选择性必修第一册 2.3 圆与圆的位置关系 学案（Word含答案）
文档属性
| 名称 | 选择性必修第一册 2.3 圆与圆的位置关系 学案（Word含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.3MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 苏教版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-08-25 13:22:20 | ||
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文档简介
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圆与圆的位置关系
一、知识点
1.圆与圆的位置关系
设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r(r1>0)，圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r(r2>0)，d＝|O1O2|.
外离 外切 相交 内切 内含
图形
联系 d＞r1＋r2 d＝r1＋r2 |r1－r2|＜d＜r1＋r2 d＝|r1－r2|(r1≠r2) d＜|r1－r2|(r1≠r2)
联立组成方程组的解的情况 无解 一组实数解 两组不同的 实数解 一组实数解 无解
公切线条数 4 3 2 1 0
2. 圆的切线方程常用结论
(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.
(2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.
(3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2.
3.两圆公共弦
(1)两圆公共弦的垂直平分线过两圆的圆心；
(2)公共弦长的求法：
方法一：(代数法)将两圆的方程联立，解出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求其长．
方法二：(几何法)求出公共弦所在直线的方程，利用勾股定理解直角三角形，求出弦长．(较简便)
4.圆系方程
(1)过圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0与直线Ax＋By＋C＝0的交点的圆系方程为
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ∈R)；
(2)以(a,b)为圆心的同心圆系方程是：(x-a)2+(y-b)2=；
(3)与圆x2+y2+Dx+Ey+F=0同心的圆系方程是x2+y2+Dx+Ey+=0；
(4)过同一定点(a,b)的圆系方程是(x-a)2+(y-b)2+(x-a)+(y-b)=0；
(5)过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆系方程为
x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1，λ∈R)，此圆系中不含圆C2.
当λ＝－1时，得到(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0，此为两圆公共弦所在的直线方程．
因此，如果两圆相交(前提)，两圆的方程相减就得到两圆公共弦所在的直线方程．
二、题型归纳
类型一、两圆位置关系的判定
【例1】a为何值时，两圆C1：x2＋y2－2ax＋4y＋a2－5＝0和C2：x2＋y2＋2x－2ay＋a2－3＝0.
(1)外切；(2)相交；(3)外离？
【解】：将两圆方程写成标准方程，C1：(x－a)2＋(y＋2)2＝9，C2：(x＋1)2＋(y－a)2＝4.
所以两圆的圆心和半径分别为C1(a，－2)，r1＝3，C2(－1，a)，r2＝2.
设两圆的圆心距为d，
则d2＝(a＋1)2＋(－2－a)2＝2a2＋6a＋5.
(1)当d＝5，即2a2＋6a＋5＝25时，两圆外切，此时a＝－5或a＝2.
(2)当1(3)当d>5，即2a2＋6a＋5>25时，两圆外离，此时a>2或a<－5.
类型二、两圆相切问题
【例2】．若圆x2＋y2＝1与圆x2＋y2－6x－8y－m＝0相切，则m的值为________．
【解析】：圆的方程x2＋y2－6x－8y－m＝0可化为(x－3)2＋(y－4)2＝25＋m，
其圆心坐标为(3,4)，半径r＝(m＞－25)．
若两圆外切，则＋1＝5，解得m＝－9；
若两圆内切，则－1＝5，解得m＝11.
类型三、两圆相交的问题
【例3】．已知圆C1：x2＋y2－4x－2y－5＝0，圆C2：x2＋y2＋2x－2y－14＝0.
(1)试判断两圆的位置关系；
(2)直线l过点(6，3)与圆C1相交于A，B两点，且|AB|＝，求直线l的方程．
【解】：(1)圆C1：x2＋y2－4x－2y－5＝0，即(x－2)2＋(y－1)2＝10，其圆心为C1(2，1)，半径等于，
C2：x2＋y2＋2x－2y－14＝0，即(x＋1)2＋(y－1)2＝16，其圆心为C2(－1，1)为圆心，半径等于4.由于两圆的圆心距等于＝3，大于半径之差而小于半径之和，故两个圆相交．
(2)当AB的斜率不存在时，直线l的方程为x＝6，此时直线l与圆C1相离，不满足条件．
当AB的斜率存在时，设直线l的方程为y－3＝k(x－6)，即kx－y＋3－6k＝0，
由弦长公式可得圆心到直线l的距离d＝＝2，
再由点到直线的距离公式可得d＝2＝，解得k＝0或k＝.
故直线l的方程为y＝3或4x－3y－15＝0.
类型四：圆系问题
【例4】．已知圆M经过圆x2+y2+6x―4=0与圆x2+y2+6y―28=0的交点，
(1)若圆心在直线x―2y―3=0上，求圆M的方程
(2)若圆的面积最小，求圆M的方程．
【解析】:(1)设所求圆x2+y2+6x―4+(x2+y2+6y―28)=0,
即(1)x2+(1+)y2+6x+6y-4-28=0，
其圆心为代入直线x―2y―3=0得λ=2，所以所求为3x2+3y2+6x+12y-60=0
即(x+1)2+(y+2)2=25为所求．
(2)因为圆的面积最小，所以圆M以已知两相交圆的公共弦为直径
相交弦的方程为x―y+4=0，将圆心为代入x―y+4=0得，
所以所求圆
即为．
类型五、坐标法证明几何问题
【例5】.如图所示，在圆O上任取C点为圆心，作圆C与圆O的直径AB相切于D，圆C与圆O交于点E，F，且EF与CD相交于H，求证：EF平分CD.
【证明】:以AB所在直线为x轴，O为坐标原点，建立平面直角坐标系，
如图所示，设|AB|＝2r，D(a，0)，则|CD|＝，
所以C(a，)，所以圆O：x2＋y2＝r2，
圆C：(x－a)2＋(y－)2＝r2－a2.
两方程作差得直线EF的方程为2ax＋2y＝r2＋a2.
令x＝a，得y＝，
所以H(a，)，即H为CD中点，
所以EF平分CD.
三、精选练习
1．已知圆O1的方程为x2＋y2＝4，圆O2的方程为(x－a)2＋(y－1)2＝1，则两个圆的位置关系不可能是( )
A．外离 B．外切 C．内含 D．内切
2．(2016·山东)已知圆M：x2＋y2－2ay＝0(a＞0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是，则圆M与圆N：
(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是( )
A．内切 B．相交 C．外切 D．相离
3．圆C1：(x－m)2＋(y＋2)2＝9与圆C2：(x＋1)2＋(y－m)2＝4外切，则m的值为( )
A．2 B．－5 C．2或－5 D．不确定
4．半径为6的圆与x轴相切，且与圆x2＋(y－3)2＝1内切，则此圆的方程是( )
A．(x－4)2＋(y－6)2＝6 B．(x＋4)2＋(y－6)2＝6或(x－4)2＋(y－6)2＝6
C．(x－4)2＋(y－6)2＝36 D．(x＋4)2＋(y－6)2＝36或(x－4)2＋(y－6)2＝36
5.圆x2－4x＋y2＝0与圆x2＋y2＋4x＋3＝0的公切线共有( )
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
6．过点P(1，－2)作圆C：(x－1)2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则AB所在直线的方程为( )
A．y＝－ B．y＝－ C．y＝－ D．y＝－
7．过两圆x2＋y2＋6x＋4y＝0及x2＋y2＋4x＋2y－4＝0的交点的直线的方程是( )
A．x＋y＋2＝0 B．x＋y－2＝0 C．5x＋3y－2＝0 D．不存在
8．已知圆C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝1，圆C2与圆C1关于直线x－y－1＝0对称，则圆C2的方程为( )
A．(x＋2)2＋(y－2)2＝1 B．(x－2)2＋(y＋2)2＝1
C．(x＋2)2＋(y＋2)2＝1 D．(x－2)2＋(y－2)2＝1
9．已知点P在圆C1：x2＋y2－8x－4y＋11＝0上，点Q在圆C2：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0上，则|PQ|的最小值是( )
A．5 B．1 C．－5 D．＋5
10．已知圆C1:x2+y2+4x-4y-3=0，动点P在圆C2:x2+y2-4x-12=0上，则△PC1C2面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．20
11.设两圆C1，C2都和两坐标轴相切，且都过点(4，1)，则两圆心的距离|C1C2|等于 ( )
A．4 B． C．8 D．
12.已知圆，圆，M，N分别是圆C1，C2上动点，P
是x轴上动点，则|PN|﹣|PM|的最大值是（ ）
A． B． C． D．
13．已知圆C1：x2＋y2－6x－7＝0与圆C2：x2＋y2－6y－27＝0相交于A，B两点，则线段AB的中垂线方程为________．
14.已知圆x2+y2=9与圆x2+y2+8x-6y+25-r2=0(r>0)相交，则r的取值范围是_______．
15．若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋ax＋2ay－9＝0(a>0)相交，公共弦的长为，则a＝________.
16．已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则PM＋PN的最小值为________．
17．已知A，B是圆O1：x2＋y2－2x＝0与圆O2：x2＋y2＋2x－4y＝0的公共点，则△O1AB与△O2AB的面积的比值为________．
18．若⊙O1：x2＋y2＝5与⊙O2：(x－m)2＋y2＝20(m∈R)相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是________．
19．点M在圆心为C1的方程x2＋y2＋6x－2y＋1＝0上，点N在圆心为C2的方程x2＋y2＋2x＋4y＋1＝0上，求|MN|的最大值．
20.如图所示，圆O1和圆O2的半径都等于1，|O1O2|＝4.过动点P分别作圆O1、圆O2的切线PM、PN(M、N
为切点)，使得|PM|＝|PN|.试建立平面直角坐标系，并求动点P的轨迹方程．
21．如图，已知⊙C的圆心在原点，且与直线x+3y+40相切．
(1)求⊙C的方程；
(2)点P在直线x＝8上，过点P引⊙C的两条切线PA、PB，切点为A、B．
①求四边形OAPB面积的最小值；
②求证：直线AB过定点．
22．已知圆O：x2＋y2＝4.
(1)直线l1：x＋y－＝0与圆O相交于A，B两点，求弦AB的长度；
(2)如图，设M(x1,y1)， P(x2,y2)是圆O上的两个动点，点M关于原点的对称点为M1，点M关于x轴的对称点为M2，如果直线PM1，PM2与y轴分别交于(0,m)和(0,n)，问mn是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
23．如图，圆C：x2﹣(1+a)x+y2﹣ay+a＝0．
(I)若圆C与x轴相切，求圆C的方程；
(II)已知a＞1，圆C与x轴相交于两点M，N(M在N的左侧)．过点M任作一条直线与圆O：x2+y2＝4相
交于两点A，B．问：是否存在实数a，使得∠ANM＝∠BNM？若存在，求出实数a的值，若不存在，请说明理由．
答案与解析
1.【解析】：圆O1：x2＋y2＝4的圆心O1(0,0)，半径r1＝2，圆O2：(x－a)2＋(y－1)2＝1的圆心O2(a,1)，半径r2＝1，两圆的圆心距|O1O2|＝≥1＝2－1，所以两个圆的位置关系不可能是内含.故选C.
另：数形结合法
2.【解析】：法一：由,得两交点为(0,0)，(－a，a)．
因为圆M截直线所得线段长度为，所以＝．
又a>0，所以a＝2．所以圆M的方程为x2＋y2－4y＝0，
即x2＋(y－2)2＝4，圆心M(0,2)，半径r1＝2．
又圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1，圆心N(1,1)，半径r2＝1，
所以|MN|＝＝，因为r1－r2＝1，r1＋r2＝3,1<|MN|<3，所以两圆相交.
法二：由题知圆M：x2＋(y－a)2＝a2(a＞0)，圆心(0，a)到直线x＋y＝0的距离d＝，所以＝，
解得a＝2．圆M，圆N的圆心距|MN|＝，两圆半径之差为1，故两圆相交．故选：B.
3.【解析】：由圆心C1(m，－2)，r1＝3；圆心C2(－1，m)，r2＝2；
则两圆心之间的距离为|C1C2|＝，解得m＝2或－5.故选：C.
4.【解析】：设圆的方程为(x－a)2＋(y－6)2＝36，由题意，得，所以a2＝16，所以a＝±4.
故选：D.
5.【解析】：x2－4x＋y2＝0，即(x－2)2＋y2＝22，圆心(2,0)，r=2；x2＋y2＋4x＋3＝0，即(x＋2)2＋y2＝12，
圆心(－2,0)，r=1.所以两圆圆心距为4，两圆半径和为3.
因为4＞3，所以两圆的位置关系是外离，故两圆的公切线共有4条．故选：D.
6.【解析】：圆(x－1)2＋y2＝1的圆心C(1,0)，r=1，以|PC|＝为直径的圆的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝1，将两圆的方程相减得AB所在直线的方程为2y＋1＝0，即y＝－.故选：B.
另：直接用结论x0x+y0y=r2.
7.【解析】：两方程组相减可得x＋y＋2＝0.故选：A.
8.【解析】：设圆C1的圆心坐标C1(－1,1)关于直线x－y－1＝0的对称点为(a，b)，依题意得,解得,所以圆C2的方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝1．故选：B.
9.【解析】：圆C1：x2＋y2－8x－4y＋11＝0，即(x－4)2＋(y－2)2＝9，圆心为C1(4,2)，半径r1＝3；
圆C2：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0，即(x＋2)2＋(y＋1)2＝4，圆心为C2(－2，－1)，半径r2＝2，
圆心距d＝＝>3＋2＝5，两圆相离，
所以|PQ|的最小值为|C1C2|－(r1＋r2)＝－5.故选：C.
10.【解析】:因为C1(-2,2),r1=，C2(2,0),r2=4，所以，
当PC2⊥C1C2时，△PC1C2的面积最大，其最大值为，故选：B.
11.【解析】:依题意，可设圆心坐标为(a，a)、圆半径为r，其中r=a＞0，因此圆方程是(x―a)2+(y―a)2=a2，
由圆过点(4，1)得(4―a)2+(1―a)2=a2，即a2―10a+17=0，则该方程的两根分别是圆心C1，C2的横坐标，
所以|C1C2|＝|x1－x2|＝·.故选：C.
12.【解答】：圆C1：(x﹣2)2+(y﹣3)2＝1的圆心为C1：(2，3)，半径等于1，
C2：(x﹣3)2+(y﹣4)2＝9的圆心C2(3，4)，半径等于3，
则|PN|﹣|PM|≤(|PC2|+3)﹣(|PC1|﹣1)＝4+|PC2|﹣|PC1|．
则4+|PC2|﹣|PC1|≤|C1C2|+4＝4．
故选：D．
13.【解析】：因为圆C1的圆心为C1(3，0)，圆C2的圆心为C2(0，3)，
所以直线C1C2的方程为x＋y－3＝0，
AB的中垂线即直线C1C2，故其方程为x＋y－3＝0.
14.【解析】:x2+y2=9的圆心C1(0,0),r1=3，x2+y2+8x-6y+25-r2=0(r>0)的圆心为C2(-4,3),r1=r，由两圆相交得|r1-r2|15.【解析】：联立两圆方程
可得公共弦所在直线方程为ax＋2ay－5＝0，
故圆心(0,0)到直线ax＋2ay－5＝0的距离为(a>0)．
故，解得a2＝，因为a>0，所以a＝.
16.【解析】:由条件知，两圆的圆心均在第一象限，作点C1关于x轴的对称点C1′(2，－3)，
则(PC1＋PC2)min＝C1′C2＝.
所以(PM＋PN)min＝－4.
17.【解析】：两个圆的方程相减，得4x－4y＝0，即x－y＝0，所以直线AB的方程为x－y＝0.
圆O1的方程化为(x－1)2＋y2＝1，所以圆心O1(1,0)，O1到直线AB的距离d1＝＝.
圆O2的方程化为(x＋1)2＋(y－2)2＝5，所以圆心O2(－1,2)，O2到直线AB的距离d2＝＝.
所以＝＝＝.
18.【解析】：由题意知O1(0,0)，O2(m,0)，且＜|m|＜3，
又O1A⊥AO2，所以m2＝()2＋(2)2＝25，所以m＝±5，
所以AB＝＝4.
19．【解】：把圆的方程都化成标准形式，得(x＋3)2＋(y－1)2＝9，(x＋1)2＋(y＋2)2＝4.
如图，C1的坐标是(－3,1)，半径长是3；C2的坐标是(－1，－2)，半径长是2.
所以，|C1C2|＝.
因此，|MN|的最大值是＋5.
20.【解】：以O1O2的中点O为原点，O1O2所在直线为x轴，建立如图所示的坐标系，则O1(－2,0)，O2(2,0)．
由已知|PM|＝|PN|，所以|PM|2＝2|PN|2.
又因为两圆的半径均为1，
所以|PO1|2－1＝2(|PO2|2－1)，设P(x，y)，
则(x＋2)2＋y2－1＝2[(x－2)2＋y2－1]，即(x－6)2＋y2＝33.
所以所求动点P的轨迹方程为(x－6)2＋y2＝33.
21.【解答】:(1)解：依题意得：圆心(0，0)到直线x+3y+40的距离d＝r，
所以r＝d，
所以圆C的方程为x2+y2；
(2)①解：连接OA，OB，
因为PA，PB是圆C的两条切线，所以OA⊥AP，OB⊥BP，
所以．
所以当PO取最小值为8时，；
②证明：由①得，A，B在以OP为直径的圆上，
设点P的坐标为(8，b)，b∈R，则线段OP的中点坐标为(4，)，
所以以OP为直径的圆方程为，即x2+y2﹣8x﹣by＝0．
因为AB为两圆的公共弦，
所以联立得：直线AB的方程为8x+by，b∈R，即8(x)+by＝0，
则直线AB恒过定点(，0)．
22.【解】：(1)由于圆心(0,0)到直线l1：x＋y－＝0的距离d＝.
圆的半径r＝2，所以AB＝＝2.
(2)由于M(x1，y1)，点M关于原点的对称点为M1，
点M关于x轴的对称点为M2，可得M1，M2，
由M(x1，y1)，P(x2，y2)是圆O上的两个动点，可得＋＝4, ＋＝4.
直线PM1的方程为＝，令x＝0，求得y＝m＝.
直线PM2的方程为＝，令x＝0，求得y＝n＝.
所以mn＝＝＝4.
故mn为定值．
23.【解答】:(Ⅰ)因为由可得x2﹣(1+a)x+a＝0，
由题意得△＝(1+a)2﹣4a＝(a﹣1)2＝0，所以a＝1，
故所求圆C的方程为x2﹣2x+y2﹣y+1＝0．
(Ⅱ)令y＝0，得x2﹣(1+a)x+a＝0，即(x﹣1)(x﹣a)＝0，求得x＝1，或x＝a，
所以M(1，0)，N(a，0)．
假设存在实数a，当直线AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y＝k(x﹣1)，
代入x2+y2＝4得，(1+k2)x2﹣2k2x+k2﹣4＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，从而．
因为NA、NB的斜率之和为 ，
而(x1﹣1)(x2﹣a)+(x2﹣1)(x1﹣a)＝2x1x2﹣(a+1)(x2+x1)+2a，
因为∠ANM＝∠BNM，所以，NA、NB的斜率互为相反数，，即，得a＝4．
当直线AB与x轴垂直时，仍然满足∠ANM＝∠BNM，即NA、NB的斜率互为相反数．
综上，存在a＝4，使得∠ANM＝∠BNM．
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圆与圆的位置关系
一、知识点
1.圆与圆的位置关系
设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r(r1>0)，圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r(r2>0)，d＝|O1O2|.
外离 外切 相交 内切 内含
图形
联系 d＞r1＋r2 d＝r1＋r2 |r1－r2|＜d＜r1＋r2 d＝|r1－r2|(r1≠r2) d＜|r1－r2|(r1≠r2)
联立组成方程组的解的情况 无解 一组实数解 两组不同的 实数解 一组实数解 无解
公切线条数 4 3 2 1 0
2. 圆的切线方程常用结论
(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.
(2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.
(3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2.
3.两圆公共弦
(1)两圆公共弦的垂直平分线过两圆的圆心；
(2)公共弦长的求法：
方法一：(代数法)将两圆的方程联立，解出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求其长．
方法二：(几何法)求出公共弦所在直线的方程，利用勾股定理解直角三角形，求出弦长．(较简便)
4.圆系方程
(1)过圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0与直线Ax＋By＋C＝0的交点的圆系方程为
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ∈R)；
(2)以(a,b)为圆心的同心圆系方程是：(x-a)2+(y-b)2=；
(3)与圆x2+y2+Dx+Ey+F=0同心的圆系方程是x2+y2+Dx+Ey+=0；
(4)过同一定点(a,b)的圆系方程是(x-a)2+(y-b)2+(x-a)+(y-b)=0；
(5)过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆系方程为
x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1，λ∈R)，此圆系中不含圆C2.
当λ＝－1时，得到(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0，此为两圆公共弦所在的直线方程．
因此，如果两圆相交(前提)，两圆的方程相减就得到两圆公共弦所在的直线方程．
二、题型归纳
类型一、两圆位置关系的判定
【例1】a为何值时，两圆C1：x2＋y2－2ax＋4y＋a2－5＝0和C2：x2＋y2＋2x－2ay＋a2－3＝0.
(1)外切；(2)相交；(3)外离？
【解】：将两圆方程写成标准方程，C1：(x－a)2＋(y＋2)2＝9，C2：(x＋1)2＋(y－a)2＝4.
所以两圆的圆心和半径分别为C1(a，－2)，r1＝3，C2(－1，a)，r2＝2.
设两圆的圆心距为d，
则d2＝(a＋1)2＋(－2－a)2＝2a2＋6a＋5.
(1)当d＝5，即2a2＋6a＋5＝25时，两圆外切，此时a＝－5或a＝2.
(2)当1
类型二、两圆相切问题
【例2】．若圆x2＋y2＝1与圆x2＋y2－6x－8y－m＝0相切，则m的值为________．
【解析】：圆的方程x2＋y2－6x－8y－m＝0可化为(x－3)2＋(y－4)2＝25＋m，
其圆心坐标为(3,4)，半径r＝(m＞－25)．
若两圆外切，则＋1＝5，解得m＝－9；
若两圆内切，则－1＝5，解得m＝11.
类型三、两圆相交的问题
【例3】．已知圆C1：x2＋y2－4x－2y－5＝0，圆C2：x2＋y2＋2x－2y－14＝0.
(1)试判断两圆的位置关系；
(2)直线l过点(6，3)与圆C1相交于A，B两点，且|AB|＝，求直线l的方程．
【解】：(1)圆C1：x2＋y2－4x－2y－5＝0，即(x－2)2＋(y－1)2＝10，其圆心为C1(2，1)，半径等于，
C2：x2＋y2＋2x－2y－14＝0，即(x＋1)2＋(y－1)2＝16，其圆心为C2(－1，1)为圆心，半径等于4.由于两圆的圆心距等于＝3，大于半径之差而小于半径之和，故两个圆相交．
(2)当AB的斜率不存在时，直线l的方程为x＝6，此时直线l与圆C1相离，不满足条件．
当AB的斜率存在时，设直线l的方程为y－3＝k(x－6)，即kx－y＋3－6k＝0，
由弦长公式可得圆心到直线l的距离d＝＝2，
再由点到直线的距离公式可得d＝2＝，解得k＝0或k＝.
故直线l的方程为y＝3或4x－3y－15＝0.
类型四：圆系问题
【例4】．已知圆M经过圆x2+y2+6x―4=0与圆x2+y2+6y―28=0的交点，
(1)若圆心在直线x―2y―3=0上，求圆M的方程
(2)若圆的面积最小，求圆M的方程．
【解析】:(1)设所求圆x2+y2+6x―4+(x2+y2+6y―28)=0,
即(1)x2+(1+)y2+6x+6y-4-28=0，
其圆心为代入直线x―2y―3=0得λ=2，所以所求为3x2+3y2+6x+12y-60=0
即(x+1)2+(y+2)2=25为所求．
(2)因为圆的面积最小，所以圆M以已知两相交圆的公共弦为直径
相交弦的方程为x―y+4=0，将圆心为代入x―y+4=0得，
所以所求圆
即为．
类型五、坐标法证明几何问题
【例5】.如图所示，在圆O上任取C点为圆心，作圆C与圆O的直径AB相切于D，圆C与圆O交于点E，F，且EF与CD相交于H，求证：EF平分CD.
【证明】:以AB所在直线为x轴，O为坐标原点，建立平面直角坐标系，
如图所示，设|AB|＝2r，D(a，0)，则|CD|＝，
所以C(a，)，所以圆O：x2＋y2＝r2，
圆C：(x－a)2＋(y－)2＝r2－a2.
两方程作差得直线EF的方程为2ax＋2y＝r2＋a2.
令x＝a，得y＝，
所以H(a，)，即H为CD中点，
所以EF平分CD.
三、精选练习
1．已知圆O1的方程为x2＋y2＝4，圆O2的方程为(x－a)2＋(y－1)2＝1，则两个圆的位置关系不可能是( )
A．外离 B．外切 C．内含 D．内切
2．(2016·山东)已知圆M：x2＋y2－2ay＝0(a＞0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是，则圆M与圆N：
(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是( )
A．内切 B．相交 C．外切 D．相离
3．圆C1：(x－m)2＋(y＋2)2＝9与圆C2：(x＋1)2＋(y－m)2＝4外切，则m的值为( )
A．2 B．－5 C．2或－5 D．不确定
4．半径为6的圆与x轴相切，且与圆x2＋(y－3)2＝1内切，则此圆的方程是( )
A．(x－4)2＋(y－6)2＝6 B．(x＋4)2＋(y－6)2＝6或(x－4)2＋(y－6)2＝6
C．(x－4)2＋(y－6)2＝36 D．(x＋4)2＋(y－6)2＝36或(x－4)2＋(y－6)2＝36
5.圆x2－4x＋y2＝0与圆x2＋y2＋4x＋3＝0的公切线共有( )
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
6．过点P(1，－2)作圆C：(x－1)2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则AB所在直线的方程为( )
A．y＝－ B．y＝－ C．y＝－ D．y＝－
7．过两圆x2＋y2＋6x＋4y＝0及x2＋y2＋4x＋2y－4＝0的交点的直线的方程是( )
A．x＋y＋2＝0 B．x＋y－2＝0 C．5x＋3y－2＝0 D．不存在
8．已知圆C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝1，圆C2与圆C1关于直线x－y－1＝0对称，则圆C2的方程为( )
A．(x＋2)2＋(y－2)2＝1 B．(x－2)2＋(y＋2)2＝1
C．(x＋2)2＋(y＋2)2＝1 D．(x－2)2＋(y－2)2＝1
9．已知点P在圆C1：x2＋y2－8x－4y＋11＝0上，点Q在圆C2：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0上，则|PQ|的最小值是( )
A．5 B．1 C．－5 D．＋5
10．已知圆C1:x2+y2+4x-4y-3=0，动点P在圆C2:x2+y2-4x-12=0上，则△PC1C2面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．20
11.设两圆C1，C2都和两坐标轴相切，且都过点(4，1)，则两圆心的距离|C1C2|等于 ( )
A．4 B． C．8 D．
12.已知圆，圆，M，N分别是圆C1，C2上动点，P
是x轴上动点，则|PN|﹣|PM|的最大值是（ ）
A． B． C． D．
13．已知圆C1：x2＋y2－6x－7＝0与圆C2：x2＋y2－6y－27＝0相交于A，B两点，则线段AB的中垂线方程为________．
14.已知圆x2+y2=9与圆x2+y2+8x-6y+25-r2=0(r>0)相交，则r的取值范围是_______．
15．若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋ax＋2ay－9＝0(a>0)相交，公共弦的长为，则a＝________.
16．已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则PM＋PN的最小值为________．
17．已知A，B是圆O1：x2＋y2－2x＝0与圆O2：x2＋y2＋2x－4y＝0的公共点，则△O1AB与△O2AB的面积的比值为________．
18．若⊙O1：x2＋y2＝5与⊙O2：(x－m)2＋y2＝20(m∈R)相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是________．
19．点M在圆心为C1的方程x2＋y2＋6x－2y＋1＝0上，点N在圆心为C2的方程x2＋y2＋2x＋4y＋1＝0上，求|MN|的最大值．
20.如图所示，圆O1和圆O2的半径都等于1，|O1O2|＝4.过动点P分别作圆O1、圆O2的切线PM、PN(M、N
为切点)，使得|PM|＝|PN|.试建立平面直角坐标系，并求动点P的轨迹方程．
21．如图，已知⊙C的圆心在原点，且与直线x+3y+40相切．
(1)求⊙C的方程；
(2)点P在直线x＝8上，过点P引⊙C的两条切线PA、PB，切点为A、B．
①求四边形OAPB面积的最小值；
②求证：直线AB过定点．
22．已知圆O：x2＋y2＝4.
(1)直线l1：x＋y－＝0与圆O相交于A，B两点，求弦AB的长度；
(2)如图，设M(x1,y1)， P(x2,y2)是圆O上的两个动点，点M关于原点的对称点为M1，点M关于x轴的对称点为M2，如果直线PM1，PM2与y轴分别交于(0,m)和(0,n)，问mn是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
23．如图，圆C：x2﹣(1+a)x+y2﹣ay+a＝0．
(I)若圆C与x轴相切，求圆C的方程；
(II)已知a＞1，圆C与x轴相交于两点M，N(M在N的左侧)．过点M任作一条直线与圆O：x2+y2＝4相
交于两点A，B．问：是否存在实数a，使得∠ANM＝∠BNM？若存在，求出实数a的值，若不存在，请说明理由．
答案与解析
1.【解析】：圆O1：x2＋y2＝4的圆心O1(0,0)，半径r1＝2，圆O2：(x－a)2＋(y－1)2＝1的圆心O2(a,1)，半径r2＝1，两圆的圆心距|O1O2|＝≥1＝2－1，所以两个圆的位置关系不可能是内含.故选C.
另：数形结合法
2.【解析】：法一：由,得两交点为(0,0)，(－a，a)．
因为圆M截直线所得线段长度为，所以＝．
又a>0，所以a＝2．所以圆M的方程为x2＋y2－4y＝0，
即x2＋(y－2)2＝4，圆心M(0,2)，半径r1＝2．
又圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1，圆心N(1,1)，半径r2＝1，
所以|MN|＝＝，因为r1－r2＝1，r1＋r2＝3,1<|MN|<3，所以两圆相交.
法二：由题知圆M：x2＋(y－a)2＝a2(a＞0)，圆心(0，a)到直线x＋y＝0的距离d＝，所以＝，
解得a＝2．圆M，圆N的圆心距|MN|＝，两圆半径之差为1，故两圆相交．故选：B.
3.【解析】：由圆心C1(m，－2)，r1＝3；圆心C2(－1，m)，r2＝2；
则两圆心之间的距离为|C1C2|＝，解得m＝2或－5.故选：C.
4.【解析】：设圆的方程为(x－a)2＋(y－6)2＝36，由题意，得，所以a2＝16，所以a＝±4.
故选：D.
5.【解析】：x2－4x＋y2＝0，即(x－2)2＋y2＝22，圆心(2,0)，r=2；x2＋y2＋4x＋3＝0，即(x＋2)2＋y2＝12，
圆心(－2,0)，r=1.所以两圆圆心距为4，两圆半径和为3.
因为4＞3，所以两圆的位置关系是外离，故两圆的公切线共有4条．故选：D.
6.【解析】：圆(x－1)2＋y2＝1的圆心C(1,0)，r=1，以|PC|＝为直径的圆的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝1，将两圆的方程相减得AB所在直线的方程为2y＋1＝0，即y＝－.故选：B.
另：直接用结论x0x+y0y=r2.
7.【解析】：两方程组相减可得x＋y＋2＝0.故选：A.
8.【解析】：设圆C1的圆心坐标C1(－1,1)关于直线x－y－1＝0的对称点为(a，b)，依题意得,解得,所以圆C2的方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝1．故选：B.
9.【解析】：圆C1：x2＋y2－8x－4y＋11＝0，即(x－4)2＋(y－2)2＝9，圆心为C1(4,2)，半径r1＝3；
圆C2：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0，即(x＋2)2＋(y＋1)2＝4，圆心为C2(－2，－1)，半径r2＝2，
圆心距d＝＝>3＋2＝5，两圆相离，
所以|PQ|的最小值为|C1C2|－(r1＋r2)＝－5.故选：C.
10.【解析】:因为C1(-2,2),r1=，C2(2,0),r2=4，所以，
当PC2⊥C1C2时，△PC1C2的面积最大，其最大值为，故选：B.
11.【解析】:依题意，可设圆心坐标为(a，a)、圆半径为r，其中r=a＞0，因此圆方程是(x―a)2+(y―a)2=a2，
由圆过点(4，1)得(4―a)2+(1―a)2=a2，即a2―10a+17=0，则该方程的两根分别是圆心C1，C2的横坐标，
所以|C1C2|＝|x1－x2|＝·.故选：C.
12.【解答】：圆C1：(x﹣2)2+(y﹣3)2＝1的圆心为C1：(2，3)，半径等于1，
C2：(x﹣3)2+(y﹣4)2＝9的圆心C2(3，4)，半径等于3，
则|PN|﹣|PM|≤(|PC2|+3)﹣(|PC1|﹣1)＝4+|PC2|﹣|PC1|．
则4+|PC2|﹣|PC1|≤|C1C2|+4＝4．
故选：D．
13.【解析】：因为圆C1的圆心为C1(3，0)，圆C2的圆心为C2(0，3)，
所以直线C1C2的方程为x＋y－3＝0，
AB的中垂线即直线C1C2，故其方程为x＋y－3＝0.
14.【解析】:x2+y2=9的圆心C1(0,0),r1=3，x2+y2+8x-6y+25-r2=0(r>0)的圆心为C2(-4,3),r1=r，由两圆相交得|r1-r2|
可得公共弦所在直线方程为ax＋2ay－5＝0，
故圆心(0,0)到直线ax＋2ay－5＝0的距离为(a>0)．
故，解得a2＝，因为a>0，所以a＝.
16.【解析】:由条件知，两圆的圆心均在第一象限，作点C1关于x轴的对称点C1′(2，－3)，
则(PC1＋PC2)min＝C1′C2＝.
所以(PM＋PN)min＝－4.
17.【解析】：两个圆的方程相减，得4x－4y＝0，即x－y＝0，所以直线AB的方程为x－y＝0.
圆O1的方程化为(x－1)2＋y2＝1，所以圆心O1(1,0)，O1到直线AB的距离d1＝＝.
圆O2的方程化为(x＋1)2＋(y－2)2＝5，所以圆心O2(－1,2)，O2到直线AB的距离d2＝＝.
所以＝＝＝.
18.【解析】：由题意知O1(0,0)，O2(m,0)，且＜|m|＜3，
又O1A⊥AO2，所以m2＝()2＋(2)2＝25，所以m＝±5，
所以AB＝＝4.
19．【解】：把圆的方程都化成标准形式，得(x＋3)2＋(y－1)2＝9，(x＋1)2＋(y＋2)2＝4.
如图，C1的坐标是(－3,1)，半径长是3；C2的坐标是(－1，－2)，半径长是2.
所以，|C1C2|＝.
因此，|MN|的最大值是＋5.
20.【解】：以O1O2的中点O为原点，O1O2所在直线为x轴，建立如图所示的坐标系，则O1(－2,0)，O2(2,0)．
由已知|PM|＝|PN|，所以|PM|2＝2|PN|2.
又因为两圆的半径均为1，
所以|PO1|2－1＝2(|PO2|2－1)，设P(x，y)，
则(x＋2)2＋y2－1＝2[(x－2)2＋y2－1]，即(x－6)2＋y2＝33.
所以所求动点P的轨迹方程为(x－6)2＋y2＝33.
21.【解答】:(1)解：依题意得：圆心(0，0)到直线x+3y+40的距离d＝r，
所以r＝d，
所以圆C的方程为x2+y2；
(2)①解：连接OA，OB，
因为PA，PB是圆C的两条切线，所以OA⊥AP，OB⊥BP，
所以．
所以当PO取最小值为8时，；
②证明：由①得，A，B在以OP为直径的圆上，
设点P的坐标为(8，b)，b∈R，则线段OP的中点坐标为(4，)，
所以以OP为直径的圆方程为，即x2+y2﹣8x﹣by＝0．
因为AB为两圆的公共弦，
所以联立得：直线AB的方程为8x+by，b∈R，即8(x)+by＝0，
则直线AB恒过定点(，0)．
22.【解】：(1)由于圆心(0,0)到直线l1：x＋y－＝0的距离d＝.
圆的半径r＝2，所以AB＝＝2.
(2)由于M(x1，y1)，点M关于原点的对称点为M1，
点M关于x轴的对称点为M2，可得M1，M2，
由M(x1，y1)，P(x2，y2)是圆O上的两个动点，可得＋＝4, ＋＝4.
直线PM1的方程为＝，令x＝0，求得y＝m＝.
直线PM2的方程为＝，令x＝0，求得y＝n＝.
所以mn＝＝＝4.
故mn为定值．
23.【解答】:(Ⅰ)因为由可得x2﹣(1+a)x+a＝0，
由题意得△＝(1+a)2﹣4a＝(a﹣1)2＝0，所以a＝1，
故所求圆C的方程为x2﹣2x+y2﹣y+1＝0．
(Ⅱ)令y＝0，得x2﹣(1+a)x+a＝0，即(x﹣1)(x﹣a)＝0，求得x＝1，或x＝a，
所以M(1，0)，N(a，0)．
假设存在实数a，当直线AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y＝k(x﹣1)，
代入x2+y2＝4得，(1+k2)x2﹣2k2x+k2﹣4＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，从而．
因为NA、NB的斜率之和为 ，
而(x1﹣1)(x2﹣a)+(x2﹣1)(x1﹣a)＝2x1x2﹣(a+1)(x2+x1)+2a，
因为∠ANM＝∠BNM，所以，NA、NB的斜率互为相反数，，即，得a＝4．
当直线AB与x轴垂直时，仍然满足∠ANM＝∠BNM，即NA、NB的斜率互为相反数．
综上，存在a＝4，使得∠ANM＝∠BNM．
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