苏教版选择性必修第一册 2.2 直线与圆的位置关系 学案（Word含答案）

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直线与圆的位置关系
知识点
1.直线与圆的位置关系
相交、相切、相离.
注：常用两种方式表述，一是代数方式，即用直线与圆公共点的个数说明位置关系；二是几何方式，即用圆心到直线的距离说明位置关系.
2.直线与圆的位置关系的判定
(1)代数法：联立方程组消去x(或y)，得一元二次方程，考察,.
(2)几何法：利用圆心到直线的距离d和半径r的关系，.
(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交(适用于动直线问题)．
3.圆的切线方程的求法
①求过圆上一点(x0，y0)的切线方程的方法：如图．
法一：先求切点与圆心连线的斜率k，若k不存在，则结合图形可直接写出切线方程为y=y0；若k=0，则结合图形可直接写出切线方程为x=x0；若存在且，则利用垂直关系得kOMk1=-1．求得切线的斜率，由点斜式可写出切线方程。
法二：圆心O到直线的距离等于半径r．
②求过圆外一点(x0，y0)的圆的切线方程的方法:
当斜率存在时设为k，则切线方程为y-y0=k(x-x0)，即kx-y+y0-kx0=0.
(1)由圆心到直线的距离等于半径，即可求出k的值，进而写出切线方程;
(2)代入圆的方程，得到一个关于x的一元二次方程，由，求得k，切线方程即可求出.因为此时点在圆外，所以切线一定有两条，即方程一般是两个根，若方程只有一个根，则还有一条切线的斜率不存在，务必要把这条切线补上．
4.圆的切线方程常用结论
①过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.
②过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.
③过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2.
④切线长：过圆x2+y2+Dx+Ey+F=0(或(x-a)2+(y-b)2=r2)外一点P(x0，y0)所引圆的切线长为|PA|＝,即(或)(其中C为圆心，A为切点)；
5.求直线被圆截得的弦长的方法
(1).几何法：如图所示，设直线l被圆C截得的弦为AB，圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，则有关系式：r2＝＋d2，即|AB|＝；
(2).求出交点坐标，直接用两点间的距离公式计算弦长；
(3).代数法：利用弦长公式，解方程组，消元后可得关于x1+x2，x1·x2或y1+y2，y1·y2的关系式，则
(其中k≠0)，特别地，当k＝0时，|AB|＝；当斜率不存在时，|AB|＝.
二、题型归纳
类型一：直线与圆的位置关系
【例1】．已知P(x0，y0)在圆x2+y2=r2的内部，试判断直线x0x+y0y=r2与圆的位置关系．
【解】：因为点P(x0，y0)圆x2+y2=r2的内部，所以．
又圆心O(0，0)到直线x0x+y0y=r2的距离为，即d＞r．
所以直线x0x+y0y=r2与圆x2+y2=r2相离．
【总结升华】判定直线与圆的位置关系采用几何法比采用代数法的计算量要小得多，因此，我们一般采用几何法来解决直线与圆的位置关系的有关问题．
【例2】．已知直线l：kx-y-4k+3=0与曲线C:x2+y2-6x-8y+21=0.
（1）求证:不论k为何值,直线l和曲线C恒有两个交点;
（2）求当直线l被曲线C所截的线段最短时此线段所在的直线的方程.
【证明】：(1)证法一：将直线l与曲线C的方程联立得,
消去y得(1+k2)x2―2(4k2+k+3)x+2(8k2+4k+3)=0． ③
因为Δ=4(4k2+k+3)2―8(1―k2)(8k+4k+3)=12k2―8k+12=，
所以方程③有两相异实根，从而，由①②组成的方程组有两组解，即直线l与曲线C恒有两个交点．
证法二：将曲线C的方程配方得(x―3)2+(y―4)2=4，它表示以C(3，4)为圆心，2为半径的圆．
设圆心C到直线l的距离为d，则,即
所以直线l与曲线C恒有两个交点．
证法三：注意到直线l：kx―y―4k+3=0可化为y―3=k(x―4)，
可知直线l恒过定点A(4，3)．
因为曲线C是以C(3，4)为圆心，2为半径的圆，(见“证法二”)
又42+32－6×4－8×3+21＜0，即点A在圆C内，
所以直线l与曲线C恒有两个交点．
(2)设直线l被曲线C所截的线段为AB，
当PQ⊥AB时，|AB|最小，直线PQ的斜率，
所以直线AB的斜率，其方程l为：x-y-1=0.
类型二：切线问题
【例3】．过点A(4，―3)作圆C：(x―3)2+(y―1)2=1的切线，求此切线方程．
【解】：因为(4―3)2+(―3―1)2=17＞1，所以点A在圆外．
①若所求直线的斜率存在，设切线斜率为k，则切线方程为y+3=k(x―4)．
因为圆心C(3，1)到切线的距离等于半径1，所以，解得．
所以切线方程为，即15x+8y―36=0．
②若切线斜率不存在，圆心C(3，1)到直线x=4的距离也为1，这时直线与圆也相切，
所以另一条切线方程是x=4，
综上，所求切线方程为15x+8y―36=0或x=4．
【总结升华】一般地，过圆外一点可向圆作两条切线，在用待定系数法与定义法时，应注意斜率不存在的情况．
【例4】.已知圆C：(x―3)2+(y―4)2=4，直线l1过定点A(1，0)．
（1）若l1与圆C相切，求l1的方程；
（2）若l2一圆C相交于P，Q两点，求三角形CPQ的面积的最大值，并求此时直线l1的方程．
【解】:(1)①若直线l1的斜率不存，则直线l1：x=1，符合题意．
②若直线l1斜率存在，设直线l1的方程为y=k(x―1)，即kx―y―k=0．
由题意知，圆心(3，4)到已知直线l1的距离等于半径2，即：=2，解之得．
所求直线l1的方程是x=1或3x―4y―3=0．
(2)直线与圆相交，斜率必定存在，且不为0，设直线方程为kx―y―k=0，
则圆心到直线l1的距离
又因为三角形CPQ面积
所以当时，S取得最大值2．所以，k=1或k=7．
所以直线方程为y=x―1，或y=7x―7．
类型三：弦长问题
【例5】．直线l经过点P(5，5)并且与圆C：x2+y2=25相交截得的弦长为，求l的方程．
【解】:法一：根据题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y―5=k(x―5)
圆心(0，0)到直线的距离，在由弦长的一半、半径和距离d构成的直角三角形中,
，解得或k=2
故直线l的方程为x―2y+5=0或2x―y―5=0．
法二： 根据题意知直线l的斜率存在，
设直线l的方程为y―5=k(x―5)与圆C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2),
联立方程，消去y，得(k2+1)x2+10k(1―k)x+25k(k―2)=0，
所以Δ=[10k(1―k)]2―4(k2+1)·25k(k―2)＞0，解得k＞0．
又，．
由斜率公式，得y1―y2=k(x1―x2)，
所以
．
两边平方，整理得2k2―5k+2=0，解得或k=2，符合题意．
故直线l的方程为x―2y+5=0或2x―y―5=9．
【例6】.已知圆C经过坐标原点O和点(2，2)，且圆心在x轴上．
(Ⅰ)求圆C的方程；
(Ⅱ)设直线l经过点(1，2)，且l与圆C相交所得弦长为，求直线l的方程．
【解】:(Ⅰ)设圆C的圆心坐标为(a，0)，
依题意，有，即a2=a2-4a+8，解得a=2，
所以圆C的方程为(x-2)2+y2=4．
(Ⅱ)依题意，圆C的圆心到直线l的距离为1，所以直线x=1符合题意．
设直线l方程为y―2=k(x―1)，即kx―y―k+2=0，则，解得，
所以直线l的方程为，即3x+4y―11=0．
综上，直线l的方程为x―1=0或3x+4y－11=0．
类型四 直线与圆的综合问题(韦达定理的运用）
【例7】．已知直线l：4x＋3y＋10＝0，半径为2的圆C与l相切，圆心C在x轴上且在直线l的右上方．
(1)求圆C的方程；
(2)过点M(1，0)的直线与圆C交于A，B两点(A在x轴上方)，问在x轴正半轴上是否存在定点N，使得x轴平分∠ANB？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【解】：(1)设圆心C(a，0)，则＝2 a＝0或a＝－5(舍)．所以圆C：x2＋y2＝4．
(2)当直线AB⊥x轴时，x轴平分∠ANB．
当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝k(x－1)，N(t，0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由得，(k2＋1)x2－2k2x＋k2－4＝0，
所以x1＋x2＝，x1x2＝．
若x轴平分∠ANB，则kAN＝－kBN ＋＝0 ＋＝0 2x1x2－(t＋1)(x1＋x2)＋2t＝0
－＋2t＝0 t＝4，
所以当点N为(4，0)时，能使得∠ANM＝∠BNM总成立．
点评：条件“x轴平分∠ANB”等价为“直线斜率的关系：kAN＝－kBN”．
【例8】．已知过点A(0，1)且斜率为k的直线l与圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1交于M，N两点．
(1)求k的取值范围；
(2)若，其中O为坐标原点，求|MN|．
【解】：(1)由题设可知直线l的方程为y＝kx＋1．
因为直线l与圆C交于两点，所以，解得．
所以k的取值范围为．
(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)．将y＝kx＋1代入方程(x－2)2＋(y－3)2＝1，
整理得(1＋k2)x2－4(1＋k)x＋7＝0．
所以x1＋x2＝，x1x2＝．
＝x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋1＝＋8．
由题设可得＋8＝12，解得k＝1，
所以直线l的方程为y＝x＋1．故圆心C在直线l上，所以|MN|＝2．
三、精选练习
1．已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是(　　)
A．相切 B．相交 C．相离 D．不确定
2.直线ax－by＝0与圆x2＋y2－ax＋by＝0的位置关系是(　　)
A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定，与a，b取值有关
3．直线l：mx－y＋1－m＝0与圆C：x2＋(y－1)2＝5的位置关系是(　　)
A．相交　　　B．相切　　　C．相离　　　D．不确定
4.(2008山东)若圆C半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x－3y＝0和x轴都相切，则该圆的标准方
程是 (　　)
A．(x－2)2＋(y－1)2＝1 B．(x－2)2＋(y＋1)2＝1
C．(x＋2)2＋(y－1)2＝1 D．(x－3)2＋(y－1)2＝1
5．圆(x－3)2＋(y－3)2＝9上到直线3x＋4y－11＝0的距离等于1的点的个数为(　　)
A．1 　　　B．2　　　C．3 　　　D．4
6．设圆C：x2+y2=4，直线l：y=x+b．若圆C上恰有4个点到直线l的距离等于1，则b的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是(　　)
A．[－3，－1] B．[－1，3] C．[－3，1] D．(－∞，－3]∪[1，＋∞)
若直线y=x+b与曲线有公共点，则b的值范围是（ ）
A． B． C． D．
9.过点(，0)引直线l与曲线相交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取最大值时，直线l的斜率等于(　　)
A.　　B．-　 C．　 D．
10.一条光线从点(－2，－3)射出，经y轴反射后与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为(　　)
A．－或－ B．－或－ C．－或－ D．－或－
11．已知圆C：x2+y2=1，点P为直线上一动点，过点P向圆C引两条切线PA,PB,A,B为切点，则直线AB经过定点（　　　）【来源：21cnj*y.co*m】
A．　　　B．　　　　C． 　　D．
12.过点P(2,4)作圆(x－1)2＋(y－1)2＝1的切线，则切线方程为(　　)
A．3x＋4y－4＝0 B．4x－3y＋4＝0
x＝2或4x－3y＋4＝0 D．y＝4或3x＋4y－4＝0
13．在平面直角坐标系xOy中，以(－2,0)为圆心且与直线(3m＋1)x＋(1－2m)y－5＝0(m∈R)相切的所有圆中，面积最大的圆的标准方程是(　　)
A．(x＋2)2＋y2＝16 B．(x＋2)2＋y2＝20 C．(x＋2)2＋y2＝25 D．(x＋2)2＋y2＝36
14.已知圆C：(x﹣3)2+(y﹣4)2＝1和两点A(﹣m，0)，B(m，0)(m＞0)，若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，
则m的最大值为（　　）
A．7 B．6 C．5 D．4
15．由直线y＝x＋1上的动点P向圆C：(x－3)2＋y2＝1引切线，则切线长的最小值为(　　)
A．1 B． C． D．3
16．已知动直线y＝kx－1＋k(k∈R)与圆C：x2＋y2－2x＋4y－4＝0(圆心为C)交于点A、B，则弦AB最短时，△ABC的面积为 (　　)
A．3 B．6 C. D．
17．圆x2＋y2－4x＋6y－12＝0过点(－1，0)的最大弦长为m，最小弦长为n，则m－n等于(　　)
A．10－ B．5－ C．10－3 D．5－
18．已知A，B为圆C：(x－m)2＋(y－n)2＝9(m，n∈R)上两个不同的点，C为圆心，且满足，则|AB|＝(　　)
A． B．4 C. D．2
19．(2018·全国卷Ⅲ)直线x＋y＋2＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆(x－2)2＋y2＝2上，则△ABP面积的取值范围是(　　)
A．[2,6] B．[4,8] C．[，] D．[，]
20．已知点P(t,2t)(t≠0)是圆O：x2＋y2＝1内一点，直线tx＋2ty＝m与圆O相切，则直线x＋y＋m＝0与圆O的位置关系是________．
21．已知M＝{(x，y)|y＝，y≠0}，N＝{(x，y)|y＝x＋b}，若M∩N≠ ，则实数b的取值范围是________．
22.（2021天津卷）若斜率为的直线与y轴交于点A，与圆x2+(y-1)2=1相切于点B，则|AB|=____．
23．若点P(1,2)在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P处的切线方程为________．
24．由直线y＝x＋1上的一点向圆x2－6x＋y2＋8＝0引切线，则切线长的最小值为________．
25．(2016·全国卷Ⅰ)设直线y＝x＋2a与圆C：x2＋y2－2ay－2＝0相交于A，B两点，若|AB|＝，则圆C的面积为________．
26．已知直线及直线截圆所得的弦长均为8，则圆的面积是 。
27．过原点O作圆x2＋y2－6x－8y＋20＝0的两条切线，设切点分别为P，Q，则线段PQ的长为______．
28.(2016·全国卷Ⅲ)已知直线l：mx＋y＋3m－＝0与圆x2＋y2＝12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点．若|AB|＝，则|CD|＝________.
29．(2018·江苏)在平面直角坐标系xOy中，A为直线l：y＝2x上在第一象限内的点，B(5,0)，以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D.若=0，则点A的横坐标为________．
30.已知圆C：(x﹣1)2+(y﹣2)2＝2，点P坐标为(2，﹣1)，过点P作圆C的切线，切点为A，B．
(1)求切线PA，PB的方程；
(2)求过P点的圆的切线长；
(3)求直线AB的方程．
31．圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0(m∈R)．
(1)证明：不论m取什么数，直线l与圆C恒交于两点；
(2)求直线l被圆C截得的线段的最短长度，并求此时m的值．
32．(2017·全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy中，曲线y＝x2＋mx－2与x轴交于A，B两点，点C的坐标为(0,1)．当m变化时，解答下列问题：
(1)能否出现AC⊥BC的情况？说明理由；
(2)证明过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值．
33.(2014新课标Ⅰ)已知点P(2,2)，圆C:x2+y2-8y=0，过点P的动直线l与圆C交于A,B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点．
(1)求M的轨迹方程；
(2)当|OP|=|OM|时，求l的方程及△POM的面积．
34.已知圆C：(x－2)2＋(y－2)2＝16，点A(10,0)．
(1)设点P是圆C上的一个动点，求AP的中点Q的轨迹方程；
(2)直线l：kx－y－10k＝0与圆C交于M，N，求的值．
35．设O为坐标原点，曲线x2＋y2＋2x－6y＋1＝0上有两点P，Q，满足关于直线x＋my＋4＝0对称，且OP⊥OQ.
(1)求m的值；
(2)求直线PQ的方程．
36．已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1交于M，N两点．
(1)求k的取值范围；
(2)若＝12，其中O为坐标原点，求MN.
答案与解析
1.【解】:因为点M(a，b)在圆x2＋y2＝1外，所以a2＋b2＞1.
所以圆心(0，0)到直线ax＋by＝1的距离d＝＜1＝r，则直线与圆的位置关系是相交. 故选：B.
2.【解】：将圆的方程化为标准方程得，所以圆心坐标为，半径r＝.因为圆心到直线ax－by＝0的距离d＝＝＝r，所以直线与圆相切．故选：B.
3.【解】：法一：由,消去y，整理得(1＋m2)x2－2m2x＋m2－5＝0，
因为Δ＝16m2＋20>0，所以直线l与圆相交．
法二：由题意知，圆心(0,1)到直线l的距离d＝，故直线l与圆相交．
法三：直线l：mx－y＋1－m＝0过定点(1,1)，因为点(1,1)在圆x2＋(y－1)2＝5的内部，所以直线l与圆相交．故选：A
4.【解】：设圆心为（a，1），由已知得，所以．故选：A．
5.【解】：因为圆心到直线的距离为＝2，又因为圆的半径为3，所以直线与圆相交，由数形结合知，圆上到直线的距离为1的点有3个.故选C.
6.【解】：由圆C的方程：x2+y2=4，可得圆C的圆心为原点O（0，0），半径为2,
若圆C上恰有4个点到直线l的距离等于1，则O到直线l：y=x+b的距离d小于1,
直线l的一般方程为：x－y+b=0,所以,解得.故选：D．
7.【解】：由题意可得，圆的圆心为(a，0)，半径为，所以，即|a＋1|≤2，解得－3≤a≤1．故选：C．
8.【解】：曲线方程可化简为(x-2)2+(y-3)2=4(1≤y≤3)，即表示圆心为(2,3)，半径为2的半圆，
依据数形结合，当直线y=x+b与此半圆相切时须满足圆心(2,3)到直线y=x+b距离等于2，
解得或，因为是下半圆，故可得(舍)，
当直线过(0,3)时，解得b=3，故，故选：C．
9.【解】：曲线的图象如图所示：
若直线l与曲线相交于A，B两点，则直线l的斜率k＜0，
设l：y＝k(x－)，则点O到l的距离d＝.
又S△AOB＝|AB|·d＝×2·d＝≤＝，当且仅当1－d2＝d2，
即d2＝时，S△AOB取得最大值，所以＝，所以k2＝，所以k＝-.故选：B.
10.【解】：由光的反射原理知，反射光线的反向延长线必过点(2，－3)，设反射光线所在直线的斜率为k，则反射光线所在直线方程为y＋3＝k(x－2)，即kx－y－2k－3＝0.
又因为光线与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，所以＝1，
整理得12k2＋25k＋12＝0，解得k＝－或k＝－.故选：D.
11.【解】：设P(4-2m,m),因为PA,PB是圆C的切线，所以CA⊥PA，CB⊥PB,所以AB是圆C与以PC为直径的两圆的公共弦，可得以PC为直径的圆的方程为 ①．
又因为x2+y2=1 ②．由①-②得AB:2(2-m)x+my=1，可得　满足上式，即AB过定点　，故选B．
另：直接运用结论：过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2.
12.【解】：当斜率不存在时，x＝2与圆相切；
当斜率存在时，设切线方程为y－4＝k(x－2)，即kx－y＋4－2k＝0，
则，解得k＝，则切线方程为4x－3y＋4＝0，
故切线方程为x＝2或4x－3y＋4＝0，故选C.
13.【解】：将直线(3m＋1)x＋(1－2m)y－5＝0变形为(3x－2y)m＋(x＋y－5)＝0.
由得,即直线恒过定点M(2,3)．
设圆心为P，即P(－2,0)，由题意可知，
当圆的半径r＝|MP|时，圆的面积最大，此时|MP|2＝r2＝25.
即圆的标准方程为(x＋2)2＋y2＝25.
14.【解】：圆C：(x﹣3)2+(y﹣4)2＝1的圆心C(3，4)，半径为1，
因为圆心C到O(0，0)的距离为5，所以圆C上的点到点O的距离的最大值为6．
再由∠APB＝90°可得，以AB为直径的圆和圆C有交点，
可得POAB＝m，故有m≤6，故选：B．
15.【解】：如图，切线长，显然当|PC|为C到直线y＝x＋1的距离即＝ 时|PM|最小为 ，故选: C．
16.【解】：根据题意，圆C可化为(x－1)2＋(y＋2)2＝9，其圆心为(1，－2)，半径r＝3.
动直线y＝kx－1＋k，即y＋1＝k(x＋1)，恒过定点P(－1，－1)，
又由(－1－1)2＋(－1＋2)2＜9，可知点P(－1，－1)在圆C的内部，
动直线y＝kx－1＋k(k∈R)与圆C：x2＋y2－2x＋4y－4＝0(圆心为C)交于点A、B，
当P为AB的中点即CP与AB垂直时，弦AB最短，
此时|CP|＝，弦AB的长度为，
此时，△ABC的面积S＝×|CP||AB|＝×4×＝.故选D.
17.【解】：圆的方程化为标准方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝25.所以圆心为(2，－3)，半径长为5.
因为(－1－2)2＋(0＋3)2＝18＜25，
所以点(－1，0)在已知圆的内部，则最大弦长即为圆的直径，即m＝10.
当(－1，0)为弦的中点时，弦长最小，此时弦心距d＝＝，
所以最小弦长为＝＝，
所以m－n＝10－.【答案】　A
18.【解】：因为C为圆心，A，B在圆上，所以取AB的中点为O，连接CO，有CO⊥AB，且=2，
所以|，又圆C的半径R＝3，
所以|AB|＝2＝2×＝4.故选：B　
19.【解】：由题意知圆心的坐标为(2,0)，半径r＝，圆心到直线x＋y＋2＝0的距离d＝＝，所以圆上的点到直线的最大距离是d＋r＝，最小距离是d－r＝.易知A(－2,0)，B(0，－2)，所以|AB|＝，所以2≤S△ABP≤6.故选A.
20.【解】：由点P(t,2t)(t≠0)是圆O：x2＋y2＝1内一点，得|t|<1.
因为直线 tx＋2ty＝m圆O相切，所以＝1，所以|m|<1.
又圆O：x2＋y2＝1的圆心O(0,0)到直线x＋y＋m＝0的距离d＝<1＝r.
所以位置关系为“相交”．
21.【解】：注意y＝，y≠0等价于x2＋y2＝9(y>0)，它表示的图形是圆x2＋y2＝9在x轴之上的部分(如图所示)．
结合图形不难求得，当－30)有公共点．
22.【解】：设直线AB的方程为y=x+b，则点A(0,b)，
由于直线AB与圆x2+(y-1)2=1相切，且圆心为C(0,1)，半径为1，
则=1，解得b=-1或b=3，所以|AC|=2，
因为|BC|=1，故.
23.【解】：设圆的方程为x2＋y2＝r2，将P的坐标代入圆的方程，得r2＝5，故圆的方程为x2＋y2＝5．
设该圆在点P处的切线上的任意一点为M(x，y)，则＝(x－1，y－2)．
由(O为坐标原点)，得＝0，即1×(x－1)＋2×(y－2)＝0，即x＋2y－5＝0．
24.【解】:切线长的最小值在直线y＝x＋1上的点与圆心距离最小时取得，
圆心(3，0)到直线的距离为d＝，圆的半径为1，
故切线长的最小值为.
25.【解】：圆C化为标准方程是C：x2＋(y－a)2＝a2＋2，所以圆心C(0，a)，半径r＝.
因为 |AB|＝，点C到直线y＝x＋2a即x－y＋2a＝0的距离d＝，
由勾股定理得＋＝a2＋2，解得a2＝2，
所以r＝2，所以圆C的面积为π×22＝4π.
26.【解】：因为已知的两条直线平行且截圆C所得的弦长均为8，
所以圆心到直线的距离d为两平行直线距离的一半，即d=，
又直线截圆C所得的弦长为8，所以圆的半径=5，所以圆C的面积是。
27.【解】：因为圆的标准方程为(x－3)2＋(y－4)2＝5，可知圆心为C(3,4)，半径为.
如图可知，CO＝5，
所以.
设OC与PQ的交点为M，
在Rt△POC中，OC·PM＝OP·PC，
所以.所以PQ＝2PM＝4.
28.【解】：由直线l：mx＋y＋3m－＝0知其过定点(－3，)，圆心O到直线l的距离为d＝.
由|AB|＝2得＋()2＝12，得m＝－.
又直线l的斜率为－m＝，
所以直线l的倾斜角α＝.
画出符合题意的图形如图所示，过点C作CE⊥BD，则∠DCE＝.
在Rt△CDE中，可得|CD|＝＝4.
29.【解】：设A(a,2a)，则a＞0.
又B(5,0)，故以AB为直径的圆的方程为(x－5)(x－a)＋y(y－2a)＝0.
由题意知C.
由,解得或,所以D(1,2)．
又=0，＝(5－a，－2a)，＝，
所以(5－a，－2a)·＝a2－5a－＝0，解得a＝3或a＝－1.
又a＞0，所以a＝3.
30.【解】：(1)根据题意，分析易得切线斜率存在，则设切线的斜率为k，
又由切线过点P(2，﹣1)，则切线方程为：y+1＝k(x﹣2),即：kx﹣y﹣2k﹣1＝0，
又圆C：(x﹣1)2+(y﹣2)2＝2的圆心坐标为(1，2)，半径r，
则有，解可得k＝7或k＝﹣1，
则所求的切线方程为：x+y﹣1＝0和7x﹣y﹣15＝0；
(2)根据题意，圆心C到P的距离d，
则切线长为2，
(3)以P为圆心，切线长为半径的圆的方程为：(x﹣2)2+(y+1)2＝8…①
由圆C：(x﹣1)2+(y﹣2)2＝2，…②
②﹣①可得AB的方程：(x﹣1)2+(y﹣2)2﹣(x﹣2)2﹣(y+1)2＝﹣6，可得x﹣3y+3＝0．
31.【解】：(1)证明　因为直线l的方程可化为(2x＋y－7)m＋(x＋y－4)＝0(m∈R)．
所以l过的交点M(3,1)．
又因为M到圆心C(1,2)的距离为d＝，
所以点M(3,1)在圆内，所以过点M(3,1)的直线l与圆C恒交于两点．
(2)因为过点M(3,1)的所有弦中，弦心距d≤，弦心距、半弦长和半径r构成直角三角形，
所当d2＝5时，半弦长的平方的最小值为25－5＝20.
所以弦长AB的最小值|AB|min＝.此时，kCM＝－，kl＝－.
因为l⊥CM，所以·＝－1，解得m＝－.
所以当m＝－时，取到最短弦长为.
32.【解】：(1)不能出现AC⊥BC的情况．理由如下：
设A(x1,0)，B(x2,0)，则x1，x2满足x2＋mx－2＝0，所以x1x2＝－2.
又点C的坐标为(0,1)，故AC的斜率与BC的斜率之积为·＝－，
所以不能出现AC⊥BC的情况．
(2)证明：BC的中点坐标为，可得BC的中垂线方程为.
由(1)可得x1＋x2＝－m，所以AB的中垂线方程为x＝－.
联立
又x＋mx2－2＝0，可得
所以过A，B，C三点的圆的圆心坐标为，半径r＝.
故圆在y轴上截得的弦长为＝3，
即过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值．
33.【解】:（1）圆C的方程可化为x2+(y-4)2=16，所以圆心为C(0,4)，半径为4，
设M(x,y)，则=(x,y-4)，=(2-x,2-y)，
由题设知，故x(2-x)+(y-4)(2-y)=0，即(x-1)2+(y-3)2=2．
由于点P在圆C的内部，所以M的轨迹方程是(x-1)2+(y-3)2=2．
（2）由（1）可知M的轨迹是以点N(1,3)为圆心，为半径的圆．
由于|OP|=|OM|，故O在线段PM的垂直平分线上．
又P在圆N上，从而ON⊥PM．
因为ON的斜率为3，所以l的斜率为，故l的方程为y=．
又|OP|=|OM|=，O到l的距离为，|PM|=，所以△POM的面积为．
34.【解】：(1)设Q(x，y)，P(x0，y0)，则(x0－2)2＋(y0－2)2＝16，
由x＝，y＝，解得x0＝2x－10，y0＝2y.
代入圆的方程可得：(2x－10－2)2＋(2y－2)2＝16，即(x－6)2＋(y－1)2＝4.
所以AP的中点Q的轨迹方程为：(x－6)2＋(y－1)2＝4.
(2)直线l：kx－y－10k＝0与圆C交于M(x1，y1)，N(x2，y2)，
把直线l的方程代入圆的方程可得：(x－2)2＋(kx－10k－2)2＝16，
化为：(1＋k2)x2－(20k2＋4k＋4)x＋100k2＋40k－12＝0.
Δ＞0.所以x1x2＝，x1＋x2＝.
所以＝(x1－10，y1)(x2－10，y2)＝(x1－10)(x2－10)＋y1y2
＝(x1－10)(x2－10)＋(kx1－10k)(kx2－10k)
＝(1＋k2)x1x2－(10k2＋10)(x1＋x2)＋100＋100k2
＝(1＋k2)－(10k2＋10)＋100＋100k2
＝48.
35.【解】：(1)圆化为标准方程：(x＋1)2＋(y－3)2＝9，所以曲线是以(－1,3)为圆心，3为半径的圆．
由已知得直线过圆心，所以－1＋3m＋4＝0，解得m＝－1.
(2)设直线PQ：y＝－x＋b，
联立,得2x2＋2(4－b)x＋b2－6b＋1＝0.
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则有x1＋x2＝b－4，x1x2＝.
又因为OP⊥OQ，所以＝0，所以x1x2＋y1y2＝0，
即2x1x2－b(x1＋x2)＋b2＝0，
将x1＋x2＝b－4，x1x2＝代入上式得b2－2b＋1＝0，所以b＝1，
所以直线PQ的方程为y＝－x＋1.
36.【解】：(1)由题设可知，直线l的方程为y＝kx＋1，
因为l与C交于两点，所以.解得所以k的取值范围为.
(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)．
将y＝kx＋1代入方程(x－2)2＋(y－3)2＝1，整理得(1＋k2)x2－4(1＋k)x＋7＝0.
所以x1＋x2＝，x1x2＝.
＝x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋1＝＋8.
由题设可得＋8＝12，解得k＝1，所以l的方程为y＝x＋1.
故圆心C在l上，所以MN＝2.
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