数关系．因此说依赖关系不一定是函数关系，而函数关系是依赖关系．例如，积雪层对越冬作物具有防冻保暖作用，大雪可以防止土壤中的热量向外散发，又可阻止外界冷空气的侵入，具有增墒肥田作用．所以下雪与来年的丰收具有依赖关系，但不是函数关系．
【做一做1－1】 张大爷种植了10亩小麦，每亩施肥x千克，小麦总产量为y千克，则( )．
A．x，y之间有依赖关系 B．x，y之间有函数关系
C．y是x的函数 D．x是y的函数
【做一做1－2】 某人骑车的速度是v千米/时，他骑t小时，走的路程s是多少？路程是时间的函数吗？
2．函数的概念
给定两个非空____________A和B，如果按照某个对应关系f，对于集合A中________数x，在集合B中都存在____________确定的数f(x)与之对应，那么就把对应关系f叫作定义在集合A上的函数，记作f：A→B，或y＝______________，x∈A.此时，x叫作自变量，集合A叫作函数的定义域，集合__________叫作函数的值域．习惯上我们称y是x的函数．
(1)符号y＝f(x)表示变量y是变量x的函数，它仅仅是函数符号，并不表示y等于f与x的乘积；符号f(x)与f(m)既有区别又有联系，当m是变量时，函数f(x)与函数f(m)是一样的；当m是常数时，f(m)表示自变量x＝m时对应的函数值，是一个常量．
(2)函数的三要素：定义域、对应关系、值域．有时给出的函数没有明确说明定义域，这时，它的定义域就是自变量的允许取值范围，此时的定义域又称为此函数的“自然定义域”；如果函数涉及实际问题，它的定义域还需使实际问题有意义，此时的定义域又称为此函数的“临时定义域”．
【做一做2】 下列式子中不能表示函数y＝f(x)的是( )．
A．x＝y2＋1 B．y＝2x2＋1
C．x－2y＝6 D．x＝
3．区间与无穷的概念
(1)区间
设a，b是两个实数，而且a＜b，规定如下表：
定义 名称 符号 几何表示
{x|a≤x≤b} 闭区间 ______
{x|a＜x＜b} 开区间 ______
{x|a≤x＜b} 左闭右开区间 ______
{x|a＜x≤b} 左开右闭区间 ______
这里实数a，b都叫作相应区间的________________．
并不是所有的数集都能用区间表示．例如：数集M＝{1,2,3,4}就不能用区间表示．由此可见，区间仍是集合，是一类特殊数集的另一种符号语言．
(2)无穷的概念及无穷区间
定义 R {x|x≥a} {x|x＞a} {x|x≤a} {x|x＜a}
符号 (－∞，＋∞) ________ ________ ________ ________
无穷大“∞”是一个符号，不是一个具体的数．因此不能将[1，＋∞)写成[1，＋∞]．
【做一做3】 将下列集合用区间表示出来，并在数轴上表示区间．
(1){x|x≥1}；
(2){x|x＜1或x≥2}；
(3){x|2≤x≤8且x≠5}．
答案：1．(1)唯一确定
【做一做1－1】 A
【做一做1－2】 解：t小时走的路程是s＝vt.
由于时间t每取一个值，路程s有唯一确定的值与之对应，所以路程是时间的函数．
2．数集 任何一个 唯一 f(x) {f(x)|x∈A}
【做一做2】 A A选项中，给定一个x(比如x＝5)，有两个y(y＝±2)与它对应，所以y不是x的函数．同理可验证其他选项中y都是x的函数．
3．(1)[a，b] (a，b) [a，b) (a，b] 端点 (2)[a，＋∞)
(a，＋∞) (－∞，a] (－∞，a)
【做一做3】 解：(1)[1，＋∞)；
(2)(－∞，1)∪[2，＋∞)；
(3)[2,5)∪(5,8]．
数轴表示分别如图(1)(2)(3)．
如何理解函数符号f(x)的意义？
剖析：(1)符号“y＝f(x)”中的“f”表示对应法则，在不同的具体函数中，“f”的含义不一样，可以把函数的对应法则“f”形象地看作一个“暗箱”．例如y＝f(x)＝x2，可以将其看作输入x，输出x2，于是“暗箱”相当于一个“平方机”的作用(如图所示)，则显然应该有f(a)＝a2，f(m＋1)＝(m＋1)2，f(x＋1)＝(x＋1)2.
(2)符号y＝f(x)是“y是x的函数”的数学表示，应理解为x是自变量，它是法则所施加的对象；f是对应法则，它可以是一个或几个解析式，可以是图像、表格，也可以是文字描述；y是自变量的函数，当x允许取某一具体值时，相应的y值为与该自变量值对应的函数值．y＝f(x)仅仅是函数符号，不是表示“y等于f与x的乘积”．在研究函数时，除用符号f(x)外，还常用g(x)，F(x)，G(x)等来表示函数．
(3)f(x)与f(a)的区别与联系：f(a)表示当x＝a时，函数f(x)的值，是一个常量，而f(x)是自变量x的函数，一般情况下，它是一个变量，f(a)是f(x)的一个特殊值．如一次函数f(x)＝3x＋4，当x＝8时，f(8)＝3×8＋4＝28是一个常数．
y＝f(x)是“y是x的函数”的数学表示，它也未必就是一个解析式，y＝f(a)表示自变量x＝a时的函数值，它是一个常数；y＝f(x)是函数，通常是一个依赖于x变化而变化的变量．函数还可以用其他一些符号来表示，例如：F(x)，G(x)，h(x)，…，也就是说，不管用哪一个字母表示，它总是表达同样一个含义：y是x的函数．
题型一 函数的概念
【例1】 判断下列函数是否为同一函数：
(1)f(x)＝与g(x)＝
(2)f(x)＝与g(x)＝；
(3)f(x)＝x2－2x－1与g(t)＝t2－2t－1；
(4)f(x)＝1与g(x)＝x0(x≠0)．
分析：判断函数的定义域和对应关系是否一致．
反思：判断两个函数是否相同，只需判断这两个函数的定义域与对应关系是否相同．
(1)定义域和对应关系都相同，则两个函数表示同一函数；
(2)定义域不同，则两个函数不表示同一函数；
(3)对应关系不同，则两个函数不表示同一函数；
(4)即使定义域和值域都分别相同的两个函数，也不一定是同一函数，例如y＝x和y＝2x－1的定义域和值域都是R，但不是同一函数；
(5)两个函数是否相同，与自变量是什么字母无关．
题型二 求函数的定义域
【例2】 求下列函数的定义域：
(1)y＝2－；
(2)y＝.
分析：求函数的定义域就是求使函数表达式有意义的自变量的取值范围，可考虑列不等式或不等式组．
反思：1.如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集R.
2．如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合．
3．如果f(x)是二次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合．
4．如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数定义域是使各部分式子都有意义的实数集合(即求各部分定义域的交集)．
5．对于由实际背景确定的函数，其定义域还要受实际问题的制约．
题型三 求函数值
【例3】 已知f(x)＝(x∈R，且x≠－1)，g(x)＝x2＋2(x∈R)．
(1)求f(2)，g(2)的值；
(2)求f(g(2))的值．
分析：解决求值问题，先分清对应法则，再代入求值．
反思：(1)求函数值问题，首先确定出函数的对应法则f的具体含义，再代入求值．
(2)求类似f(g(2))的值，要注意f，g作用的对象，按“由内向外”的顺序求值．
题型四 求函数的值域
【例4】 求下列各函数的值域：
(1)y＝x＋1，x∈{2,3,4,5,6}； (2)y＝＋1；
(3)y＝x2－4x＋6； (4)y＝x＋.
分析：确定函数的值域必须认真分析自变量x与对应法则之间的联系，关键是弄清自变量变化时由对应法则确定函数值的变化规律．
反思：求函数值域的方法：
(1)图像法：借助于函数值域的几何意义，利用函数的图像求值域；
(2)观察法：对于解析式比较简单的函数，利用常见的结论如x2≥0，|x|≥0，≥0等观察出函数的值域；
(3)换元法：利用换元法转化为求常见函数如二次函数的值域等．
论函数的值域要先考虑函数的定义域，本例(1)中，如果忽视函数的定义域，那么会错误地得出函数值域为R.避免此类错误的方法是研究函数时要遵循定义域优先的原则．
题型五 易错辨析
易错点 求函数定义域时非等价化简解析式致错
【例5】 求函数y＝·的定义域．
错解：y＝·＝，由x2－4≥0，得x≥2或x≤－2，∴函数的定义域为{x|x≥2或x≤－2}．
错因分析：错解在求函数的定义域时，对函数的解析式进行了不等价变形，导致定义域范围扩大．
答案：【例1】 解：(1)f(x)的定义域中不含有元素0，而g(x)的定义域为R，即定义域不相同，所以不是同一函数．
(2)f(x)的定义域为[0，＋∞)，而g(x)的定义域为(－∞，－1]∪[0，＋∞)，定义域也不相同，所以不是同一函数．
(3)尽管两个函数的自变量一个用x表示，另一个用t表示，但它们的定义域相同，对应关系相同，即对定义域内同一个自变量，根据表达式，都能得到同一函数值，因此二者为同一函数．
(4)f(x)的定义域为R，g(x)的定义域为{x|x≠0}，因此也不是同一函数．
【例2】 解：(1)令即所以0≤x≤.
所以函数的定义域为.
(2)令即
所以x＜0且x≠－1.
所以函数的定义域为{x|x＜0且x≠－1}．
【例3】 解：(1)∵f(x)＝，∴f(2)＝＝；
又g(x)＝x2＋2，∴g(2)＝22＋2＝6.
(2)f(g(2))＝f(6)＝＝.
【例4】 解：(1)当x分别取2,3,4,5,6时，y＝x＋1分别取3,4,5,6,7，∴函数的值域为{3,4,5,6,7}．
(2)∵函数的定义域为[0，＋∞)，
当x≥0时，≥0，
∴y≥1，即函数y＝＋1的值域为[1，＋∞)．
(3)函数的定义域为R.
∵y＝x2－4x＋6＝(x－2)2＋2≥2，
∴该函数的值域为[2，＋∞)．
(4)换元法：
设t＝，则x＝且t≥0.
问题转化为求y＝＋t(t≥0)的值域．
∵y＝＋t＝(t＋1)2(t≥0)，(t＋1)2≥1，
∴y的取值范围为.
故该函数的值域为.
【例5】 正解：由得即x≥2，
∴函数的定义域为{x|x≥2}．
1 下列四个图形中，不是以x为自变量的函数的图像是( )．
2 已知函数f(x)＝，则f(2)等于( )．
A．3 B．2 C．1 D．0
3 函数y＝的定义域为( )．
A．{x|x≤1} B．{x|x≥0}
C．{x|x≥1或x≤0} D．{x|0≤x≤1}
4 函数y＝，x∈[1,5)的值域是__________．
5 判断下列各组的两个函数是否相等，并说明理由．
(1)y＝x－1，x∈R与y＝x－1，x∈N；
(2)y＝与y＝；
(3)y＝与u＝.
答案：1．C 2.A
3．D 要使函数有意义须解得0≤x≤1.
4. (1,5] 画出函数的图像，如图所示，观察图像得图像上所有点的纵坐标的取值范围是(f(5)，f(1)]，则函数的值域是(1,5]．
5．解：(1)不相等．前者的定义域是R，后者的定义域是N，由于它们的定义域不同，故不相等．
(2)不相等．前者的定义域是R，后者的定义域是{x|x≥0}，它们的定义域不同，故不相等．
(3)相等．定义域相同均为非零实数，对应关系相同，都是自变量取倒数后加1，故相等．§5 简单的幂函数
1．了解幂函数的概念．
2．理解函数的奇偶性的含义，掌握函数的奇偶性的判断方法及应用．
1．幂函数
如果一个函数，__________是自变量x，__________是常量α，即y＝__________，这样的函数称为幂函数．
根据课程标准的要求，仅要求学习指数α＝－1，，1,2,3，共5种幂函数的性质．
【做一做1－1】 下列函数中是幂函数的是( )．
A．y＝xx B．y＝
C．y＝ D．y＝
【做一做1－2】 幂函数f(x)的图像过点，则f(x)＝__________.
2．奇函数
一般地，图像关于____对称的函数叫作奇函数．
函数f(x)是奇函数
对定义域内任意x，有f(－x)＝－f(x)
对定义域内任意x，有f(－x)＋f(x)＝0
f(x)的图像关于原点对称．
【做一做2】 设α∈，则使函数y＝xα的定义域为R且为奇函数的所有α值为( )．
A．1,3 B．－1,1
C．－1,3 D．－1,1,3
3．偶函数
一般地，图像关于_____________对称的函数叫作偶函数．
函数f(x)是偶函数
对定义域内任意x，有f(－x)＝f(x)
对定义域内任意x，有f(－x)－f(x)＝0
f(x)的图像关于y轴对称．
【做一做3】 若函数y＝(x＋1)(x－a)为偶函数，则a＝( )．
A．－2 B．－1 C．1 D．2
4．奇偶性
(1)定义：当函数f(x)是奇函数或偶函数时，称函数f(x)具有奇偶性．
(2)几何意义：定义域关于原点对称；图像关于____或____对称．
函数的奇偶性是在整个定义域上的性质，是“整体性质”，而函数的单调性是在函数定义域或其子集上的性质，是“局部”性质．
【做一做4】 下列函数图像中能表示函数具有奇偶性的可能是( )．
答案：1．底数 指数 xα
【做一做1－1】 D 根据幂函数的定义易得到答案．
【做一做1－2】 x－3 设幂函数的解析式为f(x)＝xα(α为常数)，则＝2α，解得α＝－3，即函数的解析式为f(x)＝x－3.
2．原点
【做一做2】 A y＝x－1＝的定义域不是R，y＝＝的定义域不是R，y＝x1与y＝x3的定义域是R且为奇函数．
3．y轴
【做一做3】 C 令y＝f(x)，取特殊值x＝1，
则f(1)＝2(1－a)；
取特殊值x＝－1，则f(－1)＝0.
∵y＝f(x)为偶函数，
∴f (1)＝f(－1)，即2(1－a)＝0.∴a＝1.
4．(2)原点 y轴
【做一做4】 B
1．幂函数y＝xα(α是常数)的图像的特点
剖析：(1)所有的图形都通过(1,1)点．
(2)当α大于0时，幂函数在(0，＋∞)上是增加的，而α小于0时，幂函数在(0，＋∞)上是减少的．
(3)当α＞1时，在(0，＋∞)上幂函数图像向下凸起，当0＜α＜1时，幂函数图像向上凸起．
(4)当α小于0时，α越小，图像倾斜程度越大．
(5)α大于0，函数过(0,0)点；α小于0，函数不过(0,0)点．
2．对函数奇偶性定义的理解
剖析：(1)从函数奇偶性定义来看，奇、偶函数的定义域一定关于原点对称，否则此函数是非奇非偶函数．所以判断函数的奇偶性，应先看其定义域是否关于原点对称．
(2)函数的奇偶性是相对于函数的定义域而言，这一点与函数单调性不同，从这个意义上说，函数单调性是函数的“局部”性质，而奇偶性是函数的“整体”性质．
(3)函数f(x)＝c(c是常数)是偶函数，当c＝0时，该函数既是奇函数又是偶函数．
题型一判断幂函数
【例1】 在函数y＝，y＝2x2，y＝x2＋x中，幂函数的个数为( )．
A．0 B．1 C．2 D．3
反思：幂函数的定义要求比较严格，系数为1，底数是x，α∈R为常数．形如y＝axα(a≠1)等都不是幂函数．
题型二 判断函数的奇偶性
【例2】 判断下列函数的奇偶性．
(1)f(x)＝x3＋x；
(2)f(x)＝(x－1)·；
(3)f(x)＝＋.
分析：利用函数奇偶性的等价关系来判断．
反思：(1)判定函数奇偶性一般不用定义判定，而利用等价关系f(－x)＝±f(x)．
(2)判断函数奇偶性分两步：①定义域是否关于原点对称；②f(－x)＝f(x)还是f(－x)＝－f(x)．
(3)如果一个函数的定义域关于坐标原点不对称，那么这个函数既不是奇函数，也不是偶函数．
(4)定义域关于原点对称，满足f(－x)＝－f(x)，且f(－x)＝f(x)的函数，既是奇函数，又是偶函数，如f(x)＝0，x∈R.
题型三 函数奇偶性的应用
【例3】 若f(x)是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f(x)＝x(1－x)，求函数f(x)的解析式．
分析：将x＞0时的解析式转化为x＜0时的解析式求解．
反思：若函数f(x)是奇函数，f(0)有意义，则f(0)＝0；若函数f(x)是偶函数，则f(x)＝f(－x)＝f(|x|)＝f(－|x|)．
解决本题的关键是借助于函数的奇偶性，利用x＜0时的解析式求得x＞0时的解析式．
题型四 抽象函数的奇偶性的判断
【例4】 若函数f(x)的定义域为R，且对任意x，y，f(x)＋f(y)＝f(x＋y)恒成立，试判断f(x)的奇偶性；又若f(8)＝4，求f的值．
分析：因为f(x＋y)＝f(x)＋f(y)对任意x，y恒成立，所以可对x，y取某些特殊值．
反思：此题给出的函数无具体的解析式称之为抽象函数，要判断其奇偶性，需要充分利用所给定的条件，对变量赋值．
赋值法，也即特殊值代入法，是解决抽象函数恒成立问题的常用方法．
题型五 易错辨析
易错点 忽略分段函数的整体性致错
【例5】 判断函数f(x)＝的奇偶性．
错解：∵f(x)＝x2＋x－1既不是奇函数也不是偶函数，f(x)＝－x2＋x＋1既不是奇函数也不是偶函数，
∴f(x)＝既不是奇函数也不是偶函数．
错因分析：错解忽略了分段函数的整体性，把分段函数f(x)看成了两个函数，实际上分段函数是一个函数，需要整体研究．
答案：【例1】 B 根据定义，仅有y＝是幂函数．
【例2】 解：(1)∵函数定义域为R，且f(－x)＝(－x)3＋(－x)＝－x3－x＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．
(2)∵定义域为{x|x＞1或x≤－1}，定义域关于原点不对称，
∴f(x)为非奇非偶函数．
(3)∵定义域为{－2,2}，任取x∈{－2,2}，
则－x∈{－2,2}．f(－x)＝0＝f(x)＝－f(x)，
∴f(x)既是奇函数又是偶函数．
【例3】 解：∵f(x)是定义在R上的奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)．
当x＞0时，－x＜0，
∴f(－x)＝－x(1＋x)．∴f(x)＝x(1＋x)．
当x＝0时，f(－0)＝－f(0)，
即f(0)＝－f(0)，∴f(0)＝0.
∴函数f(x)的解析式为f(x)＝
【例4】 解：令x＝y＝0，则f(0)＋f(0)＝f(0)，
∴f(0)＝0.
令y＝－x，则f(x)＋f(－x)＝f(0)＝0，
∴f(－x)＝－f(x)．∴函数f(x)是奇函数．
令y＝x，由f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，
可得f(2x)＝2f(x)，由此可得
4＝f(8)＝2f(4)＝4f(2)＝8f(1)＝16f，
∴f＝.
∴f＝－f＝－.
【例5】 正解：函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于坐标原点对称．
当x＜0时，－x＞0，于是f(－x)＝－(－x)2＋(－x)＋1＝－x2－x＋1＝－(x2＋x－1)＝－f(x)；
当x＞0时，－x＜0，于是f(－x)＝(－x)2＋(－x)－1＝x2－x－1＝－(－x2＋x＋1)＝－f(x)．
∴当x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)时，f(－x)＝－f(x)，
故f(x)是奇函数．
1 (2011黑龙江大庆高一期末)下列所给出的函数中，是幂函数的是( )．
A．y＝x－3 B．y＝－x3
C．y＝2x3 D．y＝x3－1
2 函数f(x)＝的图像关于( )．
A．y轴对称 B．直线y＝－x对称
C．坐标原点对称 D．直线y＝x对称
3 幂函数f(x)的图像过，则f(4)等于( )．
A．16 B．2 C. D.
4 设奇函数y＝f(x)，x∈[－2，a]，满足f(－2)＝11，则f(a)＝__________.
5 函数y＝f(x)是偶函数，且在(－∞，0]上是增加的，试比较与f(1)的大小．
答案：1．A
2．C 定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，f(－x)＝＝－f(x)，则函数f(x)是奇函数，其图像关于坐标原点对称．
3．C 设f (x)＝xα，则2α＝，所以，f(x)＝，f(4)＝.故选C.
4．－11 由奇函数的定义域关于原点对称知a＝2，且f(a)＝f(2)＝－f(－2)＝－11.
5．解：∵－1＜，且函数y＝f(x)在(－∞，0]上是增加的，
∴f(－1)＜.
又∵y＝f(x)是偶函数，
∴f(－1)＝f(1)．∴f(1)＜.§1 生活中的变量关系
问题导学
一、依赖关系与函数关系的判断
活动与探究1
下列过程中，各变量之间是否存在依赖关系？其中哪些是函数关系？
(1)将保温瓶中的热水倒入茶杯中缓慢冷却，并将一温度计放入茶杯中，每隔一段时间，观察温度计示数的变化，冷却时间与温度计示数的关系；
(2)商品的销售额与广告费之间的关系；
(3)家庭的食品支出与电视机价格之间的关系；
(4)高速公路上行驶的汽车所走的路程与时间的关系．
迁移与应用
1．下面的变量与变量之间是否具有依赖关系？是否具有函数关系？
①一天中温度与时间的关系；
②汽车在行驶过程中的耗油量与时间的关系；
③油菜在生长期内株高与施肥量的关系；
④人的身高与体重之间的关系；
⑤一枚炮弹发射后，飞行高度与时间的关系．
(1)判断两个变量之间是否具有依赖关系，只需分析当其中一个变量变化时，另一个变量是否也发生变化即可，如果发生变化，则它们具有依赖关系，如果不发生变化，则它们不具有依赖关系．
(2)判断两个具有依赖关系的变量是否具有函数关系时，可分以下两个步骤：
①确定因变量和自变量．
②判断对于自变量的每一个确定值，因变量是否有唯一确定的值与之对应．若满足，则是函数关系，否则不是函数关系．
二、结合图像分析两个变量之间的关系
活动与探究2
如图所示为某市一天24小时内的气温变化图．
(1)上午8时的气温是多少？全天的最高、最低气温分别是多少？
(2)大约在什么时刻，气温为0 °C
(3)大约在什么时刻内，气温在0 °C以上？两个变量有什么特点，它们具有怎样的对应关系？
迁移与应用
如图所示，小明某天上午9时骑自行车离开家，15时回到家，他有意描绘了离家的距离与时间的变化情况．
(1)图像表示了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？
(2)在10时和13时，他离家分别有多远？
(3)他在什么时间段离家最远？
(4)小明离家的时刻是离家的距离的函数吗？
(1)结合图像分析两个变量之间的关系时，首先要清楚横轴、纵轴的含义，明确单位等；其次要注意观察，分析图像中蕴含的数据信息，特别注意发现图像中的关键点，如图像与横轴、纵轴的交点，图像的最高点、最低点等．
(2)由图像判断两个变量是否具有函数关系时，首先要区分好自变量和因变量，其次要看对于自变量的每一个值，因变量是否都有唯一确定的值与之对应．
三、结合表格分析两个变量之间的关系
活动与探究3
口香糖的生产已有很长的历史，咀嚼口香糖有很多益处，但其残留物也会带来污染，为了研究口香糖的黏附力与温度的关系，一位同学通过实验，测定了不同温度下除去糖分的口香糖与瓷砖地面的黏附力，得到了如下表所示的一组数据：
(1)请根据上述数据，绘制出口香糖黏附力F随温度t变化的图像；
(2)根据上述数据以及得到的图像，你能得到怎样的实验结论呢？
迁移与应用
1．下表给出的y与x的关系，是函数关系吗？
x 1 921 1 927 1 949 1 949＜x＜1 997 1 997 1 999 2 010
y 1 2 3 4 5 6 7
2．以下是某电视台的广告价格表(2013年1月报价，单位：元)
试问：广告价格与播出时间之间的关系是否是函数关系？
具有依赖关系的两个变量在实际问题中常常需要用图像或式子表示出来，通过有限的数据关系，我们可以表示出两个变量的依赖关系，从而得到其余各个数据之间的依赖关系，从而指导我们的生活，使我们的利益取得最优化．
当堂检测
1．下列说法不正确的是( )．
A．依赖关系不一定是函数关系
B．函数关系是依赖关系
C．如果变量m是变量n的函数，那么变量n也是变量m的函数
D．如果变量m是变量n的函数，那么变量n不一定是变量m的函数
2．李明骑车上学，一开始以某一速度前进，途中车子发生故障，只好停下来修车，车修好后，因怕耽误上学时间，于是就加快了车速，在下面给出的四个函数示意图中(s为距离，t为时间)符合以上情况的是( )．
3．给出下列关系：
①人的年龄与他(她)拥有的财富之间的关系；
②抛物线上的点的纵坐标与该点的横坐标之间的关系；
③橘子的产量与气候之间的关系；
④某同学在6次考试中的数学成绩与他的考试号之间的关系．
其中不是函数关系的有__________．(只填序号)
4．下图是我国2012年某地降雨量的统计情况，图中横轴为月份(单位：月)，纵轴为降雨量(单位：cm)．
由图中曲线可判断该地2012年的降雨量与时间是否具有函数关系？
5．判断下列变量间是否存在函数关系：
(1)矩形的面积一定时，其长与宽；
(2)等腰三角形的底边边长与周长；
(3)关系式y2＝x中的y与x.
提示：用最精炼的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记。
答案：
课前预习导学
【预习导引】
1．依赖关系 因变量 自变量
2．(1)函数 (2)每一个值 唯一确定
预习交流1 提示：根据定义，函数关系是特殊的依赖关系，具有依赖关系的两个变量有的是函数关系，有的不是函数关系．因此说依赖关系不一定是函数关系，但函数关系一定是依赖关系．
预习交流2 提示：人的健康状况和饮食之间有一定的依赖关系，但这种关系并不是函数关系，因为健康状况并不单纯由人的饮食而定，还受环境、锻炼等因素的影响．
课堂合作探究
【问题导学】
活动与探究1 思路分析：两个变量中的一个变量发生变化时，如果另一个变量也发生变化，则它们具有依赖关系；如果另一个变量发生变化且取值唯一，则它们具有函数关系．
解：(1)冷却时间与温度计示数具有依赖关系，根据函数的定义知，二者之间存在函数关系，且冷却时间是自变量，温度计示数是因变量．反之不行．
(2)商品的销售额与广告费这两个变量在现实生活中存在依赖关系，但商品的销售额还受其他因素的影响，比如产品的质量、价格、售后服务等，所以商品的销售额与广告费之间是不确定性关系，即不是函数关系．
(3)家庭的食品支出与电视机价格之间没有依赖关系，更不具有函数关系．
(4)高速公路上行驶的汽车所走的路程与时间这两个变量存在依赖关系，且对于每一个时间的值，路程是唯一确定的，因此它们之间存在函数关系，且时间是自变量，路程是因变量．反之也是．
综上可知，(1)(4)中的变量间具有依赖关系，且是函数关系；(2)中变量间存在依赖关系，但不是函数关系；(3)中两个变量不存在依赖关系，也不具有函数关系．
迁移与应用 1．解：①②③④⑤中变量与变量之间都具有依赖关系．其中①②⑤中两个变量之间的依赖关系都具有一个共同的特点，即任给一个时间的值，该时的温度、汽车的耗油量、炮弹飞行的高度就唯一确定，也就是说，对于一个变量的每一个值，另一个变量都有唯一确定的值与之对应，所以它们之间的关系是确定性关系，即是函数关系．其中①中的自变量是时间，因变量是温度，反之不行，②中的自变量是时间，因变量是耗油量，反之也是，⑤中的自变量是时间，因变 量是飞行高度，反之不行．而③④中两个变量尽管具有依赖关系，但油菜生长期内的株高除与施肥量有关外，还与灌水、光照等因素有关，人的身高越高，其体重不一定越重，所以它们之间的关系不具有确定性，不是函数关系．
活动与探究2 思路分析：对照图像，分析时间t与气温θ的取值情况以及它们之间的对应关系，结合函数关系的定义判断它们之间的关系．
解：(1)上午8时的气温是0 °C，全天最高气温大约是9 °C，在14时达到．全天最低气温大约是－2 °C，在4时达到．
(2)大约在8时和22时，气温为0 °C.
(3)在8时到22时之间，气温在0 °C以上，变量0≤t≤24，变量－2≤θ≤9，由于图像是连续的，可知它们之间具有随着时间的增加，气温先降再升再降的变化趋势，所以气温与时间具有依赖关系，也具有函数关系．
迁移与应用 解：(1)图像表示了时间与距离两个变量之间的关系，时间是自变量，距离是因变量．
(2)在10时和13时，他离家分别为10千米和30千米．
(3)他在12时至13时离家最远．
(4)不是，因为对于某一个确定的离家距离，与之对应的时间的值不是唯一的．
活动与探究3 思路分析：用横轴表示温度t，用纵轴表示口香糖黏附力F，根据表格中的数据在坐标系中描出各点，即可画出图像；结合图像可分析黏附力F与温度t之间的关系．
解：(1)图像如下：
(2)实验结论：①随着温度的升高，口香糖的黏附力先增大后减小；②当温度在37 °C时，口香糖的黏附力最大．
迁移与应用 1．解：x，y的取值范围分别是A＝{1 921,1 927，1 949，1 997，1 999,2 010}∪{x|1 949＜x＜1 997}，B＝{1,2,3,4,5,6,7}，它们都是非空数集，且按照表格中给出的对应关系，对任意的x∈A，在B中都有唯一确定的值与之对应，所以y是x的函数，即y与x是函数关系．
2．解：不是函数关系，因为广告价格既与播出时间段有关，也与播出时长有关．
【当堂检测】
1．C
2．C 解析：因为李明骑车上学路上停留了一段时间，故该段图像平行于横轴，所以只有C符合条件．
3．①③④
4．解：因为对于2012年的每一个月都有唯一的降雨量与之对应，故可得2012年的降雨量与时间具有函数关系，且自变量是时间，因变量是降雨量．
5．解：(1)矩形的面积一定时，其长取每一个确定的值，其宽都有唯一确定的值与之对应，所以长与宽存在函数关系，且长是自变量，宽是因变量，反之也是．
(2)等腰三角形的周长受底边边长和腰长两个因素的影响，当其底边长取每一个确定的值时，其周长不能唯一确定，故周长与底边边长之间不具有函数关系．
(3)在关系式y2＝x中，当y取每一个值时，x都有唯一的值与之对应，所以y与x存在函数关系，且y是自变量，x是因变量，反之不行．§2 对函数的进一步认识
2.1 函数概念
问题导学
一、函数关系的判断
活动与探究1
判断下列对应关系能否构成集合A到B的函数？
(1)A＝R，B＝{x|x＞0}，f：x→y＝|x|；
(2)A＝Z，B＝Z，f：x→y＝x2＋x；
(3)A＝Z，B＝Z，f：x→y＝；
(4)A＝N，B＝R，f：x→y＝±.
迁移与应用
设集合A＝{x|1≤x≤2}，B＝{y|1≤y≤4}，则下述对应关系f中，不能构成集合A到B的函数是__________．(只填序号)
①f：x→y＝x2；②f：x→y＝3x－2；
③f：x→y＝－x＋4；④f：x→y＝4－x2.
判断所给对应关系是否是函数关系的两个条件是：
(1)看是否是两个非空数集的对应．
(2)看是否满足任意性、存在性、唯一性．
总之，对应关系可以一对一，多对一，但不可一对多．
二、相同函数的判断问题
活动与探究2
下列各组函数是否表示同一函数？为什么？
(1)f(x)＝|x|，φ(t)＝；(2)y＝，y＝()2；
(3)y＝·，y＝；
(4)y＝·，y＝.
迁移与应用
下列函数与函数y＝x－1是同一函数吗？请说明理由：
(1)y＝；(2)y＝；(3)y＝t－1.
(1)判定两个函数是否表示同一函数，要看三要素的实质是否对应相同．由于没有特殊的要求，函数的值域可由定义域及对应关系来确定，因而只需判断定义域和对应关系是否都相同即可．
(2)两个函数是否相同，与表示自变量和函数值的字母无关．
三、求函数的定义域
活动与探究3
(1)求下列函数的定义域：
①y＝(x－1)0；②y＝；③y＝.
(2)设一个矩形的周长为80，其中一边长为x，求它的面积关于x的函数解析式，并写出定义域．
迁移与应用
1．函数f(x)＝＋的定义域是( )．
A．[2,3)
B．(3，＋∞)
C．[2,3)∪(3，＋∞)
D．(2,3)∪(3，＋∞)
2．如果关于x的函数f(x)＝的定义域是{x|x≤1}，则实数a等于__________．
1．求函数的定义域应遵循的几个依据
(1)f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集R.
(2)f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合．
(3)f(x)是偶次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合．
(4)f(x)是由几部分数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合(即使每个部分有意义的实数的集合的交集)．
(5)f(x)是零次幂时，底数不能为零．
2．求函数的定义域时应注意的几点：
(1)求函数的定义域之前，不能随意对函数解析式进行化简变形．
(2)函数的定义域必须要写成集合或区间的形式．
(3)实际应用问题中函数的定义域还必须要考虑变量的实际意义．
四、求函数值及函数的值域
活动与探究4
已知f(x)＝(x∈R，且x≠－1)，g(x)＝x2＋2(x∈R)．
(1)求f(2)，g(2)的值；
(2)求f[g(2)]的值；
(3)求f(2＋x)及f[g(x)]；
(4)求f(x)，g(x)的值域．
迁移与应用
1．求下列函数的值域：
(1)y＝2x＋1，x∈{1,2,3,4,5}；
(2)y＝2x＋1，x≤－1；
(3)y＝＋1.
2．已知函数f(x)＝.
(1)求f(2)；
(2)若f(m)＝2，求m的值；
(3)求函数f(x)的值域．
1．要熟记常见函数的值域：
(1)一次函数y＝kx＋b的值域为R；
(2)反比例函数y＝(k≠0)的值域为{y|y≠0}；
(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c的值域，当a＞0时是；当a＜0时，是.
2．形如y＝的函数，在求其值域时，要先对解析式进行变形，分离出一个常数，然后再结合反比例函数的值域进行求解；
3．求函数的值域之前，应先确定函数的定义域，对同一个函数，其定义域发生变化，其值域也会随之改变；
4．函数的值域也要写成集合或区间的形式．
当堂检测
1．对于函数y＝f(x)，以下说法正确的有( )．
①y是x的函数；
②对于不同的x，y的值也不同；
③f(a)表示当x＝a时函数f(x)的值，是一个常量；
④f(x)一定可以用一个具体的式子表示出来．
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
2．与函数y＝x是同一个函数的是( )．
A．y＝|x| B．y＝
C．y＝ D．y＝t
3．给定集合A＝{x|0≤x≤6}，B＝{y|0≤y≤3}，则下列对应关系不能表示集合A到B的函数的是( )．
A．f：x→y＝x
B．f：x→y＝x
C．f：x→y＝2x
D．f：x→y＝
4．函数f(x)＝的定义域为__________．
5．已知函数f(x)＝－的定义域为(16,25)，则它的值域为__________．
提示：用最精炼的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记。
答案：
课前预习导学
【预习导引】
1．非空数集 唯一确定 函数 f：A→B y＝f(x)，x∈A 自变量 定义域 值域
预习交流1 (1)提示：一个函数的构成要素为：定义域、对应关系和值域，简称为函数的三要素．其中定义域是函数的灵魂，对应关系是函数的核心．当且仅当两个函数的三要素都相同时，这两个函数才相同．又因为值域由定义域和对应关系确定，所以只要两个函数的定义域相同，对应关系也相同，它们就是同一个函数．
(2)提示：函数的定义域和值域都不能是空集．该式中满足x－3≥0且1－x≥0的实数x不存在，因此该式不能表示一个函数关系．
(3)提示：不一定．值域由定义域和对应关系f确定，若设函数的值域为C，则有C B.
(4)提示：“y＝f(x)”即为“y是x的函数”的符号表示；f(x)是一个整体，f(x)并不表示f与x的乘积，而表示从x的取值范围(集合A)到函数值的集合的一个函数．
(5)提示：f(x)与f(a)是不同的，f(x)表示的是一个函数，是一个变量，而f(a)则表示函数f(x)当x＝a时的函数值，是一个常数．
(6)提示：不一定．如函数y＝x与y＝x－1的定义域与值域都是R，但它们是不相同的函数．
2．(1)[a，b] (a，b) [a，b) (a，b] 端点
(2)[a，＋∞) (a，＋∞) (－∞，a] (－∞，a)
预习交流2 提示：区间是实数集合的另一种表示形式，因此区间一定是集合，但集合不一定是区间，并不是所有的数集都能用区间表示，例如：集合{1,2}就无法用区间表示．
课堂合作探究
【问题导学】
活动与探究1 思路分析：根据函数的定义，检验所给的对应关系是否满足以下几个条件：
(1)A，B是否是非空数集；
(2)A中的每一个元素是否在B中都有与之对应的元素；
(3)A中的每一个元素在B中与之对应的元素是否是唯一的．
解：(1)不能构成集合A到B的函数，因为A中的元素0在B中没有元素与之相对应．(2)能构成集合A到B的函数，因为它满足函数的定义．(3)不能构成集合A到B的函数，比如A中的元素－2在B中没有元素与之相对应．(4)不能构成集合A到B的函数，比如A中的元素4在B中有两个元素与之相对应．
迁移与应用 ④ 解析：容易判断①②③能构成A到B的函数，对于④，考虑输入值2，即当x＝2时，y＝4－22＝0，而0B，所以④不能构成A到B的函数．
活动与探究2 思路分析：只有定义域与对应关系分别相同的两个函数才是同一函数．
解：对于(1)：在公共定义域R上，f(x)＝|x|和φ(t)＝|t|的对应关系完全相同，只是表示形式不同；对于(2)：前者x∈R，后者x≥0，两者定义域不同；对于(3)：前者定义域为{x|x≥1}，后者定义域为{x|x≤－1，或x≥1}；对于(4)：在公共定义域{x|－1≤x≤1}上，y＝· y＝.
由上述可知(1)与(4)中的两个函数分别表示同一函数，(2)与(3)中的两个函数分别表示不同的函数．
迁移与应用 解：(1)y＝＝|x－1|与y＝x－1的对应关系不同，
故y＝与y＝x－1不是同一函数．
(2)y＝＝x－1，
定义域为{x|x≠－1}，
而y＝x－1的定义域为R，两个函数的定义域不同，所以不是同一函数．
(3)y＝t－1与y＝x－1的定义域均为R，对应关系又完全相同，因此是同一函数．
活动与探究3 思路分析：对于(1)，要从所给函数解析式的结构入手，使各个部分同时有意义，列出不等式或不等式组求解得出定义域；对于(2)，可由面积公式得到解析式，同时从变量x的实际意义出发求出定义域．
解：(1)①要使函数有意义，应满足x－1≠0，即x≠1.
故函数的定义域为{x|x≠1}．
②要使函数有意义，应满足x2－4≠0，即x≠±2，故函数的定义域为{x|x≠2，且x≠－2}．
③要使函数有意义，应满足即
故函数的定义域是{x|x≥－1，且x≠1}．
(2)由题意知，另一边长为，且每边长都为正数，所以S＝·x＝(40－x)·x，
且得0＜x＜40，
所以函数的定义域为{x|0＜x＜40}．
迁移与应用 1．C 解析：由解得x≥2，且x≠3.
2．1 解析：要使f(x)有意义，应满足a－x≥0，即x≤a，
由于函数的定义域为{x|x≤1}，因此有a＝1.
活动与探究4 思路分析：解决求值问题，先分清对应关系，再代入求值．求值域问题首先确定定义域．
解：(1)∵f(x)＝，
∴f(2)＝＝.
又∵g(x)＝x2＋2，
∴g(2)＝22＋2＝6.
(2)f[g(2)]＝f(6)＝＝.
(3)f(2＋x)＝＝，
f[g(x)]＝＝.
(4)y＝的定义域为{x|x≠－1}，
∴f(x)的值域是{y∈R|y≠0}(或(－∞，0)∪(0，＋∞))．
∵y＝x2＋2的定义域为R，且x2≥0，
∴y＝x2＋2≥2，此时y的最小值为2.
∴g(x)的值域是[2，＋∞)．
迁移与应用 1．解：(1)由x的取值得该函数的值域为{3,5,7,9,11}．
(2)∵x≤－1，∴2x≤－2.
∴2x＋1≤－1.
∴函数的值域为(－∞，－1]．
(3)∵≥0，∴＋1≥1.
∴该函数的值域是[1，＋∞)．
2．解：(1)f(2)＝＝.
(2)∵f(m)＝＝2，∴m＝－3.
(3)f(x)＝＝＝1－，
∵≠0，∴1－≠1.∴f(x)≠1，
即函数的值域是(－∞，1)∪(1，＋∞)．
【当堂检测】
1．B 解析：②不对，如f(x)＝x2，当x＝±1时y＝1；④不对，f(x)不一定可以用一个具体的式子表示出来．
2．D
3．C 解析：对于选项C中的对应关系，当x＝6时，y＝2x＝12B，因此这种对应关系不能构成函数．
4．[1，＋∞) 解析：要使f(x)有意义，应满足即x≥1，故函数的定义域是[1，＋∞)．
5．(－5，－4) 解析：∵16＜x＜25，∴4＜＜5.
∴－5＜－＜－4.
∴函数的值域为(－5，－4)．4.1 二次函数的图像
1．掌握二次函数解析式的三种形式，会利用待定系数法求解析式．
2．掌握二次函数的图像变换．
1．定义
(1)形如y＝________(a≠0)的函数叫作二次函数，其中a，b，c分别称为二次项系数、一次项系数、常数项．解析式y＝ax2＋bx＋c(a≠0)称为二次函数的一般式，二次函数的解析式还有其他两种形式：
顶点式：y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)；
零点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．
(2)说明：所有二次函数的解析式均有一般式和顶点式，并不是所有二次函数的解析式均有零点式，只有图像与x轴有交点的二次函数才有零点式．
【做一做1－1】 二次函数f(x)的图像与x轴交于(－2,0)，(4,0)两点，且顶点为，求函数f(x)的解析式．
【做一做1－2】 二次函数f(x)的图像经过点A(1,0)，B(2,3)，且对称轴为x＝3，求函数f(x)的解析式．
2．图像变换
(1)首先将二次函数的解析式整理成顶点式y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)，再由二次函数y＝x2的图像经过下列的变换得到：
①将函数y＝x2的图像各点的纵坐标变为原来的____倍，横坐标不变，得到函数y＝ax2的图像．
函数y＝f(x)的图像上各点的纵坐标变为原来的a(a≠0)倍，横坐标不变，得到函数y＝af(x)的图像．
②将函数y＝ax2的图像向左(h＞0)或向右(h＜0)平移|h|个单位得到______的图像．
将函数y＝f(x)的图像向左平移a(a＞0)个单位得函数y＝f(x＋a)的图像．将函数y＝f(x)的图像向右平移a(a＞0)个单位得函数y＝f(x－a)的图像．简称为“左加(＋)右减(－)”．
③将函数y＝a(x＋h)2的图像向上(k＞0)或向下(k＜0)平移|k|个单位得到________的图像．
将函数y＝f(x)的图像向上平移b(b＞0)个单位得函数y＝f(x)＋b的图像；将函数y＝f(x)的图像向下平移b(b＞0)个单位得函数y＝f(x)－b的图像．简称为“上加(＋)下减(－)”．
(2)一般地，二次函数y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)，____决定了二次函数图像的开口大小和方向；____决定了二次函数图像的左右平移，而且“h正左移，h负右移”；____决定了二次函数图像的上下平移，而且“k正上移，k负下移”．
【做一做2】 将函数y＝4x2＋2x＋1写成y＝a(x＋h)2＋k的形式，并说明它的图像是由y＝4x2的图像经过怎样的变换得到的？
答案：1．(1)ax2＋bx＋c
【做一做1－1】 解：设函数解析式为f(x)＝a(x＋2)(x－4)，
又∵函数图像过顶点，
∴－＝a(1＋2)(1－4)，解得a＝.
∴函数解析式为f(x)＝(x＋2)(x－4)，
即f(x)＝x2－x－4.
【做一做1－2】 解：设所求函数解析式为f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
由已知得解得
∴所求解析式为f(x)＝－x2＋6x－5.
2．(1)①a ②y＝a(x＋h)2 ③y＝a(x＋h)2＋k
(2)a h k
【做一做2】 解：y＝4＋1－
＝42＋.
要得到y＝42＋的图像需将y＝4x2先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度．
怎样快速画二次函数图像的草图？
剖析：下面举例说明．例如画出函数y＝3x2－6x－9的草图．
函数的解析式化为顶点式y＝3(x－1)2－12.可得顶点坐标(1，－12)；与x轴的交点是点(－1,0)和点(3,0)；对称轴是直线x＝1；抛物线的开口向上．
画法步骤：
(1)描点画线：在平面直角坐标系中，描出点(1，－12)，(－1,0)，(3,0)，画出直线x＝1；
(2)连线：用光滑曲线连接点(1，－12)，(－1,0)，(3,0)，在连线的过程中，要保持关于直线x＝1对称，即得函数y＝3x2－6x－9的草图，如图所示．
由此可见，画抛物线时，重点体现抛物线的特征：“三点一线一开口”．“三点”中有一个点是顶点，另两个点是抛物线上关于对称轴对称的两个点，常取与x轴的交点；“一线”是指对称轴这条直线；“一开口”是指抛物线的开口方向．根据这些特征在坐标系中可快速画出抛物线的草图．
题型一 求二次函数的解析式
【例1】 已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值为8，试确定此二次函数的解析式．
反思：求二次函数解析式的方法，应根据已知条件的特点，灵活运用解析式的形式，选取最佳方案，利用待定系数法求之．
(1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
已知抛物线上任意三点时，通常设函数解析式为一般式，然后列出三元一次方程组求解．
(2)顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a，h，k为常数，a≠0)
当已知抛物线的顶点坐标和抛物线上另一点时，通常设函数解析式为顶点式．
(3)两根式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a，x1，x2是常数，a≠0)
当已知抛物线与x轴的交点或交点的横坐标时，通常设函数解析式为两根式．
题型二 图像变换
【例2】 函数f(x)＝x2的图像经过怎样的变换，得到函数g(x)＝4x2－2x－1的图像？
分析：将函数g(x)＝4x2－2x－1的解析式化为顶点式．
反思：所有二次函数的图像均可以由函数f(x)＝x2的图像经过变换得到．变换前，先将二次函数的解析式化为顶点式后，再确定变换的步骤．
题型三 图像的应用
【例3】 已知二次函数y＝2x2－4x－6.
(1)求此函数图像的开口方向、对称轴、顶点坐标，并画出函数图像．
(2)求此函数图像与x轴、y轴的交点坐标，并求出以此三点为顶点的三角形的面积．
(3)x为何值时，y＞0，y＝0，y＜0
分析：(1)已知二次函数，通过配方可求得对称轴及顶点坐标，再由函数的对称性列表描点可画出图像；
(2)函数图像与x轴、y轴相交的条件分别是y＝0、x＝0，可求对应的变量值，进一步求出三角形的面积；
(3)观察图像可得到图像在x轴上方(即y＞0)时x的取值范围，y＝0与y＜0时亦可得．
反思：根据配方法得到函数的性质，作图时，注意关键点的选取，如与x轴、y轴的交点，顶点和开口方向，对称轴及增减性等，使画图的操作更方便，图像更准确．
答案：【例1】 解法1：利用二次函数一般式．
设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由题意得
解得
∴所求二次函数解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.
解法2：利用二次函数的两根式．
由已知f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1，
故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)，
即f(x)＝ax2－ax－2a－1.
又函数有最大值8，∴＝8.
解得a＝－4，或a＝0(舍)．
∴所求函数解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.
解法3：利用二次函数的顶点式．
设f(x)＝a(x－m)2＋n.∵f(2)＝f(－1)，
∴抛物线的对称轴为x＝＝，即m＝.
又∵f(x)的最大值为8，∴n＝8.
∴f(x)＝a2＋8.
∵f(2)＝－1，
∴a2＋8＝－1，解得a＝－4.
∴f(x)＝－42＋8＝－4x2＋4x＋7.
【例2】 解：g(x)＝4x2－2x－1＝42－.
变换的步骤是：
(1)将函数f(x)＝x2的图像各点的纵坐标变为原来的4倍，横坐标不变，得到函数f(x)＝4x2的图像；
(2)将函数f(x)＝4x2的图像向右平移个单位，得到函数f(x)＝42的图像；
(3)将函数f(x)＝42的图像向下平移个单位，得到f(x)＝42－的图像，即得到函数g(x)＝4x2－2x－1的图像．
【例3】 解：(1)配方，得y＝2(x－1)2－8.
∵a＝2＞0，∴函数图像开口向上，对称轴是直线x＝1，顶点坐标是(1，－8)．
列表：
x －1 0 1 2 3
y 0 －6 －8 －6 0
描点并画图，得函数y＝2x2－4x－6的图像，如图所示．
(2)由图像得，函数图像与x轴的交点坐标为A(－1,0)、B(3,0)，与y轴的交点坐标为C(0，－6)．
S△ABC＝|AB|·|OC|＝×4×6＝12.
(3)由函数图像知，当x＜－1或x＞3时，y＞0；当x＝－1或x＝3时，y＝0；当－1＜x＜3时，y＜0.
1 下列关于二次函数y＝x2＋x＋1图像的开口方向和顶点的说法，正确的是( )．
A．开口向下，顶点(1,1)
B．开口向上，顶点(1,1)
C．开口向下，顶点
D．开口向上，顶点
2 将函数y＝x2的图像向右平移2个单位，再向下平移1个单位后所得函数解析式为( )．
A．y＝(x＋2)2＋1 B．y＝(x－2)2＋1
C．y＝(x－2)2－1 D．y＝(x＋2)2－1
3 一次函数y＝ax＋b与二次函数y＝ax2＋bx＋c在同一坐标系中的图像大致是( )．
4函数y＝4x2的图像各点的纵坐标变为原来的倍，横坐标不变，所得图像的函数解析式为__________．
5已知二次函数f(x)的图像的对称轴是直线x＝－1，并且经过点(1,13)和(2,28)，求二次函数f(x)的解析式．
答案：1．D 2.C
3．C 选项A，y＝ax＋b中，a＞0而y＝ax2＋bx＋c的图像开口向下，矛盾；
选项B，y＝ax＋b中，a＞0，b＞0，从而y＝ax2＋bx＋c的图像的对称轴x＝＜0，矛盾；
选项D，y＝ax＋b中，a＜0，b＜0，但y＝ax2＋bx＋c的图像开口向上，矛盾．
4．y＝x2
5．分析：设出二次函数的顶点式，利用待定系数法求函数f(x)的解析式．
解：设f(x)＝a(x＋1)2＋k，
由题意得f(1)＝13，f(2)＝28，则有
解得a＝3，k＝1，即f(x)＝3(x＋1)2＋1.2.2 函数的表示法
1．掌握函数的三种表示方法，会选择适当的方法表示函数．
2．掌握求函数解析式的一般方法．
3．了解简单的分段函数，并能简单应用．
1．函数的表示法
(1)列表法：列一个两行多列的表格，第一行是______取的值，第二行是对应的______，这种用____的形式表示两个变量之间________的方法，称为列表法．
列表法不必通过计算就能知道两个变量之间的对应关系，比较直观，但它只能表示有限个元素间的函数关系．
(2)图像法：以自变量x的取值为横坐标，对应的函数值y为______，在平面直角坐标系中描出各个点，这些点构成了函数y＝f(x)的图像，这种用____把两个变量间的________表示出来的方法，称为图像法．
图像法可以直观地表示函数局部变化规律，进而可以预测它的整体趋势，比如心电图等．
(3)解析法：一个函数的对应关系可以用自变量的__________(简称解析式)表示出来，这种方法称为解析法．
解析法有两个优点：一是简明、全面地概括了变量间的变化规律；二是可以通过解析式求出任意一个自变量所对应的函数值．缺点是并不是任意函数都可用解析法表示，仅当两个变量间有变化规律时，才能用解析法表示．
【做一做1】 已知函数f(x＋1)＝3x＋2，则f(x)的解析式是( )．
A．f(x)＝3x＋2 B．f(x)＝3x＋1
C．f(x)＝3x－1 D．f(x)＝3x＋4
2．分段函数
所谓“分段函数”，习惯上指在定义域的不同部分，有不同的________的函数．
分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数．分段函数的定义域是各段定义域的并集．值域是各段值域的并集．生活中有很多可以用分段函数描述的实际问题，如出租车的计费、个人所得税纳税额等等．处理分段函数问题时，首先要确定自变量的数值属于哪个区间段，从而选取相应的对应关系．
【做一做2】 函数f(x)＝则f 的值为( )．
A. B．1 C. D．2
答案：1．(1)自变量 函数值 表格 函数关系 (2)纵坐标 图像
函数关系 (3)解析表达式
【做一做1】 C 设x＋1＝t，则x＝t－1，则f(t)＝3(t－1)＋2＝3t－1，则f(x)＝3x－1.
2．对应关系
【做一做2】 A
如何画分段函数的图像？
剖析：画分段函数的图像要先分析分段函数的定义域，遵循定义域优先的原则．
例如：画函数y＝的图像．
步骤：①画整个二次函数y＝(x＋1)2的图像，再取其在区间(－∞，0]上的图像，其他部分删去不要；②画一次函数y＝－x的图像，再取其在区间(0，＋∞)上的图像，其他部分删去不要；③这两部分合起来就是所要画的分段函数的图像，如图所示．
由此可得，画分段函数y＝(D1，D2，…两两交集是空集)的图像的步骤是：
①画整个函数y＝f1(x)的图像，再取其在区间D1上的图像，其他部分删去不要；
②画整个函数y＝f2(x)的图像，再取其在区间D2上的图像，其他部分删去不要；
③依次画下去；
④将各个部分合起来就是所要画的分段函数的图像．
题型一 求函数的解析式
【例1】 已知f(x)是一次函数，且f[f(x)]＝9x＋4，求f(x)的解析式．
分析：解答本题可利用待定系数法，设f(x)＝kx＋b(k≠0)，再根据题设条件列方程组求解待定系数k，b.
反思：本题以f(x)为一次函数作为切入点，运用待定系数法，构建所设参数的方程组从而解决问题，这是一种常用的解题方法，已知函数类型求函数解析式常用此方法．
【例2】 已知f(＋1)＝x＋2，求f(x)．
分析：本题实际上是寻找对应关系f怎样对自变量起作用．解答本题可在“x＋2”中配凑出“＋1”或将“＋1”整体换元来求解．
反思：换元法是求解函数解析式的基本方法，在不清楚函数类型的情况下往往运用此法，但要注意自变量的取值范围的变化情况，否则就得不到正确的表达式．
【例3】 已知2f＋f(x)＝x(x≠0)，求f(x)．
分析：已知x和互为倒数，故可在等式2f＋f(x)＝x中令x取的值，得到关于f(x)，f的另一个等式，把f(x)与f看成未知数，通过解方程组求得f(x)．
反思：对于已知等式中出现两个不同变量的函数关系式，依据这两个变量的关系，重新建立关于这两个变量的不同等式，利用整体思想把f(x)和另一个函数看成未知数，解方程组得函数f(x)的解析式．类似于解二元一次方程组，故称为方程组法．
题型二 分段函数
【例4】 已知函数f(x)＝
(1)画出函数的图像；
(2)根据已知条件分别求f(1)，f(－3)，f[f(－3)]，f{f[f(－3)]}的值．
分析：给出的函数是分段函数，应注意在不同的范围上用不同的关系式．
(1)函数f(x)在不同区间上的关系都是常见的函数关系，因而可利用常见函数的图像作图．
(2)根据自变量的值所在的区间，选用相应的关系式求函数值．
反思：分段函数的对应关系是借助于几个不同的表达式来表示的，处理分段函数的问题时，首先要确定自变量的数值属于哪一个区间，从而选相应的对应关系．对于分段函数，各个分段的“端点”要注意处理好．
题型三 函数的图像
【例5】 作出下列函数的图像．
(1)y＝1－x(x∈Z)； (2)y＝2x2－4x－3(0≤x＜3)．
分析：(1)中函数的定义域为Z；(2)中函数是二次函数，且定义域为[0,3)，作图像时要注意定义域对图像的影响．
反思：1.图像法是表示函数的方法之一，画函数图像时，以定义域、对应法则为依据，采用列表、描点法作图．当已知解析式是一次或二次式时，可借助一次函数或二次函数的图像帮助作图．
2．作图像时，应标出某些关键点．例如，图像的顶点、端点、与坐标轴的交点等，要分清这些关键点是实心点，还是空心点．
题型四 应用问题
【例6】 如图所示，从边长为2a的正方形铁片的四个角各裁一个边长为x的正方形，然后折成一个无盖的长方体盒子，要求长方体的高度x与底面正方形边长的比不超过正常数t.试把铁盒的容积V表示为x的函数，并求出其定义域．
分析：可由题意将长方体的高度和底面正方形的边长表示出来，但要注意定义域x不但受解析式的影响，还受t的限制．
反思：求实际问题中函数的定义域时，除考虑函数解析式有意义外，还要考虑使实际问题有意义，如本题中单从解析式上看，使解析式有意义的x∈R，但问题的实际意义x＜a，且≤t，这就是实际问题对自变量的制约．
答案：【例1】 解：设f(x)＝kx＋b(k≠0)，
则f[f(x)]＝k(kx＋b)＋b＝k2x＋kb＋b＝9x＋4.
∴解得k＝3，b＝1或k＝－3，b＝－2.
∴f(x)＝3x＋1或f(x)＝－3x－2.
【例2】 解：方法一(配凑法)：
∵f(＋1)＝x＋2＝(＋1)2－1(＋1≥1)，
∴f(x)＝x2－1(x≥1)．
方法二(换元法)：
令＋1＝t(t≥1)，则x＝(t－1)2(t≥1)，
∴f(t)＝(t－1)2＋2＝t2－1(t≥1)．
∴f(x)＝x2－1(x≥1)．
【例3】 解：∵f(x)＋2f＝x，令x取的值，
得f＋2f(x)＝.
于是得关于f(x)与f的方程组
解得f(x)＝－(x≠0)．
【例4】 解：(1)分别画出y＝x2(x＞0)，y＝1(x＝0)，y＝0(x＜0)的图像，即得所求函数的图像如图所示．
(2)f(1)＝12＝1，f(－3)＝0，f[f(－3)]＝f(0)＝1，f{f[f(－3)]}＝f[f(0)]＝f(1)＝12＝1.
【例5】 解：(1)这个函数的图像由一些点组成，这些点都在直线y＝1－x上(∵x∈Z，∴y∈Z)，这些点都为整数点，如图①所示为函数图像的一部分．
图① 图②
(2)∵0≤x＜3，∴这个函数的图像是抛物线y＝2x2－4x－3介于0≤x＜3之间的一段弧，且y＝2x2－4x－3＝2(x－1)2－5，当x＝0时，y＝－3；当x＝3时，y＝3，如图②所示．
【例6】 解：依题意知，长方体铁盒高为x，底面正方形的边长为(2a－2x)，则V＝(2a－2x)2·x＝4x(a－x)2.
∵∴
∵a－＝＞0，∴0＜x≤.
∴铁盒容积V＝4x(a－x)2，定义域为
.
1 已知函数f(x)由下表给出，则f(3)的值为( )．
x 1 2 3 4
f(x) －3 －2 －4 －1
A．－1 B．－2 C．－3 D．－4
2函数f(x)＝的图像是( )．
3(2011山东寿光高一期中)若f(x)＝，则方程f(4x)＝x的根是( )．
A. B． C．2 D．－2
4已知f(x－1)＝x2＋1，则f(x)＝__________.
5已知函数f(x)＝
(1)求f[f()]的值；
(2)若f(a)＝3，求a的值．
答案：1．D
2．C ∴f(x)＝应选C.
3．A ∵f(4x)＝＝x，
∴4x－1＝4x2.∴4x2－4x＋1＝0.∴x＝.
4．x2＋2x＋2 设x－1＝t，则x＝t＋1，
所以f(t)＝(t＋1)2＋1，即f(x)＝(x＋1)2＋1＝x2＋2x＋2.
5．分析：本题给出的是一个分段函数，函数值的取值直接依赖于自变量x属于哪一个区间，所以要对x的可能范围逐段进行讨论．
解：(1)∵－1＜＜2，∴f()＝()2＝3.
而3≥2，∴f [f()]＝f(3)＝2×3＝6.
(2)当a≤－1时，f(a)＝a＋2，
又f(a)＝3，∴a＝1(舍去)；
当－1＜a＜2时，f(a)＝a2，
又f(a)＝3，∴a＝±，其中－舍去，∴a＝；
当a≥2时，f(a)＝2a，又f(a)＝3，
∴a＝(舍去)．综上所述，a＝.2.3 映射
问题导学
一、映射、一一映射与函数的判定
活动与探究1
在如图所示的对应中是A到B的映射的是( )．
A．② B．③
C．③④ D．④
活动与探究2
判断下列对应是不是从集合A到集合B的映射，其中哪些是一一映射？哪些是函数？为什么？
(1)A＝R，B＝{非负实数}，对应关系f：y＝x2，x∈A，y∈B.
(2)A＝R，B＝{正实数}，对应关系f：y＝x2，x∈A，y∈B.
(3)A＝{x∈R|x＞0}，B＝R，对应关系f：A中的元素对应它的平方根．
(4)A＝{x|x＞0}，B＝{x|x＞0}，f：y＝，x∈A，y∈B.
迁移与应用
判断下列对应是否为集合A到集合B的映射，其中哪些是一一映射？哪些是函数？为什么？
(1)A＝N，B＝N＋，对应关系f：x→|x－1|；
(2)A＝{x|0≤x≤6}，B＝{y|0≤y≤2}，对应关系f：x→；
(3)A＝{1,2,3,4}，B＝{4,5,6,7}，对应关系f：x→x＋3.
判断一个对应是否构成从A到B的映射时，先看集合A中每一个元素在集合B中是否均有对应元素．若有，看对应元素是否唯一；集合B中有剩余元素不影响映射的成立．想说明一个对应不是映射，只需寻找一个反例即可．若进一步判断该映射是否是函数，只需看两个集合A，B是否是非空数集即可．若进一步判断是否为一一映射，还需注意B中的每一个元素在A中都有原像，集合A中不同元素对应的像不同．
二、像与原像的计算
活动与探究3
已知集合A＝R，B＝{(x，y)|x，y∈R}，f：A→B是从A到B的映射，f：x→(x＋1，x2＋1)，求A中元素的像和B中元素的原像．
迁移与应用
已知映射f：A→B中，A＝B＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，f：(x，y)→(3x－2y＋1,4x＋3y－1)，
(1)求A中元素(1,2)的像；
(2)求B中元素(1,2)的原像．
解决像与原像的计算问题的关键是紧扣定义，具体地说，就是若已知A中的元素a(即原像a)，求B中与之对应的元素b(即像b)，这时只要将元素a代入对应关系f求解即可；若已知B中的元素b(即像b)，求A中与之对应的元素a(即原像a)，这时构造方程(组)进行求解即可，应注意解得的结果可能不唯一．
当堂检测
1．给出下列四个对应，其中是映射的是( )．
A．①② B．①③
C．②③ D．③④
2．下面集合P到集合M的对应关系f是映射的是( )．
A．P＝{自然数}，M＝{整数}，f：求算术平方根
B．P＝{整数}，M＝{奇数}，f：x→
C．P＝{整数}，M＝{有理数}，f：求倒数
D．P＝{正整数}，M＝{正整数}，f：x→x＋1
3．下列关于从集合A到集合B的映射的叙述，其中正确的有______．(只填序号)
①B中任何一个元素在A中必有原像；
②A中不同元素在B中的像也不同；
③A中任何一个元素在B中的像是唯一的；
④A中任何一个元素在B中可以有不同的像；
⑤B中某一元素在A中的原像可能不止一个；
⑥集合A与B一定是数集；
⑦记号f：A→B与f：B→A的含义是一样的．
4．已知映射f：N→N＋，x→x2＋1，则10的原像是______．
5．根据下列所给的对应关系，回答问题：
①A＝N＋，B＝Z，f：x→y＝3x＋1，x∈A，y∈B；
②A＝{x|x为高一(2)班的同学}，B＝{x|x为身高}，f：每个同学对应自己的身高；
③A＝Z，B＝Q，对应关系f：x→y＝.
上述三个对应中，是映射的是______，是函数的是______．(只填序号)
提示：用最精炼的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记。
答案：
课前预习导学
【预习导引】
1．唯一 f：A→B 原像 像
预习交流1 (1)提示：不一定．如映射f：A→B，如图所示．集合B中的元素3在集合A中无原像．
(2)提示：可以相同．只要A中的每一个元素都有像，且像是唯一的，就可以建立从A到B的映射．
(3)提示：不一定相等．由于集合B中有些元素可能没有原像，因此像的集合是集合B的子集，二者不一定相等．
2．唯一的像 原像
预习交流2 提示：③
3．非空数集 非空数集
预习交流3 提示：函数是从数集到数集(且均为非空数集)的映射，所以函数是映射，但映射不一定是函数，因为映射的像集与原像集不一定是非空数集．
课堂合作探究
【问题导学】
活动与探究1 思路分析：按照映射的定义进行判断，分析A中的每一个元素在B中是否都有与之对应的元素，A中每一个元素在B中对应的元素是否是唯一的．
C 解析：(1)中元素b没有与之对应的元素，(2)中元素2在B中有两个元素与之对应，因而均不能构成从A到B的映射．(3)和(4)符合映射的定义，能构成从A到B的映射．
活动与探究2 思路分析：解答时可先从映射的定义出发，观察A中任何一个元素在B中是否都有唯一的元素与之对应，然后再根据一一映射的定义及映射与函数的关系确定该对应关系是否为一一映射及是否是函数．
解：(1)是映射，且是函数，但不是一一映射．因为A中的任何一个元素，在B中都能找到唯一的元素与之对应．又A，B均为非空数集，所以此映射是函数．因为x以及x的相反数在B中的对应元素相同，所以不是一一映射．
(2)不是从集合A到集合B的映射，更不是函数和一一映射．因为A中的元素0在集合B中没有对应的元素．
(3)不是从集合A到集合B的映射，更不是函数和一一映射．因为任何正数的平方根都有两个值，即集合A中的任何元素，在集合B中都有两个元素与之对应．
(4)是映射，是函数，也是一一映射．因为对A中的任一个元素，其倒数是唯一的，即在B中有唯一的元素与之对应．又由于A，B都是非空数集，故此映射也是函数．又因为对于不同的正数，其倒数也是不同的，且B中每个正数都是A中某个正数的倒数，故这个映射也是一一映射．
迁移与应用 解：(1)集合A＝N中元素1在对应关系f的作用下为0，而0N＋，即A中元素1在B中没有元素与之对应，故该对应不是从A到B的映射．
(2)集合A中元素6在对应关系f的作用下为3，而3B，故该对应不是从A到B的映射．
(3)集合A中的每一个元素在对应关系f的作用下，在集合B中都有唯一的一个元素与之对应，所以此对应是从A到B的映射，又B中每一个元素在A中都有唯一的原像与之对应，故该对应是一一映射．又A，B是非空数集，因此该对应也是从集合A到集合B的函数．
活动与探究3 思路分析：解决本题的关键是清楚映射的对应关系f，如要求的像，只需把x＝代入对应关系即可，求的原像可通过列方程组求解．
解：把x＝代入对应关系，得其像为(＋1,3)．
又由解得x＝.
所以的像为(＋1,3)，的原像为.
迁移与应用 解：(1)当x＝1，y＝2时，3x－2y＋1＝0，4x＋3y－1＝9，
故A中元素(1,2)的像为(0,9)．
(2)由得
故B中元素(1,2)的原像是.
【当堂检测】
1．B
2．D 解析：选项A中，P中元素2的算术平方根是，但M，选项B中，P中元素4的对应元素为＝2，但2M，故这两个对应都不是映射；选项C中，0∈P，但0没有倒数，故该对应不是映射，只有D选项符合．
3．③⑤
4．3 解析：∵由x2＋1＝10，得x2＝9，
∴x＝±3，又∵x∈N，
∴x＝3.
5．①② ① 解析：①是映射，也是函数；
②是映射，但不是函数；
③中元素0无像与之对应，不是映射，更不是函数．4．2 二次函数的性质
1．理解二次函数的性质．
2．会判断二次函数的单调性．
3．掌握二次函数最值的求法．
二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的性质
(1)定义域：R.
(2)图像：当a＞0时，图像开口向________，顶点坐标为，对称轴为__________；当a＜0时，图像开口向________，顶点坐标为，对称轴为x＝______.
(3)值域：当a＞0时，值域为____________；当a＜0时，值域为____________．
(4)单调性：当a＞0时，减区间是________，增区间是；当a＜0时，减区间是____________，增区间是.
(5)最值：当a＞0时，有最小值____________，没有最大值；当a＜0时，有最大值________，没有最小值．
(6)f(0)＝________________.
【做一做1－1】 抛物线y＝x2＋2x－2的顶点坐标是( )．
A．(2，－2) B．(1，－2)
C．(1，－3) D．(－1，－3)
【做一做1－2】 函数y＝x2－x＋1的值域是( )．
A．R B．[1，＋∞)
C. D.
【做一做1－3】 求函数y＝5x2－4x－1的图像与x轴的交点坐标和对称轴，并判断它在哪个区间上是增加的，在哪个区间上是减少的．
答案：(2)上 x＝ 下
(3)
(4)
(5) (6)c
【做一做1－1】 D y＝x2＋2x－2＝(x＋1)2－3，故顶点坐标为(－1，－3)．故选D.
【做一做1－2】 C y＝x2－x＋1＝，故值域为.
【做一做1－3】 解：令y＝0，即5x2－4x－1＝0，
解得x1＝，x2＝1.
故函数图像与x轴的交点坐标为，(1,0)．
因为y＝5x2－4x－1＝，
所以，函数图像的对称轴是直线x＝，函数在区间上是减少的，在区间上是增加的．
如何求二次函数在闭区间上的最值？
剖析：对于二次函数f(x)＝a(x－h)2＋k(a＞0)在区间[m，n]上的最值可作如下讨论．
对称轴x＝h与[m，n]的位置关系 最大值 最小值
h＜m f(n) f(m)
h＞n f(m) f(n)
m≤h≤n m≤h＜ f(n) f(h)
h＝ f(m)或f(n) f(h)
＜h≤n f(m) f(h)
题型一 二次函数的单调性
【例1】 函数f(x)＝4x2－mx＋5在区间[－2，＋∞)上是增加的，求f(1)的取值范围．
分析：f(1)＝9－m，求f(1)的取值范围就是求一次函数y＝9－m的值域，利用已知条件先求其定义域．
反思：利用二次函数的单调区间与对称轴的关系，求m的范围是解此题的关键．不要认为f(x)的增区间是[－2，＋∞)，实际上它只是增区间的子区间．
题型二 二次函数图像的对称性
【例2】 已知函数f(x)＝x2－3x－.
(1)求这个函数图像的顶点坐标和对称轴；
(2)已知f＝－，不计算函数值，求f；
(3)不直接计算函数值，试比较f 与f 的大小．
分析：解答本题可先将f(x)配方，进而确定顶点坐标及对称轴，然后根据f(x)图像的对称性求f 的值及比较f 与f 的大小．
反思：(1)已知二次函数的解析式求顶点坐标及对称轴，一般先用配方法把二次函数解析式写成顶点式：y＝a(x＋h)2＋k，进而确定顶点坐标为(－h，k)，对称轴为x＝－h.
(2)比较两函数值大小，可以先比较两点离对称轴的距离大小，然后结合二次函数的开口方向，从而得到它们的大小关系，也可以将要比较的两点转化到同一单调区间上，利用函数的单调性比较它们的大小．
题型三 二次函数的最值问题
【例3】 求函数f(x)＝x2－2x，x∈[－2,3]的最大值和最小值，并写出单调区间．
分析：画出图像来分析．
反思：讨论二次函数的性质时，常借助于图像来解决，特别是最值问题，利用图像可以简洁地求出，否则易出现错误．本题中易错认为最小值是f(3)，其原因是没有结合图像分析．
【例4】 求函数f(x)＝x2－2ax－1在闭区间[0,2]上的最大值和最小值．
分析：因为f(x)＝(x－a)2－a2－1，其图像的对称轴为直线x＝a，由对称轴相对于区间[0,2]的可能位置分别求其最值．
反思：求二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的最值，要根据其图像的对称轴相对于所给区间的位置来确定．一般地，当a＞0，即抛物线开口向上时，在距对称轴较远的区间的端点处取得最大值；在抛物线的顶点处(当对称轴在所属区间内)或在距对称轴较近(当对称轴在所给区间外侧时)的区间的端点处取得最小值．当a＜0，即抛物线开口向下时，可相应地得出结论．
【例5】 设函数f(x)＝x2－2x＋2，x∈[t，t＋1]的最小值为g(t)，求g(t)的解析式．
分析：本题按抛物线对称轴x＝1在区间[t，t＋1]之内和之外分类讨论．
反思：二次函数求最值问题，首先要采用配方法，化为y＝a(x－m)2＋n的形式，得顶点(m，n)或对称轴方程x＝m，可分为三个类型：
(1)顶点固定，区间也固定；
(2)顶点变动，区间固定，这时要讨论顶点横坐标何时在区间之内，何时在区间之外；
(3)顶点固定，区间变动，这时要讨论区间中的参数．
题型四 二次函数的实际应用
【例6】 渔场中鱼群的最大养殖量为m吨，为保证鱼群的生长空间，实际养殖量不能达到最大养殖量，必须留出适当的空闲量．已知鱼群的年增长量y吨与实际养殖量x吨和空闲率的乘积成正比，比例系数为k(k＞0)．
(1)写出y关于x的函数关系式，并求出定义域；
(2)求鱼群的年增长量的最大值；
(3)当鱼群的年增长量达到最大值时，求k所应满足的条件．
反思：二次函数模型是一种常见的函数应用模型，是高考的重点和热点．其解题关键是列出二次函数解析式，即建立函数模型，转化为求二次函数的最值等问题．
答案：【例1】 解：∵二次函数f(x)＝4x2－mx－5在区间[－2，＋∞)上是增加的，且对称轴是x＝，
∴≤－2，即m≤－16.
∴f(1)＝4－m＋5＝－m＋9≥25，∴f(1)≥25.
【例2】 解：(1)∵f(x)＝x2－3x－＝(x－3)2－，
∴函数的顶点坐标为，对称轴为x＝3.
(2)∵f＝－，
又＝，＝，
结合二次函数图像的对称性，
∴有f＝f＝－.
(3)由f(x)＝(x－3)2－可知，
f(x)在(－∞，3]上是减少的，
又－＜－＜3，∴f＞f.
【例3】 解：画出函数f(x)＝x2－2x，x∈[－2,3]的图像，如图所示．
观察图像，得函数f(x)＝x2－2x在区间[－2,1]上是减少的，则此时最大值是f(－2)＝8，最小值是f(1)＝－1；函数f(x)＝x2－2x在区间[1,3]上是增加的，则此时最大值是f(3)＝3，最小值是f(1)＝－1.
则函数f(x)＝x2－2x，x∈[－2,3]的最大值是8，最小值是－1.
增区间是[1,3]，减区间是[－2,1]．
【例4】 解：f(x)＝x2－2ax－1＝(x－a)2－a2－1，
∴f(x)的图像是开口向上，对称轴为直线x＝a的抛物线，如图所示．
当a＜0时(如图(1))，f(x)的最大值为f(2)＝3－4a，f(x)的最小值为f(0)＝－1；
当0≤a≤1时(如图(2))，f(x)的最大值为f(2)＝3－4a，f(x)的最小值为f(a)＝－a2－1；
当1＜a＜2时(如图(3))，f(x)的最大值为f(0)＝－1，f(x)的最小值为f(a)＝－a2－1；
当a≥2时(如图(4))，f(x)的最大值为f(0)＝－1，f(x)的最小值为f(2)＝3－4a.
【例5】 解：∵f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，
当t＋1＜1，即t＜0时，函数在[t，t＋1]上是减少的，
∴g(t)＝f(t＋1)＝t2＋1；
当t＋1≥1且t＜1，即0≤t＜1时，g(t)＝f(1)＝1；
当t≥1时，函数在[t，t＋1]上是增加的，
g(t)＝f(t)＝t2－2t＋2.
∴g(t)＝
【例6】 解：(1)由题意，知空闲率为，
∴y＝kx(0＜x＜m)．
(2)y＝－x2＋kx＝－2＋，
∵－＜0且0＜x＜m，
∴当x＝时，ymax＝.
(3)∵当x＝时，ymax＝，又实际养殖量不能达到最大养殖量，
∴此时，需要＋＜m，解得k＜2.
又∵k＞0，∴0＜k＜2.
1 函数y＝x2＋4的最大值和最小值情况是( )．
A．有最小值0，无最大值 B．有最大值4，无最小值
C．有最小值4，无最大值 D．有最大值4，有最小值0
2 函数y＝－2x2＋x在下列哪个区间上是增加的( )．
A．R B．[2，＋∞)
C. D.
3 函数f(x)＝ax2＋2(a－3)x＋1在区间(－2，＋∞)上是减少的，则a的取值范围是( )．
A．[－3,0] B．(－∞，－3]
C．[－3,0) D．[－2,0]
4 抛物线y＝8x2－(m－1)x＋m－7的顶点在x轴上，则m＝__________.
5 将进货单价为40元的商品按50元一个出售时，能卖出500个，已知这种商品每涨价1元，其销售量就减少10个，为得到最大利润，售价应为多少元？最大利润是多少？
答案：1．C 2.D 函数y＝－2x2＋x＝的图像的对称轴是直线，图像的开口向下，所以函数在对称轴的左边是增加的．
3．A (1)当a＝0时，显然正确．
(2)当a≠0时，f(x)＝ax2＋2(a－3)x＋1在(－2，＋∞)上是减少的，应满足解得－3≤a＜0.
由(1)(2)可知，a的取值范围是[－3,0]．
4．9或25 ∵抛物线的顶点在x轴上，
∴＝0，即b2－4ac＝0.
∴(m－1)2－4×8(m－7)＝0.
解得m＝9或m＝25.
5．分析：设售价及利润，建立利润与售价的函数关系式．
解：设售价为x元时，利润为y元，单个涨价为(x－50)元，销量减少10(x－50)个，50≤x＜100.
∴y＝(x－40)[500－10(x－50)]
＝－10(x－70)2＋9 000.
当x＝70时，ymax＝9 000，
即售价为70元时，利润最大为9 000元．
