淮安市第一中学 第1章 直线与方程 单元测试卷
一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的.）
1．直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
2．已知直线过，并与两坐标轴截得等腰三角形，那么直线的方程是（ ）．
A．或 B．或
C．或 D．或
3．过两点和的直线在y轴上的截距为（ ）
A． B． C． D．
4．如果且，那么直线不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
5．已知的三个顶点，则的高CD所在的直线方程是（ ）
A． B．
C． D．
6．已知与是直线（为常数）上两个不同的点，则关于和的方程组的解的情况是（ ）
A．无论，，如何，方程组总有解
B．无论，，如何，方程组总有唯一解
C．存在，，，方程组无解
D．存在，，，方程组无穷多解
7．已知，两点到直线的距离相等，则实数a的值为（ ）
A．－3 B．3 C．－1 D．－3或3
8．如图，在平面直角坐标系中，将三角板的端点 分别放在轴和轴的正半轴上运动，点在第一象限，且，若，则点与点之间的距离（ ）
A．最大值为2 B．最大值为
C．最大值为 D．最大值为
二、多项选择题：（本题共4小题,每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9．下列四个命题中，错误的有（ ）
A．若直线的倾斜角为，则
B．直线的倾斜角的取值范围为
C．若一条直线的倾斜角为，则此直线的斜率为
D．若一条直线的斜率为，则此直线的倾斜角为
10．已知直线，则下述正确的是（ ）
A．直线的斜率可以等于 B．直线的斜率有可能不存在
C．直线可能过点 D．直线的横、纵截距可能相等
11．设直线，，则下列说法错误的是（ ）
A．直线或可以表示平面直角坐标系内任意一条直线
B． 与至多有无穷多个交点
C．的充要条件是
D．记与的交点为，则可表示过点的所有直线
12．对于平面直角坐标系内的任意两点，，定义它们之间的一种“距离”为．已知不同三点A，B，C满足，则下列结论正确的是（ ）
A．A，B，C三点可能共线
B．A，B，C三点可能构成锐角三角形
C．A，B，C三点可能构成直角三角形
D．A，B，C三点可能构成钝角三角形
三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知直线l经过点，且和直线的夹角为30°，则直线l的方程是________．
14．若与为两条不重合的直线，它们的倾斜角分别为，，斜率分别为，，则下列命题
①若，则斜率； ②若斜率，则；
③若，则倾斜角；④若倾斜角，则；
其中正确命题的个数是______．
15．数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心，重心，垂心依次位于同一直线上，这条直线后人称之为三角形的欧拉线．已知的顶点，则其欧拉线方程为______．
16．在内切圆圆心为的中，，，，在平面内，过点作动直线，现将沿动直线翻折，使翻折后的点在平面上的射影落在直线上，点在直线上的射影为，则的最小值为______
四、解答题：（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．已知直线的斜率为，直线的倾斜角是直线倾斜角的2倍，求直线的斜率.
18．已知直线l经过点，且与x轴正半轴交于点A，与y轴正半轴交于点B，O是坐标原点，若________，求直线l的方程．试从下列所给的条件中任选一个补充在横线处，并解答．
①；
②的面积是6．
19．已知直线，直线，求：当m为何值时，直线与分别有如下位置关系：相交、平行、重合．
20．直线经过两条直线和的交点，且_____．
试从以下两个条件中任选一个补充在上面的问题中，完成解答，若选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
①与直线平行，②直线在轴上的截距为．
(1)求直线的方程；
(2)求直线与坐标轴围成的三角形面积．
21．已知直线和点，．
(1)在直线l上求一点P，使的值最小；
(2)在直线l上求一点P，使的值最大．
22．如图，设直线：，：点A的坐标为过点A的直线l的斜率为k，且与，分别交于点M，N的纵坐标均为正数
（1）设，求面积的最小值；
（2）是否存在实数a，使得的值与k无关若存在，求出所有这样的实数a；若不存在，说明理由．淮安市第一中学 第1章 直线与方程 单元测试卷
一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的.）
1．直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由直线方程得斜率，由斜率得倾斜角．
【详解】直线的斜率为，所以倾斜角．
故选：D．
2．已知直线过，并与两坐标轴截得等腰三角形，那么直线的方程是（ ）．
A．或 B．或
C．或 D．或
【答案】C
【分析】根据直线与两坐标轴截得等腰三角形可得直线得斜率为1或-1，利用直线方程得点斜式即可求解.
【详解】解：由题意可知，所求直线的倾斜角为或，即直线的斜率为1或-1，
故直线方程为或，
即或.
故选：C.
3．过两点和的直线在y轴上的截距为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】求出直线方程，令x＝0，即可求出纵截距.
【详解】由题可知直线方程为：，即，
令x=0，则，故直线在y轴上的截距为.
故选：C.
4．如果且，那么直线不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【分析】通过直线经过的点来判断象限.
【详解】由且，可得同号，异号，所以也是异号；
令，得；令，得；
所以直线不经过第三象限.
故选：C.
5．已知的三个顶点，则的高CD所在的直线方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】先求出，进而得到，再由点斜式写出直线方程即可.
【详解】由题意知：，则，故CD所在的直线方程为，即.
故选：D.
6．已知与是直线（为常数）上两个不同的点，则关于和的方程组的解的情况是（ ）
A．无论，，如何，方程组总有解
B．无论，，如何，方程组总有唯一解
C．存在，，，方程组无解
D．存在，，，方程组无穷多解
【答案】B
【分析】通过与是直线上，推出的关系，然后解方程组即可.
【详解】已知与是直线（为常数）上两个不同的点，
所以,即,并且，.
所以
得：即,
所以方程组有唯一解.
故选：B
7．已知，两点到直线的距离相等，则实数a的值为（ ）
A．－3 B．3 C．－1 D．－3或3
【答案】D
【分析】方法一：根据点到线的距离公式求解即可，方法二：数形结合分析可得直线或AB的中点在直线l上，再分别计算即可.
【详解】方法一 由题意得，即，所以或，解得或．
方法二 因为A，B两点到直线l的距离相等，则直线或AB的中点在直线l上，则或，得或3．
故选：D
8．如图，在平面直角坐标系中，将三角板的端点 分别放在轴和轴的正半轴上运动，点在第一象限，且，若，则点与点之间的距离（ ）
A．最大值为2 B．最大值为
C．最大值为 D．最大值为
【答案】C
【分析】取中点为，为直角三角形，故，显然，，当且仅当 三点共线时，等号成立，继而得解.
【详解】依题意，，，.
取中点为，由于为直角三角形，故
由于为直角三角形，故
显然，，当且仅当 三点共线时，等号成立.
因此，最大值为.
故选：C.
二、多项选择题：（本题共4小题,每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9．下列四个命题中，错误的有（ ）
A．若直线的倾斜角为，则
B．直线的倾斜角的取值范围为
C．若一条直线的倾斜角为，则此直线的斜率为
D．若一条直线的斜率为，则此直线的倾斜角为
【答案】ACD
【分析】根据倾斜角与斜率的定义判断即可.
【详解】解：因为直线的倾斜角的取值范围是，即，所以，
当时直线的斜率，故A、C均错误；B正确；
对于D：若直线的斜率，此时直线的倾斜角为，故D错误；
故选：ACD
10．已知直线，则下述正确的是（ ）
A．直线的斜率可以等于 B．直线的斜率有可能不存在
C．直线可能过点 D．直线的横、纵截距可能相等
【答案】BD
【分析】根据斜率的定义和截距的定义即可求得答案.
【详解】解：因为直线，
若，则直线的斜率不存在，故B正确；
若，则直线的斜率存在，且斜率，不可能为，故A错误；
将点代入直线方程得，故C错误；
令，则直线方程为，横纵截距均为，故D正确．
故选：BD
11．设直线，，则下列说法错误的是（ ）
A．直线或可以表示平面直角坐标系内任意一条直线
B． 与至多有无穷多个交点
C．的充要条件是
D．记与的交点为，则可表示过点的所有直线
【答案】ACD
【分析】利用反例判断A，根据两直线的位置关系的充要条件判断B、C，根据交点直线系方程判断D；
【详解】解：对于A：当直线的斜率不存在时，直线方程为（为直线与轴的交点的横坐标）此时直线或的方程无法表示，故A错误；
对于B：当且时，两直线重合，此时两直线有无穷多个交点，故B正确；
对于C：当且时，故C错误；
对于D：记与的交点为，则的坐标满足且满足，则不表示过点的直线，故D错误；
故选：ACD
12．对于平面直角坐标系内的任意两点，，定义它们之间的一种“距离”为．已知不同三点A，B，C满足，则下列结论正确的是（ ）
A．A，B，C三点可能共线
B．A，B，C三点可能构成锐角三角形
C．A，B，C三点可能构成直角三角形
D．A，B，C三点可能构成钝角三角形
【答案】ACD
【分析】取两定点为A，C，再设任意点B，然后利用给定定义逐项分析、计算判断作答.
【详解】令点，设点，则有，
由得：，
当时，A，B，C三点共线，且有成立，A正确；
当时，则A，B，C三点不共线，
若，有，且成立，为直角三角形，C正确；
若，显然是钝角，且成立，为钝角三角形，D正确；
若，不成立，显然A，B，C三点不可能构成锐角三角形，B不正确.
故选：ACD
三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知直线l经过点，且和直线的夹角为30°，则直线l的方程是________．
【答案】或
【分析】先判断出直线的倾斜角，然后结合点求得直线的方程.
【详解】由已知可得直线的斜率，所以其倾斜角为30°，
所以直线l的倾斜角为0°或60°．
当直线l的倾斜角为60°，直线l的方程为，即；
当直线l的倾斜角为0°时，直线l的方程为．
故答案为：或
14．若与为两条不重合的直线，它们的倾斜角分别为，，斜率分别为，，则下列命题
①若，则斜率； ②若斜率，则；
③若，则倾斜角；④若倾斜角，则；
其中正确命题的个数是______．
【答案】
【分析】根据两直线平行的充要条件、斜率与倾斜角的关系判断即可；
【详解】解：因为与为两条不重合的直线，且它们的倾斜角分别为，，斜率分别为，.
①由于斜率都存在，若，则，此命题正确；
②因为两直线的斜率相等即斜率，得到倾斜角的正切值相等即，即可得到，所以，此命题正确；
③因为，根据两直线平行，得到，此命题正确；
④因为两直线的倾斜角，根据同位角相等，得到，此命题正确；
所以正确的命题个数是4．
故答案为：．
15．数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心，重心，垂心依次位于同一直线上，这条直线后人称之为三角形的欧拉线．已知的顶点，则其欧拉线方程为______．
【答案】
【分析】分别算出重心坐标和垂心坐标即可求得欧拉线方程.
【详解】设的重心为，垂心为
由重心坐标公式得，所以
由题，的边上的高线所在直线方程为，
直线，，所以的边上的高线所在直线方程为
所以
所以欧拉线的方程为，即.
故答案为：
16．在内切圆圆心为的中，，，，在平面内，过点作动直线，现将沿动直线翻折，使翻折后的点在平面上的射影落在直线上，点在直线上的射影为，则的最小值为______
【答案】
【分析】建立坐标系，设直线斜率为，用表示出，，利用基本不等式得出答案．
【详解】过作的三边的垂线，设的半径为，
则，即．
以，为坐标轴建立平面直角坐标系，如图所示：
则，．
在平面的射影在直线上，故直线必存在斜率．
过作，垂足为，交直线于．
设直线的方程为：，则，
又直线的方程为：，
，，
故而．
．
①若，则．
当且仅当即时取等号．
②若，则．
当且仅当即时取等号．
综上可知的最小值为.
故答案为：
四、解答题：（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．已知直线的斜率为，直线的倾斜角是直线倾斜角的2倍，求直线的斜率.
【答案】
【分析】由倾斜角与斜率的关系及二倍角的正切公式即可求解.
【详解】解：由题意，设直线的倾斜角为，则直线的倾斜角为，
由已知得，
所以直线的斜率为.
18．已知直线l经过点，且与x轴正半轴交于点A，与y轴正半轴交于点B，O是坐标原点，若________，求直线l的方程．试从下列所给的条件中任选一个补充在横线处，并解答．
①；
②的面积是6．
【答案】．
【分析】任选条件①②，解法都是设直线l的方程为，代入已知条件解方程组得，从而得直线方程．
【详解】选条件①：
设直线l的方程为，
由题意可知，得，
所以直线l的方程为，即；
选条件②：
设直线l的方程为．
由题意可得，解得，
所以直线l的方程为，即．
19．已知直线，直线，求：当m为何值时，直线与分别有如下位置关系：相交、平行、重合．
【答案】答案见详解．
【分析】当时，，，l1与l2相交；当时，两直线的斜截式方程为：，，再利用两条直线的相交、平行、重合的条件即可得出．
【详解】当时，，，l1与l2相交；
当时，两直线的斜截式方程为：，．
①当时，即m≠3，m≠﹣1且时，两直线相交，
②当，且，即m＝﹣1时，两直线平行．
③当，且，即m＝3时，两直线重合．
综上：当m≠3，m≠﹣1时，两直线相交；
当m＝﹣1时两直线平行；
当m＝3时两直线重合．
20．直线经过两条直线和的交点，且_____．
试从以下两个条件中任选一个补充在上面的问题中，完成解答，若选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
①与直线平行，②直线在轴上的截距为．
(1)求直线的方程；
(2)求直线与坐标轴围成的三角形面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）选①可设直线的方程，求出交点并代入即可求解；选②，由点斜式求解即可；
（2）求出直线与坐标轴的交点，结合面积公式即可求解
(1)
解：选①直线经过两条直线和的交点，
，解得，，即，
直线与直线平行．
可设直线的方程，把代入可得，
直线的方程为，
选②直线经过两条直线和的交点，
，解得，，即，
由题意可知直线的斜率存在，设为且，
则过，
代入即解得，
直线的方程，
(2)
解：在直线中，
令可得，
令可得，
所以直线与坐标轴围成的三角形面积．
21．已知直线和点，．
(1)在直线l上求一点P，使的值最小；
(2)在直线l上求一点P，使的值最大．
【答案】(1)
(2)．
【分析】（1）通过找出点A关于直线l的对称点为，将的最小值转化为的最小值，利用三角形三边的关系可知，即可求点P的坐标;
（2）利用三角形的三边关系可知，再求出直线AB的方程，即可求出点P的坐标.
（1）
设A关于直线l的对称点为，则，
解得，故，
又∵P为直线l上的一点，则，
当且仅当B，P，三点共线时等号成立，此时取得最小值，
点P即是直线与直线l的交点．
由 ，解得，
故所求的点P的坐标为．
（2）
由题意，知A，B两点在直线l的同侧，P是直线l上的一点，
则，当且仅当A，B，P三点共线时等号成立，
此时取得最大值，点P即是直线AB与直线l的交点,
又∵直线AB的方程为，
∴由 ，解得，
故所求的点P的坐标为．
22．如图，设直线：，：点A的坐标为过点A的直线l的斜率为k，且与，分别交于点M，N的纵坐标均为正数
（1）设，求面积的最小值；
（2）是否存在实数a，使得的值与k无关若存在，求出所有这样的实数a；若不存在，说明理由．
【答案】（1）；（2）存在；
【分析】(1)利用直线的点斜式方程直线l的方程，再利用两条直线的交点坐标得和，再结合题目条件得，当时，得直线OA的方程为，
和，以及，再利用点到直线的距离公式得点M和N到直线OA的距离，从而得面积，令，则，从而得S
，再利用基本不等式求最值，计算得结论；
(2)利用(1)的结论，结合两点间的距离公式得和，计算，由得结论．
【详解】(1)因为直线l过点，且斜率为k，
所以直线l的方程为
因为直线l与，分别交于点M，N，所以，
因此由得，即，
由得，即
又因为M，N的纵坐标均为正数，
所以，即
而，因此
又因为当时，直线OA的方程为，
，，且，
所以点M到直线OA的距离为，
点N到直线OA的距离为，
因此面积
令，则且，
因此
，
当且仅当，即时，等号成立，
所以S的最小值为，即面积的最小值为
(2)存在实数，使得的值与k无关．
由(1)知：，，且
因此，，
所以
又因为，所以当时，为定值，
因此存在实数，使得的值与k无关．
