2022-2023学年人教版七年级上册数学1.4.1 有理数的乘法 同步训练 （word、含解析）
文档属性
| 名称 | 2022-2023学年人教版七年级上册数学1.4.1 有理数的乘法 同步训练 （word、含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 108.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-08-27 18:14:56 | ||
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文档简介
《有理数的乘法》同步训练
一、选择题
1．如图所示，下列判断正确的是（ ）
A．a+b＞0 B．a﹣b＞0 C．ab＞0 D．|b|＜|a|
2．已知|a|＝3，|b|＝2，且a+b＜0，则ab的值是（ ）
A．6 B．﹣6 C．6和﹣6 D．6或﹣6
3．下列说法正确的是（ ）
①一个数的绝对值一定是正数；
②若ab＜0，a+b＞0，则a，b异号且正数的绝对值大；
③当|a|＝﹣a时，a一定是负数；
④|﹣a3|＝a3．
A．①②③ B．①③④ C．②④ D．②
4．正整数x、y满足（2x﹣5）（2y﹣5）＝25，则x+y等于（ ）
A．18或10 B．18 C．10 D．26
5．如图，下列结论正确的个数是（ ）
①m+n＞0；②m﹣n＞0；③mn＜0；④|m﹣n|＝m﹣n．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．﹣是下列各算式中（ ）的积．
A．﹣3×（﹣） B．×（﹣）
C．（﹣1）× D．×（﹣）
7．若“！”是一种数学运算符号，并1！＝1，2！＝2×1＝2，3！＝3×2×1＝6，4！＝4×3×2×1＝24，…，则的值为（ ）
A．0.2！ B．2450 C． D．49！
8．在数轴上，点A向右移动1个单位得到点B，点B向右移动2个单位得到点C，点A、B、C分别表示有理数a、b、c．A、B、C三点在数轴上的位置如图所示，a、b、c三个数的乘积为负数．若这三个数的和与其中的一个数相等，则a的值为（ ）
A．﹣ B．﹣ C．﹣或﹣ D．﹣或﹣2
9．已知有理数a，b，c满足++＝1，则的值为（ ）
A．﹣1 B．1 C．0 D．±1
10．对正整数n，记1×2×…×n＝n！若M＝1!×2!×…×10!，则M的正因数中共有完全立方数（ ）个．
A．468 B．684 C．846 D．648
二、填空题
11．|a|＝5，b＝﹣2，且ab＞0，则a+b等于 ．
12．把40，44，45，63，65，78，99，105平均分成两组，并且使这两组数的乘积相等，直接写出分组情况： ．
13．乘积是6的两个负整数之和为 ．
14．已知有理数a，b满足ab＜0，a+b＞0，7a+2b+1＝﹣|b﹣a|，则的值为 ．
15．已知实数a，b满足|a|＝b，|ab|+ab＝0，化简|a|+|﹣2b|﹣|3b﹣2a|的结果是 ．
三、解答题
16．已知|x|＝5，|y|＝3．
（1）若x﹣y＞0，求x+y的值；
（2）若xy＜0，求|x﹣y|的值；
（3）求x﹣y的值．
17．如图，A，B两点在数轴上对应的数分别为a，b，且点A在点B的左边，|a|＝10，a+b＝80，ab＜0．
（1）求出a，b的值；
（2）现有一只电子蚂蚁P从点A出发，以3个单位长度/秒的速度向右运动，同时另一只电子蚂蚁Q从点B出发，以2个单位长度/秒的速度向左运动．
①设两只电子蚂蚁在数轴上的点C相遇，求出点C对应的数是多少？
②经过多长时间两只电子蚂蚁在数轴上相距20个单位长度？
18．已知|a|＝5，|b|＝7．
（1）若ab＜0，求|a﹣b|的值．
（2）若|a﹣b|＝﹣（a﹣b），求a b的值．
19．观察：
等式（1）2＝1×2
等式（2）2+4＝2×3＝6
等式（3）2+4+6＝3×4＝12
等式（4）2+4+6+8＝4×5＝20
（1）仿此：请写出等式（5） ；…，等式（n） ．
（2）按此规律计算：
①2+4+6+…+34＝ ；
②求28+30+…+50的值．
20．阅读下列材料：|x|＝，即当x＞0时，；当x＜0时，．
用这个结论可以解决下面问题：
（1）已知a、b是有理数，当ab≠0时，求的值．
（2）已知a、b是有理数，当abc≠0时，求+的值．
（3）已知a、b、c是有理数，a+b+c＝0，abc＜0，求的值．
《有理数的乘法》同步训练
参考答案与试题解析
一、选择题
1．如图所示，下列判断正确的是（ ）
A．a+b＞0 B．a﹣b＞0 C．ab＞0 D．|b|＜|a|
【分析】先根据数轴知b＜0＜a且|a|＜|b|，再根据有理数的加法、减法和乘法法则逐一判断即可得．
【解答】解：由数轴知b＜0＜a，且|a|＜|b|，
则A．a+b＜0，此选项错误；
B．a﹣b＞0，此选项正确；
C．ab＜0，此选项错误；
D．|a|＜|b|，此选项错误；
故选：B．
【点评】本题主要考查有理数的乘法，解题的关键是掌握有理数的加法、减法和乘法法则及绝对值的定义．
2．已知|a|＝3，|b|＝2，且a+b＜0，则ab的值是（ ）
A．6 B．﹣6 C．6和﹣6 D．6或﹣6
【分析】根据绝对值的性质求出a、b，再根据有理数的加法判断出a、b的对应情况，然后相乘即可得解．
【解答】解：∵|a|＝3，|b|＝2，
∴a＝±3，b＝±2，
∵a+b＜0，
∴a＝﹣3时，b＝2或﹣2，
ab＝（﹣3）×2＝﹣6，
ab＝（﹣3）×（﹣2）＝6，
a＝3不符合．
综上所述，ab的值为6或﹣6．
故选：D．
【点评】本题考查了有理数的乘法，绝对值的性质和有理数的加法，熟记运算法则是解题的关键．
3．下列说法正确的是（ ）
①一个数的绝对值一定是正数；
②若ab＜0，a+b＞0，则a，b异号且正数的绝对值大；
③当|a|＝﹣a时，a一定是负数；
④|﹣a3|＝a3．
A．①②③ B．①③④ C．②④ D．②
【分析】根据绝对值的性质及加法法则判断可得．
【解答】解：①一个数的绝对值一定是正数，也可能是0，此结论错误
②若ab＜0，a+b＞0，则a，b异号且正数的绝对值大，正确；
③当|a|＝﹣a时，a一定是负数，也可能是0，此结论错误；
④当a＜0时，|﹣a3|＝﹣a3，此结论错误；
故选：D．
【点评】本题主要考查有理数的加法和乘法及绝对值，解题的关键是掌握绝对值的定义、性质及加法的运算法则．
4．正整数x、y满足（2x﹣5）（2y﹣5）＝25，则x+y等于（ ）
A．18或10 B．18 C．10 D．26
【分析】易得（2x﹣5）、（2y﹣5）均为整数，分类讨论即可求得x、y的值即可解题．
【解答】解：∵x、y是正整数，且最小的正整数为1，
∴2x﹣5是整数且最小整数为﹣3，2y﹣5是整数且最小的整数为﹣3
∵25＝1×25，或25＝5×5，
∴存在两种情况：①2x﹣5＝1，2y﹣5＝25，解得：x＝3，y＝15，；
②2x﹣5＝2y﹣5＝5，解得：x＝y＝5；
∴x+y＝18或10，
故选：A．
【点评】本题考查了整数的乘法，本题中根据25＝1×25或25＝5×5分类讨论是解题的关键．
5．如图，下列结论正确的个数是（ ）
①m+n＞0；②m﹣n＞0；③mn＜0；④|m﹣n|＝m﹣n．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据数轴、有理数的加减、乘法以及绝对值进行选择即可．
【解答】解：由数轴得，m＜0＜n，且|m|＜|n|，
∴①m+n＞0，正确；
②m﹣n＞0，错误；
③mn＜0，正确；
④|m﹣n|＝m﹣n，错误；
故正确的有2个，
故选：B．
【点评】本题考查了有理数的乘法，掌握数轴、有理数的加减、乘法以及绝对值是解题的关键．
6．﹣是下列各算式中（ ）的积．
A．﹣3×（﹣） B．×（﹣）
C．（﹣1）× D．×（﹣）
【分析】直接利用有理数乘法运算法则进而化简求出答案．
【解答】解：A、﹣3×（﹣）＝×＝，故此选项错误；
B、×（﹣）＝﹣，故此选项错误；
C、（﹣1）×＝﹣×＝﹣，故此选项错误；
D、×（﹣）＝﹣，故此选项正确．
故选：D．
【点评】此题主要考查了有理数的乘法运算，正确掌握运算法则是解题关键．
7．若“！”是一种数学运算符号，并1！＝1，2！＝2×1＝2，3！＝3×2×1＝6，4！＝4×3×2×1＝24，…，则的值为（ ）
A．0.2！ B．2450 C． D．49！
【分析】原式利用题中的新定义化简，计算即可得到结果．
【解答】解：原式＝＝50×49＝2450，
故选：B．
【点评】此题考查了有理数的乘法，弄清题中的新定义是解本题的关键．
8．在数轴上，点A向右移动1个单位得到点B，点B向右移动2个单位得到点C，点A、B、C分别表示有理数a、b、c．A、B、C三点在数轴上的位置如图所示，a、b、c三个数的乘积为负数．若这三个数的和与其中的一个数相等，则a的值为（ ）
A．﹣ B．﹣ C．﹣或﹣ D．﹣或﹣2
【分析】根据数轴、结合题意设a的值为x，分情况列出方程，解方程即可．
【解答】解：设a的值为x，则b的值为x+1，c的值为x+3，
当x+x+1+x+3＝x时，x＝﹣2，
a＝﹣2，b＝﹣1，c＝1，
abc＞0，不合题意；
当x+x+1+x+3＝x+1时，x＝﹣，
a＝﹣，b＝﹣，c＝，
abc＞0，不合题意；
当x+x+1+x+3＝x+3时，x＝﹣，
a＝﹣，b＝，c＝，
abc＜0，符合题意，
故选：B．
【点评】本题考查的是有理数的乘法、数轴，掌握有理数的乘法法则、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．
9．已知有理数a，b，c满足++＝1，则的值为（ ）
A．﹣1 B．1 C．0 D．±1
【分析】先依据题意判断出a、b、c中负数的个数，然后依据绝对值的性质进行化简即可．
【解答】解：∵有理数a，b，c满足++＝1，
∴a、b、c中必然有两个正数，一个负数，
∴abc为负数，
∴＝﹣1．
故选：A．
【点评】本题主要考查的是绝对值的性质，有理数的加法和乘法，判断出a、b、c中负数的个数是解题的关键．
10．对正整数n，记1×2×…×n＝n！若M＝1!×2!×…×10!，则M的正因数中共有完全立方数（ ）个．
A．468 B．684 C．846 D．648
【分析】首先把M写成M＝230×313×55×73，然后分别讨论230、313、55和73含有的平方数约数，最后求出M含有平方数约数．
【解答】解：∵M＝1！×2！×3！×4！×5！×6！×7！×8！×9！×10!，
∴M＝1×29×38×47×56×65×74×83×92×10，
M＝238×317×57×74，
因为每个平方数内含有的每种质因数的次数都是偶次的，
如25＝52，144＝24×32，
所以230含有的平方数约数有20、22、24…230共16个，
313含有的平方数约数有30、32、34…312共7个，
55含有的平方数约数有50、52、54共3个，
73含有的平方数约数有70、72共2个，
所以M含有平方数约数为16×7×3×2＝672，
故选：A．
【点评】本题主要考查完全平方数的知识点，解答本题的关键是把M分解成M＝230×313×55×73的形式，此题难度较大．
二、填空题
11．|a|＝5，b＝﹣2，且ab＞0，则a+b等于 ﹣7 ．
【分析】根据绝对值的性质及有理数的乘法法则：同号得正，异号得负，求出a的值，再计算即可．
【解答】解：由题意，得：a＝±5，
∵ab＞0，b＝﹣2，
∴a＝﹣5，
∴a+b＝﹣7，
故答案为：﹣7．
【点评】本题综合考查了有理数的乘法、绝对值、有理数的减法，解决此题时，能根据绝对值的性质及有理数的乘法确定a的值是解题的关键．
12．把40，44，45，63，65，78，99，105平均分成两组，并且使这两组数的乘积相等，直接写出分组情况： 40，99，65，63；44，78，45，105 ．
【分析】分别把题干中的8个数字分成奇数组和偶数组进行分解质因数，偶数组：40＝2×2×2×5，44＝2×2×11，78＝2×3×13；奇数组：45＝3×3×5，63＝3×3×7，65＝5×13，99＝3×3×11，105＝3×5×7，根据两组数据中所含的质因数个数分别相等，即可进行解答．
【解答】解：偶数组：40＝2×2×2×5，44＝2×2×11，78＝2×3×13；
奇数组：45＝3×3×5，63＝3×3×7，65＝5×13，99＝3×3×11，105＝3×5×7，
（1）先看偶数组，40第一组，44和78第二组（因为40分解出3个2；44有2个2，78有1个2）；
（2）44中含有11，则99为第一组；78中含有13，则65为第一组；另外两个分解出含有5的数是45，105，其中105为第二组，
答：第一组有40，99，65，63；第二组为44，78，45，105．
故答案为：40，99，65，63；44，78，45，105．
【点评】此题考查了合数分解质因数的灵活应用，此题关键是正确理解“每组四个数的乘积相等”，那么“每组数据中所含的质因数的个数分别相等”．
13．乘积是6的两个负整数之和为 ﹣7或﹣5 ．
【分析】利用有理数的乘法法则确定出两个负整数，求出之和即可．
【解答】解：乘积是6的两个负整数为﹣1和﹣6或﹣2与﹣3，之和为﹣7或﹣5，
故答案为：﹣7或﹣5
【点评】此题考查了有理数的乘法，有理数的加法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
14．已知有理数a，b满足ab＜0，a+b＞0，7a+2b+1＝﹣|b﹣a|，则的值为 ﹣（9a+1）2或0 ．
【分析】分情况讨论a、b的符号和大小，化简7a+2b+1＝﹣|b﹣a|，用a表示b，代入求解的表达式即可求解．
【解答】解：由题意得：
（1）若a＞0，则b＜0，则7a+2b+1＝﹣|b﹣a|＝﹣（a﹣b），化简得：b＝﹣8a﹣1，
把b＝﹣8a﹣1，代入求解的表达式得：
＝﹣（9a+1）（9a+1）＝﹣（9a+1）2；
（2）同理若a＜0，则b＞0，可得：
＝0．
故答案为﹣（9a+1）2或0．
【点评】本题考查的是有理数的运算、绝对值化简得内容，通常根据给出的条件，用一个字母代替另外一个字母，代入表达式即可化简，本题难度较大．
15．已知实数a，b满足|a|＝b，|ab|+ab＝0，化简|a|+|﹣2b|﹣|3b﹣2a|的结果是 ﹣2b或2a ．
【分析】分清a，﹣2b，3b﹣2a三个数的正负性是解决本题的关键．已知实数a，b满足|a|＝b，|ab|+ab＝0，可得出b≥0，|ab|＝﹣ab，则a≤0，b＝﹣a．所以﹣2b＜0，3b﹣2a＞0，从而得出|a|+|﹣2b|﹣|3b﹣2a|的值．
【解答】解：∵|a|＝b，|a|≥0，
∴b≥0，
又∵|ab|+ab＝0，
∴|ab|＝﹣ab，
∵|ab|≥0，
∴﹣ab≥0，
∴ab≤0，
即a≤0，
∴a与b互为相反数，即b＝﹣a．
∴﹣2b≤0，3b﹣2a≥0，
∴|a|+|﹣2b|﹣|3b﹣2a|＝﹣a+2b﹣（3b﹣2a）＝a﹣b＝﹣2b或2a．
故答案为：﹣2b或2a．
【点评】此题主要考查了绝对值的定义，即正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值还是0．
三、解答题
16．已知|x|＝5，|y|＝3．
（1）若x﹣y＞0，求x+y的值；
（2）若xy＜0，求|x﹣y|的值；
（3）求x﹣y的值．
【分析】（1）根据题意，利用绝对值的代数意义求出x与y的值，代入原式计算即可得到结果；
（2）根据题意，利用绝对值的代数意义求出x与y的值，代入原式计算即可得到结果；
（3）根据题意，利用绝对值的代数意义求出x与y的值，代入原式计算即可得到结果．
【解答】解：∵|x|＝5，
∴x＝5或﹣5，
∵|y|＝3，
∴y＝3或﹣3，
（1）当x﹣y＞0时，x＝5，y＝3或x＝5，y＝﹣3，
此时x+y＝5+3＝8或x+y＝5+（﹣3）＝2，
即x+y的值为：8或2；
（2）当xy＜0，
x＝5，y＝﹣3或x＝﹣5，y＝3，
此时|x﹣y|＝8或|x﹣y|＝8，
即|x﹣y|的值为：8；
（3）①x＝5时，y＝3时，x﹣y＝5﹣3＝2；
②x＝5时，y＝﹣3时，x﹣y＝5+3＝8；
③x＝﹣5时，y＝3时，x﹣y＝﹣5﹣3＝﹣8；
④x＝﹣5时，y＝﹣3时，x﹣y＝﹣5+3＝﹣2，
综上：x﹣y＝±2或±8．
【点评】此题考查了有理数的加减法以及绝对值，熟练掌握运算法则及绝对值的代数意义是解本题的关键．
17．如图，A，B两点在数轴上对应的数分别为a，b，且点A在点B的左边，|a|＝10，a+b＝80，ab＜0．
（1）求出a，b的值；
（2）现有一只电子蚂蚁P从点A出发，以3个单位长度/秒的速度向右运动，同时另一只电子蚂蚁Q从点B出发，以2个单位长度/秒的速度向左运动．
①设两只电子蚂蚁在数轴上的点C相遇，求出点C对应的数是多少？
②经过多长时间两只电子蚂蚁在数轴上相距20个单位长度？
【分析】（1）根据题意可以a、b的符号相反、可得a＝﹣10，根据a+b＝80可得b的值，本题得以解决；
（2）①根据题意可以求得两只电子蚂蚁在数轴上的点C相遇是点C对应的数值；
②根据题意和分类讨论的数学思想可以解答本题．
【解答】解：（1）∵A，B两点在数轴上对应的数分别为a，b，且点A在点B的左边，|a|＝10，a+b＝80，ab＜0，
∴a＝﹣10，b＝90，
即a的值是﹣10，b的值是90；
（2）①由题意可得，
点C对应的数是：90﹣[90﹣（﹣10）]÷（3+2）×2＝90﹣100÷5×2＝90﹣40＝50，
即点C对应的数为：50；
②设相遇前，经过m秒时间两只电子蚂蚁在数轴上相距20个单位长度，
[90﹣（﹣10）﹣20]÷（3+2）
＝80÷5
＝16（秒），
设相遇后，经过n秒时间两只电子蚂蚁在数轴上相距20个单位长度，
[90﹣（﹣10）+20]÷（3+2）
＝120÷5
＝24（秒），
由上可得，经过16秒或24秒的时间两只电子蚂蚁在数轴上相距20个单位长度．
【点评】本题考查有理数的乘法、绝对值、数轴、有理数的加法，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用分类讨论的数学思想解答．
18．已知|a|＝5，|b|＝7．
（1）若ab＜0，求|a﹣b|的值．
（2）若|a﹣b|＝﹣（a﹣b），求a b的值．
【分析】（1）直接利用绝对值的性质得出a，b的值，进而得出答案；
（2）直接利用绝对值的性质得出a，b的值，进而得出答案．
【解答】解：∵|a|＝5，|b|＝7，
∴a＝±5，b＝±7，
（1）若ab＜0，所以a，b异号，
当a＝5，b＝﹣7时，|a﹣b|＝|5﹣（﹣7）|＝12，
当a＝﹣5，b＝7时，|a﹣b|＝|﹣5﹣7|＝12，
综上，|a﹣b|＝12；
（2）若|a﹣b|＝﹣（a﹣b），则a﹣b≤0，
当a＝5，b＝7时，a b＝5×7＝35，
当a＝﹣5，b＝7时，a b＝﹣5×7＝﹣35，
综上，ab＝±35．
【点评】此题主要考查了绝对值以及有理数的乘法，正确分类讨论是解题关键．
19．观察：
等式（1）2＝1×2
等式（2）2+4＝2×3＝6
等式（3）2+4+6＝3×4＝12
等式（4）2+4+6+8＝4×5＝20
（1）仿此：请写出等式（5） 2+4+6+8+10＝5×6＝30 ；…，等式（n） 2+4+6+8+…+2n＝n（n+1） ．
（2）按此规律计算：
①2+4+6+…+34＝ 306 ；
②求28+30+…+50的值．
【分析】（1）仿照已知等式，得出规律，写出等式（5）和等式（n）即可；
（2）利用得出的规律计算各式即可．
【解答】解：（1）等式（5）为2+4+6+8+10＝5×6＝30；等式（n）为2+4+6+8+…+2n＝n（n+1）；
故答案为：2+4+6+8+10＝5×6＝30；2+4+6+8+…+2n＝n（n+1）；
（2）①原式＝17×18＝306；
故答案为：306；
②原式＝（2+4+6+8+…+50）﹣（2+4+6+…+26）＝25×26﹣13×14＝468．
【点评】此题考查了有理数的乘法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20．阅读下列材料：|x|＝，即当x＞0时，；当x＜0时，．
用这个结论可以解决下面问题：
（1）已知a、b是有理数，当ab≠0时，求的值．
（2）已知a、b是有理数，当abc≠0时，求+的值．
（3）已知a、b、c是有理数，a+b+c＝0，abc＜0，求的值．
【分析】（1）分3种情况讨论即可求解；
（2）分4种情况讨论即可求解；
（3）根据已知得到b+c＝﹣a，a+c＝﹣b，a+b＝﹣c，a、b、c两正一负，进一步计算即可求解．
【解答】解：（1）已知a，b是有理数，当ab≠0时，
①a＜0，b＜0，＝﹣1﹣1＝﹣2；
②a＞0，b＞0，＝1+1＝2；
③a、b异号，＝0．
故＝±2或0；
（2）已知a，b，c是有理数，当abc≠0时，
①a＜0，b＜0，c＜0，+＝﹣1﹣1﹣1＝﹣3；
②a＞0，b＞0，c＞0，+＝1+1+1＝3；
③a、b、c两负一正，+＝﹣1﹣1+1＝﹣1；
④a、b、c两正一负，+＝﹣1+1+1＝1．
故+＝±1或±3；
（3）已知a，b，c是有理数，a+b+c＝0，abc＜0，
则b+c＝﹣a，a+c＝﹣b，a+b＝﹣c，a、b、c两正一负，
则═﹣﹣﹣＝1﹣1﹣1＝﹣1．
故答案为：±2或0；±1或±3；﹣1．
【点评】此题考查了有理数的除法，以及绝对值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
一、选择题
1．如图所示，下列判断正确的是（ ）
A．a+b＞0 B．a﹣b＞0 C．ab＞0 D．|b|＜|a|
2．已知|a|＝3，|b|＝2，且a+b＜0，则ab的值是（ ）
A．6 B．﹣6 C．6和﹣6 D．6或﹣6
3．下列说法正确的是（ ）
①一个数的绝对值一定是正数；
②若ab＜0，a+b＞0，则a，b异号且正数的绝对值大；
③当|a|＝﹣a时，a一定是负数；
④|﹣a3|＝a3．
A．①②③ B．①③④ C．②④ D．②
4．正整数x、y满足（2x﹣5）（2y﹣5）＝25，则x+y等于（ ）
A．18或10 B．18 C．10 D．26
5．如图，下列结论正确的个数是（ ）
①m+n＞0；②m﹣n＞0；③mn＜0；④|m﹣n|＝m﹣n．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．﹣是下列各算式中（ ）的积．
A．﹣3×（﹣） B．×（﹣）
C．（﹣1）× D．×（﹣）
7．若“！”是一种数学运算符号，并1！＝1，2！＝2×1＝2，3！＝3×2×1＝6，4！＝4×3×2×1＝24，…，则的值为（ ）
A．0.2！ B．2450 C． D．49！
8．在数轴上，点A向右移动1个单位得到点B，点B向右移动2个单位得到点C，点A、B、C分别表示有理数a、b、c．A、B、C三点在数轴上的位置如图所示，a、b、c三个数的乘积为负数．若这三个数的和与其中的一个数相等，则a的值为（ ）
A．﹣ B．﹣ C．﹣或﹣ D．﹣或﹣2
9．已知有理数a，b，c满足++＝1，则的值为（ ）
A．﹣1 B．1 C．0 D．±1
10．对正整数n，记1×2×…×n＝n！若M＝1!×2!×…×10!，则M的正因数中共有完全立方数（ ）个．
A．468 B．684 C．846 D．648
二、填空题
11．|a|＝5，b＝﹣2，且ab＞0，则a+b等于 ．
12．把40，44，45，63，65，78，99，105平均分成两组，并且使这两组数的乘积相等，直接写出分组情况： ．
13．乘积是6的两个负整数之和为 ．
14．已知有理数a，b满足ab＜0，a+b＞0，7a+2b+1＝﹣|b﹣a|，则的值为 ．
15．已知实数a，b满足|a|＝b，|ab|+ab＝0，化简|a|+|﹣2b|﹣|3b﹣2a|的结果是 ．
三、解答题
16．已知|x|＝5，|y|＝3．
（1）若x﹣y＞0，求x+y的值；
（2）若xy＜0，求|x﹣y|的值；
（3）求x﹣y的值．
17．如图，A，B两点在数轴上对应的数分别为a，b，且点A在点B的左边，|a|＝10，a+b＝80，ab＜0．
（1）求出a，b的值；
（2）现有一只电子蚂蚁P从点A出发，以3个单位长度/秒的速度向右运动，同时另一只电子蚂蚁Q从点B出发，以2个单位长度/秒的速度向左运动．
①设两只电子蚂蚁在数轴上的点C相遇，求出点C对应的数是多少？
②经过多长时间两只电子蚂蚁在数轴上相距20个单位长度？
18．已知|a|＝5，|b|＝7．
（1）若ab＜0，求|a﹣b|的值．
（2）若|a﹣b|＝﹣（a﹣b），求a b的值．
19．观察：
等式（1）2＝1×2
等式（2）2+4＝2×3＝6
等式（3）2+4+6＝3×4＝12
等式（4）2+4+6+8＝4×5＝20
（1）仿此：请写出等式（5） ；…，等式（n） ．
（2）按此规律计算：
①2+4+6+…+34＝ ；
②求28+30+…+50的值．
20．阅读下列材料：|x|＝，即当x＞0时，；当x＜0时，．
用这个结论可以解决下面问题：
（1）已知a、b是有理数，当ab≠0时，求的值．
（2）已知a、b是有理数，当abc≠0时，求+的值．
（3）已知a、b、c是有理数，a+b+c＝0，abc＜0，求的值．
《有理数的乘法》同步训练
参考答案与试题解析
一、选择题
1．如图所示，下列判断正确的是（ ）
A．a+b＞0 B．a﹣b＞0 C．ab＞0 D．|b|＜|a|
【分析】先根据数轴知b＜0＜a且|a|＜|b|，再根据有理数的加法、减法和乘法法则逐一判断即可得．
【解答】解：由数轴知b＜0＜a，且|a|＜|b|，
则A．a+b＜0，此选项错误；
B．a﹣b＞0，此选项正确；
C．ab＜0，此选项错误；
D．|a|＜|b|，此选项错误；
故选：B．
【点评】本题主要考查有理数的乘法，解题的关键是掌握有理数的加法、减法和乘法法则及绝对值的定义．
2．已知|a|＝3，|b|＝2，且a+b＜0，则ab的值是（ ）
A．6 B．﹣6 C．6和﹣6 D．6或﹣6
【分析】根据绝对值的性质求出a、b，再根据有理数的加法判断出a、b的对应情况，然后相乘即可得解．
【解答】解：∵|a|＝3，|b|＝2，
∴a＝±3，b＝±2，
∵a+b＜0，
∴a＝﹣3时，b＝2或﹣2，
ab＝（﹣3）×2＝﹣6，
ab＝（﹣3）×（﹣2）＝6，
a＝3不符合．
综上所述，ab的值为6或﹣6．
故选：D．
【点评】本题考查了有理数的乘法，绝对值的性质和有理数的加法，熟记运算法则是解题的关键．
3．下列说法正确的是（ ）
①一个数的绝对值一定是正数；
②若ab＜0，a+b＞0，则a，b异号且正数的绝对值大；
③当|a|＝﹣a时，a一定是负数；
④|﹣a3|＝a3．
A．①②③ B．①③④ C．②④ D．②
【分析】根据绝对值的性质及加法法则判断可得．
【解答】解：①一个数的绝对值一定是正数，也可能是0，此结论错误
②若ab＜0，a+b＞0，则a，b异号且正数的绝对值大，正确；
③当|a|＝﹣a时，a一定是负数，也可能是0，此结论错误；
④当a＜0时，|﹣a3|＝﹣a3，此结论错误；
故选：D．
【点评】本题主要考查有理数的加法和乘法及绝对值，解题的关键是掌握绝对值的定义、性质及加法的运算法则．
4．正整数x、y满足（2x﹣5）（2y﹣5）＝25，则x+y等于（ ）
A．18或10 B．18 C．10 D．26
【分析】易得（2x﹣5）、（2y﹣5）均为整数，分类讨论即可求得x、y的值即可解题．
【解答】解：∵x、y是正整数，且最小的正整数为1，
∴2x﹣5是整数且最小整数为﹣3，2y﹣5是整数且最小的整数为﹣3
∵25＝1×25，或25＝5×5，
∴存在两种情况：①2x﹣5＝1，2y﹣5＝25，解得：x＝3，y＝15，；
②2x﹣5＝2y﹣5＝5，解得：x＝y＝5；
∴x+y＝18或10，
故选：A．
【点评】本题考查了整数的乘法，本题中根据25＝1×25或25＝5×5分类讨论是解题的关键．
5．如图，下列结论正确的个数是（ ）
①m+n＞0；②m﹣n＞0；③mn＜0；④|m﹣n|＝m﹣n．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据数轴、有理数的加减、乘法以及绝对值进行选择即可．
【解答】解：由数轴得，m＜0＜n，且|m|＜|n|，
∴①m+n＞0，正确；
②m﹣n＞0，错误；
③mn＜0，正确；
④|m﹣n|＝m﹣n，错误；
故正确的有2个，
故选：B．
【点评】本题考查了有理数的乘法，掌握数轴、有理数的加减、乘法以及绝对值是解题的关键．
6．﹣是下列各算式中（ ）的积．
A．﹣3×（﹣） B．×（﹣）
C．（﹣1）× D．×（﹣）
【分析】直接利用有理数乘法运算法则进而化简求出答案．
【解答】解：A、﹣3×（﹣）＝×＝，故此选项错误；
B、×（﹣）＝﹣，故此选项错误；
C、（﹣1）×＝﹣×＝﹣，故此选项错误；
D、×（﹣）＝﹣，故此选项正确．
故选：D．
【点评】此题主要考查了有理数的乘法运算，正确掌握运算法则是解题关键．
7．若“！”是一种数学运算符号，并1！＝1，2！＝2×1＝2，3！＝3×2×1＝6，4！＝4×3×2×1＝24，…，则的值为（ ）
A．0.2！ B．2450 C． D．49！
【分析】原式利用题中的新定义化简，计算即可得到结果．
【解答】解：原式＝＝50×49＝2450，
故选：B．
【点评】此题考查了有理数的乘法，弄清题中的新定义是解本题的关键．
8．在数轴上，点A向右移动1个单位得到点B，点B向右移动2个单位得到点C，点A、B、C分别表示有理数a、b、c．A、B、C三点在数轴上的位置如图所示，a、b、c三个数的乘积为负数．若这三个数的和与其中的一个数相等，则a的值为（ ）
A．﹣ B．﹣ C．﹣或﹣ D．﹣或﹣2
【分析】根据数轴、结合题意设a的值为x，分情况列出方程，解方程即可．
【解答】解：设a的值为x，则b的值为x+1，c的值为x+3，
当x+x+1+x+3＝x时，x＝﹣2，
a＝﹣2，b＝﹣1，c＝1，
abc＞0，不合题意；
当x+x+1+x+3＝x+1时，x＝﹣，
a＝﹣，b＝﹣，c＝，
abc＞0，不合题意；
当x+x+1+x+3＝x+3时，x＝﹣，
a＝﹣，b＝，c＝，
abc＜0，符合题意，
故选：B．
【点评】本题考查的是有理数的乘法、数轴，掌握有理数的乘法法则、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．
9．已知有理数a，b，c满足++＝1，则的值为（ ）
A．﹣1 B．1 C．0 D．±1
【分析】先依据题意判断出a、b、c中负数的个数，然后依据绝对值的性质进行化简即可．
【解答】解：∵有理数a，b，c满足++＝1，
∴a、b、c中必然有两个正数，一个负数，
∴abc为负数，
∴＝﹣1．
故选：A．
【点评】本题主要考查的是绝对值的性质，有理数的加法和乘法，判断出a、b、c中负数的个数是解题的关键．
10．对正整数n，记1×2×…×n＝n！若M＝1!×2!×…×10!，则M的正因数中共有完全立方数（ ）个．
A．468 B．684 C．846 D．648
【分析】首先把M写成M＝230×313×55×73，然后分别讨论230、313、55和73含有的平方数约数，最后求出M含有平方数约数．
【解答】解：∵M＝1！×2！×3！×4！×5！×6！×7！×8！×9！×10!，
∴M＝1×29×38×47×56×65×74×83×92×10，
M＝238×317×57×74，
因为每个平方数内含有的每种质因数的次数都是偶次的，
如25＝52，144＝24×32，
所以230含有的平方数约数有20、22、24…230共16个，
313含有的平方数约数有30、32、34…312共7个，
55含有的平方数约数有50、52、54共3个，
73含有的平方数约数有70、72共2个，
所以M含有平方数约数为16×7×3×2＝672，
故选：A．
【点评】本题主要考查完全平方数的知识点，解答本题的关键是把M分解成M＝230×313×55×73的形式，此题难度较大．
二、填空题
11．|a|＝5，b＝﹣2，且ab＞0，则a+b等于 ﹣7 ．
【分析】根据绝对值的性质及有理数的乘法法则：同号得正，异号得负，求出a的值，再计算即可．
【解答】解：由题意，得：a＝±5，
∵ab＞0，b＝﹣2，
∴a＝﹣5，
∴a+b＝﹣7，
故答案为：﹣7．
【点评】本题综合考查了有理数的乘法、绝对值、有理数的减法，解决此题时，能根据绝对值的性质及有理数的乘法确定a的值是解题的关键．
12．把40，44，45，63，65，78，99，105平均分成两组，并且使这两组数的乘积相等，直接写出分组情况： 40，99，65，63；44，78，45，105 ．
【分析】分别把题干中的8个数字分成奇数组和偶数组进行分解质因数，偶数组：40＝2×2×2×5，44＝2×2×11，78＝2×3×13；奇数组：45＝3×3×5，63＝3×3×7，65＝5×13，99＝3×3×11，105＝3×5×7，根据两组数据中所含的质因数个数分别相等，即可进行解答．
【解答】解：偶数组：40＝2×2×2×5，44＝2×2×11，78＝2×3×13；
奇数组：45＝3×3×5，63＝3×3×7，65＝5×13，99＝3×3×11，105＝3×5×7，
（1）先看偶数组，40第一组，44和78第二组（因为40分解出3个2；44有2个2，78有1个2）；
（2）44中含有11，则99为第一组；78中含有13，则65为第一组；另外两个分解出含有5的数是45，105，其中105为第二组，
答：第一组有40，99，65，63；第二组为44，78，45，105．
故答案为：40，99，65，63；44，78，45，105．
【点评】此题考查了合数分解质因数的灵活应用，此题关键是正确理解“每组四个数的乘积相等”，那么“每组数据中所含的质因数的个数分别相等”．
13．乘积是6的两个负整数之和为 ﹣7或﹣5 ．
【分析】利用有理数的乘法法则确定出两个负整数，求出之和即可．
【解答】解：乘积是6的两个负整数为﹣1和﹣6或﹣2与﹣3，之和为﹣7或﹣5，
故答案为：﹣7或﹣5
【点评】此题考查了有理数的乘法，有理数的加法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
14．已知有理数a，b满足ab＜0，a+b＞0，7a+2b+1＝﹣|b﹣a|，则的值为 ﹣（9a+1）2或0 ．
【分析】分情况讨论a、b的符号和大小，化简7a+2b+1＝﹣|b﹣a|，用a表示b，代入求解的表达式即可求解．
【解答】解：由题意得：
（1）若a＞0，则b＜0，则7a+2b+1＝﹣|b﹣a|＝﹣（a﹣b），化简得：b＝﹣8a﹣1，
把b＝﹣8a﹣1，代入求解的表达式得：
＝﹣（9a+1）（9a+1）＝﹣（9a+1）2；
（2）同理若a＜0，则b＞0，可得：
＝0．
故答案为﹣（9a+1）2或0．
【点评】本题考查的是有理数的运算、绝对值化简得内容，通常根据给出的条件，用一个字母代替另外一个字母，代入表达式即可化简，本题难度较大．
15．已知实数a，b满足|a|＝b，|ab|+ab＝0，化简|a|+|﹣2b|﹣|3b﹣2a|的结果是 ﹣2b或2a ．
【分析】分清a，﹣2b，3b﹣2a三个数的正负性是解决本题的关键．已知实数a，b满足|a|＝b，|ab|+ab＝0，可得出b≥0，|ab|＝﹣ab，则a≤0，b＝﹣a．所以﹣2b＜0，3b﹣2a＞0，从而得出|a|+|﹣2b|﹣|3b﹣2a|的值．
【解答】解：∵|a|＝b，|a|≥0，
∴b≥0，
又∵|ab|+ab＝0，
∴|ab|＝﹣ab，
∵|ab|≥0，
∴﹣ab≥0，
∴ab≤0，
即a≤0，
∴a与b互为相反数，即b＝﹣a．
∴﹣2b≤0，3b﹣2a≥0，
∴|a|+|﹣2b|﹣|3b﹣2a|＝﹣a+2b﹣（3b﹣2a）＝a﹣b＝﹣2b或2a．
故答案为：﹣2b或2a．
【点评】此题主要考查了绝对值的定义，即正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值还是0．
三、解答题
16．已知|x|＝5，|y|＝3．
（1）若x﹣y＞0，求x+y的值；
（2）若xy＜0，求|x﹣y|的值；
（3）求x﹣y的值．
【分析】（1）根据题意，利用绝对值的代数意义求出x与y的值，代入原式计算即可得到结果；
（2）根据题意，利用绝对值的代数意义求出x与y的值，代入原式计算即可得到结果；
（3）根据题意，利用绝对值的代数意义求出x与y的值，代入原式计算即可得到结果．
【解答】解：∵|x|＝5，
∴x＝5或﹣5，
∵|y|＝3，
∴y＝3或﹣3，
（1）当x﹣y＞0时，x＝5，y＝3或x＝5，y＝﹣3，
此时x+y＝5+3＝8或x+y＝5+（﹣3）＝2，
即x+y的值为：8或2；
（2）当xy＜0，
x＝5，y＝﹣3或x＝﹣5，y＝3，
此时|x﹣y|＝8或|x﹣y|＝8，
即|x﹣y|的值为：8；
（3）①x＝5时，y＝3时，x﹣y＝5﹣3＝2；
②x＝5时，y＝﹣3时，x﹣y＝5+3＝8；
③x＝﹣5时，y＝3时，x﹣y＝﹣5﹣3＝﹣8；
④x＝﹣5时，y＝﹣3时，x﹣y＝﹣5+3＝﹣2，
综上：x﹣y＝±2或±8．
【点评】此题考查了有理数的加减法以及绝对值，熟练掌握运算法则及绝对值的代数意义是解本题的关键．
17．如图，A，B两点在数轴上对应的数分别为a，b，且点A在点B的左边，|a|＝10，a+b＝80，ab＜0．
（1）求出a，b的值；
（2）现有一只电子蚂蚁P从点A出发，以3个单位长度/秒的速度向右运动，同时另一只电子蚂蚁Q从点B出发，以2个单位长度/秒的速度向左运动．
①设两只电子蚂蚁在数轴上的点C相遇，求出点C对应的数是多少？
②经过多长时间两只电子蚂蚁在数轴上相距20个单位长度？
【分析】（1）根据题意可以a、b的符号相反、可得a＝﹣10，根据a+b＝80可得b的值，本题得以解决；
（2）①根据题意可以求得两只电子蚂蚁在数轴上的点C相遇是点C对应的数值；
②根据题意和分类讨论的数学思想可以解答本题．
【解答】解：（1）∵A，B两点在数轴上对应的数分别为a，b，且点A在点B的左边，|a|＝10，a+b＝80，ab＜0，
∴a＝﹣10，b＝90，
即a的值是﹣10，b的值是90；
（2）①由题意可得，
点C对应的数是：90﹣[90﹣（﹣10）]÷（3+2）×2＝90﹣100÷5×2＝90﹣40＝50，
即点C对应的数为：50；
②设相遇前，经过m秒时间两只电子蚂蚁在数轴上相距20个单位长度，
[90﹣（﹣10）﹣20]÷（3+2）
＝80÷5
＝16（秒），
设相遇后，经过n秒时间两只电子蚂蚁在数轴上相距20个单位长度，
[90﹣（﹣10）+20]÷（3+2）
＝120÷5
＝24（秒），
由上可得，经过16秒或24秒的时间两只电子蚂蚁在数轴上相距20个单位长度．
【点评】本题考查有理数的乘法、绝对值、数轴、有理数的加法，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用分类讨论的数学思想解答．
18．已知|a|＝5，|b|＝7．
（1）若ab＜0，求|a﹣b|的值．
（2）若|a﹣b|＝﹣（a﹣b），求a b的值．
【分析】（1）直接利用绝对值的性质得出a，b的值，进而得出答案；
（2）直接利用绝对值的性质得出a，b的值，进而得出答案．
【解答】解：∵|a|＝5，|b|＝7，
∴a＝±5，b＝±7，
（1）若ab＜0，所以a，b异号，
当a＝5，b＝﹣7时，|a﹣b|＝|5﹣（﹣7）|＝12，
当a＝﹣5，b＝7时，|a﹣b|＝|﹣5﹣7|＝12，
综上，|a﹣b|＝12；
（2）若|a﹣b|＝﹣（a﹣b），则a﹣b≤0，
当a＝5，b＝7时，a b＝5×7＝35，
当a＝﹣5，b＝7时，a b＝﹣5×7＝﹣35，
综上，ab＝±35．
【点评】此题主要考查了绝对值以及有理数的乘法，正确分类讨论是解题关键．
19．观察：
等式（1）2＝1×2
等式（2）2+4＝2×3＝6
等式（3）2+4+6＝3×4＝12
等式（4）2+4+6+8＝4×5＝20
（1）仿此：请写出等式（5） 2+4+6+8+10＝5×6＝30 ；…，等式（n） 2+4+6+8+…+2n＝n（n+1） ．
（2）按此规律计算：
①2+4+6+…+34＝ 306 ；
②求28+30+…+50的值．
【分析】（1）仿照已知等式，得出规律，写出等式（5）和等式（n）即可；
（2）利用得出的规律计算各式即可．
【解答】解：（1）等式（5）为2+4+6+8+10＝5×6＝30；等式（n）为2+4+6+8+…+2n＝n（n+1）；
故答案为：2+4+6+8+10＝5×6＝30；2+4+6+8+…+2n＝n（n+1）；
（2）①原式＝17×18＝306；
故答案为：306；
②原式＝（2+4+6+8+…+50）﹣（2+4+6+…+26）＝25×26﹣13×14＝468．
【点评】此题考查了有理数的乘法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20．阅读下列材料：|x|＝，即当x＞0时，；当x＜0时，．
用这个结论可以解决下面问题：
（1）已知a、b是有理数，当ab≠0时，求的值．
（2）已知a、b是有理数，当abc≠0时，求+的值．
（3）已知a、b、c是有理数，a+b+c＝0，abc＜0，求的值．
【分析】（1）分3种情况讨论即可求解；
（2）分4种情况讨论即可求解；
（3）根据已知得到b+c＝﹣a，a+c＝﹣b，a+b＝﹣c，a、b、c两正一负，进一步计算即可求解．
【解答】解：（1）已知a，b是有理数，当ab≠0时，
①a＜0，b＜0，＝﹣1﹣1＝﹣2；
②a＞0，b＞0，＝1+1＝2；
③a、b异号，＝0．
故＝±2或0；
（2）已知a，b，c是有理数，当abc≠0时，
①a＜0，b＜0，c＜0，+＝﹣1﹣1﹣1＝﹣3；
②a＞0，b＞0，c＞0，+＝1+1+1＝3；
③a、b、c两负一正，+＝﹣1﹣1+1＝﹣1；
④a、b、c两正一负，+＝﹣1+1+1＝1．
故+＝±1或±3；
（3）已知a，b，c是有理数，a+b+c＝0，abc＜0，
则b+c＝﹣a，a+c＝﹣b，a+b＝﹣c，a、b、c两正一负，
则═﹣﹣﹣＝1﹣1﹣1＝﹣1．
故答案为：±2或0；±1或±3；﹣1．
【点评】此题考查了有理数的除法，以及绝对值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．