数学人教A必修1第一章1．3.1 单调性与最大(小)第1课时
1．理解增函数和减函数的定义，明确定义中“任意”两字的重要性，以及图象的特点．
2．知道函数单调性的含义，能够利用定义证明函数的单调性．
3．能够利用定义或图象求函数的单调区间，能够利用函数的单调性解决有关问题．
1．增函数和减函数
增函数 减函数
定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的________两个自变量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有
f(x1)____f(x2) f(x1)______f(x2)
那么就说函数f(x)在区间D上是增函数．区间D称为函数f(x)的单调递增区间 那么就说函数f(x)在区间D上是减函数．区间D称为函数f(x)的单调递减区间
图象特征 函数f(x)在区间D上的图象是______的 函数f(x)在区间D上的图象是______的
图示
(1)函数f(x)在区间D上是增函数，x1，x2D，且x1≠x2 (x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0＞0.
(2)函数f(x)在区间D上是减函数，x1，x2D，且x1≠x2 (x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＜0＜0.
【做一做1－1】 函数y＝f(x)在区间(a，b)上是减函数，x1，x2(a，b)，且x1＜x2，则有( )．
A．f(x1)＜f(x2) B．f(x1)＞f(x2)
C．f(x1)＝f(x2) D．以上都有可能
【做一做1－2】 [0,3]是函数f(x)定义域内的一个区间，若f(1)＜f(2)，则函数f(x)在区间[0,3]上( )．
A．是增函数 B．是减函数
C．不是增函数就是减函数 D．增减性不能确定
2．单调性
(1)定义：如果函数y＝f(x)在区间D上是________或________，那么就说函数y＝f(x)在区间D上具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的________．
(2)图象特征：函数y＝f(x)在区间D上具有单调性，则函数y＝f(x)在区间D上的图象是上升的或下降的．
基本初等函数的单调区间如下表所示：
函数 条件 单调递增区间 单调递减区间
正比例函数(y＝kx，k≠0)与一次函数(y＝kx＋b，k≠0) k＞0 R 无
k＜0 无 R
反比例函数(y＝，k≠0) k＞0 无 (－，0)和(0，＋)
k＜0 (－，0)和(0，＋) 无
二次函数(y＝ax2＋bx＋c，a≠0) a＞0
a＜0
【做一做2】 函数f(x)的图象如图所示，则( )．
A．函数f(x)在[－1,2]上是增函数 B．函数f(x)在[－1,2]上是减函数
C．函数f(x)在[－1,4]上是减函数 D．函数f(x)在[2,4]上是增函数
答案：1．任意 ＜ ＞ 上升 下降
【做一做1－1】 B
【做一做1－2】 D 虽然1,2∈[0,3]，1＜2，且f(1)＜f(2)，但是1和2是区间[0,3]内的两个特殊值，不是区间[0,3]内的任意值，所以f(x)在[0,3]上的增减性不能确定．
2．(1)增函数 减函数 单调区间
【做一做2】 A
对函数单调性的理解
剖析：函数单调性的定义是用数学符号来刻画函数的图象特征，它反映了函数图象的变化趋势(当自变量增大时，函数值是增大还是减小，图象是上升还是下降)；函数y＝f(x)在区间D上是增函数(减函数)，等价于对于D中任意的两个自变量x1，x2，且x1＜x2，都有f(x1)＜f(x2)(f(x1)＞f(x2))；其中“任意”二字是关键，不能用具体的两个自变量代替，否则就会产生错误．比如函数f(x)＝，取x1＝－1＜x2＝1，f(x1)＝－1，f(x2)＝1，f(x1)＜f(x2)，如果由此推出f(x)＝是增函数就会产生错误，原因就在于x1，x2是定值，不具有任意性．函数的单调性是函数定义域内某个区间上的性质，因此它是一个“局部”的性质，并且在考察函数的单调性时，必须先看函数的定义域．如果一个函数有多个单调增(减)区间，这些增(减)区间应用逗号隔开(即“局部”)，而不能用并集的符号连接(并完之后就成了“整体)．例如f(x)＝的单调减区间可以写成(－，0)，(0，＋)(或者写成(－，0)和(0，＋))，但不能写成(－，0)(0，＋)．由于函数的单调性是反映函数图象变化趋势的，所以在某一点处没法讨论函数的单调性，比如函数y＝x2的单调增区间可以写成开区间(0，＋)，也可以写成[0，＋)，但是如果定义域中不包含这个点，则必须使用开区间表示．
如果要证明一个函数的单调性，目前只能严格地按照定义进行，步骤如下：
(1)取值：在指定区间上任意取两个自变量x1，x2，且x1＜x2；
(2)变形：主要是配方、分解因式、通分等；
(3)定号：判断f(x1)－f(x2)的符号；
(4)结论：由定义给出结论．
题型一 证明函数的单调性
【例1】 求证：函数f(x)＝x＋在(0,1)上为减函数．
分析：在(0,1)上任取x1，x2，且x1＜x2，只需证明f(x1)＞f(x2)即可．
反思：证明函数单调性的常用方法是定义法，利用定义法判断函数单调性的步骤为：
题型二 利用图象确定函数的单调区间
【例2】 已知函数f(x)＝－x2＋2|x|＋3，
(1)用分段函数的形式表示f(x)；
(2)画出f(x)的图象；
(3)根据图象写出f(x)的单调区间．
分析：(1)对x的正负分类讨论即可；(2)利用画分段函数图象的步骤画出；(3)借助函数图象写出单调区间．
反思：(1)对于初等函数y＝kx＋b，y＝ax2＋bx＋c，常借助于函数图象去探求函数的单调区间．
(2)对于含有绝对值的函数，往往转化成分段函数，画出其图象，借助图象的变化趋势分析相应函数的单调性(区间)．
题型三 函数单调性的应用
【例3】 已知函数f(x)的定义域为[－2,2]，且f(x)在区间[－2,2]上是增函数，f(1－m)＜f(m)，求实数m的取值范围．
分析：利用单调性，将函数值的大小关系转化为自变量的大小关系，即脱去符号f，转化为关于m的一元一次不等式组，解出m的范围．
反思：(1)利用函数的单调性可以比较函数值或自变量的大小．在解决比较函数值大小的问题时要注意将对应的自变量转化到同一个单调区间上．
(2)①若f(x)在区间D上是增函数，x1，x2是区间D内的任意两个实数，则f(x1)＞f(x2) x1＞x2；
f(x1)＜f(x2) x1＜x2.
②若f(x)在区间D上是减函数，x1，x2是区间D内的任意两个实数，则f(x1)＞f(x2) x1＜x2；
f(x1)＜f(x2) x1＞x2.
题型四 易混易错题
易错点 对“单调区间是……”和“在区间……上单调……”理解错误
【例4】 函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2，
(1)若函数f(x)的单调递减区间是(－，4]，则实数a的值(或范围)是__________．
(2)若函数f(x)在区间(－，4]上单调递减，则实数a的值(或范围)是__________．
答案：【例1】 证明：设x1，x2是(0,1)上的任意两个实数，且x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝－＝(x1－x2)＋＝(x1－x2)＝.
∵0＜x1＜x2＜1，∴x1x2－1＜0，x1－x2＜0.
则f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)．
∴f(x)＝x＋在(0,1)上是减函数．
【例2】 解：(1)当x≥0时，f(x)＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4；当x＜0时，f(x)＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4.
即f(x)＝
(2)函数图象如图所示．
(3)函数f(x)的图象在(－，－1]和[0,1]上是上升的，在(－1,0)和(1，＋)上是下降的，所以f(x)的单调递增区间是(－，－1]，[0,1]，单调递减区间是(－1,0)，(1，＋)．
【例3】 解：因为f(x)在区间[－2,2]上单调递增，且f(1－m)＜f(m)，
所以解得＜m≤2.
故实数m的取值范围是.
【例4】 错解：(1)函数f(x)的图象的对称轴为直线x＝1－a，由于函数f(x)的单调递减区间是(－∞，4]，因此1－a≥4，即a≤－3.故应填(－，－3]．
(2)函数f(x)的图象的对称轴为直线x＝1－a，由于函数f(x)在区间(－，4]上单调递减，因此1－a＝4，即a＝－3.故应填－3.
错因分析：函数的单调递减区间是I，指的是函数递减的最大范围为区间I.而函数在某一区间上单调递减，则指此区间是相应单调区间的子集．错解颠倒了这两种说法的含义，从而导致出错．
正解：(1)因为函数f(x)的单调递减区间是(－，4]，且函数f(x)图象的对称轴为直线x＝1－a，所以有1－a＝4，即a＝－3.故应填－3.
(2)因为函数f(x)在区间(－∞，4]上单调递减，且函数f(x)图象的对称轴为直线x＝1－a，所以1－a≥4，即a≤－3.故应填(－，－3]．
1已知函数f(x)＝2x2－mx＋3，当x∈(－2，＋)时是增函数，当x∈(－，－2)时是减函数，则f(1)等于( )．
A．－3 B．13 C．7 D．1
2已知函数f(x)是区间(0，＋)上的减函数，那么f(a2－a＋1)与的大小关系为( )．
A．f(a2－a＋1)≥ B．f(a2－a＋1)≤
C．f(a2－a＋1)＝ D．不确定
3函数f(x)＝|x－3|的单调递增区间是__________，单调递减区间是__________．
4求证：函数f(x)＝2x2在[0，＋)上是增函数．
5已知f(x)是定义在区间[－1,1]上的增函数，且f(x－2)＜f(1－x)，求x的取值范围．
答案：1． B 由题意知，函数的对称轴为x＝－2，
∴＝－2，∴m＝－8.
∴f(1)＝2×12＋8×1＋3＝13.
2． B ∵a2－a＋1＝，
且函数f(x)是区间(0，＋)上的减函数，
∴f(a2－a＋1)≤.
3. [3，＋) (－，3]
f(x)＝
其图象如图所示，则f(x)的单调递增区间是[3，＋)，单调递减区间是(－，3]．
4．证明：设x1，x2是区间[0，＋)上任意两个实数，且x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝2x12－2x22＝2(x1－x2)(x1＋x2)．
∵0≤x1＜x2，∴x1－x2＜0，x1＋x2＞0.
∴f(x1)＜f(x2)．
∴函数f(x)＝2x2在[0，＋)上是增函数．
5．解：由题意，得解得1≤x≤2.①
因为f(x)是定义在区间[－1,1]上的增函数，
且f(x－2)＜f(1－x)，
所以x－2＜1－x，解得x＜.②
由①②得，1≤x＜.
所以x的取值范围为.数学人教A必修1第一章1．2.1 函数的概念
1．能够用集合与对应的语言给出函数的定义；知道构成函数的要素，清楚函数的定义中“任意一个数x ”和“唯一确定的数f(x)”的含义；明确符号“f(x)”表示的意义．
2．会判断两个函数是否相等；会求简单函数的函数值和定义域．
1．函数的概念
设A，B是非空的______，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的________数x，在集合B中都有________的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，xA.其中x叫做________，x的取值范围A叫做函数y＝f(x)的________；与x的值相对应的y值叫做________，函数值的集合{f(x)|xA}叫做函数y＝f(x)的________，则值域是集合B的________．
(1)“A，B是非空的数集”，一方面强调了A，B只能是数集，即A，B中的元素只能是实数；另一方面指出了定义域、值域都不能是空集，也就是说定义域为空集的函数是不存在的．
(2)函数定义中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性，即对于非空数集A中的任意一个(任意性)元素x，在非空数集B中都有(存在性)唯一(唯一性)的元素y与之对应．这三性只要有一个不满足便不能构成函数．
2．常见函数的定义域和值域
函数 函数关系式 定义域 值域
正比例函数 y＝kx(k≠0) ____ R
反比例函数 y＝(k≠0) {x|____} {y|y≠0}
一次函数 y＝kx＋b(k≠0) R ____
二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0) R
a＞0 {y
a＜0
有时给出的函数没有明确说明其定义域，这时，它的定义域就是使函数表达式有意义的自变量的取值范围．例如函数y＝的定义域为[0，＋)，函数y＝的定义域为(－，－1)(－1，＋)．
【做一做1－1】 函数y＝f(x)的定义域为P，值域为Q，对于mP，与m对应的函数值为n，则有( )．
A．nP B．m＝n C．nPQ D．n唯一
【做一做1－2】 函数y＝5－2x的定义域是( )．
A．R B．Q C．N D．
【做一做1－3】 函数y＝2x2－x的值域是__________．
3．区间与无穷大
(1)区间的概念．
设a，b是两个实数，且a＜b.
定义 名称 符号 数轴表示
{x|a≤x≤b} 闭区间 ____
{x|a＜x＜b} 开区间 ____
{x|a≤x＜b} 半闭半开区间 ____
{x|a＜x≤b} 半开半闭区间 ____
这里的实数a与b都叫做相应区间的端点．
并不是所有的数集都能用区间来表示．例如，数集M＝{1,2,3,4}就不能用区间表示．由此可见，区间仍是集合，是一类特殊数集的另一种符号语言．只有所含元素是“连续不间断”的实数的集合，才适合用区间表示．
(2)无穷大．
“”读作“无穷大”，“－ ”读作“负无穷大”，“＋ ”读作“正无穷大”，满足x≥a，x＞a，x≤a，x＜a的实数x的集合可用区间表示，如下表．
定义 R {x|x≥a} {x|x＞a} {x|x≤a} {x|x＜a}
符号 (－，＋) ______ ______ ______ ______
【做一做2－1】 集合{x|x≥1}用区间表示为( )．
A．(－，1) B．(－，1]
C．(1，＋) D．[1，＋)
【做一做2－2】 区间[5,8)表示的集合是( )．
A．{x|x≤5，或x＞8} B．{x|5＜x≤8}
C．{x|5≤x＜8} D．{x|5≤x≤8}
4．函数相等
一个函数的构成要素为：定义域、对应关系和值域，其中值域是由________和________决定的．如果两个函数的定义域相同，并且________完全一致，我们就称这两个函数相等．
【做一做3】 函数y＝x－5与s＝t－5是否相等？
答案：1．数集 任意一个 唯一确定 自变量 定义域 函数值 值域 子集
2．R x≠0 R
【做一做1－1】 D
【做一做1－2】 A
【做一做1－3】 函数y＝2x2－x是二次函数，其二次项系数大于零，则值域是.
3．(1)[a，b] (a，b) [a，b) (a，b] (2)[a，＋) (a，＋) (－，a] (－，a)
【做一做2－1】 D
【做一做2－2】 C
4．定义域 对应关系 对应关系
【做一做3】 解：两个函数的定义域都是R，对应关系都是自变量减5，即它们的定义域相同，对应关系一致，故这两个函数相等．
函数符号f(x)的意义
剖析：(1)符号y＝f(x)表示变量y是变量x的函数，它仅仅是函数符号，并不表示y等于f与x的乘积．
(2)符号f(x)与f(m)既有区别又有联系，当m是变量时，函数f(x)与函数f(m)相等；当m是常数时，f(m)表示当自变量x＝m时对应的函数值，是一个常量．
(3)符号f可以看作是对“x”施加的某种法则或运算．
例如f(x)＝x2－x＋5，当x＝2时，看作对“2”施加了这样的运算法则：先平方，再减去2，再加上5；当x为某一代数式(或某一个函数)时，则左右两边的所有x都用同一个代数式(或某一个函数)来代替．如：f(2x＋1)＝(2x＋1)2－(2x＋1)＋5，f[g(x)]＝[g(x)]2－g(x)＋5.
题型一 函数关系的判断
【例1】 下列式子能否确定y是x的函数？
(1)x2＋y2＝2；
(2)＋＝1；
(3)y＝＋.
分析：先将已知式子进行等价转换，化为用x表示y的形式，再利用函数的定义进行判断．
反思：(1)判断一个对应关系f：A→B是否是函数，要从以下三个方面去判断：①A，B必须是非空数集；②A中的任何一个元素在B中必须有元素与其对应；③A中任一元素在B中必有唯一元素与其对应．
(2)函数的定义中“任意一个数x”与“唯一确定的数f(x)”说明函数中两个变量x，y的对应关系是“一对一”或者是“多对一”，而不能是“一对多”．
题型二 求函数值
【例2】 已知f(x)＝(xR，且x≠－1)，g(x)＝x2＋2(xR)．
(1)求f(2)，g(2)的值；
(2)求f[g(3)]的值．
分析：(1)分别将f(x)与g(x)的表达式中的x换为2，计算得f(2)与g(2)；(2)先求g(3)的值m，再求f(m)的值．
反思：已知f(x)的表达式时，只需用a替换表达式中的x即得f(a)的值；已知g(x)的表达式时，先求g(a)的值m，再求f(m)的值即得f[g(a)]，即遵循由里往外的原则求f[g(a)]．
题型三 求函数的定义域
【例3】 求函数y＝－的定义域．
反思：(1)如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集R.
(2)如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合．
(3)如果f(x)是二次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合．
(4)如果f(x)是由几个部分构成的，那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数的集合(即求各部分自变量取值集合的交集)．
(5)对于由实际背景确定的函数，其定义域还要受实际问题的制约．
题型四 判断函数相等
【例4】 判断下列各组函数是否是相等函数：
(1)f(x)＝x＋2，g(x)＝；
(2)f(x)＝(x－1)2，g(x)＝x－1；
(3)f(x)＝x2＋x＋1，g(t)＝t2＋t＋1.
分析：先求出定义域，根据定义域和表达式(即对应关系)来确定．
反思：判断两个函数f(x)和g(x)是否相等的方法是：先求函数f(x)和g(x)的定义域，如果定义域不同，那么它们不相等，如果定义域相同，再化简函数的表达式，如果化简后的函数表达式相同，那么它们相等，否则它们不相等．
题型五 易混易错题
易错点 求函数定义域时先化简函数关系式
【例5】 求函数y＝的定义域．
答案：【例1】 解：(1)由x2＋y2＝2，得y＝±.当x＝1时，对应的y值有两个，故y不是x的函数．
(2)由＋＝1，得y＝(1－)2＋1.
所以当x在{x|x≥1}中任取一个值时，都有唯一的y值与之对应，故y是x的函数．
(3)因为不等式组的解集是 ，即x取值的集合是，故y不是x的函数．
【例2】 解：(1)∵f(x)＝，∴f(2)＝＝.
又∵g(x)＝x2＋2，∴g(2)＝22＋2＝6.
(2)∵g(3)＝32＋2＝11，
∴f[g(3)]＝f(11)＝＝.
【例3】 解：要使函数有意义，自变量x的取值需满足解得x≤1，且x≠－1，
即函数的定义域是{x|x≤1，且x≠－1}．
【例4】 解：(1)f(x)的定义域为R，g(x)的定义域为{x|x≠2}．
由于定义域不同，故f(x)与g(x)不是相等函数．
(2)f(x)的定义域为R，g(x)的定义域为R，即定义域相同．
由于f(x)与g(x)的表达式不相同，
故f(x)与g(x)不是相等函数．
(3)两个函数的自变量所用字母不同，但其定义域和对应关系一致，故是相等函数．
【例5】 错解：要使函数y＝＝有意义，
则x≠－3.
故所求函数的定义域为{x|x≠－3}．
错因分析：约分扩大了自变量的取值范围．由于同时约去了函数中分子、分母的公因式“x－2”，使原函数变形为y＝，从而改变了原函数的自变量x的取值范围，也就是说，函数y＝与函数y＝不相等．
正解：要使函数有意义，必须使(x－2)(x＋3)≠0，
即x－2≠0且x＋3≠0，解得x≠2且x≠－3，
故所求函数的定义域为{x|x≠2，且x≠－3}．
1函数y＝的定义域为( )．
A．{x|x≤1} B．{x|x≥0}
C．{x|x≥1，或x≤0} D．{x|0≤x≤1}
2下列式子中，y不是x的函数的是( )．
A．x＝y2＋1 B．y＝2x2＋1
C．x－2y＝6 D．x＝
3已知函数f(x)＝2x－1，则f[f(2)]＝__________.
4判断下列各组的两个函数是否相等，并说明理由．
(1)y＝x－1，xR与y＝x－1，xN；
(2)y＝与y＝；
(3)y＝1＋与y＝1＋.
5已知函数f(x)＝x2＋1，xR.
(1)分别计算f(1)－f(－1)，f(2)－f(－2)，f(3)－f(－3)的值．
(2)由(1)你发现了什么结论？并加以证明．
答案：1． D 要使函数有意义需解得0≤x≤1.
2． A 选项B，C，D都满足一个x对应唯一的y，故y是x的函数．对于选项A，存在一个x对应两个y的情况，如x＝5时，y＝±2.故y不是x的函数．
3． 5 ∵f(2)＝2×2－1＝3，
∴f[f(2)]＝f(3)＝3×2－1＝5.
4．解：(1)前者的定义域是R，后者的定义域是N，由于它们的定义域不同，故不相等．
(2)前者的定义域是R，后者的定义域是{x|x≥0}，它们的定义域不同，故不相等．
(3)两个函数的定义域相同(均为非零实数)，对应关系相同(都是自变量取倒数后加1)，故相等．
5．解：(1)f(1)－f(－1)＝(12＋1)－[(－1)2＋1]＝2－2＝0；
f(2)－f(－2)＝(22＋1)－[(－2)2＋1]＝5－5＝0；
f(3)－f(－3)＝(32＋1)－[(－3)2＋1]＝10－10＝0.
(2)由(1)可发现结论：对任意x∈R，有f(x)＝f(－x)．证明如下：
由题意，得f(－x)＝(－x)2＋1＝x2＋1＝f(x)．
故对任意xR，总有f(x)＝f(－x)．1.1.3 集合的基本运算
第1课时 并集、交集
一、集合的交集与并集
活动与探究1
已知集合A＝{x|－2≤x≤3}，B＝{x|x＜－1，或x＞a，a≥4}，求A∩B，A∪B．
迁移与应用
1．设集合M＝{－1,0,1}，N＝{x|x2＝x}，则M∩N＝( )
A．{－1,0,1} B．{0,1}
C．{1} D．{0}
2．已知集合M＝{x|－3＜x≤5}，N＝{x|－5＜x＜5}，则M∪N＝( )
A．{x|－5＜x＜5} B．{x|－3＜x＜5}
C．{x|－5＜x≤5} D．{x|－3＜x≤5}
求两个集合的并集与交集时，先化简集合，若是用列举法表示的数集，可以根据交集、并集的定义直接观察或用Venn图表示出集合运算的结果；若是用描述法表示的数集，可借助数轴分析写出结果，此时要注意当端点不在集合中时，应用“空心点”表示．
二、已知集合的交集、并集求参数
活动与探究2
已知集合M＝{2,3，a2＋4a＋2}，N＝{0,7，a2＋4a－2,2－a}，且M∩N＝{3,7}，求实数a的值．
迁移与应用
1．已知集合A＝{x|x≤1}，B＝{x|x≥a}，且A∪B＝R，则实数a的取值范围是__________．
2．已知A＝{－3，a2，a＋1}，B＝{a－3,2a－1，a2＋1}，若A∩B＝{－3}，求a的值．
(1)已知两个集合的交集或并集，求某个参数值时，往往需要列出方程或方程组后再求解．特别要注意的是检验求出的值是否满足集合元素的互异性或题目中的条件．
(2)与不等式有关的集合的运算，利用数轴分析法直观清晰，易于理解．若出现参数应注意分类讨论，最后要归纳总结．
三、交集与并集的性质及应用
活动与探究3
已知A＝{x|2a≤x≤a＋3}，B＝{x|x＜－1，或x＞5}，若A∩B＝A，求a的取值范围．
迁移与应用
1．已知集合A＝{x|x≥2}，B＝{x|x≥m}，且A∩B＝B，则实数m的取值范围是__________．
2．已知集合A＝{x|－3≤x≤7}，B＝{x|2m－1≤x≤2m＋1}，若A∪B＝A，求实数m的取值范围．
在利用集合的交集、并集性质解题时，常常会遇到A∩B＝A，A∪B＝B等这类问题，解答时常借助于交集、并集的定义及子集的概念去分析，如A∩B＝A A B，A∪B＝B A B等，解答时应灵活处理．
当堂检测
1．已知集合M＝{1,2,3,4}，N＝{－2,2}，下列结论成立的是( )
A．N M B．M∪N＝M
C．M∩N＝N D．M∩N＝{2}
2．已知集合A＝{x|x＞1}，B＝{x|－1＜x＜2}，则A∩B＝( )
A．{x|－1＜x＜2} B．{x|x＞－1}
C．{x|－1＜x＜1} D．{x|1＜x＜2}
3．已知集合A＝{0,2，a}，B＝{1，a2}．若A∪B＝{0,1,2,4,16}，则a的值为( )
A．－4 B．4 C．－16 D．16
4．若集合A，B，C满足A∩B＝A，B∪C＝C，则A与C之间的关系是__________．
5．满足条件M∪{1}＝{1,2,3}的集合M的个数是________．
提示：用最精炼的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记。
答案：
课前预习导学
【预习导引】
1．所有 并集 A∪B A并B {x|x∈A，或x∈B}
预习交流1 (1)＝ A A B A
(2){－1,0,1,2,3,6}
2．所有 交集 A∩B A交B {x|x∈A，且x∈B}
预习交流2 (1)＝ A A B
(2){5,8}
课堂合作探究
【问题导学】
活动与探究1 思路分析：可先分别把集合A，B标在数轴上，然后借助于数轴直观地写出A∩B和A∪B.
解：∵A＝{x|－2≤x≤3}，
B＝{x|x＜－1，或x＞a，a≥4}，
如图所示，故A∩B＝{x|－2≤x＜－1}，A∪B＝{x|x≤3，或x＞a，a≥4}．
迁移与应用 1．B
2．C 解析：将集合M，N在数轴上表示出来，如图所示，
由图得M∪N＝{x|－5＜x≤5}．
活动与探究2 思路分析：根据交集中的元素必在两集合中，由此列出方程求a的值．求出a的值后，再代入检验集合元素的互异性．
解：∵M∩N＝{3,7}，∴7∈M.又M＝{2,3，a2＋4a＋2}，∴a2＋4a＋2＝7，解得a＝1或a＝－5.
当a＝－5时，N中的元素为0,7,3,7，这与集合中元素的互异性矛盾，舍去；
当a＝1时，M＝{2,3,7}，N＝{0,7,3,1}，
∴M∩N＝{3,7}，符合题意．∴a＝1.
迁移与应用 1．a≤1 解析：画出数轴(略)，根据条件标出集合A，B.由图知a≤1.
2．解：∵A∩B＝{－3}，∴－3∈B.
易知a2＋1≠－3.
若a－3＝－3，则a＝0，
此时A＝{0,1，－3}，B＝{－3，－1,1}，
则A∩B＝{1，－3}，这与已知矛盾．
若2a－1＝－3，则a＝－1，
此时A＝{0,1，－3}，B＝{－3，－4,2}，
则A∩B＝{－3}．综上可知a＝－1.
活动与探究3 思路分析：由于A∩B＝A，∴A B.结合数轴分A＝与A≠两种情况分别求解．
解：∵A∩B＝A，∴A B.
(1)若A＝，则2a＞a＋3，a＞3.
(2)若A≠，如图所示：
则有或
解得a＜－4或＜a≤3.
综上所述，a的取值范围是a＜－4或a＞.
迁移与应用 1．m≥2 解析：∵A∩B＝B，
∴B A.
又A＝{x|x≥2}，B＝{x|x≥m}，∴m≥2.
2．解：∵A∪B＝A，∴B A.又B≠，如图，
∴∴－1≤m≤3.
【当堂检测】
1．D
2．D 解析：将集合A，B在数轴上表示出来，如图所示，A∩B＝{x|x＞1}∩{x|－1＜x＜2}＝{x|1＜x＜2}．
3．B 解析：由题意知或解得a＝4.
4．A C 解析：∵A∩B＝A，∴A B.
∵B∪C＝C，∴B C，∴A C.
5．2 解析：符合条件的M＝{1,2,3}或{2,3}．数学人教A必修1第一章1．3.2 奇偶性
1．了解奇函数、偶函数的定义，明确定义中“任意”两字的意义．
2．了解奇函数、偶函数图象的对称性．
3．会用定义判断函数的奇偶性．
1．偶函数和奇函数
偶函数 奇函数
定义 条件 如果对于函数f(x)的定义域内______一个x，都有
f(－x)＝______ f(－x)＝______
结论 函数f(x)叫做偶函数 函数f(x)叫做奇函数
图象特征 图象关于______对称 图象关于______对称
(1)奇函数和偶函数的定义中的“任意”是指定义域中所有的实数；由于f(－x)与f(x)有意义，则－x与x同时属于定义域，即具有奇偶性的函数的定义域关于原点对称．
(2)函数f(x)是偶函数对定义域内任意一个x，有f(－x)－f(x)＝0f(x)的图象关于y轴对称．
(3)函数f(x)是奇函数 对定义域内任意一个x，有f(－x)＋f(x)＝0f(x)的图象关于原点对称．
【做一做1－1】 函数y＝f(x)，x[－1，a](a＞－1)是奇函数，则a等于( )．
A．－1 B．0 C．1 D．无法确定
【做一做1－2】 下列条件，可以说明函数y＝f(x)是偶函数的是( )．
A．在定义域内存在x使得f(－x)＝f(x)
B．在定义域内存在x使得f(－x)＝－f(x)
C．对定义域内任意x，都有f(－x)＝－f(x)
D．对定义域内任意x，都有f(－x)＝f(x)
2．奇偶性
定义 如果函数f(x)是奇函数或偶函数，那么就说函数f(x)具有______
图象特征 图象关于原点或y轴对称
基本初等函数的奇偶性如下：
函数 奇偶性
正比例函数(y＝kx，k≠0)反比例函数 奇函数
一次函数(y＝kx＋b，k≠0) b＝0 奇函数
b≠0 非奇非偶函数
二次函数(y＝ax2＋bx＋c，a≠0) b＝0 偶函数
b≠0 非奇非偶函数
【做一做2－1】 函数y＝x是( )．
A．奇函数 B．偶函数
C．奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数
【做一做2－2】 函数f(x)＝x2－2mx＋4是偶函数，则实数m＝__________.
答案：1．任意 f(x) －f(x) y轴 原点
【做一做1－1】 C
【做一做1－2】 D
2．奇偶性
【做一做2－1】 A
【做一做2－2】 0
理解函数的奇偶性
剖析：函数f(x)的奇偶性的定义是用f(－x)＝±f(x)来刻画函数f(x)的图象的特征(图象关于原点或y轴对称)的；函数的奇偶性是对于函数的整个定义域来说的，这一点与函数的单调性不同．从这个意义上来讲，函数的单调性是函数的局部性质，而奇偶性是函数的整体性质．只有对函数f(x)的定义域的每一个值x，都有f(－x)＝f(x)或f(－x)＝－f(x)，才能说f(x)为偶函数或奇函数；定义中要求“对于函数f(x)的定义域内任意一个自变量x，都有f(－x)＝f(x)(f(－x)＝f(x))”成立，其前提为f(－x)和f(x)都有意义，所以－x也属于f(x)的定义域，即自变量x的取值要保持关于原点的对称性，于是奇(偶)函数的定义域是一个关于原点对称的数集，这是函数存在奇偶性的前提．例如将函数f(x)＝x2＋1，f(x)＝x的定义域分别限定为(0，＋)与(－3,3]，那么它们都为非奇非偶函数；函数的奇偶性定义中的等式f(－x)＝－f(x)〔或f(－x)＝f(x)〕是其定义域上的恒等式，而不是对部分x成立．
如：函数f(x)＝
尽管当|x|≤1时，都有f(－x)＝f(x)，但当|x|＞1时，f(－x)≠f(x)，所以它不是偶函数．
题型一 判断函数的奇偶性
【例1】 判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝；(2)f(x)＝x3－2x；
(3)f(x)＝.
分析：先求出定义域，再判断f(－x)与f(x)的关系．
反思：判断函数奇偶性的方法：
(1)定义法：
(2)图象法：如果函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数；如果函数的图象关于原点和y轴均对称，那么这个函数既是奇函数又是偶函数；如果函数的图象关于原点和y轴均不对称，那么这个函数既不是奇函数又不是偶函数．
本题(1)容易错解为：由题意得f(x)＝＝2x，f(－x)＝－2x＝－f(x)，则函数f(x)＝是奇函数．其错误原因是没有讨论该函数的定义域．避免出现此类错误的方法是在讨论函数的奇偶性时，要遵循定义域优先的原则．
题型二 利用函数奇偶性作图
【例2】 已知函数f(x)＝在区间[0，＋∞)上的图象如图所示，请在坐标系中补全函数f(x)在定义域内的图象，并说明作图依据．
分析：先证明f(x)是偶函数，再依据其图象关于y轴对称作图．
反思：利用函数的奇偶性作图，其依据是奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称．
题型三 利用函数的奇偶性求函数的解析式
【例3】 若f(x)是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f(x)＝x(1－x)，求函数f(x)的解析式．
反思：(1)若f(x)是奇函数，f(0)有意义，则f(0)＝0；
(2)已知函数的奇偶性和函数在某区间上的解析式，求对称区间上的解析式时，首先设出所求区间上的自变量，利用奇、偶函数的定义域关于原点对称的特点，把它转化到已知解析式的区间上，代入已知的解析式，然后再次利用函数的奇偶性求解即可．
题型四 易混易错题
易错点 分段函数奇偶性的判断
【例4】 判断函数f(x)＝的奇偶性．
答案：【例1】 解：(1)函数的定义域为{x|x≠－1}，不关于原点对称，所以f(x)既不是奇函数又不是偶函数．
(2)函数的定义域为R，关于原点对称，
f(－x)＝(－x)3－2(－x)＝2x－x3＝－f(x)，
所以f(x)是奇函数．
(3)函数的定义域为R，关于原点对称，
f(－x)＝＝＝f(x)，所以f(x)是偶函数．
【例2】 解：∵f(x)＝，∴f(x)的定义域为R.
又对任意xR，都有f(－x)＝＝＝f(x)，∴f(x)为偶函数．
则f(x)的图象关于y轴对称，其图象如图所示．
【例3】 解：∵f(x)是定义在R上的奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)．当x＞0时，－x＜0，
∴f(x)＝－f(－x)＝x(1＋x)．
当x＝0时，f(－0)＝－f(0)，即f(0)＝－f(0)，
∴f(0)＝0.
∴函数f(x)的解析式为f(x)＝
【例4】 错解：∵当x＜0时，f(－x)＝(－x)2＝x2＝f(x)；当x≥0时，f(－x)＝(－x)3＝－x3＝－f(x)，∴当x＜0时，函数f(x)是偶函数；当x≥0时，函数f(x)是奇函数．
错因分析：“当x＜0时，函数是偶函数；当x≥0时，函数是奇函数”这种说法是错误的．函数的奇偶性是函数的一个整体性质，是针对函数的整个定义域而言的．因此判断函数的奇偶性时，要考虑整个定义域，依据定义进行判断．
正解：显然f(x)的定义域关于原点对称．当x＜0时，－x＞0，f(－x)＝(－x)3，f(x)＝x2，于是f(－x)≠±f(x)，故函数f(x)既不是奇函数又不是偶函数．
1函数f(x)＝x4＋x2( )．
A．是奇函数 B．是偶函数
C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数也不是偶函数
2函数y＝( )．
A．是奇函数 B．是偶函数
C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数又不是偶函数
3若函数f(x)满足＝1，则f(x)图象的对称轴是( )．
A．x轴 B．y轴 C．直线y＝x D．不能确定
4已知f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝，试求f(x)的解析式．
5定义在[－3，－1][1,3]上的函数f(x)是奇函数，其部分图象如图所示．
(1)请在坐标系中补全函数f(x)的图象．
(2)比较f(1)与f(3)的大小．
答案：1． B 定义域是R，f(－x)＝(－x)4＋(－x)2＝x4＋x2＝f(x)，所以函数是偶函数．
2． D 定义域是(－，－1)∪(－1，＋)，不关于原点对称，所以函数既不是奇函数又不是偶函数．
3． B 由于f(－x)＝f(x)，则f(x)是偶函数，其图象关于y轴对称．
4．解：当x＜0时，－x＞0，此时f(x)＝f(－x)＝，
∴f(x)＝即f(x)＝.
5．解：(1)因为f(x)是奇函数，所以其图象关于原点对称，如图所示．
(2)观察图象，知f(3)＜f(1)．第2课时 函数奇偶性的应用
问题导学
一、奇偶函数的图象及应用
活动与探究1
设奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，若当x∈[0,5]时，f(x)的图象如图所示，求不等式f(x)＜0的解集．
迁移与应用
1．函数f(x)＝x－的图象关于________对称( )
A．原点 B．x轴
C．y轴 D．直线y＝x
2．如图，给出偶函数f(x)的局部图象，则使f(x)＞0的x的集合是________．
已知函数的奇偶性及部分图象，根据对称性可补出另一部分图象，奇函数在对称区间上的单调性相同；偶函数在对称区间上的单调性相反．
二、利用函数的奇偶性求解析式
活动与探究2
若f(x)是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f(x)＝2x(1＋x)，求函数f(x)的解析式．
迁移与应用
1．函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝－x＋1，则当x＜0时，f(x)的解析式为( )
A．f(x)＝－x＋1 B．f(x)＝－x－1
C．f(x)＝x＋1 D．f(x)＝x－1
2．已知函数f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，当x∈(－∞，0)时，f(x)＝x－x4，则当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝________.
(1)求哪个区间上的解析式，就把x设在哪个区间上；
(2)利用已知解析式求出f(－x)；
(3)再利用奇偶性求出f(x)．
特别注意，若奇函数f(x)在x＝0时有定义，则f(0)＝0，切不可漏掉．
三、函数单调性与奇偶性的综合应用
活动与探究3
定义在(－1,1)上的奇函数f(x)在整个定义域上是减函数，若f(1－a)＋f(1－3a)＜0，求实数a的取值范围．
迁移与应用
1．函数f(x)在R上是偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增，则下列各式成立的是( )
A．f(－2)＞f(0)＞f(1)
B．f(－2)＞f(1)＞f(0)
C．f(1)＞f(0)＞f(－2)
D．f(1)＞f(－2)＞f(0)
2．已知函数y＝f(x)是偶函数，且在[0，＋∞)上单调递减．若f(a)＜f(2)，求实数a的取值范围．
解答这类题的思路是：先由函数的奇偶性将不等式两边都变成只含“f”的式子，然后根据函数的单调性列出不等式(组)求解．
当堂检测
1．函数f(x)是定义在R上的奇函数，且它是减函数，若实数a，b满足f(a)＋f(b)＞0，则a与b的关系是( )
A．a＋b＞0 B．a＋b＜0
C．a＋b＝0 D．不确定
2．若函数y＝f(x)是偶函数，其图象与x轴有两个交点，则方程f(x)＝0的所有实根之和是( )
A．2 B．1
C．0 D．－1
3．已知函数f(x)是偶函数，且x＜0时，f(x)＝3x－1，则x＞0时，f(x)＝( )
A．3x－1 B．3x＋1
C．－3x－1 D．－3x＋1
4．已知函数f(x)是R上的奇函数，且在R上是减函数，若f(a－1)＋f(1)＞0，则实数a的取值范围是______．
5．已知f(x)是R上的奇函数，且x＞0时，f(x)＝－x2＋x＋1，则f(x)的解析式为__________．
提示：用最精炼的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记.
答案：
课前预习导学
【预习导引】
1．0 －1 0 1
预习交流1 提示：函数的奇偶性与单调性的区别：函数的奇偶性是函数在定义域上的对称性，而单调性反映的是函数在某一区间上函数值的变化趋势．奇偶性是相对于函数的整个定义域来说的，是函数的“整体”性质，而函数的单调性是函数的“局部”性质．
2．(1)f(0)＝0 (2)f(x)＝f(－x)＝f(|x|)
预习交流2 提示：根据奇、偶函数图象的对称性可以推知：奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反．
课堂合作探究
【问题导学】
活动与探究1 思路分析：利用奇函数图象的对称性，画出函数f(x)在[－5,0]上的图象，再根据图象写出不等式f(x)＜0的解集．
解：因为函数f(x)是奇函数，所以函数f(x)在[－5,5]上的图象关于原点对称．根据f(x)在[0,5]上的图象画出在[－5,0]上的图象，如图中虚线所示．由图象知不等式f(x)＜0的解集为{x|－2＜x＜0或2＜x≤5}．
迁移与应用 1．A 解析：函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且f(－x)＝－x＋＝－＝－f(x)．
所以函数f(x)是奇函数，其图象关于原点对称．
2．{x|－1＜x＜1} 解析：根据偶函数的图象关于y轴对称，作出y轴右边的部分，由图象得，使f(x)＞0的x的集合是{x|－1＜x＜1}．
活动与探究2 思路分析：可先设x＞0，则－x＜0，再用已知解析式进行代入，最后利用f(x)的奇偶性，就可以得出f(x)的解析式．
解：∵f(x)是定义在R上的奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)，f(0)＝0.
当x＞0时，－x＜0，∴f(x)＝－f(－x)＝2x(1－x)．
∴函数f(x)的解析式为
f(x)＝
迁移与应用 1．B 解析：令x＜0，则－x＞0，
∴f(－x)＝－f(x)＝x＋1，
∴f(x)＝－x－1，选B.
2．－x－x4 解析：当x∈(0，＋∞)时，－x∈(－∞，0)，则f(－x)＝－x－(－x)4＝－x－x4.由于函数f(x)为偶函数，所以f(x)＝f(－x)＝－x－x4，x∈(0，＋∞)．从而f(x)在区间(0，＋∞)上的解析式为f(x)＝－x－x4.
活动与探究3 思路分析：利用f(x)是奇函数，把f(1－a)＋f(1－3a)＜0变形为f(1－3a)＜f(a－1)，再根据单调性列出不等式(组)求解．
解：原不等式化为f(1－3a)＜－f(1－a)．
∵f(x)是奇函数，
∴－f(1－a)＝f(a－1)．
∴原不等式化为f(1－3a)＜f(a－1)．
∵f(x)是减函数，且定义域为(－1,1)，
∴有解得0＜a＜.
∴实数a的取值范围是.
迁移与应用 1．B 解析：∵f(x)是偶函数，
∴f(－2)＝f(2)．
又f(x)在[0，＋∞)上单调递增，∴f(2)＞f(1)＞f(0)，即f(－2)＞f(1)＞f(0)．
2．解：∵y＝f(x)是偶函数，∴f(a)＝f(|a|)．
∵f(a)＜f(2)，∴f(|a|)＜f(2)，
∵y＝f(x)在[0，＋∞)上是减函数，
∴|a|＞2，即a＞2或a＜－2.
∴实数a的取值范围是a＜－2或a＞2.
【当堂检测】
1．B 解析：∵f(x)是奇函数，∴－f(b)＝f(－b)．
∵f(a)＋f(b)＞0，∴f(a)＞－f(b)＝f(－b)．
∵f(x)在R上是减函数，
∴a＜－b，即a＋b＜0.
2．C 解析：∵偶函数图象关于y轴对称，∴f(x)与x轴的两个交点关于y轴对称，若一根为x1，则另一根必为－x1，故f(x)＝0的所有实根之和为0.
3．C 解析：设x＞0，则－x＜0.
∴f(－x)＝－3x－1.
又∵f(x)是偶函数，
∴x＞0时，f(x)＝f(－x)＝－3x－1.
4．(－∞，0) 解析：∵f(a－1)＋f(1)＞0，
∴f(a－1)＞－f(1)．
∵f(x)是奇函数，∴f(－1)＝－f(1)．
∴f(a－1)＞f(－1)．
又f(x)在R上是减函数，
∴a－1＜－1，即a＜0.
5．f(x)＝ 解析：设x＜0，则－x＞0，f(－x)＝－(－x)2－x＋1＝－x2－x＋1.
∵f(x)是R上的奇函数，
∴x＜0时，f(x)＝－f(－x)＝x2＋x－1，且f(0)＝0.
∴f(x)＝1.1.1 集合的含义与表示
第1课时 集合的含义
问题导学
一、集合的概念及应用
活动与探究1
下列各组对象：
①某个班级中年龄较小的男同学；②联合国安理会常任理事国；③2010年上海世博会的所有展馆；④的所有近似值．其中能够组成集合的是______．
迁移与应用
对于以下说法：
①接近于0的数的全体构成一个集合；
②长方体的全体构成一个集合；
③高科技产品构成一个集合；
④不大于3的所有自然数构成一个集合；
⑤1,0.5，，组成的集合含有四个元素．
其中正确的是( )
A．①②④ B．②③⑤ C．③④⑤ D．②④
判断一组对象能否构成集合，关键是看所给对象是否是确定的，如果一组对象是确定的，则这组对象能构成集合，否则不能构成集合．
二、元素与集合的关系
活动与探究2
设集合A＝{x|x＝2k，k∈Z}，B＝{x|x＝2k＋1，k∈Z}，若a∈A，b∈B，试判断a＋b与集合A，B的关系．
迁移与应用
1．给出下列几个关系式：∈R；0.3∈Q；0∈N；0∈N＋；∈N＋；－π∈Z；－5∈Z.其中正确的关系式的个数是( )
A．4 B．5 C．6 D．7
2．已知a∈N，b∈R，则下面一定正确的是( )
A．a＋b∈N B．a＋b∈Z
C．a＋b∈Q D．a＋b∈R
判断一个元素是否属于某一集合，就是判断这个元素是否满足该集合元素的条件．若满足，就是“属于”关系；若不满足，就是“不属于”关系．特别注意，符号“∈”与“ ”只表示元素与集合的关系．
三、集合元素的特性及应用
活动与探究3
已知M是由“2，a，b”组成的三个元素的集合，N是由“2a,2，b2”组成的三个元素的集合，且M＝N，试求a与b的值．
迁移与应用
1．由x，－x，|x|所组成的集合中，最多含有的元素个数是( )
A．2 B．3 C．1 D．不确定
2．已知集合A含有两个元素1,2，集合B表示方程x2＋ax＋b＝0的解的集合，且A＝B，则a＝______，b＝______.
(1)两个集合中的元素一样，则两个集合相等；反之，若两个集合相等，则两个集合中的元素一样；
(2)集合中的元素是互异的，即一个集合中的任意两个元素不能相同，所以在求集合中参数的值时，求出后要检验是否满足集合中元素的互异性或题目中的其他条件．
当堂检测
1．下列各组对象中不能构成集合的是( )
A．兴华中学2013年入学的全体学生
B．参加60年国庆庆典观礼团的全体成员
C．清华大学建校以来毕业的所有学生
D．美国NBA的篮球明星
2．下列所给关系正确的个数是( )
①π∈R；②Q；③0∈N*；④|－4| N*；⑤－3 Z
A．1 B．2 C．3 D．4
3．若集合A中有两个元素x与x2，则x的值可以是( )
A．0 B．1
C．0或1 D．－1
4．用符号“∈”或“ ”填空：
(1)3______N；(2)0.5______Z；(3)______Q；
(4)2______R；(5)π______Q；(6)－2______N.
5．已知集合A中有两个元素0，x，集合B中有两个元素0，x2.若A＝B，则x的值为______．
提示：用最精炼的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记。
答案：
课前预习导学
【预习导引】
1．(1)研究对象 (2)元素 集
2．(1)确定性 互异性 无序性 (2)一样
预习交流1 提示：由集合元素的互异性知a－3≠2a－1，即a≠－2.所以，实数a应满足的条件是a≠－2.
3．属于 a∈A 不属于 aA
4．N N*或N＋ Z Q R
预习交流2 提示：(1)一定 (2)不一定
5．(1)有限个 (2)无限个
课堂合作探究
【问题导学】
活动与探究1 思路分析：集合的元素是确定的，因而可根据所述对象是否是确定的来判断它们能否组成集合．
②③ 解析：只有②与③中所述对象是确定的，所以能够组成集合的是②③.
迁移与应用 D 解析：①③中的元素不能确定，⑤中的集合含有3个元素，②④中的元素是确定的，所以②④能组成集合．
活动与探究2 思路分析：因为集合A是偶数集，集合B是奇数集，所以a为偶数，b为奇数，从而a＋b是奇数，由此即可判断a＋b与集合A，B的关系．
解：因为a∈A，则a＝2k1(k1∈Z)，b∈B，
则b＝2k2＋1(k2∈Z)，
所以a＋b＝2(k1＋k2)＋1.
又k1＋k2为整数，2(k1＋k2)为偶数，
故2(k1＋k2)＋1必为奇数，
所以a＋b∈B且a＋bA.
迁移与应用 1．A
2．D 解析：取a＝1，b＝，则选项A，B，C都不正确．
活动与探究3 思路分析：两个集合相等，则这两个集合的元素完全相同．由此列出方程组求解a，b.但要注意检验集合元素的互异性．
解：∵M是由“2，a，b”组成的三个元素的集合，N是由“2a,2，b2”组成的三个元素的集合，且M＝N，
∴或
解得或或
当a＝0，b＝0时，集合M，N不满足集合元素的互异性，
∴或
迁移与应用 1．A 解析：∵|x|＝
∴x，－x，|x|最多有两个不同的值．
2．－3 2 解析：∵A＝B，∴集合B中也只有两个元素1,2，即1,2是方程x2＋ax＋b＝0的两个解．
∴∴
【当堂检测】
1．D 2.B
3．D 解析：当x＝0或1时，x＝x2，不满足集合元素的互异性．故选D.
4．(1)∈ (2) (3) (4)∈ (5) (6)
5．1 解析：由题意知x＝x2，解得x＝0或x＝1.由集合元素的互异性知x≠0，∴x＝1.数学人教A必修1第一章1．3.1 单调性与最大(小)第2课时
1．理解函数最大值和最小值的概念，明确定义中“任意”和“存在”表达的含义．
2．能借助于图象和单调性，求一些简单函数的最值．
3．能利用函数的最值解决有关的实际应用问题．
1．最大值和最小值
最大值 最小值
条件 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：对于任意的xI，都有
f(x)______M f(x)______M
存在x0I，使得______
结论 称M是函数y＝f(x)的最大值 称M是函数y＝f(x)的最小值
几何意义 f(x)图象上最____点的纵坐标 f(x)图象上最____点的纵坐标
(1)定义中M首先是一个函数值，它是值域的一个元素，如函数f(x)＝－x2(xR)的最大值为0，有f(0)＝0.
(2)最大(小)值定义中的“任意”是说对每一个值都必须满足不等式，即对于定义域内全部元素，都有f(x)≤M(f(x)≥M)成立，也就是说，y＝f(x)的图象不能位于直线y＝M的上(下)方．
(3)最大(小)值定义中的“存在”是说定义域中至少有一个实数满足等式，也就是说y＝f(x)的图象与直线y＝M至少有一个交点．
【做一做1】 在函数y＝f(x)的定义域中存在无数个实数满足f(x)≥M，则( )．
A．函数y＝f(x)的最小值为M B．函数y＝f(x)的最大值为M
C．函数y＝f(x)无最小值 D．不能确定M是函数y＝f(x)的最小值
2．最值
定义 函数的______和______统称为函数的最值
几何意义 函数y＝f(x)的最值是图象______或______的纵坐标
说明 函数的最值是在整个定义域内的性质
二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)在定义域R上，当a＞0时，最小值是f，不存在最大值；当a＜0时，最大值是f，不存在最小值．
【做一做2】 函数y＝－x2＋2x的最大值是______．
答案：1．≤ ≥ f(x0)＝M 高 低
【做一做1】 D
2．最大值 最小值 最高点 最低点
【做一做2】 1
函数的最值与单调性的关系
剖析：(1)函数的单调性是其定义域的子集上的性质，是“局部”性质，而函数的最值是整个定义域上的性质，是“整体”性质．
(2)若函数f(x)在[a，b]上是增(减)函数，则f(x)在[a，b]上的最小(大)值是f(a)，最大(小)值是f(b)．
(3)若函数f(x)在[a，b]上是增(减)函数，在[b，c]上是减(增)函数，则f(x)在[a，c]上的最大(小)值是f(b)，最小(大)值是f(a)与f(c)中较小(大)的一个．
题型一 图象法求最值
【例1】 已知函数f(x)＝|x＋1|＋|x－1|.
(1)画出f(x)的图象；
(2)根据图象写出f(x)的最小值．
分析：(1)讨论x与±1的大小，化函数f(x)为分段函数形式；
(2)函数图象最低点的纵坐标是f(x)的最小值．
反思：图象法求函数y＝f(x)最值的步骤：
(1)画出函数y＝f(x)的图象；
(2)依据函数最值的几何意义，借助图象写出最值．
题型二 利用函数单调性求最值
【例2】 已知函数f(x)＝x＋，x[1,3]．
(1)判断f(x)在[1,2]和[2,3]上的单调性；
(2)根据f(x)的单调性写出f(x)的最值．
(2)借助最值与单调性的关系，写出最值．
反思：利用函数的单调性求函数最值的步骤：
(1)判断函数f(x)的单调性；
(2)借助最值与单调性的关系写出最值．
题型三 应用问题
【例3】 将进货单价为40元的商品按50元一个出售时，能卖出500个．已知这种商品每涨价1元，其销售量就减少10个，为得到最大利润，则售价应为多少元？最大利润是多少？
分析：设出售价及利润，建立利润与售价的函数关系式，具体如下：
反思：解应用题要弄清题意，从实际出发，引进数学符号，建立数学模型，列出函数关系式，分析函数的性质，从而解决问题，这里要注意自变量的取值范围．在实际应用问题中，最大利润、用料最省等问题常转化为求函数的最值来解决．
答案：【例1】 解：(1)f(x)＝|x＋1|＋|x－1|＝其图象如图所示．
(2)由图象，得函数f(x)的最小值是2.
【例2】 解：(1)设x1，x2是区间[1,3]上的任意两个实数，且x1＜x2，
则f(x1)－f(x2)＝x1－x2＋－
＝(x1－x2).∵x1＜x2，∴x1－x2＜0.
当1≤x1＜x2≤2时，1＜x1x2＜4，∴＞1.
∴1－＜0.∴f(x1)＞f(x2)，
即f(x)在[1,2]上是减函数．
当2≤x1＜x2≤3时，4＜x1x2＜9，
∴0＜＜1.
∴1－＞0.
∴f(x1)＜f(x2)，即f(x)在[2,3]上是增函数．
(2)由(1)知f(x)的最小值为f(2)＝2＋＝4，
又∵f(1)＝5，f(3)＝3＋＝＜f(1)，
∴f(x)的最大值为5.
【例3】 解：设售价为x元，利润为y元，
则单个涨价(x－50)元，销量减少10(x－50)个．
则y＝(x－40)[500－10(x－50)]
＝－10(x－70)2＋9 000，
当x＝70时，ymax＝9 000，
即售价为70元时，利润最大为9 000元．
1函数f(x)＝2x＋1在[0,1]上的最大值是a，最小值是b，则a＋b＝__________.
2函数y＝|x＋1|－|x－1|的最大值是__________．
3函数y＝－(x＋a)2＋1的最大值为__________．
4把长为12 cm的细铁丝截成两段，各自围成一个正方形，求这两个正方形面积之和的最小值．
5已知函数f(x)＝，
(1)求证：函数f(x)在[2,3]上是增函数；
(2)求f(x)在[2,3]上的最大值和最小值．
答案：1． 4 ∵函数f(x)＝2x＋1在[0,1]上是增函数，
∴a＝f(1)＝3，b＝f(0)＝1，则a＋b＝3＋1＝4.
2. 2 画出该函数的图象，如图所示．
观察知，函数图象最高点的纵坐标为2，则该函数的最大值为2.
3． 1 ∵－(x＋a)2≤0，∴y＝－(x＋a)2＋1≤1.
4．解：设一个正方形的边长为x cm，则另一个正方形的边长为＝(3－x)(cm)，两个正方形的面积和为S cm2，0＜x＜3.则S＝x2＋(3－x)2＝.
当x＝时，S取最小值，
即这两个正方形面积之和的最小值为cm2.
5． (1)证明：设x1，x2是区间[2,3]上的任意两个实数，且x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝.
∵2≤x1＜x2≤3，
∴x2－x1＞0，x1－1＞0，x2－1＞0.
∴f(x1)－f(x2)＜0，f(x1)＜f(x2)．
∴函数f(x)＝在[2,3]上是增函数．
(2)解：由(1)得f(x)在[2,3]上的最大值是f(3)＝－1，最小值是f(2)＝－2.第2课时 集合的表示
问题导学
一、用列举法表示集合
活动与探究1
用列举法表示下列集合：
(1)大于2且小于10的偶数组成的集合；
(2)满足2x－7＜0的正整数解组成的集合；
(3)方程(x－1)(x＋2)2＝0的解组成的集合；
(4)二元方程x＋y＝6(x∈N*，y∈N)的解组成的集合．
迁移与应用
用列举法表示下列集合：
(1)小于20的既是奇数又是素数的数组成的集合；
(2)方程x2＝x的解的集合；
(3)36与60的公约数组成的集合．
在用列举法表示集合时，首先要全，不能遗漏；其次不能重复；最后，元素之间要用“，”隔开，不能用“、”．
二、用描述法表示集合
活动与探究2
用描述法表示下列集合：
(1)奇数集；
(2)被5除余1的正整数集；
(3)方程组的解集；
(4)平面直角坐标系内坐标轴上的点组成的集合．
迁移与应用
用描述法表示下列集合：
(1)不等式3x－2≥0的解构成的集合；
(2){2,4,6,8,10}；
(3)被3除余2的正整数集；
(4)坐标平面内位于第二、四象限的点的集合．
(1)用描述法表示集合，应先弄清集合的属性，是数集、点集还是其他的类型．一般地，数集用一个字母代表其元素，而点集则用一个有序实数对来代表其元素．
(2)若描述部分出现元素记号以外的字母时，要对新字母说明其含义或指出其取值范围．
三、列举法和描述法的灵活应用
活动与探究3
用适当的方法表示下列集合：
(1)“BRICS”中所有字母组成的集合；
(2)绝对值等于6的数组成的集合；
(3)所有三角形组成的集合；
(4)直线y＝x上去掉原点的点组成的集合．
迁移与应用
用适当的方法表示下列集合：
(1)大于2且小于5的有理数组成的集合；
(2)24的所有正因数组成的集合；
(3)平面直角坐标系内与坐标轴距离相等的点的集合．
当集合的元素个数很少(很容易写出全部元素)时，常用列举法表示集合；当集合的元素个数较多(不易写出全部元素)时，常用描述法表示集合．对一些元素有规律的无限集，也可用列举法表示．如正偶数集也可写为{2,4,6,8，10，…}．
当堂检测
1．用列举法表示集合{x|x2－3x＋2＝0}为( )
A．{(1,2)} B．{(2,1)}
C．{1,2} D．{x2－3x＋2＝0}
2．直线y＝2x＋1与y轴的交点所组成的集合为( )
A．{0,1} B．{(0,1)}
C． D．
3．使y＝有意义的实数x的集合可表示为( )
A． B．
C． D．
4．已知集合A＝{(x，y)|y＝2x＋1}，B＝{(x，y)|y＝x＋3}，a∈A且a∈B，则a为__________．
5．用适当的方法表示下列集合．
(1)由大于－3且小于11的偶数组成的集合可表示为__________；
(2)不等式3x－6≤0的解集可表示为__________；
(3)方程x(x2＋2x－3)＝0的解集可表示为__________；
(4)函数y＝x2－x－1图象上的点组成的集合可表示为__________．
提示：用最精炼的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记。
答案：
课前预习导学
【预习导引】
1．一一列举 { }
预习交流1 (1)提示：不能，因为花括号“{ }”表示“所有、全部”的意思．
(2)提示：对于所含元素有规律的无限集也可以用列举法表示，如正自然数集可以用列举法表示为{1,2,3,4,5，…}．
2．(1)共同特征 (2)一般符号 一条竖线 竖线后 共同特征
预习交流2 提示：集合A表示的是使y＝有意义的x的取值的集合，集合B表示的是函数y＝的函数值的集合，集合C表示的是函数y＝图象上的点的集合或是二元方程y＝的解的集合，它们所表示的意义是不一样的，所以表示的集合也不相同．
课堂合作探究
【问题导学】
活动与探究1 思路分析：先弄清集合元素应满足的条件，再把满足条件的元素全部列出，并写在花括号内．
解：(1)大于2且小于10的偶数组成的集合A＝{4,6,8}．
(2)由2x－7＜0，得x＜.又x∈N*，
∴x＝1,2,3.
所以满足2x－7＜0的正整数解组成的集合为B＝{1,2,3}．
(3)由方程(x－1)(x＋2)2＝0，得x＝1或x＝－2，所以方程(x－1)(x＋2)2＝0的解组成的集合为C＝{1，－2}．
(4)∵x＋y＝6，且x∈N*，y∈N，
∴当x＝1时，y＝5；当x＝2时，y＝4；当x＝3时，y＝3；当x＝4时，y＝2；当x＝5时，y＝1；当x＝6时，y＝0.所以该集合为D＝{(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，(6,0)}．
迁移与应用 解：(1)该集合表示为A＝{3,5,7,11,13,17,19}．
(2)由x2＝x得x＝0或1，∴该集合表示为B＝{0,1}．
(3)该集合表示为C＝{1,2,3,4,6,12}．
活动与探究2 思路分析：先确定集合元素的符号，再把元素的共同特征通过提炼加工后写在竖线后面．
解：(1)奇数集用描述法表示为A＝{x|x＝2k＋1，k∈Z}．
(2)被5除余1的正整数可表示为5k＋1，k∈N，所以该集合用描述法表示为B＝{x|x＝5k＋1，k∈N}．
(3)该集合用描述法表示为
C＝.
(4)设点(x，y)是坐标轴上的点，则x＝0或y＝0，即xy＝0.所以该集合用描述法表示为D＝{(x，y)|xy＝0}．
迁移与应用 解：(1)该集合用描述法表示为A＝{x|3x－2≥0}．
(2)该集合用描述法表示为B＝{x|x＝2k,1≤k≤5且k∈Z}．
(3)该集合用描述法表示为C＝{x|x＝3k＋2，k∈N}．
(4)设集合内的点的坐标为(x，y)，因为点在第二、四象限，所以x，y异号，即xy＜0，所以该集合用描述法表示为D＝{(x，y)|xy＜0}．
活动与探究3 思路分析：(1)(2)中的元素个数很少，用列举法表示；(3)(4)是无限集，用描述法表示．
解：(1)用列举法表示为{B，R，I，C，S}．
(2)因为绝对值等于6的数是±6，所以用列举法表示为{－6,6}．
(3)用描述法表示为{x|x是三角形}或{三角形}．
(4)用描述法表示为{(x，y)|y＝x，x≠0}．
迁移与应用 解：(1)用描述法表示为{x|2＜x＜5，且x∈Q}．
(2)用列举法表示为{1,2,3,4,6,8,12,24}．
(3)在平面直角坐标系内，点(x，y)到x轴的距离为|y|，到y轴的距离为|x|，所以该集合用描述法表示为{(x，y)||y|＝|x|}．
【当堂检测】
1．C 解析：解方程x2－3x＋2＝0得x＝1或x＝2.用列举法表示为{1,2}．
2．B 解析：解方程组得故该集合为{(0,1)}．
3．B
4．(2,5) 解析：∵集合A，B都表示直线上点的集合，a∈A表示a是直线y＝2x＋1上的点，a∈B表示a是直线y＝x＋3上的点，∴a是直线y＝2x＋1与y＝x＋3的交点，即a为(2,5)．
5．(1){－2,0,2,4,6,8,10} (2){x|x≤2}
(3){－3,0,1} (4){(x，y)|y＝x2－x－1}1.1.2 集合间的基本关系
问题导学
一、子集与真子集
活动与探究1
(1)已知集合A＝{m，n，p}，试写出集合A的所有子集和真子集．
(2)已知{1,2} A{1,2,3,4}，写出所有满足条件的集合A．
迁移与应用
1．集合M＝{0,1,2}的非空真子集的个数是( )
A．8 B．7 C．6 D．5
2．满足{1}A {1,2,3}的集合A的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
(1)写一个集合的子集时，按子集中元素个数的多少，以一定顺序来写就不易发生重复和遗漏现象．
(2)集合中含有n个元素，则此集合有2n个子集，2n－1个真子集，其中要注意空集和集合本身．
(3)根据集合的关系确定集合时，先确定出集合中一定有哪些元素，哪些元素可有可无，再写出所有满足条件的集合．
二、集合关系的判断
活动与探究2
判断下列每组中两个集合的关系：
(1)A＝{x|－3≤x＜5}，B＝{x|－1＜x＜2}；
(2)A＝，B＝.
迁移与应用
1．已知集合A＝{x|x－3＞0}，B＝{x|2x－5≥0}，则这两个集合的关系是______．
2．已知集合P＝{x|x＝|x|，x∈N且x＜2}，Q＝{x∈Z|－2＜x＜2}，试判断集合P，Q间的关系．
判断两个集合的关系时，首先将集合进行化简，再结合图形，判断出两个集合的关系．
三、集合关系的应用
活动与探究3
已知集合A＝{x|x＜－1，或x＞4}，B＝{x|2a≤x≤a＋3}，若B A，求实数a的取值范围．
迁移与应用
1．已知集合A＝{－1,3,2m－1}，集合B＝{3，m2}．若B A，则实数m＝________.
2．已知集合A＝{x|2≤x＜4}，B＝{x|x＜a}．若AB，求实数a的取值范围．
(1)由于空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，所以在遇到“A B”或“AB且B≠”时，一定要分A＝和A≠两种情况进行讨论，其中A＝的情况易被忽略，应引起足够的重视．
(2)解答这类问题时，一定要注意数轴的应用．
当堂检测
1．下列各式中正确的是( )
A．{0}∈R B．{1}∈{1,2,3}
C．{0,1}≠{1,0} D．{1}
2．已知集合M＝{x|x是平行四边形}，N＝{x|x是矩形}，P＝{x|x是正方形}，Q＝{x|x是菱形}，则( )
A．M N
B．P N
C．Q P
D．Q N
3．已知集合A＝{x|x＜－2或x＞0}，B＝{x|0＜x＜1}，则( )
A．A＞B B．AB C．BA D．A B
4．满足{0,1} A{0,1,2,3}的集合A，最少有__________个子集，最多有__________个子集．
5．设集合A＝{x|1＜x＜2}，B＝{x|x＜a}，若AB，则实数a的取值范围为__________．
提示：用最精炼的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记。
答案：
课前预习导学
【预习导引】
1．(1)子集 A B B A 含于 包含 (2)平面上封闭曲线 (3)子集 (A B) 子集 B A 相等 A＝B (4)A A
预习交流1 提示：“∈”表示的是元素与集合间的关系；“ ”表示的是两个集合间的关系．
2．真子集
预习交流2 (1)至少多一个
(2)AC
3．空集 子集
预习交流3 (1){0} A
(2)提示：一个集合有n个元素，则这个集合有2n个子集，2n－1个真子集．
课堂合作探究
【问题导学】
活动与探究1 思路分析：(1)按子集元素的个数由少到多依次写出．
(2)∵{1,2} A，∴集合A中一定有元素1,2.
又∵A{1,2,3,4}，∴集合A中的元素一定是集合{1,2,3,4}中的元素，且集合A中元素的个数要少．
解：(1)集合A的所有子集为：，{m}，{n}，{p}，{m，n}，{m，p}，{n，p}，{m，n，p}．其中真子集为，{m}，{n}，{p}，{m，n}，{m，p}，{n，p}．
(2)∵{1,2} A，∴1∈A,2∈A.
又∵A{1,2,3,4}，∴集合A中还可以有3或4，即集合A可以是{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}．
迁移与应用 1．C 解析：集合M的非空真子集有{0}，{1}，{2}，{0,1}，{0,2}，{1,2}，共6个．
2．D 解析：∵{1}A，∴A中至少有两个元素，且1∈A.又A {1,2,3}，∴A中还可以有2或3，即A可以是{1,2}，{1,3}，{1,2,3}，共3个．
活动与探究2 思路分析：利用数轴或适当变形后，再根据子集、真子集的定义进行判断．
解：(1)将两个集合在数轴上表示出来，如图所示，显然有BA.
(2)在集合A中，x=k+=，k∈Z.
∵当k∈Z时，2k+1是奇数，∴集合A中的元素是所有的奇数除以2所得的数．
在集合B中，x=2k+= ，k∈Z.
∵当k∈Z时，4k+1只表示了部分奇数．
∴BA.
迁移与应用 1．AB 解析：A＝{x|x－3＞0}＝{x|x＞3}，B＝{x|2x－5≥0}＝{x|x≥}．
结合数轴知AB.
2．解：∵x＝|x|，∴x≥0.
∵x∈N且x＜2，∴集合P＝{0,1}．
∵x∈Z且－2＜x＜2，
∴集合Q＝{－1,0,1}．
由真子集的定义可知，PQ.
活动与探究3 思路分析：充分利用B A借助于数轴求解，同时对集合B是否为空集进行分类讨论．
解：当B＝时，只需2a＞a＋3，即a＞3；
当B≠时，根据题意作出如图所示的数轴，
可得或
解得a＜－4或2＜a≤3.
综上可得，实数a的取值范围为a＜－4或a＞2.
迁移与应用 1．1 解析：由于B A，则应有m2＝2m－1，于是m＝1.
2．解：将数集A表示在数轴上(如图所示)，要满足AB，表示数a的点必须在表示4的点处或在表示4的点的右边，所以所求实数a的取值范围为{a|a≥4}．
【当堂检测】
1．D 2．B
3．C 解析：由数轴知BA.故选C.
4．4 8 解析：由题意知，集合A中最少有两个元素，此时A有子集4个；集合A中最多有3个元素，此时A有子集8个．
5．a≥2 解析：画出数轴可得a≥2.1.2.2 函数的表示法
第1课时 函数的表示法
问题导学
一、列表法表示函数
活动与探究1
已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出：
x 1 2 3
f(x) 2 1 1
x 1 2 3
g(x) 3 2 1
则f(g(1))的值为______；当g(f(x))＝2时，x＝______.
迁移与应用
1．在活动与探究1中，函数f(x)的定义域是________，值域是________；f(1)＝________；若f(x)＝1，则x＝________.
2．已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出．
x 1 2 3
f(x) 1 3 1
x 1 2 3
g(x) 3 2 1
则g(f(2))＝________；f(g(2))＝________.
列表法是表示函数的重要方法，这如同我们在画函数图象时所列的表，它的优点是变量对应的函数值在表中可直接找到，不需计算．
二、求函数的解析式
活动与探究2
(1)已知f(x＋1)＝x2－3x＋2，求f(x)；
(2)已知f＝x2＋，求f(x)；
(3)已知f(x)是一次函数，且f(f(f(x)))＝8x＋7，求f(x)．
迁移与应用
1．已知f(x－1)＝x2－3，则f(x)＝________.
2．已知f＝x＋－2，则f(x)＝___________________________________________.
3．二次函数f(x)满足f(x＋1)－f(x)＝2x且f(0)＝1.求f(x)的解析式．
求函数解析式的常用方法有：(1)换元法，就是令f(g(x))中的g(x)＝t，解出x后代入已知式，即可得所求函数的解析式；(2)配凑法，就是将等式右边的代数式变形，使其变为关于等式左边括号内式子的关系式，进而求得f(x)；(3)待定系数法，就是在已知函数类型的情况下，设出这个函数，然后根据条件求出系数，从而得所求函数式．
三、函数的图象及应用
活动与探究3
作出下列函数图象，并求其值域：
(1)y＝1－x(x∈Z且|x|≤2)；
(2)y＝2x2－4x－3(0≤x＜3)．
迁移与应用
1．函数f(x)的图象如图，则该函数的定义域与值域分别是( )
A．[－3,4]，[－1,2]
B．[－3,1]∪[2,4]，[－2,1]
C．[－3,1]∪(2,4]，[－2,2]
D．[－3,4]，[－2,2]
2．若x∈R，f(x)是y＝2－x2，y＝x这两个函数的较小者，则f(x)的最大值为( )
A．2 B．1 C．－1 D．无最大值
一般地，作函数图象主要有三步：列表、描点、连线．作图象时一般应先确定函数的定义域，再在定义域内化简函数解析式(可能有的要表示为分段函数)，再列表描点画出图象，并在画图象的同时注意一些关键点，如函数图象与坐标轴的交点．
函数的图象直观地展现了函数的一些性质，因而，在学习函数及解答与函数有关的问题时，要注意函数图象的应用．
当堂检测
1．已知函数f(x)由下表给出，则f(3)等于( )
x 1≤x＜2 2 2＜x≤4
f(x) 1 2 3
A．1 B．2 C．3 D．不存在
2．已知函数f(x)是一次函数，若f(0)＝1，f(－1)＝－1，则f(x)等于( )
A．2x
B．2x＋1
C．2x－1
D．－2x＋1
3．已知f(x＋2)＝x2－x＋1，则f(x)等于( )
A．x2－x＋3
B．x2＋4x＋1
C．x2－x－1
D．x2－5x＋7
4．函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的定义域是__________，值域是__________．
5．已知f(x)＝x＋a，且f(x－1)＝x＋6，则a＝________.
提示：用最精炼的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记。
答案：
课前预习导学
【预习导引】
解析法 列表法 图象法 (1)数学表达式 (2)列出表格 图象
预习交流 1．提示：解析法有两个优点：一是简明、全面地概括了变量间的关系；二是可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值．
图象法的优点是直观形象地表示自变量的变化、相应的函数值变化的趋势，有利于我们通过图象研究函数的某些性质．
列表法的优点是不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值．
2．提示：有些函数的函数值与自变量之间不能用代数式表示，这时就不能用解析法表示函数；有些函数的定义域内有无数个值，这时就不能用列表法表示函数．所以不是每一个函数都能用两种方法表示．
3．解：函数的图象是一些离散的点，图象如图所示：
课堂合作探究
【问题导学】
活动与探究1 思路分析：这是用列表法表示的函数求值问题，在解答时，找准变量对应的值即可．
1 1 解析：由g(x)对应表，知g(1)＝3，
∴f(g(1))＝f(3)．
由f(x)对应表，得f(3)＝1，
∴f(g(1))＝f(3)＝1.
由g(x)对应表，得当x＝2时，g(2)＝2，
又g(f(x))＝2，∴f(x)＝2.又由f(x)对应表，得x＝1时，f(1)＝2.∴x＝1.
迁移与应用 1．{1,2,3} {2,1} 2 2或3
2．1 3 解析：∵f(2)＝3，g(2)＝2，∴g(f(2))＝g(3)＝1，f(g(2))＝f(2)＝3.
活动与探究2 思路分析：(1)令x＋1＝t，代入f(x＋1)＝x2－3x＋2可得f(x)；(2)将x2＋变形，使其变为关于x＋的形式，可得f(x)；(3)设出f(x)＝kx＋b(k≠0)，代入已知等式，得关于k，b的方程组，求出k，b的值进而可得f(x)．
解：(1)令x＋1＝t，则x＝t－1.
将x＝t－1代入f(x＋1)＝x2－3x＋2，得f(t)＝(t－1)2－3(t－1)＋2＝t2－5t＋6，
∴f(x)＝x2－5x＋6.
(2)f＝x2＋＝2－2，
∴f(x)＝x2－2.
(3)设f(x)＝kx＋b(k≠0)，
则f(f(x))＝k(kx＋b)＋b＝k2x＋kb＋b.
∴f(f(f(x)))＝f(k2x＋kb＋b)
＝k(k2x＋kb＋b)＋b
＝k3x＋k2b＋kb＋b＝8x＋7.
∴
解得k＝2，b＝1.
∴f(x)＝2x＋1.
迁移与应用 1．x2＋2x－2 解析：令x－1＝t，则x＝t＋1.
将x＝t＋1代入f(x－1)＝x2－3，得f(t)＝(t＋1)2－3＝t2＋2t－2.
∴f(x)＝x2＋2x－2.
2．x2－4 解析：f＝x＋－2＝2－4.
∴f(x)＝x2－4.
3．解：设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
由f(0)＝1，得c＝1.
故f(x)＝ax2＋bx＋1.
∵f(x＋1)－f(x)＝2x，
∴a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1－(ax2＋bx＋1)＝2x.
即：2ax＋a＋b＝2x，
∴
∴
∴f(x)＝x2－x＋1.
活动与探究3 思路分析：(1)中函数的图象为一条直线上的孤立的点；
(2)中函数图象为抛物线的一部分，借助定义域及特殊点画出图象，由图象可得值域．
解：(1)因为x∈Z且|x|≤2，
所以x∈{－2，－1,0,1,2}．
所以该函数图象为一直线上的孤立点(如图①)．
由图象知，y∈{－1,0,1,2,3}．
(2)因为y＝2(x－1)2－5，
所以当x＝0时，y＝－3；
当x＝3时，y＝3；
当x＝1时，y＝－5.
所画函数图象如图．
因为x∈[0,3)，故图象是一段抛物线(如图②)．
由图象可知，y∈[－5,3)．
迁移与应用 1．C
2．B 解析：在同一坐标系中画出函数y＝2－x2，y＝x的图象，如图，根据题意，坐标系中实线部分即为函数f(x)的图象．
∴x＝1时，f(x)max＝1.
【当堂检测】
1．C 2．B
3．D 解析：令x＋2＝t，则x＝t－2.
将x＝t－2代入f(x＋2)＝x2－x＋1，
得f(t)＝(t－2)2－(t－2)＋1＝t2－5t＋7.
∴f(x)＝x2－5x＋7.
4．[－1,2) (－1,1]
5．7 解析：∵f(x)＝x＋a，
∴f(x－1)＝x－1＋a.
又f(x－1)＝x＋6，∴x－1＋a＝x＋6，
∴a＝7.1.3.2 奇偶性
第1课时 函数奇偶性的概念
问题导学
一、判断函数的奇偶性
活动与探究1
判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝x3＋x；(2)f(x)＝＋；
(3)f(x)＝.
迁移与应用
判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝x＋；
(2)f(x)＝x2－|x|＋1；
(3)f(x)＝＋；
(4)f(x)＝3x＋1.
函数奇偶性可按如下方法判断：
(1)判断所给函数的定义域是否关于原点对称；
(2)当函数的定义域关于原点对称时，判断f(－x)与f(x)的关系：
如果对于函数f(x)定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，则函数为偶函数；
如果对于函数f(x)定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，则函数为奇函数；
如果对于函数f(x)定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)且f(－x)＝f(x)，则函数既是奇函数又是偶函数．
如果函数的定义域不关于原点对称，或在函数f(x)定义域内存在一个x，不满足f(－x)＝－f(x)也不满足f(－x)＝f(x)，则函数既不是奇函数又不是偶函数．
二、分段函数奇偶性的判断
活动与探究2
判断函数f(x)＝的奇偶性．
迁移与应用
1．已知函数f(x)＝则函数f(x)是______函数．(填“奇”或“偶”)
2．判断函数f(x)＝的奇偶性．
对于分段函数奇偶性的判断，需特别注意x与－x所满足的对应关系，如x＞0，则求f(－x)时，一定要用x＜0时对应的解析式．并判断f(－x)与x＞0时的f(x)相等还是互为相反数，也可以结合图象的对称性帮助判断．
三、根据奇、偶函数求参数值
活动与探究3
已知函数f(x)＝是奇函数，求实数b的值．
迁移与应用
1．若函数f(x)＝2x2＋(a－1)x＋2是偶函数，则实数a的值是______．
2．若函数f(x)＝x2－|x＋a|为偶函数，则实数a＝______.
若f(x)是偶函数，则对定义域内的任意x，等式f(－x)＝f(x)都成立；若f(x)是奇函数，则对定义域内的任意x，等式f(－x)＝－f(x)都成立．由此可列出关于式中参数的方程(组)，并求出参数值．
当堂检测
1．已知函数f(x)是定义在区间[a－1,2a]上的奇函数，则实数a的值为( )
A．0 B．1 C． D．不确定
2．函数f(x)＝x2＋的奇偶性为( )
A．奇函数
B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．非奇非偶函数
3．下列函数中，既是奇函数又是增函数的为( )
A．y＝x＋1
B．y＝－x2
C．y＝
D．y＝x|x|
4．如图给出奇函数y＝f(x)的局部图象，则f(－2)的值是______．
5．若函数f(x)＝ax2＋3x＋b是R上的奇函数，则a＝______，b＝______.
提示：用最精炼的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记.
答案：
课前预习导学
【预习导引】
f(－x)＝f(x) f(－x)＝－f(x)
预习交流 (1)提示：偶函数的图象关于y轴对称，奇函数的图象关于原点对称．
(2)提示：由定义可知，若x在定义域内，则－x也在定义域内，所以奇、偶函数的定义域关于原点对称．
(3)提示：因为f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)．
当x＝0时，有f(0)＝－f(0)，所以f(0)＝0.
因为函数f(x)是偶函数，所以f(－x)＝f(x)．
又f(|x|)＝
所以f(－x)＝f(x)＝f(|x|)．
(4)提示：∵f(x)的定义域为[－a，a](a＞0)，且关于原点对称，
又∵f(x)＝0，∴f(－x)＝0.
∴f(－x)＝f(x)，f(－x)＝－f(x)．
∴函数f(x)既是奇函数又是偶函数．
课堂合作探究
【问题导学】
活动与探究1 思路分析：判断函数的奇偶性，首先要判断函数定义域是否关于原点对称，再判断f(－x)与f(x)的关系．
解：(1)函数的定义域为R，关于原点对称．
又f(－x)＝(－x)3＋(－x)＝－(x3＋x)＝－f(x)，
∴函数f(x)是奇函数．
(2)由得x2＝1，即x＝±1.
∴函数的定义域为{－1,1}，关于原点对称．
又f(1)＝f(－1)＝0，∴f(x)既是奇函数又是偶函数．
(3)函数f(x)的定义域是(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，不关于原点对称，∴f(x)既不是奇函数也不是偶函数．
迁移与应用 解：(1)f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，
又f(－x)＝－x＋＝－＝－f(x)，
∴f(x)是奇函数．
(2)f(x)的定义域为R，关于原点对称，
又f(－x)＝(－x)2－|－x|＋1＝x2－|x|＋1＝f(x)，
∴f(x)是偶函数．
(3)由得x＝2，即函数f(x)的定义域是{2}，不关于原点对称，
∴f(x)既不是奇函数也不是偶函数．
(4)f(x)的定义域为R，f(1)＝4，f(－1)＝－2，
∴f(1)≠f(－1)，f(－1)≠－f(1)．
∴f(x)既不是奇函数也不是偶函数．
活动与探究2 思路分析：分x＞0和x＜0两种情况计算f(－x)，然后再判断f(－x)与f(x)的关系．
解：函数f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．
①当x＞0时，－x＜0，
则f(－x)＝(－x)3＋3(－x)2－1＝－x3＋3x2－1＝－(x3－3x2＋1)＝－f(x)．
②当x＜0时，－x＞0，
则f(－x)＝(－x)3－3(－x)2＋1＝－x3－3x2＋1＝－(x3＋3x2－1)＝－f(x)．
由①②知，当x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)时，
都有f(－x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．
迁移与应用 1．奇 解析：画出函数图象，该函数的图象关于原点对称，所以函数f(x)是奇函数．
2．解：函数的定义域关于原点对称．
当x＞0时，－x＜0，
f(－x)＝(－x)[1－(－x)]＝－x(1＋x)＝－f(x)；
当x＜0时，－x＞0，
f(－x)＝(－x)[1＋(－x)]＝－x(1－x)＝－f(x)．
∴对于定义域内的每一个x，都有f(－x)＝－f(x)．
∴f(x)是奇函数．
活动与探究3 思路分析：由f(x)是奇函数可得恒等式f(－x)＝－f(x)，从而列出关于b的方程，求出b的值．
解：∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，
即＝－，∴－x＋b＝－(x＋b)，即2b＝0，
∴b＝0.
迁移与应用 1．1 解析：∵f(x)是偶函数，
∴f(－x)＝f(x)．
∴2x2－(a－1)x＋2＝2x2＋(a－1)x＋2，
即2(a－1)x＝0.
∵上式对任意x都成立，∴a－1＝0，即a＝1.
2．0
解析：∵f(x)是偶函数，∴f(－x)＝f(x)，即x2－|－x＋a|＝x2－|x＋a|，
∴|x－a|＝|x＋a|，即(x－a)2＝(x＋a)2，
∴x2－2ax＋a2＝x2＋2ax＋a2.
∴4ax＝0.
因为上式对任意x∈R都成立，所以a＝0.
【当堂检测】
1．C 解析：∵奇函数f(x)的定义域为[a－1,2a]，
∴a－1＋2a＝0，a＝.
2．D 解析：∵f(x)的定义域是[0，＋∞)，不关于原点对称，
∴函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数．
3．D 解析：y＝x＋1不是奇函数；y＝－x2在[0，＋∞)上是减函数；y＝在(0，＋∞)上是减函数，故A、B、C都错．故选D.实际上，y＝x|x|＝画出图象，由图象可知，该函数既是奇函数又是增函数．
4．－ 解析：由图知f(2)＝.
∵f(x)是奇函数，∴f(－2)＝－f(2)＝－.
5．0 0 解析：∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，即ax2－3x＋b＝－ax2－3x－b.
∴2ax2＋2b＝0，由于上式对任意x∈R均成立，
∴即第2课时 分段函数及映射
问题导学
一、分段函数求值
活动与探究1
已知函数f(x)＝
(1)求f(－3)，f的值；
(2)若f(a)＝2，求a的值．
迁移与应用
1．已知f(x)＝则f(f(1))的值是( )
A．2 B．－15 C．12 D．－2
2．设函数f(x)＝若f(α)＝4，则实数α＝( )
A．－4或－2 B．－4或2
C．－2或4 D．－2或2
分段函数求值问题，首先应判断自变量的取值范围，然后代入对应的解析式求值．当不确定自变量的取值范围时，应进行讨论．
当遇到含有多层“f”的问题时，要按照由里到外的顺序，层层处理．
二、分段函数的图象
活动与探究2
画出下列函数的图象，并写出它们的值域：
(1)y＝(2)y＝|x＋1|＋|x－3|.
迁移与应用
1．函数f(x)＝x＋的图象是( )
2．已知f(x)＝
(1)画出f(x)的图象；
(2)求f(x)的定义域和值域．
(1)由于分段函数在定义域的不同区间内解析式不一样，所以它的图象也由几部分构成，有的可以是光滑的曲线段，有的也可以是一些孤立的点或几段线段，画图时要特别注意区间端点处对应点的实虚之分．
分段函数的定义域与值域的最好求法也是“图象法”．
(2)对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数来画图象．
三、映射的概念及应用
活动与探究3
判断下列对应关系哪些是从集合A到集合B的映射，哪些不是，为什么？
(1)A＝B＝N*，对应关系f：x→y＝|x－3|；
(2)A＝R，B＝{0,1}，对应关系f：x→y＝?1，x≥0，,0，x＜0；
(3)A＝{平面内的圆}，B＝{平面内的矩形}，对应关系f“作圆的内接矩形”；
(4)A＝{0,1,2,9}，B＝{0,1,4,9,64}，对应关系f：a→b＝(a－1)2.
迁移与应用
1．下列对应是从A到B的映射的是( )
A．A＝R，B＝{x|x＞0}，f：x→y＝|x|
B．A＝{x|x≥0}，B＝{y|y＞0}，f：x→y＝
C．A＝N，B＝N*，f：x→y＝|x－1|
D．A＝R，B＝{y|y≥0}，f：x→y＝x2－2x＋2
2．设M＝{x|0≤x≤3}，N＝{y|0≤y≤3}，给出下列4个图形，其中能表示从集合M到集合N的映射关系的有( )
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
判断一个对应是否为映射，依据是映射的定义．判断方法为：先看集合A中每一个元素在集合B中是否均有对应元素．若有，看对应元素是否唯一；若这两个条件都满足，则该对应是映射，否则，该对应不是映射，即映射允许“一对一”或“多对一”，不允许“一对多”，且集合B中可以有剩余元素．想说明一个对应不是映射，只需寻找一个反例即可．
当堂检测
1．设函数f(x)＝则f(f(3))＝( )
A． B．3
C． D．
2．在映射f：A→B中，A＝B＝{(x，y)|x，y∈R}，且f：(x，y)→(x＋y，x－y)，则与A中的元素(1,2)对应的B中的元素为( )
A．3 B．－1
C．(3，－1) D．(－1,3)
3．函数f(x)＝|x－1|的图象是( )
4．已知函数f(x)＝若f(f(0))＝4a，则实数a＝________.
5．若A＝{2,4,6,8}，B＝{－1，－3，－5，－7}，下列对应关系①f：x→9－2x；②f：x→1－x；③f：x→7－x；④f：x→x－9中，能确定A到B的映射的是______．
提示：用最精炼的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记.
答案：
课前预习导学
【预习导引】
1．对应关系
预习交流1 (1)提示：不是．分段函数是一个函数，而非几个函数，只不过在定义域的不同子集内对应关系不一样而已．
(2)提示：①分段函数是一个函数，而非几个函数．
分段函数的定义域是各段上“定义域”的并集，其值域是各段上“值域”的并集．
②分段函数的图象应分段来作，特别注意各段的自变量取区间端点时函数的取值，以决定这些点的实虚．
2．任意一个 唯一确定 映射
预习交流2 (1)提示：对比函数定义与映射定义可知，函数是特殊的映射，是从非空数集到非空数集的映射．但映射不一定是函数，只有当A，B都是数集时，该映射才是函数．
(2)C 解析：在映射中允许“多对一”，但不允许“一对多”．
课堂合作探究
【问题导学】
活动与探究1 思路分析：(1)中根据自变量所在的范围，选用对应的解析式求解；(2)中a不确定，因而分情况讨论解答．
解：(1)∵－3＜－1，∴f(－3)＝－3＋2＝－1.
∵－1＜＜2，∴f＝2×＝3.
又3＞2，∴f＝f(3)＝.
(2)当a ≤－1时，由f(a)＝2，得a＋2＝2，a＝0，舍去；
当－1＜a＜2时，由f(a)＝2，得2a＝2，a＝1；
当a≥2时，由f(a)＝2，得＝2，a＝2或a＝－2(舍去)．
综上所述，a的值为1或2.
迁移与应用 1．A 解析：∵f(1)＝3×1－6＝－3，
∴f(f(1))＝f(－3)＝－3＋5＝2.
2．B 解析：当α≤0时，由f(α)＝－α＝4，得α＝－4；
当α＞0时，由f(α)＝α2＝4，得α＝2或α＝－2(舍去)．
∴α＝－4或α＝2.
活动与探究2 思路分析：先化简函数式，再画图象，在画分段函数的图象时，要注意对应关系与自变量范围的对应．
解：(1)函数y＝的图象如图所示，观察图象，得函数的值域为(1，＋∞)．
(2)用零点分段法将原函数式中的绝对值符号去掉，化为分段函数y＝它的图象如图所示．观察图象，得函数的值域为[4，＋∞)．
迁移与应用 1．C 解析：y＝x＋＝该函数是分段函数．根据函数解析式知应选C.
2．解：(1)利用描点法，作出f(x)的图象，如图所示．
(2)由条件知，函数f(x)的定义域为R.由图象知，当－1≤x≤1时，f(x)＝x2的值域为[0,1]；当x＞1或x＜－1时，f(x)＝1，所以f(x)的值域为[0,1]．
活动与探究3 思路分析：根据映射的定义，验证A中的元素是否满足一对一或多对一，且A中无剩余元素．
解：(1)对于集合A中的元素3，在f的作用下得0，但0B，即3在集合B中没有元素与之对应，所以这种对应不是映射．
(2)对于集合A中任意一个非负数，B中都有唯一元素1与之对应；对于A中任意一个负数，B中都有唯一元素0与之对应，所以这种对应是映射．
(3)因为一个圆有无数个内接矩形，即集合A中任何一个元素在集合B中有无数个元素与之对应，故不是映射．
(4)在f的作用下，集合A中的0,1,2,9分别对应到集合B中的1,0,1,64，所以这种对应是映射．
迁移与应用 1．D 解析：从映射定义出发，观察A中任一元素在B中是否都有唯一元素与之对应．
2．C 解析：③中x∈[0,2]；④中“一对多”，③④均不满足条件．满足条件的只有①②，故选C.
【当堂检测】
1．D 2．C
3．B 解析：f(x)＝|x－1|＝由f(x)的解析式易知应选B.
4．2 解析：由题意知f(0)＝2.又f(2)＝22＋2a，所以22＋2a＝4a，即a＝2.
5．②④ 解析：对于①，在A中取2时，在B中没有元素与之对应，故①不是映射；②④满足映射的定义，是映射；对于③，在A中取2,4,6时，在集合B中均没有元素与之对应，故③不是映射．1.3 函数的基本性质
1.3.1 单调性与最大(小)值
第1课时 函数的单调性
问题导学
一、根据图象求函数的单调区间
活动与探究1
作出函数f(x)＝|2x－1|的图象，并写出其单调区间．
迁移与应用
1．如图是定义在区间[－4,7]上的函数y＝f(x)的图象，则函数f(x)的单调增区间是______________，单调减区间是______________．
2．作出函数f(x)＝的图象，并指出函数的单调区间．
利用函数的图象确定函数的单调区间，具体的做法是，先化简函数的解析式，然后画出它的草图，最后根据函数的定义域与草图确定函数的单调区间．
二、函数单调性的证明
活动与探究2
证明函数f(x)＝x＋在(0,1)上为减函数．
迁移与应用
1．证明函数f(x)＝3x－1在R上是增函数．
2．证明函数f(x)＝在(0，＋∞)上是减函数．
根据定义证明函数的单调性可按如下步骤进行：
(1)取值：在给定区间上任取两个值x1，x2，且x1＜x2；
(2)作差变形：计算f(x1)－f(x2)，通过因式分解、配方、通分等方法变形；
(3)定号：判断上式的符号，若不能确定，则可分区间讨论；
(4)结论：根据差的符号得出单调性的结论．
其中(2)是关键，在变形中一般尽量化成几个最简因式的积的形式或几个完全平方和的形式．
三、常见函数单调性的简单应用
活动与探究3
已知函数f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3.
(1)函数f(x)在区间(－∞，3]上是增函数，则实数a的取值范围是________；
(2)函数f(x)的单调递增区间是(－∞，3]，则实数a的值为________．
迁移与应用
1．若函数y＝－在(0，＋∞)上是减函数，则实数b的取值范围是________．
2．若函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4]上是减函数，则实数a的取值范围是__________．
这类题目中所给的单调区间应是该函数对应单调区间的一个子集，所以可利用子集关系列出不等式或等式求解．
四、函数单调性的应用
活动与探究4
已知函数f(x)是定义在[－1,1]上的增函数，且f(x－2)＜f(1－x)，求实数x的取值范围．
迁移与应用
已知f(x)是定义在[0,2]上的增函数，且f(2x＋1)＞f(1－x)，求实数x的取值范围．
若函数f(x)在定义域上是增函数，且 f(a)＞f(b)，则有a＞b；若函数f(x)在定义域上是减函数，且f(a)＞f(b)，则有a＜b.
当堂检测
1．函数y＝f(x)的图象如图所示，其增区间是( )
A．[－4,4] B．[－4，－3]∪[1,4]
C．[－3,1] D．[－3,4]
2．函数y＝－x2＋2x－2的单调递减区间是( )
A．(－∞，1] B．[1，＋∞)
C．(－∞，2] D．[2，＋∞)
3．一次函数y＝(a－2)x＋1在R上是增函数，则实数a的取值范围是( )
A．(0，＋∞) B．(－∞，0)
C．(－∞，2) D．(2，＋∞)
4．函数y＝|3x－6|的单调递增区间是______．
5．已知函数f(x)是定义在R上的增函数，且f(4a－3)＞f(5＋6a)，则实数a的取值范围是______．
提示：用最精炼的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记.
答案：
课前预习导学
【预习导引】
1．任意两个自变量的值 f(x1)＜f(x2) 任意两个自变量的值 f(x1)＞f(x2)
预习交流1 (1)提示：不能，如图所示：虽然f(－1)＜f(2)，但原函数在[－1,2]上不是增函数．
(2)f(x1)＜f(x2) x1＞x2
2．增函数或减函数 单调区间
预习交流2 (1)提示：函数的单调性是对函数定义域内的某个子区间而言的，故单调区间是定义域的子集．
(2)提示：函数f(x)＝在(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上也是减函数，但在定义域(－∞，0)∪(0，＋∞)上不是单调函数．
预习交流3 (1)增函数 减函数
(2) (3)(－∞，0)
(0，＋∞) (－∞，0) (0，＋∞)
课堂合作探究
【问题导学】
活动与探究1 思路分析：首先将原函数去掉绝对值号，利用分段函数的解析式的特征画出函数的图象，并根据图象的上升与下降的趋势写出函数的单调区间．
解：当x＞时，f(x)＝2x－1；
当x≤时，f(x)＝－2x＋1，
所以f(x)＝
画出函数的图象如图所示，所以原函数的单调递增区间为，单调递减区间为.
迁移与应用 1．[－1.5,3)，[5,6) [－4，－1.5)，[3,5)，[6,7]
2．解：f(x)＝图象如图所示．
由图可知，函数f(x)的单调减区间为(－∞，1]和(1,2)，单调增区间为[2，＋∞)．
活动与探究2 思路分析：利用函数单调性的定义，设出(0,1)上的任意两个实数x1，x2，然后推导出f(x1)－f(x2)的符号即可得到结论．
证明：设x1，x2是区间(0,1)上的任意两个实数，且x1＜x2，则
f(x1)－f(x2)＝－
＝(x1－x2)＋＝(x1－x2)
＝.
∵0＜x1＜x2＜1，∴x1x2－1＜0，x1－x2＜0，x1x2＞0，即f(x1)－f(x2)＞0，f(x1)＞f(x2)．
∴函数f(x)＝x＋在(0,1)上为减函数．
迁移与应用 1．证明：设x1，x2是R上的任意两个实数，且x1＜x2，则
f(x1)－f(x2)＝(3x1－1)－(3x2－1)＝3(x1－x2)．
∵x1＜x2，∴x1－x2＜0，∴f(x1)－f(x2)＜0，
即f(x1)＜f(x2)．
∴函数f(x)＝3x－1在R上是增函数．
2．证明：设x1，x2是区间(0，＋∞)上的任意两个实数，且x1＜x2，则
f(x1)－f(x2)＝－＝.因为x2＞x1＞0，所以x1x2＞0，x2－x1＞0，所以f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)，所以函数f(x)在(0，＋∞)上为减函数．
活动与探究3 (1)(－∞，－4] (2)－4 解析：y＝－x2－2(a＋1)x＋3＝－(x＋a＋1)2＋(a＋1)2＋3.
∴该函数的单调递增区间为(－∞，－a－1]．
(1)∵函数y＝－x2－2(a＋1)x＋3在区间(－∞，3]上是增函数，∴3≤－a－1，即a≤－4.
(2)由题意得－a－1＝3，a＝－4.
迁移与应用 1．(－∞，0) 解析：由反比例函数的单调性知，－b＞0，∴b＜0.
2．a≤－3
解析：二次函数的对称轴为x＝1－a.由题意知1－a≥4，∴a≤－3.
活动与探究4 思路分析：充分利用原函数的单调性及其定义域，建立关于x的不等关系求解x的取值范围．
解：因为f(x)是定义在[－1,1]上的增函数，
且f(x－2)＜f(1－x)，所以有
解得即实数x的取值范围是1≤x＜.
迁移与应用 解：∵f(x)是定义在[0,2]上的增函数，且f(2x＋1)＞f(1－x)，
∴解得0＜x≤.
∴实数x的取值范围是.
【当堂检测】
1．C 解析：结合图象分析可知，函数图象在区间[－3,1]是上升的，故其增区间是[－3,1]．
2．B
3．D 解析：由题意知a－2＞0，解得a＞2.
4．[2，＋∞) 解析：可画出函数的图象，由图象可知函数的单调递增区间是[2，＋∞)．
5．(－∞，－4) 解析：由题意得，4a－3＞5＋6a，即a＜－4.数学人教A必修1第一章1．1.3 集合的基本运算第1课时
1．理解两个集合的并集和交集的含义，明确数学中的“或”“且”的含义．
2．知道符号“”与“”的区别，能借助于Venn图或数轴求两个集合的交集和并集．
3．能够利用交集、并集的性质解决有关问题．
1．并集和交集的定义
定义 并集 交集
自然语言 一般地，由所有属于集合A____集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作______ 一般地，由属于集合A____属于集合B的所有元素组成的集合，称为集合A与B的交集，记作______
符号语言 AB＝{x|______，或xB} AB＝{x|xA，且______}
图形语言
(1)简单地说，集合A和集合B的全部(公共)元素组成的集合就是集合A与B的并(交)集；(2)当集合A、B无公共元素时，不能说A与B没有交集，只能说它们的交集是空集；(3)在两个集合的并集中，属于集合A且属于集合B的元素只显示一次；(4)两个集合并集中的元素个数不少于它们交集中的元素个数；(5)符号“”与“”的两边均是集合，且两边的集合互换位置后，其运算结果不发生变化．
【做一做1－1】 设集合M＝{1,2}，N＝{2,3}，则MN等于( )．
A．{1,2,2,3} B．{2}
C．{1,2,3} D．{1,3}
【做一做1－2】 设集合P＝{－1,0,1}，Q＝{－2,1,4}，则PQ等于( )．
A．{1} B．{－2，－1,0,1,4}
C．{4} D．{0,1}
2．并集和交集的性质
并集 交集
简单性质 AA＝____；A＝____ AA＝____；A＝____
常用结论 AB＝BA；A (AB)；B (AB)；AB＝BAB AB＝BA；(AB) A；(AB) B；AB＝BBA
【做一做2】 设集合A＝{7，a}，B＝{－1}，AB＝B，则a＝__________.
答案：1．或 AB 且 AB xA xB
【做一做1－1】 C
【做一做1－2】 A
2．A A A
【做一做2】 －1 因为AB＝B，所以BA，又－1B，则－1A，又A＝{7，a}，则有a＝－1.
1．数学中与生活用语中的“且”与“或”的区别和联系
剖析：(1)数学中的“且”与生活用语中的“且”的含义相同，均表示“同时”的含义，即“xA，且xB”表示元素x属于集合A同时属于集合B；(2)数学中的“或”与生活用语中的“或”的含义不同，生活用语中的“或”是指“或此”与“或彼”只取其中之一，并不兼存；而数学中的“或”是指“或此”“或彼”“或此彼”，可兼有．“xA，或x∈B”包含三种情况：①xA，但xB；②xB，但xA；③xA，且xB.而生活中“小张或小李去办公室把作业本拿来”只包含两种情况：①“小张去而小李不去”，②“小李去而小张不去”，即仅其中一人去．
2．符号“”与“”的区别
剖析：(1)“”是并集符号，MN表示集合M与N的并集，即集合M与N的全部元素组成的集合；“”是交集符号，MN表示集合M与N的交集，即集合M与N的公共元素组成的集合．(2)“”是并集，其结果中的元素不少于每个集合中的元素．而“”是交集，其结果中的元素不多于每个集合中的元素．
3．用数轴表示数集
剖析：如果一个集合中的元素全部是实数，那么这个集合称为数集，可以用数轴表示部分数集，如表所示：
集合 数轴表示
{x|a＜x＜b}
{x|a≤x≤b}
{x|a≤x＜b}
{x|a＜x≤b}
{x|x＞a}
{x|x≥a}
{x|x＜b}
{x|x≤b}
(1)数轴上方的“线”下面的实数就是集合中的元素；(2)当端点不在集合中时，该实数用“空心圈”表示；(3)如果在同一条数轴上表示两个数集，那么在数轴上对应它们的竖线(垂直于数轴)高度要有所不同，否则容易混淆．例如，在同一条数轴上表示集合{x|x＞2}和{x|1＜x＜3}，应画成如图甲所示，比较恰当；如果画成如图乙那样，则不易区分这两个集合．
题型一 两个集合的并集运算
【例1】 设集合A＝{x|x＋1＞0}，B＝{x|－2＜x＜2}，求AB.
分析：先求出集合A，再把集合A，B表示在数轴上，根据数轴写出AB.
反思：两个集合的并集是指两个集合的所有元素组成的集合．求两个集合的并集时，首先要将两个集合化为最简形式，然后可以用直接观察、借助Venn图、利用数轴分析等方法写出两个集合的并集．
题型二 两个集合的交集运算
【例2】 设A＝{x|x2－7x＋6＝0}，B＝{x|4＜x＜9，xN}，求AB.
分析：首先明确集合A，B中的元素：集合A是一元二次方程x2－7x＋6＝0的解集，集合B是不等式4＜x＜9的自然数解集．直接观察或借助于Venn图就可写出交集．
反思：求两个集合的交集时，首先要识别所给的集合，其次要化简集合，使集合中的元素明朗化，最后再依据交集的定义写出结果．有时要借助于Venn图或数轴写出交集．借助数轴时要注意数轴上方“双线”(即公共部分)下面的实数组成了交集．
题型三 交集、并集性质的应用
【例3】 设集合A＝{－2}，B＝{x|ax＋1＝0}，若AB＝B，求实数a的值．
反思：在利用两个集合交集和并集的性质解题时，常借助于交集、并集的定义以及集合间的关系去分析；如AB＝AAB，AB＝ABA等，解答时需要灵活处理．当题设中隐含有空集参与的集合关系时，其特殊性很容易被忽视，从而引发解题失误．如本题易错得a＝，其原因是对BA的理解不够全面，遗漏了B＝的情形．对于BA，当A≠时，则有B＝或B≠.
题型四 易混易错题
易错点 AB＝的含义
【例4】 设集合A＝{x|x2＋2x＋2－p＝0}，B＝{x|x＞0}，且AB＝，求实数p满足的条件．
反思：当AB＝ 时，有以下4种情况：①A＝，B＝；②A≠，B＝；③A＝，B≠；④A≠，B≠且A与B没有公共元素．如果已知条件中出现AB＝时，这4种情况都要考虑到，否则容易出错．
答案：【例1】 解：A＝{x|x＞－1}．用数轴表示集合A和B，如图所示，
则数轴上方所有“线”下面的实数组成了AB，
故A∪B＝{x|x＞－2}．
【例2】 解：A＝{1,6}，B＝{5,6,7,8}，用Venn图表示集合A，B，如图所示，
依据交集的定义，观察可得阴影部分是AB＝{6}．
【例3】 解：∵AB＝B，∴BA.∵A＝{－2}≠，
∴B＝或B≠.
当B＝时，即关于x的方程ax＋1＝0无实数解，此时a＝0.
当B≠时，此时a≠0，则B＝，
又－A，∴－＝－2，解得a＝.
综上所得，a＝0或a＝.
【例4】 错解：由于A∩B＝ ，则A＝ ，所以关于x的方程x2＋2x＋2－p＝0没有实数根．
所以Δ＝22－4(2－p)＜0，解得p＜1.
错因分析：当AB＝ 时，若B≠，则A＝或A≠且A与B没有公共元素，错解忽视了A与B没有公共元素的情况，导致错误．
正解：由于AB＝，且B≠，
则A＝或A≠且A与B没有公共元素．
当A＝时，Δ＝22－4(2－p)＜0，解得p＜1.
当A≠且A与B没有公共元素时，
设关于x的方程x2＋2x＋2－p＝0有非正数解x1，x2，
则有所以有
解得1≤p≤2.
故实数p满足的条件是p＜1或1≤p≤2，即p≤2.
1(2012·北京昌平高三期末)已知集合M＝{x|－3＜x≤5}，N＝{x|x＜－5，或x＞5}，MN等于( )．
A．{x|－5＜x＜5} B．{x|x＜－5，或x＞－3}
C．{x|－3＜x≤5} D．{x|x＜－3，或x＞5}
2已知集合M＝{x∈N*|x＜8}，N＝{－1,4,5,7}，则MN等于( )．
A．{4,5,7} B．{1,2,3,4,5,6,7}
C．{1,2,3,4,5,6,7，－1,4,5,7} D．{－1,1,2,3,4,5,6,7}
3已知集合A＝{x|x－a＞0}，B＝{x|2－x＜0}，且AB＝B，则实数a满足的条件是________．
4已知集合A＝{x|x－m＝0}，B＝{x|1－3x＞－2}，且AB≠，则实数m满足的条件是______．
5(2010·湖南卷)已知集合A＝{1,2,3}，B＝{2，m,4}，AB＝{2,3}，则m＝______.
答案：1． B
2． D M＝{1,2,3,4,5,6,7}，则集合M与N的所有元素组成的集合是MN＝{－1,1,2,3,4,5,6,7}．
3． a≥2 由题意得A＝{x|x＞a}，B＝{x|x＞2}．
∵AB＝B，∴AB，在数轴上表示出集合A和B，如图所示，
则实数a必须在2的右边或与2重合，即a≥2.
4． m＜1 A＝{m}，B＝{x|x＜1}．由于AB≠，
则有mB，所以m＜1.
5． 3 由于AB＝{2,3}，则3B，又B＝{2，m,4}，则m＝3.1.2 函数及其表示
1.2.1 函数的概念
第1课时 函数的概念
问题导学
一、函数的概念
活动与探究1
判断下列对应是否为函数．
(1)A＝R，B＝R，f：x→y＝；
(2)A＝N，B＝R，f：x→y＝±；
(3)A＝N，B＝N*，f：x→y＝|x－2|；
(4)A＝{1,2,3}，B＝R，f(1)＝f(2)＝3，f(3)＝4.
迁移与应用
1．已知M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤3}，给出下列四个图象，其中能表示从集合M到集合N的函数关系的有( )
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
2．方程x2＋y＝1与x＋y2＝1是否能表示y是x(x∈R)的函数？为什么？
判断一个对应关系是否表示函数，应看它是否满足函数的定义，即是否满足以下两个条件：
(1)A，B必须是非空数集；
(2)A中任何一个元素在B中必须有唯一的元素与之对应．
二、相等函数的判定
活动与探究2
试判断以下各组函数是否相等．
(1)f(x)＝，g(x)＝；
(2)f(x)＝，g(x)＝
(3)f(x)＝x2＋2x＋1，g(t)＝(t＋1)2.
迁移与应用
1．下列函数中，与函数y＝x－1相等的是( )
A．y＝ B．y＝
C．y＝t－1 D．y＝－
2．下列各组函数中，相等的是( )
A．f(x)＝1，g(x)＝x0 B．f(x)＝x－1，g(x)＝－1
C．f(x)＝x2，g(x)＝()4 D．f(x)＝|x|，g(t)＝
判断两个函数是否相等时，只要看定义域和对应关系是否完全一致．只有完全一致，这两个函数才是相等函数．对于解析式较为复杂的函数，需先化简再比较对应关系是否相同，但化简过程必须是等价的．
三、用区间表示数集
活动与探究3
把下列数集用区间表示：
(1){x|x≥－2}；
(2){x|x＜0}；
(3){x|－1＜x＜1，或2≤x＜6}．
迁移与应用
集合{x|2≤x＜5}用区间表示为______；集合{x|x≤－1，或3＜x＜4}用区间表示为______．
区间是数集的另一种表示形式，它具有简单、直观的优点，是表示函数的定义域、值域及不等式解集的重要工具．使用时要按要求书写．
当堂检测
1．下列各图中，可表示函数y＝f(x)图象的只可能是( )
2．与函数y＝x2－2x＋2(x∈R)是相等函数的是( )
A．y＝x2－2x＋2，x＞0 B．y＝x2－2x，x∈R
C．y＝(x－1)2＋1，x≤0 D．y＝(x－1)2＋1，x∈R
3．已知区间[－a,2a＋1)，则实数的a的取值范围是( )
A．R B．a≥－
C．a＞－ D．a＜－
4．集合{x|－1≤x＜5，且x≠3}用区间表示为______．
5．下列四个等式：①x－2y＝2；②2x2－3y＝1；③x－y2＝1；④2x2－y2＝4.其中能表示y是x的函数的是______(填序号)．
提示：用最精炼的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记。
答案：
课前预习导学
【预习导引】
1．数集 唯一确定 A B y＝f(x)，x∈A x的取值范围A y 函数值 子集
预习交流1 提示：根据函数的定义，对于定义域内的任意一个x，只有一个函数值与其对应．
2．定义域 对应关系 值域 定义域 对应关系 定义域 对应关系
预习交流2 提示：根据相等函数的条件，需判断定义域和解析式分别相同，两者中，只要有一个不同，这两个函数就不是相等函数．
3．(1)[a，b] (2)(a，b) (3)[a，b) (a，b] 实心点 空心点 (－∞，＋∞) [a，＋∞) (a，＋∞) (－∞，b] (－∞，b)
预习交流3 提示：(1)小数在前，大数在后，且两数不能相等；
(2)包括端点时用中括号，不包括端点时用小括号，遇到“∞”时用小括号．
课堂合作探究
【问题导学】
活动与探究1 思路分析：解答本题可从函数的定义入手，即判断对于A中的任何一个元素在给定的对应关系之下，是否有唯一的y与之相对应．
解：(1)因为A＝R，B＝R，对于A中的元素x＝0，
在对应关系f：x→y＝之下，在B中没有元素与之对应，因而不能构成函数．
(2)对于A中的元素，如x＝9，y的值为y＝±＝±3，即在对应关系f之下，B中有两个元素与之对应，不符合函数定义，故不能构成函数．
(3)对于A中的元素x＝2，在对应关系f的作用下，|2－2|＝0B，从而不能构成函数．
(4)依题意，f(1)＝f(2)＝3，f(3)＝4，即A中的每一个元素在对应关系f之下，在B中都有唯一的元素与之对应，虽然B中有很多元素在A中无元素与之对应，但依函数的定义，仍能构成函数．
迁移与应用 1．C 解析：用x＝a,0≤a≤2动直线去截图象，哪个始终只有一个交点，哪个就表示具有函数关系．由图可知，图(2)(3)都具有这一性质，而(1)(4)则不具有这一性质，所以有2个具有函数关系．
2．解：x2＋y＝1能表示y是x的函数．
由x2＋y＝1得y＝－x2＋1，任取一个x值都有唯一的y值和它对应．
x＋y2＝1不能表示y是x的函数．
取x＝0，则y＝±1；取x＝2，则没有y值和它对应．
活动与探究2 思路分析：判断两函数是否相等，应先求出每一个函数的定义域，然后化简函数的解析式，观察两个函数的定义域和解析式是否完全相同，即可作出判断．
解：(1)由于f(x)＝＝|x|，g(x)＝＝x，故它们的对应关系不相同，所以它们不相等．
(2)由于函数f(x)＝的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，而g(x)＝的定义域为R，所以它们不相等．
(3)虽然这两个函数的自变量的符号不同，但这两个函数的定义域和对应关系都相同，所以它们相等．
迁移与应用 1．C
2．D
活动与探究3 思路分析：依据区间定义写出集合对应的区间，要注意端点的“取”、“舍”与中括号、小括号的关系．
解：(1){x|x≥－2}用区间表示为[－2，＋∞)；
(2){x|x＜0}用区间表示为(－∞，0)；
(3){x|－1＜x＜1，或2≤x＜6}用区间表示为(－1,1)∪[2,6)．
迁移与应用 [2,5) (－∞，－1]∪(3,4)
【当堂检测】
1．D 解析：由函数的定义“对于自变量x每取一个值都有唯一的一个y值与之对应”知选D.
2．D 解析：A，C中的函数与已知函数的定义域不同；B中的函数与已知函数的对应关系不相同；D中的函数与已知函数的定义域和对应关系都相同．
3．C 解析：由区间的定义知－a＜2a＋1，
∴a＞－.
4．[－1,3)∪(3,5)
5．①② 解析：①可化为y＝x－1，表示y是x的一次函数；
②可化为y＝x2－，表示y是x的二次函数；
③y＝±，如x＝5，则y＝2或y＝－2，不符合函数的定义，故y不是x的函数；
④y＝±，如x＝2时，y＝±2，故y不是x的函数．第2课时 函数的定义域与值域
问题导学
一、求函数的定义域
活动与探究1
求下列函数的定义域：
(1)y＝－；
(2)y＝.
迁移与应用
求下列函数的定义域：
(1)y＝·；(2)y＝；
(3)y＝x0＋.
已知函数解析式求定义域时，就是使函数式有意义列出不等式(组)，再解不等式(组)即得定义域．
活动与探究2
(1)已知函数f(x)的定义域是[－1,4]，求函数f(2x＋1)的定义域．
(2)已知函数f(2x＋1)的定义域是[－1,4]，求函数f(x)的定义域．
迁移与应用
1．已知函数y＝f(x)的定义域是(－1,3]，则函数y＝f(2x－1)的定义域是__________．
2．已知函数y＝f(x2＋1)的定义域是[－2,3)，求函数y＝f(x)的定义域．
因为f(g(x))就是用g(x)代替了f(x)中的x，所以g(x)的取值范围与f(x)中的x的取值范围相同．若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则函数f(g(x))的定义域是指满足不等式a≤g(x)≤b的x的取值范围；而已知f(g(x))的定义域是[a，b]，指的是x∈[a，b]，要求f(x)的定义域，就是求x∈[a，b]时g(x)的值域．
二、求函数的值或值域
活动与探究3
已知函数f(x)＝3x2－x＋1.
(1)求f(1)，f(－2)，f(a)，f(a＋1)的值；
(2)若f(x)＝1，求x的值．
迁移与应用
1．设函数f(x)＝2x－1，g(x)＝3x＋2，则f(2)＝__________，g(2)＝__________，f(g(2))＝__________.
2．已知函数f(x)＝x2－1，求f(2x＋1)，f(x－2)．
求函数值，就是用所给的值代替函数式中的所有自变量x，再化简．求f(g(x))就用g(x)代替f(x)中的所有x，再对所得代数式进行化简．
活动与探究4
已知函数f(x)＝x2＋2x－3.
(1)当x∈{－2，－1,0,1,3}时，求f(x)的值域；
(2)当x∈R时，求f(x)的值域．
迁移与应用
1．(1)函数y＝－x2－2x＋2的值域是__________；
(2)函数y＝＋2的值域是__________；
(3)函数y＝的定义域是__________，值域是__________．
2．求下列函数的值域：
(1)y＝2x－1，x≤－1；
(2)y＝2x2＋x－1，x∈{－3,1,2}．
求函数的值域时，要先确定函数的定义域，再根据函数式在定义域内求出函数值的范围．
当堂检测
1．已知函数f(x)＝，则f(2)等于( )
A．3 B．2 C．1 D．0
2．函数f(x)＝x＋的定义域是( )
A．[2，＋∞) B．(2，＋∞)
C．(－∞，2] D．(－∞，2)
3．函数f(x)＝x＋1，x∈{－1,1,2}的值域是( )
A．{0,2,3} B．[0,3] C．[0,3) D．[1,3)
4．已知函数f(3x－2)的定义域是[－2,0)，则函数f(x)的定义域是__________；若函数f(x)的定义域是(－2,4]，则f(－2x＋2)的定义域是__________．
5．已知函数f(x)＝x2－x＋1，则f(x＋1)＝__________，f(f(2))＝__________.
提示：用最精炼的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记。
答案：
课前预习导学
【预习导引】
1．自变量取值 函数值 子集
2．(1)实数集R (2)分母不为0 (3)根号内的式子大于或等于0 (4)各部分式子都有意义 (5)集合 区间
预习交流1 [3,4] 解析：由题可得 3≤x≤4.故所求函数的定义域用区间表示为[3,4]．
3．定义域 对应关系
预习交流2 提示：求函数的值域时，一定要在函数的定义域内求解．
课堂合作探究
【问题导学】
活动与探究1 思路分析：两式均为分式与二次根式的形式，则可根据分式中分母不为0，偶次根式被开方数大于等于零来求解．
解：(1)要使函数式有意义，自变量x的取值必须满足
解得x≤1且x≠－1，
即函数的定义域为{x|x≤1，且x≠－1}．
(2)要使函数式有意义，自变量x的取值必须满足
解得x≤5且x≠±3，
即函数的定义域为{x|x≤5，且x≠±3}．
迁移与应用 解：(1)要使函数式有意义，则∴x≥2.
∴函数的定义域为{x|x≥2}．
(2)要使函数式有意义，则有
∴x≥－1且x≠2.
∴函数的定义域为{x|x≥－1，且x≠2}．
(3)要使函数式有意义，则
即x≥－4且x≠0.
∴函数的定义域为{x|x≥－4，且x≠0}．
活动与探究2 思路分析：在对应关系相同的情况下，f(x)中x应与f(g(x))中g(x)的取值范围相同，据此可解答该题．
解：(1)由已知f(x)的定义域是[－1,4]，即－1≤x≤4.
故对于f(2x＋1)应有－1≤2x＋1≤4.
∴－2≤2x≤3，∴－1≤x≤.
∴f(2x＋1)的定义域是.
(2)由已知f(2x＋1)的定义域是[－1,4]，
即f(2x＋1)中，应有－1≤x≤4，
∴－1≤2x＋1≤9.
∴f(x)的定义域是[－1,9]．
迁移与应用 1．(0,2] 解析：由题意得－1＜2x－1≤3，∴0＜x≤2.
2．解：∵y＝f(x2＋1)的定义域是[－2,3)，
∴y＝f(x2＋1)中的x满足－2≤x＜3，
∴0≤x2＜9，∴1≤x2＋1＜10.
∴函数y＝f(x)的定义域是[1,10)．
活动与探究3 思路分析：(1)求函数的值，只需将x用所给值代换即可；对于(2)只需令3x2－x＋1＝1，可解x.
解：(1)f(1)＝3×12－1＋1＝3；
f(－2)＝3×(－2)2－(－2)＋1＝15；
f(a)＝3a2－a＋1；f(a＋1)＝3(a＋1)2－(a＋1)＋1＝3a2＋5a＋3；
(2)∵f(x)＝1，∴3x2－x＋1＝1，即3x2－x＝0.
∴x＝0或x＝.
迁移与应用 1．3 8 15
2．解：∵f(x)＝x2－1，
∴f(2x＋1)＝(2x＋1)2－1＝4x2＋4x；
f(x－2)＝(x－2)2－1＝x2－4x＋3.
活动与探究4 思路分析：函数值域是由定义域与对应关系确定的，因此，只要根据对应关系求出所有函数值即可．
解：(1)f(－2)＝－3，f(－1)＝－4，f(0)＝－3，f(1)＝0，f(3)＝12.
∴当x∈{－2，－1,0,1,3}时，f(x)的值域是{－3，－4，0,12}．
(2)∵f(x)＝x2＋2x－3＝(x＋1)2－4，x∈R，
∴f(x)≥－4.
∴当x∈R时，f(x)的值域为[－4，＋∞)．
迁移与应用 1．(1)(－∞，3] (2)[2，＋∞)
(3)[－1，＋∞) [0，＋∞)
2．解：(1)∵x≤－1，∴2x≤－2.
∴2x－1≤－2－1＝－3.
∴函数y＝2x－1，x≤－1的值域是(－∞，－3]；
(2)当x＝－3时，y＝14；当x＝1时，y＝2；当x＝2时，y＝9.∴函数y＝2x2＋x－1，x∈{－3,1,2}的值域是{2,9,14}．
【当堂检测】
1．A 解析：f(2)＝＝3，故选A.
2．C 解析：要使函数式有意义，则2－x≥0，即x≤2.所以函数的定义域为(－∞，2]．
3．A 解析：x＝－1时，f(－1)＝0；x＝1时，f(1)＝2；x＝2时，f(2)＝3.所以函数f(x)的值域为{0,2,3}．
4．[－8，－2) [－1,2) 解析：∵f(3x－2)的定义域是[－2,0)，
∴f(3x－2)中的x满足－2≤x＜0.
∴－8≤3x－2＜－2.
∴f(x)的定义域是[－8,2)．
∵f(x)的定义域是(－2,4]，∴－2＜x≤4.
∴f(－2x＋2)中，－2＜－2x＋2≤4，
即－1≤x＜2.
∴f(－2x＋2)的定义域是[－1,2)．
5．x2＋x＋1 7 解析：∵f(x)＝x2－x＋1，
∴f(x＋1)＝(x＋1)2－(x＋1)＋1＝x2＋2x＋1－x－1＋1＝x2＋x＋1.∵f(2)＝22－2＋1＝3，
∴f(f(2))＝f(3)＝32－3＋1＝7.第2课时 函数的最大值、最小值
一、利用函数的图象求最值
活动与探究1
求函数y＝|x＋1|－|x－2|的最大值和最小值．
迁移与应用
1．如图是函数y＝f(x)在[－4,7]上的图象，则函数f(x)的最小值为________，最大值为________．
2．已知函数y＝－|x－1|＋2，画出函数的图象，确定函数的最值情况，并写出值域．
函数图象在给定区间上最高点的纵坐标为函数的最大值，最低点的纵坐标为函数的最小值．因此，如果已知函数的图象，可直接写出函数的最大值与最小值．
二、利用函数的单调性求最值
活动与探究2
已知函数f(x)＝.
(1)证明函数f(x)在上是减函数；
(2)求函数f(x)在[1,5]上的最值．
迁移与应用
1．函数f(x)＝2－3x，当x∈[－2,3]时的最小值为______，最大值为______．
2．求函数f(x)＝在区间[2,5]上的最大值与最小值．
若函数f(x)在[a，b]上是单调增(或减)函数，则函数f(x)在[a，b]上的最大值为f(b)(或f(a))，最小值为f(a)(或f(b))．因而，运用函数单调性求最值是求函数最值的重要方法．
三、二次函数在给定区间上的最值
活动与探究3
求函数f(x)＝x2－4x＋3在下列各区间上的最值：
(1)x∈[3,5]；(2)x∈[－2,1]；(3)x∈[1,4]．
迁移与应用
1．函数f(x)＝－x2－2x＋1在区间[0,2]上是__________函数(填“增”或“减”)，则f(x)的最小值为__________，最大值为__________．
2．函数f(x)＝－x2－2x＋1在区间[－4，－2]上是__________(填“增”或“减”)函数，则f(x)的最小值为__________，最大值为__________．
3．函数f(x)＝－x2－2x＋1在[－2,0]上的最大值为__________，最小值为__________．
求二次函数在给定区间上的最值，应看图象的对称轴与区间的关系．若区间在对称轴的一侧，则直接应用函数的单调性写出函数的最值；若对称轴在区间内，则应先弄清函数的单调区间，再求出函数的最值．
活动与探究4
求二次函数f(x)＝x2－2ax＋2在[2,4]上的最小值．
迁移与应用
1．已知函数y＝－x2－2ax在[0,1]上的最大值为a2，则实数a的取值范围是________．
2．求二次函数f(x)＝x2－2x＋3在[t，t＋1]上的最小值g(t)．
若所给二次函数或区间含有参数，求最值时，应先讨论对称轴与区间的关系，确定函数在所给区间上的单调性，再根据单调性写出函数的最值．讨论时一般分以下三种情况：①对称轴在区间的左边；②对称轴在区间的右边；③对称轴在区间内．
提示：用最精炼的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记.
当堂检测
1．函数f(x)在[－2,2]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是( )
A．f(－2),0 B．0,2
C．f(－2),2 D．f(2),2
2．函数f(x)＝－x2＋6x＋8在[－2,1]上的最大值是( )
A．－8 B．13 C．17 D．8
3．已知函数y＝，在[2,4]上的最大值为1，则k的值为( )
A．2 B．－4 C．2或－4 D．4
4．函数f(x)＝在[－6,0]上的最大值为______，最小值为______．
5．函数f(x)＝x2－2ax＋a＋1(a＞0)在[－4,4]上的最大值为________．
答案：
课前预习导学
【预习导引】
1．f(x)≤M f(x0)＝M
2．(1)f(x)≥M f(x0)＝M
预习交流1 提示：函数的最大值在函数图象的最高点取得，最小值在函数图象的最低点取得．
预习交流2 f(a) f(b) [f(a)，f(b)] 最小值是f(b)，没有最大值 [f(b)，f(a))
预习交流3 提示：函数的最小值与最大值分别是函数值域中的最小元素和最大元素．任何一个函数，其值域必定存在，但最值不一定存在．
课堂合作探究
【问题导学】
活动与探究1 思路分析：对于含绝对值的函数，常通过讨论去绝对值，转化为分段函数进行研究，分段函数的图象注意分段作出．
解：y＝|x＋1|－|x－2|＝作出函数的图象，由图象可知，y∈[－3,3]，所以函数的最大值为3，最小值为－3.
迁移与应用 1．－2 3
2．解：y=－|x－1|+2=
图象如图所示，
由图象知，函数y=－|x－1|+2的最大值为2，没有最小值．
所以其值域为(－∞，2]．
活动与探究2 (1)证明：设x1，x2是区间上的任意两个实数，且x2＞x1＞，
f(x1)－f(x2)＝－＝.
由于x2＞x1＞，所以x2－x1＞0，且(2x1－1)(2x2－1)＞0，所以f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)，所以函数f(x)＝在区间(，＋∞)上是减函数．
(2)解：由(1)知函数f(x)在[1,5]上是减函数，因此，函数f(x)＝在区间[1,5]的两个端点上分别取得最大值与最小值，即最大值为f(1)＝3，最小值为f(5)＝.
迁移与应用 1．－7 8 解析：∵函数f(x)＝2－3x在[－2,3]上是减函数，
∴函数f(x)＝2－3x的最小值为f(3)＝2－3×3＝－7，
最大值为f(－2)＝2－3×(－2)＝8.
2．解：任取2≤x1＜x2≤5，
则f(x2)－f(x1)＝－＝，
∵2≤x1＜x2≤5，
∴x1－x2＜0，x2－1＞0，x1－1＞0.
∴f(x2)－f(x1)＜0.
∴f(x2)＜f(x1)．
∴f(x)＝在区间[2,5]上是减函数．
∴f(x)max＝f(2)＝＝2，
f(x)min＝f(5)＝＝.
活动与探究3 思路分析：利用函数在所给区间上的单调性求解．
解：f(x)＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，其对称轴为直线x＝2，且抛物线开口向上．
(1)函数f(x)在区间[3,5]上是增函数，函数f(x)的最小值为f(3)＝0，最大值为f(5)＝8；
(2)函数f(x)在区间[－2,1]上是减函数，函数f(x)的最小值为f(1)＝0，最大值为f(－2)＝15；
(3)函数f(x)在[1,2)上是减函数，在[2,4]上是增函数，所以f(x)的最小值为f(2)＝－1.
又f(1)＝0，f(4)＝3，所以f(x)的最大值为3.
迁移与应用 1．减 －7 1
2．增 －7 1
3．2 1 解析：∵f(x)＝－x2－2x＋1＝－(x＋1)2＋2的图象的对称轴为直线x＝－1，∴函数f(x)在[－2，－1]上是增函数，在[－1,0]上是减函数，∴f(x)的最大值为f(－1)＝2.又f(－2)＝1，f(0)＝1，所以f(x)的最小值为1.
活动与探究4 思路分析：讨论二次函数图象的对称轴跟区间的关系．从而确定函数在[2,4]上的单调性，再根据单调性求出函数的最小值．
解：∵函数图象的对称轴是直线x＝a，
∴当a＜2时，
f(x)在[2,4]上是增函数，
∴f(x)min＝f(2)＝6－4a.
当a＞4时，f(x)在[2,4]上是减函数，
∴f(x)min＝f(4)＝18－8a.
当2≤a≤4时，
f(x)min＝f(a)＝2－a2.
∴f(x)min＝
迁移与应用 1．[－1,0] 解析：∵y＝－x2－2ax＝－(x＋a)2＋a2(0≤x≤1)，
∴函数图象是开口向下的抛物线，且对称轴x＝－a.
又∵ymax＝a2，且0≤x≤1，
∴0≤－a≤1，∴－1≤a≤0.
∴实数a的取值范围是[－1,0]．
2．解：∵f(x)＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，
∴函数f(x)图象的对称轴为直线x＝1.
①当t＞1时，
f(x)在[t，t＋1]上单调递增，所以当x＝t时，
f(x)取得最小值，此时g(t)＝f(t)＝t2－2t＋3.
②当t≤1≤t＋1，即0≤t≤1时，f(x)在区间[t，t＋1]上先减后增，故当x＝1时，f(x)取得最小值，
此时g(t)＝f(1)＝2.
③当t＋1＜1，即t＜0时，f(x)在[t，t＋1]上单调递减，
所以当x＝t＋1时，f(x)取得最小值，
此时g(t)＝f(t＋1)＝t2＋2.
综上得g(t)＝
【当堂检测】
1．C
2．B 解析：f(x)＝－x2＋6x＋8＝－(x－3)2＋17，
∴函数f(x)在[－2,1]上是增函数．
∴f(x)的最大值为f(1)＝13.
3．A 解析：当k＞0时，函数y＝在[2,4]上是减函数，
∴＝1，k＝2.
当k＜0时，函数y＝在[2,4]上是增函数，
∴＝1，k＝4.
∵k＜0，∴k无解．综上所述k＝2.
4．－ －2 解析：易知函数f(x)在[－6,0]上是减函数，
∴f(x)的最大值为f(－6)＝－，
最小值为f(0)＝－2.
5．9a＋17 解析：f(x)＝(x－a)2＋a－a2＋1，
当0＜a＜4时，f(x)在[－4，a]上是减函数，在[a,4]上是增函数．又f(－4)＝9a＋17，f(4)＝17－7a，f(－4)＞f(4)．所以f(x)的最大值为f(－4)＝9a＋17.当a≥4时，f(x)在[－4,4]上是减函数，所以，f(x)的最大值为f(－4)＝9a＋17.综上，在[－4,4]上函数的最大值为9a＋17.第2课时 补集及综合应用
问题导学
一、求补集的简单运算
活动与探究1
设全集U＝{1,3,5,7,9}，A＝{1，|a－5|,9}， UA＝{5,7}，求实数a的值．
迁移与应用
1．设集合U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{1,3,5}，则 UM＝( )
A．{2,4,6} B．{1,3,5}
C．{1,2,4} D．U
2．已知全集为R，集合A＝{x|x＜1，或x≥5}，则 RA＝______.
3．已知全集U，集合A＝{1,3,5,7}， RA＝{2,4,6}， UB＝{1,4,6}，求集合B．
在进行有关补集的运算时，要注意补集的有关性质及数轴与Venn图的应用．
二、集合的综合运算
活动与探究2
设全集为R，A＝{x|3≤x＜7}，B＝{x|2＜x＜10}，求 R(A∪B)及( RA)∩B．
迁移与应用
1．集合U＝{1,2,3,4,5,6}，S＝{1,4,5}，T＝{2,3,4}，则S∩( UT)＝( )
A．{1,4,5,6} B．{1,5}
C．{4} D．{1,2,3,4,5}
2．设U＝R，A＝{x|x＞0}，B＝{x|x＞1}，则A∩( UB)＝( )
A．{x|0≤x＜1} B．{x|0＜x≤1}
C．{x|x＜0} D．{x|x＞1}
(1)如果所给的集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合补集的定义来求解，在解答过程中常常需要借助Venn图来求解．
(2)如果所给的集合是无限数集，则常借助于数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后再进行交、并、补集的运算，解答过程中注意端点值是否取得．
三、Venn图的应用
活动与探究3
设全集U＝{x|x≤20的质数}，A∩( UB)＝{3,5}，( UA)∩B＝{7,19}，( UA)∩( UB)＝{2,17}，求集合A，B．
迁移与应用
1．设全集U＝{1,2,3,4,5}，A∩B＝{2}，( UA)∩B＝{4}， U(A∪B)＝{1,5}，下列结论正确的是( )
A．3∈A,3B B．3A,3∈B
C．3∈A,3∈B D．3A,3B
2．50名学生参加跳远和铅球两项测试，跳远和铅球测试成绩分别及格41人和30人，两项测试成绩均不及格的有4人，则两项测试都及格的人数是__________．
与集合有关的复杂题目，通常利用Venn图，使集合中元素的个数，以及集合间的关系直观地表示出来，进而根据图示逐一将文字陈述的语句“翻译”成数学符号语言，利用方程思想解决问题．
当堂检测
1．设全集U＝{1,2,3,4,5,6}，集合P＝{1,2,3,4}，Q＝{3,4,5}，则P∩( UQ)＝( )
A．{1,2,3,4,6} B．{1,2,3,4,5}
C．{1,2,5} D．{1,2}
2．已知全集U＝{x|x≥－3}，集合A＝{x|－3＜x≤4}，则 UA＝( )
A．{x|x＞4} B．{x|x＝－3或x＞4}
C．{x|x≥4} D．{x|x＝－3或x≥4}
3．已知全集U＝{2,5,8}，且 UA＝{2}，则集合A的真子集个数为( )
A．3 B．4 C．5 D．6
4．已知全集R，集合A＝{x|x≤－2，或x≥3}，集合B＝{x|x＜－5，或x≥2}，则A∩( UB)＝______.
5．某运动协会共有成员68人，其中会游泳的有57人，会射击的有62人，两项都不会的有3人，则这个运动协会中两项都会的有__________人．
提示：用最精炼的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记。
答案：
课前预习导学
【预习导引】
(1)全集 (2)补集 UA {x|x∈U，且xA}
预习交流 (1){2,4}
(2)U A U
(3)A∩B A∪B ( UA)∩B A∩( UB) U(A∪B)
课堂合作探究
【问题导学】
活动与探究1 思路分析：根据补集的性质A∪( UA)＝U，又3∈U，3( UA)，故3∈A，即|a－5|＝3，从而可求出a的值．
解：∵A∪( UA)＝U，且3∈U,3( UA)，
∴3∈A.∴|a－5|＝3，即a＝2或8.
迁移与应用 1．A
2．{x|1≤x＜5} 解析：结合数轴可得 RA＝{x|1≤x＜5}．
3．解：A＝{1,3,5,7}， UA＝{2,4,6}，
∴U＝{1,2,3,4,5,6,7}．
又 UB＝{1,4,6}，∴B＝{2,3,5,7}．
活动与探究2 思路分析：在数轴上表示出集合A与集合B，借助于数轴求解．
解：把集合A，B在数轴上表示如下：
由图知，A∪B＝{x|2＜x＜10}，
∴ R(A∪B)＝{x|x≤2，或x≥10}．
∵ RA＝{x|x＜3，或x≥7}，
∴( RA)∩B＝{x|2＜x＜3，或7≤x＜10}．
迁移与应用 1．B 解析：∵ UT＝{1,5,6}，
∴S∩( UT)＝{1,5}．
2．B 解析：∵U＝R，B＝{x|x＞1}，
∴ UB＝{x|x≤1}．
又A＝{x|x＞0}，∴A∩( UB)＝{x|0＜x≤1}．
活动与探究3 思路分析：题目给出的关系较复杂，不易理清，所以用Venn图解答．
解：易得U＝{2,3,5,7,11,13,17,19}．由题意，利用如图所示的Venn图，故集合A＝{3,5,11,13}，B＝{7,11,13,19}．
迁移与应用 1．A 解析：根据条件画出Venn图，如图，3∈A,3B.
2．25 解析：设跳远及格的学生构成集合A，其元素个数为41；铅球及格的学生构成集合B，其元素个数为30；两项都及格的人数为x.
如图，则4+41－x+x+30－x=50，
∴x=25.
【当堂检测】
1．D 解析：由已知得， UQ＝{1,2,6}，所以P∩( UQ)＝{1,2}．
2．B 解析：画出数轴，并在数轴上标出集合U，A可得结果．
3．A 解析：∵U＝{2,5,8}， UA＝{2}，
∴A＝{5,8}．
∴集合A的真子集有22－1＝3(个)．
4．{x|－5≤x≤－2} 解析：∵ UB＝{x|－5≤x＜2}，
∴A∩( UB)＝{x|x≤－2，或x≥3}∩{x|－5≤x＜2}＝{x|－5≤x≤－2}．
5．54 解析：设A={x|x为会游泳的人}，B={x|x为会射击的人}，则A∩B={x|x为游泳与射击都会的人}．
依集合的运算性质，可设A∩B中元素个数为n，画出Venn图，可知68=(57－n)+n+(62－n)+3.
∴n=54.
故这个运动协会中游泳、射击两项都会的有54人．
