2022-2023学年北师大版九年级数学上册4.4探索三角形相似的条件 同步练习题 （Word版含答案）

2022-2023学年北师大版九年级数学上册《4.4探索三角形相似的条件》
同步练习题（附答案）
一．选择题
1．如图，已知∠1＝∠2，那么添加一个条件后，仍不能判定△ABC与△ADE相似的是（　　）
A．∠C＝∠AED B．∠B＝∠D C．＝ D．＝
2．如图，点P是等腰△ABC的腰AB上的一点，过点P作直线（不与直线AB重合）截△ABC，使截得的三角形与原三角形相似．满足这样条件的直线最多有（　　）
A．2条 B．3条 C．4条 D．5条
3．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，则在下列五个条件中：①∠AED＝∠B；②DE∥BC；③＝；④AD BC＝DE AC；⑤∠ADE＝∠C，能满足△ADE∽△ACB的条件有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，下列说法中不正确的是（　　）
A．S△ADE：S△ABC＝1：2 B．
C．△ADE∽△ABC D．DE＝BC
5．下列四个三角形，与如图中的三角形相似的是（　　）
A． B． C． D．
6．如图，∠A＝∠B＝90°，AB＝7，AD＝2，BC＝3，如果边AB上的点P使得以P，A，D为顶点的三角形和以P，B，C为顶点的三角形相似，则这样的P点共有几个（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．如图所示，若A、B、C、P、Q、甲、乙、丙、丁都是方格纸中的格点，为使△PQR∽△ABC，则点R应是甲、乙、丙、丁四点中的（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
8．如图，把△ABC绕点A旋转得到△ADE（C与E重合），当点D刚好落在BC上时，连接CE，设AC、DE相交于点F，则图中相似三角形的对数是（　　）
A．3对 B．4对 C．6对 D．8对
9．平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+2和x、y轴交于B、A两点，在第二象限内找一点P，使△PAO和△AOB相似的三角形个数为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
二．填空题
10．如图，在△ABC中，D是AC边上的一点，AD＝3，CD＝1，要使△ADB∽△ABC，则AB的长为 　 　．
11．如图，已知∠1＝∠2，添加条件　 　后，使△ABC∽△ADE．
12．△ABC中，AB＝10，AC＝6，点D在AC上，且AD＝3，若要在AB上找一个点E，使△ADE与△ABC相似，则AE＝　 　．
13．如图，四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AB＝5cm，AD＝3cm，BC＝2cm，P是AB上一点，若以P、A、D为顶点的三角形与△PBC相似，则PA＝　 　cm．
14．如图，在三角形ABC中，AB＝6cm，AC＝12cm．点P从A沿AB以1厘米/秒的速度移动，点Q从C沿CA以2厘米/秒的速度向A移动．如果两点同时出发，经过　 　秒后，△APQ与△ABC相似．
15．如图所示，P、Q分别是△ABC的边AB、AC上的点，若AB＝6，AC＝5，AP＝2，且以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，则AQ的长为　 　．
16．如图，BC⊥AF，FD⊥AB，垂足分别为C，D，则图中共有 　 　对相似三角形．
三．解答题
17．如图，在矩形ABCD中，E为AD上一点，EF⊥EC交AB于F，连接FC，求证：△AEF∽△DCE．
18．在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是BC边上一点，过点D作∠ADE＝45°，DE交AC于点E，求证：△ABD∽△DCE．
19．已知，如图在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，点P由点A出发沿AB方向向终点点B匀速移动，速度为1cm/s，点Q由点B出发沿BC方向向终点点C匀速移动，速度为2cm/s．如果动点P，Q同时从A，B出发，当P或Q到达终点时运动停止．几秒后，以Q，B，P为顶点的三角形与△ABC相似？
20．如图，点B、D、E在一条直线上，BE交AC于点F，＝，且∠BAD＝∠CAE．
（1）求证：△ABC∽△ADE；
（2）求证：△AEF∽△BCF．
21．如图，在△ABC中，AD、BE分别是BC、AC边上的高．求证：△DCE∽△ACB．
22．如图，在Rt△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB与DE交于点F，连接DB、CE．
（1）若，求∠AFD的度数；
（2）若∠ADE＝∠ABC，求证：△ADB∽△AEC．
23．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm．现在有动点P从点B出发，沿线段BA向终点A运动，动点Q从点A出发，沿折线AC—CB向终点运动．如果点P的速度是1cm/s，点Q的速度是1cm/s．它们同时出发，当有一点到达终点时，另一点也停止运动．设运动的时间为t秒．
（1）如图1，Q在AC上，当t为多少秒时，以点A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似？
（2）如图2，Q在CB上，是否存着某时刻，使得以点B、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
参考答案
一．选择题
1．解：∵∠1＝∠2
∴∠DAE＝∠BAC
∴A，B，D都可判定△ABC∽△ADE
选项C中不是夹这两个角的边，所以不相似，
故选：C．
2．解：∵BA＝BC，
∴∠A＝∠C，
①作PE∥BC，可得△APE∽△ABC．
②作PF∥AC，可得△BPF∽△BAC．
③作∠APG＝∠A，可得△AGP∽△ABC，
故选：B．
3．解：①∠B＝∠AED，∠A＝∠A，则可判断△ADE∽△ACB，故①符合题意；
②DE∥BC，则△ADE∽△ABC，故②不符合题意，
③，且夹角∠A＝∠A，能确定△ADE∽△ACB，故③符合题意；
④由AD BC＝DE AC可得，此时不确定∠ADE＝∠ACB，故不能确定△ADE∽△ACB；
故④不符合题意，
⑤∠ADE＝∠C，∠A＝∠A，则可判断△ADE∽△ACB，故⑤符合题意；
故选：C．
4．解：∵D，E分别是AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，＝＝＝，
∴△ADE∽△ABC，DE＝BC，
∴＝（）2＝（）2＝．
故选：A．
5．解：设单位正方形的边长为1，给出的三角形三边长分别为，2，．
A、三角形三边分别是2，，3，与给出的三角形的各边不成比例，故A选项错误；
B、三角形三边，4，，与给出的三角形的各边不成比例，故B选项错误；
C、三角形三边2，3，，与给出的三角形的各边不成比例，故C选项错误；
D、三角形三边2，4，2，与给出的三角形的各边成比例，故D选项正确．
故选：D．
6．解：若点A，P，D分别与点B，C，P对应，即△APD∽△BCP，
∴＝，
∴＝，
∴AP2﹣7AP+6＝0，
∴AP＝1或AP＝6，
检测：当AP＝1时，由BC＝3，AD＝2，BP＝6，
∴＝，
又∵∠A＝∠B＝90°，
∴△APD∽△BCP．
当AP＝6时，由BC＝3，AD＝2，BP＝1，
又∵∠A＝∠B＝90°，
∴△APD∽△BCP．
若点A，P，D分别与点B，P，C对应，即△APD∽△BPC．
∴＝，
∴＝，
∴AP＝．
检验：当AP＝时，∵BP＝，AD＝2，BC＝3，
∴＝，
又∵∠A＝∠B＝90°，
∴△APD∽△BPC．
因此，点P的位置有三处，即在线段AP的长为1、、6，故选：C．
7．解：根据题意，△ABC的三边之比为：：，
要使△ABC∽△PQR，则△PQR的三边之比也应为：：，经计算只有丙点合适．
故选：C．
8．解：∵把△ABC绕点A旋转得到△ADE（D与E重合），
∴△ABC≌△ADE，∠2＝∠1，即△ABC∽△ADE，
∴∠3＝∠4，
∴△AFE∽△DFC；
∴AF：DF＝EF：FC，
而∠AFD＝∠EFC，
∴△AFD∽△EFC；
∵把△ABC绕点A旋转得到△ADE（D与E重合），
∴∠BAC＝∠DAE，AB＝AD，AC＝AE，
∴∠3＝∠5，
∴△ABD∽△AEC．
∴图中共有4对相似三角形．故选：B．
9．解：如图，
①分别过点O、点A作AB、OB的平行线交于点P1，则△OAP1与△AOB相似（全等），
②作AP2⊥OP1，垂足为P2则△AOP2与△AOB相似．
③作∠AOP3＝∠ABO交AP1于P3，则△AOP3与△AOB相似．
④作AP4⊥OP3垂足为P4，则△AOP4与△AOB相似．
故选：C．
二．填空题
10．解：∵AD＝3，CD＝1，
∴AC＝4，
∵∠BAD＝∠CAB，
∴当时，△ADB∽△ABC，
即，
∴AB＝2．
故答案为2．
11．解：添加条件∠B＝∠D后，△ABC∽△ADE．理由如下：
∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠BAE＝∠2+∠BAE，
即∠BAC＝∠DAE，
又∵∠B＝∠D，
∴ABC∽△ADE．
故答案为∠B＝∠D．
12．解：∵∠A是公共角，
∴当，即时，△ADE∽△ACB
解得：AE＝5
当，即时，△ADE∽△ABC
解得：AE＝
故答案为：5或
13．解：设AP＝xcm．则BP＝AB﹣AP＝（5﹣x）cm
以A，D，P为顶点的三角形与以B，C，P为顶点的三角形相似，
①当AD：PB＝PA：BC时，
＝，
解得x＝2或3．
②当AD：BC＝PA：PB时，＝，解得x＝3，
∴当A，D，P为顶点的三角形与以B，C，P为顶点的三角形相似，AP的值为2或3．
故答案为2或3．
14．解：由题意AP＝t，CQ＝2t，
∵AC＝12cm，
∴AQ＝（12﹣2t）cm，
当＝时，△APQ∽△ABC，
∴＝，
解得t＝3．
当＝时，△APQ∽△ACB，
∴＝，
解得t＝，
故答案为3或．
15．解：连接PQ．
∵∠A是公共角，
∴当AP：AB＝AQ：AC时，△APQ∽△ABC，
即2：6＝AQ：5，
解得：AQ＝；
当AP：AC＝AQ：AB时，△APQ∽△ACB，
即2：5＝AQ：6，
解得：AQ＝；
∴当AQ＝或时，以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似．
故答案为：或．
16．解：∵BC⊥AF，FD⊥AB，
∴∠ACB＝∠ECF＝∠ADF＝∠BDE＝90°，
又∵∠CEF＝∠DEB，
∴△CEF∽△DEB①；
∴∠EFC＝∠EBD，
∴△ADF∽△ACB②；
△ACB∽△EDB③；
△ADF∽△ECF④；
△ADF∽△EDB⑤；
△ABC∽△EFC⑥．
共6对，
故答案为：6．
三．解答题
17．证明：∵∠FEC＝90°，
∴∠AEF+∠DEC＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠D＝90°，
∵∠A+∠AFE+∠AEF＝180°，
∴∠AFE+∠AEF＝90°，
∴∠DEC＝∠AFE，
又∵∠A＝∠D，
∴△AEF∽△DCE．
18．证明：如图所示：
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴∠B＝∠C＝45°，
∴∠1+∠2＝180°﹣∠B＝135°，
∵∠ADE＝45°，
∴∠2+∠3＝135°，
∴∠1＝∠3，
∵∠B＝∠C，
∴△ABD∽△DCE．
19．解：设t秒后，以Q，B，P为顶点的三角形与△ABC相似；
则PB＝（6﹣t）cm，BQ＝2tcm，
∵∠B＝90°，
∴分两种情况：
①当时，
即，
解得：t＝2.4；
②当时，
即，
解得：t＝；
综上所述：2.4秒或秒时，以Q，B，P为顶点的三角形与△ABC相似．
20．（1）∵∠BAD＝∠CAE
∴∠BAD+∠CAD＝∠CAE+∠CAD
即∠BAC＝∠DAE
在△ABC和△ADE中
＝，∠BAC＝∠DAE，
∴△ABC∽△ADE；
（2）∵△ABC∽△ADE，
∴∠C＝∠E、
在△AEF和△BFC中，∠C＝∠E，∠AFE＝∠BFC，
∴△AEF∽△BCF．
21．证明：∵在△ABC中，AD、BE分别是BC、AC边上的高，
∴∠ADC＝∠BEC＝90°，
∵∠C是公共角，
∴△CDA∽△CEB，
∴CD：CE＝CA：CB，
∴CD：CA＝CE：CB，
∴△DCE∽△ACB．
22．解：（1）∵，∠ADE＝∠FDA，
∴△ADE∽△FDA，
∴∠AFD＝∠DAE＝90°．
∴∠AFD的度数为90°；
（2）∵∠ADE＝∠ABC，∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝，
∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAC﹣∠BAE＝∠DAE﹣∠BAE，
∴∠EAC＝∠DAB，
∴△ADB∽△AEC．
23．解：（1）如图1，当∠AQP＝90°时，△AQP∽△ACB，
∴．
在Rt△ABC中，由勾股定理，得
AB＝＝＝10（cm）．
∵BP＝t，AQ＝t，
∴PA＝10﹣t，
∴，
∴t＝，
如图2，当∠APQ＝90°时，△APQ∽△ACB，
∴，
∴，
t＝．
综上所述，t＝或时，以点A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似；
（2）如图3，当△BPQ∽△BAC时，
．
∵BQ＝14﹣t，BP＝t，
∴，
∴t＝，
当△BQP∽△BAC时，
∴，
∴t＝（舍去），
∴t＝时，Q在CB上，以点B、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似．