第二章 一元二次方程
1 认识一元二次方程
第1课时
INCLUDEPICTURE "识新知·自主预习.TIF" INCLUDEPICTURE "识新知·自主预习.TIF" \* MERGEFORMAT
INCLUDEPICTURE "标JS.TIF" INCLUDEPICTURE "标JS.TIF" \* MERGEFORMAT 【旧知再现】
含有一个未知数，且未知项的次数是__1__的方程，叫做一元一次方程．
INCLUDEPICTURE "标JS.TIF" INCLUDEPICTURE "标JS.TIF" \* MERGEFORMAT 【新知初探】
阅读教材P31—P32完成下面问题：
1．一元二次方程的定义
只含有__一个__未知数x的__整式__方程，并且都可以化成__ax2＋bx＋c＝0__(a，b，c为常数，a≠0)的形式的方程叫做一元二次方程．
2．一元二次方程必备的三个条件
(1)只含有__一个__未知数．
(2)未知数的最高次数是__2__．
(3)方程是__整式__方程．
3．与一元二次方程有关的概念
INCLUDEPICTURE "标JS.TIF" INCLUDEPICTURE "标JS.TIF" \* MERGEFORMAT 【图表导思】
已知方程 是否为一元二次方程
x2＋5x3－6＝0 不是
x2＝(x－2)2 不是
x2＋＝2 不是
12x－10y2＝0 不是
x＋22＝0 不是
1.若方程中含有分式，那么这个方程是一元二次方程吗？
【解析】不是．
2．若方程中含有两个未知数或未知数的最高次数不是2次，那么这个方程是一元二次方程吗？
【解析】不是．
INCLUDEPICTURE "标JS.TIF" INCLUDEPICTURE "标JS.TIF" \* MERGEFORMAT 【质疑判断】
1．x2＝3是一元二次方程．( √ )
2．方程x2－2＝2的常数项是－2.( × )
3．方程5x2＝1－6x化为一般形式为5x2－6x＋1＝0.( × )
INCLUDEPICTURE "研重点·典例探析.TIF" INCLUDEPICTURE "研重点·典例探析.TIF" \* MERGEFORMAT
INCLUDEPICTURE "知识点一.TIF" INCLUDEPICTURE "知识点一.TIF" \* MERGEFORMAT 一元二次方程及相关概念
【教材P32补充练习】——一元二次方程的相关概念
(2021·成都月考)将4个数a，b，c，d排成2行2列，两边各加一条竖线，记成，定义＝ad－bc.上述记法就叫做二阶行列式．那么＝22表示的方程是一元二次方程吗？如果是，请写出它的一般形式，并写出它的二次项系数，一次项系数和常数项．
【思路点拨】
根据二阶行列式计算方法列出方程并作出判断，然后写出它的二次项系数，一次项系数和常数项．
【自主解答】见全解全析
INCLUDEPICTURE "标JS.TIF" INCLUDEPICTURE "标JS.TIF" \* MERGEFORMAT 【归纳提升】
判别一元二次方程的三个技巧
1．先把方程化简变形为一般形式后再判断．
2．分母或被开方数中含有未知数的方程一定不是一元二次方程．
3．二次项系数中含有字母时，若字母的取值不明确，不一定是一元二次方程．
INCLUDEPICTURE "标JS.TIF" INCLUDEPICTURE "标JS.TIF" \* MERGEFORMAT 变式一：巩固 (2021·天津期中)下列方程中是关于x的一元二次方程的是(C)
A．2x2＋＋5＝0 B．ax2＋bx＋c＝0
C．(x－1)(x＋8)＝6 D．x3－2xy＋5y2＝0
INCLUDEPICTURE "标JS.TIF" INCLUDEPICTURE "标JS.TIF" \* MERGEFORMAT 变式二：提升 将方程y2－y(－4y＋1)＝1化为一般形式(要求二次项系数为正数)，写出二次项的系数，一次项和常数项．
【解析】去括号，得y2＋4y2－y＝1，
整理，得5y2－y－1＝0.
所以二次项的系数为5，一次项和常数项分别是－y，－1.
INCLUDEPICTURE "知识点二.TIF" INCLUDEPICTURE "知识点二.TIF" \* MERGEFORMAT 根据实际问题列一元二次方程
【教材P31“引例”补充】——赛制问题中的一元二次方程
(2020·桂林中考)参加足球联赛的每两个球队之间都要进行两场比赛，共要比赛110场，设参加比赛的球队有x个，根据题意，下面列出的方程正确的是(D)
A．x(x＋1)＝110 B．x(x－1)＝110
C．x(x＋1)＝110 D．x(x－1)＝110
【思路点拨】每个队都要与其余队比赛一场，2队之间要赛2场．等量关系为队的个数×(队的个数－1)＝110，把相关数值代入即可．
INCLUDEPICTURE "标JS.TIF" INCLUDEPICTURE "标JS.TIF" \* MERGEFORMAT 【归纳提升】
列一元二次方程的步骤
(1)审题，找出题目中的等量关系；
(2)设未知数，并用未知数表示出量；
(3)将等量关系转化为方程．
INCLUDEPICTURE "标JS.TIF" INCLUDEPICTURE "标JS.TIF" \* MERGEFORMAT 变式一：巩固 n个球队进行单循环比赛(参加比赛的任何一个球队都与其他所有的球队各赛一场)，总的比赛场数为y，则有(D)
A．y＝2n B．y＝n2
C．y＝n(n－1) D．y＝n(n－1)
INCLUDEPICTURE "标JS.TIF" INCLUDEPICTURE "标JS.TIF" \* MERGEFORMAT 变式二：提升
(2020·衡阳中考)如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长35米、宽20米的矩形．为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为600平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为x米，则根据题意，列方程为(C)
A．35×20－35x－20x＋2x2＝600
B．35×20－35x－2×20x＝600
C．(35－2x)(20－x)＝600
D．(35－x)(20－2x)＝600
INCLUDEPICTURE "培素养·思维拓展.TIF" INCLUDEPICTURE "培素养·思维拓展.TIF" \* MERGEFORMAT
INCLUDEPICTURE "标JS.TIF" INCLUDEPICTURE "标JS.TIF" \* MERGEFORMAT 【火眼金睛】
求一元二次方程5x2-x=2的二次项系数、一次项系数和常数项。
【正解】将方程化为5x2－x－2＝0，∴二次项系数为5，一次项系数为－1，常数项为－2.
INCLUDEPICTURE "标JS.TIF" INCLUDEPICTURE "标JS.TIF" \* MERGEFORMAT 【一题多变】
向阳中学数学兴趣小组对关于x的方程(m＋1)xm2＋1＋(m－2)x－1＝0提出了下列问题：
是否存在m的值，使方程为一元二次方程？若存在，求出m的值，并求出此方程．
【解析】存在，根据一元二次方程的定义可得解得m＝1，此时方程为2x2－x－1＝0.
INCLUDEPICTURE "标JS.TIF" INCLUDEPICTURE "标JS.TIF" \* MERGEFORMAT 【母题变式】
【变式一】(变换条件及问法)若(m－2)x|m|＋3x－1＝0是关于x的一元二次方程，则m＝__－2__．
【变式二】(变换结论)向阳中学数学兴趣小组对关于x的方程(m＋1)xm2＋1＋(m－2)x－1＝0提出了下列问题：
是否存在m的值，使方程为一元一次方程？若存在，求出m的值，并解此方程．
【解析】存在，由题可知当或时方程为一元一次方程．
当时，解得m＝0，此时方程为－x－1＝0，解得x＝－1，当时，解得m＝－1，此时方程为－3x－1＝0，解得x＝－.
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第2课时
INCLUDEPICTURE "识新知·自主预习.TIF" INCLUDEPICTURE "识新知·自主预习.TIF" \* MERGEFORMAT
INCLUDEPICTURE "标JS.TIF" INCLUDEPICTURE "标JS.TIF" \* MERGEFORMAT 【旧知再现】
使方程的左右两边__相等__的未知数的值，叫方程的__解__．
INCLUDEPICTURE "标JS.TIF" INCLUDEPICTURE "标JS.TIF" \* MERGEFORMAT 【新知初探】
阅读教材P33－P34完成下面问题：
1．一元二次方程的解：
使一元二次方程左右两边__相等__的未知数的值．
2．一元二次方程的近似解：
对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，如果当x＝m时，ax2＋bx＋c<0；当x＝n时，ax2＋bx＋c>0(m那么该方程的近似解x满足：__m__【图表导思】
观察下面的表格：
x 2.1 2.2 2.3 2.4
x2＋2x－10 －1.39 －0.76 －0.11 0.56
1.当x取上面表中的哪些数时，x2＋2x－10的值小于0？当x取上面表中的哪些数时，x2＋2x－10的值大于0
【解析】当x取2.1，2.2，2.3时，x2＋2x－10的值小于0；当x取2.4时，x2＋2x－10的值大于0.
2．由上面的取值你能确定方程x2＋2x－10＝0的一个近似解的范围吗？
【解析】2.3INCLUDEPICTURE "标JS.TIF" INCLUDEPICTURE "标JS.TIF" \* MERGEFORMAT 【质疑判断】
1．x＝2是方程x(x－2)＝3的一个解．( × )
2．若x＝1是方程ax2＋bx＋c＝0的解，则a－b－c＝0.( × )
INCLUDEPICTURE "研重点·典例探析.TIF" INCLUDEPICTURE "研重点·典例探析.TIF" \* MERGEFORMAT
INCLUDEPICTURE "知识点j.TIF" INCLUDEPICTURE "知识点j.TIF" \* MERGEFORMAT 一元二次方程的解与近似解
【教材P33“做一做”补充】——根据表格中的数值，估计方程的解
小亮根据x的取值：1.1，1.2，1.3，1.4，1.5分别代入x2＋12x－15求值，估算一元二次方程的近似解．
x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5
x2＋12x－15 －0.59 0.84 2.29 3.76 5.25
由此可确定一元二次方程x2＋12x－15＝0的一个近似解x的范围正确的是(A)
A．1.1＜x＜1.2 B．1.2＜x＜1.3
C．1.3＜x＜1.4 D．1.4＜x＜1.5
【思路点拨】由表格可发现x2＋12x－15的值－0.59和0.84最接近0，再看对应的x的值即可得．
INCLUDEPICTURE "标JS.TIF" INCLUDEPICTURE "标JS.TIF" \* MERGEFORMAT 【归纳提升】
求一元二次方程近似解的三步法
1．定范围：根据实际问题确定解的大致范围.
2．细计算：在确定的取值范围内均匀地取一些x的值．计算出对应的ax2＋bx＋c的值，进一步缩小解的范围．
3．作比较：比较计算的结果，确定方程的近似解．
INCLUDEPICTURE "标JS.TIF" INCLUDEPICTURE "标JS.TIF" \* MERGEFORMAT 变式一：巩固 观察表格，一元二次方程x2－3x＝4.6的一个近似解为(B)
x －1.13 －1.12 －1.11 －1.10 －1.09 －1.08
x2－3x 4.67 4.61 4.56 4.51 4.46 4.41
A.－1.123 B．－1.117
C．－1.089 D．－1.073
INCLUDEPICTURE "标JS.TIF" INCLUDEPICTURE "标JS.TIF" \* MERGEFORMAT 变式二：提升 (2021·福州期中)根据表格对应值：
x 1 2 3 4
ax2＋bx＋c －0.5 5 12.5 22
判断关于x的方程ax2＋bx＋c＝2(a≠0)的一个解x的范围是(B)
A．0＜x＜1 B．1＜x＜2
C．2＜x＜3 D．3＜x＜4
INCLUDEPICTURE "培素养·思维拓展.TIF" INCLUDEPICTURE "培素养·思维拓展.TIF" \* MERGEFORMAT
【火眼金睛】
两个连续整数的积为20,求这两个连续整数分别是多少
【正解】
x －6 －5 －4 … 3 4 5
x2＋x－20 10 0 －8 … －8 0 10
所以x＝4或x＝－5，当x＝4时，x＋1＝5；当x＝－5时，x＋1＝－4，因此这两个连续整数为4和5或－4和－5.
INCLUDEPICTURE "标JS.TIF" INCLUDEPICTURE "标JS.TIF" \* MERGEFORMAT 【一题多变】
若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋5＝0(a≠0)的解是x＝1，则a＋b的值是(B)
A．5 B．－5
C．6 D．－6
INCLUDEPICTURE "标JS.TIF" INCLUDEPICTURE "标JS.TIF" \* MERGEFORMAT 【母题变式】
【变式一】(变换条件和问法)若x＝－1是关于x的一元二次方程ax2－bx－2 019＝0的一个解，则1＋a＋b的值是(D)
A．2 017 B．2 018
C．2 019 D．2 020
【变式二】(变换条件及问法)已知m是方程2x2＋x－1＝0的一个根，求代数式4m2＋2m＋2 019的值．
【解析】∵m为一元二次方程2x2＋x－1＝0的一个根．
∴2m2＋m－1＝0，
即2m2＋m＝1，
∴4m2＋2m＋2 019＝2(2m2＋m)＋2 019＝2×1＋2 019＝2 021.
关闭Word文档返回原板块2 用配方法求解一元二次方程
第1课时
INCLUDEPICTURE "识新知·自主预习.TIF" INCLUDEPICTURE "识新知·自主预习.TIF" \* MERGEFORMAT
INCLUDEPICTURE "标JS.TIF" INCLUDEPICTURE "标JS.TIF" \* MERGEFORMAT 【旧知再现】
a2＋2ab＋b2＝__(a＋b)2__；a2－2ab＋b2＝__(a－b)2__．
INCLUDEPICTURE "标JS.TIF" INCLUDEPICTURE "标JS.TIF" \* MERGEFORMAT 【新知初探】
阅读教材P36—P37完成下面问题：
1．(1)x2＋4x＋__22__＝(x＋__2__)2；
(2)x2－6x＋32＝(x－3)2；
(3)x2－5x＋(____)2＝(x－____)2.
总结：x2＋mx＋(____)2＝(x＋______)2.
2．求解方程：x2－2x＝3→x2－2x＋__12____＝3＋__1__→(x－1)2＝4→x－1＝±2→x－1＝2或x－1＝－2→x1＝3，x2＝－1.
总结：(1)配方法
把方程转化为(x＋m)2＝n的形式，当n≥0时， 两边同时开平方，得到一元二次方程的解，这种解一元二次方程的方法称为配方法．
(2)配方法的关键
对形如x2＋bx＝－c的一元二次方程配方时，两边同时加上__一次项系数一半__的平方，即(____)2.
【图表导思】
已知方程 配方
x2＋2x＋2＝0 x2＋2x＋12＝2＋1
x2－4x＋1＝0 x2－4x＋42＝－1＋16
x2－8x＋15＝0 x2－8x＋42＝－15＋16
x2－6x＋5＝0 x2－6x－32＝－5－9
上面表格中的配方哪些是错误的？你能说出错误的原因吗？
【解析】第一个、第二个、第四个方程配方错误．第一个方程的常数项移项时没有变号；第二个方程配方时两边没有同时加上一次项系数一半的平方；第四个方程配方时两边同时减去了一次项系数一半的平方．
INCLUDEPICTURE "标JS.TIF" INCLUDEPICTURE "标JS.TIF" \* MERGEFORMAT 【质疑判断】
1．方程(x＋m)2＝n(n≥0)的解是x＝－m±.( √ )
2．方程(x－2)2－9＝0的解是x＝5.( × )
INCLUDEPICTURE "研重点·典例探析.TIF" INCLUDEPICTURE "研重点·典例探析.TIF" \* MERGEFORMAT
INCLUDEPICTURE "知识点j.TIF" INCLUDEPICTURE "知识点j.TIF" \* MERGEFORMAT 用配方法求解二次项系数是1的一元二次方程
【教材P37例1补充】——配方法的应用
(2020·南京中考)解方程：x2－2x－3＝0.
【完善解答】
∵x2－2x－3＝0，
∴x2－2x＝__3__，移项
∴x2－2x＋__1__2＝__3__＋__1__2，
∴(x－__1__)2＝__4__，配方
∴x－__1__＝__±2__，两边开平方
∴x－__1__＝__2__或x－__1__＝__－2__，
∴x1＝__3__，x2＝__－1__．
解一元一次方程确定原方程的解
INCLUDEPICTURE "标JS.TIF" INCLUDEPICTURE "标JS.TIF" \* MERGEFORMAT 【归纳提升】
用配方法解方程的三个步骤
1．化：把原方程化为x2＋bx＝－c的形式．
2．配：在方程的左、右两边同时加上一次项系数一半的平方，配成(x＋m)2＝n的形式．
3．求：若n≥0，两边开平方，求出方程的根为x＝－m±；若n＜0，则此方程没有实数根．
INCLUDEPICTURE "标JS.TIF" INCLUDEPICTURE "标JS.TIF" \* MERGEFORMAT 变式一：巩固 (2021·常州期中)已知关于x的方程x2－kx＋9＝0可以配方成(x－m)2＝0的形式，则k的值为(D)
A．3 B．6 C．－6 D．±6
INCLUDEPICTURE "标JS.TIF" INCLUDEPICTURE "标JS.TIF" \* MERGEFORMAT 变式二：提升 (2021·上海期中)用配方法解方程：
x2＋2x＝4.
【解析】x2＋2x＝4，
x2＋2x＋5＝4＋5，即(x＋)2＝9，
∴x＋＝±3，
∴x1＝－＋3，x2＝－－3.
INCLUDEPICTURE "培素养·思维拓展.TIF" INCLUDEPICTURE "培素养·思维拓展.TIF" \* MERGEFORMAT
INCLUDEPICTURE "标JS.TIF" INCLUDEPICTURE "标JS.TIF" \* MERGEFORMAT 【火眼金睛】
解方程x2＋20x－1＝0.
【正解】x2＋20x＋102＝1＋102，(x＋10)2＝101，x＋10＝±.x1＝－10＋，x2＝－10－.
INCLUDEPICTURE "标JS.TIF" INCLUDEPICTURE "标JS.TIF" \* MERGEFORMAT 【一题多变】
一元二次方程x2－8x＝32可表示成(x－a)2＝32＋b的形式，其中a，b为整数，则a＋b的值为(A)
A．20 B．12
C．－12 D．－20
INCLUDEPICTURE "标JS.TIF" INCLUDEPICTURE "标JS.TIF" \* MERGEFORMAT 【母题变式】
【变式一】(变换条件)将方程x2－6x－5＝0化为(x＋m)2＝n的形式，则(D)
A．m＝3，n＝5 B．m＝－3，n＝5
C．m＝3，n＝14 D．m＝－3，n＝14
【变式二】(变换问法)关于x的一元二次方程经过配方后为(x－m)2＝k，其中m＝－3，k＝5.那么这个一元二次方程的一般形式为__x2＋6x＋4＝0__．
关闭Word文档返回原板块2 用配方法求解一元二次方程
第2课时
INCLUDEPICTURE "识新知·自主预习.TIF" INCLUDEPICTURE "识新知·自主预习.TIF" \* MERGEFORMAT
INCLUDEPICTURE "标JS.TIF" INCLUDEPICTURE "标JS.TIF" \* MERGEFORMAT 【旧知再现】
配方法解x2＋bx＝－c时，两边同时加__一次项系数一半__的平方，
即____．
INCLUDEPICTURE "标JS.TIF" INCLUDEPICTURE "标JS.TIF" \* MERGEFORMAT 【新知初探】
阅读教材P38完成下面问题：
用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程的一般步骤
1．化：化__二次项系数__为1.
2．移项：使方程左边为__二次项和一次项____，右边为__常数项__．
3．配方：方程两边同时加上__一次项系数一半的平方____，使原方程变为__(x＋m)2＝n____的形式．
4．开方：若方程右边为负数，则方程没有实数根，若方程右边为__非负数__，
就可左右两边开平方得x＋m＝__±____．
5．求解：方程的解为x＝__－m±__．
【图表导思】
观察下面解方程的过程：
∵x2－x－2＝0，
∴x2－2x＝4，①
∴x2－2x＋1＝5，②
即(x－1)2＝5，③
∴x＝＋1④
1．上面的四个步骤中，出现错误的是第几步？
【解析】四个步骤中出现错误的是④.
2．请把上面的错误改正过来．
【解析】∴x－1＝±，
∴x1＝1＋，x2＝1－.
INCLUDEPICTURE "研重点·典例探析.TIF" INCLUDEPICTURE "研重点·典例探析.TIF" \* MERGEFORMAT
INCLUDEPICTURE "知识点j.TIF" INCLUDEPICTURE "知识点j.TIF" \* MERGEFORMAT 用配方法求解二次项系数不是1的一元二次方程
【教材P38例2补充】——用配方法解方程
(2020·徐州中考)解方程：2x2－5x＋3＝0.
【完善解答】
∵2x2－5x＋3＝0，
∴2x2－5x＝__－3__，移项
∴x2－x＝__－__，系数化为1
∴x2－x＋____＝－＋____，
∴(x－____)2＝____，配方
∴x－____＝__±__，两边开平方
∴x1＝____，x2＝__1__．确定原方程的解
INCLUDEPICTURE "标JS.TIF" INCLUDEPICTURE "标JS.TIF" \* MERGEFORMAT 【归纳提升】
用配方法解方程应注意的三个方面
1．不漏除：二次项系数化为1时，方程中各项都要除以二次项系数．
2．式恒等：配方时方程两边都要加上一次项系数一半的平方．
3．不错号：两边开平方时右边的常数开方要加“±”号．
INCLUDEPICTURE "标JS.TIF" INCLUDEPICTURE "标JS.TIF" \* MERGEFORMAT 变式一：巩固 (2020·聊城中考)用配方法解一元二次方程2x2－3x－1＝0，配方正确的是(A)
A．＝ B．＝
C．＝ D．＝
INCLUDEPICTURE "标JS.TIF" INCLUDEPICTURE "标JS.TIF" \* MERGEFORMAT 变式二：提升 用配方法解方程：
(1)(2021·天水期末)2x2－4x＝1.
(2)(2021·延安期末)3x2＋1＝2x.
【解析】(1)方程两边同除以2，
变形得x2－2x＝，
配方，得x2－2x＋1＝＋1，
即(x－1)2＝，
开方得：x－1＝±，
解得：x1＝1＋，x2＝1－.
(2)原方程化为3x2－2x＋1＝0，
∴(x－1)2＝0，
∴x1＝x2＝.
INCLUDEPICTURE "培素养·思维拓展.TIF" INCLUDEPICTURE "培素养·思维拓展.TIF" \* MERGEFORMAT
【火眼金睛】
解方程：2x2－4x－8＝0
【正解】原方程变形为2x2－4x＝8，即x2－2x＝4，
配方，得x2－2x＋1＝4＋1，
即(x－1)2＝5，所以x－1＝±，
所以x1＝1＋，x2＝1－.
INCLUDEPICTURE "标JS.TIF" INCLUDEPICTURE "标JS.TIF" \* MERGEFORMAT 【一题多变】
把一元二次方程2x2－x－1＝0用配方法配成(x－h)2＋k＝0的形式(h，k均为常数)，则h和k的值分别为__，－__．
INCLUDEPICTURE "标JS.TIF" INCLUDEPICTURE "标JS.TIF" \* MERGEFORMAT 【母题变式】
【变式一】(变换条件及问法)用配方法解方程x2＋x－＝0时，可配方为[(x＋1)2＋k]＝0，其中k＝__－6__．
【变式二】(变换条件及问法)若方程7(x＋h)2＝5(h为常数)的根是x1＝－6，x2＝1，则方程7(x＋h－8)2＝5的根是__x1＝2，x2＝9__．
关闭Word文档返回原板块3 用公式法求解一元二次方程
第1课时
INCLUDEPICTURE "识新知·自主预习.TIF" INCLUDEPICTURE "识新知·自主预习.TIF" \* MERGEFORMAT
INCLUDEPICTURE "标JS.TIF" INCLUDEPICTURE "标JS.TIF" \* MERGEFORMAT 【旧知再现】
1．一元二次方程的一般形式为：__ax2＋bx＋c＝0(a≠0)____．
2．用配方法解一元二次方程的五个步骤是：①移项，②化1，③__配方__，④开方，⑤求解．
INCLUDEPICTURE "标JS.TIF" INCLUDEPICTURE "标JS.TIF" \* MERGEFORMAT 【新知初探】
阅读教材P41—P43完成下面问题：
1．一元二次方程的求根公式
当b2－4ac≥0时，方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根是x＝____．
2．一元二次方程根的判别式的定义
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式是__b2－4ac__，通常用“Δ”表示．
3．一元二次方程的根与根的判别式b2－4ac的关系
根的判别式(b2－4ac)的情况 一元二次方程ax2 ＋bx＋c＝0(a≠0)的根的情况
b2－4ac＞0 有__两个不相等__的实数根
b2－4ac＝0 有__两个相等__的实数根
b2－4ac＜0 __没有__实数根
【质疑判断】
1．方程2x2＋3x＝1中，b2－4ac＝17.( √ )
2．方程x2－4x＋4＝0只有一个实数根．( × )
3．一元二次方程有实数根的条件是b2－4ac>0.( × )
INCLUDEPICTURE "研重点·典例探析.TIF" INCLUDEPICTURE "研重点·典例探析.TIF" \* MERGEFORMAT
INCLUDEPICTURE "知识点一.TIF" INCLUDEPICTURE "知识点一.TIF" \* MERGEFORMAT 用公式法求解一元二次方程
【教材P42例题补充】——用公式法解方程的通法
(2021·宜宾模拟)解方程：x2＋4x－2＝0.
【完善解答】
INCLUDEPICTURE "标JS.TIF" INCLUDEPICTURE "标JS.TIF" \* MERGEFORMAT 【归纳提升】
公式法解一元二次方程的四个步骤
1．化：若方程不是一般形式，先把一元二次方程化为一般形式：ax2＋bx＋c＝0(a≠0).
2．定：确定a，b，c的值．
3．算：计算b2－4ac的值．
4．求：若b2－4ac≥0，则利用求根公式求出方程的根；若b2－4ac＜0，则原方程没有实数根．
INCLUDEPICTURE "标JS.TIF" INCLUDEPICTURE "标JS.TIF" \* MERGEFORMAT 变式一：巩固 用公式法求一元二次方程的根时，首先要确定a，b，c的值．对于方程－4x2＋3＝5x，下列叙述正确的是(B)
A．a＝－4，b＝5，c＝3 B．a＝－4，b＝－5，c＝3
C．a＝4，b＝5，c＝3 D．a＝4，b＝－5，c＝－3
INCLUDEPICTURE "标JS.TIF" INCLUDEPICTURE "标JS.TIF" \* MERGEFORMAT 变式二：提升 (2021·茂名期末)用公式法解方程：
(x＋1)(x－1)＋2(x＋3)＝8.
【解析】原方程可化为x2＋2x－3＝0，
∴a＝1，b＝2，c＝－3，
∴b2－4ac＝22－4×1×(－3)＝16＞0，
∴x＝＝，
∴x1＝1，x2＝－3.
INCLUDEPICTURE "知识点二.TIF" INCLUDEPICTURE "知识点二.TIF" \* MERGEFORMAT 根的判别式及应用
【教材P42“议一议”补充】——由方程根的情况，确定方程中字母的取值范围
(2021·天津期中)已知关于x的一元二次方程x2＋2mx＋(m－4)2＝0有两个相等的实数根．
(1)求m的值．
(2)求此方程的根．
【自主解答】(1)根据题意得Δ＝4m2－4(m－4)2＝0，解得m＝2.
(2)把m＝2代入x2＋2mx＋(m－4)2＝0，得x2＋4x＋4＝0，(x＋2)2＝0，解得x1＝x2＝－2.
INCLUDEPICTURE "标JS.TIF" INCLUDEPICTURE "标JS.TIF" \* MERGEFORMAT 【归纳提升】
b2－4ac的两种作用
1．不解方程判断一元二次方程解的情况
(1)b2－4ac>0时，方程有两个__不相等__的实数根；
(2)b2－4ac＝0时，方程有两个__相等__的实数根；
(3)b2－4ac<0时，方程__没有__实数根．
2．由一元二次方程根的情况，确定方程中字母的
__取值范围__．
INCLUDEPICTURE "标JS.TIF" INCLUDEPICTURE "标JS.TIF" \* MERGEFORMAT 变式一：巩固 (2021·眉山期中)一元二次方程x2＋2x＋2＝0的根的情况是 (D)
A．有两个相等的实数根
B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根
D．无实数根
INCLUDEPICTURE "标JS.TIF" INCLUDEPICTURE "标JS.TIF" \* MERGEFORMAT 变式二：提升 (2021·连云港期中)已知关于x的方程x2－(m＋2)x＋(2m－1)＝0.
(1)求证：方程恒有两个不相等的实数根．
(2)若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根，并求以此两根为边长的直角三角形的周长．
【解析】见全解全析
INCLUDEPICTURE "培素养·思维拓展.TIF" INCLUDEPICTURE "培素养·思维拓展.TIF" \* MERGEFORMAT
INCLUDEPICTURE "标JS.TIF" INCLUDEPICTURE "标JS.TIF" \* MERGEFORMAT 【火眼金睛】
解方程x2＝7x＋6.
【正解】将方程化为一般形式为x2－7x－6＝0.
∵a＝1，b＝－7，c＝－6，
∴Δ＝(－7)2－4×1×(－6)＝73>0，
∴x＝，
∴x1＝，x2＝.
INCLUDEPICTURE "标JS.TIF" INCLUDEPICTURE "标JS.TIF" \* MERGEFORMAT 【一题多变】
已知△ABC的三边长分别是a，b，c，且关于x的一元二次方程x2－2ax＋c2－b2＝0有两个相等的实数根，则可推断△ABC一定是(C)
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．钝角三角形
INCLUDEPICTURE "标JS.TIF" INCLUDEPICTURE "标JS.TIF" \* MERGEFORMAT 【母题变式】
【变式一】(变换条件及问法)若一元二次方程x2－2x－m＝0无实数根，则一次函数y＝(m＋1)x＋m－1的图象经过第(A)
A．二、三、四象限 B．一、三、四象限
C．一、二、四象限 D．一、二、三象限
【变式二】(变换条件及问法)(2019·丹东中考)等腰三角形一边长为2，它的另外两条边的长度是关于x的一元二次方程x2－6x＋k＝0的两个实数根，则k的值是(B)
A．8 B．9 C．8或9 D．12
INCLUDEPICTURE "标JS.TIF" INCLUDEPICTURE "标JS.TIF" \* MERGEFORMAT 难题拆解
(2021·福州期中)已知关于x的一元二次方程x2＋(k＋2)x＋k－1＝0，求证：无论k为何值，方程总有两个不相等的实数根．
INCLUDEPICTURE "标JS.TIF" INCLUDEPICTURE "标JS.TIF" \* MERGEFORMAT 层层剖析——清障碍
拆解一：该方程的判别式Δ＝__k2＋8__．
拆解二：由非负数的性质可知该方程的Δ__＞__0，当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根．
INCLUDEPICTURE "标JS.TIF" INCLUDEPICTURE "标JS.TIF" \* MERGEFORMAT 水到渠成——破难题
【自主解答】∵x2＋(k＋2)x＋k－1＝0是关于x的一元二次方程，
∴a＝1，b＝k＋2，c＝k－1，
∵Δ＝b2－4ac＝(k＋2)2－4(k－1)＝k2＋8.
又∵k2≥0，
∴k2＋8＞0，∴Δ＞0，
∴无论k为何值，方程总有两个不相等的实数根．
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第2课时
INCLUDEPICTURE "识新知·自主预习.TIF" INCLUDEPICTURE "识新知·自主预习.TIF" \* MERGEFORMAT
INCLUDEPICTURE "标JS.TIF" INCLUDEPICTURE "标JS.TIF" \* MERGEFORMAT 【旧知再现】
1．三角形的面积公式：S＝__ah__(h是长为a的边上的高)；
2．矩形的面积公式：S＝__ab__(a是长，b是宽)；
3．菱形的面积公式：S＝__ab__(a，b是两对角线的长)；
4．正方形的面积公式：S＝__a2__(a是边长).
INCLUDEPICTURE "标JS.TIF" INCLUDEPICTURE "标JS.TIF" \* MERGEFORMAT 【新知初探】
阅读教材P44完成下面问题：
【问题】一个矩形的面积是10，长比宽大2，求矩形的长和宽．
你会发现：
1．问题是已知矩形的__面积__，求矩形的边长；
2．如果设宽是x，那么长是__(x＋2)__，根据__矩形的面积公式__，可列方程__x(x＋2)＝10__．
你发现的规律：已知一个几何图形的面积，求其边长(底或高)时，通常依据几何图形的__面积公式__列方程求解．设其中一边为未知数，并用其表示另一边．
INCLUDEPICTURE "标JS.TIF" INCLUDEPICTURE "标JS.TIF" \* MERGEFORMAT 【图表导思】
1．上面两个图形中空白部分的面积相同吗？
【解析】相同．
2．若空白部分的面积为540 m2，你能得到什么样的方程？
【解析】(32－x)(20－x)＝540.
INCLUDEPICTURE "研重点·典例探析.TIF" INCLUDEPICTURE "研重点·典例探析.TIF" \* MERGEFORMAT
INCLUDEPICTURE "知识点j.TIF" INCLUDEPICTURE "知识点j.TIF" \* MERGEFORMAT 列一元二次方程解面积型问题
【教材P44引例补充】——与矩形有关的面积问题
(2020·西藏中考)列方程(组)解应用题
某驻村工作队，为带动群众增收致富，巩固脱贫攻坚成效，决定在该村山脚下，围一块面积为600 m2的矩形试验茶园，便于成功后大面积推广．如图所示，茶园一面靠墙，墙长35 m，另外三面用69 m长的篱笆围成，其中一边开有一扇1 m宽的门(不包括篱笆).求这个茶园的长和宽．
【完善解答】
设茶园垂直于墙的一边长为__x__m，
则另一边的长度为__(69＋1－2x)__m，设未知数
根据题意，得__x(69＋1－2x)＝600__，列方程
解得__x1＝15__，__x2＝20__，解方程
当x＝15时，70－2x＝40>35，不符合题意舍去；
__当x＝20时，70－2x＝30，符合题意__．验根
答：这个茶园的长和宽分别为30 m，20 m．作答
INCLUDEPICTURE "标JS.TIF" INCLUDEPICTURE "标JS.TIF" \* MERGEFORMAT 【归纳提升】
解决图形问题的三点注意
1．等量关系的寻找：可根据几何图形的特征，由面积公式、体积公式、勾股定理、全等等方面寻找等量关系．
2．转化思想的应用：在解决面积类问题时，常将不规则图形通过平移等转化为规则的图形，通过求面积列一元二次方程．
3．最终结果的检验：方程的解可以是任意实数，而实际问题的解应使实际问题有意义．
INCLUDEPICTURE "标JS.TIF" INCLUDEPICTURE "标JS.TIF" \* MERGEFORMAT 变式一：巩固 (2021·南京期中)从一块正方形的木板上锯掉2 m宽的长方形木条，剩下的面积是48 m2，则原来这块木板的面积是(B)
A．100 m2 B．64 m2
C．121 m2 D．144 m2
INCLUDEPICTURE "标JS.TIF" INCLUDEPICTURE "标JS.TIF" \* MERGEFORMAT 变式二：提升 (2021·铁岭期中)如图，在长30米，宽20米的矩形场地ABCD上，建有三条同样宽的小路，其中一条与AD平行，另两条与AB平行，其余的部分为草坪，已知草坪的总面积为551平方米，求小路的宽度．
【解析】设小路的宽为x米，
根据题意得：(30－x)(20－x)＝551，
解得：x＝49(舍去)或x＝1.
答：小路的宽为1米．
INCLUDEPICTURE "培素养·思维拓展.TIF" INCLUDEPICTURE "培素养·思维拓展.TIF" \* MERGEFORMAT
INCLUDEPICTURE "标JS.TIF" INCLUDEPICTURE "标JS.TIF" \* MERGEFORMAT 【火眼金睛】
如图所示，使用墙的一边(墙长7 m)，再用13 m的竹篱笆围三边，围成一个面积为20 m2的矩形，设与墙相对的边长为x m，可得长，宽分别为______________．
【正解】根据题意，得：x·＝20，
解得：x1＝5，x2＝8.
当x＝5时，此时宽为＝4(m).
当x＝8时，8>7，故舍去．
∴矩形的长为5 m，宽为4 m.
答案：5 m，4 m
INCLUDEPICTURE "标JS.TIF" INCLUDEPICTURE "标JS.TIF" \* MERGEFORMAT 【一题多变】
用篱笆靠墙围成矩形花圃ABCD，墙可利用的最大长度为15米，一面利用墙，其余三面用篱笆围成，篱笆总长为24米．
(1)如图1，若围成的花圃面积为40平方米时，求BC的长．
(2)如图2，若计划在花圃中间用一道篱笆隔成两个小矩形，且围成的花圃面积为50平方米，请你判断能否成功围成花圃，如果能，求BC的长；如果不能，请说明理由．
【解析】(1)设BC的长度为x米，则AB的长度为米，
根据题意得：x·＝40，
整理得：x2－24x＋80＝0，解得：x1＝4，x2＝20.
∵20＞15，∴x2＝20(舍去).
答：BC的长为4米．
(2)不能围成，理由如下：
设BC的长为y米，则AB的长为米，
根据题意得：y·＝50，
整理得：y2－24y＋150＝0.
∵Δ＝(－24)2－4×1×150＝－24＜0，
∴该方程无实数根，
∴不能围成面积为50平方米的花圃．
INCLUDEPICTURE "标JS.TIF" INCLUDEPICTURE "标JS.TIF" \* MERGEFORMAT 【母题变式】
【变式一】(变换条件)某建筑工程队在工地一边靠墙处，用81米长的铁栅栏围成三个相连的长方形仓库，仓库总面积为440平方米．为了方便取物，在各个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作小门．若设AB＝x米，则可列方程为(D)
A.x(81－4x)＝440 B．x(78－2x)＝440
C．x(84－2x)＝440 D．x(84－4x)＝440
【变式二】(变换问法)如图，要利用一面墙(墙长为25米)建羊圈，用80米的围栏围成总面积为204平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB，BC各为多少米？
【解析】设AB的长度为x米，则BC的长度为(80－4x)米，
根据题意得：(80－4x)x＝204，
解得：x1＝17，x2＝3，
则80－4x1＝12或80－4x2＝68，
∵68＞25，∴x2＝3(舍去)，
即AB＝17米，BC＝12米．
答：羊圈的边长AB为17米，BC为12米．
关闭Word文档返回原板块4 用因式分解法求解一元二次方程
INCLUDEPICTURE "识新知·自主预习.TIF" INCLUDEPICTURE "识新知·自主预习.TIF" \* MERGEFORMAT
INCLUDEPICTURE "标JS.TIF" INCLUDEPICTURE "标JS.TIF" \* MERGEFORMAT 【旧知再现】
分解因式的方法有：__提公因式__法和公式法．
INCLUDEPICTURE "标JS.TIF" INCLUDEPICTURE "标JS.TIF" \* MERGEFORMAT 【新知初探】
阅读教材P46—P47完成下面问题：
解以下方程
(x－1)(x－2)＝0 (x－1)(x＋2)＝0 (x＋1)(x＋2)＝0
x－1＝0或x－2＝0 x－1＝0或x＋2＝0 x＋1＝0或x＋2＝0
x1＝1，x2＝2 x1＝1，x2＝－2 x1＝－1，x2＝－2
你会发现：对于x(x－8)＝0，可以转化为x＝0或x－8＝0，进而求出方程的解：x1＝0，x2＝8.
你发现的规律是：
1．当一元二次方程的一边为__0__，而另一边易于分解成两个一次因式的__乘积__时，通过分解因式将一元二次方程转化为两个__一元一次__方程求解的方法，称为因式分解法．
2．因式分解法的理论依据
如果a·b＝0，那么a＝__0__或b＝__0__．
3．因式分解法的数学思想
体现了__转化__的思想，即将二次方程利用因式分解转化为一次方程．
INCLUDEPICTURE "标JS.TIF" INCLUDEPICTURE "标JS.TIF" \* MERGEFORMAT 妙招巧记
方程没有一次项，
直接开方最理想；
如果缺少常数项，
因式分解没商量；
b，c相等都为零，
等根是零不要忘；
b，c同时不为零，
因式分解或配方，
也可直接套公式，
因题而异择良方．
INCLUDEPICTURE "研重点·典例探析.TIF" INCLUDEPICTURE "研重点·典例探析.TIF" \* MERGEFORMAT
INCLUDEPICTURE "知识点一.TIF" INCLUDEPICTURE "知识点一.TIF" \* MERGEFORMAT 用因式分解法求解一元二次方程
【教材P47例题补充】——灵活运用因式分解法求解一元二次方程
用因式分解法解下列方程：
(1)(2021·连云港期中)2x2－8＝0.
(2)(2021·永州期中)x(x＋2)＝2x＋4.
(3)(2021·鸡西期中)x2＋16＝8x.
【思路点拨】
根据方程的特点，利用因式分解法求解各个方程．
【解析】见全解全析
INCLUDEPICTURE "标JS.TIF" INCLUDEPICTURE "标JS.TIF" \* MERGEFORMAT 【归纳提升】
因式分解法解一元二次方程的“四个步骤”
1．转化：把方程化为右边__为0__的形式．
2．分解：将方程的左边分解成两个一次因式__乘积__的形式．
3．降次：令每个因式分别等于__0__，得到两个一元一次方程．
4．求解：__解__这两个一元一次方程，得到原方程的解．
INCLUDEPICTURE "标JS.TIF" INCLUDEPICTURE "标JS.TIF" \* MERGEFORMAT 变式一：巩固 (2021·重庆期末)方程x2－5x＝0的解为(C)
A．x1＝0，x2＝－5 B．x＝5
C．x1＝0，x2＝5 D．x＝0
INCLUDEPICTURE "标JS.TIF" INCLUDEPICTURE "标JS.TIF" \* MERGEFORMAT 变式二：提升 用因式分解法解下列方程：
(1)(x－1)2＝2－2x.
(2)(3x－1)2＝16.
【解析】(1)移项，得(x－1)2＋2x－2＝0，
∴(x－1)2＋2(x－1)＝0，
∴(x－1)(x－1＋2)＝0，
∴(x－1)(x＋1)＝0，∴x－1＝0，x＋1＝0，
∴x1＝1，x2＝－1.
(2)移项，得(3x－1)2－16＝0，
∴(3x－1＋4)(3x－1－4)＝0，
∴3x－1＋4＝0，3x－1－4＝0，
∴x1＝－1，x2＝.
INCLUDEPICTURE "知识点二.TIF" INCLUDEPICTURE "知识点二.TIF" \* MERGEFORMAT 一元二次方程解法的选择
【教材P48习题2.7T2补充】——一元二次方程解法的选择技巧
选择适当的方法求解下列方程：
(1)x2－3x＋1＝0.
(2)(x－1)2＝3.
(3)x2－2x＝4.
(4)(1－x)2＋2x(x－1)＝0.
【自主解答】(1)a＝1，b＝－3，c＝1，由求根公式得x＝＝.
∴x1＝，x2＝.
(2)开平方，得x－1＝±，
∴x1＝1＋，x2＝1－.
(3)配方，得(x－1)2＝5，∴x－1＝±，
∴x1＝1＋，x2＝1－.
(4)原方程变形为(x－1)(x－1＋2x)＝0，
即(x－1)(3x－1)＝0，
∴x－1＝0或3x－1＝0，∴x1＝1，x2＝.
INCLUDEPICTURE "标JS.TIF" INCLUDEPICTURE "标JS.TIF" \* MERGEFORMAT 【归纳提升】
一元二次方程解法的理论依据及适用范围
INCLUDEPICTURE "标JS.TIF" INCLUDEPICTURE "标JS.TIF" \* MERGEFORMAT 变式一：巩固 (2021·佛山月考)解方程x2－3x＝0较为合适的方法是(D)
A．直接开平方法 B．配方法
C．公式法 D．分解因式法
INCLUDEPICTURE "标JS.TIF" INCLUDEPICTURE "标JS.TIF" \* MERGEFORMAT 变式二：提升 (2021·黄冈期中)解下列方程：
(1)2x2－4x＋1＝0.
(2)(2x－1)2＝(3－x)2.
【解析】见全解全析
INCLUDEPICTURE "培素养·思维拓展.TIF" INCLUDEPICTURE "培素养·思维拓展.TIF" \* MERGEFORMAT
INCLUDEPICTURE "标JS.TIF" INCLUDEPICTURE "标JS.TIF" \* MERGEFORMAT 【火眼金睛】
解方程(x－2)(x－3)＝6.
【正解】∵(x－2)(x－3)＝6，∴x2－5x＋6＝6，
∴x2－5x＝0，∴x(x－5)＝0，
∴x1＝0，x2＝5.
INCLUDEPICTURE "标JS.TIF" INCLUDEPICTURE "标JS.TIF" \* MERGEFORMAT 【一题多变】
如果关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程x2＋x＝0的两个根是x1＝0，x2＝－1，则方程x2＋x＝0是“邻根方程”．通过计算，判断方程2x2－2x＋1＝0是否是“邻根方程”？
【解析】2x2－2x＋1＝0，
解得x＝＝，
∵＝＋1，
∴2x2－2x＋1＝0是“邻根方程”．
INCLUDEPICTURE "标JS.TIF" INCLUDEPICTURE "标JS.TIF" \* MERGEFORMAT 【母题变式】
(变换条件与问法)(2021·厦门月考)如果关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”．例如，一元二次方程x2－6x＋8＝0的两个根是2和4，则方程x2－6x＋8＝0就是“倍根方程”．若(x－2)(mx－n)＝0且(m≠0)是“倍根方程”，求的值．
【解析】见全解全析
关闭Word文档返回原板块*5 一元二次方程的根与系数的关系
INCLUDEPICTURE "识新知·自主预习.TIF" INCLUDEPICTURE "识新知·自主预习.TIF" \* MERGEFORMAT
INCLUDEPICTURE "标JS.TIF" INCLUDEPICTURE "标JS.TIF" \* MERGEFORMAT 【旧知再现】
一元二次方程的解，也叫一元二次方程的根
INCLUDEPICTURE "标JS.TIF" INCLUDEPICTURE "标JS.TIF" \* MERGEFORMAT 【新知初探】
阅读教材P49—P50完成下面问题：
1．完成下面的表格
方程 一般形式 x1 x2 x1＋x2 x1·x2
(x－3)(x＋1)＝0 x2－2x－3＝0 3 __－1__ __2__ __－3__
(x＋2)(x＋3)＝0 x2＋5x＋6＝0 __－2__ －3 __－5__ __6__
2(x＋1)(x＋2)＝0 2x2＋6x＋4＝0 －1 __－2__ __－3__ __2__
若x1，x2是方程x2＋px＋q＝0的两根，则x1＋x2＝__－p__，x1·x2＝__q__．
2．完成下面的推导过程
方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，当b2－4ac≥0时，方程的两根是：
x1＝____，x2＝____，x1＋x2＝__－__，x1·x2＝____．
归纳：根与系数的关系
(1)语言叙述：两根之和等于__一次项__系数与__二次项__系数比的__相反数__，两根之积等于__常数项__与__二次项系数__的比．
(2)字母表示：若x1，x2是方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根，则x1＋x2＝__－__，x1·x2＝____．
INCLUDEPICTURE "标JS.TIF" INCLUDEPICTURE "标JS.TIF" \* MERGEFORMAT 【质疑判断】
1．一元二次方程的根与系数的关系适用于所有的一元二次方程．( × )
2．一元二次方程的两根之和一定是正数．( × )
3．一元二次方程x2＋2x＋3＝0的两根之和等于－2.( × )
4．一元二次方程－3x2＋x＋9＝0的两根之积等于3.( × )
INCLUDEPICTURE "研重点·典例探析.TIF" INCLUDEPICTURE "研重点·典例探析.TIF" \* MERGEFORMAT
INCLUDEPICTURE "知识点一.TIF" INCLUDEPICTURE "知识点一.TIF" \* MERGEFORMAT 由根与系数的关系求代数式的值
【教材P50例题拓展】——由根与系数的关系求代数式的值的通性通法
(10分)(2021·双鸭山期中)已知x1，x2是一元二次方程x2－3x－1＝0的两根，不解方程求下列各式的值．
(1)x＋x；(2)＋.
【归纳提升】
根与系数关系常见的六种变形
1．x ＋ x ＝ (x1＋x2)2－__2x1x2__．
2.＋＝____．
3．(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－__4x1x2__．
4．|x1－x2|＝＝.
5．(x1＋a)(x2＋a)＝__x1x2__＋a(x1＋x2)＋a2.
6．x＋x1x2＋x＝__(x1＋x2)2__－__x1x2__．
INCLUDEPICTURE "标JS.TIF" INCLUDEPICTURE "标JS.TIF" \* MERGEFORMAT 变式一：巩固 (2020·遵义中考)已知x1，x2是方程x2－3x－2＝0的两根，则x＋x的值为(D)
A．5 B．10 C．11 D．13
INCLUDEPICTURE "标JS.TIF" INCLUDEPICTURE "标JS.TIF" \* MERGEFORMAT 变式二：提升 若一元二次方程x2－x－2＝0的两根为x1，x2，则(1＋x1)＋x2(1－x1)的值是(A)
A．4 B．2 C．1 D．－2
INCLUDEPICTURE "知识点二.TIF" INCLUDEPICTURE "知识点二.TIF" \* MERGEFORMAT 利用根与系数的关系求未知系数
【教材P51习题拓展】——利用根与系数的关系求未知字母的值
(2020·十堰中考)已知关于x的一元二次方程x2－4x－2k＋8＝0有两个实数根x1，x2.
(1)求k的取值范围．
(2)若xx2＋x1x＝24，求k的值．
【思路点拨】
(1)根据Δ≥0建立不等式即可求解；
(2)先提取公因式对等式变形为x1x2[(x1＋x2)2－2x1x2]＝24，再结合根与系数的关系求解即可．
【自主解答】(1)由题意可知，Δ＝(－4)2－4×1×(－2k＋8)≥0，
整理得：16＋8k－32≥0，
解得：k≥2，
∴k的取值范围是：k≥2.
(2)由题意得：xx2＋x1x＝x1x2[(x1＋x2)2－2x1x2]＝24，
由根与系数的关系可知：x1＋x2＝4，x1x2＝－2k＋8，
故有：(－2k＋8)[42－2(－2k＋8)]＝24，
整理得：k2－4k＋3＝0，
解得：k1＝3，k2＝1，
又由(1)中可知k≥2，∴k的值为3.
INCLUDEPICTURE "标JS.TIF" INCLUDEPICTURE "标JS.TIF" \* MERGEFORMAT 【归纳提升】
求一元二次方程的另一根及未知字母的方法
1．已知一次项系数：先利用两根的和求另一个根，再利用两根的积求常数项．
2．已知常数项：先利用两根的积求另一个根，再利用两根的和求一次项系数．
INCLUDEPICTURE "标JS.TIF" INCLUDEPICTURE "标JS.TIF" \* MERGEFORMAT 变式一：巩固 (2021·西安月考)已知关于x的一元二次方程x2－2(1－m)x＋m2＝0的两实数根为x1，x2，若x1·x2＝1，则m的值为(A)
A．－1 B．1 C．1或－1 D．
INCLUDEPICTURE "标JS.TIF" INCLUDEPICTURE "标JS.TIF" \* MERGEFORMAT 变式二：提升 (2020·南充中考)已知x1，x2是一元二次方程x2－2x＋k＋2＝0的两个实数根．
(1)求k的取值范围．
(2)是否存在实数k，使得等式＋＝k－2成立？如果存在，请求出k的值；如果不存在，请说明理由．
【解析】见全解全析
INCLUDEPICTURE "培素养·思维拓展.TIF" INCLUDEPICTURE "培素养·思维拓展.TIF" \* MERGEFORMAT
INCLUDEPICTURE "标JS.TIF" INCLUDEPICTURE "标JS.TIF" \* MERGEFORMAT 【火眼金睛】
已知方程2x2＋3x＋1＝0的两个根是x1，x2，不解方程，求x＋x的值．
【正解】由根与系数的关系得：x1＋x2＝－，x1·x2＝，所以x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2
＝－2×＝.
INCLUDEPICTURE "标JS.TIF" INCLUDEPICTURE "标JS.TIF" \* MERGEFORMAT 【一题多变】
(2020·孝感中考)已知关于x的一元二次方程x2－(2k＋1)x＋k2－2＝0.
(1)求证：无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根．
(2)若方程的两个实数根x1，x2满足x1－x2＝3，求k的值．
【解析】见全解全析
INCLUDEPICTURE "标JS.TIF" INCLUDEPICTURE "标JS.TIF" \* MERGEFORMAT 【母题变式】
【变式一】(变换条件及问法)已知关于x的方程x2－2x＋m＝0有两个不相等的实数根x1，x2，若x＋x＝2，求实数m的值．
【解析】由一元二次方程根与系数的关系可知：
x1＋x2＝2，x1·x2＝m，
又∵x＋x＝2，
∴(x1＋x2)2－2x1x2＝2，
∴4－2m＝2，∴m＝1.
【变式二】(变换条件及问法)已知关于x的一元二次方程x2－2x＋a＝0的两个实数根满足x1x2＋x1＋x2>0，求a的取值范围．
【解析】因为原方程有两个实根，所以Δ＝4－4a≥0，解得a≤1；
由一元二次方程根与系数的关系可知：x1x2＝a，x1＋x2＝2，原不等式即为a＋2＞0，
解得a＞－2，
故a的取值范围为－2＜a≤1.
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第1课时
INCLUDEPICTURE "识新知·自主预习.TIF" INCLUDEPICTURE "识新知·自主预习.TIF" \* MERGEFORMAT
INCLUDEPICTURE "标JS.TIF" INCLUDEPICTURE "标JS.TIF" \* MERGEFORMAT 【旧知再现】
勾股定理：__a2＋b2__＝c2(a，b是直角三角形的两条直角边，c是斜边).
INCLUDEPICTURE "标JS.TIF" INCLUDEPICTURE "标JS.TIF" \* MERGEFORMAT 【新知初探】
阅读教材P52—P53完成下面问题：
1．应用一元二次方程解决几何图形问题：
(1)主要包括面积型问题和线段型问题．
(2)线段型问题列方程的主要依据：线段的和差倍分关系或__勾股定理__．
2．动点问题：
设动点的运动时间为未知数，并用未知数表示运动路线的__长度__．
3．列一元二次方程解应用题的一般步骤
(1)审：审清题意，找出__等量关系__．
(2)设：设出__未知数__，用所设的__未知数__表示其他未知量．
(3)列：列一元二次方程．
(4)解：解一元二次方程．
(5)验：检验所求的解是否符合题意，确定__未知数__的值．
(6)答：作答．
INCLUDEPICTURE "标JS.TIF" INCLUDEPICTURE "标JS.TIF" \* MERGEFORMAT 【质疑判断】
1．并不是所有的应用题都能通过列一元二次方程解决．( √ )
2．实际问题中的等量关系只能有一个．( × )
3．列方程解决实际问题时，方程的解只要不是负数，就符合实际要求．( × )
INCLUDEPICTURE "研重点·典例探析.TIF" INCLUDEPICTURE "研重点·典例探析.TIF" \* MERGEFORMAT
INCLUDEPICTURE "知识点j.TIF" INCLUDEPICTURE "知识点j.TIF" \* MERGEFORMAT 应用一元二次方程解决几何图形问题
【教材P53习题T2拓展】——应用一元二次方程解决动点问题
(2021·泰州质检)如图1，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝12 cm，AC＝8 cm，现有动点P从点B出发，沿射线BA方向运动，动点Q从点C出发，沿射线CA方向运动，已知点P的速度是2 cm/s，点Q的速度是1 cm/s，它们同时出发，设运动时间是t s(t＞0).
(1)当t＝4时，求△APQ的面积．
(2)经过多少秒时，△APQ的面积是△ABC面积的一半．
【思路点拨】
(1)当t＝4时，根据点P的速度是2 cm/s，点Q的速度是1 cm/s，AP＝4 cm，AQ＝4 cm，利用面积公式求解．
(2)设经过t秒△APQ的面积是△ABC面积的一半，则BP＝2t cm，CQ＝t cm，进而表示出AP＝(12－2t)cm，AQ＝(8－t)cm，利用面积公式表示出方程求解但是由于题目给的是射线，注意分类讨论．
【自主解答】(1)∵点P的速度是2 cm/s，点Q的速度是1 cm/s，
当t＝4时，BP＝2t＝8 cm，CQ＝t＝4 cm，
∴AP＝4 cm，AQ＝4 cm，
∴S△APQ＝×4×4＝8 cm2.
(2)见全解全析
INCLUDEPICTURE "标JS.TIF" INCLUDEPICTURE "标JS.TIF" \* MERGEFORMAT 【归纳提升】
几何问题中常见的等量关系
1．当题目中有直角三角形时，常借助勾股定理建立一元二次方程．
2．当题目中涉及图形面积(体积)时，常通过图形的面积(体积)公式建立方程．
INCLUDEPICTURE "标JS.TIF" INCLUDEPICTURE "标JS.TIF" \* MERGEFORMAT 变式一：巩固 直角三角形的面积为24，两直角边的和为14，则斜边长为(B)
A．2 B．10 C．2 D．14
INCLUDEPICTURE "标JS.TIF" INCLUDEPICTURE "标JS.TIF" \* MERGEFORMAT 变式二：提升
(2020·无锡模拟)如图，在△ABC中，AB＝6 cm，BC＝4 cm，∠B＝60°，动点P，Q分别从A，B两点同时出发，分别沿AB，BC方向匀速移动；它们的速度分别为2 cm/s和1 cm/s.当点P到达点B时，P，Q两点停止运动．设点P的运动时间为t(s).当t为__或__s时，△PBQ为直角三角形．
INCLUDEPICTURE "培素养·思维拓展.TIF" INCLUDEPICTURE "培素养·思维拓展.TIF" \* MERGEFORMAT
INCLUDEPICTURE "标JS.TIF" INCLUDEPICTURE "标JS.TIF" \* MERGEFORMAT 【火眼金睛】要在一个长10 m,宽8 m的院子中沿三边开辟出宽度相等的花圃,使花圃的面积等于院子面积的30%,试求花圃的宽度.
【正解】设花圃的宽度为x m，
由题意得：(10－2x)(8－x)＝10×8×(1－30%)
解得：x1＝12，x2＝1，∵x＝12不合题意，应舍去；
∴x＝1，∴花圃的宽度为1 m.
INCLUDEPICTURE "标JS.TIF" INCLUDEPICTURE "标JS.TIF" \* MERGEFORMAT 【一题多变】
如图，在矩形ABCD中，AB＝6 cm，BC＝8 cm，点P从点A沿边AB以1 cm/s的速度向点B移动，同时点Q从点B沿边BC以2 cm/s的速度向点C移动，当P，Q两点中有一个点到终点时，则另一个点也停止运动．当△DPQ的面积比△PBQ的面积大19.5 cm2时，求点P运动的时间．
【解析】设当△DPQ的面积比△PBQ的面积大19.5 cm2时，点P运动了x s.
根据题意得：×8×x＋×2x(6－x)＋×6(8－2x)＋＝6×8，化简得：2x2－10x＋＝0，解得：x1＝，x2＝.
∵当x2＝时，8－2x＝－1＜0，∴x2＝舍去．
答：当△DPQ的面积比△PBQ的面积大19.5 cm2时，点P经过了 s．
INCLUDEPICTURE "标JS.TIF" INCLUDEPICTURE "标JS.TIF" \* MERGEFORMAT 【母题变式】
(变换条件和问法)如图，在矩形ABCD中，AB＝6 cm，BC＝12 cm，点P从点A沿边AB向点B以1 cm/s的速度移动；同时，点Q从点B沿边BC向点C以2 cm/s的速度移动．问：
(1)几秒时△PBQ的面积等于8 cm2.
(2)几秒时△PDQ的面积等于28 cm2.
【解析】(1)设x s时△PBQ的面积等于8 cm2.
则AP＝x cm，QB＝2x cm.
∴PB＝(6－x)cm.
∴×(6－x)×2x＝8，
解得x1＝2，x2＝4.
答：2 s或4 s时△PBQ的面积等于8 cm2.
(2)见全解全析
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第2课时
INCLUDEPICTURE "识新知·自主预习.TIF" INCLUDEPICTURE "识新知·自主预习.TIF" \* MERGEFORMAT
INCLUDEPICTURE "标JS.TIF" INCLUDEPICTURE "标JS.TIF" \* MERGEFORMAT 【新知初探】 阅读教材P54—P55完成下面问题：
1．利润问题中常用的等量关系
(1)单件利润＝__单件售价__－单件成本．
(2)总利润＝__单件利润__×销售件数＝__总售价__－总成本．
(3)利润＝进价×利润率．
2．增长率方面的应用题
(1)公式：__a(1＋x)2＝b__或__a(1－x)2＝b__．
(2)意义：其中a表示增长(降低)前的数据，b表示后来得到的数据，x表示增长率或降低率，“＋”表示__增长__，“－”表示__降低__．
INCLUDEPICTURE "标JS.TIF" INCLUDEPICTURE "标JS.TIF" \* MERGEFORMAT 【质疑判断】
1．增长率不能是负数，且不能大于1.(×)
2．降低率不能大于1.(√)
3．增长率和降低率都不能是负数．(√)
INCLUDEPICTURE "研重点·典例探析.TIF" INCLUDEPICTURE "研重点·典例探析.TIF" \* MERGEFORMAT
INCLUDEPICTURE "知识点一.TIF" INCLUDEPICTURE "知识点一.TIF" \* MERGEFORMAT 列一元二次方程解利润问题
【教材P54例2补充】——利润问题的通性通法
(2021·太原期中)山西因特殊的地理环境，培育出了众多品质一流的特色杂粮．而山西小米以其突出的品质、品种优势，成为山西现代特色农业的一张“黄金名片”．某地一家杂粮销售商以每千克10元的价格购进一批山西“沁州黄”小米，当按每千克16元的价格出售时，平均每天可销售200 kg.为了尽快减少库存，该销售商决定降价销售，经调查发现，当每千克小米的售价每降低0.5元，平均每天销量可增加40 kg.该销售商要想每天获利1 400元，那么每千克小米的售价应为多少元？.
【完善解答】设每千克小米的售价应降x元，
设未知数
由题意得，__(16－x－10)＝1__400__，列方程
整理得，__2x2－7x＋5__＝0，解得__x1＝1，x2＝2.5__．解方程
∵为了尽快减少库存，
∴x＝__2.5__．验根
∴每千克小米的售价应为16－__2.5__＝__13.5__元．
答：每千克小米的售价应为__13.5__元．作答
INCLUDEPICTURE "标JS.TIF" INCLUDEPICTURE "标JS.TIF" \* MERGEFORMAT 【归纳提升】
列一元二次方程解决利润问题的三个关键
1．一个相等关系：单件利润×销售数量＝总利润．
2．两个量：单件利润、销售数量是较难表示的两个量．
3．三检验：列方程后检验每项意义、检验方程根求解是否正确、作答前检验根是否符合实际．
INCLUDEPICTURE "标JS.TIF" INCLUDEPICTURE "标JS.TIF" \* MERGEFORMAT 变式一：巩固 某食品厂生产一种饮料，平均每天销售20箱，每箱盈利32元．为了减少库存，食品厂决定降价销售．如果每箱降价1元，则每天可多销售5箱，若要保证盈利1 215元，设每箱降价的价钱为x元，则根据题意可列方程为(A)
A．(32－x)(20＋5x)＝1 215
B．(32＋x)(20＋5x)＝1 215
C．(32－x)(20－5x)＝1 215
D．(32＋x)(20－5x)＝1 215
INCLUDEPICTURE "标JS.TIF" INCLUDEPICTURE "标JS.TIF" \* MERGEFORMAT 变式二：提升 (2021·重庆期中)某汽车销售公司6月份销售某厂家的汽车，在一定范围内，每部汽车的售价与销售量有如下关系：若当月仅售出1部汽车，则该部汽车的进价为27万元，每多售出1部，所有售出的汽车的进价均降低0.1万元/部；月底厂家根据销售量一次性返利给销售公司，销售10部以内(含10部)，每部返利0.5万元；销售量在10部以上，每部返利1万元．
(1)若该公司当月售出3部汽车，则每部汽车的进价为________万元．
(2)如果汽车的售价为28万元/部，该公司计划当月盈利12万元，那么需要售出多少部汽车？(盈利＝销售利润＋返利)
【解析】见全解全析
INCLUDEPICTURE "知识点二.TIF" INCLUDEPICTURE "知识点二.TIF" \* MERGEFORMAT 列一元二次方程解增长率问题
【教材P54例2补充】——解增长率问题的通性通法
(2020·湘西州中考)某口罩生产厂生产的口罩1月份平均日产量为20 000个，1月底因突然暴发新冠肺炎疫情，市场对口罩需求量大增，为满足市场需求，工厂决定从2月份起扩大产能，3月份平均日产量达到24 200个．
(1)求口罩日产量的月平均增长率．
(2)按照这个增长率，预计4月份平均日产量为多少？
【自主解答】(1)设口罩日产量的月平均增长率为x，根据题意，得
20 000(1＋x)2＝24 200，
解得x1＝－2.1(舍去)，x2＝0.1＝10%，
答：口罩日产量的月平均增长率为10%.
(2)24 200(1＋0.1)＝26 620(个).
答：预计4月份平均日产量为26 620个．
INCLUDEPICTURE "标JS.TIF" INCLUDEPICTURE "标JS.TIF" \* MERGEFORMAT 【归纳提升】
平均增长率问题中常见的等量关系及注意事项
1．常见的等量关系：a(1__±x__)2＝b，其中a表示原数据，x表示增长(降低)率，b表示后来得到的数据．
2．两点注意：(1)解此类问题一般用两边__直接开平方__求解．
(2)增长(降低)率不能是负数，降低率要__小于__1.
INCLUDEPICTURE "标JS.TIF" INCLUDEPICTURE "标JS.TIF" \* MERGEFORMAT 变式一：巩固 (2021·衡阳模拟)某药品经过两次降价，每瓶零售价由168元降为128元，已知两次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为x，根据题意列方程得(B)
A．168(1＋x)2＝128 B．168(1－x)2＝128
C．168(1－2x)＝128 D．168(1－x2)＝128
INCLUDEPICTURE "标JS.TIF" INCLUDEPICTURE "标JS.TIF" \* MERGEFORMAT 变式二：提升 (2021·湛江期末)某地地震牵动着全国人民的心，某单位开展了“一方有难，八方支援”赈灾捐款活动．第一天收到捐款10 000元，第三天收到捐款12 100元．
(1)如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同，求捐款增长率．
(2)按照(1)中收到捐款的增长率，第四天该单位能收到多少捐款？
【解析】见全解全析
INCLUDEPICTURE "培素养·思维拓展.TIF" INCLUDEPICTURE "培素养·思维拓展.TIF" \* MERGEFORMAT
INCLUDEPICTURE "标JS.TIF" INCLUDEPICTURE "标JS.TIF" \* MERGEFORMAT 【火眼金睛】
某工厂一月份的产量为25 t，第一季度的总产量为91 t，若二月、三月的平均增长率为x，可列方程为________．
【正解】由题意得，25＋25(1＋x)＋25(1＋x)2＝91.
答案：25＋25(1＋x)＋25(1＋x)2＝91
INCLUDEPICTURE "标JS.TIF" INCLUDEPICTURE "标JS.TIF" \* MERGEFORMAT 【一题多变】
某商店将进价为30元/件的商品按售价50元/件出售时，能卖500件．已知该商品每涨价1元，销售量就会减少10件，为获得12 000元的利润，且尽量减少库存，售价应为多少元/件？
【解析】设售价为x元/件，根据题意可得：
(x－30)[500－10(x－50)]＝12 000，解得：x1＝60，x2＝70，∵尽量减少库存，∴售价应为60元/件．
INCLUDEPICTURE "标JS.TIF" INCLUDEPICTURE "标JS.TIF" \* MERGEFORMAT 【母题变式】
(变换条件和结论)商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调査发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．
(1)若某天该商品每件降价3元，当天可获利多少元？
(2)设每件商品降价x元，则商场日销售量增加________件，每件商品，盈利________元(用含x的代数式表示)；
(3)在上述销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2 000元？
【解析】(1)当天盈利：(50－3)×(30＋2×3)＝1 692(元).
答：若某天该商品每件降价3元，当天可获利1 692元．
(2)∵每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件，
∴若每件商品降价x元，则商场日销售量增加2x件，每件商品盈利(50－x)元．
答案：2x (50－x)
(3)见全解全析
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第二章 一元二次方程
INCLUDEPICTURE "理脉络·体系构建.TIF" INCLUDEPICTURE "理脉络·体系构建.TIF" \* MERGEFORMAT
答案 ①__一__；②__2__；③__整__；④__配方__； ⑤__一般式__； ⑥____；⑦__a＝0或b＝0__；⑧__－__；⑨____；⑩__两个不相等__； __两个相等__； __无__．
INCLUDEPICTURE "破考点·提分点拨.TIF" INCLUDEPICTURE "破考点·提分点拨.TIF" \* MERGEFORMAT
INCLUDEPICTURE "考点一.TIF" INCLUDEPICTURE "考点一.TIF" \* MERGEFORMAT 一元二次方程及根的有关概念
在涉及方程类型的讨论时，常考查一元二次方程的二次项系数不为0这一条件．涉及方程的根的问题时，常考查代入法．
1．(2020·黑龙江中考)已知2＋是关于x的一元二次方程x2－4x＋m＝0的一个实数根，则实数m的值是(B)
A．0 B．1 C．－3 D．－1
2．(2021·重庆质检)一元二次方程2y2－7＝3y的二次项系数、一次项系数、常数项分别是(A)
A．2，－3，－7 B．－2，－3，－7
C．2，－7，3 D．－2，－3，7
3．(2020·枣庄中考)已知关于x的一元二次方程(a－1)x2－2x＋a2－1＝0有一个根为x＝0，则a＝__－1__.
INCLUDEPICTURE "标JS.TIF" INCLUDEPICTURE "标JS.TIF" \* MERGEFORMAT 方法·技巧
1．一元二次方程的三个条件：
(1)含有一个未知数．
(2)未知数的最高次数为2.
(3)整式方程．
2．能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的根，已知方程的根求值，只需把“根”代入原方程即可．
【特别提醒】一元二次方程中的系数a，b，c是针对一般形式而言的，且包括前面的符号；当一元二次方程二次项系数含有字母时，要注意二次项系数不为0这一隐含条件的成立．
INCLUDEPICTURE "考点二.TIF" INCLUDEPICTURE "考点二.TIF" \* MERGEFORMAT 一元二次方程的解法
解一元二次方程的方法主要有直接开平方法、配方法、因式分解法、公式法．
1．(2020·营口中考)一元二次方程x2－5x＋6＝0的解为(D)
A．x1＝2，x2＝－3 B．x1＝－2，x2＝3
C．x1＝－2，x2＝－3 D．x1＝2，x2＝3
2．(2020·镇江中考)一元二次方程x2－2x＝0的两根分别为__x1＝0，x2＝2__．
3．(2020·威海中考)一元二次方程4x(x－2)＝x－2的解为__x1＝2，x2＝__．
4．(2020·无锡中考)解方程：x2＋x－1＝0.
【解析】∵a＝1，b＝1，c＝－1，
∴Δ＝12－4×1×(－1)＝5＞0，
∴x＝，
∴x1＝，x2＝.
INCLUDEPICTURE "标JS.TIF" INCLUDEPICTURE "标JS.TIF" \* MERGEFORMAT 方法·技巧
1．一元二次方程解法的选择顺序：
直接开平方法→因式分解法→公式法(配方法一般不用).
2．易错提醒：
(1)用因式分解法解一元二次方程，易出现方程的右边没有化为0，左边直接因式分解的错误．
(2)用公式法解一元二次方程，在确定系数a，b，c时，易忘记先将一元二次方程化为一般形式．
(3)对于缺少常数项的一元二次方程，方程两边不能同时除以未知数或含有未知数的项，否则遗漏x＝0的情况．
INCLUDEPICTURE "考点三.TIF" INCLUDEPICTURE "考点三.TIF" \* MERGEFORMAT 根的判别式及根与系数的关系
主要考查一元二次方程根的情况的判断及求方程中字母系数的值或范围．
1．(2020·雅安中考)如果关于x的一元二次方程kx2－3x＋1＝0有两个实数根，那么k的取值范围是(C)
A．k≥ B．k≥－且k≠0
C．k≤且k≠0 D．k≤－
2．(2020·眉山中考)设x1，x2是方程2x2＋3x－4＝0的两个实数根，则＋的值为____．
3．(2020·黄石中考)已知：关于x的一元二次方程x2＋x－2＝0有两个实数根．
(1)求m的取值范围．
(2)设方程的两根为x1，x2，且满足(x1－x2)2－17＝0，求m的值．
【解析】(1)∵关于x的一元二次方程x2＋x－2＝0有两个实数根，
∴Δ＝()2－4×1×(－2)＝m＋8≥0，且m≥0，解得：m≥0.
(2)∵关于x的一元二次方程x2＋x－2＝0有两个实数根x1，x2，
∴x1＋x2＝－，x1·x2＝－2，
∴(x1－x2)2－17＝(x1＋x2)2－4x1·x2－17＝0，即m＋8－17＝0，解得：m＝9.
INCLUDEPICTURE "标JS.TIF" INCLUDEPICTURE "标JS.TIF" \* MERGEFORMAT 方法·技巧
1．求一元二次方程中字母系数的值或范围，一般是根据①二次项系数不等于0，②根的判别式，③根与系数的关系，这三个方面的要求列方程或不等式求解．
2．易错提醒：(1)“方程有解”和“方程有两个解”对二次项系数是否可以为0要求不一样．
(2)一元二次方程有实数根和有两个不相等的实数根，对Δ的要求不一样．
(3)两根和“x1＋x2＝－”前面有负号，和两根积“x1x2＝”不一样．
INCLUDEPICTURE "考点四.TIF" INCLUDEPICTURE "考点四.TIF" \* MERGEFORMAT 一元二次方程的应用
涉及一元二次方程的应用题有增长率问题、几何面积问题、经济销售问题和传播类问题四大类型
【典例】(10分)(2020·锦州中考)某水果超市以每千克20元的价格购进一批樱桃，规定每千克樱桃售价不低于进价又不高于40元，经市场调查发现，樱桃的日销售量y(千克)与每千克售价x(元)满足一次函数关系，其部分对应数据如表所示：
每千克售价x(元) … 25 30 35 …
日销售量y(千克) … 110 100 90 …
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)该超市要想获得1 000元的日销售利润，每千克樱桃的售价应定为多少元？
【规范解答】(1)设y＝kx＋b，将(25，110)，(30，100)代入，得2分
解得4分
∴y＝－2x＋160.5分
(2)由题意，
得(x－20)(－2x＋160)＝1 000，6分
整理，得x2－100x＋2 100＝0，
解得x1＝30，x2＝70.8分
又∵每千克售价不低于进价，且不高于40元，即20≤x≤40，故x＝30.
答：该超市要想获得1 000元的日销售利润，每千克樱桃的售价应定为30元．10分
INCLUDEPICTURE "标JS.TIF" INCLUDEPICTURE "标JS.TIF" \* MERGEFORMAT 方法·技巧
1．求解后需要检验
(1)检验得到的解是否与实际情况相吻合．
(2)增长率大于0，降低率大于0且小于1.
2．善于挖掘题目中隐含的限制条件
如：“为了尽快消化库存”说明需要增大销量，“为了使购买者得到最大利益”说明降价幅度大等．
【跟踪训练】
1. (2020 济南中考)如图，在一块长15 m、宽10 m的矩形空地上，修建两条同样宽的相互垂直的道路，剩余部分栽种花草，要使绿化面积为126 m2，则修建的路宽应为__1__m.
2．(2020·通辽中考)有一个人患了新冠肺炎，经过两轮传染后共有169人患了新冠肺炎，每轮传染中平均一个人传染了__12__个人．
3．(2020·上海中考)去年某商店“十一黄金周”进行促销活动期间，前六天的总营业额为450万元，第七天的营业额是前六天总营业额的12%.
(1)求该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额．
(2)去年，该商店7月份的营业额为350万元，8、9月份营业额的月增长率相同，“十一黄金周”这七天的总营业额与9月份的营业额相等．求该商店去年8、9月份营业额的月增长率．
【解析】(1)450＋450×12%＝504(万元).
答：该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额为504万元．
(2)设该商店去年8、9月份营业额的月增长率为x，
依题意，得：350(1＋x)2＝504，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝－2.2(不合题意，舍去).
答：该商店去年8、9月份营业额的月增长率为20%.
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