淮安市第一中学 第2章 圆与方程 单元测试卷
一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的.）
1．圆心在坐标原点，半径为2的圆的标准方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】直接写出标准方程，即可得到答案.
【详解】圆心在坐标原点，半径为2的圆的标准方程为.
故选：B
2．圆关于直线对称的圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】先求得圆关于直线对称的圆的圆心坐标，进而即可得到该圆的方程.
【详解】圆的圆心坐标为，半径为3
设点关于直线的对称点为，
则 ，解之得
则圆关于直线对称的圆的圆心坐标为
则该圆的方程为，
故选：D．
3．若直线 与圆 相交于 两点， 且 (其中 为原点)， 则 的值为（ ）
A． 或 B． C． 或 D．
【答案】A
【分析】根据点到直线的距离公式即可求解.
【详解】由可知，圆心到直线的距离为，根据点到直线的距离公式可得
故选：A
4．在平面直角坐标系中，直线被圆截得的弦长为2，则实数a的值为（ ）
A． B．2 C．或 D．1或
【答案】C
【分析】利用圆心到直线的距离公式，及弦心距计算即可得出结果.
【详解】圆心到直线的距离为，
又，解得：或．
故选：C
5．若圆上总存在两个点到点的距离为2，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】将问题转化为圆与相交，从而可得，进而可求出实数a的取值范围.
【详解】到点的距离为2的点在圆上，
所以问题等价于圆上总存在两个点也在圆上，
即两圆相交，故，
解得或，
所以实数a的取值范围为，
故选：A．
6．设圆，圆，则圆，的公切线有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
【答案】B
【分析】先根据圆的方程求出圆心坐标和半径，再根据圆心距与半径的关系即可判断出两圆的位置关系，从而得解．
【详解】由题意，得圆，圆心，圆，圆心，∴，∴与相交，有2条公切线．
故选：B．
7．已知点P，Q分别为圆与上一点，则的最小值为（ ）
A．4 B．5 C．7 D．10
【答案】A
【分析】根据两圆位置关系求解.
【详解】圆的圆心坐标为，半径为1；
圆的圆心坐标为，半径为2；
所以两圆的圆心距，两圆外离，
所以 ，
故选：A.
8．已知直线平分圆：，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题意知直线过圆的圆心得到，求的最大值可转化为的最小值的倒数，利用基本不等式的妙用求最值即可.
【详解】圆：，圆心，
直线平分圆：，
直线过圆心，即，
，
当且仅当，即，的最大值为.
故选：B
二、多项选择题：（本题共4小题,每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9．下列方程能够表示圆的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】依次判断各个选项中的方程所表示的曲线即可得到结果.
【详解】对于A，表示圆心为，半径为的圆，A正确；
对于B，不符合圆的方程 ，B错误；
对于C，由得：，则其表示圆心为，半径为的圆，C正确；
对于D，含项，不符合圆的方程，D错误.
故选：AC.
10．已知动直线与圆，则下列说法正确的是（ ）
A．直线过定点
B．圆的圆心坐标为
C．直线与圆的相交弦的最小值为
D．直线与圆的相交弦的最大值为4
【答案】ACD
【分析】根据直线与圆的相关知识对各选项逐一判断即可.
【详解】对于A，直线，即，
令，得，即直线过定点，故A正确；
对于B，圆，即，圆心坐标为，故B错误；
对于C，因为，所以直线所过定点在圆的内部，不妨设直线过定点为，
当直线与圆的相交弦的最小时，与相交弦垂直，
又因为，所以相交弦的最小为，故C正确；
对于D，直线与圆的相交弦的最大值为圆直径4，故D正确.
故选：ACD
11．已知两圆的方程分别为，，则下列说法正确的是（ ）
A．若两圆内切，则r＝9
B．若两圆的公共弦所在直线的方程为8x－6y－37＝0，则r＝2
C．若两圆在交点处的切线互相垂直，则r＝3
D．若两圆有三条公切线，则r＝2
【答案】ABC
【分析】根据两圆内，外切切的条件可确定AD的正误，由两圆方程作差可得公共弦所在直线方程确定B的正误，根据两圆交点处的切线垂直可知两圆圆心距，半径可构成直角三角形即可判断D.
【详解】圆的圆心为（0，0），半径为4，圆的圆心为（4，－3），半径为r，两圆的圆心距．
对于A，若两圆内切，则，则r＝9，故A正确；
对于B，联立两圆的方程可得，令，得r＝2，故B正确；对于C，若两圆在交点处的切线互相垂直，则一个圆的切线必过另一个圆的圆心，
（圆的切线与经过切点的半径垂直，又∵两圆切线相互垂直且交于一公共切点，所以两切线分别与另一圆的半径重合，半径经过圆心，所以此时两切线经过圆心）
分别设两圆的圆心为,则
如图，所以，解得r＝3，故C正确；
对于D，若两圆有三条公切线，则两圆外切，则，得r＝1，故D错误．
故选：ABC
12．已知，是圆O：上两点，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则
B．若点O到直线AB的距离为，则
C．若，则的最大值为
D．若，则的最大值为4
【答案】AD
【分析】对于选项A，B，根据垂径定理可判断，对于选项C，D，根据点到直线的距离公式可求解判断.
【详解】对于A，若，则可知点到的距离为，从而可知，故A正确；
对于B，若点O到直线AB的距离为，则可知，从而得，故B错误；
对于C，D，的值可转化为单位圆上的两点到直线的距离之和，又，所以三角形是等腰直角三角形，设是的中点，则，且，则在以点为圆心，半径为的圆上，两点到直线的距离之和为的中点到直线的距离的两倍.
点到直线的距离为，
所以点到直线的距离的最大值为，
所以的最大值为.因此的最大值为4.从而可知C错误，D正确..
故选：AD.
三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．方程表示圆，则的取值范围为______．
【答案】或
【分析】由方程表示圆得到不等式，直接求解即可.
【详解】由题意知：，即，解得或.
故答案为：或.
14．规定：在桌面上，用母球击打目标球，使目标球运动，球的位置是指球心的位置，球是指该球的球心点．两球碰撞后，目标球在两球的球心所确定的直线上运动，目标球的运动方向是指目标球被母球击打时，母球球心所指向目标球球心的方向．所有的球都简化为平面上半径为1的圆，且母球与目标球有公共点时，目标球就开始运动，在桌面上建立平面直角坐标系，如图，设母球的位置为（0，0），目标球的位置为，要使目标球向处运动，则母球的球心运动的直线方程为______．
【答案】
【分析】求出所在的直线方程，得到碰撞时的坐标，可得母球球心运动的直线方程.
【详解】点，所在直线的方程为，如图所示
可知，两球碰撞时，球的球心在直线上，且在第一象限，设，两球碰撞时，球的球心坐标为，此时，则，解得，即，B两球碰撞时，球的球心坐标
所以母球的球心运动的直线方程为，即．
故答案为：
15．写出与圆和圆都相切的一条切线方程___________.
【答案】或或
【分析】先判断两圆位置关系，再分情况依次求解可得.
【详解】圆的圆心为，半径为1；圆的圆心为，半径为4，
圆心距为，所以两圆外切，如图，有三条切线，
易得切线的方程为，
因为，且，所以，设，即，
则到的距离，解得（舍去）或，所以，
可知和关于对称，联立，解得在上，
在上任取一点，设其关于的对称点为，
则，解得，
则，所以直线，即，
综上，切线方程为或或.
故答案为：或或.
16．平面直角坐标系中，点、、，动点在的内切圆上，则的最小值为_________.
【答案】##
【分析】求出的内切圆方程，设点，计算得出，其中点，数形结合可求得的最小值.
【详解】由两点间的距离公式可知，则是边长为的等边三角形，
设的内切圆的半径为，则，解得，
因为点、关于轴对称，所以，的内切圆圆心在轴上，
易知直线的方程为，原点到直线的距离为，
所以，的内切圆为圆，设点，
，其中点，
所以，，
当且仅当点为射线与圆的交点时，等号成立，故的最小值为.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于分析出，再利用三点共线以及数形结合思想求得最值.
四、解答题：（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．求满足下列条件的圆的方程：
(1)经过点，，圆心在轴上；
(2)经过直线与的交点，圆心为点.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设出圆的方程，代入A、B两点坐标，求出圆心和半径，从而求出圆的方程；（2）先求出交点坐标，进而求出半径，写出圆的方程.
（1）设圆的方程为，由题意得：，解得：，所以圆的方程为；
（2）联立与，解得：，所以交点为，则圆的半径为，所以圆的方程为.
18．求经过三点的圆的方程．
【答案】
【分析】设圆的一般方程，用待定系数法求解即可.
【详解】设圆的方程为，
则，
∴圆的方程为：，即.
19．若直线被圆截得的弦长不大于，求实数的取值范围．
【答案】
【分析】利用直线与圆相交时圆心到直线距离与半径的关系以及所给弦长条件建立不等式求解即得.
【详解】解：圆的圆半径为，
设直线被圆截得的弦长为，圆心到直线的距离，
由题意，得，即，所以．
又，所以，所以或，
结合，可知或．
综上，实数的取值范围为．
20．在①，②最小，③过A，B两点分别作圆C的切线，切线交于点P（2，0）这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并求解．
在平面直角坐标系中，已知圆，直线l过定点M（1，1）．设直线l与圆C交于A，B两点，当______时，求直线l的方程．
【答案】
【分析】若选条件①，根据勾股定理可知，设出直线方程，再根据弦长公式即可求出；
若选条件②，由点M（1，1）在圆内，可知当点M（1，1）为弦AB的中点时，最小，此时，由此可得直线斜率，从而解出；
若选条件③，由圆与圆的位置关系可知，由此可得直线斜率，从而解出．
【详解】将圆的方程化为，则C（0，2），半径r＝2．
方案一：选条件①．
因为，所以，所以．
当直线l的斜率不存在时，方程为x＝1，此时，不符合题意．
当直线l的斜率存在时，设方程为，即，
由题意可知，即，解得k＝1，所以直线．
方案二：选条件②．
当直线所过定点M（1，1）为弦AB的中点时，最小，此时，，所以直线l的斜率为1，所以直线．
方案三：选条件③．
因为过A，B两点分别作圆C的切线，切线交于P（2，0），所以，，所以直线l的斜率为1，又直线过定点M（1，1），所以直线．
21．已知圆，直线，当时，直线l与圆O恰好相切．
(1)求圆O的方程；
(2)若直线l上存在距离为2的两点M，N，在圆O上存在一点P，使得，求实数k的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据直线与圆相切，圆心到直线的距离等于半径可求解.
（2）分直线l与圆有公共点和无公共点两种情况讨论，再结合，则点P在以MN为直径的圆上，由两圆有公共点即可求解.
（1）
当时．圆心O到直线l的距离为，则r＝2，
所以圆O的方程为．
（2）
圆心O到直线l的距离
①当直线l与圆O有公共点，即，解得，
若点P与点M（或N）重合，则满足，符合题意．
②当直线l与圆O无公共点，即，解得或，
由，可知点P在以MN为直径的圆上，设线段MN的中点为，
则圆Q的方程为，
又圆Q与圆O有公共点，设圆Q的半径 ，圆O的半径，
则，
只需点O到直线l的距离，
所以或．
综上，实数k的取值范围为．
22．已知、，．
(1)若直线过点，且被截得的弦长为，求直线的方程；
(2)过作直线交圆于、两点，且为的中点，求直线的方程；
(3)对于线段上的任意一点，若在以点为圆心的圆上都存在不同的两点、，使得点是线段的中点，求的半径的取值范围．
【答案】(1)或
(2)和
(3)
【分析】（1）求得圆心到直线的距离为，对直线的斜率是否存在进行分类讨论，在直线的斜率存在时，设出直线的方程，利用点到直线的距离公式可求出直线的斜率，可得出直线的方程，在直线的斜率不存在时，直接验证即可，综合可得出直线的方程；
（2）取的中点，连接，设，，根据勾股定理可得出关于的方程，求出的值，可得出的值，分析可知直线的斜率存在，设直线的方程为，利用点到直线的距离公式可求得的值，即可得出直线的方程；
（3）设点的坐标，可得出点的坐标，代入圆的方程，可得出以为圆心，为半径的圆与以为圆心，为半径的圆有公共点，由此可求得的取值范围.
(1)
解：的圆心，半径为，由弦长为，
则圆心H到的距离．
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
则，解得，则的方程；
当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时，圆心到直线的距离为，满足题意．
综上，直线的方程是或.
(2)
解：取的中点，连接，由圆的垂径定理可得，且，
又，设，，可得，
在直角三角形中，，
在直角三角形中，，
即有，解得，则，
若直线的斜率不存在，则直线与圆相离，不合乎题意.
所以，直线的斜率存在，设为，直线的方程为，即为，
则，解得或，
所以直线的方程为和.
(3)
解：直线的方程为，设，．
因为点是点的中点，所以，
又、都在半径为的圆上，所以，
即，
因为该关于、的方程组有解，即以为圆心，为半径的圆与以为圆心，为半径的圆有公共点，
所以，
又，所以对任意成立．
而在上的值域为，
故，即，
又线段与圆无公共点，所以或对任意成立，即或，
所以，，解得，
故圆的半径的取值范围为．
【点睛】方法点睛：解析几何中取值范围问题的五种求解策略：
（1）利用二次曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；
（2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；
（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
（4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.淮安市第一中学 第2章 圆与方程 单元测试卷
一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的.）
1．圆心在坐标原点，半径为2的圆的标准方程是（ ）
A． B．
C． D．
2．圆关于直线对称的圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
3．若直线 与圆 相交于 两点， 且 (其中 为原点)， 则 的值为（ ）
A． 或 B． C． 或 D．
4．在平面直角坐标系中，直线被圆截得的弦长为2，则实数a的值为（ ）
A． B．2 C．或 D．1或
5．若圆上总存在两个点到点的距离为2，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
6．设圆，圆，则圆，的公切线有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
7．已知点P，Q分别为圆与上一点，则的最小值为（ ）
A．4 B．5 C．7 D．10
8．已知直线平分圆：，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：（本题共4小题,每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9．下列方程能够表示圆的是（ ）
A． B．
C． D．
10．已知动直线与圆，则下列说法正确的是（ ）
A．直线过定点
B．圆的圆心坐标为
C．直线与圆的相交弦的最小值为
D．直线与圆的相交弦的最大值为4
11．已知两圆的方程分别为，，则下列说法正确的是（ ）
A．若两圆内切，则r＝9
B．若两圆的公共弦所在直线的方程为8x－6y－37＝0，则r＝2
C．若两圆在交点处的切线互相垂直，则r＝3
D．若两圆有三条公切线，则r＝2
12．已知，是圆O：上两点，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则
B．若点O到直线AB的距离为，则
C．若，则的最大值为
D．若，则的最大值为4
三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．方程表示圆，则的取值范围为______．
14．规定：在桌面上，用母球击打目标球，使目标球运动，球的位置是指球心的位置，球是指该球的球心点．两球碰撞后，目标球在两球的球心所确定的直线上运动，目标球的运动方向是指目标球被母球击打时，母球球心所指向目标球球心的方向．所有的球都简化为平面上半径为1的圆，且母球与目标球有公共点时，目标球就开始运动，在桌面上建立平面直角坐标系，如图，设母球的位置为（0，0），目标球的位置为，要使目标球向处运动，则母球的球心运动的直线方程为______．
15．写出与圆和圆都相切的一条切线方程___________.
16．平面直角坐标系中，点、、，动点在的内切圆上，则的最小值为_________.
四、解答题：（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．求满足下列条件的圆的方程：
(1)经过点，，圆心在轴上；
(2)经过直线与的交点，圆心为点.
18．求经过三点的圆的方程．
19．若直线被圆截得的弦长不大于，求实数的取值范围．
20．在①，②最小，③过A，B两点分别作圆C的切线，切线交于点P（2，0）这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并求解．
在平面直角坐标系中，已知圆，直线l过定点M（1，1）．设直线l与圆C交于A，B两点，当______时，求直线l的方程．
21．已知圆，直线，当时，直线l与圆O恰好相切．
(1)求圆O的方程；
(2)若直线l上存在距离为2的两点M，N，在圆O上存在一点P，使得，求实数k的取值范围．
22．已知、，．
(1)若直线过点，且被截得的弦长为，求直线的方程；
(2)过作直线交圆于、两点，且为的中点，求直线的方程；
(3)对于线段上的任意一点，若在以点为圆心的圆上都存在不同的两点、，使得点是线段的中点，求的半径的取值范围．
