2022-2023学年北师大版九年级数学上册4.5相似三角形判定定理的证明 同步达标测试题（Word版含答案）

2022-2023学年北师大版九年级数学上册《4.5相似三角形判定定理的证明》
同步达标测试题（附答案）
一．选择题（共8小题，满分40分）
1．如图，等边三角形ABC中，D为BC边上的一点，E为AC边上的一点．且∠ADE＝60°，BD＝4，CE＝3，则△ABC的边长为（　　）
A．12 B．14 C．15 D．16
2．如图，在矩形ABCD中，点E是BC的中点，连接AE交BD于点F，若BF＝2，则BD的长度是（　　）
A．4 B．5 C．6 D．8
3．如图，点E在矩形ABCD的AB边上，将△ADE沿DE翻折，点A恰好落在BC边上的点F处，若CD＝3BF，BE＝4，则AD的长为（　　）
A．9 B．12 C．15 D．18
4．如图，在边长为8的正方形ABCD中，点P是对角线BD上一点，连接AP并延长交CD于点F，过点P作PE⊥AF交BC于点E，连接AE；若PD＝2，则AE的长为（　　）
A．10 B．3 C．4 D．2
5．如图，在Rt△ABC中，AF是斜边上的高线，且BD＝DC＝FC＝1，则AC的长为（　　）
A． B． C． D．
6．如图在△ABC中，AD是BC边上的高线，BD＝1，DC＝3，过点A作AE∥BC，连接BE交AD，AC于点F，点G，若BE平分AC，则＝（　　）
A． B． C． D．
7．如图菱形ABCD中，∠BAD＝60°，AC与BD交于点O，E为CD延长线上一点，且CD＝DE，连结BE，分别交AC，AD于点F、G，连结OG，则下列结论正确有（　）个．
①OG＝AB；
②由点A、B、D、E构成的四边形是菱形；
③S四边形ODGF＝S△ABF；④S△ACD＝4S△BOG．
其中正确的结论是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．如图，正方形ABCD与正方形BEFG有公共顶点B，连接EC、GA，交于点O，GA与BC交于点P，连接OD、OB，则下列结论一定正确的是（　　）
①EC⊥AG；②△OBP∽△CAP；③OB平分∠CBG；④∠AOD＝45°；
A．①③ B．①②③ C．②③ D．①②④
二．填空题（共8小题，满分40分）
9．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝15，AC＝20，点D在边AC上，AD＝5，DE⊥BC于点E，连接AE，则△ABE的面积等于　 　．
10．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝8，点E，F在BC上，点G是射线DC与射线AF的交点，若BE＝1，∠EAF＝45°，则AG的长为 　 　．
11．如图，点D是等边△ABC边BC上一点，将等边△ABC折叠，使点A与点D重合，折痕为EF（点E在边AB上）．
（1）当点D为BC的中点时，AE：EB＝　 　；
（2）当点D为BC的三等分点时，AE：EB＝　 　．
12．如图是钉板示意图，每相邻4个钉点是边长为1个单位长的小正方形顶点，钉点A，B的连线与钉点C，D的连线交于点E，则
（1）AB与CD是否垂直？　 　（填“是”或“否”）；
（2）AE＝　 　．
13．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝60°，直尺的一边与BC重合，另一边分别交AB，AC于点D，E．点B，C，D，E处的读数分别为15，12，0，1，则直尺宽BD的长为 　 　．
14．如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝9cm，点E，F分别在边AB，BC上，AE＝2cm，BD，EF交于点G，若G是EF的中点，则BG的长为 　 　cm．
15．边长分别为1和2的两个正方形按如图所示放置，图中阴影部分的面积是　 　．
16．如图，在等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，点D在BC边上，DE与AC相交于点F，AH⊥DE，垂足是G，交BC于点H．下列结论中：①AC＝CD；②AD2＝BC AF；③若AD＝3，DH＝5，则BD＝3；④AH2＝DH AC，正确的是 　 　．
三．解答题（共6小题，满分40分）
17．如图所示，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，点E，F在线段BC上，点Q在线段AB上，且CF＝BE，AE2＝AQ AB．
求证：（1）∠CAE＝∠BAF；
（2）CF FQ＝AF BQ．
18．如图，矩形ABCD中，点E在DC上，DE＝BE，AC与BD相交于点O，BE与AC相交于点F．
（1）若BE平分∠CBD，求证：BF⊥AC；
（2）找出图中与△OBF相似的三角形，并说明理由；
（3）若OF＝3，EF＝2，求DE的长度．
19．如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AC于点E，交AD于点F，交CD的延长线于点G．
（1）求证：△ABE∽△CGE；
（2）若AF＝2FD，求的值．
20．如图：已知 ABCD，AE与BC的延长线交于点E，与BD、CD分别交于点F、G．
（1）若AB＝3，BC＝4，CE＝2，求CG的长；
（2）证明：AF2＝FG FE．
21．如图，已知正方形ABCD，AB＝8，点M为线段DC上的动点，射线AM交BD于E交射线BC于F，过点C作CQ⊥CE，交AF于点Q，
（1）求证：∠QCF＝∠QFC；
（2）证明：△CMQ是等腰三角形．
（2）取DM的中点H，连结HQ，若HQ＝5，求出BF的长．
22．如图，点D、E分别在△ABC的边BC及其延长线上，且∠BAC＝∠DAE，∠ACB＝2∠BAD．
（1）求证：AB2﹣BD2＝BD DE；
（2）若∠ACB＝60°，且BD＝DC＝1，求AC的值．
参考答案
一．选择题（共8小题，满分40分）
1．解：∵∠ADC＝∠B+∠BAD，
∴∠ADE+∠EDC＝∠B+∠BAD，
∵∠B＝∠ADE＝60°，
∴∠BAD＝∠EDC．
∵∠BAD＝∠CDE，∠B＝∠C，
∴△ABD∽△DCE，
∴＝，
设AB＝x，
∴，
解得：x＝16，
∴△ABC的边长为16，
故选：D．
2．解：在矩形ABCD中，∵AD∥BC，AD＝BC，
∴△AFD∽△EFB，
∴＝，
∵E是BC的中点，
∴BE：AD＝1：2，
∴＝，
∵BF＝2，
∴DF＝4，
∴BD＝6，
故选：C．
3．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，∠A＝∠EBF＝∠BCD＝90°，
∵将矩形ABCD沿直线DE折叠，
∴AD＝DF＝BC，∠A＝∠DFE＝90°，
∴∠BFE+∠DFC＝∠BFE+∠BEF＝90°，
∴∠BEF＝∠CFD，
∴△BEF∽△CFD，
∴，
∵CD＝3BF，
∴CF＝3BE＝12，
设BF＝x，则CD＝3x，DF＝BC＝x+12，
∵∠C＝90°，
∴Rt△CDF中，CD2+CF2＝DF2，
∴（3x）2+122＝（x+12）2，
解得x＝3（舍去0根），
∴AD＝DF＝3+12＝15，
故选：C．
4．解：如图，过点P作MN∥AB，交AD于点M，交BC于点N，
在边长为8的正方形ABCD中，点P是对角线BD上一点，
∴∠MDP＝45°，
又∵MN∥AB，
∴∠PMD＝∠PNE＝∠AMP＝90°，
∵∠MDP＝45°，PD＝2，
∴MD＝MP＝2，
∵AD＝MN，
∵MD＝MP，
∴AD﹣DM＝MN﹣MP，
即AM＝NP，
在△AMP与△PNE中，
，
∴△AMP≌△PNE（ASA），
∴MP＝NE，
∵MP＝2，
∴NE＝2，
∵NC＝2，
∴EC＝EN+NC＝4，
∵正方形ABCD边长为8，
∴BC＝8，∠ABE＝90°，
∵BE＝8﹣4＝4，
∴AE＝，
故选：C．
5．解：如图，过D作BC边上的高DE．
设AD的长为x，Rt△ADB中，由勾股定理
AB＝
等腰△DCB中，DE⊥BC，
∴E为BC的中点
又∵AF⊥BC，
∴△CDE∽△CAF
∴CD：CA＝CE：CF
即＝CE
∴BC＝2CE＝
直角△ABC中，由勾股定理可知
AB2+AC2＝BC2
即1﹣x2+（1+x）2＝
解得x＝﹣1
∴AC＝AD+CD＝﹣1+1＝．
故选：A．
6．解：如图：
∵AE∥BC，AD为BC边上的高线，
∴AD⊥BC且AD⊥AE，∠1＝∠2，∠3＝∠4，
在△BDF和△EAF中，
∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠BDF＝∠FAF＝90°，
∴△BDF∽△EAF，
∴＝，
又∵AE∥BC，
∴∠5＝∠6，
在△EAG和△BCG中，
∵BE平分AC，
∴AG＝CG，
∵，
∴△EAG≌△BCG（AAS），
∴AE＝CB＝BD+DC＝4，
∴BG＝EG，
设BF＝2x，则＝＝＝，
∴EF＝8x，
∴EF＝BE﹣BF＝BG+EG﹣BF＝2BG﹣2x，
BE＝BF+EF＝2x+8x＝10x，
∴EG＝BG＝BE＝5x，
FG＝BG﹣BF＝5x﹣2x＝3x，
∴＝＝，
故选：D．
7．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝DA，AB∥CD，OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，
∴∠BAG＝∠EDG，
∵CD＝DE，
∴AB＝DE，
在△ABG和△DEG中，
，
∴△ABG≌△DEG（AAS），
∴AG＝DG，
∴OG是△ABD的中位线，
∴OG＝AB，故①正确；
∵AB∥CE，AB＝DE，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∵∠BCD＝∠BAD＝60°，
∴△ABD、△BCD是等边三角形，
∴AB＝BD＝AD，∠ODC＝60°，
∴平行四边形ABDE是菱形，故②正确；
∵OA＝OC，AG＝DG，
∴OG是△ACD的中位线，
∴OG∥CD∥AB，OG＝CD，
∴S△ACD＝4S△AOG，
∵S△AOG＝S△BOG，
∴S△ACD＝4S△BOG，故④正确；
连接FD，如图：
∵△ABD是等边三角形，AO平分∠BAD，BG平分∠ABD，
∴F到△ABD三边的距离相等，
∴S△BDF＝S△ABF＝2S△BOF＝2S△DOF＝S四边形ODGF，
∴S四边形ODGF＝S△ABF，故③正确；
正确的是①②③④，
故选：D．
8．解：∵四边形ABCD、四边形BEFG是正方形，
∴AB＝BC，BG＝BE，∠ABC＝90°＝∠GBE，
∴∠ABC+∠CBG＝∠GBE+∠CBG，即∠ABG＝∠EBC，
∴△ABG≌△CBE（SAS），
∴∠BAG＝∠BCE，
∵∠BAG+∠APB＝90°，
∴∠BCE+∠APB＝90°，
∴∠BCE+∠OPC＝90°，
∴∠POC＝90°，
∴EC⊥AG，故①正确；
取AC的中点K，如图：
在Rt△AOC中，K为斜边AC上的中点，
∴AK＝CK＝OK，
在Rt△ABC中，K为斜边AC上的中点，
∴AK＝CK＝BK，
∴AK＝CK＝OK＝BK，
∴A、B、O、C四点共圆，
∴∠BOA＝∠BCA，
∵∠BPO＝∠CPA，
∴△OBP∽△CAP，故②正确，
∵∠AOC＝∠ADC＝90°，
∴∠AOC+∠ADC＝180°，
∵AD＝CD，
∴∠AOD＝∠DOC＝45°，故④正确，
由已知不能证明OB平分∠CBG，故③错误，
故正确的有：①②④，
故选：D．
二．填空题（共8小题，满分40分）
9．解：∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝15，AC＝20，
∴BC＝＝25，△ABC的面积＝AB AC＝×15×20＝150，
∵AD＝5，
∴CD＝AC﹣AD＝15，
∵DE⊥BC，
∴∠DEC＝∠BAC＝90°，
又∵∠C＝∠C，
∴△CDE∽△CBA，
∴，即，
解得：CE＝12，
∴BE＝BC﹣CE＝13，
∵△ABE的面积：△ABC的面积＝BE：BC＝13：25，
∴△ABE的面积＝×150＝78；
故答案为：78．
10．解：过点E作EH⊥AE，交AG于点H，过点H作HM⊥BC，垂足为M，
∴∠AEH＝∠HME＝∠HMF＝90°，
∴∠AEB+∠HEM＝90°，∠FCG＝180°﹣∠BCD＝90°，
∵∠EAF＝45°，
∴∠AHE＝90°﹣∠EAH＝45°，
∴AE＝EH，
∵四边形ABCD是矩形，
∴BC＝AD＝8，∠B＝∠BCD＝90°，
∴∠BAE+∠AEB＝90°，
∴∠BAE＝∠HEM，
∵∠B＝∠HME＝90°，
∴△ABE≌△EMH（AAS），
∴AB＝EM＝2，BE＝HM＝1，
∵∠B＝∠HMF＝90°，∠AFB＝∠HFM，
∴△ABF∽△HMF，
∴＝，
∴＝，
∴FM＝3，
∴BF＝BE+EM+FM＝6，
∴CF＝BC﹣BF＝8﹣6＝2，
∴AF＝＝＝2，
∵∠B＝∠FCG＝90°，∠AFB＝∠CFG，
∴△ABF∽△GCF，
∴＝，
∴＝，
∴FG＝，
∴AG＝AF+FG＝，
故答案为：．
11．解：（1）如图，连接AD，
∵D为BC的中点，△ABC为等边三角形，折叠，
∴AD⊥BC，∠DAB＝∠DAC＝，∠B＝60°，
∴∠EDB＝90°﹣30°＝60°＝∠B，
∴△BED为等边三角形，
∴AE＝ED＝BE，即AE：EB＝1：1，
故答案为：1：1；
（2）当DC：BD＝1：2时，
设CD＝k，BD＝2k，
∴AB＝AC＝3k，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠EDF＝∠A＝60°，
∴∠EDB+∠FDC＝∠BED+∠EDB＝120°，
∴∠BED＝∠FDC，
∵∠B＝∠C＝60°，
∴△BED∽△CDF，
∴，
∴，
∴BE＝，AE＝3k﹣＝，
∴AE：BE＝7：5，
当DC：BD＝2：1时，
设CD＝2k，BD＝k，
同上一种情况得：，
∴，
∴BE＝，AE＝3k﹣＝，
∴AE：BE＝7：8，
故答案为：7：5或7：8．
12．解：如图1，
在△ACM和△CFD中，
，
∴△ACM≌△CFD（SAS），
∴∠CAM＝∠FCD，
∵∠CAM+∠CMA＝90°，
∴∠FCD+∠CMA＝90°，
∴∠CEM＝90°，
∴AB⊥CD，
故答案为：是；
（2）如图2，
在Rt△ABH中，AB＝＝＝2，
∵AC∥BD，
∴∠CAE＝∠DBE，∠ACE＝∠BDE，
∴△ACE∽△BDE，
∴，
∴，
∴AE＝，
故答案为：．
13．解：由题意得，DE＝1，BC＝3，
在Rt△ABC中，∠A＝60°，
则AB＝＝＝，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝，即＝，
解得：BD＝，
故答案为：．
14．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝6cm，∠ABC＝∠C＝90°，AB∥CD，
∴∠ABD＝∠BDC，
∵AE＝2cm，
∴BE＝AB﹣AE＝6﹣2＝4（cm），
∵G是EF的中点，
∴EG＝BG＝EF，
∴∠BEG＝∠ABD，
∴∠BEG＝∠BDC，
∴△EBF∽△DCB，
∴＝，
∴＝，
∴BF＝6，
∴EF＝＝＝2（cm），
∴BG＝EF＝（cm），
故答案为：．
15．解：如图所示：
∵正方形ABCD的边长为2，
正方形AEFM的边长为1，
∴AB＝AD＝2，EF＝AM＝1，
又∵EB＝EA+AB，
∴EB＝3
又∵AN∥EF，
∴△ABN∽△EBF，
∴，
∴AN＝，
又∵AM＝AN+MN，
∴MN＝，
＝
＝；
故答案为．
16．解：①∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠B＝∠ACB＝45°，
∵∠ADC＝∠B+∠BAD，
而∠BAD的度数不确定，
∴∠ADC与∠CAD不一定相等，
∴AC与CD不一定相等，
故①错误；
②∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAD＝∠CAE，
∵∠B＝∠AED＝45°，
∴△AEF∽△ABD，
∴＝，
∵AE＝AD，AB＝BC，
∴AD2＝AF AB＝AF BC，
∴AD2＝AF BC，
故②正确；
④∵∠DAH＝∠B＝45°，∠AHD＝∠AHD，
∴△ADH∽△BAH，
∴＝，
∴AH2＝DH BH，
而DH与AC不一定相等，
故④不一定正确；
③∵△ADE是等腰直角三角形，
∴∠ADG＝45°，
∵AH⊥DE，
∴∠AGD＝90°，
∵AD＝3，
∴AG＝DG＝，
∵DH＝5，
∴GH＝＝＝，
∴AH＝AG+GH＝2，
由④知：AH2＝DH BH，
∴（2）2＝5BH，
∴BH＝8，
∴BD＝BH﹣DH＝8﹣5＝3，
故③正确；
本题正确的结论有：②③
故答案为：②③．
三．解答题（共6小题，满分40分）
17．证明：（1）∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵CF＝BE，
∴CF﹣EF＝BE﹣EF，
即CE＝BF，
在△ACE和△ABF中，
，
∴△ACE≌△ABF（SAS），
∴∠CAE＝∠BAF；
（2）∵△ACE≌△ABF，
∴AE＝AF，∠CAE＝∠BAF，
∵AE2＝AQ AB，AC＝AB，
∴＝，
∴△ACE∽△AFQ，
∴∠AEC＝∠AQF，
∴∠AEF＝∠BQF，
∵AE＝AF，
∴∠AEF＝∠AFE，
∴∠BQF＝∠AFE，
∵∠B＝∠C，
∴△CAF∽△BFQ，
∴＝，
即CF FQ＝AF BQ．
18．（1）证明：如图，
在矩形ABCD中，OD＝OC，AB∥CD，∠BCD＝90°，
∴∠2＝∠3＝∠4，∠3+∠5＝90°，
∵DE＝BE，
∴∠1＝∠2，
又∵BE平分∠DBC，
∴∠1＝∠6，
∴∠3＝∠6，
∴∠6+∠5＝90°，
∴BF⊥AC；
（2）解：与△OBF相似的三角形有△ECF，理由如下：
∵∠1＝∠3，∠EFC＝∠BFO，
∴△ECF∽△BOF；
（3）解：在矩形ABCD中，∠4＝∠3＝∠2，
∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠4．
又∵∠OFB＝∠BFA，
∴△OBF∽△BFA．
∵∠1＝∠3，∠OFB＝∠EFC，
∴△OBF∽△ECF．
∴，
∴，即3CF＝2BF，
∴3OA＝2BF+9①，
∵△ABF∽△BOF，
∴，
∴BF2＝OF AF，
∴BF2＝3（OA+3）②，
联立①②，可得BF＝1±（负值舍去），
∴DE＝BE＝2+1+＝3+．
19．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠EAB＝∠ECG，∠EBA＝∠EGC，
∴△ABE∽△CGE；
（2）∵AF＝2FD，
∴AD＝3DF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AB＝CD，DF∥CB，
∴BC＝3FD，△GFD∽△GBC，
∴，
∴，
∴，
∴＝，
∵△ABE∽△CGE，
∴＝，
即的值是．
20．解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴△EGC∽△EAB，
∴CG：AB＝EC：EB，
∵AB＝3，BC＝4，CE＝2，
∴CG：3＝2：（2+4），
解得CG＝1；
（2）证明：∵AB∥CD，
∴△DFG∽△BFA，
∴FG：FA＝DF：BF①；
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥CB，
∴△AFD∽△EFB，
∴AF：EF＝DF：BF②，
由①②可得FG：FA＝AF：EF，
∴AF2＝FG FE．
21．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABE＝∠CBE＝45°，
∵BE＝BE，
∴△ABE≌△CBE（SAS），
∴∠BAE＝∠BCE，
∵∠ABC＝90°，CQ⊥CE，
∴∠QFC+BAE＝90°，∠QCF+∠BCE＝90°，
∴∠QCF＝∠QFC；
（2）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DCB＝∠DCF＝90°，
∴∠MCQ+∠QCF＝∠CMQ+∠QFC＝90°，
∴∠MCQ＝∠CMQ，
∴QM＝QC，
∴△CMQ是等腰三角形；
（3）解：如图，连接DF，
∵∠QCF＝∠QFC，
∴QC＝QF，
∵QM＝QC，
∴QF＝QM，
∵H是DM的中点，
∴QH是△MDF的中位线，
∴DF＝2HQ，
∵HQ＝5，
∴DF＝10，
∵DC＝BC＝AB＝8，
∴CF＝＝＝6，
∴BF＝BC+CF＝8+6＝14．
22．（1）证明：∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
即∠BAD＝∠CAE，
设∠BAD＝∠CAE＝α，
由∠ACB＝2∠BAD＝2α，
∴∠E＝∠ACB﹣∠CAE＝2α﹣α＝α，
∴∠BAD＝∠E＝α，
又∠B＝∠B，
∴△BAD∽△BEA，
∴，
即AB2＝BD BE＝BD （BD+DE）＝BD2+BD DE，
∴AB2﹣BD2＝BD DE．
（2）解：作AF⊥BC于点F，
设AC＝x，
∵∠CAE＝∠E＝α，
∴CE＝AC＝x，
又∵∠ACB＝60°，
∴，，
又∵BD＝DC＝1，
∴，
由勾股定理得，AB2＝BF2+AF2，
又∵AB2＝BD BE，
∴BF2+AF2＝BD BE，
∴（2﹣x）2+（x）2＝1×（2+x），
∴x1＝1，x2＝2，
∴AC的值为1或2．