【最新强化训练】沪教版(上海)九下 第二十七章圆与正多边形专项攻克试题(含解析)

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九年级数学第二学期第二十七章圆与正多边形专项攻克
考试时间：90分钟；命题人：数学教研组
考生注意：
1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟
2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上
3、答案必须写在试卷各个题目指定 ( http: / / www.21cnjy.com )区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。21世纪教育网版权所有
第I卷（选择题 30分）
一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）
1、如图，正六边形ABCDEF的边长为6，以顶点A为圆心，AB的长为半径画圆，则图中阴影部分图形的周长为（　　）www.21-cn-jy.com
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A．2π B．4π C．2π+12 D．4π+12
2、如图，点A、B、C在⊙O上，∠BAC＝56°，则∠BOC的度数为（ ）
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A．28° B．102° C．112° D．128°
3、如图，在Rt中，．以点为圆心，长为半径的圆交于点，则的长是（ ）
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A．1 B． C． D．2
4、如图，一块直角三角板的30°角的顶点P落在⊙O上，两边分别交⊙O于A，B两点，连结AO，BO，则∠AOB的度数是（　　）
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A．30° B．60° C．80° D．90°
5、将一把直尺、一个含60°角的直角三角板和一个光盘按如图所示摆放，直角三角板的直角边AD与直尺的一边重合，光盘与直尺相切于点B，与直角三角板相切于点C，且，则光盘的直径是（ ）
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A．6 B． C．3 D．
6、已知⊙O的半径等于5，圆心O到直线l的距离为6，那么直线l与⊙O的公共点的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．无法确定
7、已知在圆的内接四边形ABCD中，∠A：∠C＝3：1，则∠C的度数是（　　）
A．45° B．60° C．90° D．135°
8、如图，点A，B，C均在上，当时，的度数是（ ）．
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A．65° B．60° C．55° D．50°
9、如图，是正方形的外接圆，若的半径为4，则正方形的边长为（ ）
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A．4 B．8 C． D．
10、如图，正方形ABCD内接于⊙O，点P在上，则下列角中可确定大小的是（　　）
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A．∠PCB B．∠PBC C．∠BPC D．∠PBA
第Ⅱ卷（非选择题 70分）
二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）
1、如图，四边形ABCD内接于圆，E为CD延长线上一点， 图中与∠ADE相等的角是 _________ ．
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2、如图，⊙O的半径为5cm，正六边形ABCDEF内接于⊙O，则图中阴影部分的面积为 ___．
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3、如图，将Rt△ABC的斜边 ( http: / / www.21cnjy.com )AB与量角器的直径恰好重合，B点与零刻度线的一端重合，∠ABC＝38°，射线CD绕点C转动，与量角器外沿交于点D，若射线CD将△ABC分割出以BC为边的等腰三角形，则点D在量角器上对应的度数是 ___．21*cnjy*com
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4、如图，正方形ABCD是边长为 ( http: / / www.21cnjy.com )2，点E、F是AD边上的两个动点，且AE=DF，连接BE、CF，BE与对角线AC交于点G，连接DG交CF于点H，连接BH，则BH的最小值为_______．【来源：21cnj*y.co*m】
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5、如图，AB为⊙的直径，弦CD⊥AB于点H，若AB=10，CD=8，则OH的长为__________
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三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）
1、请阅读下列材料，并完成相应的任务：
阿基米德是有史以来最伟大的数学家之一，他与牛顿、高斯并称为三大数21世纪教育网子．阿拉伯Al-Binmi （973-1050 年）的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容，苏联在1964年根据Al-Binmi详本出版了俄文版《阿基米德全集》．第一题就是阿基米德折弦定理．阿基米德折弦定理：如图1，和是的两条弦（即折线是圆的一条折弦），， 是的中点，则从向所作垂线的垂足是折弦的中点，即．
下面是运用“截长法”证明的部分证明过程．
证明：如图2，在上截取，连接和．
是的中点，
…
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任务：
（1）请按照上面的证明思路，写出该证明部分；
（2）填空：如图3，已知等边内接于，，为上一点，，于点，则的周长是_________．
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2、已知：如图，A为上的一点．
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求作：过点A且与相切的一条直线．
作法：①连接OA；
②以点A为圆心，OA长为半径画弧，与的一个交点为B，作射线OB；
③以点B为圆心，OA长为半径画弧，交射线OB于点P（不与点O重合）；
④作直线PA．
直线PA即为所求．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：连接BA．
由作法可知．
∴点A在以OP为直径的圆上．
∴（ ）（填推理的依据）．
∵OA是的半径，
∴直线PA与相切（ ）（填推理的依据）．
3、如图，在正方形网格中，每一个小正方形的边长都为1，△ABC的顶点分别为A(2，3)，B(2，1)，C(5，4)．
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(1)只用直尺在图中找出△ABC的外心P，并写出P点的坐标_____________
(2)以(1)中的外心P为位似中心， ( http: / / www.21cnjy.com )按位似比2：1在位似中心的左侧将△ABC放大为△A′B′C′，放大后点A、B、C的对应点分别为A′、B′、C′，请在图中画出△A′B′C′；
(3)若以A为圆心，为半径的⊙A与线段BC有公共点， 则的取值范围是____________．
4、如图，抛物线（a为常数，）与x轴分别交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且OB＝OC．
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（1）求a的值；
（2）点D是该抛物线的顶点，点P（m，n）是第三象限内抛物线上的一个点，分别连接BD、BC、CD、BP，当∠PBA＝∠CBD时，求m的值；
（3）点K为坐标平面内一点，DK＝2，点M为线段BK的中点，连接AM，当AM最大时，求点K的坐标．
5、如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，直线l与抛物线交于A，D两点，点D的坐标为，与y轴交于点E．21·cn·jy·com
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（1）求A，B两点的坐标及直线l的解析式；
（2）若点P在直线l下方抛物线上，过点P作轴于点M，直线与直线l交于点N，当点M是的三等分点时，求点P的坐标；
（3）若点H是抛物线对称轴上的一点，且，请直接写出点H的坐标．
-参考答案-
一、单选题
1、D
【分析】
根据正多边形的外角求得内角的度数，进而根据弧长公式求得，即可求得阴影部分的周长．
【详解】
解：正六边形ABCDEF的边长为6，
阴影部分图形的周长为
故选D
【点睛】
本题考查了求弧长公式，求正多边形的内角，牢记弧长公式和正多边形的外角与内角的关系是解题的关键．
2、C
【分析】
直接由圆周角定理求解即可．
【详解】
解：∵∠A＝56°，∠A与∠BOC所对的弧相同，
∴∠BOC＝2∠A＝112°，
故选：C．
【点睛】
此题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解答本题的关键，同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半．2·1·c·n·j·y
3、B
【分析】
利用三角函数及勾股定理求出BC、AB，连接CD，过点C作CE⊥AB于E，利用，求出BE，根据垂径定理求出BD即可得到答案．
【详解】
解： 在Rt中，，
∴BC=3，，
连接CD，过点C作CE⊥AB于E，
∵，
∴，
解得，
∵CB=CD，CE⊥AB，
∴，
∴，
故选：B．
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【点睛】
此题考查了锐角三角函数，勾股定理，垂径定理，熟记各定理并熟练应用是解题的关键．
4、B
【分析】
延长AO交⊙O于点D，连接BD，根据圆周角 ( http: / / www.21cnjy.com )定理得出∠D=∠P=30°，∠ABD=90°，由直角三角形的性质可推得AB=BO=AO，然后根据等边三角形的判定与性质可以得解．
【详解】
解：如图，延长AO交⊙O于点D，连接BD，
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∵∠P=30°，
∴∠D=∠P=30°，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ABD=90°，
∴AB=AD=AO=BO，
∴三角形ABO是等边三角形，
∴∠AOB=60°，
故选B．
【点睛】
本题考查圆的综合应用，熟练掌握圆周角定理、圆直径的性质、直角三角形的性质、等边三角形的判定和性质是解题关键．21教育网
5、D
【分析】
如图所示，设圆的圆心为O，连接OC，OB，由切线的性质可知∠OCA=∠OBA=90°，OC=OB，即可证明Rt△OCA≌Rt△OBA得到∠OAC=∠OAB，则，∠AOB=30°，推出OA=2AB=6，利用勾股定理求出，即可得到圆O的直径为．
【详解】
解：如图所示，设圆的圆心为O，连接OC，OB，
∵AC，AB都是圆O的切线，
∴∠OCA=∠OBA=90°，OC=OB，
又∵OA=OA，
∴Rt△OCA≌Rt△OBA（HL），
∴∠OAC=∠OAB，
∵∠DAC=60°，
∴，
∴∠AOB=30°，
∴OA=2AB=6，
∴，
∴圆O的直径为，
故选D．
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【点睛】
本题主要考查了切线的性质，全等三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，熟知切线的性质是解题的关键．
6、A
【分析】
圆的半径为 圆心到直线的距离为 当时，圆与直线相离，直线与圆没有交点，当时，圆与直线相切，直线与圆有一个交点，时，圆与直线相交，直线与圆有两个交点，根据原理可得答案．
【详解】
解：∵⊙O的半径等于为8，圆心O到直线l的距离为为6，
∴，
∴直线l与相离，
∴直线l与⊙O的公共点的个数为0，
故选A．
【点睛】
本题考查的是圆与直线的位置关系，圆与直线的位置关系有相离，相交，相切，熟悉三种位置关系对应的公共点的个数是解本题的关键．
7、A
【分析】
根据圆内接四边形的性质得出∠A+∠C＝180°，再求出∠C即可．
【详解】
解：∵四边形ABCD是圆的内接四边形，
∴∠A+∠C＝180°，
∵∠A：∠C＝3：1，
∴∠C＝×180°＝45°，
故选：A．
【点睛】
本题考查了元内接四边形对角互补的性质，熟练掌握性质是解题的关键．
8、C
【分析】
先由OB=OC，得到∠OCB=∠OBC=35°，从而可得∠BOC=180°-∠OCB-∠OBC=110°，再由圆周角定理即可得到答案．
【详解】
解：∵OB=OC，
∴∠OCB=∠OBC=35°，
∴∠BOC=180°-∠OCB-∠OBC=110°，
∴，
故选C．
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【点睛】
本题主要考查了圆周角定理，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，熟知圆周角定理是解题的关键．
9、D
【分析】
连接OB，OC，过点O作OE⊥BC于点E，由等腰直角三角形的性质可知OE=BE，由垂径定理可知BC=2BE，故可得出结论．【来源：21·世纪·教育·网】
【详解】
解：连接OB，OC，过点O作OE⊥BC于点E，
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∴OB=OC，∠BOC=90°，
∴∠OBE=45°，
∴OE=BE，
∵OE2+BE2=OB2，
∴，
∴BC=2BE=，即正方形ABCD的边长是．
故选：D
【点睛】
本题考查的是圆周角定理、垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出等腰直角三角形是解答此题的关键．2-1-c-n-j-y
10、C
【分析】
由题意根据正方形的性质得到BC弧所对的圆心角为90°，则∠BOC=90°，然后根据圆周角定理进行分析求解．
【详解】
解：连接OB、OC，如图，
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∵正方形ABCD内接于⊙O，
∴所对的圆心角为90°，
∴∠BOC=90°，
∴∠BPC=∠BOC=45°．
故选：C．
【点睛】
本题考查圆周角定理和正方形的性质，确定BC弧所对的圆心角为90°是解题的关键．
二、填空题
1、∠ABC
【分析】
根据圆内接四边形的性质可得，再由题意可得，由等式的性质即可得出结果．
【详解】
解：∵四边形ABCD内接于圆，
∴，
∵E为CD延长线上一点，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】
题目主要考查圆内接四边形的性质，熟练掌握这个性质是解题关键．
2、
【分析】
根据图形分析可得求阴影部分面积实为求扇形面积，将原图阴影部分面积转化为扇形面积求解即可．
【详解】
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如图，连接BO，OC，OA，
由题意得：△BOC，△AOB都是等边三角形，
∴∠AOB＝∠OBC＝60°，
∴OA∥BC，
∴，
．
故答案为：．
【点睛】
本题考查正多边形与圆、扇形的面积公式、平行线的性质等知识，解题的关键是得出．
3、76°或142°
【分析】
设AB的中点为O，连接OD，则∠BOD为点 ( http: / / www.21cnjy.com )D在量角器上对应的角，根据圆周角定理得∠BOD=2∠BCD，根据等腰三角形的性质分BC为底边和BC为腰求∠BCD的度数即可．
【详解】
解：设AB的中点为O，连接OD，则∠BOD为点D在量角器上对应的角，
∵Rt△ABC的斜边AB与量角器的直径恰好重合，
∴A、C、B、D四点共圆，圆心为点O，
∴∠BOD=2∠BCD，
①若BC为等腰三角形的底边时，如图射线CD1，则∠BCD1=∠ABC=38°，
连接OD1，则∠BOD1=2∠BCD1=76°；
②若BC为等腰三角形的腰时，
当∠ABC为顶角时，如图射线CD2，则∠BCD2=（180°-∠ABC）÷2=71°，
连接OD2，则∠BOD2=2∠BCD2=142°，
当∠ABC为底角时，∠BCD=180°-2∠ABC=104°，不符合题意，舍去，
综上，点D在量角器上对应的度数是76°或142°，
故答案为：76°或142°．
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【点睛】
本题考查圆周角定理、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理，熟练掌握圆周角定理，利用分类讨论思想解决问题是解答的关键．
4、##
【分析】
延长AG交CD于M，如图1， ( http: / / www.21cnjy.com )可证△ADG≌△DGC可得∠GCD=∠DAM，再证△ADM≌△DFC可得DF=DM=AE，可证△ABE≌△ADM，可得H是以AB为直径的圆上一点，取AB中点O，连接OD，OH，根据三角形的三边关系可得不等式，可解得DH长度的最小值．
【详解】
解：延长AG交CD于M，如图1，
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∵ABCD是正方形，
∴AD=CD=AB，∠BAD=∠ADC=90°，∠ADB=∠BDC，
∵AD=CD，∠ADB=∠BDC，DG=DG，
∴△ADG≌△DGC，
∴∠DAM=∠DCF且AD=CD，∠ADC=∠ADC，
∴△ADM≌△CDF，
∴FD=DM且AE=DF，
∴AE=DM且AB=AD，∠ADM=∠BAD=90°，
∴△ABE≌△DAM，
∴∠DAM=∠ABE，
∵∠DAM+∠BAM=90°，
∴∠BAM+∠ABE=90°，即∠AHB=90°，
∴点H是以AB为直径的圆上一点．
如图2，取AB中点O，连接OD，OH，
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∵AB=AD=2，O是AB中点，
∴AO=1=OH，
在Rt△AOD中，OD=，
∵DH≥OD-OH，
∴DH≥-1，
∴DH的最小值为-1，
故答案为：-1．
【点睛】
本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，关键是证点H是以AB为直径的圆上一点．
5、3
【分析】
根据垂径定理可得，进而利用勾股定理解直角三角形即可求得的长
【详解】
解： AB为⊙的直径，弦CD⊥AB于点H，若AB=10，CD=8，
在中，
故答案为：3
【点睛】
本题考查了垂径定理，勾股定理，掌握垂径定理是解题的关键．
三、解答题
1、
（1）证明见解析；
（2）．
【分析】
（1）首先证明，进而得出，再利用等腰三角形的性质得出，即可得出答案；
（2）首先证明，进而得出，以及，进而求出的长即可得出答案．
（1）
证明：如图2，在上截取，连接，，和．
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是的中点，
．
在和中
，
，
，
又，
，
；
（2）
解：如图3，截取，连接，，，
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由题意可得：，
∵
∴，
在和中
，
，
，
，
，则，
，
，
∵，
∴
则
故答案为：．
【点睛】
此题主要考查了圆与三角形综合，涉及了 ( http: / / www.21cnjy.com )圆周角定理、全等三角形的判定与性质以及等腰三角形以及等边三角形的性质，正确作出辅助线利用全等三角形的判定与性质解题是解题关键．
2、（1）图见解析；（2）直径所对的圆周角是直角，切线的判定定理
【分析】
（1）根据所给的几何语言作出对应的图形即可；
（2）根据圆周角定理和切线的判定定理解答即可．
【详解】
解：（1）补全图形如图所示，直线AP即为所求作；
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（2）证明：连接BA，
由作法可知，
∴点A在以OP为直径的圆上，
∴（直径所对的圆周角是直角），
∵OA是的半径，
∴直线PA与相切（切线的判定定理），
故答案为：直径所对的圆周角是直角，切线的判定定理．
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【点睛】
本题考查基本作图-画圆、圆 ( http: / / www.21cnjy.com )周角定理、切线的判定定理，熟知复杂作图是在基本作图的基础上进行作图，一般是结合几何图形的性质，因此熟练掌握基本图形的性质和切线的判定是解答的关键．
3、（1）（4，2）；（2）见解析；（3）
【分析】
（1）根据三角形的外接圆的圆心是三边垂直平分线的交点即可找到点P；
（2）根据位似中心与三角形三个顶点的连线将原三角形扩大2倍即可；
（3）根据直线和圆的位置关系：当半径大于或等于点A到BC的距离时，⊙A与线段BC有一个或两个公共点即可．【出处：21教育名师】
【详解】
解：如图所示：
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（1）点P即为△ABC的外心，P点的坐标为（4，2），
故答案为：（4，2）；
（2）图中画出的△A′B′C′即为所求作的图形；
（3）观察图形可知：r=时，⊙A与线段BC有一个公共点．
此时⊙A与线段BC相切，
当时，⊙A只经过点，
∴的取值范围是
故答案为：．
【点睛】
本题考查了作图 位似变换、三角形的外接圆与圆心、直线与圆的位置关系，解决本题的关键是根据位似中心画位似图形．www-2-1-cnjy-com
4、
（1）
（2）
（3）
【分析】
（1）先求得,点的坐标，进而根据即可求得的值；
（2）过点作轴于点，证明是直角三角形，进而，根据相似的性质列出比例式进而代入点的坐标解方程即可；【版权所有：21教育】
（3）接，取的中点，连接,根据题意，点在以为圆心，2为半径的圆上，则在以为圆心，为半径的圆上运动，根据点与圆的距离求最值，进而求得的解析式为，根据,设直线的解析式为，将点代入求得，进而设，根据，进而根据勾股定理列出方程解方程求解即可．21*cnjy*com
（1）
令，解得
令，
抛物线（a为常数，）与x轴分别交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，
抛物线与轴的交点为
解得
（2）
如图，过点作轴于点，
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是直角三角形，且
又
在抛物线上，
整理得
解得（舍）
在第三象限，
（3）
如图，连接，取的中点，连接,
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是的中位线
根据题意点在以为圆心，2为半径的圆上，
则在以为圆心，为半径的圆上运动，
当三点共线，且在的延长线上时，最大，如图，
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即
设直线的解析式为，代入点，
即
解得
直线的解析式为
设直线的解析式为
解得
则的解析式为
设点，
，
解得（舍去）
【点睛】
本题考查了二次函数综合运用，点与圆的距离求最值问题，相似三角形的性质与判定，正确的添加辅助线并熟练掌握以上知识是解题的关键．21·世纪*教育网
5、（1）A（－1，0），B（3，0），；（2）点P的坐标为（2.5，－1.75）或（1，－4）；（3）点H的坐标为（1，5＋）或（1，－4）.21教育名师原创作品
【分析】
（1）先令y＝0时，，x1＝3，x2＝－1. ，即可得到A、B的坐标，然后设直线l解析式为，代入A、D坐标求解即可；
（2）根据题意设点P坐标为（m，），则点N（m，），然后分PM＝，且P只能在x轴的下方，这两种情况讨论求解即可；
（3）过点D作DG⊥x轴于G，可得AG=BG=5，∠AGD=90°，再由∠AHD=45°，则点在以G为圆心，以5为半径的圆上，且H在AD下方，设的坐标为（1，n），则，即可求出的坐标为（1，-4）；同理当H在AD上方时，H在以（-1，5）为圆心，5为半径的圆上，由此即可得到答案．
【详解】
（1）当y＝0时，，
解得x1＝3，x2＝－1.
∴ A（－1，0），B（3，0）.
设直线l解析式为，
∵ l经过D（4，5），A（－1，0），
∴ ，
∴，
∴ 直线l解析式为；
（2）根据题意设点P坐标为（m，），则点N（m，），
∵ 点M是PN的三等分点，点P在直线l下方抛物线上，
∴ PM＝,且P只能在x轴的下方，
∴ PM＝,PN＝，
当PM＝时，则，
解得m1＝2.5，m2＝－1（舍去），
∴ P的坐标为（2.5，－1.75）；
当PM＝时，则，
解得m1＝1，m2＝－1（舍去），
∴ P的坐标为（1，－4） ，
综上所述，点P的坐标为（2.5，－1.75）或（1，－4）；
（3）如图所示，过点D作DG⊥x轴于G，
∴G点坐标为（4，0），
∴AG=BG=5，∠AGD=90°，
∵∠AHD=45°，
∴点在以G为圆心，以5为半径的圆上，且H在AD下方，
设的坐标为（1，n），
∴，
∴或（舍去），
∴的坐标为（1，-4）；
同理当H在AD上方时，H在以（-1，5）为圆心，5为半径的圆上，
设H的坐标为（1，t），
∴，
∴或（舍去），
∴H的坐标为（1，5＋）；
∴综上所述，点H的坐标为（1，5＋）或（1，－4）．
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【点睛】
本题主要考查了求二次函数与x轴的交点，求一次函数解析式，圆周角定理，两点距离公式，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．21cnjy.com
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